Obr. 2 Aerostatické radiální ložisko s vrtanými tryskami (vlevo) a pórovité (vpravo)

Návrh aerostatických ložisek Výpočet a návrh aerostatických ložisek Aerostatická ložiska jsou charakteristická velmi malými pasivními odpory a schopností nést zatížení i v případě, že mezi kluznými plochami nedochází k vzájemnému pohybu. Nepatrné tření je dáno nízkou viskozitou plynů, která je o 2 až 3 řády menší než viskozita minerálních olejů. Únosnost ložiska je dána tlakem plynu, který se přivádí do ložiska přes škrticí orgány (trysky, pórovitý materiál). Po vstupu do ložiskové mezery plyn dále expanduje k okrajům ložiska a vytváří tlakové pole, které nese zatížení. U axiálního ložiska (obr. 1) je únosnost dána integrací tlaku po funkční ploše ložiska. Ložisko s centrální tryskou má při stejné ploše únosnost vyšší, neboť ve středu ložiska je maximální tlak, zatímco u mezidruhového ložiska plyn uniká do okolí na vnějším i vnitřním průměru.

Obr. 1 Aerostatické axiální ložisko mezidruhové (vlevo) a s centrální tryskou (vpravo)

+0,01

V radiálním aerostatickém ložisku (obr. 2) je únosnost dána rozdílem tlaků v zatížené a nezatížené části ložiska (viz obr 3 vpravo, obr. 12 a 13).

Obr. 2 Aerostatické radiální ložisko s vrtanými tryskami (vlevo) a pórovité (vpravo)

1

Návrh aerostatických ložisek

Obr. 3 Schéma radiálního aerostatického ložiska, rozložení tlaku v ložisku [1] Ložisko s vrtanými tryskami má buď jednu řadu trysek uprostřed, nebo dvě řady trysek ve vzdálenosti cca ¼ šířky ložiska od okraje. Čím blíže jsou trysky k okraji, tím vyšší únosnost ložisko má, vyšší je ovšem také spotřeba vzduchu. K lepšímu využití stlačeného vzduchu dochází v ložiskách z pórovitého materiálu, v nichž funkci trysek přebírají póry materiálu. Vzduch vstupuje do ložiskové mezery po celém povrchu ložiska, takže správně navržené ložisko má při stejných rozměrech vyšší únosnost a menší spotřebu vzduchu. Určitým problémem je ovšem zajistit stálou propustnost pórovitého materiálu a rovněž nároky na filtraci plynu musí být u pórovitých ložisek přísnější. Aerostatická ložiska pracují běžně s přetlakem 0,3 až 0,5 MPa, maximální tlak je omezen pouze dostupnými zdroji tlaku a ekonomií provozu. Kompresní práci, potřebnou ke stlačení plynu, je totiž třeba připočíst k třecím ztrátám ložiska, čímž jinak velmi výhodné vlastnosti aerostatických ložisek poněkud utrpí. Vzhledem k poměrně velké tloušťce nosné vrstvy plyn vyrovnává i určité nepřesnosti kluzných ploch, takže přesnost běhu hřídele v aerostatických ložiskách je velmi dobrá, může být i lepší než v nejpřesnějších vřetenových valivých ložiskách. Toho se využívá právě u obráběcích strojů, zejména u brousicích a vyvrtávacích vřeten, kde lze využít i další přednost aerostatických ložisek, tj. možnost dosáhnout extrémně vysokých otáček aniž by docházelo k velkému vývinu tepla. Výpočet aerostatických ložisek 1.0 Axiální ložiska Pro přibližný výpočet axiálních aerostatických ložisek lze použít následující formule (viz obr. 4), převzaté z [1]: 𝐾𝑔 =

2 1+√1+4⁄𝐺 2

… součinitel tlaku (1), jehož optimální hodnota je 0,69,

𝐺 = 𝐹𝑝 . 𝐹𝑔 . 𝐹𝑑 ,

2

Návrh aerostatických ložisek 𝐹𝑝 = 𝐹𝑔 =

𝑝𝑎 ⁄𝑝0 √(1−𝑝𝑎 ⁄𝑝0 ).(1+𝑝𝑎 ⁄𝑝0 ) 24.𝜇.√𝑅.𝑇 𝑝𝑎

, kde pa, resp. p0 je tlak v okolí, resp. vstupní tlak plynu (abs.) µ … dynamická viskozita plynu (Pa.s),

, kde

R … plynová konstanta (J.kg-1.K-1), T … absolutní teplota plynu (K).

Obr. 4 Schéma axiálního aerostatického ložiska [1]: a) ložisko s centrální tryskou, b) mezikruhové ložisko s řadou trysek Pro ložisko s centrální tryskou je 𝐹𝑑 =

𝑐𝑑 .𝑑2 .ln(𝑏 ⁄𝑎 ) 8.ℎ 3

, kde

cd … průtokový součinitel otvoru (obvykle cd =0,85) d … průměr trysky (m), h … tloušťka plynového filmu (m), a, resp. b … je vnitřní, resp. vnější poloměr ložiska,

𝑊 = 𝐾𝑔 . (𝑝0 − 𝑝𝑎 )

𝜋.(𝑏2 −𝑎 2) ln(𝑏⁄𝑎 )

…únosnost ložiska (N),

𝜋.ℎ 3.(𝑝2 −𝑝2 )

𝑎 𝑑 𝑚 = 12.𝜇.𝑅.𝑇.ln(𝑏 … hmotový průtok plynu (kg.s-1), ⁄𝑎)

kde 𝑝𝑑 = 𝑝

𝐾𝑔

0 −𝑝𝑎

+ 𝑝𝑎 .

Pro mezikruhové ložisko s maximální únosností, pro které je poloměr kružnice s tryskami dán vztahem c2=a.b platí: 𝐹𝑑 =

𝑐𝑑 .𝑛.𝑑2 .ln(𝑏⁄𝑎 ) 32.ℎ 3

, kde n … počet trysek po obvodu,

𝜋.ℎ 3 .(𝑝2 −𝑝2 )

𝑎 𝑑 𝑚 = 3.𝜇.𝑅.𝑇.ln(𝑏 . ⁄𝑎)

Výše uvedené formule poskytují zcela použitelné výsledky pro méně náročné aplikace, tj. pro nepříliš vysoké otáčky. Při konstrukci ložiska je důležité zvolit velmi malou hloubku komůrky pro přívod plynu (s poloměrem a), neboť větší hloubka může vést k pneumatické nestabilitě (tzv. „air hammer“).

3

Návrh aerostatických ložisek

2.0 Radiální ložiska 2.1 Přibližné analytické řešení. Pro nenáročná uložení lze při návrhu ložisek použít podobný postup výpočtu jako u axiálních ložisek. Ložisko je ovšem nutno rozdělit na segmenty (viz obr. 3), jejichž počet je stejný jako počet trysek po obvodu. Obvyklý počet trysek je 6 až 12, větší počet než 12 přináší již jen malé zvýšení únosnosti. S označením podle obr. 4 lze použít vztahy: 𝐺 = 𝐹𝑝 . 𝐹𝑔 . 𝐹𝑑 , kde Fp a Fg jsou totožné se vztahy u axiálních ložisek, 𝐹𝑑 =

𝑙.𝑐𝑑 .𝑆 𝑎.𝑐 3

, kde 𝑎 = 𝜋. 𝐷/𝑛 … šířka ekvivalentní mezery, l … vzdálenost trysky od okraje ložiska, D … průměr ložiska, n … počet trysek po obvodu, S … efektivní plocha trysky.

S použitím obr. 5 je 𝑆 = 𝜋. 𝑑. ℎ pro případ a) - bez kruhové kapsy, 𝑆 = 𝜋. 𝑑 2 ⁄4 pro případ b) – s kruhovou kapsou.

Obr. 5 Rozměry trysek pro regulaci průtoku plynu vstupujícího do ložiska [1] Při použití vstupních trysek s kapsami lze dosáhnout vyšší únosnosti ložiska; stejně jako u axiálních ložisek hrozí při nevhodných rozměrech kapsy (větší objem) nebezpečí vzniku pneumatické nestability. S použitím vztahu 𝐾𝑔𝑖 =

2 1+√1+4⁄𝐺 2

lze vypočítat hodnoty Kg pro segmenty 1 až n. Únosnost

ložiska je pak dána vektorovým součtem únosností jednotlivých segmentů podle vztahu 𝜋

2.𝑙

𝜋

𝑊 = 2. 𝐿. 𝐷. (𝑝0 − 𝑝𝑎 ). sin 𝑛 . (1 − 3.𝐿) . [𝐾𝑔1 cos 𝑛 + 𝐾𝑔2 . cos

3𝜋 𝑛

+ ⋯ + 𝐾𝑔𝑛⁄2 ],

kde L … šířka ložiska Výpočet výše uvedeným postupem je poněkud pracný. Jednodušší je využít návrhových diagramů pro ložiska s optimálními vlastnostmi, které jsou opět převzaty z [1]. Pro dané rozměry ložiska, tj. průměr D, šířku L, radiální vůli c, vzdálenost trysky od okraje l, odečteme z diagramu na obr. 6 hodnotu koeficientu únosnosti 𝐶𝐿 ́ = (𝑝

𝑊

0−𝑝𝑎 ).𝐷

2

, ze kterého lze určit únosnost ložiska W. Pro rozměry v (m) a tlaky v

(Pa) vyjde únosnost v (N). 4

Návrh aerostatických ložisek

Obr. 6 Koeficient únosnosti optimálního ložiska [1] Z diagramu na obr. 7 určíme optimální průměr trysky d; s ohledem na pneumatickou nestabilitu je třeba preferovat trysky bez kapsy. S ohledem na anglosaský zdroj jsou rozměry trysek a vůle v palcích, tlaky jsou v lb/in2 (1 lb/ in2 = 0,0703 bar=0,0072 MPa).

Obr. 7 Optimální průměr trysky [1] Hmotový průtok plynu ložiskem v (lb/s) určíme z diagramu na obr. 8. Pro průtok v (kg.s-1) použijeme vztah 1 lb/s=0,453 kg.s-1.

5

Návrh aerostatických ložisek

Obr. 8 Průtok plynu ložiskem Výše uvedený výpočetní postup lze použít opravdu jen pro velmi nenáročné, tj. pomaluběžné uložení. Pro rychloběžné rotory, např. výše zmíněná brousicí a vyvrtávací vřetena je nutno určit nejen únosnost ložiska, ale také jeho tuhost a útlum. Tyto hodnoty lze stanovit pouze numerickým řešením Reynoldsovy rovnice. 2.1 Numerické řešení 2.1.1 Reynoldsova rovnice pro nestacionární proudění stlačitelného média Prodění v nosné vrstvě ložiska popisuje Reynoldsova rovnice, pro jejíž řešení je nutno použít numerické metody. Na obdélníkové síti m x n bodů postačí vzhledem k symetrii řešit pouze ½ kluzné plochy. Reynoldsova rovnice pro nestacionární proudění stlačitelného média nosnou vrstvou ložiska lze vyjádřit jako

divPH 3 gradP  .PH   

PH  , 

(2.1)

kde P=p/pa … bezrozměrný tlak, pa .. tlak v okolí, H=h/c … bezrozměrná tloušťka filmu, c … radiální vůle,

6..  R     … bezrozměrný parametr (číslo stlačitelnosti), pa  c  2

 … dynamická viskozita plynu,  … úhlová rychlost čepu, R … poloměr čepu,

6

Návrh aerostatických ložisek

  … bezrozměrný parametr (tzv. vytlačovací číslo),  

  2.

=.t … bezrozměrný čas. Rovnice (2.1) platí pro libovolný vnitřní bod sítě, ve kterém se nenachází zdroj stlačeného plynu. Integrací rovnice (2.1) po hranici šrafované oblasti (viz obr.) a úpravou s použitím Gaussova teorému dostaneme

 PH

3

gradP  .PH ndl  



 

 PHdd

(2.2)



kde  … hranice šrafované oblasti , n … jednotková normála k hranici , dl … element délky hranice.

Levá strana rovnice (2.2) vyjadřuje hmotnostní průtok plynu přitékajícího do elementu z nosné vrstvy a vytékajícího z něj v důsledku tlakových gradientů a vzájemného pohybu kluzných ploch. Pravá strana vyjadřuje změnu objemu elementu při pohybu kluzných ploch kolmo na sebe. V bodě sítě se zdrojem stlačeného plynu (plnicím otvorem) je nutno použít pro stanovení tlaku rovnici kontinuity což vede ke vztahu

 PH 

3

gradP  .PH .n.dl 

t

1   H 

2

m 

 

 PH .d.d ,

(2.3)



kde   d 4.c … tzv. faktor vnitřní kompenzace;

Obr. 9 Otvory pro přívod stlačeného plynu do aerostatického ložiska faktor  vyjadřuje, zda je minimální vstupní průřez v plnicím otvoru o průměru d, nebo v mezikruží s průřezem .d.c,

t 

3.. .d 2 R.T … ložiskový parametr, pa .c 3

7

Návrh aerostatických ložisek 

1

 p  2.  2   1  2   1 m  c D .PS .   pro    pk    ,  1  1   1  pS  1

 1

 p  p  2.  p     1    pro    pk . m  cD .PS .   1  pS   pS   pS  Jestliže se tloušťka filmu mění spojitě a kluzné plochy se pohybují pouze ve směru  (u radiálního ložiska směr po obvodu), je možno rovnici (2.3) aproximovat vztahem

  P P     3 P    PH 3  .PH     PH 3  .PH     PH   .PH      i , j 1 / 2   i 1 / 2, j i , j 1 / 2   t  3 P PH i , j .   m   PH   .PH  2    i 1 / 2, j 1   H 

(2.4)

Rovnice (2.4) je nelineární a pro další řešení je použita tzv. „přirozená“ linearizace spočívající v zavedení substituce Q=(PH)2. Po dosazení do (2.4) dostaneme

 Q  Q  H  H        2  Q    H  2  Q   H     Q   i , j 1 / 2 Q   i , j 1 / 2        Q  Q 2. t H  H     H 2 Q   m  H   2  Q 2   i 1 / 2, j   i 1 / 2, j   1   H 

(2.5)

  Q  . Q    i , j 2.1.2 Proudění v pracovní mezeře aerostatického ložiska při malých výchylkách čepu V ustáleném stavu zaujímá čep v ložisku statickou polohu charakterizovanou výstředností e, resp. relativní výstředností 0, a úhlem polohy čepu .

Obr. 10 Základní rozměry a souřadný systém aerostatického radiálního ložiska

8

Návrh aerostatických ložisek Jestliže předpokládáme harmonické výchylky čepu kolem rovnovážné polohy s kruhovou frekvencí  a charakterizovaný relativní výstředností 1 a úhlem 1, pak okamžitou polohu čepu můžeme vyjádřit hodnotou relativní výstřednosti  a úhlu  podle vztahů

   0  e it . 1 ,

   0  e it .1 .

Bezrozměrnou tloušťku filmu lze vyjádřit jako

H  H 0  e it  1 . cos   0 .1 .sin  , kde H 0  1   0 . cos .

(2.6)

Bezrozměrný tlak ve filmu, vyvolaný harmonickým pohybem čepu lze vyjádřit jako P  P0  e it  1 .P1   0 .1 .P2  ,

takže

Q  Q0  eit  1 .Q1   0 .1 .Q2 

(2.7)

Dosazením vztahů (2.6) a (2.7) do (2.5) dostaneme

 Q  Q  H  H        .Q0     H 0 0  2  .Q    H 0 0  2      0       Q Q   0 0    i , j 1 / 2    i , j 1 / 2   Q0  Q  H 0  H 2.t .m    H 0 0  2 0 Q0     H 0   2  Q0      i 1 / 2, j   i 1 / 2, j 1  H

 

2

(2.8)

0

 Q  Q  H  H        .Qk     H 0 k  2  .Q     H 0 k  2        k    Q Q   0 0    i , j 1/ 2    i , j 1/ 2   Qk H 0   Q H  2. t .m    H 0 k  2 0 Qk     H 0   2  Qk      i 1/ 2, j   i 1/ 2, j 1  H    2i Qk ..  f k , k  1,2,  Q0

 

m 2. 1  Q0   cD .PS Q0   1 2. .Q0  QS   1   1  m0 1  2. .Q0  2  QS     Q0

  

1 2

Q 1   0  QS

  

 1 2

    1 1  2   Q0     QS

   1   1  2     1  

   1   1   2   1  

2

m Q0

(2.9)

(2.10)

kde

2.  Q0  m0  cD .PS .   1  QS

1

 2. Q  1   0   QS

 1

Q  2  pro  0  QS 

  2          1

2

 1 

,

9

Návrh aerostatických ložisek

Q   2  m  0 pro  0     Q0  QS     1  f 1  



2

 1 

 Q0   cos   Q0   Q    0        2    i , j 1 / 2    i , j 1 / 2      i 1 / 2, j   



 sin Q0 i , j 1, 2  Q0 i , j 1, 2  f 2  



   Q     0         i 1 / 2, j   

 Q0      Q  sin    Q0    Q   0     0            2    i 1 / 2, j   i 1 / 2, j     i , j 1 / 2   i , j 1 / 2  



 cos  Q0 i , j 1, 2  Q0 i , j 1, 2 

Jestliže vyjádříme derivace Q v rovnici (2.9) pomocí standardních diferenčních vztahů, obdržíme     1 1 1  Qk i 1, j 1  1  1 2  1 2 Qk i 1, j 1  1  1 2  1 2 Qk i 1, j 1    2 2  8       8       8        1 1 1  Qk i 1, j 1  1  3 2  1 2  2    2 2  8       4       H i , j  

 1 3 1 2   2 2  4      H i , j 

  H   2 Q i , j 1       Q 0  i , j 1 / 2  



1 3 1 4    2 2 4       H i , j

  H    Qk i 1, j     i 1 / 2, j 



1 3 1 4    2 2 4       H i , j

  H    Qk i 1, j     i 1 / 2, j 

  H   2 Qk    i , j 1     Q 0  i , j 1 / 2  

m  2 t  3  1  2H   Q0 1  1   2 H         2     2 2  2   2       H i , j    i , j    i , j    H i , j 1   H 

 

 2i



 Qk i , j  f k , k  1,2  H i , j Q0

Rovnici (2.11) lze maticově zapsat jako B jq j1  A j q j  C jq j1  rj

  Qk i , j  2   

(2.11)

(2.12)

kde qj-1, qj, qj+1 … komplexní sloupcové vektory závisle proměnné, Aj, Bj, Cj … komplexní čtvercové matice koeficientů, rj … sloupcový vektor pravé strany. Výše uvedené vektory a matice jsou řádu m, což je počet bodů sítě ve směru osy ložiska. Okrajové podmínky jsou následující: 1) Na okraji ložiska (pro =l/D) je tlak ve filmu roven tlaku v okolí: P= 1, Q=H2 Q 0 2) Rozložení tlaku je symetrické kolem střední roviny ložiska: pro =0 je 

10

Návrh aerostatických ložisek 3) Rozložení tlaku po obvodu ložiska je periodické: Q(0,)=Q(2,) S použitím vztahu (2.6) lze okrajové podmínky zapsat jako: sub1) Q1 1, j  H 0 cos ,

Q2 1, j  H 0 sin  , sub 2) Qk m1, j  Qk m1, j , k=1,2 sub 3) Qk i ,0  Qk i ,n , Qk i,1  Qk i,n1 , k=1,2.

(2.13) (2.14)

(2.15)

Pro prvky maticové rovnice dostaneme porovnáním (2.12) a (2.11) a použitím okrajových podmínek vztahy A11=1, A12=0,

 H  1 3 1  1 , i  2, m    Ai ,i 1     2 2 4        H i , j   i 1/ 2, j  H  1 3 1  1 ,   Ai ,i 1     2 2 4        H i , j    i 1/ 2, j Am,m-1=2Ai,i-1, Ai,l=0 pro 1 l i-2, i+2 l m, 3 1 Ai ,i    2   2

i  2, m  1 

m  2 2 2    Q0  H  1  1   H       2     2  2  H        i , j   i, j   i , j     1   H  

 

2

 2i

 



Q 

0 i, j

   ,   

i  2, m 

B1,1=C1,1=0, B1,2=C1,2=0,

1 1 1  Bi ,i 1  Ci ,i 1  Bi ,i 1  Ci ,i 1     , 8   2  2  1 1 1  Bm,m1  Cm,m1    , 4   2  2  Bi,l=Ci,l=0 pro 1 l i-2, i+2 l m, 1 3 1  1 Bi ,i     2 2 4        H i , j 1 3 1  1    2 2 4        H i , j

Ci ,i 

R1 1  H 0 1, j cos 2   1   Q0       2   2  i , j     H 0 1, j sin 

R1 i 

R2 1

1 H i, j

 H     ,     i , j 1/ 2 2 Q0 i , j 1/ 2   H     ,     i , j 1/ 2 2 Q0 i , j 1/ 2 

   2Q0   1  Q0        cos   sin   Q cos      0 i, j 2  2   i , j   i , j   

11

Návrh aerostatických ložisek

    2Q0   1  Q0   1   2Q0      R2 i    sin   cos   Q sin        0 i, j 2  2   2   i , j   i , j  2   i , j       Síly působí na čep je možno rozložit do radiálního a tangenciálního směru (radiální směr má spojnice středů čepu a ložiska), přičemž velikost sil je dána vztahy 1  H i, j

D2 FR   pa 2

l / D 2

  P  1  e  P    P cos.d.d , it

0

0

l / D 2

1 1

0 1 2

0





D2 pa   P0  1  e it  1 P1   01 P2  sin.d.d . 2 0 0 Zavedením matic komplexní tuhosti lze síly FR a FT vyjádřit jako FT 

(2.16)

FR  FR 0  e it Z RR 1  Z RT  01  ,

(2.17) FT  FT 0  eit ZTR1  ZTT  01  . kde Zij=Kij+i Bij … prvky matice komplexní tuhosti, první index značí směr síly, druhý index směr výchylky. Přechodem k bezrozměrným hodnotám Z ij cL Z ij  pa .l.D dostaneme po dosazení do vztahů (2.16)

 Q0 1  Q1  cos.d.d ,  cos  0 0 H 0  Q0 H 0    l / D 2  Q0 D 1  Q2  cos.d.d , Z RT    sin  (2.18)  2.l 0 0 H 0  Q0 H0  l / D 2  Q0 D 1  Q1  sin.d.d , Z TR   cos   2.l 0 0 H 0  Q0 H0  l / D 2  Q0 D 1  Q2  sin.d.d . ZTT   sin   2.l 0 0 H 0  Q0 H0  Dynamické vlastnosti kluzných ložisek jsou obvykle udávány pro souřadný systém (obr. 10), jehož osa x je orientována do směru statického zatížení a osa y je otočena o 90 ve směru otáčení čepu. Transformace matice komplexní tuhosti ze souřadného systému R, T do souřadného systému x, y je popsána vztahem Z xy  T1 Z RT T2 (2.19) Z RR  

D 2.l

l / D 2

 Z xx , Z xy  Z RR , Z RT  kde Z RT   , Z xy   .   Z TR , Z TT  Z yx , Z yy  Výše nastíněné řešení bylo naprogramováno v jazyce Fortran. Původní programy byly v souvislosti s identifikací dynamických vlastností aerostatických ložisek v r. 2009 upgradovány. Programy umožňují výpočet statických a dynamických charakteristik radiálních aerostatických ložisek s vrtanými tryskami,

12

Návrh aerostatických ložisek 2.1.3 Některé výsledky výpočtu aerostatických radiálních ložisek Na následujících obrázcích jsou uvedeny některé výsledky výpočtu získané programem pro aerostatická radiální ložiska, které ilustrují vlastnosti těchto ložisek. Průběh tlaku po obvodu v rovině trysek 2 řady trysek

3,5

n=0 10.000 rpm

bezrozměrný tlak

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0 0

10

20

30

40

50

60

číslo bodu sítě

Obr. 11 Průběh tlaku po obvodu ložiska v rovině trysek Průběh tlaku po šířce ložiska v místě trysek pro n=0

Průběh tlaku po šířce ložiska mezi tryskami

3,5

2,4 2,2

3,0

bezrozměrný tlak

bezrozměrný tlak

2,0 2,5

2,0

1,5

1,8 1,6 1,4 1,2 1,0

1,0 0

10

20

číslo bodu sítě maximum - bod 32

minimum - bod 64

30

0

10

20

30

číslo bodu sítě maximum - bod 27

minimum - bod 61

Obr. 12 Průběh tlaku po šířce ložiska se dvěma řadami trysek

13

Návrh aerostatických ložisek Na obr. 11 a 12jsou uvedeny příklady vypočteného průběhu tlaku v ložisku s 8mi tryskami průměru 0,2 mm po obvodu. Jedná se o ložisko průměru 30 mm, s poměrem L/D=1,5 a radiální vůlí 0,0225 mm. Výpočet byl proveden na síti 15x64 bodů (15 bodů je na polovině šířky ložiska, neboť vzhledem k symetrii se výpočet provádí jen na jedné polovině ložiska) pro bezrozměrný vstupní tlak ps/pa = 4 (poměr vstupního tlaku k tlaku v okolí) a relativní výstřednost čepu 0,5. Na průběhu tlaku po obvodu v obr. 11 je vidět, jak se symetrické rozdělení tlaku deformuje vlivem rotace a vychylování čepu ve směru otáčení. Pozice trysek jsou na průběhu tlaku velmi dobře vidět jako body nespojitosti, mimo rovinu trysek je průběh tlaku hladký. Průběh tlaku po šířce ložiska v místě trysek 2,8

2,4

2,6

2,2 2,0

2,2

bezrozměrný tlak

bezrozměrný tlak

2,4

Průběh tlaku po šířce ložiska mezi tryskami

2,0 1,8 1,6 1,4 1,2

1,8

1,6 1,4 1,2 1,0

1,0 0

10 20 číslo bodu sítě

maximum- bod 24

0

30

10

20

30

číslo bodu sítě

minimum - bod 64

maximum - bod 27

minimum - bod 61

Obr. 13 Průběh tlaku po šířce ložiska s jednou řadou trysek Průběh tlaku napříč ložiskem s jednou řadou trysek ilustruje obr. 13; obr. 12 a 13 dokumentují také rozdíly v tlakových hladinách mezi zatíženou a nezatíženou částí ložiska. Závislost výstřednosti na zatížení

Závislost výstřednosti na zatížení

l/D=1,5, rad. vůle 0,038 mm, 0,2 MPa

l/D=1,5, rad. vůle 0,038 mm, 0,4 MPa

100

140

90 120

80 70

100 80

50

zatížení (N)

zatížení (N)

60

40 30 20

60 40 20

10 0

0 0,0

0,5

1,0

rel. výstřednost (1) měření 0 ot/min

výpočet 0 ot/min,

měření 11.350 ot/min

výpočet 11.350 ot/min

měření 28.400 ot/min

výpočet 28.400 ot/min

0,0

0,5

1,0

rel. výstřednost (1) měření 0 ot/min měření 11.350 ot/min měření 28.400 ot/min měření 48.400 ot/min

výpočet 0 ot/min, výpočet 11.350 ot/min výpočet 28.400 ot/min výpočet 48.400 ot/min

Obr. 14 Srovnání vypočtené a naměřené výstřednosti v závislosti na zatížení a otáčkách 14

Návrh aerostatických ložisek Obr. 14 srovnává vypočtené a naměřené hodnoty relativní výstřednosti čepu (poměr výstřednosti k radiální vůli) v závislosti na zatížení a otáčkách. Je zřejmé, že shoda výpočtu s měřením je velmi dobrá. Vliv vstupního tlaku vzduchu ilustruje rozdíl mezi levým (vstup. tlak 0,2 MPa) a pravým (vstup. tlak 0,4 MPa) diagramem. Závislost tuhosti na otáčkách 2 řady trysek, c=0,0225 mm 1,2E+07 1,0E+07

tuhost (N/m)

8,0E+06 6,0E+06

4,0E+06 2,0E+06 0,0E+00 -2,0E+06 0

5000

10000

15000

20000

25000

otáčky (1/min) Kxx

Kxy

Kyx

Kyy

Obr. 15 Závislost prvků tuhosti aerostatického ložiska na otáčkách Závislost útlumu na otáčkách 2 řady trysek, c=0,0225 mm 2,0E+03 1,5E+03

útlum (N.s/m)

1,0E+03 5,0E+02 0,0E+00 -5,0E+02 -1,0E+03 0

5000

10000

15000

20000

25000

otáčky (1/min) Bxx

Bxy

Byx

Byy

Obr. 16 Závislost prvků útlumu aerostatického ložiska na otáčkách 15

Návrh aerostatických ložisek Obr. 15, resp. 16 ukazují vypočtené závislosti prvků tuhosti, resp. útlumu na otáčkách opět pro ložisko Ø 30 mm, L/D=1,5, se dvěma řadami trysek Ø 0,2 mm při nízkém vstupním tlaku 0,2 MPa a relativně malé hodnotě relativní výstřednosti 0,25. Pro dobře navržená aerostatická ložiska jsou typické malé hodnoty vedlejších prvků tuhosti (Kxy, Kyx), které mají na rotor destabilizující vliv. Hlavní prvky tuhosti Kxx a Kyy, které naopak čep vracejí do stabilní rovnovážné polohy, jsou o více než jeden řád větší. Podobné poměry panují i prvků útlumu, tj. hlavní prvky Bxx a Byy jsou výrazně větší než vedlejší prvky B xy, Byx. Při větším vstupním tlaku by rozdíly mezi hlavnimi a vedlejšími prvky byly ještě větší. Jak je z průběhu prvků tuhosti a útlumu v obr. 15 a 16 zřejmé, vliv rychlosti otáčení je vzhledem k vysokému vstupnímu tlaku vzduchu relativně malý. Vypočtené prvky tuhosti a útlumu jsou nezbytným podkladem pro dynamický výpočet rotoru (vřetene), který určí polohu kritických otáček, amplitudy vynucených kmitů v závislosti na otáčkách a mez stability. Tyto údaje jsou zvlášť důležité u ložisek pracujících s plynem jako procesním médiem, protože tato ložiska mají relativně malý útlum a nemohou proto přejíždět ohybové kritické otáčky rotoru. Vzhledem k malému tlumení dochází při velmi vysokých otáčkách k výskytu nestability rotoru, charakterizované kmitáním v rámci celé ložiskové vůle. Nestabilita má za následek kontakt kluzných ploch rotoru a ložisek, což má za následek velký vývin tepla a následné vymezení vůle, které ve většině případů končí naprostou devastací kluzných ploch. Nebezpečí nestability je proto nutno předpovědět výpočtem a stabilní provoz rotoru potvrdit měřením relativních výchylek rotoru při funkčních zkouškách. Tab. 1 Srovnání prvků tuhosti vypočtených po revizi programu s měřením naměřené

vypočtené

vst. tlak (MPa)

otáčky (min-1 )

bud. fr. / / (Hz) / (1)

Kxx (N/m)

Kyy (N/m)

Kxx (N/m)

Kyy (N/m)

0,2

0

5

9,52E+05

9,65E+05

1,02E+06

1,00E+06

2000

66,7 / 2

9,30E+05

9,79E+05

1,02E+06

1,00E+06

4000

33,3 / 0,5

9,84E+05

9,77E+05

1,02E+06

1,01E+06

0

5

1,42E+06

1,41E+06

1,52E+06

1,51E+06

2000

16,7 / 0,5

1,43E+06

1,44E+06

1,52E+06

1,51E+06

4000

33,3 /0,5

1,44E+06

1,45E+06

1,53E+06

1,51E+06

0,4

Tab. 2 Srovnání prvků útlumu vypočtených po revizi programu s měřením naměřené

vypočtené

vst. tlak (MPa)

otáčky (min-1 )

bud. fr. / / (Hz) / (1)

Bxx (N.s/m)

Byy (N.s/m)

Bxx (N.s/m)

Byy (N.s/m)

0,2

0

5

596

774

485

472

2000

66,7 / 2

777

786

534

519

4000

33,3 / 0,5

401

429

459

446

0

5

1158

1280

462

448

2000

16,7 / 0,5

497

471

399

387

4000

33,3 /0,5

344

444

398

386

0,4

16

Návrh aerostatických ložisek V tabulkách 1 a 2 jsou srovnány vypočtené hodnoty hlavních tuhostí a útlumů s hodnotami naměřenými při identifikacích prováděných v rámci grantového projektu [2] s použitím nadstavby Rotor|Kitu Bently Nevada. Z tabulek je vidět, že shoda u prvků tuhosti je vcelku dobrá, u prvků útlumu je větší rozptyl v naměřených hodnotách. Vedlejší prvky tuhosti a útlumu se vzhledem k jejich velikosti či spíše „malosti“ identifikovat nepodařilo. Nestabilita aerostatických ložisek V této části se nebudeme zabývat nestabilitou rotoru v aerostatických ložiskách, ke které dochází stejně jako u hydrodynamických ložisek v důsledku destabilizujícího vlivu vedlejších prvků tuhostní matice. Jak bylo již uvedeno, čím větší jsou prvky Kxy, Kyx, tím větší je pravděpodobnost vzniku nestability rotoru. Principielně se velikost prvků K xy, Kyx zvětšuje se zmenšující se vůlí a klesajícím vstupním tlakem plynu, protože se zesiluje vliv aerodynamických účinků. Nestabilita rotoru v ložiskách, které mají jako procesní médium plyn, končí velmi rychle havárií, protože plyn nemá mazací schopnost. Vlivem tepla vyvinutého třením dojde k vymezení vůle a rychlému zastavení rotoru doprovázenému značným poškozením kluzných ploch. Případy nestability v aerostatických ložiskách jsou proto zdokumentovány jen velmi zřídka, neboť na záznam není vzhledem ke krátkosti procesu čas. V této partii se budeme zabývat tzv. pneumatickou nestabilitou, nazývanou také „pneumatic hammer“ nebo „air hammer“, podle zvukového doprovodu, které ložisko v tomto režimu vydává. Pneumatická nestabilita vzniká v radiálních i axiálních ložiskách periodickou expanzí a kompresí plynu stlačeného v uzavřeném prostoru, nejčastěji v komůrce, která rozvádí tlak na větší plochu (pravá část obr. 9). Případ pneumatické nestability v axiálním i radiálním ložisku bude dokumentován na uložení silového gyroskopu a jeho precesního rámu - obr. 17.

Obr. 17 Silový gyroskop se vzduchovým uložením Gyroskop 1 je uložen ve dvou radiálních aerodynamických ložiskách s naklápěcími segmenty 2. Vzhledem ke svislé ose rotace je axiální ložisko 3 značně zatížené a musí být proto provedeno jako aerostatické. Precesní rám 4 je uložen ve dvou radiálních aerostatických ložiskách 5, která umožňují jeho naklápění s minimálními pasivními odpory.

17

Návrh aerostatických ložisek Při zkouškách gyroskopu, který je součástí vibroizolačního systému pro stabilizaci lehátka, byla za určitých podmínek zjištěna pneumatická nestabilita axiálního ložiska gyroskopu i radiálního ložiska precesního rámu. Obr. 18 zachycuje pneumatickou nestabilitu v axiálním aerostatickém ložisku.

Obr. 18 Pneumatická nestabilita v axiálním ložisku při otáčkách 2.500 min-1 V obr. 18 jsou shora dolů signály z relativního snímače, snímajícího povrch gyroskopu, a z akcelerometrických snímačů, uchycených na precesním rámu ve vertikálním a horizontálním směru. Ve frekvenčním spektru akcelerometrů (pravý záznam) je zřetelná frekvence 120 Hz, která je nezávislá na frekvenci otáčení a odpovídá frekvenci kmitání disku v axiálním směru jako hmoty na vzduchovém filmu. Při hmotnosti disku cca 3,5 kg odpovídá frekvenci 120 Hz tuhost vzduchového filmu 2.106 N/m, která je blízká vypočtené hodnotě tuhosti axiálního ložiska. V obr. 19 je zachycena nestabilita v radiálních ložiskách precesního rámu, měřená akcelerometry ve všech 3 směrech. Shora dolů jsou uvedena zrychlení ve směrech y (svisle), x (směr precesní osy) a z (kolmo na presesní osu).

Obr. 19 Nestabilita v radiálním ložisku precesního rámu při vstupním tlaku 0,5 MPa Z časových průběhů i frekvenčních spekter je vidět kmitání s konstantní frekvencí, které je nejintenzivnější ve svislém směru, v němž působí statické zatížení. Frekvenční složka 276 Hz, odpovídající frekvenci kmitání rámu v aerostatických radiálních ložiskách, je závislá na vstupním tlaku vzduchu. Z této frekvence a hmotnosti rámu s gyroskopem lze opět dospět k tuhosti vzduchového filmu. Hodnota tuhosti 5,46.10 6 N.m-1, odpovídající frekvenci 260 Hz

18

Návrh aerostatických ložisek a zatížení 1 ložiska 2 kg při vstupním tlaku 0,3 MPa, dobře koresponduje s vypočtenou hodnotou tuhosti 5,46.106 N.m-1. Pro funkci stabilizačního systému je důležité, že při vstupním tlaku vzduchu nižším než 0,35 MPa k výskytu pneumatické nestability nedochází a že tato hodnota tlaku je zcela postačující pro správnou funkci axiálního ložiska gyroskopu i radiálních ložisek precesního rámu. Závěr Aerostatická ložiska se uplatní tam, kde je třeba zajistit oddělení kluzných ploch i bez relativního pohybu kluzných ploch a dosáhnout tak minimálního tření, nebo v případech, kdy je třeba dosáhnout extrémní přesnosti pohybu vřetene. Uvedené přibližné metody výpočtu lze s úspěchem použít jen u pomaluběžných uložení. Pro rychloběžné aplikace je nutno využít výpočetních programů, které poskytují rovněž prvky tuhosti a útlumu plynového filmu, potřebné pro dynamickou analýzu rotoru včetně stability pohybu. Pneumatické nestabilitě, která se při některých režimech může v aerostatických ložiskách vyskytovat, je nutno zabránit správnou konstrukcí ložisek s minimálními objemy plynu v uzavřených prostorách a regulací tlaku plynu na vstupu do ložiska. Reference [1] Grassam, N. S.-Powell, J. W.: Gas lubricated bearings, London Butterworth, 1964 [2] Šimek, J. - Kozánek, J.: Identifikace dynamických vlastností aerostatických ložisek. Část 2: Srovnání naměřených statických a dynamických charakteristik zkušebních ložisek s výpočtem. Popis metodiky řešení a revize výpočetních programů. Technická zpráva TECHLAB č. 08-411, 2008

19