Negyedik epochafüzet

Negyedik epochafüzet Matematika 9. évfolyam

Tulajdonos: .....................................

Tartalom Ismétlés I. ................................................................................................................................... 4 Algebrai kifejezések ............................................................................................................... 4 Egyenletek, egyenlőtlenségek ................................................................................................ 6 Algebrai törtek, szorzattá alakítás .......................................................................................... 8 Törtes egyenletek, egyenlőtlenségek ...................................................................................... 9 Szöveges feladatok ............................................................................................................... 12 Egyszerű szöveges feladatok ............................................................................................ 12 Életkort kiszámító feladatok ............................................................................................. 12 Számjegyes feladatok ....................................................................................................... 13 Út-idő-sebesség számolási feladatok ................................................................................ 13 Munkára vonatkozó szöveges feladatok ........................................................................... 14 Keveréses feladatok .......................................................................................................... 14 Lineáris egyenletrendszerek ..................................................................................................... 15 Ismétlés II. (Nevezetes azonosságok) ....................................................................................... 21 Teljes négyzetté alakítás ....................................................................................................... 24 Másodfokú egyenletek.............................................................................................................. 24 Néhány másodfokú egyenlethez vezető probléma ............................................................... 25 Másodfokú egyenlet megoldó képlete .................................................................................. 26 Hiányos másodfokú egyenletek ............................................................................................ 29 Vegyes feladatok .................................................................................................................. 30 Szöveges feladatok ............................................................................................................... 31 Feladatgyűjtemény ................................................................................................................... 33 Szöveges feladatok ............................................................................................................... 33 Lineáris egyenletrendszerek ................................................................................................. 33 Másodfokú egyenletek.......................................................................................................... 36 Gondolkodtató .......................................................................................................................... 39

Kurzus leírás Fogalmak: nevezetes szorzatok – ( A ± B )2 , ( A + B )( A − B ) –, algebrai tört, másodfokú egyenlet, másodfokú egyenlet megoldó képlete, diszkrimináns, egyenlet gyökei, egyenletrendszer, értelmezési tartomány Összefüggések: algebrai kifejezések: összevonás, bővítés, egyszerűsítés, egyenletrendszer megoldási módszerei, másodfokú egyenlet megoldó képlete, gyökök száma és a diszkrimináns, egyenlet értelmezési tartománya Eljárások: szorzattá alakítás kiemeléssel; szorzattá alakítás nevezetes azonosság alkalmazásával; algebrai törtek összege, különbsége, szorzata, hányadosa; egyenlet értelmezési tartományának meghatározása; algebrai törtes egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása; másodfokú egyenlet megoldása szorzattá alakítással és a megoldó képlettel; grafikusan, hiányos másodfokú egyenletek; diszkrimináns vizsgálat; lineáris egyenletrendszer megoldása grafikus módszerrel, lineáris egyenletrendszer megoldása behelyettesítéssel, egyenlő együtthatók módszerével; új változó bevezetésével, szöveges feladatok megoldása.

Az epocha értékelése Ebben az epochában két részteszt lesz. Természetesen az epocha értékelésében az órai munka is beleszámít. A negyedik az epochazáró. Most otthon nagyon sokat kell majd gyakorolnod, hogy bevésődjenek az eljárások. Így alakul az epocha pontozása: Részteszt: 15%-15% Plusz feladatok (** és gondolkodtató), órai munka: 10%

Epochazáró: 70%

ALGEBRA II.

NEGYEDIK EPOCHAFÜZET

Ismétlés I. Algebrai kifejezések 1.

Rendezd a következő polinomokat a bennük levő a változók szerint csökkenő sorrendben, egyszer az egyik utána a másik szerint. Hányadfokú polinomok? a. ଷ ଶ + 2 ସ − ଶ ଷ + ସ + 5 = b. ଶ − 3 ଷ − ଶ + ଷ − 7 ସ = c. + 2 ଶ − 3 + ହ =

2.

Végezd el A, B és C illetve A és B összevonását! a. = 5ସ + 3ଷ − 2ଶ ଶ − 4ଷ = 3ସ − 8ଷ − 9ଶ ଶ − ଷ = 6ସ + ଷ + 5ଶ ଶ + 9ଷ A+B= A+B+C= b.

= ଺ ସ + ଷ − ସ ଶ ହ

ହ

ଷ

= ଵଶ ସ − ଷ − ସ ଶ ହ

ସ

଻

= ଶ ସ + ସ − ଶ ହ

ହ

A+B= A+B+C= 3.

Írd fel algebrai kifejezésekkel! a. A természetes számok sorozatában egymást követő három szám összegét, ha a legkisebb 2k. b. Egymást követő négy természetes szám közül a legkisebb 2k+1. Mennyi a két középső illetve a két szélső összege? Mennyi a két összeg különbsége? c. Egy háromszög kerülete 5a+b. Egyik oldala a+b, a másik oldala 2a-val kisebb ennél. Mekkora a harmadik oldala? d. Egy négyszög kerülete 5a+b. Egyik oldala b, a másik oldala ettől (b-a)-val nagyobb, a harmadik oldala a másodiknál 3a-val kisebb. Mekkora a negyedik oldal? e. Egy négytagú család életkora 5a+b. Az apuka életkora 2a+b, az anyukáé ettől 2b-vel kevesebb. Hány évesek a gyerekek, ha ikrek? f. Egy háromszög szögeiről a következőket tudjuk, az egyik duplája a másiknak, a harmadik viszont fele az elsőnek. g. Egy szög mellékszöge 150%-a a szögnek. h. A csoportban háromszor annyi ötös született a geometria epochazáróban, mint amennyi kettes, öttel több hármas, mint amennyi kettes, a kettesek száma hárommal kevesebb, mint a hármas.

4


ALGEBRA II.

i. Peti karácsonyig minden nap kap ajándékot december elsejétől kezdve 24-ig, ha első nap 2k darabot kapott és minden nap kettővel többet kap. Összesen, hány db apróságot kapott karácsonyig? 4.

Számítsd ki a helyettesítési értékét ଶ ଶ ଶ 5 − 2 − 3 − (4 + ) ha

a

következő

kifejezésnek

a. = −2 = −1 = 3 b. = 0,25 = 0,5 = 0,75 5.

Végezd el a műveleteket és hozd a legegyszerűbb alakra! a. 3ଶ − − ଶ − = b. 5 − 3 + 2 − + + = c. 3 − 5 − 2 − 1 = d. 5 + 3 + 6 − 2 − − − 9 − 7 + = e. 5ଷ ∙ 3ହ = f. −5ସ ∙ 3ହ = g. −5 ଷ ∙ (−3 ଼ ) = h. ଶ ିହ ∙ ଵ଴ ଻ = ହ

i.

ଶ ௔

ଷ

∙

௔ఱ ସ

=

j.

ଷ௔మ

k.

ଷ௔ ଺௔య

l.

௕

௖ ଵହ ௬ఱ

:

௕య

∙ ଺௔ = ௖మ

=

: − ௬ య = ଷ

m. 2−3 − 2 = n. 3 − 4 = o. − + 2 − ଶ = ଵ

p. 3 ଶ − 5 + ଶ 2 = q. − − − = r. 63 + 4 − 85 − + − 3 = s. − 2 + 3 + + 2 − 3 = 6.

Az előző feladat közül ezek végeredménye

összeg: ................................................................................................................................. szorzat: ................................................................................................................................. egytagú: ............................................................................................................................... többtagú: .............................................................................................................................. Karikázd be azon feladatokat, ahol kellett összevonást elvégezni! Milyen tagokat lehet csak összevonni? 5

ALGEBRA II.


Egyenletek, egyenlőtlenségek Minden egyenlethez, egyenlőtlenséghez hozzátartozik egy alaphalmaz, ebben a halmazban keressük a megoldásokat. Ha a feladat szövege nem adja meg előre az alaphalmazt, akkor az általunk ismert legbővebb számhalmazt, azaz a valós számok halmazát tekintjük annak. Az alaphalmaz azt a legbővebb részhalmazát, amelyen az egyenletben szereplő kifejezések értelmesek, az egyenlet értelmezési tartományának nevezzük. Az egyenlet, egyenlőtlenségek megoldásakor meg kell keresnünk azokat a számokat az értelmezési tartományból, amelyek kielégítik az egyenletet, egyenlőtlenséget. Ezeket a számokat hívjuk az egyenlet, egyenlőtlenség

megoldásainak, vagy az egyenlet,

egyenlőtlenségek gyökeinek és ezek a számok alkotják az egyenlet, egyenlőtlenségek megoldáshalmazát. Az egyenlőtlenségek megoldásait szokás számegyenesen is megadni. Amennyiben nincs olyan szám, amelyik igazzá teszi az egyenletet, egyenlőtlenséget akkor az egyenletnek, egyenlőtlenségnek nincsen megoldása, azaz a megoldáshalmaz az üres halmaz. Egyenlet vagy egyenlőtlenség két oldalán egy-egy polinom áll. Így a két oldalon külön-külön minden művelet elvégezhető, amit az algebrai kifejezéseknél tanultunk a megoldást ezzel érdemes kezdeni. Az egyenlet, egyenlőtlenség megoldása során úgy kell átalakítanunk az egyenletet, hogy egyre egyszerűbb egyenlethez jussunk. Célunk, hogy végül az egyenlet, egyenlőtlenség egyik oldalán csak az ismeretlen álljon, a másik oldalon egy konkrét szám. Ehhez a következő átalakításokat végezhetjük: •

Az egyenlet, egyenlőtlenség mindkét oldalához hozzáadhatjuk, illetve mindkét

oldalából kivonhatjuk ugyanazt a számot. •

Az egyenlet mindkét oldalát szorozhatjuk, illetve oszthatjuk ugyanazzal a nullától

különböző számmal. Az egyenlőtlenségnél a negatív számokkal való szorzás, osztásnál az egyenlőtlenség jel megfordul. •

Ismeretlent tartalmazó kifejezéseket is hozzáadhatunk, illetve kivonhatunk az

egyenlet, egyenlőtlenség mindkét oldalából. •

Ha ismeretlent tartalmazó kifejezéssel szorzunk, akkor hamis gyököket kaphatunk, ha

osztunk, akkor gyököket veszthetünk. Ennek elkerülésére az ismeretlent tartalmazó kifejezésről, ekkor mindig fel kell tételeznünk, hogy nem 0.

6

NEGYEDIK EPOCHAFÜZET 7.

Mely x-ekre igaz az, hogy x −1 a. x − 3 = 4 x −1 x + 3 c. x − 3 = + 4 3 x−2 3− x e. −3> 5 2 5− x 4− x x +5 g. 7 − < − 2 3 6 2 i. 3 x − (3 x + 2 )( x − 1) < 8 + x k.

8.

(x − 2)2 − 2(x + 1)((x − 1) = 3 − x 2

ALGEBRA II. x −1 x − 3 + 4 2 d. 2(x + 1) − 3(x − 2 ) + 5 ≤ 6 − 2(x + 3)

b. x − 3 =

5− x = 4− x 2 2( x − 1) x − 2 6− x h. = 5− − 3 4 2 j. 3(x + 1)(x + 2) − (3x − 4)(x + 2) = 48

f. 7 −

l.

(x + 3)(x + 2) − (x + 1)2 ≤ 5

Oldd meg grafikusan az a. az c. az e. és az l. feladatokat!

7

ALGEBRA II.


Algebrai törtek, szorzattá alakítás 9.

Bővítsd a következő törteket! a. b.

ଶ௔

=

ହ

=

ଵ଴

ଵହ

=

ଶ଴

=

଺௫ మ

=

଺௫ య

=

଺ ௫

=

௫మ

c.

ଶିଷ௔

d.

ହ௫ି௬

଻ ଷ

=

=

ଶଵ

=

ସଶ

=

଺௬

=

଺௬ మ

=

=

Ugye emlékszel? A szorzattá alakítás egyik típusa a kiemelés, ami minden tagban szerepel, kiemeljük szorzótényezőként. 10.

11.

Alakítsd szorzattá kiemeléssel a következő kifejezéseket! a. 5ab + 5ac =

b. 3 xy − 6 xz =

c. 15ax − 10 ay =

d. − 2 xy − 4ay =

e. x 2 + xy =

f. ab − b 2 =

g. a 4 − a 3 =

h. x 3 − x 4 =

i. x k + n − x k =

j. 8a 4 − 12 a 2 =

k. 15 y 3 − 5 y =

l. 3a + 6 =

m. 2a − 8 =

n. a 2 + 2a =

o. 2 a 2 − 6 a =

p. 2 ⋅ (2 − a ) + b ⋅ (2 − a ) =

q. 2 ⋅ (3 − x ) + x ⋅ (3 − x ) =

r. 2 x ⋅ ( x + 5) + 5 ⋅ ( x + 5) =

Egyszerűsítsd a következő törteket! a. b. c. d. e.

ଷ௔௕మ ଺௕

=

ସ௫ିଵ଺ ଼

=

ସ௔௕మ ିଶ௔௖

=

ସ௔௕ ହ௔ ହ௔ିଵ଴

=

଻௔మ ହ௔ି௔మ

=

Ugye emlékszel? A törtes kifejezéseknél, ha a nevezőben változó van, akkor nem mindenhol értelmezhető. Azokat az értékeket, amelyek mellett a nevező nulla lenne, kizárjuk. Az előző feladatban, mely értékek mellett nem értelmezhető melyik tört? 12. 3 8

Írj fel olyan törtes kifejezéseket, amelyek nem értelmezhetőek a következő számokra: ଶ 0 2,5 -0,6 1 és -1 0 és 2 ଷ


ALGEBRA II.

Alakítsd át egyszerűbb alakúra a kifejezéseket! Vizsgáld meg, hogy milyen alaphalmazon lehet értelmezni őket! a.

e. i.

m.

2z 3 + 6z 2b ସ௔ି௔మ ଶ௔ ௖ି௔ ௔ି௖ –௫ା଺

15 x 4 + 10 x 5x 2

b.

f. j.

ଵହ௕ మ ହ௕ య ିଵ଴௕ ௫ାଵ ି௫ିଵ

n.

ଶ௫ିଵଶ

36 x 2 + 24 x + 4 2(3x + 1)

c.

(a + b )2

g.

(2 x − a )(2 x + a )

a+b

2x + a

k.

ଷ௔ି௕ ଺௔ିଶ௕

6 y + 9 xy + 4 + 6 x 8 + 12 x

o.

(a − b )2

d.

h. l.

a−b ଶ(௫ାଷ) ଶሺ௫ାଷሻି௬(௫ାଷ) ௫ି଺ ଶ௫ିଵଶ

x 2 − 12 x + 3 x − 36 p. 2 x − 24

A szorzattá alakítás másik módja, ha csoportosítjuk a tagokat és a kiemelés után egy újabb kiemeléssel alakítjuk szorzattá. A p. és o. feladatoknál ezt kell alkalmazni. 14.

Alakítsd szorzattá csoportosítással! 3a ( x + y ) + x + y =

3b ( x − y ) + x − y =

b ( a + b) − ax − bx =

2 y ( x − y ) − ax + ay =

ax + ay + bx + by =

ax − ay + bx − by =

a 2 + ab + ac + bc =

x3 + 3x 2 + 3x + 9 =

x 2 + xy − 2 x + 2 y =

3ax − 4by − 4ay + 3bx =

5bx − 6 ax − 5by + 6 ay =

10a 2 + 21xy − 14ax − 15ay =

Törtes egyenletek, egyenlőtlenségek 15.

Milyen valós számokra teljesülnek a következő egyenletek? Először mindig a kikötést kell megtenned! 7− x 1 1 x−2 a. b. −5= = x−6 x−6 x − 4 2x − 8 c.

10 − x 15 + 2 x −4= x−7 x−7

d.

4x − 6 3 x − 19 = 9− 5x − 7 5x − 7

e.

3 5 1 + = x (2 x − 1) x 2 x − 1

f.

7 3 11 − = 5 x + 5 10 x + 10 120

g.

18 x + 2 15 x + 1 − =3 x−4 x+5

h.

x + 1 x − 2 3(3 x − 1) − = 2 x−3 x+3 x −9

9

ALGEBRA II. 16.

17.

18.

Döntsd el, hogy jók-e az alábbi megoldások! Húzd alá a hibás lépeseket és írd mellé a lépések jelölését! A hibás megoldások helyett írj jókat! I. eset 16 + 24 = 2 +8 16 24 16 24 + + + = 2 8 8 24 16 + + 2 + 3 = 2 12 19 + 2 + = 2 12 = −19 12 − = 19 II. eset 16 + 24 = 2 +8 16 24 + = 2 8 16 + 3 = 2 19 = 2 19 = 2 III. eset 4− 1 5 + +1= 1+5+ =4− 6+ =4− 2 + 6 = 4 2 = −2 =1 Most nézzünk néhány egyenlőtlenséget, a kikötést itt se felejtsd el, ha kell! A megoldást számegyenesen is ábrázold! 2( + 3) 3 22 − 1 ≥ 31 + >3+ 11 11 23 + 5 < 37 − 4 − 4 1 3 − ≤ 2 + 5 2 − ≤ − 4 2 2 4 5 − 2 1 − 2 + 5 3 + 5 − > ≤ 2 + 5 6 2 3 4 Oldd meg grafikusan a valós számok halmazán! Melyiknél kell kikötés? Hogy jelenik meg ez a grafikonon? −3 5 >0 − + 10 ≤ 5 −2 3 ଶ − 5 < 4 3 − 5 ≥ 10 − 2 4 − 10 <5 2 3 − 4 > 11 2

10


1 >1 1 > −1


ALGEBRA II.

Oldjuk meg a következő egyenlőtlenséget! A megoldáshalmazt ábrázoljuk számegyenesen! 3 − 7 <0 Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a 0-tól különböző valós számok halmaza. Röviden: R \{0}.

Egy tört akkor és csak akkor negatív, ha a számlálója és a nevezője különböző előjelű. I. eset II. eset Ha a számláló pozitív és a nevező negatív. Ha a számláló negatív és a nevező pozitív. 3 − 7 > 0 é < 0 3 − 7 < 0 é > 0 3 > 7 é < 0 3 < 7 é > 0 7 7 > é < 0 < é > 0 3 3 A kettő együtt sohasem teljesül, ebből az A kettő együtt akkor teljesül, ha 0 < < ଻ ଷ esetből nem kapunk megoldást. A feladat megoldása során ekvivalens lépéseket végeztünk, így a két esetet összegezve azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: ≔ 0 < < ଷ vagy ≔ 0; ଷ ଻

19.

଻

A valós számok halmazán oldd meg a következő egyenlőtlenséget! Ne felejtkezz el a kikötésékről! 1 5 <0 ≤2 −2 +7 2 3 ≥0 >3 +5 5− 4 <0 2 − 7 2 − 4 >1 4− 3 + 1 >0 3 2 + 3 >1 2 + 1 5− ≥0 4 + 6 2 − 3 ≤1 7 − 2 2− >0 2 + 3 −4 ≤2 3 + 2 2 − 3 >0 3 + 1 3 − 6 >2 2 − 5

11

ALGEBRA II.


Szöveges feladatok Egyszerű szöveges feladatok 20.

Ha három egymást követő páros szám összegéből levonjuk a köztük levő páratlan számok összegét, 40 marad. Melyek ezek a számok?

21.

Egy háromszögben α szög harmadrésze β-nak, de 30 fokkal nagyobb γ-nál. Mekkorák a háromszög szögei?

22.

Egy kötélnek levágták a negyedrészét és még 2 métert. A maradék 10 méter hosszú. Hány méter volt a kötél?

23.

„Hány óra van?” – kérdezte valaki. „Ha az éjféltől eltelt idő feléhez hozzáadod az éjfélig még hátralevő idő negyedét, akkor a mostani időt kapod!” –ez volt a válasz.

24.

Egy négyzet oldalait 5 cm-rel megnöveltük. Így egy 625 cm2-nel nagyobb területű négyzetet kaptunk. Mekkorák lehettek az eredeti négyzet oldalai?

25.

Egy négyzet egyik oldalát 1 cm-rel növeljük, az erre merőleges oldalát4 cm-rel csökkentjük, akkor a kapott téglalap területe 348 cm2. Mekkora volt a négyzet oldala?

26.

Egy vadaskertben nyulak es fácánok vannak. Az állatoknak összesen 50feje és 140 lába van. Hány nyúl és hány fácán van a vadaskertben?

27.

Egy tört nevezője 5-tel nagyobb a számlálójánál. Ha a számlálóhoz 14-et adunk, a nevezőből 1-et elveszünk, akkor a tört reciprokával egyenlő törtet kapunk. Melyik ez a tört?

Életkort kiszámító feladatok 28.

Zoli 8, apja 38 éves. Hány év múlva lesz az apa életkora a. háromszor b. hatszor akkora, mint a fia életkora?

29.

Mennyi a két ember életkora, ha az teljesül, hogy a. összegük 75, különbségük 26? b. összegük 60, hányadosuk 3? c. különbségük 70, hányadosuk 4? d. arányuk 7:5, különbségük 24?

30.

Két ember életkorának összege 1260 hónap. Ha az egyikhez hozzáadjuk a másik életkor hónapokban számított négyzetet, akkor is 1260 hónapot kapunk. Hány éves a két ember?

31.

Határozzuk meg Bori, Orsi és Ricsi életkorát, ha a következőket állítják: Bori: Éveink számának összege 60. Orsi: 4 évvel vagyok idősebb Borinál. Ricsi: 20 év múlva leszek olyan idős, mint amennyi most Bori és Orsi együtt.

32.

Egy 27 éves apának 3 éves fia van. Hány év múlva lesz az apa háromszor annyi idős, mint a fia?

12


ALGEBRA II.

Számjegyes feladatok 33.

Ha egy kétjegyű szám számjegyeit felcseréljük, akkor feleakkora számot kapunk. Az eredeti szám első számjegye kétszerese az egyesek helyén állónak. Melyik ez a szám?

34.

Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 9. Ha a számjegyeket felcseréljük, akkor az eredeti szám háromszorosánál 9-cel nagyobb számot kapunk. Melyik ez a kétjegyű szám?

35.

Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 9. Ha a számjegyeket felcseréljük, az eredeti szám ötödrészét kapjuk. Melyik ez a szám?

36.

Egy kétjegyű szám tízesek helyén álló számjegye hárommal nagyobb, mint az egyesek helyén állónak. Ha a kétjegyű számhoz hozzáadjuk azt a számot, amelyik számjegyeinek megfordításával keletkezik, akkor 143-at kapunk. Melyik ez a szám?

37.

Egy háromjegyű szám első jegye 4-gyel kisebb, mint az utolsó jegye. Ha a számjegyeit felcseréljük, az eredeti számnál 396-tal kisebb számot kapunk. Melyik ez a szám? (Hány megoldás van?)

Út-idő-sebesség számolási feladatok 38.

Péter 6, Pál 5 óra alatt teszi meg ugyanazt az utat kerékpárral. Pál 3 km/h -val gyorsabb Péternél. Kinek mekkora a sebessége? Rajzolj út-idő grafikont!

39.

Két város közötti távolságot egy gépkocsi 1,5 nap alatt teszi meg. Az első félnap a teljes ଷ ହ ଵ út ଼-át, második félnapon az ଵଶ-ét. A harmadik félnapon 65 km-rel többet a teljes út ଺ részénél. Mekkora a városok közötti távolság?

40.

Egy 36 m/s sebességgel és egy 20 m/s sebességgel haladó test milyen messze lesz egymástól 5 s múlva, ha a. egy irányba b. ellentétes irányba haladnak? c. Hány másodperc múlva lesz a távolságuk 574 m, ha ellentétesen haladnak?

41.

Az A és B turistaház között a távolság 10 km, egyszerre indul el két turista egymással szemben, az A sebessége 4 km/h, a B sebessége 6 km/h. Oldd meg grafikusan, hogy mikor és hol találkoznak?

42.

Egy hajó két végállomása között az utat oda-vissza 4 óra 40 perc alatt teszi meg. A sebessége lefelé menet 16 km/h, felfelé menet 12 km/h. Milyen messze van egymástól a két állomás?

43.

Egymástól 17 km távolságból egyszerre indul el egy 60 km/h sebességgel haladó motorcsónak, és egy 8 km/h átlagsebességű evezős csónak. Mikor és hol találkoznak, ha állóvízen indulnak el egymás felé? Mikor és hol találkoznak, ha egy 4 km/hsebességű folyón haladnak és az evezős halad a sodrás irányában?

44.

Két egyenlő magasságú gyertyát egyszerre gyújtunk meg. Az lila 4 óra a sárga 3 óra alatt ég le. Mikor lesz az egyik kétszerese a másiknak, ha feltételezzük, hogy egyenletesen égnek? Oldd meg grafikusan is!

45.

3 km hosszú villamos vonalon 5 percenként indítják a két végállomásról egyszerre a villamosokat. A villamosok menetideje 10 perc. Az egyik villamossal egy időben a 13

ALGEBRA II.


sínek mellett elindul egy gyalogos, ő 45 perc alatt teszi meg az utat. Hány villamossal találkozik útközben, ami vele szemben illetve vele egy irányba halad? 46.

**Az óra mutatói hat órakor egy egyenesbe esnek, és ellentétes irányba mutatnak. Mikor lesznek legközelebb ilyen helyzetben 6 óra előtt illetve 6 óra után?

47.

**Déli 12 órakor éppen fedik egymást az óra kis és nagy mutatója. Mikor következik be legközelebb ez az állapot 12 óra után?

48.

**A Jupiter bolygó a nap körüli keringési ideje 11,86 év. Mennyi idő telik el, míg a Föld és a Jupiter a legközelebbi helyzetéből indulva a legtávolabb kerülnek egymáshoz?

49.

**Két pont egyenletesen mozog két koncentrikus kör mentén. Ezek sugarainak aránya 1:6. a nagyobb sugarú körön 10s alatt 2 m-rel tesz meg több utat a test és így ötöd annyi fordulatot tesz meg. Mekkora sebességgel mozognak a testek

Munkára vonatkozó szöveges feladatok 50.

Ábel 4 matekpéldát átlagosan 17 perc alatt tud megoldani. Hány példát tud megoldani egy óra alatt? (pontos törtértéket adj meg)

51.

Egy 100 literes kádba két csapon át folyhat a víz. Az elsőből 10, a másodikból 15 liter víz ömlik a kádba percenként. Mennyi idő alatt telik meg az üres kád, ha mindkét csapot egyszerre megnyitjuk?

52.

Egy gyárban két munkás vállalja, hogy együtt 6 nap alatt elkészít egy munkagépet. Külön-külön dolgozva az egyik 10 a másik 15 nap alatt végezne. Tudják-e teljesíteni a vállalásukat?

53.

Egy apa 3,5 óra a fia 6 óra alatt ássa fel a kertjüket. Mennyi idő alatt végeznek, ha egyszerre dolgoznak mind a ketten?

54.

Három brigád külön-külön 5 nap, 4,5 nap és 4 nap alatt ásná fel a gyümölcsöst. Mennyi idő alatt készülnének el, ha egyszerre dolgoznának, de az első brigád csak fele létszámmal venne részt a munkában?

55.

árpád 16 óra alatt csomagolná be egyedül a termékeket, Géza 12 óra alatt. Együtt kezdenek csomagolni, de 5 óra munka után Árpád más feladatot kap. Hány órát kell még Gézának dolgoznia, hogy becsomagolja az összes terméket?

56.

**Egy apa 1 óra 40 perc, egy anya 3 óra 20 perc, a kisfiúk 6 óra 40 perc alatt ássa fel a kertjüket. Mennyi idő alatt végeznek, ha egyszerre dolgoznak mind a hárman?

Keveréses feladatok 57.

90%-os és 70%-os kénsavunk van. Mennyi szükséges ezekből ahhoz, hogy 1 liter 60%-os; 80%-os; 75%-os; 82%-os savat kapjunk?

58.

24 gramm 100%-os savhoz 16 gramm vizet öntöttek. Mennyi vizet kell még hozzáönteni, hogy az oldat 50%-os legyen?

59.

140 g 64 °C-os vízbe 60 g 32 °C-os vizet öntünk. Hány fokos lesz a keverék?

60.

0,5 liter 2%-os ecethez mennyi vízre és ecetre van szükség, ha a boltban csak 10%-os ecetet lehet kapni?

61.

Hány liter vizet kell elpárologtatni 30 liter 30%-os sóoldatból, hogy 50%-os oldatot kapjunk?

14


ALGEBRA II.

Lineáris egyenletrendszerek 62.

Mely pozitív számpárok elégítik ki a következő egyenleteket? a. + = 4 b. 2 + 3 = 5 c. Mely számpárok elégítik ki mind a kettőt?

63.

Katának csupa 10 és 20 Ft-os van a pénztárcájában. Hány 10 Ft-os lehet benne, ha összesen 100 Ft-ja van? Ábrázold grafikusan is, x tengely a 20-asok száma, y tengely a 10-eseké!

64.

Ábrázold az = és az = − ହ + 1 függvények grafikonját közös koordinátarendszerben! Rajzoljuk újra a grafikont! Válasszuk meg úgy az egységet, hogy a metszéspont a rácsponton legyen! Olvassuk le a két grafikon közös pontjának koordinátait!

65.

Keress olyan pontot (pontokat), amelyik illeszkedik az f (x ) = −3 x + 2 és a 2 g ( x ) = x − 1 függvények grafikonjára! Hogyan érdemes megválasztani az egységet? 3

66.

Oldd meg grafikonok segítségével az alábbi egyenletrendszereket! (Válaszd „ügyesen” az egységet!) ଵ a. = , = − ହ + 1000. b. = 3000, = −1000 + 3000.

67.

Oldd meg az alábbi egyenletrendszereket grafikusan! a. = 2 + 1, = − 1. b. = 2 + 1, = . c. = 2 + 1, = + 1. d. = 2 + 1, = + 2. e. = 2 + 1, = + 3. Az alábbi kérdések az = 2 + 1, = + egyenletrendszerre vonatkoznak. f. Írhatunk-e a c helyére valós számot úgy, hogy az egyenletrendszernek ne legyen megoldása? g. Mely c esetén lesz az egyenletrendszer megoldásában x = 10? h. Mely c esetén lesz az egyenletrendszer megoldásában x < 0? i. Mely c esetén lesz az egyenletrendszer megoldásában y > 5

68.

Keresd meg a függvények grafikonjainak metszéspontját, vagy metszéspontjait!

ଵ

3 x −1 2 x −1 b. f (x ) = 3(x − 3) + 2 és g (x ) = 5 − 4 3x + 2 3 c. f ( x ) = 4 − és g (x ) = − x + 1 5 5 4 6 d. f (x ) = 2 x − 3 és g (x ) = x − 2 2 Fogalmazd meg a tapasztalataidat is!

a.

4 f (x ) = − x + 5 3

és

g (x ) =

.................................................................................................................................... .................................................................................................................................... 15

ALGEBRA II. 69.


Milyen x; y-ra igaz, hogy: a.

y = x−2   2 y = 3 x − 9

b.

x =5+ y   8 x + 3 y = 5

c.

2x + y = 8   3x + 4 y = 7

x + 2 y = 4  x − y = 11  Alkalmazd az előző feladatban megszerzett tapasztalatokat! d.

70.

x = 2− y   x = 11 + y 

Az alábbi GRAFIKUS megoldásokhoz írd fel az egyenletrendszereket!

   71.

  

x + y = −12  x− y=4 

b.

x + 3y = 5   x + 8 y = 10

c.

2x + y = 5   3 x + 4 y = 10

x + 2 y = 4  x − y = 11  Oldd meg a következő egyenletrendszereket: d.

16

  

Fejezd ki az egyik egyenletből valamelyik ismeretlent (nem muszáj az y-t, mint a grafikus megoldásnál), és az így kapott kifejezést HELYETTESÍTSD BE a másik egyenletbe, így keresd az alábbi egyenletrendszerek megoldását! a.

72.

e.

3x − 4 y = 0   2 x + 3 y = 20

e.

4 + 3 = 1 a. 3 + 2 = 2

4x + 3y = 7 b. 3x + 2y = 2

4x + 3y = 5 c. 3x + 2y = 2

4x + 3y = 28 d. 3x + 2y = 2

4x + 3y = 19 e. 3x + 2y = 2

f.

4x + 3y = 21 3x + 2y = 2


ALGEBRA II.

Oldd meg a következő egyenletrendszert az halmazon! 3 + = 2 − 2 − = 7 +

74.

75.

76.

77.

A következő egyenletrendszereknél add össze, vagy vond ki egymásból a két egyenletet, hogy a kapott egyenletben már csak egy ismeretlen szerepeljen! Ha kell, szorozd meg az egyenleteket egy alkalmas számmal, hogy valamelyik változó EGYÜTTHATÓJA EGYENLŐ, vagy ellentettje legyen egymásnak a két egyenletben! a.

3x − 7 y = 1   3 x + 6 y = −1

b.

x + 3y = 9   2 x + 3 y = 12

c.

x − 2 y = 12   3 x + 2 y = 9

d.

6x + 8 y = 7   3 x + 12 y = 4

e.

3x + y = 3   6 x + 3 y = 4

f.

4 x − 3 y = 3  x − 2y = 2 

Oldd meg az egyenlő együtthatók módszerével a következő egyenletrendszereket a.

x + y = −12  x− y=4 

b.

x + 3y = 5   x + 8 y = 10

d.

3x − 4 y = 0   2 x + 3 y = 20

e.

x + 2 y = 4  x − y = 11 

c.

2x + y = 5   3 x + 4 y = 10

A következő egyenletrendszerekben, lehet, hogy egyszerűbb alakra jutsz, ha ÚJ ISMERETLENEKET vezetsz be. Próbáld megoldani ezzel a módszerrel a következő egyenletrendszereket!

a.

2( x + y ) + 4( x − y ) = 3   3( x + y ) + 6( x − y ) = 4,5

d.

6 + x 3 − x

7  = 27  y   7 = −15  y

b.

5(3 x + 5 y ) − 9(6 x + 5 y ) = −5   2( 3 x + 5 y ) + 4( 6 x + 5 y ) = −2 

e.

4 3  + = 7 x −2 y −5   1 2 + = 8  x −2 y −5

c.

4 25  + = 7 x y   8 15 − =1   x y

**Nézzünk egy kicsit bonyolultabbakat! 2 3  − =5  x − 2 y 3x + 2 y   9 6 + = −3  5(3 x + 2 y ) 5( x − 2 y )

5 2  − = 10  3x − 2 5 y + 1   3 3 + = 1,8  3x − 2 5 y + 1

4 3  + = 7 x−4 y −5   1 2 + = 8  x−4 5− y

17

ALGEBRA II.


Foglald össze a tapasztalatokat: Az egyenletrendszerek megoldási módszerei: 1: Grafikus ........................................................................................................................... ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. 2:Behelyettesítés .................................................................................................................. ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. 3:Egyenlő együtthatók ......................................................................................................... ............................................................................................................................................. ............................................................................................................................................. 4.: Új ismeretlen .................................................................................................................. ............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................

78.

79.

A következő egyenletrendszerek megoldásánál gyakorold a különböző eljárásokat! Mielőtt hozzáfogsz, gondold át, hogy milyen módszert érdemes alkalmazni! a.

2 x + y = 11  3x − y = 9 

d.

4 x + 3 y = −4   6 x + 5 y = −7 

b.

x − 3y = 4   5 x + 3 y = −1

c.

7 x − 3 y = 15   5 x + 6 y = 27 

Mely x,y-ra igazak?

a.

c.

2x + 1 y − 2  − = −0,1  5 4  x + 2 5y − 7 + = 3  3 2  3x − 2 y 5 x − 3 y  + = x + 1  5 3  2x − 3y 4x − 3y + = y + 1 3 2 

b.

x − 3 y 5x + y  − = 16  2 3  x − 3y  x + y + 12 =  8

d.

(x + 3)( y + 5) = (x + 1)( y + 8)  (2 x − 3)(5 y + 7 ) = 2(5 x − 6)( y + 1)

80.

Űrlények két faja érkezett a földre. Az egyik fajnak 3 feje és 7 lába, a másiknak 2 feje és egy lába van. Összesen 46 fejük és 89 lábuk van. Hány űrlény érkezett az egyes fajokból?

81.

Oldd meg a következő egyenletrendszert behelyettesítő módszerrel! x + 5y = 7   x − 3 y = −1

18


ALGEBRA II.

Oldd meg a következő egyenletrendszert behelyettesítő módszerrel! x + 3y = 9   3 x − 5 y = −22

83.

84. 85.

Oldd meg a következő egyenletrendszert az egyenlő együtthatók módszerével! 5x + 3 y = 2   4 x + 7 y = 20 Ádám négy évvel ezelőtt háromszor annyi idős volt, mint Dávid. Öt év múlva pedig kétszer annyi idős lesz. Hány évesek most? Oldd meg a következő egyenletrendszert az egyenlő együtthatók módszerével! 6 x + 8 y = −9   5 x − 9 y = 16 

86.

A piacon valaki 4 kg krumplit és 3 kg hagymát vásárolt 440 Ft-ért. A sorban mögötte álló 5 kg hagymáért és 2 kg krumpliért 500 Ft-ot fizetett. Mennyibe kerül ennél a zöldségesnél a krumpli és a hagyma?

87.

Brigi kétféle (kék és fekete) tollból 17 darabot vásárolt a boltban 2185 Ft értékben. A kék tollak 125 Ft, a fekete tollak 135 Ft-ba kerülnek. Hány darabot vett Brigi a kék illetve a fekete tollakból?

88.

Az állatkert két elefántja Fáni és Fáncsi. Fáni 24 évvel korábban született, és így négyszer annyi idős, mint Fáncsi. Hány évesek az elefántok?

89.

Egy anya 21 évvel idősebb a gyermekénél. 3 év múlva 4-szer annyi idős lesz, mint gyermeke. Mennyi idős az anya és a gyermeke most?

90.

Az ókorból maradt ránk az alábbi feladat (a hagyomány szerint Eukleidész görög matematikustól származik): „A ló és az öszvér egymás mellett mentek, hátukon zsákokkal, mikor a ló panaszkodni kezdett nehéz terhére. Erre az öszvér azt mondta: – Ha egy zsákot átveszek a hátadról, akkor az én csomagom kétszer nehezebb lesz, mint a tied. Ha azonban te vennél át egy zsákot az én hátamról, akkor a te csomagod még mindig csak olyan nehéz lenne, mint az enyém. Hány (egyenlő nehéz) zsákot vitt a ló és az öszvér?”

91.

Egy kertben csirkék és nyulak vannak. A fejek száma összesen 23, a lábaik száma 66. Nyúl vagy csirke van több a kertben?

92.

Egy kollégiumban 2-, illetve 3-ágyas szobák vannak, összesen 72. Melyikből hány darab van, ha a férőhelyek száma 176?

93.

Melyik az a két szám, amelyekre teljesül, hogy egyrészt a nagyobbik 20%-a 12-vel 5 több, mint a kisebbik része; másrészt a nagyobbik szám kétszerese éppen 280-nal 6 nagyobb a kisebbik szám háromszorosánál?

94.

Két szám összege 34,44. Ha az első számot tízzel elosztjuk, akkor a második kétszeresét kapjuk. Melyik ez a két szám? 19

ALGEBRA II.


95.

***Határozd meg azt a kétjegyű számot, amelyik 7-tel nagyobb, mint a számjegyei összegének a kétszerese!

96.

*** Egy szigeten 400 lakosra jut egy kutya. A kutyák száma évente 4%-kal növekszik, a lakosok száma évente 12%-kal csökken. Két év múlva hány lakosra jut egy kutya?

97.

*** Három szám közül a középső ugyanannyival nagyobb a legkisebbnél, mint a legnagyobb a középsőnél. A két kisebb szám szorzata 85, a két nagyobbé 115. Melyek ezek a számok?

98.

*** Egy háromszög oldalainak hossza 23 cm, 19 cm és 16 cm. Rajzoljunk köröket a háromszög mindhárom csúcsa körül úgy, hogy ezek a körök páronként érintsék egymást. Mekkorák a körök sugarai?

99.

*** Babiloni ékírásos cseréptáblán maradt fenn az alábbi feladat Kr. E. 2000 körüli időkből. (A feladatot átírtuk mai mértékegységekre): „Az egyik területről 2 1 négyzetméterenként kg búzát arattam. A másik földem minden négyzetméterén kg 3 2 búza termett. A két terület terméshozama között a különbség 500 kg. A két földterület összesen 1800 m2. Hány négyzetméter a két földem külön-külön?”

20


ALGEBRA II.

Ismétlés II. (Nevezetes azonosságok) 100. Végezd el a következő műveleteket! a. (6a − 5b )2 =

b. (10a + 2b )2 =

c. (8 x + 3 y ) =

d. 7x 2 + 3 =

e. (a − 9b ) =

f.

(

2

2

2

1  5 g.  a + b  = 3  7 101. Végezd el a következő műveleteket!

(4a

)

2

2

− 5b 3

)

2

= 2

3  7 h.  x 2 − y 4  = 8  3

a. (7 x − 6 y )(7 x + 6 y ) =

b. (3a + 5b )(3a − 5b ) =

1  1  c.  x − 7  x + 7  = 5  5 

d. x 2 − 6a x 2 + 6a =

(

(

)(

)

(

)(

)

)(

)

e. 1,2 x 3 − 9 y 2 1,2 x 3 + 9 y 2 =

f. 8 x 2 y − 3 xy 2 8 x 2 y + 3 xy 2 =

11  1 g.  a + b (0,5a − 5,5b ) = 2  2

2  6   h. 1,2 x 2 − y 2  x 2 + 0,4 y 2  = 5  5  

102. A zárójelek felbontása után hozd a lehető legegyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a. (4 x − y )(4 x + y ) + (2 x − y )2 − (5 x + 2 y )(5 x − 2 y ) = b. (3a − 1)2 − (2a + 3)(2a − 3) + (a + 2)2 = c. (4 x + 3)(4 x − 3) − (3x + 2)2 + ( x − 7 )2 = d. (5 x + 4)2 − (3x − 4)2 − (2 x + 3)(2 x − 3) = e. ( x − 5)2 − (2 x + 5)(2 x − 5) + (3x + 1)2 − (2 x − 1)2 = 2

2

2  2  5  5  f.  a + 3  −  a − 1 +  a − 4  a + 4  = 3  3  3  3 

g. (4b − 5)2 + 3(4 − b )(4 + b ) − (2b + 4)2 − (4b − 3)2 =

21

ALGEBRA II.


h. 2(5 x + 1)2 − 3(4 x − 1)(4 x + 1) − 2(x − 4)2 − (3x + 2 )2 =

2

2

1  1  1 1     i.  2 y − x  2 y + x  +  x − y  −  x + y  = 2  2  2 2    

103. Alakítsd át egyszerűbb alakúra a kifejezéseket! Vizsgáld meg, hogy milyen alaphalmazon lehet értelmezni őket! a.

2z 3 + 6z 2b

a 2 + 2ab + b 2 e. a+b i.

a2 − b2 a −b

16 x 2 + 16 x + 4 m. 2(2 x + 1)

15 x 4 + 10 x 5x 2

c.

x 2 − 2x + 1 f. x +1

g.

b.

(a + b )2 a+b

(2 x − a )(2 x + a ) 2x + a

d.

(a − b )2 a−b

a2 − b2 h. a+b

16 x 2 − 25 y 2 4x + 5 y

k.

6a 2 − 6ab + b 2 3a − b

l.

16 x 2 − 8 xy + y 2 4x − y

36 x 2 + 24 x + 4 n. 2(3x + 1)

o.

6 y + 9 xy + 4 + 6 x 8 + 12 x

p.

x 2 − 12 x + 3 x − 36 2 x − 24

j.

104. Úgy egészítsd ki, hogy azonosság legyen! a. x 2 − 6 x....... = ( x − 3) 2

b. 8 x + 16....... = ( x + 4) 2

c. 12 x 2 + 36....... = 3( 2 x + 3) 2

d. 4 x 2 ....... = ( 2 x − 5)(2 x + 5)

e. − 3 x 2 − 10....... = (3 x − 2 )(5 − x )

f. 30 x....... = 6 x ( x + 5)

105. Egészítsd ki a következő kifejezéseket úgy, hogy egy kéttagú kifejezés négyzetével legyenek egyenlők! a. 4d 2 − 4cd + ...... = ( c. 25 x 2 + 10 xy + ...... = ( e.

16 2 24 x + xy + ...... = ( 25 5

)2

b. 9a 2 − 6ab + ...... = (

)2

g. 9 x 2 + ........... + 25a 2 = (

)2

i. 4 x 2 + ........... + 15a 4 = (

)2

k.

36 2 b + ........... + 121a 2 = ( 49

m. 49 + ............ + .......... = (......... + x ) 22

1 2 2 a + ab + ...... = ( 9 3 25 2 10 f. a + ab + ...... = ( 49 21 9 2 1 2 h. x + ........... + a =( 16 49 25 6 2 j. x y + ........... + 9a 2 = ( 16

d.

)2

)2 2

)2

)2 )2 )2 )2

l. 36 − .............. + ............. = (..............2 y )

n.

y2 2 + ............ + .......... = (......... + 3a ) 9

2


ALGEBRA II.

106. Úgy egészítsd ki, hogy az egyenlőségjel után valamelyik algebrai kifejezés négyzete álljon! 4 2 b. y + 8 y + ....... = a. y 2 + 25....... = 9 c. 9 y 2 + 25 z 2 ....... =

d. 16 y 2 − 24 y....... =

Emlékeztető Az előző feladatokban három nevezetes azonosságot használtál, ezek: I. (A + B )2 = A 2 + 2AB + B 2 II. III. 107. Alakítsd szorzattá kifejezéseket!

a

(A − B )2 = A 2 − 2AB + B 2 (A − B )(A + B ) = A 2 − B 2

nevezetes

azonosságok

felhasználásával

a. 64 x 2 − 48 x + 9 =

b. 121 + 88 x + 16 x 2 =

c. 9a 2 − 49b 2 =

d.

e. 49 a 4 + 28 a 2 b + 4b 2 =

f. 16 a 4 − 1 =

g. 36 a 6 + 25b 4 − 60 a 3 b 2 =

h.

a

következő

4 2 a − b2 = 9

9 2 4 4 x − xy + y 2 = 49 7 9

108. Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! a. x 4 y 2 − (x − y )

b. (a + 2b ) − (c + 3d )

2

c. (1 + x ) − ( y − z ) 2

2

2

e. 25(a − b )2 − 16

d. 4( x + y )2 − z 2 f.

4 (x − y )2 − 81 9

g.

16 (a + b )2 − 25 49

h. 4(a − b )2 − (a + b )2

i.

(3a − 2b )2 − (a + b )2

j.

k. (x − 2 y )2 − 4(x + y )2

2

(b + 5c )2 − 9(b − c )2

l. 16(x − y )2 − 25(x + y )2

m. 4(3x + 5 y )2 − 16(2 x − y )2

23

ALGEBRA II.


Teljes négyzetté alakítás 109. Úgy egészítsd ki, hogy azonosságot kapjál! a. a 2 + 4a − 1 = ( a + 2) 2 + / −

b. x 2 − 10 x + 20 = ( x − 5) 2 + / −

c. b 2 + 7b + 3 = (b + 3,5) 2 + / −

d. y 2 − 8 y + 13 = ( y − 4) 2 + / −

110. Úgy írd át a következő algebrai kifejezéseket, hogy az egyenlőségjel után valamelyik kifejezés négyzete és egy + / − szám álljon! (Teljes négyzetté alakítás.) a. a 2 − 6 a + 3 =

b. x 2 + 4 x − 2 =

c. u 2 + 5u − 1 =

d. 4 y 2 − 12 y + 5 =

Másodfokú egyenletek Emlékezz és jegyezd meg! a -nak nevezzük azt a nem negatív számot, amelynek a négyzete a. 111. Milyen x-re igaz? a. x 2 = 9

b. 3 x 2 = 48

c. 2 x 2 − 5 = 27

d. ( x − 2) 2 = 4

e. (2 x + 3) 2 = 16

f. (5 x − 1) 2 − 2 = 23

g. 2(3 x + 2) 2 = 8

h. 3( x − 3) 2 − 5 = 22

i.

j.

x 2 = 12

l.

( x − 3) 2 − 11 = 4

(10 x 2 − 7 x + 2) 2 + 11 = 3

k. ( x + 1) 2 = 15

112. Mely x-re igazak a következő egyenletek? Alakítsd át úgy, hogy az egyik oldalon egy teljes négyzet és +/- egy szám álljon, a másik oldalon nulla! Ábrázold grafikusan! Mit kell leolvasni, hogy az egyenlet gyökét kapd?

24

a. ( x + 2) 2 − 1 = 8

b. x 2 + 6 x − 7 = 0

c. x 2 + 10 x − 39 = 0

d. x 2 − 12 x + 32 = 0

e. x 2 − 12 x + 20 = 0

f.

g. 2 x 2 − 12 x + 16 = 0

h. x 2 + 10 + 23 = 0

i.

j.

3 x 2 + 12 x + 9 = 0

x 2 + 8 x + 18 = 0

x 2 − 12 x + 18 = 0


ALGEBRA II.

Néhány másodfokú egyenlethez vezető probléma 113. Próbáld meg felírni az egyenleteket és megoldani a teljes négyzetté alakítás módszerével, vagy grafikusan, vagy próbálkozva! a. Gondoltam egy számra. Négyzetre emeltem, hozzáadtam az eredeti szám tízszeresét és így 459-et kaptam. Mire gondoltam? b. Szabadesésénél a leeső tárgy 10 m/s2 gyorsulással mozog. Hány másodperc alatt esik ଵ le egy 300 m magas toronyház tetejéről a cserép? (‫ ݐ݃ = ݏ‬ଶ ) ଶ

c. Egy négyzet alakú asztal vendéglapját, ami 45 cm széles felhajtjuk. Így egy 1,575 m2 területű téglalapot kapunk. Mekkora a négyzet oldala? d. Két szomszédos szám szorzatából az összegüket kivonva 701-et kapunk. Mely számokra igaz ez? Sok esetben a szöveges feladatokból felírható egyenletek másodfokúra vezetnek, ez azt jelenti, hogy az ismeretlen fokszáma kettő lesz. Az egyenletet rendezhetjük, hogy az egyik oldalára fokszám szerint csökkenő sorrendben a tagokat, így egy összeg lesz itt, a másik oldalára pedig nulla kerül. Megoldásként azon számokat keressük, amik kielégítik az egyenletet. Az előző példákból látható, hogy sokszor a másodfokú egyenletnek két megoldása van. Sokszor a másik megoldást a szöveg kizárja. Írd be az a, b és c betűket, hogy a másodfokú egyenlet általános alakját kapjuk!

...x 2 + ...x + ... = 0

Milyen számokat jelölhetnek az egyes betűk, hogy a másodfokú egyenlet általános alakját a∈ c∈ kapjuk? b∈ 114. Olvasd le a megfelelő értékeket az egyenletekből! a. 5 x 2 + 7 x + 2 = 0

a=

b=

c=

b. x 2 − 6 x + 8 = 0

a=

b=

c=

c. 4 − 6 x + 3 x 2 = 0 (Vigyázz!!)

a=

b=

c=

d. x 2 + x = 12 (Át kell rendezni!)

a=

b=

c=

e. 8 x 2 = 16 x − 9

a=

b=

c=

f. 6 + ‫ ݔ(ݔ‬+ 4) = 0

a=

b=

c=

g. (‫ ݔ‬+ 3)(‫ ݔ‬+ 4) = 8

a=

b=

c=

h. ‫ ݔ(ݔ‬+ 1) − 2‫ ݔ = ݔ‬+ 3

a=

b=

c=

25

ALGEBRA II.


Másodfokú egyenlet megoldó képlete 115. Találjuk ki a másodfokú egyenlet megoldó képletét! Könnyebben megy a feladat, ha egyszerre oldunk meg egy konkrét feladatot, és mellette az általános egyenlettel is elvégezzük ugyan azon lépéseket! A konkrét egyenlet:

A paraméteres egyenlet: ax 2 + bx + c = 0 , ahol a ,b , c ∈ R és a ≠ 0

3 x 2 + 12 x − 36 = 0

1. lépés: végigosztom az egyenletet 3-mal

végigosztom az egyenletet a-val

x 2 + 4 x − 12 = 0

x2 +

b c x+ =0 a a

2. lépés:

(x + 2 )2 − (2)2 − 12 = 0 3. lépés:

( x + 2 )2

= 16

x + 2 = ±4 vagyis x1,2 =

x1,2 = −2 ± 4 tehát

x1 = −2 + 4 = 2

x1 =

x2 = −2 − 4 = −6

x2 =

Írd le a másodfokú egyenlet megoldó képletét!

x1, 2 = A megoldó képletben a gyök alatti kifejezést diszkriminánsnak hívjuk, jele a nagy D.

D= Ha a diszkrimináns negatív nem értelmezhető a gyökjel miatt, így az egyenletnek nincs megoldása. Ha a diszkrimináns nulla, akkor ebből gyököt vonva is nullát kapunk, így az egyenletnek egy megoldása lesz.

‫=ݔ‬

Ha a diszkrimináns pozitív, akkor ez két számnak is lehet a négyzete, ezt fejezi ki a gyökjel előtti +/- , így az egyenletnek két megoldása lesz.

26


ALGEBRA II.

116. Helyettesítsd be a megoldó képletbe a 159. feladat egyenleteinek paramétereit! Add meg az egyenletek megoldását! (Végezd el az ellenőrzést is!) a. x1, 2 =

x1 =

x2 =

x1 =

x2 =

x1 =

x2 =

x1 =

x2 =

x1 =

x2 =

x1 =

x2 =

Ell:

b. x1, 2 = Ell:

c. x1, 2 = Ell:

d. x1, 2 = Ell:

e. x1, 2 = Ell: f.

x1, 2 =

Ell:

27

ALGEBRA II.


117. Gyakorolj! Oldd meg a másodfokú egyenleteket a megoldó képlet segítségével! A füzetbe dolgozz! (Ellenőrizd a megoldásaidat!) Utána alakítsd át teljes négyzetté és grafikusan is ábrázold! a. x 2 − 13 x + 40 = 0

b. x 2 + 9 x + 29 = 9

c. 32 x 2 = 4 x + 3

d. 6 x 2 + 2 x = 11

118. Az egyenletek kiszámolása nélkül mondd meg, hogy hány megoldása van az egyenleteknek a. ଶ + 6 + 16 = 0 c. ଶ − 6 + 16 = 0

b. ଶ + 6 − 16 = 0 d. ଶ − 6 − 16 = 0

119. Grafikusan oldd meg az egyenleteket! a. ଶ − 1 = 0

b. ଶ + 1 = 0

c. ( − 2)ଶ − 1 = 0

d. ଶ + 4 = 0

e. ଶ − 4 = 0

f. ( + 1)ଶ + 2 = 0

g. ( + 1)ଶ − 1 = 0

h. ଶ + 2 = 0

i. − ଶ + = 0

j. ଶ − 2 = 0

120. Írj fel olyan másodfokú egyenleteket, amelynek a gyökei a.

(5;8) b.

(-4;-5)

c.

5

d.

121. **Milyennek válaszuk k∈ értékét, hogy a. ଶ − 7 + = 0

egyenlet egyik gyöke -2

b. ଶ + − 15 = 0

egyenlet egyik gyöke 5

c. 5 ଶ − 19 + = 0

egyenlet egyik gyöke 3

d. ଶ − 7 − 2 = 0

≠ 0 és egyik gyöke -0,1

122. **Határozzuk meg c-t úgy, hogy a 4 ଶ − 8 + = 0 egyenletnek a. két egyenlő gyöke legyen b. két pozitív gyöke legyen c. egy pozitív és egy negatív gyöke legyen d. 0 az egyik gyöke legyen e. ne legyen valós gyöke

28

∅


ALGEBRA II.

Hiányos másodfokú egyenletek 123. A hiányos másodfokú egyenleteket nem a megoldó képlettel szoktuk megoldani. Nézd át a kidolgozott mintát, majd oldd meg a feladatokat! I. Ha az egyenletben nincs első fokú (x-es) tag, b = 0. (Általános alakja: ax 2 + c = 0 ) Minta: 3 x 2 − 12 = 0 /+ 12 3 x 2 = 12 / : 3

tehát x1 = 2 , x2 = −2

x2 = 4

Feladatok: e. 125 − 5 x 2 = 0

f. 2 x 2 − 8 = 0

g. 3 x 2 − 5 = 7

h. 2 x 2 − 6 = 0

i.

j. 7 x 2 + 5 = 0

32 − 8 x 2 = 0

l. 5 ଶ − 125 = 0

k. 5 ଶ + 125 = 0

II. Ha az egyenletben nincs nulladfokú („számos”) tag, c = 0. (Általános alakja: ax 2 + bx = 0 ) Minta: 3 x 2 = 12 x 3 x 2 − 12 x = 0

/ nullára rendezés

/ kiemelés

3 x( x − 4 ) = 0 Egy szorzat csak akkor lehet 0, ha egyik tényezője 0, tehát x1 = 0 , x2 = 4 Feladatok: a. 5 x 2 + 20 x = 0

b. 2 x 2 = 3 x

c. 3 x 2 − 15 x = 0

d. 7 x 2 + 10 x = −31x

e. 5 ଶ + 125 = 0

f. 5 ଶ − 125 = 0

29

ALGEBRA II.


Vegyes feladatok 124. Oldd meg az alábbi egyenleteket, majd feladatonként a gyököket növekvő sorrendbe írd be a lenti táblázatba! Ha növekvő sorrendbe teszed az összes gyököt, kiolvashatod a megoldást! a.

b.

x 2 + 4 x − 21 = 0

c.

x 2 − 10 x + 24 = 0

d. 2 x 2 − 13 x − 7 = 0

e.

2 x 2 − 7 x = 15

f.

3 x 2 − 20 = −7 x

g.

h. 2 x 2 − 3 = 2 x − x 2 + 5

x 2 + 7 x + 10 = 0

3 x − 5 = −2 x 2

G

S

Ü

O

L

Á

S

L

E

T

Y

Á

E

Z

N

M

125. Itt már vegyesen jönnek a másodfokú egyenletek. Légy ügyes, hogyan egyszerűbb megoldanod?Karikázd be, azokat, amelyeknek nincs megoldása! a. ଶ = 16

b. ( + 2)ଶ = 25

c. ଶ − 3 = 0

d. ( − 2)ଶ + 1 = 82

e. 3 ଶ − 27 = 0

f. 6 ଶ + 17 = 0

g. 2 ଶ = 24

h. ଶ + 10 = 2 ଶ + 1

i. 21 = ( + 2)ଶ + 36

j. ( + 1) + ( + 3) = 0

k. 2 ଶ + 18 = 9

l. ( − 1)ଶ = 121

m. ଶ − 5 + 6 = 0

n. + 13 = 0

126. Oldd meg az alábbi egyenleteket majd a gyökeiket add össze. Az így kapott összegeket párosítsd a táblázatban szereplő betűkkel az összeg. Ha a betűket egymás mellé írod a feladat sorrendjében a megoldás__________________________________ ! a. ଶ − 6 = 0

b. ( − 5)ଶ = 64

c. ଶ − 25 = 0

d. 2( − 3)ଶ = 32

e. 2 ଶ − 8 = 10

f. 5 ଶ = 20

g. ( − 5)ଶ − 9 = 0

h. 3,84 ଶ = 9,6

i. 0,25 ଶ = 2,25

j. 3 ଶ + 5 = 0

k. ଶ + 10 + 25 = 0

l. 3,2 = 20 ଶ

m. ଶ + 9 = 6

30

M

L

A

H

I

S

Z

G

-10

-ଷ

ହ

0

2,5

3

4

6

10


ALGEBRA II.

127. Gyakorolj! Mely x-ekre igaz, hogy a. c. e.

(x + 2)(x − 3) = 4 x − 10 x (x − 7 ) 12 x x − 8 + 6 ,4 = − 2 5 2 x+4 x −1 = x x+5

b.

(x − 3)2 + (x + 4 )2 − (x − 5)2

d.

4x − 5 = x+4 x−2

f.

2 ( x + 1) x+

3

=

= 18 x + 24

4 − 3 x ( x + 2 )( x − 3) − 2 2

128. Gyakorold a másodfokú egyenlet megoldását! a. x(x − 2) = 2 x + 6

b.

(3x − 1)(x + 2) − 4 x(x − 3) = 7 x + 10

c.

(x + 5)2 + (x − 2)2 + (x − 7 )(x + 17 ) = 11x + 30

d.

2 x − 5 5x − 3 = x − 1 3x + 5

e.

(x − 12)2

f.

x(x − 7 ) 11x x − 4 −1 = − 3 10 3

6

2

−

x x( x − 9 ) ( x − 14 ) + = +5 9 18 2

g.

5 x − 1 3x − 1 2 + = + x −1 9 5 x

h.

2x + 1 3 x+4 + = x+ 2 2x − 1 14

i.

2x + 5 x −1 = 2x x+5

j.

3x 2 = −1 2 4x − 1 2x − 1

l.

7 x + 4 3 x 2 − 38 − = 2 x + 1 2 − 2x x −1

k. 4 −

x − 1 2(x − 7 ) x + 11 = − 2 x +1 x +1 x −1

Szöveges feladatok 129. Két egymás után következő természetes szám szorzata 552. Melyik ez a két szám? 130. Egy ballagó osztályban mindenki megajándékozta minden osztálytársát a saját fényképével. Mennyi volt az osztálylétszám, ha 1056 fénykép cserélt gazdást? 131. Bontsuk fel a 240-et két olyan tényezőre, amelyek összege 31! 132. Egy tört számlálója 2-vel kisebb, mint a nevezője. Ha ehhez a törthöz hozzáadjuk a 34 reciprok értékét, akkor -öt kapunk. Melyik ez a törtszám? 15 133. Egy tört nevezője 4-gyel nagyobb a számlálójánál. Ha a számlálót 3-mal csökkentjük és a nevezőt ugyanannyival növeljük, a törté értéke felére csökken. Melyik ez a tört? 134. Hány oldalú sokszögnek van annyi átlója, mint ahány oldala? 135. Egy téglalap területe 192 cm2, kerülete 56 cm. Mekkorák a téglalap oldalai? 136. Egy téglalap kerülete 42 cm, átlója 15 cm. Mekkorák az oldalai? 31

ALGEBRA II.


137. Egy derékszögű háromszög egyik befogója háromszor akkora, mint a másik, a területe pedig 7,5 cm2. Mekkorák a háromszög oldalai? 138. Két szám szorzata 143, különbségük 2. Melyik ez a két szám? 139. Az ábrán egy téglalap alakú parkot és a szélén körbe vezető sétautat látjuk. A park oldalai 30 m és 50 m. A körbe vezető sétaút szélessége mindenütt ugyanannyi. Mekkora legyen a sétaút szélessége, ha a beültetett kert a teljes park területének 80%-a? 140. Három egymást követő pozitív egész szám négyzetének összege 75-tel nagyobb, mint a legkisebb és legnagyobb szám szorzata. Melyek ezek a számok? 141. Egy derékszögű háromszög területe 120 cm2. A háromszög köré írható körének a sugara 13 cm. Mekkorák a háromszög oldalai? 142. Az ábrán egy olyan kertet látunk, melynek alakja: két négyzet egymás mellé helyezve az ábrán látható módon. A kert területe 2500 m2. A bekerítéséhez összesen 220 m kerítésre volt szükség. Mekkorák az egyes négyzetek oldalai? 143. ** Egy kétjegyű szám számjegyeinek az összege 9. Ha a számjegyeket felcseréljük és az így kapott számot az eredetivel megszorozzuk, szorzatul 2268-at kapunk. Melyik ez a szám? 144. ** Két munkás együtt dolgozva 8 óra alatt tud befejezni egy munkát. Mennyi idő alatt lenne készen egyedül ezzel a munkával az első, illetve a második munkás, ha az utóbbinak 12 órával több időre lenne szüksége, mint az elsőnek? 145. ** Két folyóparti város távolsága 240 km. Ezt az utat a menetrend szerinti hajó odavissza 25 óra alatt teszi meg. Mekkora sebességgel haladna ez a hajó állóvízben, ha a folyó 4 km/h sebességgel folyik? 146. **Két szám összege 26. Hogyan válasszuk meg ezt a két számot, hogy szorzatuk a lehető legnagyobb legyen? Írd fel függvénnyel és ábrázold! 147. **Egy alkalommal elutaztunk Budapestről a 720 km távolságra levő Münchenbe. Visszafelé az utat 15 km/h-val nagyobb sebességgel tettük meg, és így 1 órával rövidebb idő alatt tettük meg az utat, mint odafelé. Mekkora volt az odafelé úton a sebességünk?

32


ALGEBRA II.

Feladatgyűjtemény Szöveges feladatok F1

Egy árkot Pista 3 óra alatt, Józsi 2 óra alatt ássa ki egyedül. Mennyi idő alatt végeznek, ha együtt dolgoznak?

F2

A tengervíz 5% sót tartalmaz oldott állapotban. Mennyi édesvizet kell 40 liter tengervízhez önteni, hogy a keverékben 2% só legyen?

F3

A tej tömegének 7,3%-a tejszín. A tejszín tömegének 72%-a vaj. Hány kg tejből készíthető 5 kg vaj?

F4

Egy hordóba 2 csapon engedhetjük a sört, az egyeken keresztül 4 óra alatt, a másikon 6 óra alatt lenne teli a hordó. A palackozóhoz vivő csövön keresztül 12 óra alatt ürül ki a hordó. Mikor lesz teli a hordó, ha mind három csapot megnyitjuk?

F5

32%-os és 48%-os szilvapálinkát összekevertünk. A keverékem 80 liter 39%-os pálinka lett. Hány litert használtunk fel a 32 ill. 48%-os pálinkából?

F6

15 liter 18% és 28 liter 32%-os sósavoldatot összekeverünk. Hány %-os lett a keverék?

F7

Lili most hatszor olyan idős, mint Matyi. Egy év múlva már csak 8/3 lesz kettejük korának aránya. Melyikük hány éves most?

F8

Gondoltam egy számot. Ha a szám 3-szorosából kivontunk 5-öt, a különbséget osztjuk 4-gyel és a hányadoshoz hozzáadjuk a gondolt szám kétszeresét, akkor 18-at kapunk. Melyik számra gondoltunk?

F9

András 9m-t Béla 11m-t tud átlagosan korcsolyázni egy másodperc alatt. Egy verseny alkalmával Béla Andrásnak 100m előnyt adott. Hány másodperc alatt éri utol Béla Andrást?

F10 A Mikulás mogyorót rejteget a zsebében. Annyit elárult, hogy a két zsebében együtt 44 db mogyoró van, és ha a bal zsebéből áttesz 12 db-ot a jobba, akkor mind a két zsebében ugyanannyi mogyoró lesz. Hány darab mogyoró van a bal, illetve a jobb zsebében?

Lineáris egyenletrendszerek F11 Ábrázold közös koordinátarendszerben az y = −2 x + 1 és az y = 3 x + 6 függvények y = −2 x + 1 grafikonját! Olvasd le az  egyenletrendszer megoldását! A leolvasott y = 3x + 6  értékek helyességét ellenőrizd, mindkét egyenletbe való visszahelyettesítéssel!

33

ALGEBRA II.


F12 Oldd meg grafikusan az egyenletrendszereket! 3  y = − x + 4 b. c. a.  2 y = x − 1  1 2  x − y = 0 y + 5x = 7  4x − 3 y = 4 3 d. e. f. * 2    3 1 y − 3 x = −1 x − 2 y = −4 x − y = 5 2 3  F13 Oldd meg a következő egyenleteket az egyenlő együtthatók vagy a behelyettesítés módszerével!

y = 2x + 6   y = −2 x − 2 

5x + 3 y = 2  6 x + 5 y = 27  c.   4 x + 7 y = 20 3 x − 7 y = −15 x y 1 x +1  − =  2( x + y ) + 4( x − y ) = 3  =5  2 3 6 d. f. * y+2  e. x y 1   3( x + y ) + 6( x − y ) = 4,5 − =  3(2 x − 5) − 4(4 y + 4) = 5 5 2 10  F14 Két testvér a bérletpénztárnál jegyet vásárol. Az egyik 2 vonaljegyért és egy átszállójegyért 630 Ft-ot, a másik 6 vonaljegyért és 4 átszállójegyért 2180 Ft-ot fizet. Mennyibe kerül egy vonaljegy és egy átszállójegy? a.

x + 3y = 9   3 x − 5 y = −22

1  x − 2  2 y = 2 x + 4 

y=

b.

F15 Ádám négy évvel ezelőtt háromszor annyi idős volt, mint Dávid. Öt év múlva pedig kétszer annyi idős lesz. Hány évesek most? F16 A piacon valaki 4 kg krumplit és 3 kg hagymát vásárolt 440 Ft-ért. A sorban mögötte álló 5 kg hagymáért és 2 kg krumpliért 500 Ft-ot fizetett. Mennyibe kerül ennél a zöldségesnél a krumpli és a hagyma? F17 Brigi kétféle (kék és fekete) tollból 17 darabot vásárolt a boltban 2185 Ft értékben. A kéktollak 125 Ft, a fekete tollak 135 Ft-ba kerülnek. Hány darabot vett Brigi a kék illetve a feketetollakból? F18 Az állatkert két elefántja Fáni és Fáncsi. Fáni 24 évvel korábban született, és így négyszer annyi idős, mint Fáncsi. Hány évesek az elefántok? F19 Egy anya 21 évvel idősebb a gyermekénél. 3 év múlva 4-szer annyi idős lesz, mint gyermeke. Mennyi idős az anya és a gyermeke most? F20 *** Egy háromszög oldalainak hossza 23 cm, 19 cm és 16 cm. Rajzoljunk köröket a háromszög mindhárom csúcsa körül úgy, hogy ezek a körök páronként érintsék egymást. Mekkorák a körök sugarai? F21 *** Három szám közül a középső ugyanannyival nagyobb a legkisebbnél, mint a legnagyobb a középsőnél. A két kisebb szám szorzata 85, a két nagyobbé 115. Melyek ezek a számok? F22 Egy szám 50-nel nagyobb egy másiknál. A két szám összegét 3-mal megszorozva pedig 210-et kapunk. Melyik ez a két szám? F23 Két testvér együtt 32 éves, a korkülönbség köztük 2 év. Melyikmennyi idős?

34


ALGEBRA II.

F24 Egy gép lefestéséhez 7 doboz festék kell. Ha 3 doboz sárga és 4 doboz kék festéket veszünk, az 7840 Ft-ba kerül, ha 4 doboz sárgát és 3 kéket veszünk, az 8050 Ft-ba kerül. Mennyibe kerül egy-egy doboz festék? F25 Hány kilogramm 25%-os és 65%-os sóoldatot kell összekeverni, hogy 110 kilogramm 37%-os oldatot kapjunk? F26 Egy előadóteremben egy csoport tanuló szeretne helyet foglalni. Ha minden asztalhoz csak 8 tanuló ülhetne, akkor kilencüknek nem jutna hely. Ha minden asztalnál 10 ülőhely volna, akkor pedig 15 hely üresen maradna. Hány asztal van az előadóban, és hány személyből áll a csoport? F27 Azt mondja egy apa a fiának: 3 évvel ezelőtt én 9-szer olyan idős voltam, mint te, viszont 6 év múlva 12-szer annyi éves leszek, mint te voltál 3 évvel ezelőtt. Hány éves most az apa és a fia? F28 3300 Ft-ért kétfajta konzervet akarunk vásárolni. Az egyik fajta darabja 180 Ft, a másiké 100 Ft. Árleszállítás folytán az első árát 30%-kal a másodikét 20%-kal csökkentik, így 1830 Ft-tal kevesebbet költöttünk. Hány konzervet vettünk az egyes fajtákból? F29 Két természetes szám összege 256. Ha a nagyobbikat elosztjuk a kisebbikkel, akkor hányadosul 8-at, maradékul pedig 13-at kapunk. Melyek ezek a számok? F30 Melyik az a szám, amelyiket ha 7-tel osztunk, 2 marad, ha pedig 15-tel, a maradék 6 lesz? Tudjuk továbbá, hogy az eső hányados úgy aránylik a másodikhoz, mint 7:3. F31 Egy hajó a Tiszaalsó és Bodrogfelső közti 990 km-es távot a folyón felfelé 3 óra 12 perc alatt teszi meg. Másnapra a hóolvadás miatt a folyó megárad, és kétszer akkora sebességgel folyik, így a hajó 2 óra alatt ér vissza. Mekkora a hajó sebessége állóvízben, és mekkora a folyó (eredeti) sebessége? F32 Oldd meg a következő egyenletrendszereket! g.

3x − y = 4   3 y − 5 x = 5

h.

i.

x + 2y = 4   3,5 x − 7 = −3,5 y 

j.

3  y=9  4  x 2y 1 − = 2 3 3 

l.

x+

k.

x+3 y −5 1  − =  2 3 6  m.  x+3 y −5 1  + =  5 2 10  12 x + 16 y + 1 = 0  o.  315 x + 20 y + 10 = 0

2 x + y = −0,5  5 y + 3x = 3  3 x − 2 y = 8  2 x + y = 10 x y 1  − = 2 3 6   x y 1 + = 5 2 10 

n.

4 x + 3 y = 6  2x + y = 4 

p.

21x − 9 y + 3 = 0   4 x − 5 y + 17 = 0

35

ALGEBRA II.


q.

2( x + y ) + 4( x − y ) = 3   3( x + y ) + 6( x − y ) = 4,5

r.

s.

2x + 1 2 − y  + = −0,1  5 4  x + 2 5y − 7 + =3   3 2

t.

5(3 x + 5 y ) − 9(6 x + 5 y ) = −5   2(3 x + 5 y ) + 4(6 x + 5 y ) = −2 2 x − 3 y 3x − 3 y  + = y + 1  3 2  3x − 2 y 5x − 3 y + = x + 1  5 3

Másodfokú egyenletek F33 A következő másodfokú kifejezéseket egészítsd ki teljes négyzetté! a.

x 2 + 12 x + 14

d. 49 y 2 − 70 y + 10

b.

x2 − 8x + 5

c.

x2 + 5x − 7

e.

16 x 2 − 16 x + 1

f.

25 x 2 + 20 x − 5

F34 Oldd meg a következő egyenleteket! Használd a megoldó képletet! a. 5 x 2 + 7 x + 2 = 0 b. 5 x 2 − 26 x − 24 = 0 c. 2 x 2 − 3 x + 8 = 0 d. 3 x 2 − 8 x + 4 = 0 e. 8 x 2 − 16 x + 9 = 0 f. 16 x 2 − 16 x + 3 = 0 g. (2 x + 2)(x − 1) = 5 x + 6 h. x(2 x + 3) = −12 x − 6 i. 8 x( x + 2) + 3( x + 1) + 1 = 0 j. (1 + 2 x )(3 − x ) + x 2 = 9 F35 Oldd meg a következő egyenleteket! a.

x−2 x+3 − =2 x+3 x−2

d. 8 x( x + 2) + 3( x + 1) + 1 =

b.

1 2 2 − = x − 2 3(3 x − 7 ) x

e.

(1 + 2 x )(3 − x ) + x 2 = 9

c.

6 1 + =3 x −1 x −1 2

F36 Oldd meg a következő egyenleteket! Ellenőrizz! a.

36

x 5 3 x 2 − 10 x + = 6 6 15

b.

7 ,2 y + 8,3 59 ,76 = 7 ,2 51,84 − y


ALGEBRA II. 2

2 x 2 − 3 x (3 x − 1) ( x + 3) = − 2 5 5

c.

x2 − 7x 11x x − 4 −1 = − 3 10 3

d. 1 −

e.

2 + x2 − x 1 1 = (5 x − 1) + (3 x − 1) x 9 5

f.

3,4 x + 2,7 x − 2,7 = x − 3,4 x + 3,4

g.

1 1 4(1 + x ) 6 + = − 2 2 x x x x

h.

2 x −2= x +1 x −1

i.

1 2 2 − = x − 2 3(3 x − 7 ) x

j.

6 1 + =3 x −1 x −1

k.

2(3 x + 4 ) x − 2 x + 2 − = x+2 x−2 x2 − 4

l.

x+4 x−4 64 + = 2 x − 4 x + 4 x − 16

2

m.

6 2

4x − 1

+

2

2

3 2 − =1 2x + 1 2x − 1

F37 Két egymás utáni páratlan szám szorzata 3599. Add meg a két számot! (Lehetnek negatív számok is!) F38 Egy téglalap alakú kert hosszabb oldala a rövidebb kétszeresénél 5 méterrel nagyobb. A kert területe 348 m2. a. Milyen hosszú a két oldal? b. Hány méternyi kerítésre lesz szükség a bekerítésre, ha egy 3 m-es kapu helyét kihagyják? F39 Egy derékszögű háromszög egyik befogója 4 cm-rel hosszabb, mint a másik, területe pedig 6 cm2. a. Mekkora a két befogó? b. Számítsd ki az átfogót és a háromszög kerületét is! F40 Két szomszédos pozitív számot összeszorozva a szorzat 729-cel lesz nagyobb a két szám közül a kisebbiknél. Melyik volt a két szám? F41 Egy társaság karácsonyi partit rendezett. Mindenki apró meglepetéssel készült a társaság többi tagja számára. Összesen 272 ajándék cserélt gazdát. Hányan voltak a partin? F42 Van-e olyan konvex sokszög, melynek 90 átlója van? F43 Egy négyzet egyik oldalát 6cm-rel megnöveljük, a másikat ugyanennyivel csökkentjük, így egy 64 cm2 területű téglalapot kapunk. Mekkora volt az eredeti négyzet oldala, és területe? F44 Egy téglalap egyik oldala 23 cm-rel hosszabb a másiknál. Átlója 37 cm. a. Mekkorák az oldalai? b. Számítsd ki a kerületét és a területét!

37

ALGEBRA II.


F45 Három egymást követő természetes szám négyzetének összege 1730. Melyik ez a három szám? F46 Bonts fel a 240-et két olyan pozitív egész szám szorzatára, melyeknek az összege 31! F47 Egy négyzet egyik oldalát 3 cm-rel megnöveljük, a másik oldalát ugyanennyivel csökkentjük. Az így kapott téglalap területe 72 cm2. Mekkora volt a négyzet oldala? F48 Két egymást követő pozitív szám szorzata 1406. Melyik ez a két szám? F49 Két egymás után következő pozitív páratlan szám szorzata 6083. Melyik ez a két szám? F50 Egy 873 m2 területű téglalap alakú kert bekerítésére 116 m hosszú drótra van szükség. Mekkorák a kert oldalai? F51 Egy derékszögű háromszögben az átfogó 2 cm-rel hosszabb az egyik befogónál. Kerülete 40 cm. Mekkorák az oldalai? F52 Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 9. Ha felcseréljük a számjegyeket és az így kapott számot az eredeteivel megszorozzuk, akkor 1944-et kapunk eredményül. Melyik ez a kétjegyű szám? F53 Két csap együtt a medencét 8 óra alatt töltené meg. Az egyik csapból a medence 12 órával kevesebb idő alatt tölthető meg, mint a másikból. Mennyi idő alatt töltené meg a medencét a két csap külön-külön? F54 Két gyalogos egyszerre indul A-ból B-be. Az első, aki óránként 2 km-rel többet tesz meg, mint a másik, éppen egy órával hamarabb ér céljához. Hány kilométert tesznek meg óránként, ha B A-tól 24 km-re van?

38


ALGEBRA II.

Gondolkodtató 1. 1. RHIND 79. feladat: Ha van 7 ház, minden házban 7 macska, minden macska megeszik 7 egeret, minden egér megeszik 7 kalászt, és minden kalászban 7 mag van. Hány mag menekül meg? 2. Szenkereh mellett talált agyagtáblán: Kivontam a négyzet oldalát a területéből és így 14, 30-at kaptam. Mekkora a négyzet oldala: 3. Egy osztályban az osztálylétszám 28 fő. Év végén matematikából senki nem bukott meg, hárman kaptak 2-es osztályzatot. Igazoljuk, hogy volt legalább 9 tanuló, akik ugyanolyan osztályzatot kaptak! 4. Nagymamánál a kamrában elromlott a világítás. A polcon van 3 üveg körte, 5 üveg alma és 11 üveg meggybefőtt. a. Hány üveg befőttet kell kihoznunk a sötétből, hogy a kihozottak között legyen mindhárom fajtából? b. Hány üveg befőttet kell kihoznunk a sötétből, hogy a kihozottak között legyen két egyforma befőtt? 5. Egy osztályban van három olyan diák, akik ugyanabban a hónapban ünneplik a születésnapjukat. Mit mondhatunk az osztálylétszámról? 6. Egy konvex hatszög minden oldalát és minden átlóját kiszíneztük pirosra vagy kékre. Igazoljuk, hogy ekkor lesz a rajzunkon olyan háromszög, melynek minden oldala azonos színű! 7. Egy matematikaverseny első 7 helyezettjét megjutalmazták. A 7 nyertes között volt 4 ﬁú és 3 lány. A jutalomátadást követően egy csoportkép készült róluk, melyhez a diákokat sorba állították. Hányféleképpen állhattak sorba a gyerekek, ha a fotós azt akarta, hogy a 3 lány középen és 2-2 ﬁú a két szélen álljon? 8. Adott 100 láda mindegyikben 1000db 2grammos 1 forintos, kivéve egyet, amiben 1grammosak az 1 forintosok. Legkevesebb hány mérésből tudjuk eldönteni, hogy melyik ládában vannak a selejtes egy forintosok, ha minden láda ugyanúgy néz ki, és csak egy egykarú mérlegünk van. 9. A gazdag tevekereskedő mielőtt meghalt magához hívta 3 fiát és elmondta nekik, hogy rájuk hagyja N db tevéjét. A tevék K-ad részét a legidősebb, L-ed részét a középső és Med részét pedig a legkisebb fia kapja. A kereskedő halála után a fiúk bajban voltak, mert az N szám K, L, M egyikével sem volt osztható. Szerencsére éppen egy tevekaraván haladt át a falun és a legkisebb fiúnak támadt egy ötlete. Kölcsönkért egy tevét a karavánból. Így az N+1 tevét el tudták osztani egymás között a végakaratnak megfelelően és még maradt is 1 teve, amit visszaadtak a tulajdonosának. Milyen K, L, M, N számokra teljesíthető a fenti felosztás? ( K < L < M < N pozitív egész számok!) 10. Az ABC egyenlő szárú háromszög AB alapon fekvő szögei 80 fokosak. A-ból az alappal 60 fokos szöget bezáró egyenes a BC szárat E pontban, B-ből az alappal 70 fokos szöget bezáró egyenes az AC szárat D pontban metszi. Mekkora az EDB szög? 11. A folyó egyik partján áll 3 kannibál és 3 fehérember. Egy kétszemélyes csónakjuk van, és úgy kell átkelniük a folyón, hogy egyik parton sem lehetnek többségben a kannibálok, mert akkor megeszik a fehérembereket. A csónakban ülő partot érő emberek már parton lévőnek számítanak. Milyen sorrendben keljenek át, hogy senkit se egyenek meg a kannibálok? 39

Negyedik epochafüzet

Recommend Documents