1 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/ Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika...
Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.
Ročník
1.
Datum tvorby
10. 1. 2013
Anotace
1) pro žáky jako text látky, do kterého si mohou po vytisknutí psát poznámky podle výkladu učitele (nezdržují se opisováním pouček a mohou se soustředit na výklad) 2) pro učitele k promítnutí na tabuli a názornému výkladu 3) pro žáky, kteří chyběli (nemusí si látku opisovat od spolužáků) 4) základní učivo je na boku zvýrazněno dvojitou modrou čárou
OPERACE S MNOHOČLENY Sčítání a odčítání mnohočlenů Mnohočleny sčítáme (odčítáme) tak, že sečteme (odečteme) členy, které mají stejný základ i mocnitel. Př.
(5x3 – 3x2 + x – 2) + (x2 + 5) = 5x3 – 2x2 + x + 3
Př.
(x2y – 3xy2) + (8x2y + xy2) = 9x2y – 2xy2
Př.
(3x2 – x + 8) – (x – 1) = 3x2 – x + 8 – x + 1 = 3x² – 2x + 9 odečtení mnohočlenu je přičtení mnohočlenu opačného
Násobení mnohočlenů Mnohočleny násobíme tak, že každý člen jednoho mnohočlenu násobíme každým členem druhého mnohočlenu (a pak popř. sečteme). Př.
← mnohočlen nižšího stupně než dělitel ( lomíme ho x3 dělitelem 2 a připíšeme k výsledku). x 1
x2 + 1 ≠ 0 platí pro všechna x R.
Poznámka:
V tomto příkladu vidíme, že podíl mnohočlenů nemusí být vždy mnohočlen. Výraz 2x2 – 3 +
x3 není mnohočlen. x2 1
Umocňování mnohočlenů Dvojčleny (binomy) umocňujeme podle binomických vzorů. Obecný binomický vzorec pro (a ± b)n, kde n N, udává binomická věta (bude probíráno v oddíle Kombinatorika). Pro (a ± b)2 , (a ± b)3 si pamatujeme tyto vzorce: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 Př.
vytýkáním před závorku užitím vzorců kombinací vytýkání a vzorců
a)
vytýkáním před závorku: Př.
6a – 3 = 3 (2a – 1) x + xy = x (1 + y) 2z2 + 4z – 2zy = 2z (z + 2 – y)
Př.
Při vytýkání (–1) se změní všechna znaménka v závorce a před závorkou píšeme místo –1 jen znaménko – – x2 + 2x – 1 = – (x2 – 2x + 1) = – (x – 1)2
Př.
Vytýkání můžeme několikrát opakovat z různých skupin členů (tzv. částečné vytýkání), popř. si mnohočlen před vytýkáním vhodně opravit: 2y2 – 3y + 1 = 2y2 – 2y – y + 1 = 2y ( y – 1) – (y – 1) = (y – 1) . (2y – 1)
Př. Poznámka:
y – 2x + 2yx – 1 = y – 1 + 2x (–1 + y) = y – 1 + 2x (y – 1) = (y – 1) (1 + 2x) Zkoušku správnosti můžeme provést zpětným roznásobením.
b)
užitím vzorců:
Př.
c)
a2 – b2 = (a + b) (a – b) a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2) a2 + 2ab + b2 = (a + b) 2 a2 – 2ab + b2 = (a – b) 2 a3 + 3a2b + 3ab2 + b3= (a + b) 3 a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b) 3 a2 + b2 nelze v množině R rozložit
Poznámka: Na další stránce si procvičíme často používané učivo „Rozklad kvadratického trojčlenu“ a „Doplnění kvadratického trojčlenu na druhou mocninu dvojčlenu“ a užití.
Rozklad kvadratického trojčlenu na tzv. součin kořenových činitelů: ax2 + bx + c . . . . . . je kvadratický trojčlen x1 , x2 . . . . . . . . . jsou kořeny (nulové body) tohoto trojčlenu Rozklad tohoto trojčlenu na součin tzv. kořenových činitelů: ax2 + bx + c = a (x – x1) (x – x2) x2 + px + q = (x – x1) (x – x2) = x2 – (x1 + x2) x + x1x2
resp.
–p = x1 + x2 q = x1. x2
kde
Př.
a ≠0 b c p= ; q= a a
Viètovy vzorce
x2 – 3x + 2 = (x – 1).(x – 2) p = –3 q=2
3 = x1 + x2 2 = x1 . x2
x1 = 1 x2 = 2
Kořeny x1, x2 se snažíme vypočítat zpaměti podle Viètových vzorců. Zkoušku správnosti můžeme provést roznásobením (zpaměti). Př.
Doplnění kvadratického trojčlenu na druhou mocninu dvojčlenu se někdy nazývá doplnění kvadratického trojčlenu na „úplný čtverec“. Přičte se takové číslo, aby s kvadratickým a lineárním členem dalo druhou mocninu dvojčlenu - užívá se při tom vzorec (a – b)2. Od absolutního členu se pak toto číslo musí odečíst (aby se hodnota kvadratického trojčlenu nezměnila). Př.
Doplňte kvadratický člen na druhou mocninu dvojčlenu (hodnota trojčlenu musí vždy zůstat stejná): x2 – 4x + 7 = (x2 – 4x + 4) + 7 – 4 = (x – 2)2 + 3 a2 – 2ab + b2 (a – b) 2
Užití mnohočlenu pro umocňování čísel končících cifrou 5 (zpaměti) Čísla, končící cifrou 5 lze zapsat ve tvaru 10x + 5, kde x N0. Tento dvojčlen pak umocníme na druhou a dostaneme vzorec, podle kterého můžeme čísla končící 5 umocňovat na druhou zpaměti : (10x + 5)2 = 100x2 + 100x + 25 = 100 x (x + 1) + 25 Př.
