Číslo projektu
CZ.1.07/1.5.00/34.0743
Název školy
Moravské gymnázium Brno s.r.o.
Autor
Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková
Tematická oblast
Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.
Ročník
1.
Datum tvorby
10. 1. 2013
Anotace
1) pro žáky jako text látky, do kterého si mohou po vytisknutí psát poznámky podle výkladu učitele (nezdržují se opisováním pouček a mohou se soustředit na výklad) 2) pro učitele k promítnutí na tabuli a názornému výkladu 3) pro žáky, kteří chyběli (nemusí si látku opisovat od spolužáků) 4) základní učivo je na boku zvýrazněno dvojitou modrou čárou
OPERACE S MNOHOČLENY Sčítání a odčítání mnohočlenů Mnohočleny sčítáme (odčítáme) tak, že sečteme (odečteme) členy, které mají stejný základ i mocnitel. Př.
(5x3 – 3x2 + x – 2) + (x2 + 5) = 5x3 – 2x2 + x + 3
Př.
(x2y – 3xy2) + (8x2y + xy2) = 9x2y – 2xy2
Př.
(3x2 – x + 8) – (x – 1) = 3x2 – x + 8 – x + 1 = 3x² – 2x + 9 odečtení mnohočlenu je přičtení mnohočlenu opačného
Násobení mnohočlenů Mnohočleny násobíme tak, že každý člen jednoho mnohočlenu násobíme každým členem druhého mnohočlenu (a pak popř. sečteme). Př.
(2x2 – x + 1) . (3x – 2) = 6x3 – 3x2 + 3x – 4x2 + 2x – 2 = 6x3 – 7x2 + 5x – 2
Dělení mnohočlenů a) jednočlenem: postupujeme tak, že tímto jednočlenem dělíme každý člen mnohočlenu. Př.
(4x2 + 2x) : 2x = 2x + 1
b) mnohočlenem: máme vydělit (–x3 + 2x – 5x2 + 3x4 – 2) : (–2 + x2), postupujeme podle následujícího schématu:
1) uspořádáme dělence i dělitele podle mocnin sestupně (3x4 – x3 – 5x2 + 2x – 2) : (x2 – 2) 2) dělíme první člen dělence prvním členem dělitele (3x4 – x3 – 5x2 + 2x – 2) : (x2 – 2) = 3x2 . . . . . 3) tímto výsledkem vynásobíme celého dělitele (x2 –2) . 3x2 = 3x4 – 6x2 a výsledný mnohočlen zapíšeme pod příslušné členy dělence, dáme do závorky a odečteme. Tak získáme dělence pro další dělení (3x4 – x3 – 5x2 + 2x – 2) : (x2 – 2) = 3x2 – x . . . . . – (3x4 – 6x2) – x3 + x2 + 2x – 2 4) tento postup opakujeme tak dlouho, až dostaneme 0 nebo mnohočlen nižšího stupně než má dělitel (3x4 – x3 – 5x2 + 2x – 2) : (x2 – 2) = 3x2 – x + 1 – (3x4 – 6x2) 3 – x + x2 + 2x – 2 – (– x3 + 2x) x2 –2 2 – (x – 2) 0 5) nezapomeneme na podmínky (dělitel ≠ 0) x2 – 2 ≠ 0 x2 ≠ 2 |x|≠ 2
x≠ 2
Někdy místo 0 dostaneme tzv. zbytek, tj. mnohočlen nižšího stupně než má dělitel. Tento „zbytkový“ mnohočlen lomíme dělitelem a připíšeme k výsledku:
Př.
(4x4 – x2 + x) : ( x2 + 1 ) = 2x2 – 3 + – (4x4 + 2x2 ) – 3x2 + x –(–3x² – 3) x+3
Podmínka:
x3 x2 1
← mnohočlen nižšího stupně než dělitel ( lomíme ho x3 dělitelem 2 a připíšeme k výsledku). x 1
x2 + 1 ≠ 0 platí pro všechna x R.
Poznámka:
V tomto příkladu vidíme, že podíl mnohočlenů nemusí být vždy mnohočlen. Výraz 2x2 – 3 +
x3 není mnohočlen. x2 1
Umocňování mnohočlenů Dvojčleny (binomy) umocňujeme podle binomických vzorů. Obecný binomický vzorec pro (a ± b)n, kde n N, udává binomická věta (bude probíráno v oddíle Kombinatorika). Pro (a ± b)2 , (a ± b)3 si pamatujeme tyto vzorce: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 Př.
(4x2 – 1)2 = 16x4 – 8x2 + 1 (2x + y)3 = 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3
Rozklad mnohočlenů a) b) c)
vytýkáním před závorku užitím vzorců kombinací vytýkání a vzorců
a)
vytýkáním před závorku: Př.
6a – 3 = 3 (2a – 1) x + xy = x (1 + y) 2z2 + 4z – 2zy = 2z (z + 2 – y)
Př.
Při vytýkání (–1) se změní všechna znaménka v závorce a před závorkou píšeme místo –1 jen znaménko – – x2 + 2x – 1 = – (x2 – 2x + 1) = – (x – 1)2
Př.
Vytýkání můžeme několikrát opakovat z různých skupin členů (tzv. částečné vytýkání), popř. si mnohočlen před vytýkáním vhodně opravit: 2y2 – 3y + 1 = 2y2 – 2y – y + 1 = 2y ( y – 1) – (y – 1) = (y – 1) . (2y – 1)
Př. Poznámka:
y – 2x + 2yx – 1 = y – 1 + 2x (–1 + y) = y – 1 + 2x (y – 1) = (y – 1) (1 + 2x) Zkoušku správnosti můžeme provést zpětným roznásobením.
b)
užitím vzorců:
Př.
c)
a2 – b2 = (a + b) (a – b) a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2) a2 + 2ab + b2 = (a + b) 2 a2 – 2ab + b2 = (a – b) 2 a3 + 3a2b + 3ab2 + b3= (a + b) 3 a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b) 3 a2 + b2 nelze v množině R rozložit
9x2 – 16 = (3x + 4) . (3x – 4) y3 + 1 = (y + 1) . (y2 – y + 1) 27a3 – 8 = (3a – 2) . (9a2 + 6a + 4) x2 + 10x + 25 = (x + 5) 2 4a2 – 12a + 9 = (2a – 3) 2
někdy používáme kombinaci vytýkání a vzorců: Př.
3x5 + x3 – 3x2 – 1 = x3 (3x2 + 1) – (3x2 + 1) = = (3x2 + 1) . (x3 – 1) = (3x2 + 1).(x – 1).(x2 + x + 1)
Poznámka: Na další stránce si procvičíme často používané učivo „Rozklad kvadratického trojčlenu“ a „Doplnění kvadratického trojčlenu na druhou mocninu dvojčlenu“ a užití.
Rozklad kvadratického trojčlenu na tzv. součin kořenových činitelů: ax2 + bx + c . . . . . . je kvadratický trojčlen x1 , x2 . . . . . . . . . jsou kořeny (nulové body) tohoto trojčlenu Rozklad tohoto trojčlenu na součin tzv. kořenových činitelů: ax2 + bx + c = a (x – x1) (x – x2) x2 + px + q = (x – x1) (x – x2) = x2 – (x1 + x2) x + x1x2
resp.
–p = x1 + x2 q = x1. x2
kde
Př.
a ≠0 b c p= ; q= a a
Viètovy vzorce
x2 – 3x + 2 = (x – 1).(x – 2) p = –3 q=2
3 = x1 + x2 2 = x1 . x2
x1 = 1 x2 = 2
Kořeny x1, x2 se snažíme vypočítat zpaměti podle Viètových vzorců. Zkoušku správnosti můžeme provést roznásobením (zpaměti). Př.
2x2 + 12x + 16 = 2 (x2 + 6x + 8) = 2 (x + 2) (x + 4) p=6 q=8
Př.
–6 = x1 + x2 8 = x1 . x2
x1 = –2 ; x2 = –4
x2 + x – 12 = (x + 4) . (x – 3) p=1 q = –12
–1 = x1 + x2 –12 = x1 . x2
x1 = –4 ; x2 = 3
Doplnění kvadratického trojčlenu na druhou mocninu dvojčlenu se někdy nazývá doplnění kvadratického trojčlenu na „úplný čtverec“. Přičte se takové číslo, aby s kvadratickým a lineárním členem dalo druhou mocninu dvojčlenu - užívá se při tom vzorec (a – b)2. Od absolutního členu se pak toto číslo musí odečíst (aby se hodnota kvadratického trojčlenu nezměnila). Př.
Doplňte kvadratický člen na druhou mocninu dvojčlenu (hodnota trojčlenu musí vždy zůstat stejná): x2 – 4x + 7 = (x2 – 4x + 4) + 7 – 4 = (x – 2)2 + 3 a2 – 2ab + b2 (a – b) 2
Užití mnohočlenu pro umocňování čísel končících cifrou 5 (zpaměti) Čísla, končící cifrou 5 lze zapsat ve tvaru 10x + 5, kde x N0. Tento dvojčlen pak umocníme na druhou a dostaneme vzorec, podle kterého můžeme čísla končící 5 umocňovat na druhou zpaměti : (10x + 5)2 = 100x2 + 100x + 25 = 100 x (x + 1) + 25 Př.
352 = (3 . 10 + 5)2 = 100 . 3 . 4 + 25 = 1225 752 = (7 . 10 + 5)2 = 100 . 7 . 8 + 25 = 5625 1552 = (15 . 10 + 5)2 = 100 . 15 . 16 + 25 = 24025 225 + 15 2052 = 100 . 20 . 21 + 25 = 42025 10052 = 100 . 100 . 101 + 25 = 1010025
