Název: Posloupnosti Autor: Mgr. Jiří Bureš, Ph.D. Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Ročník: 5. (3. ročník vyššího gymnázia, bilingvní sekce) Tématický celek: posloupnosti a jejich využití Stručná anotace: Výukový materiál je zaměřen na základní využití aritmetické a geometrické posloupnosti pro výpočty založené na jednoduchém a složeném úrokování a na využití programu Geogebra pro porovnání obou modelů.
Tento výukový materiál byl vytvořen v rámci projektu Přírodní vědy prakticky a v souvislostech ‒ inovace výuky přírodovědných předmětů na Gymnáziu Jana Nerudy (číslo projektu CZ.2.17/3.1.00/36047) financovaného z Operačního programu Praha – Adaptabilita.
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I. Cours (notions de base liées à une suite) Définition: Une suite (numérique) est une fonction définie sur ℕ ou sur un sous-ensemble de ℕ . Elle associe un nombre réel à tout nombre naturel de son ensemble de définition. (Note: 0∈ℕ ) Trois façons de définir une suite : a) par une propriété: p.ex. la suite de tous les nombres naturels pairs 2
b) par le terme général: u n= f (n) où f est une fonction (ex. u n=n +1 sur ℕ ) c) par récurrence: u0 , u n+1= f (un ) (ex. u0 =2 , u n+1=√ n ) On donne un ou plusieurs premiers termes et un terme est l'image du terme précédent par la fonction f . 1. Suite arithmétique Définition par récurrence: u 0 , u n+ 1 =u n +r
r ...raison de la suite = différence entre 2 termes voisins Définition par le terme général: u n =u0 +n⋅r (fonction affine)
u 0 +u n
Somme de ( n+ 1 ) premiers termes: u 0 +u1 +.. . +un =( n+ 1 )⋅
2
2. Suite géométrique Définition par récurrence: u 0 , u n+ 1 =q⋅u n
q ...raison de la suite = rapport de 2 termes voisins n
Définition par le terme général: u n =u0⋅q (fonction exponentielle)
1−q n+ 1 Somme de ( n+ 1 ) premiers termes: u 0 +u1 +.. . +un =u0⋅ 1−q
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II. Fiche de travail Problème 1. Un certain objet coûte actuellement 200 €. Le taux d'inflation moyen est de 2,2 % par an. On suppose que l'inflation se maintiendra à ce taux annuel. On note P 0 le prix actuel (200 €) et P n le prix (en €) à l'année n . 1) Quel sera le taux d'augmentation du prix entre l'année actuelle (année 0) et le prix dans trois ans (année 3) ? 2) Quel sera le taux d'augmentation du prix entre l'année actuelle (année 0) et le prix dans dix ans (année 10) ? 3) Quel sera le prix de l'objet à l'année n ? Préciser la nature de la suite et ses éléments caractéristiques de la suite. 4) Dans combien d'années le prix dépassera-t-il 400 € ? Problème 2. Un capital produit des intérêts simples si les intérêts sont uniquement calculés sur ce capital. Un capital produit des intérêts composés si, à la fin de chaque période, les intérêts générés sont ajoutés au capital pour produire de nouveaux intérêts. On dit aussi que les intérêts sont capitalisés. Une personne souhaite placer durant plusieurs années un capital de 15 000 €. Elle hésite entre deux types de placements: • •
un placement à intérêts simples à 6 % l'an : chaque année, son capital augmente d'une somme fixe égale à 6 % du capital initial un placement à intérêts composés à 4 % l'an : dans ce cas, les intérêts produits sont capitalisés, et rapportent donc eux aussi 4 % l'an.
1) Modéliser le développement du capital initial d'après les deux types de placement par une formule générale. 2) A l'aide de GeoGebra, représenter graphiquement les deux fonctions de variable réelle représentant le développement du capital. 3) D'après le graphique, lequel des placements est le plus avantageux sur 7 ans ? Justifier l'hypothèse par calcul. 4) D'après le graphique, dans combien d'années le placement à intérêts composés devient-il plus avantageux que le placement à intérêts simples ? Justifier l'hypothèse par calcul. 5) Pour chaque cas, combien d'années faut-il immobiliser la somme initiale pour voir le capital tripler ? Justifier par calcul
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III. Éléments de solution Problème 1. 1) P ₀=200,
P ₁=200 +0,022.200=200.1,022,
P ₃=200.1,0223
T ₃=P ₃−P ₀=200 (1,022³ – 1)≈13,49 2) T 10 =P 10−P ₀=200(1,02210 – 1)≈48,62 n n 3) P n=P 0 . 1,022 =200 .1,022
P n est une suite géométrique de premier terme 200 et de
raison 1,022. n n 4) (P n⩾400)⇔(200.1,022 ⩾400)⇔(1,022 ⩾2) , d'où n≈32.
Problème 2. 1) Intérêts simples : S=15 000+900 n , n∈ℕ , suite arithmétique de premier terme 15 000 et de raison 900. Intérêts composés : P=15 000.1,04 n , n∈ℕ , suite géométrique de premier terme 15 000 et de raison 1,04. 2)
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La courbe représentant les intérêts simples est une droite car elle représente une fonction affine (en rouge). La courbe représentant les intérêts simples est une courbe exponentielle car elle représente une fonction affine (en bleu). 3) Comme la courbe représentant les intérêts simples se trouve au dessus de celle représentant les intérêts composés, le placement à intérêts simples est plus avantageux. Calcul pour n=7 S=15 000+ 900.7=21 300 , P=15 000.1,047≈19 739 donc le placement à intérêts
simples est plus avantageux. 4) La situation est représentée par l'intersection des deux courbes, alors ceci se passe entre n=20 et n=21 donc après 21 ans. Calcul pour n=20 S=15 000+ 900.20=33000 , P=15 000.1,0420≈32867
Calcul pour n=21 S=15 000+ 900.21=33900 , P=15 000.1,0421≈34182
5) Pour les intérêts simples: n=34 Calcul pour n=33
S=15 000+ 900.33=44 700< 45000
Calcul pour n=34
S=15 000+ 900.34=45 600> 45000
Pour les intérêts simples : n=29 28
Calcul pour n=28
P=15 000.1,04 ≈44981
Calcul pour n=29
P=15 000.1,04 29≈46780
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