Název: Rotace Autor: Mgr. Lukáš Saulich Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Ročník: 3. (1. ročník vyššího gymnázia) Tématický celek: Shodná zobrazení Stručná anotace: Na modelových úlohách si žák osvojí dovednosti zaměřené na využití shodného zobrazení – rotace. Časová dotace: 1 x 45 min.
Tento výukový materiál byl vytvořen v rámci projektu Přírodní vědy prakticky a v souvislostech ‒ inovace výuky přírodovědných předmětů na Gymnáziu Jana Nerudy (číslo projektu CZ.2.17/3.1.00/36047) financovaného z Operačního programu Praha - Adaptabilita.
Pomůcky (seznam potřebného materiálu) Rýsovací potřeby (pravítko, kružítko, tužka) Teorie R (S, 𝝋 ) - Otočení (rotace) se středem otočení S a orientovaným úhlem 𝜑 je shodné zobrazení, které každému vzoru X≠S přiřazuje právě jeden obraz X´ tak, že |𝑋´𝑆| = |𝑋𝑆| a orientovaný úhel <XSX´ má velikost 𝜑. Bod S je samodružný, tedy S=S´. (Obraz i vzor mají stejnou vzdálenost od středu otočení. Obraz je oproti vzoru pootočený kolem středu otočení o orientovaný úhel 𝜑). Postup práce Student obdrží pracovní list s narýsovaným zadáním. Na základě vědomostí, nabytých během hodin teorie shodných zobrazení se student pokusí zkonstruovat požadované objekty. V každé úloze je prostor na rozbor úlohy, popis konstrukce, samotnou konstrukci a diskusi počtu řešení. Práci začíná student rozborem, na jehož základě sepíše popis konstrukce. Samotnou konstrukci následně vytvoří do zadání. Počet řešení rozebere v diskusi počtu řešení. Pracovní list pro učitele obsahuje výsledné řešení úlohy. V pracovním listu každého studenta by se mělo, vzhledem ke stejným vstupním objektům, objevit totožné řešení doprovozené diskuzí řešitelnosti.
Výsledky 1) Je dán bod A, kružnice k a přímka p. Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky ABC tak, aby B∈k, C∈p. Proveďte diskusi řešení.
2) Jsou dány dvě rovnoběžné přímky a, b a mimo ně bod C. Sestrojte rovnoramenný trojúhelník ABC tak, aby A∈a, B∈b a úhel 𝜸=45° (|𝐴𝐵| = |𝐵𝐶|). Proveďte diskusi řešení.
3) Do daného rovnoběžníku KLMN vepište čtverec ABCD tak, aby 𝑨 ∈ 𝑲𝑳, 𝑩 ∈ 𝑳𝑴, 𝑪 ∈ 𝑴𝑵, 𝑫 ∈ 𝑲𝑵. Proveďte diskusi řešení.
4) Jsou dány tři různé rovnoběžky a, b, c a bod C∈c. Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky tak, aby A∈a, B∈b. Proveďte diskusi řešení.
5) Jsou dány dvě nesoustředné kružnice k1(S1, r1) a k2(S2, r2), r1 se nerovná r2, které se protínají v bodech C, Q. Sestrojte všechny rovnoramenné trojúhelníky ABC (AB je základna) pro které platí A∈k1, B∈k2 , |< 𝐀𝐂𝐁|=120°. Proveďte diskusi řešení.
Diskuze Tento pracovní list je základem pro práci s pracovním listem „Rotace 2“, ve kterém student využije především prostředí programu dynamické geometrie GeoGebra.
Pracovní list pro žáka
Rotace 1 Pomůcky (seznam potřebného materiálu) Rýsovací potřeby (pravítko, kružítko, tužka) Teorie R (S, 𝝋 ) - Otočení (rotace) se středem otočení S a orientovaným úhlem 𝜑 je shodné zobrazení, které každému vzoru X≠S přiřazuje právě jeden obraz X´ tak, že |𝑋´𝑆| = |𝑋𝑆| a orientovaný úhel <XSX´ má velikost 𝜑. Bod S je samodružný, tedy S=S´. (Obraz i vzor mají stejnou vzdálenost od středu otočení. Obraz je oproti vzoru pootočený kolem středu otočení o orientovaný úhel 𝜑). Postup práce: Pokuste se najít zadané objekty s využitím rotace. V každé úloze nejprve zapište rozbor, následně popište konstrukci a samotnou konstrukci proveďte do předkresleného obrázku. Nakonec v diskusi rozeberte počet řešení úlohy. Úlohy: V případě, že se vám podaří nalézt řešení bez využití rotace, řešení není chybné. Snažte se však konstrukce provádět s co nejmenším počtem konstrukčních kroků, v čemž vám rotace určitě pomůže. 1) Je dán bod A, kružnice k a přímka p. Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky ABC tak, aby B∈k, C∈p. Proveďte diskusi řešení. Rozbor:
Diskuse:
Popis konstrukce:
2) Jsou dány dvě rovnoběžné přímky a, b a mimo ně bod C. Sestrojte rovnoramenný trojúhelník ABC tak, aby A∈a, B∈b a úhel 𝜸=45° (|𝐴𝐵| = |𝐵𝐶|). Proveďte diskusi řešení. Rozbor:
Popis konstrukce:
Diskuse: 3) Do daného rovnoběžníku KLMN vepište čtverec ABCD tak, aby 𝑨 ∈ 𝑲𝑳, 𝑩 ∈ 𝑳𝑴, 𝑪 ∈ 𝑴𝑵, 𝑫 ∈ 𝑲𝑵. Proveďte diskusi řešení. Rozbor:
Diskuse:
Popis konstrukce:
4) Jsou dány tři různé rovnoběžky a, b, c a bod C∈c. Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky tak, aby A∈a, B∈b. Proveďte diskusi řešení. Rozbor:
Popis konstrukce:
Diskuse: 5) Jsou dány dvě nesoustředné kružnice k1(S1, r1) a k2(S2, r2), r1 se nerovná r2, které se protínají v bodech C,Q. Sestrojte všechny rovnoramenné trojúhelníky ABC (AB je základna) pro které platí A∈k1, B∈k2 , |< 𝐀𝐂𝐁|=120°. Proveďte diskusi řešení. Rozbor:
Popis konstrukce:
Diskuse: Diskuze: Dokázali byste nalézt u některé úlohy řešení bez využití rotace? U které a jaké?
