Název: Kombinatorika Autor: Mgr. Hana Černá Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Ročník: 5. ročník Tématický celek: Kombinatorika a pravděpodobnost Stručná anotace: Výukový materiál je zaměřen na zopakování učiva o kombinatorice. Časová dotace: 2 x 45 min.
Tento výukový materiál byl vytvořen v rámci projektu Přírodní vědy prakticky a v souvislostech ‒ inovace výuky přírodovědných předmětů na Gymnáziu Jana Nerudy (číslo projektu CZ.2.17/3.1.00/36047) financovaného z Operačního programu Praha - Adaptabilita.
Evropský sociální fond Praha a EU – Investujeme do vaší budoucnosti
Nejprve doplňte na podtržená prázdná místa v celém prac. listu některý z těchto výrazů. Každý výraz použijete jen jednou. Poté vypočtěte a zkontrolujte řešený příklad, vždy ten 1. z dané trojice a poté vypočtěte ostatní příklady. uspořádaných
k-tice n! n k !k! prvního
nejvýše jednou
neuspořádaná uspořádaná
k-tý
k-krát
bez opakování
nn 1n 2 ... n k 1
k-krát
uspořádaná
n prvků
aspoň jednou
neuspořádaná
A) Kombinatorické pravidlo součinu. Počet všech k-tic, jejichž první člen lze vybrat n1 způsoby, druhý člen po výběru členu n 2 způsoby atd. až člen po výběru všech předcházejících členů n k způsoby, je roven n1 n2 ... nk Situaci můžeme znázornit pomocí „přihrádek“ nebo „chlívečků“, kde ke každému „chlívečku“ přiřadíme číslo, které vyjadřuje, z kolika možností můžeme do daného „chlívečku“ vybrat. Čísla pod „chlívečky“ poté mezi sebou vynásobíme. …
n1
n2
nk
počet možností je n1 n2 ... nk 1. Kolika způsoby si můžeme sestavit oběd, jestliže máme na výběr ze 3 předkrmů, 2 hlavních jídel a 4 moučníků.
3 2 4 počet způsobů je 3 2 4 24 2. Tereza má v šatníku 5 halenek, 4 sukně a 3 kabáty. Každé ráno si vybere jednu halenku, jednu sukni a 1 kabát. Kolika různými způsoby se může obléknout? 3. Dvě hokejová družstva, z nichž jedno má 12 a druhé 15 hráčů, si po zápase stisknou ruku: každý hráč z jednoho družstva stiskne ruku každému hráči z druhého družstva. Kolik stisků ruky proběhlo? B) Variace k-té třídy z n prvků bez opakování. Variace k-té třídy z n prvků je z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje nejvýše jednou. Evropský sociální fond Praha a EU – Investujeme do vaší budoucnosti
k-tice sestavená
V k ; n
n! n k !
4. a) Mistrovství se účastní 18 atletů, uděluje se zlatá, stříbrná a bronzová medaile. Kolika různými způsoby mohou být medailové pozice obsazeny?
18 17 16 Medaileové pozice mohou být obsazeny 18 17 16 4896 způsoby. b) Kolika různými způsoby mohou být medailové pozice obsazeny, jestliže zlatou medaili získá jeden ze tří favoritů?
3 17 16 Medaileové pozice mohou být obsazeny 3 17 16 816 způsoby. 5. Ve třídě je 28 žáků. Na začátku roku je třeba vybrat předsedu třídy, jeho zástupce, pokladníka a správce facebookové stránky. Kolik je možných různých čtveřic? 6. Kolik je pěticiferných čísel sestavených z číslic 1 až 9, v nich se žádná číslice neopakuje? C) Variace k-té třídy z n prvků s opakováním. Variace k-té třídy z n prvků s opakováním je uspořádaná tak, že každý se v ní vyskytuje nejvýše . Počet variací s opakování je
sestavená z těchto prvků
V ´k ; n n k
7. V testu je 10 otázek, každá má 4 možné odpovědi. Kolika různými způsoby můžeme test vyřešit, jestliže u každé otázky zaškrtáváme pouze jednu odpověď.
4 4 4 4 4 4 10 Počet způsobů vyřešení je 4 .
4
4
4
4
8. Poznávací značka aut v Praze má první písmeno A, pak další dvě písmena a 4 číslice. Kolik různých pozn. značek lze vytvořit? (Písmen je 23). 9. Francouzský básník Raymond Queneau napsal dílo s názvem Sto tisíc miliard básní. Kniha má 10 stran, na každé je 14 veršů. Každá strana je rozstříhaná tak, aby každý verš byl na samostatném kousku. Čtenář si může sestavit vlastní báseň tak, že vezme 1. verš z jedné Evropský sociální fond Praha a EU – Investujeme do vaší budoucnosti
z 10 stran, druhý verš zase z jedné z 10 stran a tak dále až si vybere poslední verš. Je název knihy ospravedlněný?
D) Permutace. Permutace z n prvků je každá n-členná variace z těchto prvků. Počet permutací z je Pn nn 1n 2 ... 2 1 n! 10. 8 studentů se zapisuje ke zkoušce na ten samý termín. Kolik je různých možností, v jakém se zapíšou pořadí? Možných pořadí je 8! 40320 . 11. Čísla 5, -1 a 3 jsou řešením soustavy tří rovnic o třech neznámých. Kolik je všech možných trojic, které mohou být řešením soustavy? 12. Ve třídě 3.C je 28 studentů a 28 míst k sezení. Kolika způsoby lze vytvořit zasedací pořádek? E) Permutace s opakováním. Permutace s opakováním z n prvků je tak, že každý se v ní vyskytuje
k-tice sestavená z těchto prvků .
n je počet různých prvků k je počet všech prvků, jejichž pořadí zkoumáme. Počet P´k1 , k 2 ,..., k n
k1 k 2 ... k n k1!k 2 !... k n !
13. Kolika způsoby můžeme srovnat do řady 3 bílé kostky, 4 modré a 5 černých kostek? n3 k1 3 , k 2 4 , k 3 5 tedy k 3 4 5 12
P´3,4,5 14. Kolik přesmyček slova ADRIANA můžeme vytvořit? Přesmyčka je nové slovo, vytvořené přeskupením písmen. Nová slova nemusejí dávat smysl. 15. Určete počet všech deseticiferných přirozených čísel, jejichž ciferný součet je roven třem. Kolik z nich je sudých?
F) Kombinace. k-členná kombinace z n prvků je každý se v ní vyskytuje
k-tice sestavená z těchto prvků tak, že .
Počet všech k-členných kombinací z n prvků je n C k , n k
Evropský sociální fond Praha a EU – Investujeme do vaší budoucnosti
16. Kolika způsoby lze rozdat 5 karet ze 32? 17. U výtahu, do něhož můžou nastoupit nejvýše tři osoby, stojí pět osob. Kolik je možných trojic, které mohou nastoupit? Kolik je možných dvojic, které zůstanou venku? 18. Kolika způsoby lze vybrat 4 studenty z 28? G) Kombinace s opakováním k-členná kombinace z n prvků je k-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje nejvýše . n k 1 C´k , n k 19. Kolika způsoby lze rozmístit 3 stejné kuličky do čtyř krabiček? Všechny možnosti vypište a ověřte vzorec. 4 3 1 6 20 C 3,4 3 3 20. Kolika způsoby lze rozdělit 15 bonbonů mezi 10 dětí? 21. V obchodě jsou jen 4 různé čokolády. Chceme jimi podarovat 8 přátel. Kolik je způsobů? Další příklady 22. Kolik různých « slov » o 5 písmenech je možné vytvořit z písmen A,B, C, D, E a F (písmena se mohou opakovat), kde... a) bez další podmínky b) B je na druhé místě c) C není na třetím místě d) D není na druhém místě, ale slovo končí na A e) slovo končí BA f) slovo nekončí BA g) není písmeno A h) je pouze jedno F i) je písmeno E nebo D na druhém místě j) slovo tvoří palindrom (zepředu i zezadu se čte stejně) k) obsahuje jen písmena E a F l) obsahuje jen dvě různá písmena m) jsou právě dvě B 23. Kolika způsoby lze přemístit písmena slava Mississippi? Kolik z nich nezačíná písmenem M? 24. Ze všech bílých šachových figurek bez krále a dámy (tj. z osmi pěšců, dvou věží, dvou jezdců a dvou střelců) vybereme a) dvojici b) trojici Jaký je počet možností pro jejich složení? 25. Určete počet všech pěticiferných přirozených čísel, jež lze sestavit z číslic 5 a 7, má-li v každém být číslice 5 a) právě třikrát b) nejvýše třikrát c) aspoň třikrát 26. V železničním depu je dvacet osobních, sedm lůžkových a pět poštovních vozů. Kolik různých souprav s pěti vozy je možno v tomto depu sestavit, jestliže nezáleží na pořadí vozů v soupravě? Zdroje : maths-simplifie.meabilis.fr carolina.mff.cuni.cz/~jana/kombinatorika/
Evropský sociální fond Praha a EU – Investujeme do vaší budoucnosti
Řešení Doplněno v tomto pořadí : uspořádaných
2 4 8. 23 10
g)
prvního
9. 1014
k-tý
10. 8! 40320
bez opakování
11. 3! 6
i)
uspořádaná
12. 28!
j)
nn 1n 2 ... n k 1 k-tice k-krát n prvků
13.
12! 27720 3!4!.5!
14.
7! 3!
h)
5 4 5 1
k)
5 5 5 5 5 5 0 1 2 3 4 5
l)
6 5 2 6 2 5 3 5 2
uspořádaná
15. 55,46
aspoň jednou
32 16. 5
m)
5 5 17. 3 2
23. P´(1 ,4,4,2)=34 650
28 18. 4
P´(1,4,4,2)-P´(4,4,2)=31 500
neuspořádaná nejvýše jednou
n! n k !k! n! n k !k! neuspořádaná k-krát
4 3 1 6 24. C´(2,4)=10 20 19. C 3,4 3 3 C´(3,4)-3=17 =20 24 20. C 15,10 15
1. 24 2. 60 3. 180 4. 4896, 816 5. 491400 6. 15120 10 7. 4
25. Pˇ(3,2)=10
11 21. C 8,4 8
P´(3,2)+P´(2,3)+P´(1,4)+P(5)=26
22.
P´(3,2)+P´(4,1)+P(5)=16
a) b) c) d) e) f)
Evropský sociální fond Praha a EU – Investujeme do vaší budoucnosti
26. C´(5,3)=21
