Muntwerpen. Opgave. Auteur: John Schoenmakers Project: E5

Muntwerpen Auteur:John Schoenmakers Project: E5

Opgave Kabouters Kees en Maria spelen een muntspel. Hierbij wordt een zuivere munt net zo vaak geworpen, totdat of even vaak Kop als Munt gegooid is (een positief aantal keren), of één der beide aantallen drie groter is dan het andere (bijvoorbeeld bij Kop, Kop, Munt, Kop, Munt, Kop, Kop). Als even vaak Kop als Munt gegooid is (een positief aantal keren), dan wordt het spel beëindigd met als uitkomst onbeslist. Kees wint als Kop drie keer vaker wordt geworpen dan Munt, terwijl Maria wint als Munt drie keer vaker wordt geworpen dan Kop. Hoe groot is de kans dat Maria pas na minstens vijf spelen voor het eerst wint? Aanwijzing: bereken eerst de kans dat Maria direct het eerste spel wint. Mogelijke antwoorden: 1. 0.0367 2. 0.1256 3. 0.3461

1

4. 0.4019 5. 0.5 6. 0.598 7. 0.6123 8. 0.6667 9. 0.7025 10. 0.75

2

IJsvoetbal Auteur: Felix G¨ unther

Opgave Bij de R&D-afdeling van de Kerstman ontwikkelen 9 kabouters nieuwe geschenkideeën. Alle 9 kabouters zijn grote voetbalfans, die graag naar de wedstrijd tussen Borussia Kiruna en Hertha uit Rovaniemi willen. De Kerstman vindt dat geen goed idee, in de drukte zo vlak voor kerst. Maar aan de andere kant kan een uitstapje goed zijn voor de motivatie. . . Twijfelend tussen de keuzes om veel kabouters naar de wedstrijd te laten gaan of juist weinig, besluit hij de kabouters het volgende aanbod te doen. “Morgen krijgen jullie allemaal een petje op. Elk petje is ofwel zwart-geel in de kleuren van Borussia, ofwel blauw-wit in de kleuren van Hertha. Je kunt de petten van alle andere kabouters zien, maar niet je eigen pet. Direct nadat jullie allemaal de petten op hebben moeten jullie me allemaal tegelijk vertellen, welke kleur pet jullie denken te hebben. Diegenen die goed raden mogen naar de wedstrijd.” Diezelfde avond komen de kabouters bijeen om het voorstel van de Kerstman te bespreken. Omdat ze na het opzetten van de petten geen mogelijkheid tot 1

interactie meer hebben, willen ze van tevoren een strategie afspreken. Hoe meer zielen, hoe meer vreugd, dus zoeken de kabouters een tactiek die het minimale aantal N van kabouters die naar het spel mogen maximaliseert. Dat wil zeggen, ze zoeken een methode, waarmee elke kabouter bepaalt welke kleur pet hij gaat raden, afhankelijk van de kleuren van de andere kabouters. En wel zodanig dat bij elk aantal petten van elke kleur en bij elke verdeling tenminste N kabouters goed raden—waarbij N zo groot mogelijk moet zijn. Kabouter Pep, de oude strateeg, komt op het idee om de Kerstman te vragen of hij de volgende dag als eerste, vóór alle andere kabouters mag raden. Voor dat geval bespreken de kabouters eveneens een strategie, die garandeert dat tenminste M kabouters mee kunnen. Wederom wordt M maximaal gekozen. Nietsvermoedend gaat de Kerstman de volgende ochtend akkoord met Peps voorstel. Pep mag in het bijzijn van alle anderen als eerste raden welke kleur pet hij heeft, waarna alle andere kabouters tegelijk moeten raden. Hoeveel voetbalkijkers meer garandeert dit ten opzichte van het alternatieve scenario waarbij alle kabouters tegelijk raden? Met andere woorden, wat is M − N ? Mogelijke antwoorden:

1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 5. 5 6. 6 7. 7 8. 8 9. 9 10. 0

2

Improvisatietoneel Auteur: Marika Karbstein

Opgave De kabouters hebben pret. Sinds het Adventstoneel voor de Kerstman vorig jaar spelen ze met veel plezier toneel. Ze hebben zelfs meerdere, onderling disjuncte toneelgroepen gevormd, elk met een mooie naam. Elke groep heeft een vast repertoire aan personages, dat regelmatig wordt ingestudeerd. Hier is de lijst met toneelgroepen en hun personages: ◦ Poker Peek speelt Kris Kringle en Gertrud Löwenhaupt. ◦ Capsules A speelt Charlotte Blumenfeld, Willy Wonka en Ebenezer Scrooge. ◦ St Anjers Kerk speelt Sally Shock en Cedric Errol. ◦ Aanlegheren speelt Kris Kringle, Johannes Pfeiffer en Phil Connors. ◦ Lepe-spannend speelt Kris Kringle, Cedric Errol en Cindy Lou Who. ◦ Spaanpaleis speelt Lieselotte Hoppenstedt, Ebenezer Scrooge en George Bailey. ◦ Wolvenkeus speelt Kris Kringle en Sally Shock. ◦ Doostakje speelt Gertrud Löwenhaupt en Johannes Pfeiffer. ◦ Oud-Griekse speelt Kris Kringle, Johannes Pfeiffer, Lieselotte Hoppenstedt en Ebenezer Scrooge. ◦ Kanolek speelt Kris Kringle, Phil Connors, Charlotte Blumenfeld en Ebenezer Scrooge. ◦ Dokter Bros speelt Cindy Lou Who, Willy Wonka en Ebenezer Scrooge. ◦ Versterking Sire speelt Charlotte Blumenfeld en Cindy Lou Who. 1

Als de Kerstman even genoeg heeft van zijn werk—vooral van alle administratieve rompslomp—gaat hij graag even bij de repetities kijken. Hij piekert dan over de merkwaardige namen van de toneelgroepen, en geniet ondertussen van een stuk chocoladetaart dat de kabouters hem voorschotelen. Vandaag wordt bekend gemaakt, dat over twee weken een grote wedstrijd improvisatietoneel zal plaatsvinden. Daarvoor kunnen zich teams aanmelden, die elk uit een aantal toneelgroepen bestaan. Een voorwaarde voor deelname is dat elk team in ieder geval de personages Kris Kringle en Ebenezer Scrooge speelt. Het is niet erg, en zelfs wel grappig, als binnen één team een personage door kabouters uit verschillende groepen naast elkaar opgevoerd worden. De kabouters denken na over welke teams ze kunnen vormen. Elke toneelgroep mag in ten hoogste één team meedoen. En opdat een team goed samenwerkt, moeten bovendien toneelaanwijzingen tussen elk tweetal kabouters in een team doorgegeven kunnen worden, eventueel via een aantal tussenpersonen. Een kabouter mag zo’n aanwijzing echter alleen maar doorvertellen aan een kabouter uit een andere groep die hetzelfde personage speelt of een kabouter uit de eigen groep die een ander personage speelt. De kabouters willen graag allereerst het aantal teams maximaliseren, en bij dat maximale aantal teams het aantal groepen dat niet deelneemt minimaliseren. Wat is de beste oplossing? Mogelijke antwoorden: 1. Hooguit 1 team. 2. 2 teams, waarbij precies 1 groep niet deelneemt. 3. 2 teams, waarbij precies 2 groepen niet deelnemen. 4. 2 teams, waarbij alle groepen deelnemen. 5. 3 teams, waarbij precies 1 groep niet deelneemt. 6. 3 teams, waarbij precies 2 groepen niet deelnemen. 7. 3 teams, waarbij alle groepen deelnemen. 8. 4 teams, waarbij precies 1 groep niet deelneemt. 9. 4 teams, waarbij alle groepen deelnemen. 10. 5 teams, waarbij precies 1 groep niet deelneemt. 2

Kaarsjes inpakken Merlijn Staps

Opgave Eén van de cadeautjes die de kerstman geeft is een doosje met cilindervormige kaarsjes voor in de kerstboom. In deze doosjes komen twee typen kaarsen, rode en groene. Al deze kaarsen hebben een diameter van 2 centimeter. De lengte verschilt per kaars. De kerstman geeft twee verschillende doosjes cadeau. Er is een groot doosje, met 18 kaarsen, en een klein doosje, waar 16 kaarsen in kunnen. Het grote doosje is 20 centimeter breed, 18 centimeter lang en 2 centimeter hoog. Het kleine doosje is 18 centimeter breed, 16 centimeter lang en 2 centimeter hoog. In het grote doosje komen 9 rode kaarsen, met lengtes 2, 4, 6, . . . , 18 centimeter, en ook 9 groene kaarsen, met lengtes 2, 4, 6, . . . , 18 centimeter. De rode kaarsen moeten horizontaal (in de breedterichting) in de doos komen te liggen, de groene kaarsen verticaal (in de lengterichting). In het kleine doosje komen 8 rode kaarsen, met lengtes 2, 4, 6, . . . , 16 centimeter, en ook 8 groene kaarsen, met lengtes 2, 4, 6, . . . , 16 centimeter. Zowel de rode als de groene kaarsen moeten horizontaal (in de breedterichting) in de doos komen te liggen. De kerstman is ge¨ınteresseerd op hoeveel manieren hij de 18 kaarsen in het grote doosje kan krijgen, en op hoeveel manieren hij de 16 kaarsen in het kleine doosje kan krijgen. Twee manieren worden als verschillend gezien als er een kaars op een andere plek ligt en twee manieren die door een spiegeling of een rotatie in elkaar over te voeren te zijn hoeven dus niet hetzelfde te zijn. Welke van de onderstaande beweringen is juist? 1. Voor beide doosjes zijn evenveel mogelijkheden. 2. Voor het kleine doosje zijn er 15 keer zoveel mogelijkheden als voor het grote doosje. 1

3. Voor het kleine doosje zijn er 315 keer zoveel mogelijkheden als voor het grote doosje. 4. Voor het kleine doosje zijn er 1260 keer zoveel mogelijkheden als voor het grote doosje. 5. Voor het grote doosje zijn er 2 keer zoveel mogelijkheden als voor het kleine doosje. 6. Voor het grote doosje zijn er 36 keer zoveel mogelijkheden als voor het kleine doosje. 7. Voor het grote doosje zijn er 180 keer zoveel mogelijkheden als voor het kleine doosje. 8. Voor het grote doosje zijn er 315 keer zoveel mogelijkheden als voor het kleine doosje. 9. Voor het grote doosje zijn er 720 keer zoveel mogelijkheden als voor het kleine doosje. 10. De verhouding tussen de aantallen mogelijkheden is geen geheel getal.

2

De beste manier om een boloppervlak te vierendelen Auteur: Jens A. Griepentrog Projekt: C32

Opgave Omdat dit jaar de verdeling van alle cadeautjes te veel werk is voor één enkele kerstman, is van hogerhand besloten dat het karwei eerlijk verdeeld zou worden over de vier kerstmannen: Sint Nicolaas, Père Noël, Vadertje Vorst en Santa Claus. Om het vervoer tussen de vier werkterreinen zou goed mogelijk vorm te geven zoeken ze een opdeling van het oppervlak van onze aardbol in vier delen met dezelfde oppervlakte, en met zo een zo klein mogelijke totale lengte van de grenslijnen tussen de verschillende gebieden. De vier kerstmannen beginnen te discussiëren (zie figuur):

Santa Claus stelt voor het boloppervlak te halveren door de evenaar, en vervolgens de twee poolstreken door breedtecirkels af te scheiden. Père Noël wil de twee poolstreken wel zo houden, maar het gebied rond de equator niet door de evenaar opdelen. Hij oppert de mogelijkheid deze zone 1

te halveren met twee tegenoverelkaar liggende lengtegraden: grote cirkels op de bol die door de twee polen gaan. Sint Nicolaas is voorstander van een opdeling van het boloppervlak in vier congruente, gelijkzijdige boldriehoeken. Vadertje Vorst vindt dit allemaal te ingewikkeld; hij zou het liefst het boloppervlak ook door de evenaar halveren, maar vervolgens de beide halfronden door een grote cirkel door de beide polen in tweeën delen. Eén van de vier kerstmannen heeft de juiste oplossing! Wie is het? Hoe groot is de minimale totale lengte van de grenslijnen die nodig is om het oppervlak van een bol met straal r = 1 te verdelen in vier stukken met dezelfde oppervlakte? Je kunt kiezen uit de volgende mogelijke antwoorden. 1. = 2π 2. = 6 arcsin( 23 ) √ 3. = 2π( 3 + 1) 4. = 4π √ 5. = ( 6 + 1)π √ 6. = 2π( 3 + 13 ) √ 7. = ( 3 + 2)π 8. = 6 arccos(− 14 ) 9. = 6 arccos(− 13 ) 10. = 3π

2

Hamster Cor Hurkens (TU Eindhoven; [email protected])

Opgave De reuzenhamster Hannibal heeft voor de winter een reuzenvoorraad van reuzentarwekorrels aangelegd. Hannibals winterrust duurt t ≥ 2 dagen en zijn tarwevoorraad bestaat uit k tarwekorrels. Op de eerste dag van de winterrust vreet Hannibal ’s ochtends één tarwekorrel, en na de middag nog eens een 1/101 deel van de resterendde voorraad. Op de tweede dag van de winterrust vreet Hannibal ’s ochtends twee tarwekorrels, en na de middag nog eens een 1/101 deel van de dan resterende voorraad. Op de derde dag van de winterrust vreet Hannibal ’s ochtends drie tarwekorrels, en na de middag nog eens een 1/101 deel van de dan resterende voorraad. En zo verder: op de n-de dag van de winterrust vreet Hannibal ’s ochtends n tarwekorrels, en na de middag nog eens een 1/101 deel van de dan resterende voorraad. Op de ochtend van de t-de en laatste dag bestaat de voorraad nog uit t tarwekorrels, die Hannibal dan opvreet. Vraag: Wat is het laatste cijfer van het getal k + t ? 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 5. 5 6. 6 7. 7 8. 8 9. 9 10. 0 1

Vlo-sprongen Marijke Bodlaender (Reykjavik University; [email protected]) Gerhard Woeginger (TU Eindhoven; [email protected])

Opgave Diep verscholen in een zoom van een rode spitsmuts woont Florian de Kerstvlo. Vandaag heeft Florian een uitje en springt ze lustig voort op de reële getallenrechte. Bij iedere sprong springt Florian van een punt a naar een punt b met 0 ≤ a ≤ b ≤ 100 op de getallenrechte. Bij zo’n sprong verbruikt Florian energie. Het energieverbruik voldoet aan de volgende regel. √ • Indien b ≤ 50, dan kost de sprong (b − a) 100b − b2 energie-eenheden. • Indien b ≥ 50, dan kost de sprong b2 − ab energie-eenheden. Florian begint in het getal 0, maakt dan 100.000 sprongen voorwaarts en blijft tenslotte in het getal 100 zitten.

1

Welke van de volgende ongelijkheden geldt voor het totale verbruik E aan energie van Florian? 1. 5710 ≤ E < 5711 2. 5711 ≤ E < 5712 3. 5712 ≤ E < 5713 4. 5713 ≤ E < 5714 5. 5714 ≤ E < 5715 6. 5715 ≤ E < 5716 7. 5716 ≤ E < 5717 8. 5717 ≤ E < 5718 9. 5718 ≤ E < 5719 10. 5719 ≤ E < 5720

2

Kerstgokjes Auteur: Falk Ebert

Opgave Kersttijd - tijd voor gemeenschappelijke bezigheden: koekjes bakken, winterwandelingen maken door sneeuw en regen, en ook gelegenheid spelletjes te spelen in het gezin. Bij de stadskerstmannen Antonio de Las Vegas en Louis de Monte Carlo zien de spelletjes rond kerstmis er heel anders uit. Zij verwedden de inhoud van hun adventskalenders en daarbij krijgt de winnaar alles. Rendier-races en wip-de-kerstmuts zijn niet meer hip. Ze hebben het vroeger gedaan met allerlei varianten van het Nim-spel (zie bijvoorbeeld de adventskalenderopgave van 6 december 2010). Omdat geven eigenlijk beter is dan nemen hebben ze nu het volgende bedacht: De spelers schrijven - na elkaar - elk een startgetal op een aanvankelijk leeg schoolbord. Daarbij moet de tweede speler erop letten dat diens getal verschilt van het getal dat door de eerste speler is opgeschreven. Vanaf dan gaat het afwisselend verder. Elke speler schrijft op het bord een nieuw getal - en dat getal moet het verschil zijn van twee getallen die al op het bord staan, en het mag nog niet op het bord voorkomen. De eerste die geen getal kan schrijven heeft verloren. Om spitsvondigheden voor te zijn, spreken de spelers van tevoren af, dat het startgetal van beide spelers een natuurlijk getal van 1 tot en met 99 moet zijn en dat verder alleen 1

de positieve verschillen opgeschreven mogen worden. Natuurlijk is de keuze van de startgetallen door de spelers van cruciaal belang voor het verdere verloop van het spel. Met een eerlijke muntworp is besloten dat Antonio zal beginnen en het eerste getal opschrijft. Daarna geeft Louis zijn startgetal. Kan Antonio door een slimme keuze van zijn startgetal een overwinning afdwingen? Antwoordmogelijkheden:

1. Het startgetal maakt niet uit. Als Antonio bij het verder spelen geen fouten maakt, kan Louis nooit winnen. 2. Er is precies één startgetal voor Antonio waarbij hij kan verliezen. 3. Er zijn precies 6 startgetallen voor Antonio waarbij hij kan verliezen. 4. Er zijn precies 12 startgetallen voor Antonio waarbij hij kan verliezen. 5. Er zijn precies 42 startgetallen voor Antonio waarbij hij kan verliezen. 6. Er zijn precies 42 startgetallen voor Antonio waarbij hij zeker kan winnen. 7. Er zijn precies 14 startgetallen voor Antonio waarbij hij zeker kan winnen. 8. Er zijn precies 6 startgetallen voor Antonio waarbij hij zeker kan winnen. 9. Er is precies één startgetal voor Antonio waarbij hij zeker kan winnen - ongeacht hoe Louis speelt. 10. Louis kan altijd winnen, ongeacht hoe Antonio begint.

Achterliggende wiskunde Speltheorie is bij vele economische problemen een krachtig hulpmiddel geworden, in het bijzonder sinds het duidelijk is geworden dat individuele mensen zich rationeel en intelligent opstellen, zogauw er iets te winnen of verdienen valt. Dat zijn dan geen spelletjes die op een schoolbord worden gespeeld. Maar de grondbeginselen, dat men binnen de grenzen van afgesproken regels, een ander zo slecht mogelijk wil neerzetten, zijn nog altijd hetzelfde. 2

Deeg opdelen Auteur: Matthias Nuck

Note: All partial bodies keep their position and adjustment.

Opgave Paniek in de bakkerij van de kerstman. Nadat een aantal jaar geleden met veel succes de lopende band werd ingevoerd voor de peperkoeken, is dit jaar opeens de deegsnijmachine kapot. Het enige wat deze machine doet is razendsnel een (kubusvormig) blok deeg met 12 rechte sneden in 125 kleine blokjes verdelen. Deze 12 sneden bestaan uit 3 keer 4 sneden evenwijdig aan een paar evenwijdige overstaande zijden van het grote blok. De kerstkabouters hebben hiervoor een speciaal plakkerig deegrecept ontwikkeld wat ervoor zorgt dat het grote blok niet al bij het snijden uit elkaar valt. De kleine deegblokjes worden na het snijden meteen verder verwerkt. De arme kabouters bespreken met elkaar hoe ze het probleem met de deegsnijmachine kunnen oplossen. ”Reparatie van de snijmachine gaat dit jaar niet meer lukken”, merkt kabouter Technicus op. ”De lopende band stoppen en net als vroeger met de hand bakken, dat is uitgesloten. Daarvoor hadden we al een maand geleden met het bakken moeten beginnen”, voegt kabouter Economicus droevig toe. De rol van de snijmachine door een kabouter over te laten nemen gaat ook niet, want de snelheid van de lopende band kan niet lager gezet worden, en geen van de kabouters in de bakkerij van de kerstman kan zo snel snijden. Bij een test is gebleken, dat niet één van de bakkabouters meer dan één snee maken kan in de toegemeten tijd. Kabouter Negenkeerslim heeft

1

HET idee: ”Laat 12 kabouters tegelijk snijden, dan gaat het precies”. ”Helaas, geen goed idee”, zegt kabouter Meetkunstenaar, en voegt daar totaal bedroefd aan toe: ”Omdat de messen elkaar niet in de weg mogen zitten kunnen we zo een blok in hooguit 13 stukken snijden”. Uiteindelijk besluiten de kabouters er het beste van te maken, en roepen kandidaten op om snel en accuraat de blokken te versnijden. En hoewel ze er weinig van verwachtten, meldt zich daadwerkelijk iemand. Kabouter Snijgeschikt weet in een handomdraai 10 vlakke sneden aan te brengen in de opgegeven tijd. Weliswaar is het in zijn buurt nogal gevaarlijk, en levert zijn gesnij geen mooie kubusjes, en ook geen voorspelbaar aantal blokjes op, maar het krijgt de opdracht toch. Hoeveel peperkoekdeegblokjes kan kabouter Snijgeschikt na tien rechte sneden maximaal produceren? Het oorspronkelijke blok blijft op zijn plaats, dus al gesneden stukken kunnen niet herschikt worden. Mogelijke antwoorden: 1. 80 2. 100 3. 165 4. 176 5. 211 6. 242 7. 512 8. 564 9. 783 10. 1024

2

Bonte spitsmutsen Gerhard Woeginger (TU Eindhoven; [email protected])

Opgave De Kerstman heeft 126 slimme kabouters uitgenodigd voor een gezellige middag met koffie en gebak. Als de kabouters de zaal inkomen, krijgt ieder van hen een nieuwe muts achterop het hoofd gezet. Dat gaat razendsnel, zodat geen van hen de kleur van de eigen muts kan zien. De Kerstman opent de bijeenkomst met een korte toespraak. “ Mijn beste slimmerikken! We beginnen met een kleine puzzel. Geen van jullie kent de kleur van zijn eigen muts, en elk van jullie kan de muts van alle andere 125 kabouters wel zien. Doel van het spel is, de kleur van de eigen muts zo snel mogelijk, en puur door na te denken, te bepalen. Om de vijf minuten zal ik op mijn grote kerstklok slaan. Zo gauw iemand de kleur van zijn eigen muts bepaald heeft, dan moet hij bij de volgende slag van de klok de zaal verlaten. In de kamer hiernaast krijgt hij dan een kop koffie en een groot stuk taart.” Net toen de Kerstman naar de klok wilde gaan, stelde kabouter Atto een belangrijke vraag: “ Is het echt voor ieder van ons mogelijk, de kleur van zijn muts puur door logisch nadenken te bepalen? Als bijvoorbeeld ieder van ons een andere kleur muts zou hebben, dan zou niemand van ons door nadenken de kleur van zijn muts kunnen bepalen en koffie en taart krijgen!” De Kerstman antwoordt een beetje nors: “ Zou hebben, zou kunnen!, natuurlijk kan elk van jullie dit spel tot een goed einde brengen! Ik heb de kleuren heel zorgvuldig uitgezocht, zodat elk van jullie de kleur van zijn muts in de loop van het spel kan bepalen.” En dan beginnen de slimme kabouters na te denken. En de Kerstman begint de klok te luiden. • Bij de eerste slag van de klok verlaten Atto en negen andere kabouters de zaal. • Bij de tweede slag van de klok verlaten alle kabouters met boterbloemgele, dotterbloemgele, sleutelbloemgele en zonnebloemgele mutsen de zaal. 1

• Bij de derde slag gaan alle kabouters met een karmozijnrode muts weg; bij de vierde slag alle kabouters met een kaktusgroene muts, bij de vijfde slag alle kabouters met een aquamarijnblauwe muts, bij de zesde slag alle kabouters met een oranje muts, bij de zevende slag alle kabouters met een bruine muts en bij de achtste slag alle kabouters met een grijze muts. • Bij de negende, tiende, elfde en twaalfde slag verlaat niemand de zaal. • Bij de dertiende slag gaan alle kabouters met een witte muts en alle kabouters met een zwarte muts weg. En zo gaat het verder. Bij de N -de slag van de klok tot slot verlaat de laatste groep kabouters de zaal. In totaal heeft de klok zeven keer geslagen zonder dat iemand de zaal verliet (hierbij zijn de negende, tiende, elfde en twaalfde slag al inbegrepen). De vraag is nu: hoe groot is N ? Mogelijke antwoorden: 1. N = 17 2. N = 18 3. N = 19 4. N = 20 5. N = 21 6. N = 22 7. N = 23 8. N = 24 9. N = 25 10. N = 26

2

Niet de roede, niet de gard, we werken heel erg hard. Auteur: Olga Heismann (Matheon-Projekt B22), Achim Hildenbrandt (RuprechtKarls-Universität Heidelberg)

Opgave

1

Op grond van een nieuw EU-voorschrift moeten stoute kinderen dit jaar voor het eerst een laatste kans krijgen, spijt te betuigen over hun wangedrag om toch nog op de heilige avond door de kerstman rijkelijk beloond te woren. Voorwaarde daarvoor is dat zij hun ouders bij de voorbereiding op het kerstfeest flink helpen. Helaas werd tot deze regel zo laat besloten dat het niet meer mogelijk was, de betrokken ouders en kinderen uitvoerig via de media in te lichten, zodat ze nu persoonlijk door de hulpjes van de kerstman bezocht moeten worden. In het dorpje Kommermaarop is hulpje Theo Van Pee verantwoordelijk voor de stoute kinderen. Daar zijn er acht van, te weten Chantal, Justin, Lisa, Kirsten, Natalie, Peter, Roland en Stefan. Deze kinderen waren uiteraard niet allemaal even stout, wat zich terugvertaalt in verschillende hoeveelheden klusjes. De volgorde van de kinderen, van meest stout tot minst stout is: Kirsten, Natalie, Stefan, Lisa, Chantal, Roland, Justin, Peter. Theo van Pee dient nu met zijn slee vanaf de Winter-Logistiek-Zaal (WLZ), gelegen ten zuiden van het dorpje Kommermaarop, naar de kinderen te reizen, en flink op ze in te praten, opdat ze het toegewezen strafwerk naar behoren afmaken. Na gedane arbeid moet de rendierslede weer op het WLZ geparkeerd worden. Omdat, zoals gezegd, de kinderen verschillende hoeveelheden strafwerkjes te doen krijgen, en de tijd tot kerstavond al tamelijk krap is, moeten de kinderen met het meeste strafwerk het eerst bezocht worden, zodat ze eerder kunnen beginnen dan de kinderen die wat minder op hun kerfstok hebben. Om deze wens zoveel mogelijk in de bezoeksvolgorde te realiseren, krijgt Theo Van Pee van de kerstman vijf stukken chocolade voor elk paar kinderen (A, B) waarvoor hij A bezoekt voordat hij B bezoekt, waarbij A stouter is dan B. Als hij dus bijvoorbeeld begint met het allerstoutste kind, Kirsten, dan verdient hij daarmee al 7 · 5 = 35 stukken chocolade. Aan de andere kant moet hij het rendier wel voeren met stukken chocolade, want anders verroert die zich niet. Het aantal stukken chocolade nodig om van de ene plek naar de andere te reizen vind je in de volgende tabel (en voor de huizen van de kinderen zie bovenstaande kaart).

2

WLZ Chantal Justin Lisa Kirsten Natalie Peter Roland Stefan

WLZ 0 17 18 15 8 14 10 8 12

C. 17 0 4 15 13 21 7 10 24

J. L. 18 15 4 15 0 12 12 0 12 6 18 3 8 11 12 16 23 13

K. N. P. R. 8 14 10 8 13 21 7 10 12 18 8 12 6 3 11 16 0 8 6 10 8 0 14 18 6 14 0 5 10 18 5 0 11 7 17 18

S. 12 24 23 13 11 7 17 18 0

Aangezien er op de slede een voldoende aantal reserve-stukken chocloda voorhanden is om het rendier te kunnen voeren, maakt het niet uit of hulpje Theo tussendoor een chocolade-tekort heeft. Er wordt in chocolade stukken pas afgerekend bij terugkomst in WLZ. Nu is Theo van Pee echt een snoeperd, en dus wil hij op het einde van de rit zoveel mogelijk stukken chocolade voor zichzelf overhouden. Dom genoeg is de tijd erg krap en heeft Theo te veel aan de gl¨ uhwein gezeten om helder te kunnen nadenken en de best mogelijke route vast te stellen. Help Theo! Hoeveel stukken chocolade kan hij op het einde maximaal overhouden? Antwoordmogelijkheden: Antwoordmogelij 1. 37 2. 39 3. 47 4. 48

1. 37 2. 39 3. 43

5. 49

4. 45

6. 54

5. 47

7. 55

6. 51

8. 56

7. 52

9. 86

8. 56

10. 88

9. 86 10. 88 10

3

Melkdistributie Hajo Broersma (Universiteit Twente; [email protected]) Rudi Pendavingh (TU Eindhoven; [email protected])

Opgave De Vrek en zijn knecht Robert willen vier vaten met elk 40 liter melk onder elkaar verdelen. Hiervoor geeft de Vrek aan Robert vier tegoedbonnen, twee met het opschrift LINKS en twee met het opschrift LINKS-OF-RECHTS. Het verdelen van de melk gaat in vier rondes, met gebruikmaking van twee tonnen, een linker - en een rechterton (elk met een inhoud van 40 liter), die aan het begin van iedere ronde leeg zijn. Aan het begin van de k-de ronde (k=1,2,3,4) verdeelt de Vrek de 40 liter melk uit het k-de vat over de linker - en de rechterton, volgens een door hem gekozen verdeling. Daarna kijkt Robert goed naar de verdeling in liters over de twee tonnen en geeft hij één van zijn tegoedbonnen aan de Vrek. Als Robert een bon met LINKS-OF-RECHTS inlevert, mag hij kiezen uit de twee tonnen, maar als hij een bon met LINKS inlevert, dan moet hij de linkerton kiezen. Robert krijgt de volledige inhoud van de door hem gekozen ton, terwijl de Vrek de inhoud van de andere ton neemt. Zowel de Vrek als zijn knecht Robert nemen in elke ronde de voor hun uitkomst beste beslissingen. Hoeveel liter melk kan Robert voor zichzelf veiligstellen? Mogelijke antwoorden: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

72 71 70 69 68 67 66 65 64 63

Liter Liter Liter Liter Liter Liter Liter Liter Liter Liter

1

Verlanglijstjesoptimalisering Auteurs: Yann Disser, Max Klimm, Sebastian Stiller Cadeautjes krijg je voor het braaf zijn. Maar het helpt ook, als je je verlanglijstje slim sorteert. Al naar gelang hoe braaf je bent geweest, reserveert de Kerstman op zijn slee een bepaald maximumgewicht voor jouw cadeautjes. Vervolgens loopt hij je verlanglijstje één keer van boven tot onder na. Hij bekijkt dus eerst het bovenste cadeau. Als dat minder dan het maximumgewicht weegt, laadt hij het op de slee. Zo niet, dan is je kans op dat geschenk verkeken—hij pakt dus géén halve cadeaus in, en herziet zijn eerdere beslissingen later niet. Vervolgens kijkt hij naar het tweede cadeau op je lijst. Als dat (samen met het eerste cadeau, mocht dat ingeladen zijn) nog past, dan wordt het op de slee geladen, anders niet. Enzovoorts tot je onderste cadeauwens. Het is dus heel belangrijk, je wensen goed te sorteren. Daarbij zijn er twee problemen. Ten eerste weet bijna niemand, hoe braaf hij door de Kerstman gevonden wordt, en dus hoeveel gewicht hij toegewezen krijgt. Ten tweede heeft elk cadeau een vast, objectief, gewicht, dat de Kerstman gebruikt bij het inladen, maar ook een vaste (voor het gemak eveneens objectieve) waarde, waar het de kinderen om gaat. Je wil tenslotte niet per se heel zware, maar vooral heel mooie cadeaus! Basti, Moritz, Paula, Vera en Ruprecht hebben dit jaar toevallig precies dezelfde wensen, en allen hechten dus aan één en hetzelfde cadeau dezelfde objectieve waarde. (De Kerstman heeft voldoende exemplaren van elk geschenk op voorraad.) Ieder heeft zijn eigen strategie om zijn verlanglijstje te sorteren: 1

• Basti sorteert de cadeaus in volgorde van dalende waarde. • Moritz sorteert de cadeaus in volgorde van stijgend gewicht. • Paula sorteert de cadeaus in volgorde van dalend gewicht. • Vera berekent voor elk cadeau de zogenaamde dichtheid, d.w.z. de waarde gedeeld door het gewicht, en sorteert de cadeaus op volgorde van dalende dichtheid. • Ruprecht heeft toevallig wel gehoord hoeveel gewicht hem toegewezen is, en sorteert de cadeaus zó dat de totale waarde van de cadeaus die hij daadwerkelijk krijgt maximaal is. De Kerstman besluit dat Basti, Moritz, Paula en Vera dit jaar even braaf zijn ijn geweest als Ruprecht, en kent dus alle vijf hetzelfde maximumgewicht toe. Welke onderstaande ongeacht oee. We W Welk eelk lke lk ke v van aan oon nde ders rsta rs taan ta ande an dee uitspraken uits ui uits tspr prraken p ak ken is iin n ieder iede ie derr ggeval de ev val a juis jjuist, ju uis ist, t, on onge geac ge acht ac ht de ggewichten gewi ge ewi wich chte hte ten n en en d waa aard rd rdes dess van van va n de de vijf vij iijf jf gewenste ggew ewen ew enst en stee cadeaus? st cad cad adea dea eaus u? us dee waardes

Which of the following statements is correct in any y case no matter what the desired presents of the 5 kids are and how big the reserved weight is. M lijk antwoorden: t d Mogelijke 1. Basti krijgt in totaal tenminste zoveel waarde als Moritz, Paula, en Vera afzonderlijk. 2. Moritz krijgt in totaal tenminste zoveel waarde als Basti, Paula en Vera afzonderlijk. 3. Paula krijgt in totaal tenminste zoveel waarde als Basti, Moritz en Vera afzonderlijk. 4. Vera krijgt in totaal tenminste zoveel waarde als Basti, Moritz en Paula afzonderlijk. 5. De totale waarde van Basti’s cadeaus is tenminste een kwart van de totale waarde van Ruprechts cadeaus. 6. De totale waarde van Moritz’ cadeaus is tenminste een kwart van de totale waarde van Ruprechts cadeaus. 2

7. De totale waarde van Paula’s cadeaus is tenminste een kwart van de totale waarde van Ruprechts cadeaus. 8. De totale waarde van Vera’s cadeaus is tenminste een kwart van de totale waarde van Ruprechts cadeaus. 9. Als alle cadeaus dezelfde dichtheid hebben, dan krijgen Basti en Paula afzonderlijk ieder tenminste half zo veel waarde als Ruprecht. 10. Als alle cadeaus dezelfde dichtheid hebben, dan krijgt Moritz tenminste half zo veel waarde als Ruprecht.

3

Xmassium Rudi Pendavingh (TU Eindhoven) Frits Spieksma (KU Leuven) In het laboratorium van de Kerstman is een nieuw chemisch element ontdekt. In navolging van bekende elementen als Rubidium, Cesium en Francium wordt het nieuwe element Xmassium genoemd. De laboratoriumelfen hebben enkele Xmassium-atomen op de getallenrechte gelegd en het volgende gedrag geobserveerd: • Een Xmassium-atoom dat dat op het getal m ligt kan zich splitsen in twee Xmassium-atomen, die dan op de getallen m − 1 en m + 1 komen te liggen. • Twee Xmassium-atomen, gelegen op de getallen n − 1 en n + 1, kunnen fuseren tot een enkel Xmassium-atoom, dat op het getal n komt te liggen. De Xmassium-atomen zijn zo piepklein dat elk punt van de getallenrechte plaats heeft voor een onbeperkt aantal van deze atomen. Een laboratoriumelf legt nu een enkel Xmassium-atoom op het getal 0, laat voor het overige de getallenrechte leeg, en gaat lunchen. Wanneer hij terug is, treft hij tot zijn verbazing opnieuw de getallenrechte aan met een enkel Xmassium-atoom, dat nu echter op een getal z ligt met 21 ≤ z ≤ 29. De vraag is: wat is z? 1. z = 21 2. z = 22 3. z = 23 4. z = 24 5. z = 25 6. z = 26 7. z = 27 8. z = 28 9. z = 29 10. de waarde van z kan men uit de opgave niet eenduidig bepalen.

1

Konijntje Cor Hurkens (TU Eindhoven; [email protected]) Gerhard Woeginger (TU Eindhoven; [email protected])

Opgave Ruprecht heeft zijn uitgebreide rechthoekige konijnenfokkerij in 25 kleinere rechthoekige delen onderverdeeld door het aanleggen van lange rechte tussengangen. Het volgende figuur geeft van sommige van de delen de oppervlakte weer. (Pas op, De afbeelding geeft alleen de waarden van de oppervlakten weer en is niet verhoudingsgetrouw.)

39

30

24

X 26

35

Y

16

42

22

Z

Ruprecht krabt zich achter de oren en denkt: Kun je uit de gegeven oppervlakten de drie oppervlakten X, Y en Z berekenen? Mogelijke antwoorden: 1.

Jazeker: X = 25, Y = 27, Z = 32.

2.

Jazeker: X = 26, Y = 28, Z = 33.

3.

X = 26 en Y = 27, maar Z kan men niet vastleggen op basis van de gegevens. 1

4.

X = 26 en Z = 32, maar Y kan men niet vastleggen op basis van de gegevens.

5.

Y = 28 en Z = 32, maar X kan men niet vastleggen op basis van de gegevens.

6.

X = 25, maar Y en Z kan men niet vastleggen op basis van de gegevens.

7.

Y = 28, maar X en Z kan men niet vastleggen op basis van de gegevens.

8.

Z = 33, maar X en Y kan men niet vastleggen op basis van de gegevens.

9. 10.

Uit de gegevens kan van geen enkel van de drie oppervlakten X, Y en Z de waarde bepaald worden. Op basis van de gegevens is alleen af te leiden dat X, Y , Z even groot zijn.

2

Het boekhoudkantoor van Marko V. Auteurs: M. Liero en A. Glitzky

hint: for i > 1: l_i > 0

Opgave

In de adventsperiode is het op het boekhoudkantoor van de kerstman natuurlijk heel druk. Op tien werkplekken verwerken de elven aanvragen, bestellingen en last-minute wenslijsten. Zoals gebruikelijk is in boekhoudkantoren, worden de documenten, waarvan het aantal vele malen groter is dan het aantal bureaus, op de ene werkplek van een stempel voorzien en dan doorgeschoven naar een van de naastgelegen werkplekken. We kunnen bij dit proces het volgende waarnemen: vanuit werkplek i gaat een document met kans i naar links en met kans ri naar rechts. Met name komt het dus ook voor dat een document met kans bi = 1 − i − ri voor nadere controle 1

op de i-de werkplek blijft. Aangezien de eerste werkplek geen linkerbuur heeft, en de laatste geen rechterbuur, geldt hier dat 1 = r10 = 0. Aan het begin van de werkdag liggen op elk bureau evenveel documenten. Elke minuut wordt op elk bureau de stapel van papieren volgens het bovengenoemde schema verwerkt en doorgeschoven. Hierbij blijft het totaal aantal documenten binnen het kantoor uiteraard gelijk. Verder is er geen verband tussen het traject van het ene document en dat van een ander. Aangezien de tijd aan de noordpool veel langzamer verloopt dan op de rest van de wereld, komt het systeem al vroeg op de middag in een soort evenwichtsituatie terecht. De statistische verdeling van de documenten over de verschillende werkplekken verandert niet meer. Dat wil zeggen: de kans om een specifiek document op een bepaalde werkplek aan te treffen verandert in de vervolgstappen niet meer. Elf Marko V. werkt aan het negende bureau en is een echte work-a-holic. Hij heeft kans gezien zijn beide buren te manipuleren, met peperkoek en gl¨ uhwein. Hij kan een parameter a ∈ [0, ∞) naar eigen voordeel aanpassen. Deze parameter bepaalt de verhoudingen tussen de overgangskansen naar links en rechts in de vorm r8 = a 9 en r9 = a 10 . Voor alle overige kansen geldt: ri = 2 i+1 . Hoe moet Marko het getal a kiezen, zodat er, aan het einde van de dag, zoveel mogelijk documenten op zijn bureau liggen? Antwoordmogelijkheden: 1. a = 1 √ 2. a = 10 210 − 2 3. a = π 4. a = 1 + 210 5. a = 6. a =

5 2

√

27 − 100

7. a = 42 8. a = 0 √ 9. a = 2 − 2−7 √ 10. a = 10 25 + 1

2

Problemen bij de landing van een arreslee Merlijn Staps

Opgave De kerstman wil met zijn arreslee landen op een open plek in een bosgebied. De open plek is vierkant, maar het is niet helemaal een open plek: er staan nog twee dennenbomen op de open plek. De arreslee heeft een rechthoekig gebied van 10 vierkante meter nodig om te kunnen landen. Het bijzondere aan de arreslee is echter dat ieder rechthoekig gebied van 10 vierkante meter volstaat als landingsplaats, ongeacht de vorm. Met zijn arreslee kan de kerstman dus landen op een rechthoekig gebied van 5 bij 2 meter, maar ook op een rechthoekig gebied van 100 meter bij 10 centimeter. Er zijn echter wel twee voorwaarden: de zijden van het landingsgebied moeten evenwijdig lopen aan de zijden van de open plek, en in het landingsgebied mag geen denneboom staan. De kerstman weet nog niet hoe groot de open plek in het bos is. Het is gegeven dat er een getal A bestaat zodat de kerstman sowieso een landig met de arreslee kan maken, onafhankelijk van waar de twee dennenbomen precies staan, als de oppervlakte van de open plek groter is dan A, maar dat dit niet zo hoeft te zijn als de oppervlakte van de open plek kleiner is dan A. Wat is de waarde van A?

1

Mogelijke antwoorden:

1. 10 vierkante meter √ 2. 5(2 + 3) = 2−5√3 vierkante meter 3. 20 vierkante meter √ 5 vierkante meter 4. 5(2 + 5) = √5−2 5. 25 vierkante meter √ 50√ 6. 50 (9 + 5 2) = 9−5 vierkante meter 31 2 7. 5(3 +

√

8. 10(1 +

5) =

√

20 √ 3− 5

3) =

vierkante meter

√20 3−1

vierkante meter

√ 9. 20 2 vierkante meter 10. 30 vierkante meter

2

DeslingerendesleeAuteurs: VolkerMehrmann,LukasWaas

Opgave De startbaan voor de slee van de kerstman was altijd al wat hobbelig. In feite zo hobbelig dat de slee regelmatig begon te slingeren en daarbij af en toe een pakketje kwijtraakte. De kerstkabouters kunnen dan met halsbrekende toeren achter de slee aan rennen om het verloren kadootje weer terug te stoppen. Maar sprintkabouter Bolt wordt ook een dagje ouder en heeft er eerlijk gezegd ook een beetje genoeg van om door sneeuw en ijs achter gevallen geschenken aan te hollen. Hij besluit een hypermoderne slingerbedwinger te bestellen, die aan de slee vastgemaakt moet worden. De fabrikant zegt, dat het apparaat al perfect is ingesteld op het laatste model kerstslee. Was alles maar zo eenvoudig! Bolt verheugt zich al op een ontspannen 24e december, maar helaas, al bij de eerste proefrit slaat de slee om en alle kadootjes belanden in de sneeuw. Hierbij gaan alle instellingen die de fabrikant gemaakt heeft verloren, de accu is behoorlijk beschadigd, en zo vlak voor kerst komt daar niemand meer aan de telefoon. Na een langdurig overleg met mensen van de drie technische universiteiten, die gelukkig veel ervaring hebben met de slingerbedwinger, weet hij uit te vinden dat de twee regelknoppen h en k van het apparaat zo ingesteld moeten worden, dat alle nulpunten van de functie (1) f (x) = x2 + (d − c · h) · x + (b − c · k)

1

reëel zijn, en kleiner dan of gelijk aan −1, waarbij in dit geval voor de coëfficiënten geldt dat d = 0; b = 1 en c = 2. Verder is het van belang de beschadigde accu niet te overbelasten. Daarom moet de variabele W , die staat voor het energieverbruik dat nodig is voor het bedwingen van de slingeringen zo klein mogelijk zijn: W (h, k) = h2 + k 2

(2)

Wat is de beste keuze voor de parameters h en k, oftewel welke van de volgende beweringen gelden voor de oplossing? Mogelijke antwoorden: 1. h > 2, 2; k > −3 2. h > 3, 6; k < 1, 1 3. h < 2; k > 1, 5 4. h > 2, 1; k > 5 5. h < 1, 2; k > 5, 2 6. h < 3, 6; k < −0, 25 7. h < 1, 1; k < 0, 5 8. h < −5, 2; k > −0, 5 9. h > 1; k > −0, 2 10. h > −0, 5; k < 1

2

Kerstkoekjes bakken Boris Springborn

Opgave Een kerstkabouter stanst met een kerstkoekjesvorm driehoekige koekjes uit een oneindig grote lap deeg die het hele vlak bedekt. Tussen twee opeenvolgende stansen beweegt hij de vorm telkens een lengtemaat naar rechts, naar links, naar voren, of naar achteren op zo’n manier dat de koekjes regelmatig op het bakblik uitgelegd zijn:

De vorm en de oriëntatie van de driehoekige stansvorm moeten zo gekozen worden, dat de koekjes een zo groot mogelijk oppervlakte hebben. De koekjes mogen elkaar natuurlijk niet overlappen, maar ze mogen elkaar wel raken.

1

Wat is de maximale oppervlakte (in vierkante lengtematen) die de koekjes kunnen hebben? Mogelijke antwoorden: 1.

1/2

2.

4/7

3.

3/5

4.

5/8

5.

2/3

6.

5/7

7.

3/4

8.

4/5

9.

5/6

10.

6/7

2

Dodeca¨ eder Onno Boxma, [email protected] Gerhard Woeginger, [email protected]

Opgave Een rups kruipt over de zijden van een dodecaëder (regelmatig twaalfvlak). Ze begint haar reis in hoekpunt A, en haar doel is het diametraal tegenover A gelegen hoekpunt Z van het dodecaëder. In elk hoekpunt kiest de rups een van de drie uitgaande zijden; daarbij heeft elk van de zijden dezelfde kans 1/3 om gekozen te worden, inclusief de zijde waar ze net al over kwam. Het kost de rups precies een dag, om een zijde helemaal langs te kruipen. Zodra ze hoekpunt Z heeft bereikt, verandert ze in een vlinder en vliegt weg. Vraag: hoeveel dagen zal de rups naar verwachting (d.w.z.: gemiddeld, in verwachting) op het dodecaëder doorbrengen? Mogelijke antwoorden: 1. 10 dagen 2. 15 dagen 3. 20 dagen 4. 25 dagen 5. 30 dagen 6. 35 dagen 7. 40 dagen 8. 45 dagen 9. 50 dagen 10. 55 dagen 1

Geen fastfood voor rendieren Auteurs: Philipp Petersen en Jackie Ma

Opgave ”Ach heremetijd!” verzucht de kerstman, ”deze belachelijk kieskeurige rendieren komen net als elk jaar om deze tijd weer eens in opstand”. Dit is de reden van zijn vertwijfelde uitroep: Elk jaar, begin december, bedenken de rendieren opeens dat ze vanaf nu alleen nog hun speciale rendier-krachtvoer willen eten. Iedereen met een beetje verstand weet natuurlijk dat dit ’krachtvoer’ noch gezond, noch bijzonder voedzaam is, laat staan dat men daarvan, hoewel de naam anders doet vermoeden, extra krachtig wordt. Maar zo zijn rendieren nu eenmaal, wanneer ze zich iets in hun kop gezet hebben dan moet het ook zo gebeuren, en zo vlak voor kerst is het erg onverstandig een rendier zijn zin niet te geven. Weliswaar kent de kerstman zijn rendieren en hun onverstandige jaarlijkse kuren, maar hij kan de stress en alle bijkomende problemen op dit moment net zo goed gebruiken als een gat in de zak met kadoos. Mocht het echter toch komen tot een opstand onder de rendieren, dan zou het probleem snel opgelost kunnen worden, want vadertje kerst heeft met zijn vooruitziende blik de betrekkelijk eenvoudige ingrediënten voor het ’krachtvoer’ opgeschreven. Er zijn maar vier dingen nodig: Suiker, Peperkoekdeeg, Melk, en natuurlijk het Geheime Bestanddeel. Maar, hoeveel van wat? Dat was de afgelopen jaren telkens het grote probleem.

1

Alles goed en wel, maar waarom kijkt de kerstman dan toch zo vertwijfeld? De reden daarvoor ligt een jaar terug. Hij zei toen bij zichzelf: ”Na alle stress van de afgelopen jaren doe ik het dit keer foolproof en met een geheime code. De code is nodig, omdat het regelmatig is voorgekomen dat de rendieren toch stiekem de ingrediënten te weten zijn gekomen en dan wekenlang feest hebben gevierd omdat ze de kerstman te slim af geweest waren. Ook moet het foolproof zijn, want de kerstman heeft met alles wat er rond Kerst geregeld moet worden al genoeg aan zijn hoofd. Hij moet er niet aan denken wat de rendieren voor theater maken, als het recept verkeerd zou uitvallen. Nu heeft hij echter spijt van zijn nieuwe aanpak. Om zijn probleem wat beter te begrijpen is het van belang iets meer over zijn, o zo sluwe, plan van vorig jaar te weten. Punt 1 - De verschillende gegevens moeten over veel verschillende plekken verdeeld worden, zodat de altijd nieuwsgierig rondsnuffelende rendieren en hun handlangers, de kerstkabouters, zo weinig mogelijk te weten komen. Punt 2 - Uit ervaring weet de kerstman, dat hij er niet op kan vertrouwen alle verstopte gegevens terug zal vinden. De kerstman maakt daarom twaalf briefjes met op elk briefje precies één getal, dat echter op een nogal ingewikkelde manier bepaald wordt. Om te beginnen schrijft hij de volgende drie getallen op: 1. De hoeveelheid suiker. 2. De hoeveelheid suiker min de hoeveelheid peperkoekdeeg. 3. De hoeveelheid peperkoekdeeg plus de hoeveelheid suiker. Dan combineert hij de gegevens over de hoeveelheid melk en geheim ingrediënt tot de volgende vier getallen: 1. De hoeveelheid melk plus één keer de hoeveelheid geheim ingrediënt. 2. Min de hoeveelheid melk plus de hoeveelheid geheim ingrediënt. 3. De hoeveelheid melk min de hoeveelheid geheim ingrediënt. 4. Min de hoeveelheid melk min de hoeveelheid geheim ingrediënt. Uit deze 3 plus 4 gegevens kunnen 12 combinaties gemaakt worden. Voor elke combinatie schrijft hij de som van de twee getallen, en natuurlijk hoe ze 2

tot stand gekomen zijn, dus bijvoorbeeld (uit de combinatie 1 en 3): ”De hoeveelheid suiker plus de hoeveelheid melk min de hoeveelheid geheim ingrediënt is 5” De briefjes heeft hij vervolgens verstopt, waarbij hij natuurlijk wel heeft onthouden waar de briefjes liggen, maar hij weet van geen enkel briefje nog wat er op staat. Maar het basisidee zou de kerstman natuurlijk niet vergeten. Nu heeft hij dus (destijds) twaalf getallen opgeschreven, en dat voor slechts vier ingrediënten. Totaal overdreven, dacht hij vorig jaar, maar inmiddels is gebeurd wat te voorzien was. De kerstman kan zich niet alle verstopplekken herinneren. Toch maakt zijn bezorgde uitdrukking langzaam plaats voor en triomferende grijns en hij stelt vast: ”Ik herinner me nog precies genoeg verstopplekken om het recept hoe dan ook te kunnen reconstrueren.”Eerste vraag: Hoeveel plekken herinnert de kerstman zich nog? hint: at least Op het moment dat de kerstman zich opmaakt om de eerste briefjes te verzamelen, komt hij de brutale kabouter Arthur tegen, die hem uit het lood slaat met de volgende onheilstijding. De kabouters hebben één van de 12 briefjes gevonden en vervangen door een vervalsing met een ander getal. Welk briefje vervalst is weigert Arthur echter te verraden. De in de grond goedmoedige kerstman hoeft zich echter niet al te lang over deze schelmenstreek op te winden. Vraag 2: Hoeveel plekken moet hij zich nu herinneren om het recept te kunnen maken?

Mogelijke antwoorden: 1. De oude man met de witte baard herinnert zich aanvankelijk acht verstopplekken. Met zoveel briefjes maakt het niet uit of een daarvan vervalst is. 2. Sint Nicolaas weet nog acht verstopplaatsen. Om geen last van de gemene streek van de kabouters te hebben moet hij er zich echter nog één herinneren. 3. In het slechtste geval zijn acht briefjes nodig. Maar door het gedrag van de kabouters is hij gedwongen er zich tien te herinneren. 4. De kerstman had eigenlijk aan zeven briefjes genoeg, maar het valse briefje zorgt ervoor dat hij alle twaalf nodig heeft. 3

5. Zeven plekjes zou genoeg geweest zijn, maar nu moet hij zich er nog minstens twee meer herinneren. 6. Zeven briefjes zijn zeker nodig, maar als er een valse bijzit, dan is acht genoeg. 7. Père Noël heeft uitgevonden dat het met zes briefjes moet lukken de oplossing te bepalen. Maar aan de kabouters is het te wijten dat hij er nog tenminste drie bij moet hebben. 8. De hoofdpersoon in dit verhaal herinnert zich zes verstopplekken. En omdat hij alles zo slim bedacht heeft is dat zelfs genoeg als één van de briefjes vervalst is. 9. De kerstman kon zich nog vijf plekken te binnen brengen. Als een van de briefjes vervalst is, dan moet hij om het goede antwoord te vinden nog twee extra briefjes vinden. 10. Zelfs met alle briefjes is het niet mogelijk de precieze verhouding van de ingrediënten te bepalen.

4

Geen fastfood voor rendieren Auteurs: Philipp Petersen en Jackie Ma

Opgave ”Ach heremetijd!” verzucht de kerstman, ”deze belachelijk kieskeurige rendieren komen net als elk jaar om deze tijd weer eens in opstand”. Dit is de reden van zijn vertwijfelde uitroep: Elk jaar, begin december, bedenken de rendieren opeens dat ze vanaf nu alleen nog hun speciale rendier-krachtvoer willen eten. Iedereen met een beetje verstand weet natuurlijk dat dit ’krachtvoer’ noch gezond, noch bijzonder voedzaam is, laat staan dat men daarvan, hoewel de naam anders doet vermoeden, extra krachtig wordt. Maar zo zijn rendieren nu eenmaal, wanneer ze zich iets in hun kop gezet hebben dan moet het ook zo gebeuren, en zo vlak voor kerst is het erg onverstandig een rendier zijn zin niet te geven. Weliswaar kent de kerstman zijn rendieren en hun onverstandige jaarlijkse kuren, maar hij kan de stress en alle bijkomende problemen op dit moment net zo goed gebruiken als een gat in de zak met kadoos. Mocht het echter toch komen tot een opstand onder de rendieren, dan zou het probleem snel opgelost kunnen worden, want vadertje kerst heeft met zijn vooruitziende blik de betrekkelijk eenvoudige ingrediënten voor het ’krachtvoer’ opgeschreven. Er zijn maar vier dingen nodig: Suiker, Peperkoekdeeg, Melk, en natuurlijk het Geheime Bestanddeel. Maar, hoeveel van wat? Dat was de afgelopen jaren telkens het grote probleem.

1

Alles goed en wel, maar waarom kijkt de kerstman dan toch zo vertwijfeld? De reden daarvoor ligt een jaar terug. Hij zei toen bij zichzelf: ”Na alle stress van de afgelopen jaren doe ik het dit keer foolproof en met een geheime code. De code is nodig, omdat het regelmatig is voorgekomen dat de rendieren toch stiekem de ingrediënten te weten zijn gekomen en dan wekenlang feest hebben gevierd omdat ze de kerstman te slim af geweest waren. Ook moet het foolproof zijn, want de kerstman heeft met alles wat er rond Kerst geregeld moet worden al genoeg aan zijn hoofd. Hij moet er niet aan denken wat de rendieren voor theater maken, als het recept verkeerd zou uitvallen. Nu heeft hij echter spijt van zijn nieuwe aanpak. Om zijn probleem wat beter te begrijpen is het van belang iets meer over zijn, o zo sluwe, plan van vorig jaar te weten. Punt 1 - De verschillende gegevens moeten over veel verschillende plekken verdeeld worden, zodat de altijd nieuwsgierig rondsnuffelende rendieren en hun handlangers, de kerstkabouters, zo weinig mogelijk te weten komen. Punt 2 - Uit ervaring weet de kerstman, dat hij er niet op kan vertrouwen alle verstopte gegevens terug zal vinden. De kerstman maakt daarom twaalf briefjes met op elk briefje precies één getal, dat echter op een nogal ingewikkelde manier bepaald wordt. Om te beginnen schrijft hij de volgende drie getallen op: 1. De hoeveelheid suiker. 2. De hoeveelheid suiker min de hoeveelheid peperkoekdeeg. 3. De hoeveelheid peperkoekdeeg plus de hoeveelheid suiker. Dan combineert hij de gegevens over de hoeveelheid melk en geheim ingrediënt tot de volgende vier getallen: 1. De hoeveelheid melk plus één keer de hoeveelheid geheim ingrediënt. 2. Min de hoeveelheid melk plus de hoeveelheid geheim ingrediënt. 3. De hoeveelheid melk min de hoeveelheid geheim ingrediënt. 4. Min de hoeveelheid melk min de hoeveelheid geheim ingrediënt. Uit deze 3 plus 4 gegevens kunnen 12 combinaties gemaakt worden. Voor elke combinatie schrijft hij de som van de twee getallen, en natuurlijk hoe ze 2

tot stand gekomen zijn, dus bijvoorbeeld (uit de combinatie 1 en 3): ”De hoeveelheid suiker plus de hoeveelheid melk min de hoeveelheid geheim ingrediënt is 5” De briefjes heeft hij vervolgens verstopt, waarbij hij natuurlijk wel heeft onthouden waar de briefjes liggen, maar hij weet van geen enkel briefje nog wat er op staat. Maar het basisidee zou de kerstman natuurlijk niet vergeten. Nu heeft hij dus (destijds) twaalf getallen opgeschreven, en dat voor slechts vier ingrediënten. Totaal overdreven, dacht hij vorig jaar, maar inmiddels is gebeurd wat te voorzien was. De kerstman kan zich niet alle verstopplekken herinneren. Toch maakt zijn bezorgde uitdrukking langzaam plaats voor en triomferende grijns en hij stelt vast: ”Ik herinner me nog precies genoeg verstopplekken om het recept hoe dan ook te kunnen reconstrueren.”Eerste vraag: Hoeveel plekken herinnert de kerstman zich nog? hint: at least Op het moment dat de kerstman zich opmaakt om de eerste briefjes te verzamelen, komt hij de brutale kabouter Arthur tegen, die hem uit het lood slaat met de volgende onheilstijding. De kabouters hebben één van de 12 briefjes gevonden en vervangen door een vervalsing met een ander getal. Welk briefje vervalst is weigert Arthur echter te verraden. De in de grond goedmoedige kerstman hoeft zich echter niet al te lang over deze schelmenstreek op te winden. Vraag 2: Hoeveel plekken moet hij zich nu herinneren om het recept te kunnen maken?

Mogelijke antwoorden: 1. De oude man met de witte baard herinnert zich aanvankelijk acht verstopplekken. Met zoveel briefjes maakt het niet uit of een daarvan vervalst is. 2. Sint Nicolaas weet nog acht verstopplaatsen. Om geen last van de gemene streek van de kabouters te hebben moet hij er zich echter nog één herinneren. 3. In het slechtste geval zijn acht briefjes nodig. Maar door het gedrag van de kabouters is hij gedwongen er zich tien te herinneren. 4. De kerstman had eigenlijk aan zeven briefjes genoeg, maar het valse briefje zorgt ervoor dat hij alle twaalf nodig heeft. 3

5. Zeven plekjes zou genoeg geweest zijn, maar nu moet hij zich er nog minstens twee meer herinneren. 6. Zeven briefjes zijn zeker nodig, maar als er een valse bijzit, dan is acht genoeg. 7. Père Noël heeft uitgevonden dat het met zes briefjes moet lukken de oplossing te bepalen. Maar aan de kabouters is het te wijten dat hij er nog tenminste drie bij moet hebben. 8. De hoofdpersoon in dit verhaal herinnert zich zes verstopplekken. En omdat hij alles zo slim bedacht heeft is dat zelfs genoeg als één van de briefjes vervalst is. 9. De kerstman kon zich nog vijf plekken te binnen brengen. Als een van de briefjes vervalst is, dan moet hij om het goede antwoord te vinden nog twee extra briefjes vinden. 10. Zelfs met alle briefjes is het niet mogelijk de precieze verhouding van de ingrediënten te bepalen.

4

IJdele Rendieren Auteurs: Kersten Schmidt, Dirk Klindworth, Robert Gruhlke

Opgave “Oh nee, kerst staat voor de deur!” Voor een goed verloop van het feest is Kerstman Klaus aangewezen op hoog gemotiveerde rendieren. Maar hij kent zijn rendieren precies: • Als het te warm is, worden ze lui. • Als het te koud is, dan worden ze verkouden en moeten ze eerst uitzieken. • Alleen bij temperaturen tussen TK = −14.625 und TW = 0 zijn ze op hun best: tevreden, gezond, en alert. Omdat het op de noordpool erg koud is, heeft Klaus (natuurlijk CO2 -neutraal!) het hele jaar de verwarming aan staan, zodat de buitenwand van zijn huis (met horizontale coördinaat x0 = 0) constant de temperatuur TA = 15 heeft. Op het weerbericht hoort de Kerstman dat op afstand x1 = 2 kerstmeter van zijn huis een ijskoude sneeuwstorm ter sterkte s = −5 woedt die zich uitstrekt tot het x2 = 4 kerstmeter van zijn huis verwijderde Nordmannsparrenbos. Er wordt beweerd dat in de donkere diepte van het Nordmannsparrenbos (xN = 5) een barre temperatuur van TE = −40 heerst. Klaus staat voor de vraag, in welk interval [xA , xB ] hij de rendieren moet

1

stallen. Omdat de Kerstman het veel te druk heeft met het plannen van zijn kerstrondes, geeft hij een kabouter met de vreemde naam EEM de volgende opdracht: Beste EEM, Ik heb je hulp nodig bij het stallen van mijn rendieren. Neem aan dat de functie u het temperatuurverloop beschrijft van mijn huis tot in de donkere diepte van het Normannsparrenbos. Dus u(x) is de temperatuur op positie x ∈ [0, xN ]. Er heerst een sneeuwstorm die beschreven wordt door de functie f : ⎧ ⎨ 0, x ∈ [0, x1 ), 1, x ∈ [x1 , x2 ], f (x) = ⎩ 0, x ∈ (x2 , xN ]. De sterkte van de sneeuwstorm is s = −5. De temperatuur aan beide randen is bekend: u(0) = TA = 15

u(xN ) = TE = −40.

en

Ik weet, dat het steeds kouder wordt, naarmate je verder van mijn huis komt. Maar waar is het TW warm en TK koud? PS: Een benadering volstaat.

In EEMs toverboek moet hiervoor toch een model te vinden zijn. Hij bladert als een gek en vindt tenslotte:

2

Construeer in het vlak drie (elkaar overlappende) gelijkbenige driehoeken 1 , 2 , 3 , ieder met basis ter lengte G := xN /2 = 5/2 rustend op de (horizontale) x-as en met toppen op posities (1.25, 1), (2.5, 1), (3.75, 1), respectievelijk. Bereken met behulp hiervan getallen f1 , f2 , f3 en h0 , h1 , h2 , h3 , h4 als volgt: • Het getal fj is de oppervlakte van de doorsnede van j met het gebied onder de grafiek van f . • h0 = TA = 15 en h4 = TE = −40. • Voor j = 1, 2, 3 geldt −hj−1 + 2 · hj − hj+1 = 0.5 · s · G · fj . Nadat je h1 , h2 , h3 zo bepaald hebt, verschuif je de top van driehoek j naar hoogte hj , zonder de x-coordinaat te veranderen. Daarbij blijft j gelijkbenig: alleen de top wordt verticaal verschoven. EEM ziet het voor zich en bedenkt: “de zo gevonden waarden hj geven een benadering van de temperatuur voor de x-coördinaten 1.25, 2.5, 3.75. Als ik de randpunten (0, TA ), (xN , TE ) en de toppen van de nieuwe driehoeken door rechte lijnstukken met elkaar verbind, krijg ik een stuksgewijs lineaire benadering van de functie u(x)! Dat zou de komende kerst kunnen redden!” In welk interval zal EEM de Kerstman adviseren zijn rendieren te stallen? Mogelijke antwoorden: 1. Nergens. Kerst valt dit jaar uit. 2. Tussen 0.25 en 1.25. 3. Tussen 0.25 en 2.75. 4. Tussen 0.50 en 2.75. 5. Tussen 0.75 en 2.25. 6. Tussen 0.75 en 3.25. 3

7. Tussen 1.00 en 2.00. 8. Tussen 1.00 en 3.50. 9. Tussen 1.25 en 2.75. 10. De rendieren zijn overal op hun best.

4

Geschenken verplaatsen Auteur: Gregor Heyne

Opgave De magazijnbeheerder van de Kerstman krijgt de opdracht om 16 geschenken te verplaatsen. Deze geschenken hebben een verschillend gewicht van respectievelijk 1 tot en met 16 kg. Ze zijn opgestapeld in opslagtoren 1 met het zwaarste geschenk helemaal beneden en daarboven op, met steeds 1 kg verschil, de geschenken met een gewicht van 15 tot en met 1 kg. Dus het lichtste geschenk ligt geheel boven en het zwaarste geheel beneden. De opslagtorens 2 en 3 zijn nog leeg. De magazijnbeheerder moet deze geschenken verplaatsen naar opslagtoren 3 en ook hier dienen ze weer opgestapeld te zijn in dezelfde volgorde als in opslagtoren 1. Hij mag maar één geschenk tegelijk verplaatsen en een geschenk mag niet op een geschenk met een kleiner gewicht worden gezet. De zetten worden in de drie opslagtorens uitgevoerd. Wat is het minimaal aantal zetten dat nodig is om de stapel van toren 1 naar toren 3 te verplaatsen? Mogelijke antwoorden: 1. 1008 2. 100345 3. 27640 1

4. 35587 5. 20446 6. 65535 7. 424467 8. 446744 9. 84647 10. 976949

2

Het kerstmagazijn Cor Hurkens (TU Eindhoven; [email protected]) Judith Keijsper (TU Eindhoven; [email protected])

Opgave Het magazijn van de Kerstman is acht blokken lang en acht blokken breed en wordt in de noord-zuid en oost-west richting doorkruist met een rechthoekig netwerk van gangen zoals in onderstaand figuur is aangegeven. z

A

z

1

B

De Kerstman wil de hal oversteken vanaf de linker benedenhoek A naar de rechter bovenhoek B maar moet buiten de vier doorgangen blijven. Hij vraagt zich af hoeveel verschillende kortste wegen er dan vanaf A naar B mogelijk zijn. Mogelijke antwoorden: 1. Er zijn 2167 kortste wegen 2. Er zijn 2315 kortste wegen 3. Er zijn 2593 kortste wegen 4. Er zijn 2744 kortste wegen 5. Er zijn 2988 kortste wegen 6. Er zijn 3120 kortste wegen 7. Er zijn 3345 kortste wegen 8. Er zijn 3526 kortste wegen 9. Er zijn 3786 kortste wegen 10. Er zijn 3933 kortste wegen

2

Muntwerpen. Opgave. Auteur: John Schoenmakers Project: E5

Recommend Documents