MPS JČMF pobočka Olomouc

MPS JČMF pobočka Olomouc

UP Olomouc 2004

Sborník sestavili: J. Molnár, Přírodovědecká fakulta UP v Olomouci B. Novák, Pedagogická fakulta UP v Olomouci D. Navrátilová, Pedagogická fakulta UP v Olomouci P. Calábek, Přírodovědecká fakulta UP v Olomouci

ISBN vydává UP Olomouc 2004 Česká republika

Úvodní slovo

Vážení a milí přátelé Matematického Klokana, držíte v ruce již desátou ročenku soutěže Matematický klokan vydanou v České republice. Klokan za tu dobu vyrostl z dětských plenek, ale je to stále trošku dovádivé mládě, které si sice vydobylo své místo na slunci, ale ke spořádané dospělosti má stále ještě daleko. Občas dělá vrásky jak pořadatelům v olomouckém centru, tak krajským, okresním i školním důvěrníkům a tisícům pedagogických pracovníků „v první linii“. Odměnou nám všem však je, že Klokana mají rádi žáci a studenti na mnoha našich školách. Česká republika patří svým čtvrtmilionem zapojených dětí na přední místa mezi třemi desítkami zemí Evropy, Asie a Ameriky, ve kterých se Klokan usídlil. Deset let je mezníkem k ohlédnutí, proto připravujeme sumarizační publikaci k tomuto malému jubileu. Desátý ročník soutěže Matematický klokan se uskutečnil 19. 3. 2004 a soutěžní úlohy řešilo 249 282 žáků a studentů.ze všech 14 krajů naší republiky. Organizace soutěže přešla na strukturu krajských důvěrníků a jejich návaznost na Krajské úřady, mění se cesty přenosů úloh a zpráv okresním či školním důvěrníky. V této souvislosti oznamujeme, že informace o Matematickém klokanovi můžete nyní nalézt na webových stránkách Katedry matematiky Pedagogické fakulty UP, Katedry algebry a geometrie Přírodovědecké fakulty UP, ale také na vlastní stránce Matematického klokana na adrese www.matematickyklokan.net , kde mimo jiné naleznete i kontaktní adresy na výše zmíněné krajské důvěrníky. Údaje v této ročence jsou uspořádány obvyklým způsobem, za podklady ke statistice obtížnosti soutěžních úloh děkujeme organizátorům Královehradeckého kraje. Děkujeme samozřejmě i všem, kteří nám byli jakoukoliv formou nápomocni při organizaci nejen desátého ročníku Matematického klokana.

Pořadatelé

Olomouc, říjen 2004

www.matematickyklokan.net [email protected]

3

Vývoj Matematického klokana v posledních deseti letech

1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

KLOKÁNEK BENJAMÍN KADET JUNIOR STUDENT CELKEM 6 205 7 834 7 280 2 195 1 297 24 811 18 522 30 819 27 262 6 148 3 938 86 689 61 161 59 314 51 769 8 631 7 349 188 224 62 963 67 417 57 653 11 580 8 484 208 097 87 885 79 717 73 578 16 847 6 606 264 633 95 426 87 304 81 893 20 384 10 319 295 326 93 434 86 458 78 408 20 173 11 228 289 701 99 204 86 785 81 440 20 479 10 428 298 336 83 584 74 112 65 839 19 615 9 879 253 029 78 275 75 609 68 324 17 345 9 729 249 282

Vývoj počtu účastníků Matematického klokana v jednotlivých ročnících

1995

4

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

Soutěž Matematický Klokan pro žáky se sluchovým postižením

V letošním roce proběhl zkušební ročník soutěže Matematický Klokan na školách pro žáky se sluchovým postižením. Celkem bylo osloveno 5 ze 14 základních škol pro sluchově postižené. Nakonec se soutěže zúčastnili 92 žáci ze 4 speciálních škol pro sluchově postižené v Brně, Ostravě, Olomouci a ve Valašském Meziříčí. Soutěž proběhla ve dvou kategoriích Klokánek a Benjamín. Celá soutěž byla přizpůsobena specifickým potřebám žáků se sluchovým postižením. Soutěžní kategorie Klokánek a Benjamín byly připraveny pro žáky nižších tříd než je tomu u soutěžících na běžné základní škole ( Klokánek - 6. a 7. třída, Benjamín 8. a 9.třída ). Počet soutěžních úloh byl snížen z 24 na 18 především vzhledem k věším časovým nárokům na porozumění psaného textu žáky se sluchovým postižením. Maximální bodový zisk byl upraven na 90 bodů ( počáteční bonus byl poměrně snížen z 24 na 18 bodů). Časová dotace pro řešení úloh 60 minut čistého času zůstala zachována. Při samotném průběhu byli řešitelé informováni o všech pravidlech soutěže prostřednictvím jimi preferovaných komunikačních prostředků (znakový jazyk a další komunikační systémy). Do soutěže byly vybrány především úlohy, u kterých byl kladen důraz na porozumění informace podané grafickou cestou, neznámá (málo používaná slova) byla nahrazena srozumitelnějším synonymem, některé jazykové formulace soutěžních úloh byly zjednodušeny při zachování matematické podstaty. Ze souboru soutěžních úloh bylo vyřazeno 6 nejobtížnějších úloh, jejichž úspěšné vyřešení záviselo především na porozumění komplikovaného textu zadání.

Kategorie Klokánek: Kategorii Klokánek řešilo 42 žáků z šestých a sedmých tříd. Nejlepší řešitelé: Marie Mikulíková, Martin Paulík, Jiří Goldefus a Petr Macík -

průměrný bodový zisk byl 20,5 bodu z 9O (19% -ní úspěšnost) nejnižší počet získaných bodů byl 3 body nejvyšší počet získaných bodů byl 42 body z 90 (47% -ní úspěšnost)

0 0 Klokánek - výsledky soutěže 1 0 11 2 21 3 31 0 41 1 51 0 61 2 0 12 0 22 0 32 2 42 1 52 0 62 3 1 13 2 23 1 33 1 43 0 53 0 63 4 2 14 2 24 1 34 0 44 0 54 0 64 5 0 15 1 25 2 35 0 45 0 55 0 65 6 0 16 1 26 0 36 1 46 0 56 0 66 7 0 17 0 27 1 37 1 47 0 57 0 67 8 2 18 2 28 2 38 0 48 0 58 0 68 9 1 19 1 29 0 39 2 49 0 59 0 69 10 3 20 0 30 2 40 0 50 0 60 0 70

0 71 0 72 0 73 0 74 0 75 0 76 0 77 0 78 0 79 0 80

0 81 0 82 0 83 0 84 0 85 0 86 0 87 0 88 0 89 0 90

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Nejúspěšněji řešená úloha (vyřešilo ji 48% soutěžících) 2001 + 2002 + 2003 + 2004 + 2005= ?

(A) 1 015

(B) 5 010

(C) 10 150

(D) 11 005

(E) 10 015

5

Nejméně úspěšně řešená soutěžní úloha ( 86% žáků ji nevyřešilo správně) Petr a Jakub spolu chodí do jedné třídy. Při hodině tělesné výchovy se celá třída seřadila (postavila do řady) podle velikosti do jedné řady. Za Petrem stálo 16 spolužáků. Jedním z nich byl Jakub. Před Jakubem stálo 14 spolužáků. Mezi Petrem a Jakubem stálo 7 dětí. Kolik žáků stálo celkem v řadě? (A) 16

(B) 22

(C) 23

(D) 30

(E) 37

Úloha, kterou řešilo nejméně žáků ( 55% žáků ji neřešilo vůbec, správně ji vyřešilo 39% řešitelů ) Pouze jedny hodiny na obrázku ukazují správný čas. Jedny hodiny se o 20 minut předcházejí ( jdou napřed o 20 minut ), jedny se o 20 minut opožďují ( jdou o 20 minut později ). Jedny hodiny nejdou vůbec. Kolik je hodin?

(A) 4 hodiny 45 minut

(B) 5 hodin 5 minut

(D) 5 hodin 40 minut

(E) nemůžeme určit

(C) 5 hodin 25 minut

Benjamín: V kategorii Benjamín soutěžilo 50 žáků osmých a devátých tříd. Nejlepší řešitelé: Ondřej Vavroš, Eva Uhrová, Míša Blahová a Miroslav Březina -

průměrný bodový zisk byl 24,3 body z 90 (27%-ní úspěšnost ) nejnižší počet získaných bodů byl 4 body nejvyšší počet získaných bodů byl 52 body (58%-ní úspěšnost) 00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6

Benjamín - výsledky soutěže 0 11 0 21 1 31 0 41 0 51 0 61 0 12 0 22 3 32 4 42 1 52 2 62 0 13 0 23 3 33 1 43 0 53 0 63 1 14 1 24 5 34 0 44 0 54 0 64 1 15 3 25 3 35 2 45 1 55 0 65 0 16 2 26 0 36 0 46 0 56 0 66 0 17 0 27 1 37 0 47 1 57 0 67 0 18 0 28 2 38 0 48 0 58 0 68 1 19 4 29 0 39 1 49 0 59 0 69 1 20 4 30 1 40 0 50 0 60 0 70

0 71 0 72 0 73 0 74 0 75 0 76 0 77 0 78 0 79 0 80

0 81 0 82 0 83 0 84 0 85 0 86 0 87 0 88 0 89 0 90

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Nejúspěšněji řešená úloha (vyřešilo ji 74% soutěžících) Uřízli jsme část krychle podle obrázku. Která z následujících sítí odpovídá zmenšené síti této krychle?

Nejméně úspěšně řešená soutěžní úloha ( 88% žáků ji nevyřešilo správně) Kolik čtverečků nejméně musíme ještě vybarvit, aby výsledný obrázek byl osově souměrný? (A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

(E) 5

Úloha, kterou řešilo nejméně žáků ( 38% žáků ji neřešilo vůbec, správně ji vyřešilo 10 % řešitelů ) Magda a Terezka šly na houby. Celkem nasbíraly 70 hub.

5 2 Magdiných hub byly bedly a 9 17

Terezčiných hub byly žampiony. Kolik hub našla Magda? (A) 27

(B) 36

(C) 45

(D) 54

(E) 10

7

Zada´nı´ souteˇzˇnı´ch u´loh kategorie Kloka´nek

´ lohy za 3 body U

1. Ktere´ cˇ´ıslo je o 25 mensˇ´ı nezˇ nejveˇtsˇ´ı dvojciferne´ cˇ´ıslo? (A) 25

(B) 35

(C) 74

(D) 75

(E) 124

(D) 11 005

(E) 10 015

2. Vypocˇ´ıtej 2 001 + 2 002 + 2 003 + 2 004 + 2 005. (A) 1 015

(B) 5 010

(C) 10 150

2

8

3. Ktere´ z cˇ´ısel je zapsa´no soucˇasneˇ v kruhu a v obde´lnı´ku a prˇitom nelezˇ´ı v troju´helnı´ku? (A) 4

(B) 5

(C) 7

(D) 8

5 10

(E) 10

7 4 12

4. Kdyzˇ se Ja´chymovi narodila jeho sestra, byly mu 4 roky. Dnes slavı´ Ja´chym deva´te´ narozeniny. O kolik let je Ja´chym starsˇ´ı nezˇ jeho sestra? (A) o 4 roky

(B) o 5 let

(C) o 9 let

(D) o 13 let

(E) o 14 let

5. Na obra´zku je nakreslena silnice z meˇsta A do meˇsta B. Mezi mı´sty C a D se silnice opravuje. Objı´zˇd’ka je zna´zorneˇna prˇerusˇovanou cˇarou. O kolik kilometru˚ se cesta z meˇsta A do meˇsta B po objı´zˇd’ce prodlouzˇ´ı? C

A

D

B

3 km (A) o 3 km (D) o 10 km

(B) o 5 km (E) nenı´ mozˇne´ urcˇit

(C) o 6 km

6. Na telefonnı´m dra´teˇ sedeˇly vlasˇtovky. V jednom okamzˇiku 5 z nich odle´tlo a po chvı´li se 3 vra´tily zpeˇt. Na dra´teˇ pak sedeˇlo 12 vlasˇtovek. Kolik vlasˇtovek sedeˇlo na dra´teˇ pu˚vodneˇ? (A) 8

(B) 9

(C) 10

(D) 12

7. Podı´vej se na obra´zek vpravo. Kolik bı´ly´ch cˇtvercu˚ musı´sˇ vybarvit cˇerneˇ, aby pocˇet vsˇech cˇerny´ch cˇtvercu˚ byl roven polovineˇ pocˇtu bı´ly´ch cˇtvercu˚? (A) 2 (D) 6

8

(B) 3 (C) 4 (E) nenı´ mozˇne´ urcˇit

(E) 14

8. Petr a Jakub spolu chodı´ do jedne´ trˇ´ıdy. Prˇi hodineˇ teˇlesne´ vy´chovy se cela´ trˇ´ıda serˇadila podle velikosti do jedne´ ˇrady. Za Petrem sta´lo 16 spoluzˇa´ku˚. Jednı´m z nich byl Jakub. Prˇed Jakubem sta´lo 14 spoluzˇa´ku˚. Mezi Petrem a Jakubem sta´lo 7 deˇtı´. Kolik zˇa´ku˚ sta´lo v ˇradeˇ? (A) 16

(B) 22

(C) 23

(D) 30

(E) 37

´ lohy za 4 body U 9. O kolik zesta´rnesˇ za 360 000 sekund? (A) o 1 hodinu (D) o 10 hodin

(B) o 2 hodiny (E) o vı´ce nezˇ 10 hodin

(C) o 5 hodin

10. Na vaha´ch jsou tuzˇky a sˇteˇtec. Kolik va´zˇ´ı sˇteˇtec? 15 g

30 g

(A) 6 g

(B) 7 g

(C) 8 g

(D) 9 g

(E) 10 g

11. Eva donesla Michalovi kosˇ´ık s jablky a pomerancˇi. Michal vyndal z kosˇ´ıku polovinu jablek a trˇetinu pomerancˇu˚. Kolik ovoce zu˚stalo v kosˇ´ıku? (A) polovina (D) me´neˇ nezˇ jedna trˇetina

(B) vı´ce nezˇ polovina (E) nelze urcˇit

(C) trˇetina

12. Pouze jedny z hodin na obra´zku ukazujı´ spra´vny´ cˇas. Jedny hodiny se o 20 minut prˇedcha´zejı´, jedny se o 20 minut zpozˇd’ujı´. Jedny hodiny nejdou vu˚bec. Kolik je hodin?

(A) 4 hodiny 45 minut (D) 5 hodin 40 minut

(B) 5 hodin 5 minut (E) nenı´ mozˇne´ urcˇit

(C) 5 hodin 25 minut

13. Martina dostala k narozenina´m novy´ sesˇit. Z prvnı´ho listu vyrˇ´ızla neˇkolik cˇtverecˇku˚ a celou plochu obarvila vodovy´mi barvami. Jak byl obarveny´ druhy´ list, kdyzˇ Martina prvnı´ list vytrhla a polozˇila vpravo?

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

9

14. Katka nasˇla starou knihu, ve ktere´ chybeˇly neˇktere´ listy. Kdyzˇ knihu otevrˇela, uvideˇla vedle sebe stranu cˇ´ıslo 24 a stranu cˇ´ıslo 45. Kolik listu˚ chybeˇlo v te´to cˇa´sti knihy? (A) 9

(B) 10

(C) 11

(D) 20

(E) 21

15. Na krychli vpravo jsou kazˇde´ dveˇ proteˇjsˇ´ı steˇny vybarveny stejnou barvou. Na ktere´m obra´zku je sı´t’te´to krychle?

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

16. Radka je o 52 dnu˚ starsˇ´ı nezˇ jejı´ spoluzˇacˇka Daniela. V tomto roce Radka oslavovala sve´ narozeniny v meˇsı´ci brˇeznu v u´tery´. Ktery´ den v ty´dnu bude letos slavit sve´ narozeniny Daniela? (A) v pondeˇlı´

(B) v u´tery´

(C) ve strˇedu

(D) ve cˇtvrtek

(E) v pa´tek

´ lohy za 5 bodu˚ U 17. Cˇtverec na obra´zku je rozdeˇlen na cˇtyrˇi polı´cˇka. Prˇedstav si, zˇe v kazˇde´m polı´cˇku je zapsa´no jedno cˇ´ıslo tak, zˇe soucˇet cˇ´ısel v prvnı´m ˇra´dku je 3, soucˇet cˇ´ısel ve druhe´m ˇra´dku je 8 a soucˇet cˇ´ısel v prvnı´m sloupci je 4. Urcˇi soucˇet cˇ´ısel ve druhe´m sloupci. (A) 4

(B) 6

(C) 7

(D) 8

(E) 11

18. Ulice na obra´zku se jmenuje Barevna´. Najdete tam modry´, cˇerveny´, zˇluty´, ru˚zˇovy´ a zeleny´ du˚m. Domy jsou ocˇ´ıslova´ny od 1 do 5. Vı´me, zˇe: • modry´ a zˇluty´ du˚m jsou oznacˇeny sudy´mi cˇ´ısly, • cˇerveny´ du˚m sousedı´ pouze s modry´m domem, • modry´ du˚m stojı´ mezi zeleny´m a cˇerveny´m domem. Jakou barvu ma´ du˚m cˇ´ıslo trˇi? 1

(A) modrou

2

3

(B) cˇervenou

(C) zˇlutou

4

(D) ru˚zˇovou

5

(E) zelenou

19. Soucˇet vsˇech cˇ´ıslic deseticiferne´ho cˇ´ısla je roven 9. Jaky´ je soucˇin teˇchto cˇ´ıslic? (A) 0 (D) 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ . . . ⋅ 2 ⋅ 1

(B) 1 (C) 45 (E) za´lezˇ´ı na cˇ´ıslicı´ch dane´ho cˇ´ısla

20. Krychle na obra´zku je slozˇena´ pouze z cˇerny´ch a bı´ly´ch kostek. Zˇ a´dne´ dveˇ kostky stejne´ barvy nemajı´ spolecˇnou steˇnu. Vsˇechny vrcholy krychle jsou cˇerne´. Kolik bı´ly´ch kostek bylo pouzˇito? (A) 60

10

(B) 62

(C) 64

(D) 65

(E) 68

21. Prˇi vy´robeˇ betonu vhodil zednı´k do mı´chacˇky vzˇdy 4 lopaty sˇteˇrku, 2 lopaty pı´sku a 1 lopatu cementu. Po dokoncˇenı´ pra´ce zjistil, zˇe do betonu dal dohromady 350 lopat materia´lu. Kolik lopat sˇteˇrku bylo v betonu? (A) 200

(B) 150

(C) 100

(D) 87,5

(E) 50

22. Vpravo vidı´sˇ dı´ly drˇeveˇne´ stavebnice, ktere´ jsou vytvorˇeny ze 3 nebo 4 maly´ch kostek. Kterou ze staveb na obra´zcı´ch (A) azˇ (D) nelze postavit z nasˇich dı´lu˚ stavebnice?

(A)

(B)

(C)

(D)

(E) vsˇechny stavby lze z nasˇich dı´lu˚ sestavit

23. Ve trˇech za´pasech fotbalove´ ligy dala Sparta celkem trˇi go´ly a jeden obdrzˇela. Za kazˇdy´ vyhrany´ za´pas dostane klub 3 body, za remı´zu 1 bod a zˇa´dny´ bod za za´pas prohrany´. Kolik bodu˚ nemohla Sparta v teˇchto trˇech za´pasech zı´skat? (A) 7

(B) 6

(C) 5

(D) 4

(E) 3

24. Je da´na na´sledujı´cı´ ˇrada obra´zku˚:

...

Na prvnı´m obra´zku vidı´sˇ 1 maly´ troju´helnı´k, na druhe´m 4 male´ troju´helnı´ky, na trˇetı´m 9 maly´ch troju´helnı´ku˚. Kolik maly´ch troju´helnı´ku˚ bude na pa´te´m obra´zku? (A) 16

(B) 20

(C) 25

(D) 30

(E) 50

Spra´vna´ rˇesˇenı´ souteˇzˇnı´ch u´loh kategorie Kloka´nek 1 C, 2 E, 3 B, 4 A, 5 C, 6 E, 7 B, 8 C, 9 E, 10 D, 11 B, 12 B, 13 D, 14 B, 15 E, 16 E, 17 C, 18 E, 19 A, 20 B, 21 A, 22 E, 23 E, 24 C.

11

Obtížnost soutěžních úloh Následující tabulka vyjadřuje procentuální úspěšnost soutěžících při řešení jednotlivých úloh. Zpracován byl statistický vzorek čítající 3 958 žáků. Kategorie: Klokánek Úloha č.

správně 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

12

špatně 55 77 67 38 32 55 10 22 33 27 35 26 70 6 52 31 49 45 6 15 18 35 19 14

neřešilo 35 21 30 59 57 42 77 66 50 52 56 60 17 91 37 49 37 46 59 58 55 42 55 72

10 1 3 3 10 3 13 12 17 21 9 14 13 3 11 20 14 8 35 27 27 23 25 14

Výsledky soutěže KLOKÁNEK 2004 Tabulka uvádí počty soutěžících, kteří získali příslušný počet bodů.

120 119 118 117 116 115 114 113 112 111 110 109 108 107 106 105 104 103 102 101

21 0 0 4 5 22 15 5 7 13 20 22 12 10 16 24 34 48 31 22

100 99 98 97 96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81

44 69 56 53 45 75 87 85 82 77 91 114 135 142 122 151 160 202 212 201

80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61

263 292 328 348 357 374 426 426 436 501 567 600 587 664 689 702 816 877 875 869

60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41

953 1009 1100 1098 1170 1199 1330 1344 1334 1309 1458 1608 1568 1595 1528 1677 1671 1681 1657 1687

celkový počet řešitelů: 78

40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21

1770 1814 1879 1815 1800 1856 1870 1765 1732 1687 1685 1675 1586 1373 1398 1328 1407 1137 931 889

20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

866 777 631 473 445 408 404 305 219 162 170 151 99 32 41 48 58 7 7 15 53

275

průměrný bodový zisk: 43,95

13

-500

0

500

1000

1500

2000

0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

36

39

42

45

48

51

54

57

60

63

66

69

72

75

78

81

84

Graf znázorňuje výsledky v kategorii Klokánek z tabulky na str. 13

33

Klokánek 2004

87

90

93

96

99 102 105 108 111 114 117 120

KLOKÁNEK 2004

1. místo 1. místo 1. místo 1. místo 1. místo 1. místo 1. místo 1. místo 1. místo 1. místo 1. místo 1. místo 1. místo 1. místo 1. místo 1. místo 1. místo 1. místo 1. místo 1. místo 1. místo 1. místo 2. místo 2. místo 2. místo 2. místo 3. místo 3. místo 3. místo 3. místo 3. místo

120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 117 117 117 117 116 116 116 116 116

Eva Trunečková Aneta Feščuková Bohdan Frejišyn Filip Křenek Jan Dundr Jan Effenberger Jana Kapounová Katrin Tadičová Kryštof Herold Lenka Čurnová Lukáš Vrcha Michal Bím Ondřej Šefl Pavel Karafiát Rachel Habermanová Tereza Hlaváčová Tereza Mráčková Veronika Vaňková Vít Šalomon Vojtěch Vajčner Voženílek Zuzana Mazáčová

5. B 5. B 5.A 5.A 5. B V. 4. A 4. A 5. B V. 5. B 4. A 5.C V.B 4. V. 5. B 5. 5.A V. 4 5A

ZŠ Boženy Němcové 15, Zábřeh, 789 01 ZŠ Dr. Horáka, Prostějov, 796 01 ZŠ Bellova 351, 109 00 Praha 10 ZŠ Pod Skalkou R.p.R ZŠ Nové Strašecí ZŠ Petrov 281, 696 55 ZŠ, Dr. Malíka 958, 537 01, Chrudim ZŠ K Sídlišti 840, 140 00 Praha 4 ZŠ Lupáčova 1, 130 00 Praha 3 ZŠ, Na Vyhlídce 6, 373 16 Dobrá Voda ZŠ Dr. Horáka, Prostějov, 796 01 ZŠ K Sídlišti 840, 140 00 Praha 4 10. ZŠ, ul. Z. Štěpánka, Most, 434 01 ZŠ Hutník 1456, 698 01 Veselí nad Moravou ZŠ Dušejov ZŠ Petrov 281, 696 55 ZŠ Dr. Horáka, Prostějov, 796 01 ZŠ Josefův důl, 468 44 ZŠ Jubilejní park 23, 669 02 Znojmo ZŠ Petrov 281, 696 55 ZŠ Pilníkov 35, 542 42 ZŠ Pod Skalkou, 756 61 Rožnov p.R.

neznáme jméno ani adresu Michal Benda Marek Topolář

5. A 4.

ZŠ Průchodní 154, Jeseník, 790 01 ZŠ Borkovany 49, 691 75

neznáme jméno ani adresu

15

Zada´nı´ souteˇzˇnı´ch u´loh kategorie Benjamı´n

´ lohy za 3 body U

1. Mı´sˇa ma´ 16 karet: 4 pikove´ (♠), 4 krˇ´ızˇove´ (♣), 4 ka´rove´ (♦) a 4 srdcove´ (♥) ♠ ? ♥ karty. Ma´ je poskla´dat do cˇtvercove´ho pole tak, aby v kazˇde´m ˇra´dku a v kazˇde´m ♣ ♠ sloupci byly karty kazˇde´ho druhu. Jaka´ bude karta mı´sto otaznı´ku? (A) ♠ (D) ♥

(B) ♣ (E) nelze urcˇit

♦ ♥

(C) ♦

2. (10 ⋅ 100) ⋅ (20 ⋅ 80) = (A) 20 000 ⋅ 80 000 (D) 20 000 ⋅ 8 000

(B) 2 000 ⋅ 8 000 (E) 2 000 ⋅ 800

(C) 2 000 ⋅ 80 000

3. O kolik zesta´rnesˇ za 360 000 sekund? (A) o 3 hodiny (D) o 10 hodin

(B) o 6 hodin (E) o vı´ce nezˇ 10 hodin

(C) o 8,5 hodiny

4. Eda sesbı´ral 2 004 semı´nek borovice. Rozdeˇlil je do hroma´dek po peˇti. Kolik u´plny´ch hroma´dek po peˇti semı´nka´ch dostane? (A) 5

(B) 400

(C) 401

(D) 402

(E) 404

5. Martina dostala k narozenina´m novy´ sesˇit. Z prvnı´ho listu vyrˇ´ızla neˇkolik cˇtverecˇku˚ a celou plochu obarvila vodovy´mi barvami. Jak byl obarveny´ druhy´ list, kdyzˇ Martina prvnı´ list vytrhla a polozˇila vpravo?

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

6. Trˇ´ıcˇlenna´ kra´licˇ´ı rodina snı´ za ty´den celkem 73 mrkvı´. Ta´ta snı´ o 5 mrkvı´ vı´c nezˇ maminka. Maly´ kra´lı´cˇek snı´ 12 mrkvı´. Kolik mrkvı´ snı´ maminka? (A) 27

(B) 28

(C) 31

(D) 33

(E) 56

7. Na trase autobusu je 9 zasta´vek, ktere´ jsou od sebe stejneˇ vzda´leny. Vzda´lenost mezi prvnı´ a trˇetı´ zasta´vkou je 600 metru˚. Kolik metru˚ je mezi prvnı´ a poslednı´ zasta´vkou? (A) 1 200 m

16

(B) 1 500 m

(C) 1 800 m

(D) 2 400 m

(E) 2 700 m

1 cm

6 cm

8. Bronˇa vystrˇihla z listu papı´ru dvana´ctiu´helnı´k a slozˇila z neˇj krabicˇku (viz obra´zky). Urcˇete objem te´to krabicˇky.

1 cm 6 cm (A) 25 cm3

(B) 36 cm3

(C) 30 cm3

(D) 16 cm3

(E) 24 cm3

´ lohy za 4 body U

9. Petr vystrˇihl z papı´ru dva shodne´ sˇestiu´helnı´ky (viz obra´zek) a polozˇil je prˇed sebe na stu˚l. Ktery´ z na´sledujı´cı´ch obrazcu˚ mu nemohl vzniknout jejich pouhy´m posouva´nı´m po stole?

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

10. Jindra prˇelozˇ´ı peˇtkra´t tenty´zˇ list papı´ru na polovinu a nakonec udeˇla´ doprostrˇed dı´ru. Kolik otvoru˚ bude na rozlozˇene´m listu? (A) 6

(B) 10

(C) 16

(D) 20

(E) 32

11. Ru˚zne´ obrazce odpovı´dajı´ ru˚zny´m cˇ´ıslicı´m. Najdi cˇ´ıslici odpovı´dajı´cı´ cˇtverci. (A) 9

(B) 8

(C) 7

(D) 6

+

(E) 5

12. Nejlepsˇ´ı matematik ze 7. B meˇl uha´dnout prˇirozene´ cˇ´ıslo, o neˇmzˇ dostal od kamara´du˚ na´sledujı´cı´ informace: • Toma´sˇ: „Toto cˇ´ıslo je 9.“ • Roman: „Toto cˇ´ıslo je prvocˇ´ıslo.“ • Ondra: „Toto cˇ´ıslo je sude´.“ • Michal: „Toto cˇ´ıslo je 15.“ Pouze jedno z tvrzenı´ Toma´sˇe a Romana je pravdive´ a pouze jedno z tvrzenı´ Ondry a Michala je pravdive´. Jake´ je ha´dane´ cˇ´ıslo? (A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 9

(E) 15

17

13. Urcˇi nejmensˇ´ı pocˇet cˇtverecˇku˚, ktere´ je trˇeba jesˇteˇ vybarvit, aby vy´sledny´ obra´zek byl osoveˇ soumeˇrny´. (A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

(E) 5

14. Urˇ´ızli jsme cˇa´st krychle podle obra´zku. Ktera´ varianta odpovı´da´ zmensˇene´ sı´ti te´to krychle?

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

15. Hlemy´zˇdı´ cˇtyrˇcˇata sˇla na vy´let po cesteˇ, ktera´ byla dla´zˇdeˇna stejny´mi obde´lnı´kovy´mi dlazˇdicemi. Tvar a de´lka cesty kazˇde´ho z nich je zna´zorneˇna na obra´zku. Kolik decimetru˚ usˇel Tin? Fin usˇel 25 dm. Pin usˇel 37 dm. Rin usˇel 38 dm. Tin usˇel (A) 27 dm

(B) 30 dm

dm. (C) 35 dm

(D) 36 dm

(E) 40 dm

16. Na Zˇelvı´m ostroveˇ je neobvykle´ pocˇası´. V pondeˇlı´ a ve strˇedu vzˇdy prsˇ´ı, v sobotu je mlha a ostatnı´ dny svı´tı´ slunı´cˇko. Skupinka turistu˚ chce na ostrov prˇijet na 44dennı´ dovolenou. Ktery´ den by meˇla dovolena´ zacˇ´ıt, aby si uzˇili co nejvı´ce slunecˇnı´ch dnı´? (A) v pondeˇlı´

(B) ve strˇedu

(C) ve cˇtvrtek

(D) v pa´tek

(E) v u´tery´

´ lohy za 5 bodu˚ U

17. V obra´zku urcˇete pomeˇr obsahu˚ bı´le´ a vybarvene´ cˇa´sti. (A) 1:4

(B) 1:5

(C) 1:6

(D) 2:5

(E) 2:7

18. Magda a Terezka sˇly na houby. Celkem nasˇly 70 hub. Magda zjistila, zˇe mezi houbami, ktere´ 2 nasˇla, je 95 bedel. Terezka zjistila, zˇe mezi jı´ nalezeny´mi houbami jsou 17 zˇampionu˚. Kolik hub nasˇla Magda? (A) 27

18

(B) 36

(C) 45

(D) 54

(E) 10

19. Na obra´zku je 11 polı´. Prˇedstav si, zˇe v prvnı´m poli je napsa´no cˇ´ıslo 7 a v deva´te´m poli cˇ´ıslo 6. Jake´ prˇirozene´ cˇ´ıslo musı´ by´t ve druhe´m poli, kdyzˇ ma´ by´t splneˇna podmı´nka: soucˇet kazˇdy´ch trˇ´ı bezprostrˇedneˇ po sobeˇ na´sledujı´cı´ch cˇ´ısel je roven 21?

(A) 7

(B) 8

(C) 6

(D) 10

(E) 21






















































































20. Kora´lky sva´zane´ niteˇmi utvorˇily sı´t’, kterou vidı´te na obra´zku. Kolik nitı´ musı´me prˇestrˇihnout, abychom dostali na´hrdelnı´k, ve ktere´m je kazˇdy´ kora´lek spojen nitı´ s pra´veˇ dveˇma dalsˇ´ımi?




(A) 18 (D) 21

(B) 19 (C) 20 (E) na´hrdelnı´k nelze vytvorˇit

21. V obchodeˇ proda´vali dveˇ CD za stejnou cenu. Kdyzˇ snı´zˇili cenu jednoho CD o 5 % a cenu druhe´ho zvy´sˇili o 15 %, jejich ceny se lisˇily o 6 euro. Kolik potom sta´lo levneˇjsˇ´ı CD? (A) 1,50 euro

(B) 6 euro

(C) 28,50 euro

(D) 30 euro

(E) 34,50 euro

22. Prˇedstav si, zˇe ma´sˇ 108 cˇerveny´ch a 180 zeleny´ch kulicˇek. Vsˇechny musı´sˇ roztrˇ´ıdit do sa´cˇku˚ tak, aby pomeˇr pocˇtu cˇerveny´ch kulicˇek ku pocˇtu zeleny´ch kulicˇek byl v kazˇde´m sa´cˇku stejny´. Jaky´ nejmensˇ´ı pocˇet kulicˇek mu˚zˇe by´t v jednom sa´cˇku? (A) 288

(B) 36

(C) 18

(D) 8

(E) 1

23. Na letnı´m soustrˇedeˇnı´ Klokanu˚ v Zakopane´m se porˇa´dala matematicka´ souteˇzˇ, ve ktere´ bylo 10 ota´zek. Kazˇda´ spra´vna´ odpoveˇd’ byla za 5 bodu˚, prˇi sˇpatne´ odpoveˇdi se 3 body odecˇ´ıtaly. Vsˇichni odpoveˇdeˇli na vsˇechny ota´zky. Mateˇj zı´skal 34 bodu˚, Zolta´n 10 bodu˚ a Ga´bor 2 body. Kolik meˇli dohromady spra´vny´ch odpoveˇdı´? (A) 17

(B) 18

(C) 15

(D) 13

(E) 21

24. Papı´rovy´ pravou´hly´ troju´helnı´k s odveˇsnami o velikostech 6 cm a 8 cm je prˇelozˇen pode´l spojnice strˇedu˚ dvou stran. Jaky´ obsah bude mı´t vznikly´ lichobeˇzˇnı´k? (A) 9 cm2

(B) 12 cm2

(C) 18 cm2

(D) 24 cm2

(E) 30 cm2

Spra´vna´ rˇesˇenı´ souteˇzˇnı´ch u´loh kategorie Benjamı´n 1 C, 2 E, 3 E, 4 B, 5 D, 6 B, 7 D, 8 D, 9 D, 10 E, 11 D, 12 B, 13 B, 14 E, 15 C, 16 C, 17 A, 18 B, 19 B, 20 B, 21 C, 22 D, 23 A, 24 C.

19

Obtížnost soutěžních úloh Následující tabulka vyjadřuje procentuální úspěšnost soutěžících při řešení jednotlivých úloh. Zpracován byl statistický vzorek čítající 3 588 žáků. Kategorie: Benjamín Úloha č.

správně 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

20

špatně 72 55 38 74 83 46 26 20 41 46 17 44 16 65 34 46 16 21 40 10 16 18 13 11

neřešilo 23 27 52 22 10 44 71 57 54 49 44 39 68 26 45 41 44 36 36 60 38 47 46 42

5 17 10 4 6 10 4 23 6 5 39 16 16 8 21 12 40 44 24 29 46 35 41 47

Výsledky soutěže BENJAMÍN 2004 Tabulka uvádí počty soutěžících, kteří získali příslušný počet bodů.

120 119 118 117 116 115 114 113 112 111 110 109 108 107 106 105 104 103 102 101

4 0 0 0 4 9 7 0 3 2 12 14 9 4 7 16 29 32 10 21

100 99 98 97 96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81

19 38 41 40 31 43 64 65 47 55 85 97 82 86 110 117 144 137 139 192

80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61

186 211 207 274 288 300 334 349 405 480 413 489 557 649 650 616 764 794 916 906

60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41

1033 1046 1239 1259 1278 1401 1500 1551 1657 1752 1769 1899 1935 2012 1989 1997 2108 2208 2214 2097

celkový počet řešitelů: 75

40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21

2098 2114 2132 1938 1895 1863 1895 1839 1613 1523 1311 1320 1234 995 859 847 816 631 527 437

20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

412 374 294 223 181 153 139 118 55 46 46 40 30 11 11 15 12 0 3 3 9

609

průměrný bodový zisk: 45,6

21

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

36

39

42

45

48

51

54

57

60

63

66

69

72

75

78

81

84

Graf znázorňuje výsledky v kategorii Benjamín z tabulky na str. 21

33

Benjamín 2004

87

90

93

96

99 102 105 108 111 114 117 120

BENJAMÍN 2004 1. 1. 1.

120 120 120

1. 2. 2. 2.

120 116 116 116

2. 3. 3. 3. 3. 3. 3.

116 115 115 115 115 115 115

3. 3.

115 115

3.

115

Miroslav Palanský Pavel Irinkov Vojtíšek Martin

P1

Gym. J. Palacha, Mělník G Ústavní, Ústavní 400, 181 00 Praha 8 7.C ZŠ M. Horákové 258, 500 06 Hradec Králové Aneta Vojtová 7. ZŠ, Dukelská 166, 386 01 Strakonice Jana Břízová 2. V Gym. J. z Poděbrad, Poděbrady Jakub Friš 6. ZŠ, Dukelská 11, 370 01 Č. B. Jakub Maršán 6. ZŠ F.L.Č., Jezerní 1280, 386 01 Strakonice Josef Konejl Gymnázium Mladá Boleslav Vlastimil Kropáč 7.A ZŠ Vranovice, Masarykova 178, 691 25 Ondřej Trbola 7.B ZŠ Hustopeče, Komenského 2, 693 01 Štrosmajerová Adéla 8.ZŠ Čs.armády 570, F-M Martin Břoušek 2. A GJŠ Komenského 29, Přerov, 750 11 Vojtěch Kuželuch 5.B ZŠ, Tolstého , 339 01Klatovy Ondřej Černý prima G Jana Keplera, Parléřova 2, 169 00 A Praha 6 Magdalena Píchová G Ústavní, Ústavní 400, 181 00 Praha 8 Jan Šimbera I.B Jiráskovo gymnázium, Řeznická 451, 547 44 Náchod Ondřej Mergl sekunda G, Komenského 89, 397 01 Písek

23

Zada´nı´ souteˇzˇnı´ch u´loh kategorie Kadet

´ lohy za 3 body U 1. Jaka´ je hodnota vy´razu 2 004 − 4 ⋅ 200? (A) 400 800

(B) 400 000

(C) 1 204

(D) 1 200

(E) 2 804

2. Rovnostranny´ troju´helnı´k ACD se ota´cˇ´ı kolem bodu A proti smeˇru hodi- B novy´ch rucˇicˇek. Urcˇete velikost u´hlu otocˇenı´ v okamzˇiku, kdy prˇekryje rovnostranny´ troju´helnı´k ABC. (A) 60◦

(B) 120◦

(C) 180◦

(D) 240◦

A

(E) 300◦

C

D

3. Ktere´ cˇ´ıslo je na pocˇa´tku diagramu?

(A) 18

?

Na´sob 0,5

50

Prˇicˇti 1

(B) 24

(C) 30

Na´sob

1 3

Druha´ mocnina cˇ´ısla (D) 40

(E) 42

4. Beˇta ma´ 16 karet: 4 pikove´ (♠), 4 krˇ´ızˇove´ (♣), 4 ka´rove´ (♦) a 4 srdcove´ (♥) ♠ ? karty. Chce je vylozˇit do cˇtverce podle obra´zku takovy´m zpu˚sobem, zˇe v kazˇde´ ˇradeˇ a v kazˇde´m sloupci bude po jedne´ karteˇ kazˇde´ho druhu. Ve cˇtverci na ♣ ♠ ♦ obra´zku vidı´te, jak Beˇta zacˇala. Kolik ze cˇtyrˇ druhu˚ karet (pikove´, krˇ´ızˇove´, ka´rove´, srdcove´) mu˚zˇe lezˇet na mı´steˇ oznacˇene´m otaznı´kem? ♥ (A) zˇa´dny´

(B) 1

(C) 2

(D) 3

(E) 4

5. Urcˇete hodnotu vy´razu (1 − 2) − (3 − 4) − (5 − 6) − . . . − (99 − 100). (A) 0

(B) 49

(C) −48

(D) 48

(E) 50

6. Na obra´zku je sı´t’ krychle, ve ktere´ jsou vyznacˇeny pru˚niky steˇn krychle s rovinou ˇrezu. Ktery´ geometricky´ u´tvar tvorˇ´ı ˇrez krychle? (A) rovnostranny´ troju´helnı´k (C) pravou´hly´ troju´helnı´k (E) sˇestiu´helnı´k

(B) obde´lnı´k (D) cˇtverec

7. Mirek ma´ na zahradeˇ obde´lnı´kovy´ za´hon. Rozhodl se za´hon zveˇtsˇit prodlouzˇenı´m de´lky i sˇ´ıˇrky o 10 %. O kolik procent se zveˇtsˇ´ı jeho plocha? (A) o 10 %

24

(B) o 20 %

(C) o 21 %

(D) o 40 %

(E) o 121 %

8. Urcˇete velikost pru˚meˇru kruzˇnice na obra´zku. (A) 18 cm (D) 12,5 cm

(B) 12 cm (E) 14 cm

(C) 10 cm m

5c

´ lohy za 4 body U

9. Ve sta´nku se zmrzlinou majı´ 9 ru˚zny´ch druhu˚ zmrzliny. Skupina deˇtı´ prˇicha´zı´ ke sta´nku a kazˇde´ dı´teˇ si kupuje dva kopecˇky ru˚zny´ch druhu˚ zmrzliny do kornoutu. Jaky´ nejveˇtsˇ´ı pocˇet deˇtı´ mu˚zˇe nakupovat u sta´nku zmrzlinu tak, aby zˇa´dne´ dveˇ deˇti nemeˇly stejnou kombinaci druhu˚ zmrzliny? (A) 9

(B) 36

(C) 72

10. Prstence s vnitrˇnı´m pru˚meˇrem 4 cm a vneˇjsˇ´ım pru˚meˇrem 6 cm jsou spolu propojeny stejneˇ jako na obra´zku. Kolik prstencu˚ potrˇebujeme, abychom dostali ˇreteˇz dlouhy´ 1,7 m?

(D) 81 1

2

(E) 90 n

3

(A) 30 (B) 21 (C) 42 (D) 85 (E) 32 1,7 m 11. Na obra´zku je nakresleno 11 polı´. Prˇedstav si, zˇe v prvnı´m poli je napsa´no cˇ´ıslo 7 a v deva´te´m poli cˇ´ıslo 6. Jake´ prˇirozene´ cˇ´ıslo musı´ by´t ve druhe´m poli, kdyzˇ ma´ by´t splneˇna podmı´nka: soucˇet kazˇdy´ch trˇ´ı bezprostrˇedneˇ po sobeˇ na´sledujı´cı´ch cˇ´ısel je roven 21?

(A) 7

(B) 8

(C) 6

(D) 10

(E) 21

12. V prvnı´m ze dvou po sobeˇ jdoucı´ch roku˚ bylo vı´ce cˇtvrtku˚ nezˇ u´terku˚. Ktery´ch dnı´ bylo ve druhe´m roce nejvı´ce za prˇedpokladu, zˇe ani jeden rok nebyl prˇestupny´? (A) u´terku˚

(B) strˇed

(C) pa´tku˚

(D) sobot

(E) nedeˇlı´

13. ABC je rovnoramenny´ troju´helnı´k s rameny AB, AC o de´lce 5 cm. Velikost u´hlu BAC je veˇtsˇ´ı nezˇ 60◦ . Obvod troju´helnı´ku udany´ v centimetrech je cele´ cˇ´ıslo. Kolik takovy´ch troju´helnı´ku˚ mu˚zˇe existovat? (A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

(E) 5

25

14. Psˇtros Mirek tre´nuje na olympia´du zvı´ˇrat. V pondeˇlı´ v 8.15 ra´no vyta´hl hlavu z pı´sku a zjistil, zˇe dosa´hl osobnı´ho rekordu. Pod zemı´ byl 98 hodin a 56 minut. Kdy Mirek zastrcˇil hlavu do pı´sku? (A) ve cˇtvrtek v 5.19 hod. (C) ve cˇtvrtek v 11.11 hod. (E) v pa´tek v 11.11 hod.

(B) ve cˇtvrtek v 5.41 hod. (D) v pa´tek v 5.19 hod.

15. Kazˇde´ z peˇti deˇtı´ si myslı´ jedno ze trˇ´ı cˇ´ısel 1, 2, 4. Jejich cˇ´ısla jsou vyna´sobena. Ktere´ z na´sledujı´cı´ch cˇ´ısel mu˚zˇe by´t vy´sledkem? (A) 100

(B) 120

(C) 256

(D) 768

(E) 2048

16. Jirka jel na kole k ˇrece rychlostı´ 30 km ´ tecˇnı´ cesteˇ do kopce jel rychlostı´ 10 km ´ byla h . Na zpa h . Jaka pru˚meˇrna´ rychlost jeho vy´letu? (A) 12 km h

(B) 15 km h

(C) 20 km h

(D) 22 km h

(E) 25 km h

´ lohy za 5 bodu˚ U

17. Na obra´zku je nakreslen cˇtverec a dveˇ pu˚lkruzˇnice s pru˚meˇry AB a AD. Urcˇete obsah tmaveˇ zbarvene´ oblasti ohranicˇene´ teˇmito krˇivkami, kdyzˇ vı´te, zˇe de´lka strany AB je 2. (A) 1

(B) 2

(C) 2π

(D)

π 2

(E)

3 4

A

B

D

C

18. Pru˚meˇrny´ veˇk babicˇky, deˇdecˇka a jejich 7 vnoucˇat je 28 let. Pru˚meˇrny´ veˇk 7 vnoucˇat je 15 let. Kolik let ma´ deˇdecˇek, jestlizˇe vı´me, zˇe je o 3 roky starsˇ´ı nezˇ babicˇka? (A) 71

(B) 72

(C) 73

(D) 74

(E) 75

19. Lucka ma´ mnoho stavebnı´ch kostek s rozmeˇry 1×2×3 (v centimetrech). Jaky´ nejmensˇ´ı pocˇet kostek bude Lucka potrˇebovat na to, aby z nich postavila krychli? (A) 12

(B) 18

(C) 24

(D) 36

(E) 60

20. V kruhu sedı´ vı´ce nezˇ jeden klokan. „Je na´s tu 6,“ ˇrekne jeden z nich a vyskocˇ´ı z kruhu. Kazˇdou minutu vyskocˇ´ı z kruhu dalsˇ´ı klokan a ˇrekne: „Vsˇichni, co vyskocˇili prˇede mnou, lhali.“ Tak to pokracˇuje da´l, dokud kruh nezu˚stane pra´zdny´. Kolik klokanu˚ ˇr´ıkalo pravdu? (A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 3

(E) 4

21. Vsˇechny cˇasopisy v Honzoveˇ knihovneˇ majı´ bud’ 48 nebo 52 stran. Ktere´ z na´sledujı´cı´ch cˇ´ısel nemu˚zˇe uda´vat celkovy´ pocˇet stran cˇasopisu˚ v te´to knihovneˇ? (A) 500

26

(B) 524

(C) 568

(D) 588

(E) 620

6 cm 22. Ve cˇtverci se stranou de´lky 6 cm jsou vepsa´ny body A a B tak, zˇe u´secˇka AB je rovnobeˇzˇna´ se stranou cˇtverce (viz obra´zek). Kdyzˇ vedete u´secˇky z bodu˚ A a B do protilehly´ch vrcholu˚, rozdeˇlı´te cˇtverec na 3 plochy. Jaka´ je de´lka u´secˇky AB, kdyzˇ vı´te, zˇe A plochy majı´ stejny´ obsah?

B

(A) 3,6 cm (B) 3,8 cm (C) 4,0 cm (D) 4,2 cm (E) 4,4 cm

23. Vsˇezna´lek veˇdeˇl, zˇe kladna´ cela´ cˇ´ısla a, b majı´ tu vlastnost, zˇe ani jedno z nich nenı´ deˇlitelne´ deseti, a zˇe jejich soucˇin a ⋅ b = 10 000. Na za´kladeˇ toho urcˇil, cˇemu se rovna´ soucˇet a + b. Jake´ cˇ´ıslo Vsˇezna´lkovi vysˇlo? (A) 1 024

(B) 641

(C) 1 258

(D) 2 401

(E) 1 000

24. Podle instrukce na obra´zku vlevo urcˇete hodnotu rozdı´lu x − y po 999. kroku na obra´zku vpravo. a

b+c

1 1

b (A) −2

c a+c (B) 2

a+b

3 (C) 998




5 (D) 1 998

y 999 x

z

(E) (−2)1999

Spra´vna´ rˇesˇenı´ souteˇzˇnı´ch u´loh kategorie Kadet 1 C, 2 E, 3 E, 4 C, 5 D, 6 A, 7 C, 8 C, 9 B, 10 C, 11 B, 12 C, 13 D, 14 A, 15 C, 16 B, 17 B, 18 E, 19 D, 20 B, 21 B, 22 C, 23 B, 24 A.

27

Obtížnost soutěžních úloh Následující tabulka vyjadřuje procentuální úspěšnost soutěžících při řešení jednotlivých úloh. Zpracován byl statistický vzorek čítající 3 415 žáků. Kategorie: Kadet Úloha č.

správně 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

28

špatně 77 22 62 41 14 35 20 52 46 35 47 31 12 36 37 9 27 22 27 34 14 17 11 8

neřešilo 18 66 22 46 56 47 68 23 42 38 31 38 48 49 33 78 36 41 45 38 45 31 35 38

6 11 16 13 29 18 11 26 11 27 22 31 40 15 30 13 37 37 29 28 41 52 54 54

Výsledky soutěže KADET 2004 Tabulka uvádí počty soutěžících, kteří získali příslušný počet bodů.

120 119 118 117 116 115 114 113 112 111 110 109 108 107 106 105 104 103 102 101

11 0 0 0 1 6 6 2 2 5 11 5 7 6 13 22 16 14 14 18

100 99 98 97 96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81

23 16 17 29 23 41 32 36 39 60 52 56 54 68 105 89 88 107 118 133

80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61

140 153 193 176 207 203 252 252 257 298 353 353 399 427 444 507 545 600 619 693

60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41

797 781 740 898 1020 1078 1159 1162 1244 1281 1343 1383 1587 1629 1615 1676 1872 1814 1853 1879

celkový počet řešitelů: 68

40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21

1843 1946 1939 1874 1903 1946 1904 1782 1684 1664 1650 1565 1419 1271 1101 1095 1047 837 713 673

20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

594 520 424 310 254 287 215 174 83 83 85 66 48 20 22 19 17 6 3 1 10

324

průměrný bodový zisk: 42,76

29

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

36

39

42

45

48

51

54

57

60

63

66

69

72

75

78

81

Graf znázorňuje výsledky v kategorii Kadet z tabulky na str. 29

33

Kadet 2004

84

87

90

93

96

99 102 105 108 111 114 117 120

KADET 2004 1. 1.

120 120

Michaela Vitoušová Lucie Kurzová

8. 4.L

1. 1.

120 120

Klára Bittalová Michal Kuna

9.C kvarta

1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 2. 3. 3. 3.

120 120 120 120 120 120 120 116 115 115 115

Jan Matějka Radek Novák Martin Beneš Martin Jedlička Ota Kukral Martin Hanek Jan Šťovíček Martin Šimko Toufar Tomáš Michael Janský Dana Lněníčková

tercie kvarta 9. D 8. A

3. 3. 3.

115 115 115

Michal Palanský Kotrlorz Lukáš Filip Urbánek

tercie 9.C P3 9.B 8.B P3 9. A

ZŠ Habartov, Komenského 312 Gymnázium L. Pika, Opavská 21, 312 00 Plzeň ZŠ Buzulucká 392, Teplice, 415 01 G J.V.Jirsíka, Fr. Šrámka 23, 371 46 České Budějovice G, Jírovcova 8, 371 61 Č.B. G, Masrykova 183, 399 01 Milevsko ZŠ J. Matiegky, Mělník ZŠ Sázava Gym. Dr. Pekaře, Mladá Bol. G Písnická 760 140 00 Praha 4 ZŠ Buzulucká 392, Teplice, 415 01 Gym. J. Palacha, Mělník ZŠ Opava, Otická 18 21.ZŠ, Slovanská alej 13, 326 00 Plzeň ZŠ T. G. Masaryka Podpořany, Husova 445, 441 27 Gym. J. Palacha, Mělník G Mírová 1142, Karviná ZŠ Jung. sady, Mělník

31

Zada´nı´ souteˇzˇnı´ch u´loh kategorie Junior

´ lohy za 3 body U 1. Martin ma´ celkem 2 004 kulicˇek. Polovina z nich je modry´ch, cˇtvrtina cˇerveny´ch a sˇestina cˇerny´ch. Kolik kulicˇek ma´ jinou barvu nezˇ modrou, cˇervenou nebo cˇernou? (A) 167

(B) 334

(C) 501

(D) 1 002

(E) 1 837

(D) 18

(E) 21

2. Jehlan ma´ 7 steˇn. Jaky´ je pocˇet jeho hran? (A) 8

(B) 9

(C) 12

3. Pu˚dorys budovy ma´ tvar obde´lnı´ku o strana´ch 40 m a 60 m. Na jednom z pla´nku˚ ma´ budova obvod 100 cm. V jake´m meˇˇr´ıtku je pla´nek vytvorˇen? (A) 1:50

(B) 1:100

(C) 1:150

(D) 1:200

(E) 1:400

4. Bob a Bobek dostali za pomoc od zahradnı´ka neˇkolik mrkvı´. Kdyby jich dostal Bob o peˇt vı´ce, meˇl by jich dvakra´t tolik co Bobek. Kdyby jich ale dostal o sedm me´neˇ, meˇl by jen polovinu toho co Bobek. Kolik kusu˚ mrkve dostal Bob? (A) 5

(B) 7

(C) 9

(D) 11

(E) 15 C

5. Ve cˇtyrˇu´helnı´ku ABCD na obra´zku platı´ |AD| = |BC|. Velikost u´hlu ADC je pak rovna B 75◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ (A) 50 (B) 55 (C) 60 (D) 65 (E) 70

30◦

50◦

? D

A

6. Trˇi sestry si majı´ rozdeˇlit 770 orˇ´ısˇku˚ ve stejne´m pomeˇru jako je pomeˇr jejich veˇku˚. Za kazˇde´ 3 orˇ´ısˇky, ktere´ dostane Lenka, dostane Elenka 4 orˇ´ısˇky. Za kazˇdy´ch 7 orˇ´ısˇku˚, ktere´ dostane Helenka, dostane Elenka 6 orˇ´ısˇku˚. Kolik orˇ´ısˇku˚ dostane nejmladsˇ´ı sestra? (A) 264

(B) 256

(C) 218

(D) 198

(E) 180

7. Tercˇ na obra´zku se skla´da´ z vnitrˇnı´ho kruhu a dvou vneˇjsˇ´ıch prstencu˚ kolem neˇj. Sˇ´ıˇrka kazˇde´ho vneˇjsˇ´ıho prstence je rovna polomeˇru vnitrˇnı´ho kruhu. Kolikra´t je veˇtsˇ´ı obsah cˇerne´ho prstence nezˇ obsah cˇerne´ho vnitrˇnı´ho kruhu? (A) dvakra´t (D) peˇtkra´t

(B) trˇikra´t (E) obsahy jsou stejne´

(C) cˇtyrˇikra´t

8. V sa´cˇku s kulicˇkami je celkem trˇicet kulicˇek. Vyta´hneme-li na´hodneˇ 12 kulicˇek, vzˇdy mezi nimi bude alesponˇ jedna bı´la´. Vyta´hneme-li na´hodneˇ 20 kulicˇek, vzˇdy mezi nimi bude alesponˇ jedna kulicˇka, ktera´ nenı´ bı´la´. Kolik bı´ly´ch kulicˇek je v sa´cˇku? (A) 11

32

(B) 12

(C) 19

(D) 20

(E) 29

´ lohy za 4 body U

A

9. Dveˇ kruzˇnice se strˇedy v bodech C a D se protı´najı´ v bodech A a B. Velikost u´hlu ACB je 60◦ a velikost u´hlu ADB je 90◦ . Jaky´ je pomeˇr polomeˇru˚ veˇtsˇ´ı a mensˇ´ı kruzˇnice? √ √ (D) 3:1 (E) 2:1 (A) 4:3 (B) 2:1 (C) 3:2

10. Prstence s vnitrˇnı´m pru˚meˇrem 4 cm a vneˇjsˇ´ım pru˚meˇrem 6 cm jsou spolu propojeny stejneˇ jako na obra´zku. Kolik prstencu˚ potrˇebujeme, abychom dostali ˇreteˇz dlouhy´ 1,7 m?

1

C

D B

n

3

2

(A) 17 (B) 21 (C) 30 (D) 42 (E) 85 1,7 m 11. Velka´ hodinova´ rucˇicˇka je 8 cm dlouha´, mala´ hodinova´ rucˇicˇka je 4 cm dlouha´. V jake´m pomeˇru jsou dra´hy, ktere´ opı´sˇou koncove´ body male´ a velke´ rucˇicˇky v dobeˇ od 14.00 do 17.00? (A) 1:2

(B) 1:4

(C) 1:6

(D) 1:12

(E) 1:24

12. Ve cˇtverci se stranou 2 003 jsou vsˇechny cˇtverecˇky o straneˇ 1 na diagona´la´ch obarveny. (Na obra´zku je situace zna´zorneˇna pro cˇtverec o straneˇ 7.) Jaky´ je obsah neobarvene´ cˇa´sti? (A) 2 002 ⋅ 2 003 (D) 2 0012

(B) 2 0022 (E) 2 000 ⋅ 2 001

(C) 2 001 ⋅ 2 002

13. Petr si vyrobil zahradnı´ posezenı´ ze trˇ´ı polovin kmenu˚, z nichzˇ dva dolnı´ pu˚lkmeny majı´ pru˚meˇr 2 dm a hornı´ pu˚lkmen pru˚meˇr 4 dm. Jak vysoka´ je lavicˇka? √ √ (A) 3 dm (B) 8 dm (C) 2,75 dm (D) 7 dm (E) 2,5 dm 14. Test obsahuje celkoveˇ 20 ota´zek, za spra´vnou odpoveˇd’ je sedm bodu˚, za sˇpatnou se dva body odecˇtou, za nezodpoveˇzenou ota´zku se zˇa´dny´ bod nezı´ska´ ani neztratı´. Milanu˚v vy´sledek testu byl 87 bodu˚. Kolik ota´zek ponechal bez vyplneˇnı´? (A) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 5

(E) 6

15. Kolika zpu˚soby mu˚zˇeme doplnit tabulku tak, aby v kazˇde´m ˇra´dku a v kazˇde´m sloupci byly v neˇjake´m porˇadı´ zapsa´ny cˇ´ıslice 1, 2, 3 a 4? (A) 1

(B) 2

(C) 4

(D) 16

(E) 128

1 2 1 3 4

33

16. Na obra´zku je do cˇtverce vepsa´n pravou´hly´ dvana´ctiu´helnı´k, jehozˇ strany majı´ stejnou de´lku. Jestlizˇe je obvod dvana´ctiu´helnı´ku roven 36 cm, jaky´ je obsah cele´ho cˇtverce? (A) 36 cm2

(B) 48 cm2

(C) 72 cm2

(D) 108 cm2

(E) 144 cm2

´ lohy za 5 bodu˚ U

17. Kolik cˇ´ısel veˇtsˇ´ıch nezˇ 100 a mensˇ´ıch nezˇ 200 ma´ tu vlastnost, zˇe jsou deˇlitelna´ dveˇma nebo trˇemi, ale nejsou deˇlitelna´ zˇa´dny´m jiny´m prvocˇ´ıslem? (A) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 5

18. Kosocˇtverec KLMN √ je vepsa´n do obde´lnı´ku ULVN, jehozˇ kratsˇ´ı strana je rovna 3. Urcˇete obsah kosocˇtverce, vı´te-li, zˇe cˇtyrˇu´helnı´k UKSN je deltoid. √ √ √ (A) 3 (B) 2 3 (C) 3 3 (D) 4 (E) 4 3

(E) 6 N

V

M S

U

√ 3

K

L

19. Kolik trojmı´stny´ch cˇ´ısel n mensˇ´ıch nezˇ 200 ma´ tu vlastnost, zˇe cˇ´ıslo n 3 − n je deˇlitelne´ cˇ´ıslem 7? (A) 28

(B) 31

(C) 34

(D) 39

20. V obde´lnı´ku je zakreslena spojnice vrcholu se strˇedem protilehle´ delsˇ´ı strany a obeˇ u´hloprˇ´ıcˇky. V jake´m pomeˇru je de´lka u´secˇky PQ a de´lka u´hloprˇ´ıcˇky? (A) 1:6

(B) 3:16

(C) 4:25

(D) 2:9

(E) 42

P Q

(E) 1:4

21. Nesˇikovny´ horolezec se potrˇebuje dostat z bodu A do bodu B po trase, ktera´ je vyznacˇena na obr. 1 (za´vislost vy´sˇky H na vzda´lenosti mezi body A a B). Beˇhem sve´ho prˇesunu vsˇak neˇkolikra´t upustil batoh, pro ktery´ se musel spustit dolu˚ a opeˇt se s nı´m vra´tit na mı´sto, kde mu upadl. Za´vislost vy´sˇky H na cˇase t jeho prˇesunu je zaznamena´na na obr. 2. Kolikra´t mu beˇhem prˇesunu upadl batoh? H H

A

t

B obr. 1

(A) jednou

34

(B) dvakra´t

obr. 2 (C) trˇikra´t

(D) cˇtyrˇikra´t

(E) peˇtkra´t

22. V ˇra´dku je za sebou zapsa´no 200 nul. V prvnı´m kroku prˇicˇteme ke kazˇde´ nule cˇ´ıslo 1. Ve druhe´m kroku prˇicˇteme jednicˇku ke kazˇde´mu druhe´mu cˇ´ıslu zleva. V trˇetı´m kroku prˇicˇteme jednicˇku ke kazˇde´mu trˇetı´mu cˇ´ıslu atd. Urcˇete cˇ´ıslo, ktere´ je na 120. pozici zleva po 200 krocı´ch. (A) 12

(B) 16

(C) 24

(D) 32

(E) 48

23. Obsah sˇedeˇ vybarvene´ cˇa´sti kruhu je roven 2π. Jaka´ je velikost u´secˇky AB? (A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

(E) 6

A

B

24. Na tabuli napı´sˇeme pod sebe vsˇechna prˇirozena´ cˇ´ısla od 1 do 10 000. Potom vsˇechna cˇ´ısla, ktera´ nejsou deˇlitelna´ ani 5 ani 11, smazˇeme. Ktere´ cˇ´ıslo bude po smaza´nı´ na 2 004. mı´steˇ? (A) 7 271

(B) 7 304

(C) 7 305

(D) 7 315

(E) 7 348

Spra´vna´ rˇesˇenı´ souteˇzˇnı´ch u´loh kategorie Junior 1 A, 2 C, 3 D, 4 D, 5 D, 6 D, 7 D, 8 C, 9 B, 10 D, 11 E, 12 B, 13 B, 14 D, 15 C, 16 C, 17 D, 18 B, 19 E, 20 A, 21 C, 22 B, 23 D, 24 E.

35

Obtížnost soutěžních úloh Následující tabulka vyjadřuje procentuální úspěšnost soutěžících při řešení jednotlivých úloh. Zpracován byl statistický vzorek čítající 1 448 žáků. Kategorie: Junior Úloha č.

správně 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

36

špatně 84 62 66 61 26 31 25 63 8 53 16 25 19 37 28 43 13 15 3 35 36 16 12 8

neřešilo 15 32 30 28 53 32 64 25 64 35 72 35 61 35 59 39 44 34 37 29 42 35 33 37

2 6 5 10 21 38 11 13 27 12 12 40 19 28 13 17 44 52 60 36 22 48 56 55

Výsledky soutěže JUNIOR 2004 Tabulka uvádí počty soutěžících, kteří získali příslušný počet bodů.

120 119 118 117 116 115 114 113 112 111 110 109 108 107 106 105 104 103 102 101

0 0 0 2 4 3 3 0 0 1 3 3 1 0 0 4 6 4 2 1

100 99 98 97 96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81

6 4 10 6 6 7 19 12 11 23 21 17 12 26 26 39 27 36 41 56

80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61

52 59 44 62 91 73 78 101 114 124 119 138 156 161 160 186 206 193 223 220

60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41

celkový počet řešitelů: 17

244 259 248 273 312 329 301 344 339 308 322 360 376 369 403 408 400 426 439 444

40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21

443 422 428 462 423 385 399 388 388 382 350 336 338 310 274 240 222 215 159 157

20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

112 108 103 66 67 59 48 43 25 16 27 19 15 4 3 0 2 1 0 1 0

345

průměrný bodový zisk: 45,07

37

-100

0

100

200

300

400

500

0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

36

39

42

45

48

51

54

57

60

63

66

69

72

75

78

81

Graf znázorňuje výsledky v kategorii Junior z tabulky na str. 37

33

Junior 2004

84

87

90

93

96

99 102 105 108 111 114 117 120

JUNIOR 2004 1.

117

Dan Marek

2.C

2. 2. 2.

116 116 116

Miroslav Češka Barbora Moravcová Libor Šimůnek

II.M 2.A

2. 3.

116 115

Petr Hanek Jan Hrnčíř

6.B 2.B

3.

115

Martin Klejch

2.B

3.

115

Šablatura Jakub

G Christiana Dopplera, Zborovská 45, 150 00 Praha 5 Gymnázium Mnichovo Hradiště SPŠ ST,Panská 3, 110 00 Praha 1 Gymnázium J.K.Tyla, Tylovo nábřeží 682, 500 02 Hradec Králové G Nad Kavalírkou 1, 150 00 Praha 5 Gymnázium F.X.Šaldy, Partyzánská 530/3, 460 11 Liberec 11 Gymnázium F.X.Šaldy, Partyzánská 530/3, 460 11 Liberec 11 G Olgy Havlové, Ostrava

39

Zada´nı´ souteˇzˇnı´ch u´loh kategorie Student

´ lohy za 3 body U

1. Jehlan ma´ 17 steˇn. Kolik ma´ hran? (A) 16

(B) 17

(C) 18

(D) 32

2. Najdeˇte nejmensˇ´ı rea´lne´ cˇ´ıslo x, ktere´ splnˇuje nerovnost x 2 − 2004 ≤ 0. √ (A) 2004 (B) −2004 (C) 0 (D) 2004

(E) 34

√ (E) − 2004

3. Kazˇdy´ Mart’an ma´ na hlaveˇ jedno, dveˇ, nebo trˇi tykadla. Pra´veˇ 1 % mart’anske´ populace je slozˇeno z jedincu˚ se trˇemi tykadly, pra´veˇ 97 % jedincu˚ ma´ na hlaveˇ dveˇ tykadla a zby´vajı´cı´ 2 % populace jsou slozˇena z jedincu˚ s jednı´m tykadlem. Kolik procent Mart’anu˚ ma´ na hlaveˇ vı´c tykadel nezˇ je pru˚meˇrny´ pocˇet tykadel na hlaveˇ v cele´ populaci? (A) 1 %

(B) 3 %

(C) 97 %

(D) 98 %

(E) 99 %

4. Necht’ s je liche´ prˇirozene´ cˇ´ıslo. Ve cˇtverci se stranou de´lky s jsou cˇtverecˇky se stranou de´lky 1 „lezˇ´ıcı´ na u´hloprˇ´ıcˇka´ch cˇtverce“ vybarveny (viz obra´zek). Urcˇete obsah nevybarvene´ cˇa´sti cˇtverce. (A) s2 − 2s + 1 (D) s2 − 2s − 1

(B) s2 − 4s + 4 (E) s2 − 2s

(C) s2 − 4s + 1

5. Kolik existuje dvojmı´stny´ch cˇ´ısel, jejichzˇ druha´ i trˇetı´ mocnina koncˇ´ı stejnou cˇ´ıslicı´? (A) 1

(B) 9

(C) 10

(D) 21

(E) vı´c nezˇ 30

6. Kolik existuje pravou´hly´ch troju´helnı´ku˚, jejichzˇ vrcholy jsou totozˇne´ s neˇktery´mi trˇemi vrcholy pravidelne´ho cˇtrna´ctiu´helnı´ku? (A) 72

(B) 82

(C) 84

(D) 88

(E) jina´ odpoveˇd’

7. Na poli je 15 ovcı´ a neˇkolik pasty´rˇu˚. Po odchodu poloviny pasty´rˇu˚ a trˇetiny ovcı´ meˇli zby´vajı´cı´ pasty´rˇi a ovce dohromady 50 nohou. Kolik nohou meˇli celkem pasty´rˇi a ovce na pocˇa´tku? (Prˇedpokla´dejte, zˇe kazˇda´ ovce ma´ cˇtyrˇi nohy a pasty´rˇ dveˇ nohy.) (A) 60

40

(B) 72

(C) 80

(D) 90

(E) 100

A r 8. Na kruzˇnici se strˇedem M a polomeˇrem r lezˇ´ı body X, Y, A tak, zˇe |XY| = r a u´hel XYA je pravy´. Urcˇete velikost u´hlu XAY. (A) 15

(B) 22,5

◦

(C) 30

◦

(D) 36

◦

(E) 45

◦

M

◦

r X

Y

´ lohy za 4 body U 9. Kolik cˇtvercu˚ v karte´zske´ sourˇadnicove´ soustaveˇ ma´ vrchol A[−1, −1] a je osoveˇ soumeˇrny´ch podle alesponˇ jedne´ sourˇadnicove´ osy? (A) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 5

(E) 6

10. V nepru˚hledne´ oba´lce je 100 karet oznacˇeny´ch cˇ´ısly od 1 do 100. Na kazˇde´ karteˇ je jine´ cˇ´ıslo. Urcˇete, jaky´ nejmensˇ´ı pocˇet karet musı´me z oba´lky vyta´hnout, aby soucˇin cˇ´ısel na vytazˇeny´ch karta´ch byl vzˇdy deˇlitelny´ cˇtyrˇmi. (A) 51

(B) 52

(C) 53

(D) 54

(E) 55 A

11. Dva rovnostranne´ troju´helnı´ky ABC a ECD na obra´zku majı´ po ˇradeˇ strany de´lek 2 a 1. Urcˇete obsah cˇtyrˇu´helnı´ku ABCE. (A)

√

√ 5 3 3

12. Cˇ´ıslo

(B)

4+5 3 4

√

(C) 3

(D)

E

√

6+ 3 4

(E)

3 3 2

B

C

D

p √ p √ 2 22 + 12 2 − 22 − 12 2 je

(A) za´porne´ (C) cˇtvrtou mocninou prˇirozene´ho cˇ´ısla (E) prˇirozeny´ na´sobek cˇ´ısla 5

(B) rovne´ nule √ (D) rovne´ 11 2

13. Kruzˇnice k je vepsa´na cˇtvrtkruhu o polomeˇru 6 (viz obra´zek). Urcˇete polomeˇr kruzˇnice k. √

(A) 6−2 (D) 3

2

√

2 (B) 3 2√ (E) 6( 2 − 1)

k

(C) 2,5

14. Kolik prˇirozeny´ch cˇ´ısel mu˚zˇeme zapsat ve tvaru a0 + a1 3 + a2 32 + a3 33 + a4 34 , kde a0 , a1 , a2 , a3 , a4 jsou prvky mnozˇiny {−1, 0, 1}? (A) 5

(B) 80

(C) 81

(D) 121

(E) 243

41

15. Ktery´ z na´sledujı´cı´ch grafu˚ zna´zornˇuje mnozˇinu vsˇech dvojic (x, y) rea´lny´ch cˇ´ısel vyhovujı´ch soucˇasneˇ podmı´nka´m xy ≤ 0 a |x|2 + |y|2 = 4? y

y

y 2

2 (A)

−2

x

0

(B)

−2

−2 2 −2

x

(C)

2

−2

0

x

−2

−2 y

y

(D)

2 0

2 0

2 x

(E)

−2

0

x

−2

16. Urcˇete cˇ´ıslici na mı´steˇ desı´tek v desı´tkove´m za´pise cˇ´ısla 11 2004 . (A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 3

(E) 4

´ lohy za 5 bodu˚ U

17. Je da´n rovnostranny´ troju´helnı´k ABC se stranou de´lky 4. Urcˇete polomeˇr oblouku kruzˇnice se strˇedem v bodeˇ A, ktery´ deˇlı´ troju´helnı´k na dveˇ cˇa´sti se stejny´m obsahem. q √ q √ q √ q √ √ 12 3 24 3 30 3 48 3 6 3 (A) (B) (C) (D) π (E) π π π π 18. Podle volebnı´ho pru˚zkumu v Zelene´ kazˇdy´, kdo volil Stranu brokolice, jı´ pouze brokolici. Navı´c 90 % volicˇu˚ zby´vajı´cı´ch stran nikdy brokolici nejedlo. Kolik procent hlasu˚ zı´skala Strana brokolice, jestlizˇe pra´veˇ 46 % volicˇu˚ neˇkdy jedlo brokolici? (A) 40 %

(B) 41 %

(C) 43 %

(D) 45 %

19. Rovnobeˇzˇnı´k je rozdeˇlen na cˇtyrˇi troju´helnı´ky, ktere´ majı´ spolecˇny´ vrchol (viz obra´zek). Cˇ´ısla v na´sledujı´ch odpoveˇdı´ch uda´vajı´ obsahy jednotlivy´ch troju´helnı´ku˚. Mu˚zˇe nastat pra´veˇ jedna mozˇnost. Ktera´? (A) 4, 5, 8, 9 (D) 11, 13, 15, 16

42

(B) 5, 6, 7, 12 (C) 10, 11, 12, 19 (E) zˇa´dna´ z prˇedcha´zejı´cı´ch mozˇnostı´ nenastane

(E) 46 %

y 20. Na obra´zku jsou sestrojeny grafy funkcı´ f a g definovany´ch na mnozˇineˇ rea´lny´ch cˇ´ısel. Ktera´ z na´sledujı´cı´ch rovnic je splneˇna pro kazˇde´ rea´lne´ cˇ´ıslo x? (A) f (x) = −g(x) + 2 (C) f (x) = −g(x + 2) (E) f (x + 1) = −g(x − 1)

f

1 1

−1

(B) f (x) = −g(x) − 2 (D) f (x + 2) = −g(x)

0 −1

x g

21. V ˇra´dku je za sebou zapsa´no 200 nul. V prvnı´m kroku prˇicˇteme ke kazˇde´ nule cˇ´ıslo 1. Ve druhe´m kroku prˇicˇteme jednicˇku ke kazˇde´mu druhe´mu cˇ´ıslu zleva. V trˇetı´m kroku prˇicˇteme jednicˇku ke kazˇde´mu trˇetı´mu cˇ´ıslu atd. Urcˇete cˇ´ıslo, ktere´ je na 120. pozici zleva po 200 krocı´ch. (A) 16

(B) 12

(C) 20

(D) 24

(E) 32

22. Urcˇete, kolik ru˚zny´ch troju´helnı´ku˚ ma´ vrcholy v neˇktery´ch z 18 bodu˚ deˇlı´cı´ch strany rovnostranne´ho troju´helnı´ku na 18 shodny´ch u´secˇek. (A) 816

(B) 711

(C) 777

(D) 717

(E) 811

23. Jsou da´ny trˇi ru˚zne´ cˇ´ıslice a, b, c, 0 < a < b < c desı´tkove´ soustavy. Cˇ´ıslo 1554 je soucˇet vsˇech trojmı´stny´ch cˇ´ısel, jejichzˇ za´pis v desı´tkove´ soustaveˇ obsahuje cˇ´ıslice a, b a c. Urcˇete cˇ´ıslici c. (A) 3

(B) 4

(C) 5

(D) 6

(E) 7 D

24. Necht’ ABCD je konvexnı´ cˇtyrˇu´helnı´k s jednotkovy´m obsahem takovy´, zˇe AB a BD jsou po ˇradeˇ za´kladny rovnoramenny´ch troju´helnı´ku˚ ABD a BCD s vnitrˇnı´mi u´hly prˇi vrcholech D a C o velikostech 20◦ a 100◦ . (Viz obra´zek.) Urcˇete hodnotu soucˇinu |AC| ⋅ |BD|. √ √ √ (A) 3√3 (B) 2 3 3 (C) 3 (D) 4 3 3 (E) jina´ odpoveˇd’

20◦ 100◦ C

A

B

Spra´vna´ rˇesˇenı´ souteˇzˇnı´ch u´loh kategorie Student 1 D, 2 E, 3 D, 4 A, 5 E, 6 C, 7 C, 8 C, 9 D, 10 B, 11 E, 12 C, 13 E, 14 D, 15 C, 16 E, 17 A, 18 A, 19 A, 20 C, 21 A, 22 B, 23 B, 24 D.

43

Obtížnost soutěžních úloh Následující tabulka vyjadřuje procentuální úspěšnost soutěžících při řešení jednotlivých úloh. Zpracován byl statistický vzorek čítající 738 žáků. Kategorie: Student Úloha č.

správně 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

44

špatně 39 39 36 49 38 21 83 69 9 29 45 29 9 9 38 29 22 20 27 17 23 10 16 9

neřešilo 58 57 57 32 40 31 15 25 69 25 27 45 57 29 36 36 26 41 27 46 36 32 29 23

3 4 7 19 22 48 2 7 22 46 28 26 34 62 25 35 52 39 46 36 40 58 54 68

Výsledky soutěže STUDENT 2004 Tabulka uvádí počty soutěžících, kteří získali příslušný počet bodů.

120 119 118 117 116 115 114 113 112 111 110 109 108 107 106 105 104 103 102 101

2 0 0 0 1 0 1 0 0 0 3 1 0 1 0 3 7 3 3 3

100 99 98 97 96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81

5 9 6 7 9 10 9 7 9 13 13 13 9 22 16 17 20 22 15 25

80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61

31 36 35 32 44 41 45 45 47 48 61 95 89 73 80 60 62 78 84 94

60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41

celkový počet řešitelů: 9

103 95 116 121 111 133 135 140 162 156 158 172 168 189 198 225 186 246 209 245

40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21

202 250 237 217 275 255 247 282 271 228 255 241 255 227 198 189 177 173 150 119

20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

120 85 76 54 58 42 29 16 15 13 15 13 5 1 2 1 2 0 0 0 2

729

průměrný bodový zisk: 42,65

45

-50

0

50

100

150

200

250

300

0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

36

39

42

45

48

51

54

57

60

63

66

69

72

75

78

81

84

Graf znázorňuje výsledky v kategorii Student z tabulky na str. 45

33

Student 2004

87

90

93

96

99 102 105 108 111 114 117 120

STUDENT 2004 1.

120

Jaroslav Fikar

A8

1. 2. 3.

120 116 114

Eva Patáková Černá Michaela Petr Havránek

Okt. A

Havlíčkovo Gymnázium, Havlíčkův Brod Gymnázium Dobříš G Komenského 2, Havířov Gymnázium Mikulášké náměstí 23, 326 00 Plzeň

47

OBSAH Úvodní slovo ……………………………………………………………………………….

3

Vývoj Matematického klokana v posledních deseti letech

4

…………………………….

Soutěž Matematický klokan pro žáky se sluchovým postižením

………………………...

5

Klokánek Zadání soutěžních úloh ……………………………………………………………………. Správná řešení …………………………………………………………………………….. Obtížnost soutěžních úloh (podle vybraných okresů) …………………………………….. Statistické výsledky, průměrný bodový zisk ……………………………………………… Graf ……………………………………………………………………………………… Nejlepší řešitelé …………………………………………………………………………...

8 11 12 13 14 15

Benjamín Zadání soutěžních úloh ………………………………………………………………….. Správná řešení …………………………………………………………………………….. Obtížnost soutěžních úloh (podle vybraných okresů) …………………………………….. Statistické výsledky, průměrný bodový zisk ……………………………………………… Graf ……………………………………………………………………………………… Nejlepší řešitelé …………………………………………………………………………...

16 19 20 21 22 23

Kadet Zadání soutěžních úloh …………………………………………………………………... Správná řešení …………………………………………………………………………….. Obtížnost soutěžních úloh (podle vybraných okresů) …………………………………….. Statistické výsledky, průměrný bodový zisk ……………………………………………… Graf ……………………………………………………………………………………… Nejlepší řešitelé …………………………………………………………………………...

24 27 28 29 30 31

Junior Zadání soutěžních úloh ……………………………………………………………………. Správná řešení …………………………………………………………………………….. Obtížnost soutěžních úloh (podle vybraných okresů) …………………………………….. Statistické výsledky, průměrný bodový zisk ……………………………………………… Graf ……………………………………………………………………………………… Nejlepší řešitelé …………………………………………………………………………...

32 35 36 37 38 39

Student Zadání soutěžních úloh ……………………………………………………………………. Správná řešení …………………………………………………………………………….. Obtížnost soutěžních úloh (podle vybraných okresů) …………………………………….. Statistické výsledky, průměrný bodový zisk ……………………………………………… Graf ……………………………………………………………………………………… Nejlepší řešitelé …………………………………………………………………………...

40 43 44 45 46 47

Obsah ……………………………………………………………………………………… 48

48

Název: Matematický klokan 2004 Odpovědní redaktoři: Josef Molnár Bohumil Novák Dita Navrátilová Pavel Calábek

Znění úloh podle evropské verze v jednotlivých kategoriích upravili: Klokánek

Bohumil Novák, Eva Kubátová, Martina Uhlířová

Benjamín

Milan Kopecký, Bronislava Růžičková

Kadet

Petr Emanovský, Jitka Hodaňová

Junior

Radek Horenský, Josef Molnár

Student

Pavel Calábek, Jaroslav Švrček

Matematický klokan pro žáky se sluchovým postižením: Anna Šarátková Vydala a vytiskla: Univerzita Palackého v Olomouci, Křížkovského 8, 771 47 Olomouc Olomouc 2004 1. vydání ISBN:

Partneři Matematického klokana ve školním roce 2003/2004 MORAVIA Consulting, Brno PRODOS, pedagogické nakladatelství, Olomouc CK Morávie, Olomouc, ul. Kosmonautů

Kontaktní adresa: Dita Navrátilová, Katedra matematiky PdF UP, Žižkovo nám. 5, 771 40 OLOMOUC e-mail: [email protected] tel.: 58 563 57 02 Josef Molnár, Katedra algebry a geometrie PřF UP, Tomkova 40, 779 00 OLOMOUC e-mail: [email protected] tel.: 58 563 46 57 Bohumil Novák, Katedra matematiky PdF UP, Žižkovo nám. 5, 771 40 OLOMOUC e-mail: [email protected] tel.: 58 563 57 01 www.matematickyklokan.net www.upol.cz katmat.upol.cz

e-mailová adresa pro korespondenci: [email protected]