MPS JČMF pobočka Olomouc

MPS JČMF pobočka Olomouc

UP Olomouc 2006

Sborník sestavili: J. Molnár, Přírodovědecká fakulta UP v Olomouci B. Novák, Pedagogická fakulta UP v Olomouci D. Navrátilová, Pedagogická fakulta UP v Olomouci P. Calábek, Přírodovědecká fakulta UP v Olomouci D. Nocar, Pedagogická fakulta UP v Olomouci

Sborník je vydán v rámci řešení projektu NPV II STM – MORAVA č. 2E06029

Za jazykovou správnost jednotlivých kapitol odpovídají autoři.

1. vydání © Josef Molnár, 2006 ISBN

Úvodem Rok 2006 se stal již dvanáctým, v němž na základních a středních školách v České republice proběhla soutěž Matematický klokan. 17. března 2006 soutěžní úlohy řešilo 280 424 žáků a studentů. Pravidelně vydávaný sborník, shrnující všechny podstatné údaje o letošním ročníku, dokumentuje, že zájem o soutěž mezi učiteli i žáky a studenty přetrvává a soutěž má i pro příští období na školách své místo a mezi školskými aktivitami své opodstatnění. V minulém roce jsme soubor každoročně vydávaných sborníků rozšířili o publikaci, mapující celé první desetiletí soutěže - „Deset let s Matematickým klokanem“. Připomněli jsme v ní dosavadní historii soutěže, přehledně shrnuli kvantitativní údaje o soutěži i vítězích jednotlivých kategorií. Přinesli jsme rovněž seznam těch z vás, kteří jste se v minulých letech podíleli na organizaci, přípravě a realizaci na školách, vyhodnocení výsledků. Současně jsme se pokusili demonstrovat alespoň několik názorů na soutěž a její didaktické využití ve školské praxi. Při analýze zkušeností, které přinesl ročník 2006, jsme nemohli nepostihnout také kritické ohlasy. Týkaly se především pokusu o zjednodušení a zefektivnění statistického vyhodnocování výsledků na školách a v okresech. Nepodařilo se s dostatečným časovým předstihem zajistit, aby nástroj pro zpracování výsledků byl dostatečně efektivně využit, v některých případech situaci neulehčil, spíše zkomplikoval. Pro příští rok se pokusíme o nápravu. Počet účastníků se v posledních několika letech stabilizoval, další extenzívní nárůst již nelze očekávat. Spíše se zaměříme na kvalitnější přenos informací, dodržování dostatečného časového předstihu při distribuci úloh a všestranného využití webové stránky soutěže www.matematickyklokan.net. Pro budoucí roky diskutujeme i o jiných organizačních způsobech zajištění soutěže. Údaje v letošní ročence jsou opět uspořádány již osvědčeným způsobem. Je přáním a ambicí organizátorů, aby vám poskytly potřebné informace, ale také inspiraci pro další úspěšné ročníky Matematického klokana. Pořadatelé Olomouc, říjen 2006

3

Vývoj Matematického klokana

1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

CVRČEK KLOKÁNEK BENJAMÍN KADET JUNIOR STUDENT CELKEM 6 205 7 834 7 280 2 195 1 297 24 811 18 522 30 819 27 262 6 148 3 938 86 689 61 161 59 314 51 769 8 631 7 349 188 224 62 963 67 417 57 653 11 580 8 484 208 097 87 885 79 717 73 578 16 847 6 606 264 633 95 426 87 304 81 893 20 384 10 319 295 326 93 434 86 458 78 408 20 173 11 228 289 701 99 204 86 785 81 440 20 479 10 428 298 336 83 584 74 112 65 839 19 615 9 879 253 029 78 275 75 609 68 324 17 345 9 729 249 282 11 076* 70 886 72 090 69 425 18 333 10 690 252 500 46 832 66 799 69 739 69 104 18 003 9 947 280 424

* pouze experimentální ročník, výsledek nebyl zahrnut do celostátního sumáře

Vývoj počtu účastníků Matematického klokana v jednotlivých ročnících

1995

1996

1997

1998

1999

2000

4

2001

2002

2003 2004

2005

2006

Matematicky´ KLOKAN 2006 kategorie Cvrcˇek

U´lohy za 3 body 1. Beˇtka kreslı´ ve stejne´m porˇadı´ trˇi ru˚zne´ postavy. Kterou postavu nakreslı´ na mı´sto otaznı´ku?

(D)

(C)

(B)

(A)

?

2. Helenka zˇije v domeˇ s tatıńkem, maminkou, bratrem Romanem, psem Punt’ou, dveˇma kocˇkami, dveˇma papousˇky a cˇtyrˇmi rybkami. Kolik majı´ vsˇichni dohromady nohou? (A) 22

(B) 28

(C) 32

4 ⋅ 9 =19 +

3. Ktere´ cˇ´ıslo se ukry´va´ pod moty´lı´mi krˇ´ıdly? (A) 4

(B) 7

(D) 24

(C) 14

(D) 17

4. Ivan meˇl vcˇera narozeniny. Zı´tra je cˇtvrtek. Ve ktery´ den meˇl Ivan narozeniny? (A) u´tery´

(B) strˇeda

(C) cˇtvrtek

(D) pondeˇlı´

U´lohy za 4 body

5. Kolika zpu˚soby mu˚zˇesˇ prˇecˇ´ıst slovo FERDA? (A) 6

(B) 5

(C) 4

(D) 3

F

E

R

E

R

D

R

D

A

6. Kolousˇek Drobecˇek sneˇdl 9 kasˇtanu˚. Srnka Brnka sneˇdla o 12 kasˇtanu˚ vıće nezˇ kolousˇek. Srnec Nenasyta sneˇdl dvakra´t vıće kasˇtanu˚ nezˇ srnka. Kolik kasˇtanu˚ sneˇdli vsˇichni trˇi dohromady? (A) 72

(B) 63

(C) 48

5

(D) 42

Cvrcˇek 2

d 7. Klokańek smı´ procha´zet pouze mı´stnostmi ve tvaru troju´helnı´ku. Ktery´m vyćhodem opustı´ budovu? (A) a

(B) b

(C) c

a e c

(D) d

b

8. Mı´sˇa prˇelozˇila list papı´ru na polovinu a potom z neˇj kus vystrˇihla, jak vidı´te vpravo. Ktery´ z obra´zku˚ mu˚zˇe uvideˇt, kdyzˇ list papı´ru rozevrˇe?

(C)

(B)

(A)

(D)

U´lohy za 5 bodu˚ 9. Filip poma´hal mamince utı´rat sklenicˇky. Uzˇ jich utrˇel 8, tedy celou polovinu. Kolik sklenicˇek mu jesˇteˇ zby´va´ utrˇ´ıt? (A) 4

(B) 8

(C) 12

(D) 16

10. Deˇdecˇek meˇnil azˇ vymeˇnil. Za kazˇde´ho koneˇ dostal dveˇ kozy. Za kazˇdou kozu dostal dveˇ slepice. Za kazˇdou slepici dostal jednu jehlu. Na zacˇa´tku meˇl deˇdecˇek hroudu zlata, kterou vymeˇnil za dva koneˇ. Kolik donesl deˇdecˇek babicˇce jehel? (A) 4

(B) 8

(C) 2

(D) 1

11. Ivo hra´l sˇipky. Na zacˇa´tku meˇl 10 hodu˚. Kdyzˇ zasa´hl strˇed tercˇe, zı´skal 2 hody navıć. Ivo hodil celkem dvacetkra´t. Kolikra´t zasa´hl strˇed tercˇe? (A) 6

(B) 4

(C) 10

12. Kolik kostek jsme odebrali? (A) 8

(B) 5

(C) 6

(D) 7

6

(D) 5

Matematický KLOKAN 2006 správná řešení soutěžních úloh

Cvrček 1 C, 2 D, 3 D, 4 A, 5 A, 6 A, 7 B, 8 C, 9 B, 10 B, 11 D, 12 D.

7

Obtížnost soutěžních úloh Následující tabulka vyjadřuje procentuální úspěšnost soutěžících při řešení jednotlivých úloh. Zpracován byl statistický vzorek čítající 367 žáků. Kategorie: Cvrček Úloha č. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

správně 60% 51% 53% 34% 7% 21% 57% 80% 55% 33% 16% 79%

špatně 38% 43% 24% 62% 89% 64% 32% 16% 38% 53% 61% 17%

8

neřešilo 1% 4% 22% 2% 2% 13% 10% 2% 5% 12% 22% 3%

Výsledky soutěže

CVRČEK 2006 Tabulka uvádí počty soutěžících, kteří získali příslušný počet bodů.

60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41

185 21 42 59 155 488 174 92 133 358 462 567 198 233 492 743 736 555 435 676

1193 933 1021 750 1214 1297 1891 1059 1208 1267 2224 1633 1444 1340 1787 1892 1703 1302 1342 1702

40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21

20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

celkový počet řešitelů: 46 832 průměrný bodový zisk: 28,53

9

1596 1387 967 1021 1081 1234 757 554 630 669 558 330 205 175 235 163 95 35 22 34 78

0

500

1000

1500

2000

2500

Graf znázorňuje výsledky v kategorii Cvrček z tabulky „Výsledky soutěže“

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

Cvrček 2006

Matematicky´ KLOKAN 2006 kategorie Klokańek

´ lohy za 3 body U

?

1. Beˇtka kreslı´ ve stejne´m porˇadı´ trˇi ru˚zne´ postavy. Kterou postavu nakreslı´ na mı´sto otaznı´ku?

(B)

(A)

(C)

(D)

(E)

(C) 2014

(D) 2018

(E) 4012

2. Vypocˇ´ıtej 2 ⋅ 0 ⋅ 0 ⋅ 6 + 2006. (A) 0

(B) 2006

3. Kolik kostek jsme odebrali? (A) 4

(B) 5

(C) 6

(D) 7

(E) 8

4. Katka meˇla vcˇera narozeniny. Pozı´trˇ´ı je pa´tek. Ve ktery´ den meˇla Katka narozeniny? (A) u´tery´

(B) strˇeda

(C) cˇtvrtek

(D) sobota

(E) pondeˇlı´

5. Ivo hra´l sˇipky. Na zacˇa´tku meˇl 10 hodu˚. Kdyzˇ zasa´hl strˇed tercˇe, zı´skal 2 hody navıć. Ivo hodil celkem dvacetkra´t. Kolikra´t zasa´hl strˇed tercˇe? (A) 6

(B) 8

(C) 10

(D) 5

(E) 4

a 6. Klokańek smı´ procha´zet pouze mı´stnostmi ve tvaru troju´helnı´ku. Ktery´m vyćhodem opustı´ budovu? (A) a (B) b (C) c

b c d

(D) d (E) e

e

7. U cˇtvercove´ho stolu mohou sedeˇt cˇtyrˇi lide´ (z kazˇde´ strany stolu jeden cˇloveˇk). Na sˇkolnı´ prˇedstavenı´ vytvorˇili zˇaći velky´ obde´lnı´kovy´ stu˚l ze 7 takovyćh cˇtvercovyćh stolu˚. Urcˇete nejveˇtsˇ´ı pocˇet lidı´, ktere´ mohli zˇaći ke stolu posadit. (A) 14

(B) 16

(C) 21

(D) 24

11

(E) 28

Klokańek 2 8. Standa ma´ v peneˇzˇence jednu bankovku v hodnoteˇ 5 euro, jednu minci v hodnoteˇ 1 euro a jednu minci v hodnoteˇ 2 eura. Ta´ta zapomneˇl vsˇechny penı´ze doma. Kolik peneˇz mu nemu˚zˇe Standa pu˚jcˇit? (A) 3 euro

(B) 4 euro

(C) 6 euro

(D) 7 euro

(E) 8 euro

´ lohy za 4 body U

9. Na leve´ straneˇ ulice Palacke´ho mu˚zˇete najı´t domy s cˇ´ısly 1, 3, 5, 7, . . . , 19. Na prave´ straneˇ jsou domy s cˇ´ısly 2, 4, 6, 8, . . . , 14. Kolik domu˚ je v ulici Palacke´ho? (A) 8

(B) 16

(C) 17

(D) 18

(E) 33

10. Na cˇtverecˇkovane´m listu papı´ru Eva uvideˇla sva´zany´ prova´zek polozˇeny´ tak, jak vidı´sˇ na obra´zku vpravo. Potom ho vzala a vytvorˇila jeden z na´sledujıćıćh tvaru˚. Ktery´?

(A)

(B)

(D)

(E)

(C)

11. Cˇ´ısla na obra´zku jsou ceny autobusovyćh jı´zdenek mezi sousednı´mi meˇsty. Petr chce jet z meˇsta A do meˇsta B. Urcˇete nejnizˇsˇ´ı cenu, kterou mu˚zˇe za cestu zaplatit. (A) 80 (D) 110

(B) 90 (E) 180

10

20 A

60 80

60 B

(C) 100

10

20

12. Na prouzˇku papı´ru bylo napsańo cˇ´ıslo. Prouzˇek byl rozstrˇ´ıhań na sˇest cˇa´stı´ tak, jak vidı´sˇ na obra´zku vpravo. Urcˇete nejmensˇ´ı desetimı´stne´ cˇ´ıslo, ktere´ lze z rostrˇ´ıhanyćh cˇa´stı´ slozˇit. (A) 1 234 567 890 (D) 2 309 415 687

70

30

(B) 1 023 456 789 (E) 2 309 415 678

12

41 309

68 5 7 2

(C) 3 097 568 241

Klokańek 3 13. Sˇest za´vazˇ´ı (1 g, 2 g, 3 g, 4 g, 5 g a 6 g) bylo rozdeˇleno do trˇ´ı krabic. V kazˇde´ krabici byla dveˇ za´vazˇ´ı. V prvnı´ krabici meˇla za´vazˇ´ı hmotnost 9 g. V druhe´ krabici meˇla za´vazˇ´ı hmotnost 8 g. Ktera´ za´vazˇ´ı jsou ve trˇetı´ krabici? (A) 3 g a 1 g

(B) 5 g a 2 g

(C) 6 g a 1 g

(D) 4 g a 2 g

(E) 4 g a 3 g

14. Na obra´zcıćh vidı´sˇ cˇtyrˇi ru˚zne´ cesty mezi dveˇma body. Ktera´ cesta je nejkratsˇ´ı?

(C)

(B)

(A)

(E) vsˇechny jsou stejneˇ dlouhe´

(D)

8 15. Marusˇka odtrhla z cˇ´ıselne´ kveˇtinky vsˇechny okveˇtnı´ lı´stky s cˇ´ısly, ktera´ prˇi deˇlenı´ 6 da´vajı´ zbytek 2. Urcˇete soucˇet cˇ´ısel na okveˇtnıćh lı´stcıćh, ktere´ Marusˇka odtrhla. (A) 46

(B) 66

(C) 84

(D) 86

(E) 114

58

18

48

28 38

16. Cˇtyrˇi kocˇky sedı´ na ploteˇ. Jmenujı´ se Micka, Tlapka, Cˇipera a Bobina. Micka sedı´ prˇesneˇ uprostrˇed mezi Tlapkou a Cˇiperou. Vzda´lenost mezi Tlapkou a Mickou je stejna´ jako vzda´lenost mezi Cˇiperou a Bobinou. Micka sedı´ 4 metry od Bobiny. Urcˇete vzda´lenost mezi Tlapkou a Bobinou. (A) 5 m

(B) 6 m

(C) 7 m

(D) 8 m

´ lohy za 5 bodu˚ U

17. Na´sledujıćı´ tvary mu˚zˇesˇ libovolneˇ otaćˇet po stole, ale nesmı´sˇ je obra´tit rubem nahoru. Ktery´ z teˇchto tvaru˚ jsme nepouzˇili v nasˇ´ı skla´dance? (A)

(B)

(C)

(D)

13

(E)

(E) 9 m

Klokańek 4

18. Honza stavı´ domy z karet. Na obra´zku jsou domy o jednom, dvou a trˇech podlazˇ´ıch. Kolik karet bude potrˇebovat na postavenı´ domu o cˇtyrˇech podlazˇ´ıch? (A) 23

(B) 24

(C) 25

(D) 26

(E) 27

3 podlazˇ´ı 15 karet

1 podlazˇ´ı 2 podlazˇ´ı 2 karty 7 karet

19. Stavba na obra´zku je slepena z 10 kostek. Roman celou stavbu namocˇil do inkoustu. Kolik steˇn vsˇech 10 kostek je modryćh? (A) 18

(B) 24

(C) 30

(D) 36

(E) 42

20. Irena, Anicˇka, Katka, Olga a Eva bydlı´ v jednom domeˇ. Dveˇ z deˇvcˇat bydlı´ v prvnı´m poschodı´, trˇi z nich bydlı´ ve druhe´m poschodı´. Olga bydlı´ v jine´m poschodı´ nezˇ Katka a Eva. Anicˇka bydlı´ v jine´m poschodı´ nezˇ Irena a Katka. Ktere´ z dı´vek bydlı´ v prvnı´m poschodı´? (A) Katka a Eva (D) Irena a Katka

(B) Irena a Eva (E) Anicˇka a Olga

(C) Irena a Olga

21. Karel napsal na tabuli 2002 ◦ 2003 ◦ 2004 ◦ 2005 ◦ 2006. Potom kazˇde´ kolecˇko nahradil bud’ znameńkem +, nebo −. Spra´vneˇ spocˇ´ıtal vy´sledek. Ktere´ z cˇ´ısel nemohl zı´skat? (A) 1998

(B) 2001

(C) 2002

(D) 2004

(E) 2006

22. Jestlizˇe v jednom meˇsıći (31 dnı´) je 5 pondeˇlku˚, pak v tomte´zˇ meˇsıći nemu˚zˇe by´t: (A) 5 sobot

(B) 5 nedeˇlı´

(C) 5 u´tery´

(D) 5 strˇed

(E) 5 cˇtvrtku˚

23. Do kazˇde´ho z devı´ti polı´ tabulky doplnˇte jedno z cˇ´ısel 1, 2, 3. Cˇ´ıslo 1 napisˇte do leve´ho hornı´ho cˇtverce. Do kazˇde´ho sloupce a kazˇde´ho ˇra´dku tabulky napisˇte kazˇde´ z cˇ´ısel pra´veˇ jednou. Kolik ru˚znyćh tabulek mu˚zˇete takto vytvorˇit? (A) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 5

24. Na za´veˇsne´ dekoraci jsou zaveˇsˇeny cˇtyrˇi druhy ozdobnyćh sklıćˇek. Ve vsˇech peˇti mı´stech oznacˇenyćh ◦ nasta´va´ rovnova´ha. Prˇedmeˇty stejnyćh tvaru˚ majı´ stejnou hmotnost. Hmotnost kruhove´ho sklıćˇka je 30 g. Urcˇete hmotnost cˇtvercove´ho sklıćˇka oznacˇene´ho otaznı´kem.

(A) 10 g

(B) 20 g

1

(E) 8

30

?

(C) 30 g

14

(D) 40 g

(E) 50 g


Klokánek 1 D, 2 B, 3 D, 4 A, 5 D, 6 E, 7 B, 8 B, 9 C, 10 E, 11 B, 12 D, 13 A, 14 E, 15 A, 16 B, 17 C, 18 D, 19 D, 20 E, 21 B, 22 E, 23 C, 24 B.

15

Obtížnost soutěžních úloh Následující tabulka vyjadřuje procentuální úspěšnost soutěžících při řešení jednotlivých úloh. Zpracován byl statistický vzorek čítající 558 žáků. Kategorie: Klokánek Úloha č. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

správně 72% 62% 88% 36% 26% 78% 27% 26% 34% 20% 45% 41% 65% 69% 37% 26% 39% 44% 10% 45% 10% 10% 11% 20%

špatně 23% 35% 9% 61% 54% 17% 66% 62% 50% 67% 52% 51% 21% 26% 31% 56% 50% 45% 71% 31% 59% 63% 55% 43%

16

neřešilo 3% 2% 1% 1% 18% 4% 5% 11% 14% 11% 2% 7% 12% 3% 30% 17% 10% 9% 17% 23% 30% 26% 33% 36%

Výsledky soutěže

KLOKÁNEK 2006 Tabulka uvádí počty soutěžících, kteří získali příslušný počet bodů.

120 119 118 117 116 115 114 113 112 111 110 109 108 107 106 105 104 103 102 101

29 0 0 1 12 13 30 2 5 16 25 39 33 13 29 45 70 78 55 34

100 99 98 97 96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81

68 196 92 101 83 116 153 162 166 154 164 194 246 302 256 283 331 351 400 387

80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61

416 428 492 518 546 518 586 632 658 677 657 703 795 817 795 836 868 982 1009 959

60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41

982 973 1025 1067 1002 1104 1147 1187 1168 1209 1224 1221 1312 1260 1194 1277 1341 1312 1255 1203


17

40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21

1276 1230 1304 1226 1145 1167 1169 1220 1140 1033 996 1041 1080 955 828 824 842 786 667 565

20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

540 627 519 403 328 295 327 254 168 113 132 136 93 46 50 42 53 13 10 6 61

-200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

33

36

39

42

45

48

51

54

57

60

63

66

69

72

75

78

81

84

87

Graf znázorňuje výsledky v kategorii Klokánek z tabulky „Výsledky soutěže“

30

Klokánek 2006

90

93

96

99 102 105 108 111 114 117 120

Nejlepší řešitelé KLOKÁNEK 2006

1. místo 120 Bednařík Zdeněk

4.

1. místo 120 Biravský Jan

5. A

1. místo 120 Brzobohatá Anna

5.B

1. místo 120 Černá Barbora

5.D

1. místo 120 Dokoupil Daniel

5. B

1. místo 120 Egreši Martin

4.

1. místo 120 Hammerbauerová Iva

5. B

1. místo 120 Hemzalová Karolína

5. A

1. místo 120 Herrmann Vojtěch

5.

1. místo 120 Horáčková Agáta

5.A

1. místo 120 Hrnčířová Kristýna

4.

1. místo 120 Hroneš Martin

5.B

1. místo 120 Jurák Vojtěch

5.

1. místo 120 Krejsa Jan

V. A

1. místo 120 Kučera Vojtěch

5.

1. místo 120 Mrazík Lukáš

5.B

1. místo 120 Netáhlová Karolína

V. A

ZŠ Lingua Universal s. r. o. Sovova 2 412 01 Litoměřice ZŠ Mládeže 3 669 02 Znojmo ZŠ Mokrá 352 664 04 Mokrá 21. ZŠ Slovanská alej 13 301 00 Plzeň ZŠ B. Němcové 15 78901 Zábřeh ZŠ Lingua Universal s. r. o. Sovova 2 412 01 Litoměřice ZŠ Kladno C. Boudy 272 01 Kladno ZŠ a G Konice Tyršova 609 79852 Konice Masarykova ZŠ a OA Tanvald Školní 416 486 41 Tanvald ZŠ Hovorčovická 110 00 Praha ZŠ Lingua Universal s. r. o. Sovova 2 412 01 Litoměřice ZŠ B. Němcové Hus. nám. 352 551 01 Jaroměř CZŠ Česká 4787 760 05 Zlín ZŠ Očovská 1 695 01 Hodonín ZŠ Rohozenská 225 340 21 Janovice n. Ú. ZŠ Ještědská 354/88 460 08 Liberec ZŠ TGM Dr. E. Beneše 129 342 01 Sušice

19

1. místo 120 Pilnáčková Michaela

5.A

1. místo 120 Polách Michal

5.

1. místo 120 Pultar Milan

5.C

1. místo 120 Skácel Ondřej

5. B

1. místo 120 Skučková Kateřina

5. A

1. místo 120 Šálená Adéla

5.A

1. místo 120 Šulc Vladimír

5. B

1. místo 120 Švábová Tereza

5.B

1. místo 120 Švéda Vlastimil 1. místo 120 Tuma Vojtěch

5.

1. místo 120 Valeš Ondřej

5.A

1. místo 120 Železný Jan

4.

ZŠ Hovorčovická 110 00 Praha ZŠ Valašská Polanka 301 753 11 Valašská Polanka ZŠaMš Červený Vrch Alžírská 26/680 160 00 Praha 6 ZŠ nám. Svobody 3 78502 Šternberk 3. ZŠ Rakovník 269 01 Rakovník ZŠ Hovorčovická 110 00 Praha ZŠ Pardubice Družstevní 305 530 09 Polabiny I ZŠ Broumov Hradební 244 550 01 Broumov ZŠ Mládeže 3 669 02 Znojmo ZŠ Velký Beranov 331 588 21 ZŠ Zastávka u Brna U Školy 161 664 64 ZŠ Lingua Universal s. r. o. Sovova 2 412 01 Litoměřice

20

Matematicky´ KLOKAN 2006 kategorie Benjamıń

´ lohy za 3 body U

1. 3 ⋅ 2006 = 2005 + 2007 +

(A) 2005

. Ktere´ cˇ´ıslo patrˇ´ı do pra´zdne´ho ra´mecˇku?

(B) 2006

(C) 2007

(D) 2008

2. Na prouzˇku papı´ru bylo napsańo cˇ´ıslo. Prouzˇek byl rozstrˇ´ıhań na sˇest cˇa´stı´ tak, jak vidı´sˇ na obra´zku vpravo. Urcˇete nejveˇtsˇ´ı desetimı´stne´ cˇ´ıslo, ktere´ lze z rostrˇ´ıhanyćh cˇa´stı´ slozˇit. (A) 9 876 543 210 (D) 7 568 413 092

(B) 4 130 975 682 (E) 7 685 413 092

(E) 2009

41

68 5 7 2

309

(C) 3 097 568 241

3. Kolik stojı´ kopacı´ mıćˇ?

500 Kcˇ (A) 100 Kcˇ

(B) 200 Kcˇ

1 200 Kcˇ (C) 300 Kcˇ

(D) 400 Kcˇ

(E) 500 Kcˇ

4. Na leve´ straneˇ Jarnı´ ulice jsou domy oznacˇeny lichy´mi cˇ´ısly od 1 do 39. Na prave´ straneˇ ulice jsou domy oznacˇene´ sudy´mi cˇ´ısly od 2 do 34. Kolik domu˚ stojı´ v Jarnı´ ulici? (A) 8

(B) 36

(C) 37

(D) 38

(E) 73

5. Na na´teˇr krychlove´ stavby vlevo je trˇeba 9 kg barvy. Odstranı´me z nı´ 8 malyćh krychlı´ (na obra´zku vpravo). Kolik barvy bude trˇeba na jejı´ novy´ na´teˇr? (A) 9 kg

(B) 8 kg

(C) 7 kg

(D) 6 kg

(E) 1 kg

6. Na obra´zku vpravo stojı´sˇ na cˇ´ısle 2. Postupujesˇ jen ve smeˇru sˇipek. Kolika ru˚zny´mi zpu˚soby mu˚zˇesˇ projı´t cestu 2006? (A) 12

(B) 11

(C) 10

(D) 8

(E) 6

2

0

0

0

0

6

0

6

6

21

6

Benjamıń 2 7. Jirka slepil z kartonu krabici tvaru krychle. Do steˇn krabice vyrˇezal dva otvory tak, jak je zna´zorneˇno na obra´zku vpravo. Ktery´ z na´sledujıćıćh obra´zku˚ zachycuje karton po opeˇtovne´m rozlozˇenı´ krabice?

(A)

(B)

(D)

(E)

(C)

8. Cˇemu se rovna´ polovina z jedne´ setiny? (A) 0,005

(B) 0,002

(C) 0,05

(D) 0,02

(E) 0,5

´ lohy za 4 body U

9. Na za´veˇsne´ dekoraci jsou zaveˇsˇeny cˇtyrˇi druhy ozdobnyćh sklıćˇek. Ve vsˇech peˇti mı´stech oznacˇenyćh ◦ nasta´va´ rovnova´ha. Prˇedmeˇty stejnyćh tvaru˚ majı´ stejnou hmotnost. Hmotnost kruhove´ho sklıćˇka je 30 g. Urcˇete hmotnost cˇtvercove´ho sklıćˇka oznacˇene´ho otaznı´kem.

(A) 10 g

(B) 20 g

30

?

(C) 30 g

(D) 40 g

(E) 50 g

10. Na u´secˇce DE de´lky 2006 cm jsou vyznacˇeny body A, B, C tak, zˇe de´lky |DA| = |BE| = 1111 cm a de´lka |DC| = 0,7 ⋅ |DE|. Urcˇete porˇadı´ bodu˚ vyznacˇenyćh na u´secˇce DE. (A) DABCE

(B) DACBE

(C) DCBAE

(D) DBCAE

11. Hveˇzda na obra´zku je vytvorˇena ze cˇtverce a cˇtyrˇ rovnostrannyćh troju´helnı´ku˚. Kazˇdy´ ze cˇtyrˇ kruhu˚ ma´ polomeˇr 5 cm. Urcˇete obvod hveˇzdy. (A) 40 cm

(B) 80 cm

(C) 120 cm

(D) 160 cm

22

(E) 240 cm

(E) DBACE

Benjamıń 3 12. Ktery´ z vy´sledku˚ je spra´vny´? 1 111 111 111 −111 111 111 +11 111 111 −1 111 111 +111 111 −11 111 +1 111 −111 +11 −1 (A) 111 111 111 (D) 999 999 999

(B) 1 010 101 010 (E) 0

(C) 100 000 000

13. Papı´r tvaru pravidelne´ho sˇestiu´helnı´ku ma´ oznacˇene´ 3 vrcholy. Papı´r prˇelozˇ´ıme tak, aby se vyznacˇene´ vrcholy doty´kaly ve strˇedu sˇestiu´helnı´ku. Ktery´ geometricky´ u´tvar vznikne po prˇelozˇenı´? (A) dvanaćtiu´helnı´k (D) cˇtverec

(B) sˇestiu´helnı´k (E) troju´helnı´k

(C) obde´lnı´k

A 14. Je dań obde´lnı´k ABCD o velikosti stran |AB| = 4 cm, |BC| = 1 cm. Bod E je strˇed u´secˇky AB, F je H G strˇed u´secˇky AE, G je strˇed u´secˇky AD a H je strˇed u´secˇky AG. Urcˇi obsah vybarvene´ho obde´lnı´ku. D 1 1 2 2 2 (B) 1 cm (C) 8 cm (A) 4 cm

E

F

B

C

(D)

1 2

cm

2

(E)

1 16

cm

2

15. Provaz dlouhy´ 15 m je trˇeba rozrˇezat na co nejveˇtsˇ´ı pocˇet ru˚zneˇ dlouhyćh kusu˚. De´lka kazˇde´ho kusu by meˇla by´t v celyćh metrech. Kolik bude ˇrezu˚? (A) 3

(B) 4

(C) 5

(D) 6

16. Rˇeka prote´kajıćı´ meˇstem vytva´ˇr´ı dva ostrovy. Prˇes ˇreku vede celkem 6 mostu˚ (viz. obra´zek). Kolika ru˚zny´mi zpu˚soby mu˚zˇete dojı´t z mostu A na most B tak, abyste prosˇli prˇes vsˇech 6 mostu˚ a to prˇes kazˇdy´ z nich pra´veˇ jednou? (A) 0 (D) 6

(B) 2 (E) vıće nezˇ 6

(E) 15

B

A

(C) 4

´ lohy za 5 bodu˚ U 17. Soucˇin dvou celyćh cˇ´ısel je 72. Ktere´mu z na´sledujıćıćh cˇ´ısel se nemu˚zˇe rovnat jejich soucˇet? (A) 73

(B) 22

(C) 27

(D) 18

23

(E) 24

Benjamıń 4

(A) A

(B) B

(C) C

D B

F

18. Na steˇnaćh hracı´ kostky jsou mı´sto tecˇek napsana´ pı´smena. Na prvnı´m obra´zku je zna´zorneˇna jedna z jejıćh mozˇnyćh sı´tı´. Ktere´ pı´smeno patrˇ´ı mı´sto tmave´ho cˇtverce na druhe´m obra´zku, ktery´ zachycuje jinou sı´t’te´zˇe krychle?

C

E

D

F

A

(D) E

(E) nelze urcˇit

19. Elisˇka secˇetla nejmensˇ´ı a nejveˇtsˇ´ı dvojciferna´ cˇ´ısla deˇlitelna´ trˇemi. Brˇet’a secˇetl nejmensˇ´ı a nejveˇtsˇ´ı dvojciferna´ cˇ´ısla, ktera´ trˇemi deˇlitelna´ nejsou. O kolik se vy´sledek Elisˇky lisˇil od vy´sledku Brˇeti? (A) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 5

(E) 6

20. Na kruh o pru˚meˇru 10 cm je zakreslena obde´lnı´kova´ sı´t’ jako na obra´zku. Urcˇi obvod vybarvene´ho obrazce. (A) 8 cm

(B) 16 cm

(C) 20 cm

(D) 25 cm

(E) 30 cm

21. David secˇetl prvnıćh 1000 kladnyćh sudyćh cˇ´ısel, Pavel secˇetl prvnıćh 1000 kladnyćh lichyćh cˇ´ısel. Jaky´ je rozdı´l mezi jejich soucˇty? (A) 1

(B) 200

(C) 500

(D) 1000

(E) 2000

22. Vojta ra´d sestavuje cˇtverce ze za´palek. Postupuje vzˇdy tak, zˇe k jizˇ sestavene´mu cˇtverci prˇida´va´ dalsˇ´ı za´palky. (Vojtu˚v postup je zachycen na obra´zku vpravo.) Kolik za´palek musı´ Vojta prˇidat k trˇica´te´mu cˇtverci, aby sestavil cˇtverec trˇica´ty´ prvnı´? (A) 124

(B) 148

(C) 61

(D) 254

(E) 120

prvnı´

druhy´

trˇetı´

23. Na tabuli jsou napsańa vsˇechna cela´ cˇ´ısla od 1 do 2006. Petr nejprve podtrhl vsˇechna cˇ´ısla deˇlitelna´ 2, potom vsˇechna cˇ´ısla deˇlitelna´ 3 a nakonec vsˇechna cˇ´ısla deˇlitelna´ 4. Kolik cˇ´ısel na tabuli je podtrzˇeno pra´veˇ dvakra´t? (A) 1003

(B) 1002

(C) 501

(D) 334

(E) 167

24. Urcˇete nejmensˇ´ı pocˇet bodu˚, ktere´ je trˇeba z obrazce vpravo odstranit, aby zˇa´dna´ trojice zby´vajıćıćh bodu˚ netvorˇila vrcholy rovnostranne´ho troju´helnı´ku. (A) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 5

24

(E) 6


Benjamín 1 B, 2 E, 3 B, 4 C, 5 A, 6 D, 7 D, 8 A, 9 B, 10 E, 11 D, 12 B, 13 E, 14 A, 15 B, 16 D, 17 E, 18 D, 19 B, 20 C, 21 D, 22 A, 23 C, 24 C.

25

Obtížnost soutěžních úloh Následující tabulka vyjadřuje procentuální úspěšnost soutěžících při řešení jednotlivých úloh. Zpracován byl statistický vzorek čítající 421 žáků. Kategorie: Benjamín Úloha č. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

správně 81% 70% 65% 60% 33% 44% 80% 59% 30% 14% 26% 79% 73% 30% 14% 25% 11% 20% 43% 18% 17% 12% 8% 34%

špatně 12% 27% 21% 31% 39% 53% 15% 34% 48% 48% 49% 13% 19% 27% 74% 59% 57% 48% 30% 32% 43% 37% 47% 47%

26

neřešilo 5% 1% 12% 7% 26% 2% 4% 5% 20% 37% 23% 6% 7% 41% 10% 15% 31% 30% 25% 48% 39% 49% 43% 17%

Výsledky soutěže

BENJAMÍN 2006 Tabulka uvádí počty soutěžících, kteří získali příslušný počet bodů.

120 119 118 117 116 115 114 113 112 111 110 109 108 107 106 105 104 103 102 101

8 0 0 0 2 10 10 0 1 1 10 18 17 2 4 16 30 36 27 6

100 99 98 97 96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81

30 47 56 51 26 43 65 76 102 68 82 90 108 131 108 141 123 167 200 204

80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61

190 195 241 270 278 312 315 349 358 426 396 421 491 520 550 567 609 683 759 748

60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41

852 857 865 946 1059 1148 1047 1186 1237 1301 1356 1370 1406 1526 1566 1583 1537 1605 1756 1693


27

40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21

1653 1662 1745 1711 1704 1616 1712 1597 1567 1509 1495 1370 1370 1238 1145 1092 1110 974 877 816

20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

789 739 565 481 407 430 356 284 174 172 178 151 85 36 61 61 59 10 6 11 31

-200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

33

36

39

42

45

48

51

54

57

60

63

66

69

72

75

78

81

84

87

Graf znázorňuje výsledky v kategorii Benjamín z tabulky „Výsledky soutěže“

30

Benjamín 2006

90

93

96

99 102 105 108 111 114 117 120

Nejlepší řešitelé BENJAMÍN 2006

1. místo 120 Čurnová Lenka 1. místo 120 Klusáček Jan 1. místo 120 Láf Adam 1. místo 120 Peterková Andrea 1. místo 120 Smejkal Dominik 1. místo 120 Škripko Jindřich 1. místo 120 Šperl Josef 1. místo 120 Tomčíková Lucie

Gymnázium Jírovcova 8 371 61 České Budějovice Gymnázium 2.G Masarykovo nám. 9 674 01 Třebíč G Ch. Dopplera 45 1M 150 00 Praha 5 Gymnázium Vysoké Mýto SA 566 01 Gymnázium Chotěboř Sekunda Jiráskova 637 583 01 Chotěboř Gymnázium Kladno 02A 272 01 Kladno Gymnázium Hořovice 1. A 268 01 Hořovice Gymnázium Holešov P Palackého 524 769 01 Holešov II.E

29

Matematicky´ KLOKAN 2006 kategorie Kadet

´ lohy za 3 body U

1. Souteˇzˇ Klokan se kona´ kazˇdorocˇneˇ od roku 1991. Kolika´ty´ rocˇnı´k souteˇzˇe probı´ha´ v roce 2006? (A) 15.

(B) 16.

(C) 17.

(D) 13.

(E) 14.

2. Bod O je strˇedem pravidelne´ho peˇtiu´helnı´ku. Kolik procent peˇtiu´helnı´ku je vyznacˇeno? (A) 10 %

(B) 20 %

(C) 25 %

(D) 30 %

O

(E) 40 %

3. Babicˇka ˇrekla svy´m vnoucˇatu˚m: „Jestli kazˇde´mu z va´s upecˇu 2 kolaćˇe, tak budu mı´t dost teˇsta na dalsˇ´ı 3 kolaćˇe. Ale nebudu moci upećt 3 kolaćˇe pro kazˇde´ho z va´s, protozˇe mi nezbude teˇsto na poslednı´ 2 kolaćˇe.“ Kolik ma´ babicˇka vnoucˇat? (A) 5

(B) 3

(C) 4

(D) 2

(E) 6

4. Jirka slepil z kartonu krabici tvaru krychle. Do steˇn krabice vyrˇezal dva otvory tak, jak je zna´zorneˇno na obra´zku vpravo. Ktery´ z na´sledujıćıćh obra´zku˚ zachycuje karton po opeˇtovne´m rozlozˇenı´ krabice?

(A)

(B)

(D)

(E)

(C)

5. Z pru˚zkumu, ve ktere´m bylo dota´zańo 2006 sˇkola´ku˚ z Minsku, vyply´va´, zˇe 1500 z nich se zućˇastnilo souteˇzˇe Klokan a 1200 souteˇzˇe Medvı´deˇ. Kolik z dota´zanyćh deˇtı´ se zućˇastnilo obou souteˇzˇ´ı, jestlizˇe 6 z nich se nezućˇastnilo ani jedne´ ze zmıńeˇnyćh souteˇzˇ´ı? (A) 300

(B) 500

(C) 600

30

(D) 1000

(E) 700

Kadet 2 6. Teˇleso na obra´zku se skla´da´ ze dvou krychlı´. Mala´ krychle s hranou de´lky 1 cm je umı´steˇna na veˇtsˇ´ı krychli, jejı´zˇ hrana ma´ de´lku 3 cm. Urcˇete povrch tohoto teˇlesa. (A) 56 cm2

(B) 58 cm2

(C) 60 cm2

(D) 62 cm2

(E) 64 cm2

7. La´hev o objemu 13 l je naplneˇna ze 43 mle´kem. Upijeme z nı´ 200 ml. Kolik mle´ka v la´hvi zu˚stane? (A) la´hev bude pra´zdna´ (D) 60 ml

(B) 75 ml (E) 30 ml

(C) 50 ml

8. Dveˇ strany troju´helnı´ku jsou stejneˇ dlouhe´, kazˇda´ z nich ma´ de´lku 7 cm. De´lka trˇetı´ strany je vyja´drˇena v centimetrech cely´m cˇ´ıslem. Urcˇete nejveˇtsˇ´ı mozˇny´ obvod tohoto troju´helnı´ku. (A) 27 cm

(B) 15 cm

(C) 21 cm

(D) 14 cm

(E) 28 cm

´ lohy za 4 body U 9. Trˇi u´terky v meˇsıći majı´ sude´ datum. Ktery´ den v ty´dnu byl 21. toho meˇsıće? (A) strˇeda

(B) cˇtvrtek

(C) pa´tek

(D) sobota

(E) nedeˇle

10. David, Mirek a Pepa si nasˇetrˇili penı´ze, aby si mohli koupit na vy´let stan. Pepa nasˇetrˇil 60 % ceny. David nasˇetrˇil 40 % zbytku ceny. Mirek se podı´lel 30 . Kolik za stan zaplatili? (A) 50

(B) 60

(C) 125

(D) 150

(E) 200

11. V raketeˇ STAR 1 pluje vesmı´rem neˇkolik mimozemsˇt’anu˚. Kazˇdy´ z nich je bud’zeleny´, oranzˇovy´, nebo modry´. Zelenı´ mimozemsˇt’ane´ majı´ po dvou tykadlech, oranzˇovı´ majı´ po trˇech tykadlech a modrˇ´ı majı´ po peˇti tykadlech. V raketeˇ je stejny´ pocˇet zelenyćh a oranzˇovyćh mimozemsˇt’anu˚. Modryćh mimozemsˇt’anu˚ je o 10 vıće nezˇ zelenyćh. Vsˇichni dohromady majı´ 250 tykadel. Kolik modryćh mimozemsˇt’anu˚ cestuje v raketeˇ? (A) 15

(B) 20

(C) 25

(D) 30

(E) 40

12. Jestlizˇe se klokan Jumpy odrazı´ levou nohou, tak skocˇ´ı 2 m. Jestlizˇe se odrazı´ pravou nohou, tak skocˇ´ı 4 m. Jestlizˇe se odrazı´ obeˇma nohama, tak skocˇ´ı 7 m. Urcˇete nejmensˇ´ı pocˇet skoku˚, ktere´ musı´ Jumpy udeˇlat, aby prˇekonal vzda´lenost pra´veˇ 1000 m. (A) 140

(B) 144

(C) 175

(D) 176

(E) 150

13. Obde´lnı´k je rozdeˇlen na sedm cˇtvercu˚ jako na obra´zku vpravo. De´lky stran sveˇtlyćh cˇtvercu˚ jsou 8 cm. Urcˇete de´lku strany bı´le´ho cˇtverce. (A) 18 cm

(B) 15 cm

(C) 20 cm

(D) 24 cm

(E) 30 cm

14. Ktere´ prˇirozene´ cˇ´ıslo se umocneˇnı´m na druhou zveˇtsˇ´ı o 500 %? (A) 5

(B) 6

(C) 7

(D) 8

31

(E) 10

Kadet 3 15. Kolik rovnoramennyćh troju´helnı´ku˚ s obsahem 1 cm 2 ma´ alesponˇ jednu stranu de´lky 2 cm? (A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 3

(E) 4

A 16. Petr a Pavel na sˇachovnici 5×5 vyznacˇili strˇedy jednotlivyćh polı´. Pote´ nakreslili prˇeka´zˇky podle obra´zku. Kolika ru˚zny´mi nejkratsˇ´ımi cestami mohou dojı´t z A do B, pokud se pohybujı´ od strˇedu jednoho pole do strˇedu jine´ho pole vzˇdy horizonta´lneˇ cˇi vertika´lneˇ a vyhy´bajı´ se prˇeka´zˇka´m? (A) 6

(B) 8

(C) 9

(D) 11

(E) 12

B

´ lohy za 5 bodu˚ U 17. Cifra na mı´steˇ jednotek trojmı´stne´ho cˇ´ısla je 2. Pokud tuto cifru prˇesuneme na mı´sto desı´tek, cˇ´ıslo se zmensˇ´ı o 36. Urcˇete nejmensˇ´ı mozˇny´ ciferny´ soucˇet pu˚vodnı´ho cˇ´ısla. (A) 4

(B) 10

(C) 9

(D) 7

(E) 5

18. Lucka tvorˇ´ı obrazce z pa´ra´tek podle sche´matu na obra´zku. Kolik pa´ra´tek musı´ Lucka prˇidat k trˇica´te´mu obrazci, aby vytvorˇila obrazec trˇica´ty´ prvnı´? (A) 124

(B) 148

(C) 61

(D) 254

(E) 120

prvnı´

druhy´

trˇetı´

19. Urcˇete prvnı´ cifru nejmensˇ´ıho prˇirozene´ho cˇ´ısla, jehozˇ ciferny´ soucˇet je 2006. (A) 1

(B) 3

(C) 5

(D) 6

(E) 8

20. V krabici bylo 5 pa´ru˚ cˇernyćh, 10 pa´ru˚ hneˇdyćh a 151 pa´ru˚ sˇedyćh ponozˇek. Honza krabici vysypal a ponozˇky pomıćhal. Matka ho pozˇa´dala, aby utrˇ´ıdil ponozˇky do pa´ru˚, ale on to neudeˇlal a ponozˇky na´hodneˇ naha´zel zpeˇt do krabice. Honza chce jet na sedmidennı´ vy´let. Urcˇete nejmensˇ´ı pocˇet ponozˇek, ktere´ musı´ Honza z krabice vyta´hnout, aby mezi nimi vzˇdy nasˇel 7 pa´ru˚ ponozˇek, vsˇechny stejne´ barvy. (A) 21

(B) 41

(C) 40

(D) 37

(E) 31

21. Petr chce jet na kole z bodu P do bodu Q plańovanou rychlostı´. Jestlizˇe by zvy´sˇil plańovanou rychlost o 3 m s−1 , prˇijel by do bodu Q v trˇikra´t kratsˇ´ım cˇase. Kolikra´t meńeˇ cˇasu mu zabere cesta, pokud zvy´sˇ´ı plańovanou rychlost o 6 m s−1? (A) 4

(B) 5

(C) 6

(D) 4,5

(E) 8

22. Soucˇin dvou prˇirozenyćh cˇ´ısel se rovna´ 25 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 73 . Ktery´m z na´sledujıćıćh cˇ´ısel mu˚zˇe by´t deˇlitelny´ jejich soucˇet? (A) 8

(B) 5

(C) 3

(D) 49

32

(E) 9

Kadet 4

B 23. Na vy´krese je vyznacˇen pravidelny´ peˇtiu´helnı´k ABCDO. Vojta k neˇmu prˇikreslil pravidelny´ peˇtiu´helnı´k tak, zˇe majı´ C spolecˇny´ vrchol O a jednu stranu (viz obra´zek). K zı´skany´m peˇtiu´helnı´ku˚m opeˇt stejny´m stejny´m zpu˚sobem prˇikresloval dalsˇ´ı pravidelne´ peˇtiu´helnı´ky. Po neˇkolika prˇikreslenıćh Vojta zjistil, zˇe poslednı´ prˇikresleny´ peˇtiD u´helnı´k se shoduje se zadany´m peˇtiu´helnı´kem ABCDO. A00 Urcˇete nejmensˇ´ı pocˇet peˇtiu´helnı´ku˚, po jejichzˇ prˇikreslenı´ tato situace nastala. (A) 10

(B) 6

(C) 12

(D) 15

A = D0

C0

O

B0 A0 = D00

(E) 20

B00

C00

24. Necht’x = 12 + 22 + 32 + ... + 20052 a y = 1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 + 3 ⋅ 5 + ... + 2004 ⋅ 2006. Urcˇete hodnotu x − y. (A) 2000

(B) 2004

(C) 2005

33

(D) 2006

(E) 0


Kadet 1 B, 2 D, 3 A, 4 D, 5 E, 6 B, 7 C, 8 A, 9 E, 10 C, 11 D, 12 B, 13 A, 14 B, 15 D, 16 E, 17 C, 18 A, 19 E, 20 D, 21 B, 22 C, 23 A, 24 C.

34

Obtížnost soutěžních úloh Následující tabulka vyjadřuje procentuální úspěšnost soutěžících při řešení jednotlivých úloh. Zpracován byl statistický vzorek čítající 461 žáků. Kategorie: Kadet Úloha č. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

správně 47% 52% 46% 87% 57% 39% 35% 41% 40% 31% 32% 69% 53% 16% 4% 7% 24% 23% 19% 8% 4% 13% 7% 4%

špatně 52% 38% 37% 11% 30% 45% 33% 47% 36% 34% 36% 19% 27% 65% 63% 82% 36% 49% 39% 54% 61% 46% 52% 47%

35

neřešilo 0% 8% 16% 1% 12% 15% 30% 11% 22% 33% 30% 11% 19% 17% 31% 10% 39% 26% 40% 37% 33% 40% 40% 47%

Výsledky soutěže

KADET 2006 Tabulka uvádí počty soutěžících, kteří získali příslušný počet bodů.

120 119 118 117 116 115 114 113 112 111 110 109 108 107 106 105 104 103 102 101

4 0 0 1 1 6 3 0 1 3 5 14 0 2 2 5 12 18 4 3

100 99 98 97 96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81

20 17 15 25 14 32 63 42 50 36 48 59 56 68 91 67 93 104 122 125

80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61

159 163 182 150 233 256 242 273 286 312 363 427 439 452 500 477 567 582 637 710

60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41

718 811 785 903 975 992 1048 1019 1147 1194 1261 1269 1403 1477 1481 1540 1562 1613 1663 1640


36

40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21

1769 1684 1822 1729 1807 1862 1733 1781 1660 1674 1581 1602 1477 1399 1369 1221 1318 1116 925 842

20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

847 781 708 574 441 430 412 289 204 173 197 177 104 49 52 54 59 4 8 10 18

-500

0

500

1000

1500

2000

0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

33

36

39

42

45

48

51

54

57

60

63

66

69

72

75

78

81

84

87

Graf znázorňuje výsledky v kategorii Kadet z tabulky „Výsledky soutěže“

30

Kadet 2006

90

93

96

99 102 105 108 111 114 117 120

Nejlepší řešitelé KADET 2006

1. místo 120 Dort Vlastimil

kvarta

1. místo 120 Chmelař Ondřej

TA

1. místo 120 Mlénský Michal

4.C

1. místo 120 Tomčík Petr

T

ZŠ J. Šoupala 1609 700 30 Ostrava

2. místo 117 Bančík Martin

3. místo 116 Dominec Adam

Gymnázium Špitálská 190 00 Praha 9 Gymnázium Mikulášké náměstí 23 326 00 Plzeň Gymnázium Dukelského nám. 7 693 31 Hustopeče Gymnázium Holešov Palackého 524 769 01 Holešov

kvarta

GJS Novovysočanská 190 00 Praha

38

Matematicky´ KLOKAN 2006 kategorie Junior Va´zˇenı´ prˇa´tele´, v na´sledujıćıćh 75 minutaćh va´s cˇeka´ stejny´ u´kol jako mnoho vasˇich vrstevnı´ku˚ v ˇradeˇ dalsˇ´ıch evropskyćh zemı´. V nı´zˇe uvedene´m testu je zadańo cˇtyrˇiadvacet u´loh. Vasˇim u´kolem je u kazˇde´ z nich vybrat z nabı´zenyćh mozˇnostı´ vzˇdy pra´veˇ jednu, kterou pokla´da´te za spra´vnou. Svou volbu vyznacˇte v prˇilozˇene´ karteˇ odpoveˇdı´. Za spra´vne´ ˇresˇenı´ u´lohy 1–8 va´m prˇideˇlı´m 3 body, za spra´vne´ ˇresˇenı´ u´lohy 9–16 body 4 a konecˇneˇ za spra´vne´ ˇresˇenı´ u´lohy 17–24 bodu˚ 5. Za nerˇesˇenou u´lohu (nenı´ zasˇkrtnuta zˇa´dna´ z mozˇnyćh odpoveˇdı´) nezı´ska´te zˇa´dny´ bod. Za u´lohu chybneˇ vyrˇesˇenou ztratı´te 1 bod. Na zacˇa´tek va´m prˇideˇluji 24 bodu˚. Mu˚zˇete tedy zı´skat maxima´lneˇ 120 bodu˚. Prˇi ˇresˇenı´ u´loh nepovoluji pouzˇ´ıvańı´ kapesnı´ho kalkula´toru, matematickyćh tabulek, ucˇebnic ani zˇa´dne´ jine´ matematicke´ literatury. Va´sˇ KLOKAN.

´ lohy za 3 body U

1. Ktere´ cˇ´ıslo je uprostrˇed mezi cˇ´ısly 2006 a 6002? (A) 3998

(B) 4000

(C) 4002

(D) 4004

(E) 4006

2. Kolikra´t beˇhem 00:00 a 23:59 se na displeji elektronicke´ho budı´ku objevı´ za´pis slozˇeny´ z jedne´ cˇ´ıslice 2, dvou cˇ´ıslic 0 a jedne´ cˇ´ıslice 6? (A) jednou

(B) dvakra´t

(C) trˇikra´t

(D) cˇtyrˇikra´t

(E) peˇtkra´t

3. Vlajka na obra´zku je slozˇena ze trˇ´ı stejneˇ sˇirokyćh pruhu˚, z nichzˇ kazˇdy´ je postupneˇ rozdeˇlen na 2, 3 nebo 4 stejne´ cˇa´sti. Jak velka´ cˇa´st vlajky je vybarvena? (A)

1 2

(B)

2 3

(C)

3 5

(D)

4 7

(E)

5 9

4. Babicˇcˇiny hodiny se kazˇdou hodinu prˇedbeˇhnou o 1 minutu, deˇdecˇkovy se naopak kazˇdou hodinu o pu˚l minuty opozdı´. Jestlizˇe je nynı´ nastavı´me na stejny´ cˇas, za jak dlouho budou babicˇcˇiny hodiny ukazovat o 1 hodinu vıće nezˇ deˇdecˇkovy? (A) 12 hod

(B) 14 12 hod

(C) 40 hod

(D) 60 hod

(E) 90 hod

5. V knihovnicˇce je vıće nezˇ 50, ale meńeˇ nezˇ 100 knih. Romańy tvorˇ´ı 25 % knı´zˇek v knihovnicˇce a poezie tvorˇ´ı 19 . Kolik je celkem knih v knihovnicˇce? (A) 52

(B) 56

(C) 64

(D) 72

39

(E) 90

Junior 2

2 6. Kruzˇnice na obra´zku je rozdeˇlena na cˇtyrˇi oblouky o de´lkaćh 2, 5, 6 a x. Urcˇete x, jestlizˇe oblouku o de´lce 2 odpovı´da´ strˇedovy´ u´hel x 30◦ . (A) 7

(B) 8

(C) 9

(D) 10

30◦

5

(E) 11

6

7. Pepıćˇek se pta´ sousedky, kolik jı´ je let. Ta mu odpovı´: „Pokud se ma´m dozˇ´ıt pra´veˇ sta let, potom mu˚j soucˇasny´ veˇk je roven cˇtyrˇem trˇetina´m z poloviny doby, kterou ma´m jesˇteˇ zˇ´ıt.“ Kolik let je sousedce? (A) 20

(B) 40

(C) 50

(D) 60

8. Jestlizˇe ab = 2, bc = 3, cd = 4, de = 5, potom hodnota zlomku (A) (D)

(E) 80

e a

je rovna

(B) 56 (C) (E) nelze jednoznacˇneˇ rozhodnout

15 8 4 5

3 2

´ lohy za 4 body U

9. Balıćˇek bonbonu˚ stojı´ 10 korun, uvnitrˇ kazˇde´ho balıćˇku je jeden kupon. Za trˇi kupony lze dostat 1 dalsˇ´ı balıćˇek bonbonu˚. Jaky´ nejveˇtsˇ´ı pocˇet balıćˇku˚ mohu zı´skat za 150 korun? (A) 15

(B) 17

(C) 20

(D) 21

(E) 22

10. Obde´lnı´k je rozdeˇlen na sˇest cˇtvercu˚. Jestlizˇe nejmensˇ´ı z nich ma´ stranu de´lky 1 cm, potom nejveˇtsˇ´ı z nich ma´ stranu de´lky (A) 4 cm

(B) 5 cm

(C) 6 cm

(D) 7 cm

(E) 8 cm

11. Stejna´ pı´smena znacˇ´ı stejne´ cˇ´ıslice, ru˚zna´ pı´smena ru˚zne´ cˇ´ıslice. Kterou cˇ´ıslici zastupuje pı´smeno G? (A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

40

(E) 5

K A N + K A G + K N G 2 0 0 6

Junior 3 12. Kazˇda´ u´loha Klokana ma´ pra´veˇ jednu spra´vnou odpoveˇd’. Prˇi ˇresˇenı´ jedne´ z u´loh Klokana ˇresˇil Pepıćˇek na´sledujıćı´ proble´m: ◦ Jestlizˇe je spra´vna´ odpoveˇd’ A, pak je spra´vna´ i odpoveˇd’ B. ◦ Jestlizˇe je C sˇpatna´ odpoveˇd’, pak je B taky sˇpatna´ odpoveˇd’. ◦ Jestlizˇe je B sˇpatna´ odpoveˇd’, potom D i E jsou sˇpatne´ odpoveˇdi. Ktera´ odpoveˇd’ je tedy spra´vna´? (A) A

(B) B

(C) C

(D) D

(E) E

13. Dva stejne´ rovnostranne´ troju´helnı´ky s obvodem 18 cm se vza´jemneˇ prˇekry´vajı´ (odpovı´dajıćı´ si strany jsou rovnobeˇzˇne´). Jaky´ je obvod vyznacˇene´ho sˇestiu´helnı´ku? (A) 11 cm

(B) 12 cm

(C) 13 cm

(D) 14 cm

(E) 15 cm

14. V krabici je 15 mıćˇu˚ obarvenyćh cˇerveno-modrˇe (pu˚l na pu˚l), 12 mıćˇu˚ modro-zelenyćh a 9 mıćˇu˚ zeleno-cˇervenyćh. Jaky´ nejmensˇ´ı pocˇet mıćˇu˚ musı´me na´hodneˇ vyta´hnout, abychom meˇli jistotu, zˇe alesponˇ 7 mıćˇu˚ obsahuje stejnou barvu? (A) 7

(B) 8

(C) 9

(D) 10

(E) 11

15. Cˇtverec o obsahu 125 cm2 je rozdeˇlen na peˇt cˇa´stı´ o stejne´m obsahu (cˇtyrˇi cˇtverce a obrazec tvaru L). Jaka´ je de´lka nejkratsˇ´ı strany tohoto L-obrazce? √ (A) 1 cm (B) 1, 2 cm (C) 2( 5 − 2) cm √ √ (D) 3( 5 − 1) cm (E) 5( 5 − 2) cm

16. Cˇtverec PQRS s hranou de´lky 10 cm se v rovineˇ prˇekla´pı´ po prˇ´ımce tak, jak je zna´zorneˇno na obra´zku. Jakou dra´hu urazı´ beˇhem trˇ´ı prˇeklopenı´ bod P? √ (A) 10π (B) 5π + 5π 2 √ √ (C) 10π + 5π √ 2 (D) 5π + 10π 2 (E) 10π + 10π 2

S

R=P

P

Q

S

P


17. V rodineˇ Nova´kovyćh zˇije otec, matka a neˇkolik deˇtı´. Pru˚meˇrny´ veˇk rodiny je 18 let. V okamzˇiku, kdy otec, jemuzˇ je 38 let, odejde do praće, bude pru˚meˇrny´ veˇk zby´vajıćıćh cˇlenu˚ rodiny 14 let. Kolik majı´ Nova´kovi celkem deˇtı´? (A) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 5

41

(E) 6

Junior 4 18. Na ostroveˇ zˇ´ıjı´ lide´ ze dvou kmenu˚, pravdomluvnı´ (vzˇdy mluvı´ pravdu) a lha´ˇri (vzˇdy lzˇou). Cizinec na cesteˇ potkal dva mı´stnı´ obyvatele a ptal se prvnı´ho: „Jste oba pravdomluvnı´?“ Po jeho odpoveˇdi nedoka´zal urcˇit, kdo mluvı´ pravdu a kdo lzˇe. Zeptal se ho tedy jesˇteˇ jednou: „Jste oba ze stejne´ho kmene?“ Po te´to odpoveˇdi uzˇ doka´zal urcˇit, kdo je ze ktere´ho kmene. Co zjistil? (A) oba jsou lha´ˇri (B) oba jsou pravdomluvnı´ (C) prvnı´ je pravdomluvny´, druhy´ lha´ˇr (D) prvnı´ je lha´ˇr, druhy´ je pravdomluvny´ (E) z teˇchto ota´zek nemohl poznat, kdo je kdo 19. Dva cˇtverce o straneˇ 1 cm se prˇekry´vajı´ tak, jak je zna´zorneˇno na obra´zku (jeden vrchol sply´va´, druhy´ vrchol lezˇ´ı na u´hloprˇ´ıcˇce druhe´ho cˇtverce). Jaky´ je obsah spolecˇne´ cˇa´sti teˇchto dvou cˇtvercu˚? √ √ √ 2 (A) (√ 2 − 1) cm2 (C) 2+1 (B) 22 cm2 2 cm √ √ 2 (E) ( 3 − 2) cm2 (D) 2−1 2 cm

20. Po obvodu kruhu jsou napsańa cˇ´ısla 1, 2 a 3. Mezi kazˇda´ dveˇ sousednı´ cˇ´ısla zapı´sˇeme jejich soucˇet, zı´ska´me tak sˇest cˇ´ısel (1, 3, 2, 5, 3 a 4). Pokud tento postup zopakujeme jesˇteˇ cˇtyrˇikra´t, zı´ska´me celkem 96 cˇ´ısel zapsanyćh po obvodu. Jaky´ je soucˇet vsˇech teˇchto cˇ´ısel? (A) 486

(B) 2187

(C) 1458

(D) 4374

(E) 998

21. Cˇ´ıslo 257 je slozˇeno ze trˇ´ı ru˚znyćh cˇ´ıslic a cˇ´ıslo zapsane´ v opacˇne´m porˇadı´ cˇ´ıslic (tj. 752) je veˇtsˇ´ı nezˇ cˇ´ıslo pu˚vodnı´. Kolik takovyćh trojmı´stnyćh cˇ´ısel existuje? (A) 124

(B) 252

(C) 280

(D) 288

(E) 360

C

D S1

22. Body M a N jsou libovolne´ vnitrˇnı´ body stran AB a BC cˇtverce ABCD. Cˇtverec rozdeˇlı´me na 8 cˇa´stı´ s obsahy S1 azˇ S8 tak, jak je vyznacˇeno na obra´zku. Obsah S8 je pak vzˇdy roven soucˇtu (A) S2 + S4 + S6 (C) S1 + S4 + S7 (E) S3 + S4 + S5

S2 S8

(B) S1 + S3 + S5 + S7 (D) S2 + S5 + S7

S3

N

S7 S6 A

S5 M

S4 B

23. Fotbalovy´ za´pas skoncˇil vy´sledkem 5:4 pro domaćı´ ty´m. Domaćı´ se hned v u´vodu ujali vedenı´ a udrzˇeli si ho azˇ do konce za´pasu. Kolika ru˚zny´mi zpu˚soby se mohlo vyvı´jet sko´re? (A) 17

(B) 13

(C) 20

(D) 14

(E) 9

24. Kazˇdou steˇnu krychle obarvı´me jinou ze sˇesti mozˇnyćh barev. Kolik ru˚znyćh obarvenı´ (neza´vislyćh na poloze krychle) lze takto zı´skat? (A) 24

(B) 30

(C) 36

(D) 42

42

(E) 48


Junior 1 D, 2 E, 3 E, 4 C, 5 D, 6 E, 7 B, 8 A, 9 E, 10 D, 11 A, 12 C, 13 B, 14 D, 15 E, 16 C, 17 C, 18 A, 19 A, 20 C, 21 D, 22 A, 23 D, 24 B.

43

Obtížnost soutěžních úloh Následující tabulka vyjadřuje procentuální úspěšnost soutěžících při řešení jednotlivých úloh. Zpracován byl statistický vzorek čítající 343 žáků. Kategorie: Junior Úloha č. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

správně 86% 53% 61% 70% 47% 61% 58% 30% 13% 66% 55% 39% 68% 29% 28% 10% 23% 10% 11% 20% 8% 9% 24% 11%

špatně 8% 41% 31% 12% 16% 28% 25% 24% 84% 17% 20% 29% 12% 36% 23% 24% 29% 62% 29% 24% 30% 31% 39% 49%

44

neřešilo 4% 4% 6% 16% 36% 9% 16% 45% 2% 16% 23% 31% 18% 34% 47% 65% 47% 27% 59% 55% 60% 59% 36% 38%

Výsledky soutěže

JUNIOR 2006 Tabulka uvádí počty soutěžících, kteří získali příslušný počet bodů.

120 119 118 117 116 115 114 113 112 111 110 109 108 107 106 105 104 103 102 101

2 0 0 0 1 1 2 0 0 1 1 4 2 0 0 5 2 2 6 4

100 99 98 97 96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81

6 7 3 4 3 8 7 11 7 13 23 12 7 24 21 32 31 18 23 33

80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61

41 39 49 36 51 68 67 69 92 88 95 93 117 118 134 138 157 161 174 189

60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41

198 204 226 245 265 258 318 304 337 340 381 391 376 402 425 460 418 447 476 477


45

40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21

475 413 431 492 497 491 478 444 461 439 443 382 398 312 337 294 312 228 194 193

20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

169 153 134 101 101 87 91 43 39 28 22 28 10 5 12 8 5 1 0 0 2

-100

0

100

200

300

400

500

600

0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

33

36

39

42

45

48

51

54

57

60

63

66

69

72

75

78

81

84

87

Graf znázorňuje výsledky v kategorii Junior z tabulky „Výsledky soutěže“

30

Junior 2006

90

93

96

99 102 105 108 111 114 117 120

Nejlepší řešitelé JUNIOR 2006

1. místo 120 Homola Petr

6.

1. místo 120 Novák Radek

6.

Gymnázium Masarykova 183 399 01 Milevsko Gymnázium Masarykova 183 399 01 Milevsko

2. místo 116

Jihomoravský kraj

3. místo 115 Kuna Michal

Gymnázium J.V.Jirsíka Fr. Šrámka 23 371 46 České Budějovice

6.E

47

Matematicky´ KLOKAN 2006 kategorie Student (pro 3. a 4. rocˇ. SSˇ a septimu a okta´vu osmiletyćh gymna´ziı´)

Va´zˇenı´ prˇa´tele´, v na´sledujıćıćh 75 minutaćh va´s cˇeka´ stejny´ u´kol jako mnoho vasˇich vrstevnı´ku˚ v ˇradeˇ dalsˇ´ıch evropskyćh zemı´. V nı´zˇe uvedene´m testu je zadańo cˇtyrˇiadvacet u´loh. Vasˇim u´kolem je u kazˇde´ z nich vybrat z nabı´zenyćh mozˇnostı´ vzˇdy pra´veˇ jednu, kterou pokla´da´te za spra´vnou. Svou volbu vyznacˇte v prˇilozˇene´ karteˇ odpoveˇdı´. Za spra´vne´ ˇresˇenı´ u´lohy 1–8 va´m prˇideˇlı´m 3 body, za spra´vne´ ˇresˇenı´ u´lohy 9–16 body 4 a konecˇneˇ za spra´vne´ ˇresˇenı´ u´lohy 17–24 bodu˚ 5. Za nerˇesˇenou u´lohu (nenı´ zasˇkrtnuta zˇa´dna´ z mozˇnyćh odpoveˇdı´) nezı´ska´te zˇa´dny´ bod. Za u´lohu chybneˇ vyrˇesˇenou ztratı´te 1 bod. Na zacˇa´tek va´m prˇideˇluji 24 bodu˚. Mu˚zˇete tedy zı´skat maxima´lneˇ 120 bodu˚. Prˇi ˇresˇenı´ u´loh nepovoluji pouzˇ´ıvańı´ kapesnı´ho kalkula´toru, matematickyćh tabulek, ucˇebnic ani zˇa´dne´ jine´ matematicke´ literatury. Va´sˇ KLOKAN.

´ lohy za 3 body U

1. Kolik nul je na konci za´pisu soucˇinu prvnıćh 2006 prvocˇ´ısel v desı´tkove´ soustaveˇ? (A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 9

(E) 26

2. Ve cˇtvercove´ sı´ti vpravo je vybarven mnohou´helnı´k. Urcˇete nejveˇtsˇ´ı pocˇet cˇtvercu˚, ktere´ mu˚zˇeme jesˇteˇ vybarvit, aby se obvod mnohou´helnı´ku nezveˇtsˇil. (A) 0

(B) 7

(C) 12

(D) 16

(E) 18

3. Na trati se mı´jejı´ dva protijedoucı´ vlaky stejne´ de´lky. Prvnı´ jede rychlostı´ 100 km h −1, druhy´ 120 km h−1. Cestujıćı´ ve druhe´m vlaku vidı´ prvnı´ vlak vedle sebe po dobu 6 s. Urcˇete dobu, po kterou vidı´ cestujıćı´ z prvnı´ho vlaku vedle sebe druhy´ vlak. (A) 5 s

(B) 6 s

(C) mezi 6 a 7 s (D) 7 s

(E) vıće nezˇ 7 s

4. Urcˇete hodnotu soucˇinu xy, jestlizˇe platı´ 4x = 9 a 9y = 256. (A) 4

(B) 10

(C) 36

(D) 48

(E) 2006

5. Uvazˇujme vsˇechna devı´timı´stna´ cˇ´ısla, jejichzˇ za´pis v desı´tkove´ soustaveˇ obsahuje kazˇdou z cˇ´ıslic 1, 2, 3, . . . , 9. Kazˇde´ takove´ cˇ´ıslo napı´sˇeme na zvla´sˇtnı´ list papı´ru a vsˇechny listy umı´stı´me do krabice. Urcˇete nejmensˇ´ı pocˇet listu˚, ktere´ musı´me z krabice vyta´hnout, aby mezi nimi existovaly vzˇdy dva listy, na kteryćh jsou napsańa cˇ´ısla se stejnou pocˇa´tecˇnı´ cˇ´ıslicı´. (A) 9

(B) 10

(C) 72

(D) 8!

48

(E) 9!

Student 2

D 6. De´lka u´secˇky AB na obra´zku je 1, |<) ABC| = |<) ACD| = 90◦ a |<) BAC| = |<) CAD| = δ . Urcˇete de´lku u´secˇky AD. (A) cos δ + tg δ (D) cos2 δ

(B) cos 2δ 1 (E) cos2 δ

(C)

1 cos 2δ

C

B

A

7. Ktera´ z na´sledujıćıćh funkcı´ ma´ graf symetricky´ podle osy y? (A) y = x2 + x

(B) y = x2 sin x

(C) y = x cos x

(D) y = x sin x

(E) y = x3

8. V osudı´ spravedlive´ rulety je 37 cˇ´ısel: cela´ cˇ´ısla od 0 do 36. Urcˇete pravdeˇpodobnost, zˇe bude tazˇeno prvocˇ´ıslo. (A)

5 18

(B)

11 37

(C)

11 36

(D)

12 37

(E)

1 3

´ lohy za 4 body U

9. Zbytek prˇi deˇlenı´ cˇ´ısla 1001 jednomı´stny´m cˇ´ıslem je 5. Urcˇete zbytek prˇi deˇlenı´ cˇ´ısla 2006 stejny´m jednomı´stny´m cˇ´ıslem. (A) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 5

(E) 6

10. Polomeˇr dopravnı´ znacˇky je 20 cm. Kazˇda´ z tmavyćh cˇa´stı´ je cˇtvrtkruh. Obsah sveˇtle´ cˇa´sti znacˇky je roven obsahu kruhu slozˇene´ho ze cˇtyrˇ tmavyćh cˇa´stı´ znacˇky. Urcˇete jeho polomeˇr. √ √ (A) 20/3 cm (B) 4 5 cm (C) 10 cm (D) 12,5 cm (E) 10 2 cm

11. Necht’ a > b > c jsou takova´ prvocˇ´ısla, zˇe a + b + c = 78 a a − b − c = 40. Urcˇete hodnotu soucˇinu abc. (A) 590

(B) 1062

(C) 1239

(D) 2006

12. Pomeˇr polomeˇru˚ kruhove´ vy´secˇe a kruhu jı´ vepsane´ho je 3:1. Urcˇete pomeˇr jejich obsahu˚. (A) 3:2

(B) 4:3

(C) 5:3

(D) 6:5

49

(E) 5:4

(E) 2166

Student 3 13. Volejbalove´ho turnaje se zućˇastnilo sedmnaćt druzˇstev. Kazˇde´ druzˇstvo hra´lo s kazˇdy´m jiny´m pra´veˇ jednou. Vı´teˇzny´ celek zı´skal 1 bod, porazˇeny´ 0 bodu˚, zˇa´dny´ za´pas neskoncˇil remı´zou. Po sehrańı´ vsˇech za´pasu˚ vytvorˇily body dosazˇene´ jednotlivy´mi ty´my aritmetickou posloupnost. Kolik bodu˚ zı´skalo druzˇstvo na poslednı´m mı´steˇ? (A) 1 (D) Jiny´ pocˇet bodu˚.

(B) 2 (C) 3 (E) Popsana´ situace je nemozˇna´.

14. Vloni bylo ve sˇkolnı´m peˇvecke´m sboru o 30 chlapcu˚ vıće nezˇ dı´vek. Letos se pocˇet vsˇech cˇlenu˚ sboru zveˇtsˇil o 10 %, z toho se pocˇet chlapcu˚ zveˇtsˇil o 5 % a pocˇet dı´vek se zveˇtsˇil o 20 %. Kolik cˇlenu˚ je ve sboru letos? (A) 88

(B) 99

(C) 110

(D) 121

(E) 132

C

M

15. Obra´zek vpravo zna´zornˇuje kostelnı´ okno tvaru rozety. Pı´smena C, Z a M znacˇ´ı po ˇradeˇ cˇervene´, zelene´ a modre´ sklo. Prˇi vy´robeˇ tohoto okna bylo pouzˇito 400 cm2 zelene´ho skla. Kolik cm2 modre´ho skla bylo pouzˇito? √ (A) 120π (B) 382 (C) 396 (D) 90 2 π (E) 400

Z

M Z

C

C

Z

Z M

C

M

16. Necht’a a b jsou rea´lna´ cˇ´ısla veˇtsˇ´ı nezˇ 1. Ktery´ z na´sledujıćıćh zlomku˚ je nejveˇtsˇ´ı? (A)

a b−1

(B)

a b+1

(C)

2a 2b + 1

(D)

2a 2b − 1

(E)

3a 3b + 1


X √ 17. De´lky stran troju´helnı´ku XYZ jsou 8 cm, 9 cm a 55 cm. Urcˇete de´lku teˇlesove´ u´hloprˇ´ıcˇky XA kva´dru na obra´zku vpravo. √ √ (A) 90 cm (B) 10 cm (C) 120 cm √ (D) 11 cm (E) 200 cm

Y

Z

A

18. Urcˇete pocˇet vsˇech rea´lnyćh cˇ´ısel b, pro neˇzˇ ma´ rovnice x 2 − bx + 80 = 0 dva ru˚zne´ korˇeny v mnozˇineˇ sudyćh prˇirozenyćh cˇ´ısel. (A) 0 (D) 3

(B) 1 (E) nekonecˇneˇ mnoho

(C) 2

19. V kolika nepra´zdnyćh podmnozˇinaćh mnozˇiny {0, 1, 2, . . . , 12} se soucˇet nejmensˇ´ıho a nejveˇtsˇ´ıho prvku rovna´ 13? (A) 1024

(B) 1175

(C) 1365

50

(D) 1785

(E) 4095

Student 4

C

D 20. Na stranaćh AB, BC pravou´helnı´ku ABCD jsou dańy body M a N. Pravou´helnı´k je rozdeˇlen neˇkolika u´secˇkami podle obra´zku. Cˇ´ısla uda´vajı´ obsahy odpovı´dajıćıćh sveˇtle vyznacˇenyćh cˇa´stı´. Urcˇete obsah tmaveˇ vyznacˇene´ho cˇtyrˇu´helnı´ku.

2

(A) 19 (B) 20 (C) 21 (D) 25 (E) Nelze jednoznacˇneˇ urcˇit.

N

20 3 A

B

M

21. Jarda smazal pra´veˇ jedno z deseti po sobeˇ jdoucıćh prˇirozenyćh cˇ´ısel napsanyćh na tabuli. Soucˇet zby´vajıćıćh devı´ti cˇ´ısel je 2006. Ktere´ cˇ´ıslo Jarda smazal? (A) 218

(B) 219

(C) 221

(D) 224

(E) 229

22. Kolika zpu˚soby mu˚zˇeme vepsat do sche´matu vpravo vsˇechna cˇ´ısla 1, 2, 3, 4, 5 a 6 (kazˇde´ do jednoho cˇtverce) tak, aby rozdı´l cˇ´ısel v kazˇdyćh dvou sousednıćh cˇtvercıćh byl ru˚zny´ od 3? (Dva cˇtverce nazveme sousednı´, pokud mnozˇina jejich spolecˇnyćh bodu˚ je u´secˇka.) (A) 3 ⋅ 52

(B) 3 ⋅ 25

(C) 63

(D) 2 ⋅ 35

(E) 36

23. Kostku na obra´zku prˇekla´pı´me po vyznacˇene´m okruhu sesta´vajıćı´m ze 12 cˇtvercu˚. Urcˇete nejmensˇ´ı kladny´ pocˇet okruhu˚, po kteryćh se kostka dostane opeˇt do vyćhozı´ pozice, tj. vsˇechny steˇny kostky budou orientovańy stejneˇ jako na pocˇa´tku. (A) 1 (D) 4

(B) 2 (C) 3 (E) Kostka se do vyćhozı´ pozice nikdy nedostane.

√

24. Na obra´zku je pravidelny´ sˇestiu´helnı´k se stranou de´lky 3, prˇitom XABC a XPQR jsou cˇtverce. Urcˇete obsah vyznacˇene´ho troju´helnı´ku. √ √ √ √ √ 2− 3 3 3+1 5− 3 2+ 3 (A) (B) (C) (D) (E) 4 4 4 4 2

51

A

B

X

C

R P Q


Student 1 B, 2 D, 3 B, 4 A, 5 B, 6 E, 7 D, 8 B, 9 A, 10 E, 11 D, 12 A, 13 D, 14 B, 15 E, 16 A, 17 B, 18 D, 19 C, 20 D, 21 B, 22 B, 23 C, 24 C.

52

Obtížnost soutěžních úloh Následující tabulka vyjadřuje procentuální úspěšnost soutěžících při řešení jednotlivých úloh. Zpracován byl statistický vzorek čítající 217 žáků. Kategorie: Student Úloha č. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

správně 12% 53% 70% 51% 25% 43% 11% 31% 68% 46% 39% 39% 32% 29% 27% 65% 17% 8% 9% 10% 21% 9% 31% 4%

špatně 58% 42% 27% 26% 48% 34% 65% 62% 19% 34% 33% 29% 39% 41% 29% 28% 43% 59% 36% 41% 36% 38% 47% 37%

53

neřešilo 28% 3% 1% 22% 25% 22% 23% 6% 11% 19% 27% 30% 28% 29% 43% 6% 39% 32% 53% 48% 41% 52% 20% 58%

Výsledky soutěže

STUDENT 2006 Tabulka uvádí počty soutěžících, kteří získali příslušný počet bodů.

120 119 118 117 116 115 114 113 112 111 110 109 108 107 106 105 104 103 102 101

2 0 0 0 3 3 1 0 0 1 2 1 0 1 1 3 3 2 2 5

100 99 98 97 96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81

3 1 7 4 5 5 4 11 5 8 9 4 5 12 10 7 10 14 17 26

80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61

24 12 36 30 37 24 32 61 51 51 47 53 67 53 76 74 100 96 102 110

60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41

117 114 157 115 153 166 173 181 193 170 221 214 253 242 255 260 254 244 281 276


54

40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21

284 283 313 271 274 261 267 257 253 258 227 214 150 146 140 139 120 87 84 96

20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

101 60 53 40 39 37 23 25 11 15 16 13 4 1 3 5 4 0 0 0 1

-50

0

50

100

150

200

250

300

350

0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

33

36

39

42

45

48

51

54

57

60

63

66

69

72

75

78

81

84

87

Graf znázorňuje výsledky v kategorii Student z tabulky „Výsledky soutěže“

30

Student 2006

90

93

96

99 102 105 108 111 114 117 120

Nejlepší řešitelé STUDENT 2006

1. místo 120 Konečný Zbyněk

3.A

1. místo 120 Kuben Jaromír

3.A

2. místo 116 Bojda Josef 2. místo 116 Malina Lukáš 2. místo 116 Masák Štěpán

Gymnázium Tř.Kpt. Jaroše 14 668 70 Brno Gymnázium Tř.Kpt. Jaroše 14 668 70 Brno

VOŠ a SPŠ 4.D Studentská 591 01 Žďár nad Sázavou Gymnázium 3C Ch. Dopplera 45 150 00 Praha 5 První české gymnázium v Karlových Varech VII.A Národní 25 360 20 Karlovy Vary

3. místo 115 Bendová Hana

7B

3. místo 115 Koudela Lukáš

A3

3. místo 115 Šimůnek Libor

4.A

Gymnázium Česká Lípa Žitavská 2969 470 01 Česká Lípa SPŠ strojní a elektrotechnická Resslova 5 400 01 Ústí nad Labem Gymnázium J.K.Tyla Tylovo nábř. 682 500 02 Hradec Králové

56

KATEGORIE KLOKÁNEK pro žáky se sluchovým postižením 3 nejlepší řešitelé: Jméno a příjmení

Třída

Škola

Eva Kubíčková Tomáš Zbavitel Jindřich Mikulík

7. 6. 6.

ZŠ pro SP Olomouc ZŠ pro SP Brno ZŠ pro SP Valašské Meziříčí

Počet bodů 80 77 72

Celkový počet řešitelů: 39 žáků základních škol pro sluchově postižené ve Valašském Meziříčí, Praze Holečkově, Brně, Olomouci a Hradci Králové. Celkový počet řešitelů, kteří získali příslušný počet bodů: 120 119 118 117 116 115 114 113 112 111 110 109 108 107 106 105 104 103 102 101

0 X X 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

100 99 98 97 96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61

1

60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41

0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0

0 0 0 0 2 2 1 1 2 0 2 2 2 2 1 0 0 0 0 1

Průměrný bodový zisk: 45, 6 bodů

57

40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21

4 1 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 2 0 0 0 1 1

20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

KATEGORIE BENJAMÍN pro žáky se sluchovým postižením 3 nejlepší řešitelé: Jméno a příjmení

Třída

Škola

Martin Paulík René Ratajský Tomáš Krýdl

8. 8. 8.

ZŠ pro SP Brno ZŠ pro SP Brno ZŠ pro SP Ostrava

Počet bodů 100 75 64

Celkový počet řešitelů: 45 žáků základních škol pro sluchově postižené ve Valašském Meziříčí, Praze Holečkově, Brně, Ostravě, Olomouci a Hradci Králové. Celkový počet řešitelů, kteří získali příslušný počet bodů: 120 119 118 117 116 115 114 113 112 111 110 109 108 107 106 105 104 103 102 101

0 X X 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

100 99 98 97 96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61

0

60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 2 0 0 0 2 1 1 1 2 1 3 1 0 4 0

Průměrný bodový zisk: 39 bodů

58

40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21

2 0 0 1 0 1 1 1 1 0 2 1 0 0 0 0 2 3 2 1

20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

OBSAH Úvodní slovo …………………………………………………………………………... 3 Vývoj Matematického klokana

……………………………………………………… 4

Cvrček Zadání soutěžních úloh ………………………………………………………………... Správná řešení ………………………………………………………………………... Obtížnost soutěžních úloh …………………………………......................................... Statistické výsledky, průměrný bodový zisk ………………………………………….. Graf …………………………………………………………………………………..

5 7 8 9 10

Klokánek Zadání soutěžních úloh ………………………………………………………………... Správná řešení ………………………………………………………………………… Obtížnost soutěžních úloh …………………………………......................................... Statistické výsledky, průměrný bodový zisk ………………………………………….. Graf ………………………………………………………………………………….. Nejlepší řešitelé ……………………………………………………………………….

11 15 16 17 18 19

Benjamín Zadání soutěžních úloh ……………………………………………………………… Správná řešení ………………………………………………………………………… Obtížnost soutěžních úloh …………………………………......................................... Statistické výsledky, průměrný bodový zisk ………………………………………….. Graf ………………………………………………………………………………….. Nejlepší řešitelé ……………………………………………………………………….

21 25 26 27 28 29

Kadet Zadání soutěžních úloh ………………………………………………………………. Správná řešení ………………………………………………………………………… Obtížnost soutěžních úloh …………………………………......................................... Statistické výsledky, průměrný bodový zisk ………………………………………….. Graf ………………………………………………………………………………….. Nejlepší řešitelé ……………………………………………………………………….

30 34 35 36 37 38

Junior Zadání soutěžních úloh ………………………………………………………………... Správná řešení ………………………………………………………………………… Obtížnost soutěžních úloh …………………………………......................................... Statistické výsledky, průměrný bodový zisk ………………………………………….. Graf ………………………………………………………………………………….. Nejlepší řešitelé ……………………………………………………………………….

39 43 44 45 46 47

Student Zadání soutěžních úloh ………………………………………………………………... Správná řešení ………………………………………………………………………… Obtížnost soutěžních úloh …………………………………......................................... Statistické výsledky, průměrný bodový zisk ………………………………………….. Graf ………………………………………………………………………………….. Nejlepší řešitelé ……………………………………………………………………….

48 52 53 54 55 56

Soutěž Matematický klokan pro žáky se sluchovým postižením

……………………. 57

Obsah ………………………………………………………………………………….. 59 59

Kontaktní adresa: Dita Navrátilová, Katedra matematiky PdF UP, Žižkovo nám. 5, 771 40 OLOMOUC e-mail: [email protected] tel.: 58 563 57 02 Josef Molnár, Katedra algebry a geometrie PřF UP, Tomkova 40, 779 00 OLOMOUC e-mail: [email protected] tel.: 58 563 46 57 Bohumil Novák, Katedra matematiky PdF UP, Žižkovo nám. 5, 771 40 OLOMOUC e-mail: [email protected] tel.: 58 563 57 01 www.matematickyklokan.net e-mailová adresa pro korespondenci: [email protected]

Název: Matematický klokan 2006 Odpovědní redaktoři:

Josef Molnár Bohumil Novák Dita Navrátilová Pavel Calábek David Nocar

Znění úloh podle evropské verze v jednotlivých kategoriích upravili: Cvrček: Eva Kubátová Klokánek: Bohumil Novák, Eva Kubátová Benjamín: Martina Uhlířová, Eva Hotová Kadet: Jitka Hodaňová, Vladimír Vaněk Junior: Radek Horenský, Josef Molnár Student: Pavel Calábek, Jaroslav Švrček

Matematický klokan pro žáky se sluchovým postižením: Anna Šarátková

Vydala a vytiskla: Univerzita Palackého v Olomouci, Křížkovského 8, 771 47 Olomouc Olomouc 2006 1. vydání ISBN

MPS JČMF pobočka Olomouc

Recommend Documents