Mondriaan en Pythagoras Inleiding gehouden door Aad Goddijn bij de opening op 6 september 2003 van de lustrum-tentoonstelling “De Bomen van Pythagoras, Geconstrueerde Groei” in het Mondriaanhuis te Amersfoort, ter gelegenheid van het 20 jarig bestaan van de Stichting Ars et Mathesis. De in de tekst genoemde kunstwerken zijn afgebeeld in de catalgus van de tentoonstelling (zie kader achterop). De Bomen van Pythagoras, Geconstrueerde groei, in het Mondriaanhuis. Dit lijkt me eerlijk gezegd een uiterst penibele situatie. Die Bomen, dat kan nog net. Per slot van rekening is hier binnenkort een recentelijk tot echt verklaarde vroege Mondriaan te zien, met minstens één boom erop. Maar dat is pas volgende week. En Pythagoras, wat doet die hier? Was die niet van het schuine vierkant bij een driehoek? Lijkt me volstrekt ontoelaatbaar, kijkt U straks maar even verderop wat rond in Mondriaans atelier, dan begrijpt U wel waarom. Geconstrueerd dan? Bij Mondriaan, die zwoer bij de intuïtie? Over groeiende blaadjes zullen we het maar helemaal niet hebben; alleen primaire kleuren bij Mondriaan en absoluut geen groen. Daar zitten we dan met de verkeerde titel op de verkeerde plek. Maar het moet een feestje wezen en laat ik dus mijn best doen op een andere manier de vraag te beantwoorden: ‘Wat heeft Pythagoras wel met Mondriaan van doen?’ Misschien dat een knipoog naar wat op de tentoonstelling te zien is ook wat bijdraagt. Eenvoudig beginnen dan maar, niet direct met die schuine zijde; eerst een vertrouwd verhaal. De oude Grieken (Pythagoras is er één van) ontdekten dat twee snaren met gelijke dikte en spanning, waarvan de ene dubbel of anderhalf keer zo lang is als de ander, goed met elkaar samenklinken. De Grieken spraken liever van de verhoudingen 1 : 2 en 2 : 3. Eenvoudige verhoudingen en harmonie hoor1
den bij elkaar. Dezelfde mooie verhoudingen van de muziek vielen op bij de bewegingen der hemellichamen. Dat was de harmonie der (hemelse) sferen. Dit deed het geloof postvatten dat getallen (en later meetkundige figuren als de cirkel) een diepere, of hogere als U dat liever wilt, laag in de wereld vormden dan de materiële zaken zelf. Pythagoreïsch gesproken: alles is getal. Esthetiek, levensbeschouwing, harmonie en getallenleer werden hecht en voor immer aaneengesmeed. Nauwelijks verschillend overigens van een uitspraak van 24-jarige wiskunde student Aydin Cihangir in De Trouw van vorige week: “Wiskunde is net als God: het bepaalt alles. Zonder wiskunde geen ruimtevaart of gebouwen. Zelfs muziek is wiskunde.” De kosmos en de muziek zijn weer present. Getallen en hun verhoudingen, U kunt ze moeilijk ontlopen op de tentoonstelling. De schoonheid van het verdubbelende aantal en de voortdurende tweedeling: zie de tekeningenserie van Pavel Rudolf. De bijzondere rij van Fibonacci, waarin elk getal ontstaat door samenvoegen van de twee voorgangers: zie de bont gekleurde zuil van Henk Crouwel. Het is de rij waarvan de opeenvolgende verhoudingen naderen tot de verhouding van de Gulden Snede, die als aangetrouwde dochter echter wat later dan vaak gedacht wordt bij de Pythagoreïsche familie is ingetrokken. Priemgetallen zijn er ook, de oergetallen die de bouwstenen van de andere zijn, in die zin dat andere getallen door vermenigvuldigen van priemgetallen ontstaan, maar dat deze geheel en al zichzelf zijn. De expliciete verbinding van getalverhouding, harmonie en schoonheid is voor veel van de kunstenaars die U hier ontmoet zonder meer een feit. Anders gezegd: Pythagoras leeft nog. Over de historische Pythagoras is veel bekend, maar niet bekend is wat er waar is van wat er bekend is. Hij leefde ruim 500 jaar voor Christus, daarover is wel overeenstemming. (Behalve misschien bij de Romeinse dichter Ovidius. Die laat ter meerdere glorie van de stad de eerste koning van Rome, Numa, al rond 700 voor Christus bij Pythagoras in de schoolbank zitten.) Wiskunde-historici hebben ook sterke twijfels of de beroemde ‘stelling van’ echt wel ‘van’ is. En als wiskundigen twijfelen, nou pak dan maar direct in. Natuurlijk komt U de ‘stelling van’ hier tegen, beeldend getransformeerd door ligging, toevoeging van dimensies, kleur of nog meer. Rezsö Somfai, Josef Linschinger, en ook anderen. 2
Maar het gaat niet om de persoon, maar om de gedachte en wat kan het dan schelen als vele eeuwen gedachten aan één naam worden gehangen. Vegetariër was hij; vanwege geloof in zielsverhuizing, mogelijk ook naar dieren. Mysterieuzer is het Pythagoreïsch verbod op het eten van bonen. Dat staat in de Lesbrief bij de tentoonstelling zijdelings vermeld en het heeft al de vraag opgeroepen: ‘Waarom?’ Er is een mooi verhaal over, hoewel er stevig in gestorven wordt. De Syciliaanse tiran Dionysios II vervolgt op zeker moment een groep volgelingen van Pythagoras, die zijn politieke inzichten en vooral praktijken afkeurden. Op zeker moment stuitten de vluchtende volgelingen op een veld prachtig bloeiende bonenplanten. Dat werd hun dood, want de planten mochten volgens de leer niet aangeraakt en al helemaal niet platgetrapt worden. Ze zaten in de val tussen vijand en bonentaboe. Slechts twee volgelingen, Millias en Tymicha, werden levend gepakt en door Dionysios ondervraagd: “Waarom kozen zij de dood boven het vertrappen van de bonenplanten?” Millias moet geantwoord hebben: “Zíj kozen de dood boven het vertrappen van de bonen. Ík echter zal eerder bonen vertrappen dan hun motieven verraden.” Ik bespaar U de rest van het verhaal, dat onder leiding van Dionysios niet vegetarisch afloopt. Waarom vind ik Millias’ antwoord nu zo mooi? Omdat het een spel speelt met de logica, een spel dat de mythe gebruikt om de zwijgplicht maximaal te onderstrepen. Het bonenverbod is het hoogste wat er is en voor het bewaren van het geheim erachter wijkt alles, zelfs het bonenverbod zelf. Zo’n paradox is als literaire figuur de subliemste vorm van lof voor de rede en de logica zelf, een lof die ik bij deze Pythagoras zélf maar in de mond leg. De rede is voor een wiskundige geen tirannieke wet die gevolgd moet worden, maar een bindmiddel, het cement dat zijn fantastische constructies bijeen houdt. Waarheid is voor de wiskundige minder belangrijk dan samenhang, consistentie, de perfectie van het innerlijk verband. Niet de bonen zijn belangrijk maar wel hun geheim. Het bijzondere van een aantal beelden op deze tentoonstelling is, dat ze in de heldere taal van de wiskundige rede zo goed beschreven kunnen worden. Dat maakt ze misschien ook zo innerlijk consistent. Ik noem en roem hier bij3
voorbeeld Ad Dekkers met zijn volkomen witte of zwarte houtsculpturen, Peter Lowe met zijn Generative Structures, en Rinus Roelofs met zijn op het regelmatige twintigvlak gebaseerde Distortions. Het geheim - het wonder zo U wilt - van deze beelden is dat ze een kracht hebben die niet in een mathematische beschrijving wordt aangeduid, maar er blijkbaar wel door wordt opgeroepen. Beeldkracht en wiskundige helderheid hangen hier samen. Of zijn één. De vraag kan toch rijzen of het nu wel zo nodig is voor de beschouwer om die wiskundige beschrijvingen te kennen. Geen van de kunstenaars geeft in de eigen toelichtingen aan dat dat verplicht is, al brengen ze wel verschillende nuanceringen aan. Sommigen stellen met nadruk over hun eigen werk dat de wiskunde verborgen moet blijven, anderen stellen daarentegen dat hun werk bijna zo controleerbaar moet zijn als een wiskundig bewijs. Ik vertel U een muzikale anecdote ter illustratie. Componist Anton Webern, een volle tijdgenoot van Mondriaan overigens, hanteerde in zijn Variaties voor klavier opus 27 een compositietechniek waarin - wiskundig uitgedrukt - horizontale en verticale spiegelingen een rol spelen, dat wil zeggen: spiegelingen in de richting van de tijd-as en in de richting van de toonhoogte-as. Die zijn uiteraard van een bijna onhoorbare abstractie. Webern coachte de pianist (Peter Stadlen) die als eerste het stuk te spelen kreeg en daar zijn verslagen van. Stadlen bestond het iets over de structuur van het stuk te vragen. Webern strafte hem vinnig af: de uitvoerder had niets te maken met de manier waarop de componist zijn noten koos, hij had ze slechts te spelen. Uit de aantekeningen van Stadlen blijkt ook dat dit bovendien nog met een behoorlijke dosis romantische lyriek en rubato gedaan moest worden, schijnbaar in tegenstelling tot de uiterlijke strengheid van de constructie. Anton Webern vond in 1945 de dood door een domme Amerikaanse kogel; bijna zestig jaar later kan ik met een gerust hart zijn uitvoeringstips lezen, inclusief die over lyriek en rubato, en tóch zijn verbod over het willen zien van de structuur negeren. Moraal: U bepaalt natuurlijk zelf hoe U kijkt en denkt, en ík kan het niet laten het antwoord op de structuurvraag zelf te gaan zoeken. Ik heb het gevoel dat ik hiermee een typisch Ars-et-Mathesisiaans standpunt weergeef; in kringen van de Stichting Ars et Mathesis wordt het wiskundig ambacht graag zichtbaar in beeld gebracht. Bij Mondriaan echter, en misschien ook wel in het Mondriaanhuis, ligt het accent mogelijk wat meer op 4
de geest van Pythagoras en minder op wiskunde als activiteit. Het zij zo, het leverde wel een verassende samenwerking op. Abstractie. Dat is voor wiskundigen een daad: het stappen naar een ander niveau van beschouwing. Van het afzonderlijke naar het gemeenschappelijke als iets nieuws. Van twee appels of twee fietsen naar de tweeheid zelf. U kunt de fietsen en de appels voor U zien, het universele ‘twee’ zelf niet. De idee twee bestaat als het ware op zich, op een ander vlak. Het begrip ‘abstract’ in de beeldende kunst is aan deze mathematische abstractie verwant. Beeldend abstract onttrekt zich, dat lijkt mij toch wel een kenmerk, aan elke verwijzing naar een materiële buitenwereld; beeldend abstract is zichzelf genoeg. Anders gezegd: geen uiterlijke feiten maar innerlijke consistentie. Wat zou Mondriaan hier nu van gedacht hebben? Alles wat hier op de tentoonstelling te zien is, is van ná Mondriaan, maar de meester heeft zijn mening al wat eerder genoteerd, in 1918, in aflevering 3 van de eerste jaargang van tijdschrift De Stijl: Na langdurige cultuur is in de schilderkunst het besef gerijpt, dat het abstracte – als het universeele – in klare beelding kan treden. Juist door cultuur van vormbeelding heeft men leeren zien dat het abstracte – a1s het mathematische – door en in alle dingen inderdaad zichzelve uitbeeldt. Klaar, universeel, abstract, mathematisch, zich zelve uitbeeldend. Het staat er allemaal in. Mondriaans abstractie-standpunt is idealistisch, in de filosofische zin van de geest als enig leidend principe in de wereld, maar ook idealistisch in de zin van streven naar een betere samenleving, te bereiken via innerlijke verdieping. Heel diep Pythagoreïsch, beide kanten van dit idealisme. Op de tentoonstelling lijken mij Marlow Moss en Joost Baljeu zowel in gedachte als beeldtaal nog het meest Mondriaan-nabij, maar het thema abstractie, dat is overal aanwezig. Zelfs de enige duidelijk herkenbare boom hier, die van Norman Dilworth, reken ik daartoe omdat ook hier het ‘beeld op zich’ krachtiger is dan de ‘verwijzing naar’. 5
Zelf zou ik het liefst heel extreem stellen: alle abstractie in de beeldende kunst ís mathematisch, maar ik zou dan zeker veel kunstenaars en kunstminnaars tegen de schenen schoppen en nog heel wat uit te leggen hebben. Ik denk dat ik de kans daarvoor niet zou krijgen, maar ik zou zeker benadrukken wat voor mij de kern van de wiskunde is, namelijk de alleen door consistentie gebonden vrijheid van de mentale constructies, en niet de uiterlijk zichtbare vorm van wiskunde bedrijven, die maar al te vaak met louter dorre formalismen wordt geassocieerd. Die formalismen zijn voor de wiskundige actie belangrijk, ze zijn tegelijk de taal waarin over de wiskundige constructies wordt gecommuniceerd en het onontbeerlijke gereedschap waarmee ze onderzocht worden. Onontbeerlijk vanwege de gegroeide complexiteit van het vak, van groot belang dus, maar toch niet de diepste ziel van het mathematische leven. De boom uit de titel van de tentoonstelling is ook een abstracte. Verwezen wordt naar een vertakkingsproces, waarbij de takken zich ook weer vertakken. De takken hebben dus de vorm van het geheel; de totaalvorm hoeft niet die van een reële boom te zijn, het gaat alleen om de abstracte structuur. De wiskundige naam voor zulke structuren is ‘fractal’; dit woord verwijst naar het feit dat veel van deze figuren zich, indien oneindig voortgezet, niet meer gedragen als één- of twee- of drie-dimensionaal, maar op een of andere manier als gebroken-getal-dimensionaal. Kunstenaars moeten hun fractals tot het eindige beperkt houden, omdat hout, staal, steen en verf geen oneindige verfijning toelaten; dit ontslaat mij gelukkig voor dit moment van nadere toelichting op die gebroken dimensies. De grote beweeglijke plastiek van Piet van Mook mag U hier niet ontgaan. De zogenaamde Pythagoras-bomen van Koos Verhoef die toevallig in de vitrine te zien zijn, horen ook tot de grote fractale familie. Er wordt op de tentoonstelling veelvuldig gebruik gemaakt van elementair meetkundige vormen, zoals rechte lijnen, driehoeken, cirkels. Ook dat kan Mondrianesk geduid worden, al legde Mondriaan zich zoals bekend sterke beperkingen op. Dit laatste geldt ook voor het kleurgebruik, dat hier ook niet meer tot een minimaal palet beperkt is, maar in het algemeen wel vervloeiende tinten mijdt. De kubus is zo’n elementaire vorm, en die haal ik nu naar voren om een geheel andere reden. In de Platoons-Pythagoreïsche traditie staat de kubus voor het element aarde, maar op de tentoonstelling is te zien hoe de wis6
kunde/kunst de kubus leven in blaast. Alfons Kunen maakt zijn werk in series met een specifiek thema. In de serie Würfelskulpturen zijn alle beelden gemaakt uit een bouwsteen die ontstaan is door het op een speciale manier doorsnijden van een metalen of stenen kubus. C Zie de tekening hiernaast, waar om de kubus een gesloten zigzaglijn van 4 diagonalen loopt. Stellen we D ons nu een lang dun recht mes voor, dat tegen de lijn AB wordt gezet. Het mes gaat zó door de kubus heen dat het er bij DC weer uit komt. Het snijdt van A B naar D en van B naar C; het draait dus onderwijl. Tussen de zigzag is dan een bijzonder gebogen snijvlak ontstaan. Zoek zo’n gehalveerde kubus op de tentoonstelling op. U gaat twee tegengestelde krommingen op het snijvlak zien. Eén met de kromme kant naar boven, van laagste punt naar lage overbuur; van B naar D in de tekening via het middelpunt van de kubus. De andere juist andersom, van A naar C, ook via het middelpunt van de kubus. Het bijzondere is nog, dat als ik de snede uitvoer in de andere richting, dus het mes inzet bij CB en uit laat treden bij AD, het resulterende snijvlak precies hetzelfde is. Iemand als Kunen weet dat natuurlijk; Kunen daagt ook graag de toeschouwer uit te kijken naar deze verborgen wiskundige processen in zijn werk. Hij is één van degenen die van zichzelf eist dat zijn werken volledig meetkundig controleerbaar zijn. (Een andere is overigens Theo van Doesburg, die het tijdschrift De Stijl oprichtte.) Maar vergeet even de wiskundige snede, zie het resultaat en stel vast dat deze bijzondere halve kubus op zich al een boeiend object is door het contrast tussen gebogen snijvlak en rechtvlakkige buitenkant. De twee tegengestelde krommingsrichtingen van het gebogen vlak zien we veel in de natuur. In elke bergpas, maar ook heel dichtbij. Buig uw elleboog krom en de twee contrasterende krommingen zijn te zien. Het organische karakter van het oppervlak wordt nog mooier zichtbaar als Kunen meerdere elementen samenvoegt tot grotere vormen; tot zuilen bijvoorbeeld die op een merkwaardige manier tegelijk een abstracte vorm zijn en sterk organische associaties oproepen. Met de vanzelf groeiende boomstructuren en de organische kubuselementen wordt een grens doorbroken: de beklemmende gedachte dat de wiskunde zich alleen begeeft in de kille, starre wereld van de dode vorm, gesteund door 7
A
de nuchtere boekhouding van a + b = b + a. De hele tentoonstelling spreekt dat idee al als in koor tegen. Ik zou graag in plaats van deze inleiding het duo Mondriaan en Pythagoras geïnterviewd hebben, maar dat bleek - ondanks Pythagoras’ en mogelijk ook Mondriaan’s geloof in zielsverhuizing - niet uitvoerbaar. In plaats daarvan heb ik hun geest proberen op te roepen aan de hand van wat de tentoonstelling biedt. Maar kijkt U straks vooral zelf, op Uw manier. Mondriaan en Pythagoras kijken met U mee. Aad Goddijn bestellen catalogus “De Bomen van Pythagoras”
De fraai uitgevoerde catalogus bevat, naast enige artikelen, van alle werken afbeeldingen in kleur en een statement van de kunstenaar. Het boek kost • 15, voor donateurs • 10. Men kan de catalogus bestellen door het verschuldigde bedrag plus • 1,75 verzendkosten over te maken op gironummer 1315269 t.n.v. J.J. Lambers-Hacquebard te Roden o.v.v. ‘catalogus AM’ en een berichtje te sturen met opgave van het adres waarheen de catalogus moet worden gestuurd: per email naar
[email protected], of per post naar I.Lambers, Noorderkroon 77, 9301 JW Roden. STICHTING ARS ET MA THESIS MATHESIS De Stichting (opgericht in 1983) heeft tot doel de belangstelling te bevorderen voor kunst die zijn inspiratie vindt in de wiskunde. Dit gebeurt onder meer door tentoonstellingen, publicatie van boeken en artikelen, het uitgeven van het blad “ARTHESIS” en het organiseren van een jaarlijkse ARS ET MATHESISdag . inlichtingen: bij onderstaande adressen en per email:
[email protected] secretariaat: A. Goddijn ws Nejo, Dijksgracht 18, 1019 BT Amsterdam aanmelding als donateur, adreswijzigingen, bestellingen: Ineke Lambers Noorderkroon 77, 9301 JW Roden; tel. 050-3601301;
[email protected] website: http://www.arsetmathesis.nl donateurs: Donateurs (minimum donatie • 15 per jaar) ontvangen Arthesis en hebben tegen gereduceerd tarief toegang tot de jaarlijkse Ars et Mathesisdag. Bijdragen kunnen worden overgemaakt op bankrekening nummer 55 27 11 896 t.n.v. Ars et Mathesis te Baarn; s.v.p. met duidelijke vermelding van eigen naam en adres, en van “Ars et Mathesis”. 8
