Modul 9. PENELITIAN OPERASIONAL
PEMROGRAMAN DINAMIS
Oleh : Eliyani
PROGRAM KELAS KARYAWAN PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI UNIVERSITAS MERCU BUANA http://www.mercubuana.ac.id JAKARTA 2007
MODUL 9 RISET OPERASIONAL PEMROGRAMAN DINAMIS Pendahuluan
Pemrograman dinamis (dynamic programming/DP) adalah prosedur matematis perhitungan
yang
terutama
masalah
dirancang
pemrograman
untuk
memperbaiki
matematis
efisiensi
tertentu
dengan
menguraikannya menjadi bagian-bagian yang lebih kecil sehingga lebih sederhana dalam perhitungan. Pemrograman dinamis pada umumnya menjawab masalah dalam tahap-tahap dengan setiap tahap memiliki satu variabel optimasi. Perhitungan di tahap yang berbeda dihubungkan dengan perhitungan rekursif dengan cara yang menghasilkan pemecahan optimal yang mungkin bagi seluruh masalah. Dikatakan dinamis, karena penggunaan metode ini yang melibatkan pengambilan keputusan yang berkaitan dengan waktu. Namun tidak selalu pentahapan berbasis waktu yang dapat dilakukan dengan DP, sehingga nama yang lebih tepat untuk kondisi yang demikian adalah pemrograman multitahap (multistage programming).
Unsur-unsur model DP
Contoh : masalah penganggaran modal
Sebuah perusahaan mempunyai usulan dari ketiga pabriknya untuk kemungkinan mengembangkan sarana produksi. Perusahaan tersebut menyediakan anggaran $5 juta untuk alokasi pada ketiga pabrik. Setiap pabrik diminta untuk menyampaikan usulannya yang memberikan jumlah biaya (c) dan jumlah pendapatan (R) untuk setiap usulan. Tabel 1 meringkaskan biaya dan pendapatan (dalam jutaan dollar). Usulan biaya nol diperkenalkan untuk memungkinkan tidak dialokasikannya dana pada masing-masing pabrik. Sasaran dari perusahaan tersebut adalah untuk memaksimumkan jumlah pendapatan yang dihasilkan dari alokasi $5 juta 1 pada ketiga pabrik.
by Eliyani http://www.mercubuana.ac.id 1
MODUL 9 RISET OPERASIONAL PEMROGRAMAN DINAMIS Tabel 1. Usulan Pengembangan Sarana Produksi
Usulan
Pabrik 1
Pabrik 2
Pabrik 3
c1
R1
c2
R2
c3
R3
1
0
0
0
0
0
0
2
1
5
2
8
1
3
3
2
6
3
9
-
-
4
-
-
4
12
-
-
Cara yang langsung untuk menjawab masalah ini adalah melalui enumerasi lengkap. Masalah ini memiliki 3 x 4 x 2 = 24 kemungkinan pemecahan,
beberapa di antaranya tidak layak karena memerlukan
modal yang lebih besar dari $5 juta. Gagasan dari enumerasi yang lengkap adalah menghitung jumlah biaya dari masing-masing kombinasi. Jika tidak melebihi modal yang tersedia, pendapatan total diperhitungkan. Pemecahan optimum adalah kombinasi yang mungkin yang menghasilkan jumlah pendapatan tertinggi. Contoh, usulan 2, 3, dan 1 untuk pabrik 1, 2 dan 3 memerlukan biaya $4 juta (<$5 juta.) dan menghasilkan pendapatan total $14 juta. Sebaliknya, kombinasi yang terdiri dari usulan 3, 4, dan 2 tidak layak karena biayanya adalah $7 juta. Jadi, kekurangan enumerasi lengkap: 1. mencakup kombinasi dengan kemungkinan tidak layak. 2. penghitungan menjadi tidak efisien karena adanya kombinasi yang tidak layak. 3. kombinasi-kombinasi yang tidak layak yang ditemukan di awal tetap dipertimbangkan pada perhitungan kombinasi berikutnya.
Model DP
Konsep : penyelesaian masalah dibagi dalam beberapa tahap, namun harus ada cara untuk menghubungkan tahap-tahap tersebut. Setiap tahap memiliki penyelesaian optimal.
by Eliyani http://www.mercubuana.ac.id 2
MODUL 9 RISET OPERASIONAL PEMROGRAMAN DINAMIS Pada masalah penganggaran modal di atas: Masalah dapat diselesaikan dalam 3 tahap, sebab kita menginginkan kombinasi biaya dari ketiga pabrik yang memberikan pendapatan atau keuntungan maksimum. Katakanlah pada tahap 1, kita berusaha mencari usulan terbaik dari pabrik 1, pada tahap 2 kita berusaha mencari usulan terbaik dari kombinasi antara pabrik 2 dan pabrik 1, dan pada tahap ketiga, kita mencari kombinasi terbaik pabrik 1, 2 dan 3. Usulan terbaik pada setiap tahap tentu akan menghabiskan sejumlah modal, padahal jumlah modal yang tersedia terbatas yaitu $5 juta. Karena itu, jumlah modal yang telah dialokasikan pada tahap 1 menjadi pertimbangan pada tahap 2 dst. Jadi faktor pembatas kita adalah modal. Katakanlah : x1 = jumlah modal yang dialokasikan untuk tahap 1 x2 = jumlah modal yang dialokasikan untuk tahap 1 dan 2 x3 = jumlah modal yang dialokasikan untuk tahap 1, 2 dan 3 Tahap 1. Pada tahap 1, pengunaan modal yang mungkin adalah dari $0 juta hingga $5 juta sehingga usulan optimal untuk masing-masing alternatif modal adalah seperti disajikan pada Tabel 1.
Tabel 1. Alternatif penggunaan modal pada tahap 1. Jika modal yang tersedia x1 = 0
Maka, usulan optimalnya adalah: 1
Dan jumlah pendapatan tahap 1 (R1) adalah : 0
1
2
5
2
3
6
3
3
6
4
3
6
5
3
6
by Eliyani http://www.mercubuana.ac.id 3
http://www.mercubuana.ac.id MODUL 9 RISET OPERASIONAL PEMROGRAMAN DINAMIS x1 > 2 mewakili pengeluaran yang berlebihan untuk tahap 1 sebab tidak terjadi lagi penambahan pendapatan.
Tahap 2. Pengunaan modal yang mungkin adalah dari $0 juta hingga $5 juta. Namun : P e n d a p a t a n
t a h a p 2 d e n g a n t a h a p 1
max semua pendapa tan dari alternatif yan alternatif yang g layak untuk tahap lay ak pad a 2
pendapa tan terbesar
di mana x1 = x2 – modal yang dialokasikan pada alternatif tahap 2.
x2 = 0 Maka usulan yang mungkin adalah usulan 1 baik untuk pabrik 1 maupun 2 dengan total pendapatan 0 + 0 = 0.
x2 = 1 terbesar untuk
Hanya dan 2
ada satu kemungkinan yang diketahui x
layak,
untuk tahap 1 dengan 2 yaitu 1 untuk pabrik usulan diketahui keadaan x1
2
yang bernilai 0 dengan usulan 2 pabrik 1 yang memberikan pendapatan 5, karena kombinasi lain menghasilkan biaya yang paling tidak 2. Sehingga:
Pendapatan terbesar dengan diket. x2 = 1 = 0 + 5 = 5.
x2 = 2 Di sini kita memiliki dua alternatif usulan pabrik 2 yang layak : usulan 1 dan usulan 2 dengan biaya 0 dan 2 yang masing-masing menghasilkan pendapatan sebesar 0 dan 8. Jadi, nilai x1 yang sesuai dengan usulan 1 dan 2 adalah sesuai dengan rumus : x1 = x2 - c2 yaitu x1 = 2 – 0 = 2 dan 2 – 2 = 0. Usulan optimal pabrik 1 yang memberikan x1 = 2 dan x1 = 0
by Eliyani http://www.mercubuana.ac.id 4
MODUL 9 RISET OPERASIONAL PEMROGRAMAN DINAMIS berdasarkan Tabel 1 di atas adalah usulan 3 dan usulan 1 dengan pendapatan masing-masing sebesar 6 dan 0, sehingga :
Pendapatan terbesar dengan diket. x2 = 2 = max (0 + 6 = 6, 8 + 0 = 8) = 8 yang bersesuaian dengan usulan 2 untuk pabrik 2.
x2 = 3 Di sini ada dua alternatif yang layak, yaitu usulan 1, 2 dan 3. Nilai x1 yang sesuai adalah 3 – 0 = 3 dan 3 – 2 = 1, dan 3 – 3 = 0. Jadi kita memperoleh :
Pendapatan terbesar dengan diket. x2 = 3 = max (0 + 6 = 6, 8 + 5 = 13, 9 + 0 = 9) = 13 yang bersesuaian dengan usulan 2 untuk pabrik 2.
x2 = 4 Alternatif yang layak adalah usulan 1, 2, 3 dan 4. Nilai-nilai x1 yang sesuai masing-masing adalah 4 – 0 = 4, 4 – 2 = 2, 4 – 3 = 1 dan 4 – 4 = 0, sehingga:
Pendapatan terbesar dengan diket. x2 = 4 = max (0 + 6, 8 + 6, 9 + 5, 12 + 0) = 14 yang bersesuaian dengan usulan 2 atau 3.
x2 = 5
Kita memiliki alternatif layak yang sama seperti dalam x2 = 4. Nilai-nilai x1 yang sesuai masing-masing adalah 5, 3, 2 dan 1. Jadi:
Pendapatan terbesar dengan diket. x2 = 5 = max (0 + 6, 8 + 6, 9 + 6, 12 + 5) = 17 yang bersesuaian dengan usulan 4.
by Eliyani http://www.mercubuana.ac.id 5
MODUL 9 RISET OPERASIONAL PEMROGRAMAN DINAMIS Ringkasan perhitungan tahap 2 disajikan pada Tabel 2.
Tabel 2. Alternatif penggunaan modal pada tahap 2. Jika modal yang
Maka, usulan
Dan jumlah pendapatan
tersedia x1 =
optimalnya adalah:
tahap 1 (R1) adalah :
0
1
0
1
1
5
2
2
8
3
2
13
4
2 atau 3
14
5
4
17
Tahap 3. Rumus untuk menghitung pendapatan terbesar sama dengan tahap 2 kecuali bahwa x2 dan x1 digantikan oleh x3 dan x2 dan tahap 2 dan tahap 1 digantikan oleh tahap 3 dan tahap 2. Karena sudah tahap terakhir, maka x3 hanya memiliki satu nilai spesifik, yaitu x3 = 5. Karena x3 memiliki dua usulan yang biayanya tidak mencapai $5 juta, maka kedua usulan tersebut layak. Nilai-nilai x2 yang sesuai dengan usulan 1 dan 2 yaitu 5 – 0 = 5 dan 5 – 1 = 4. Dengan menggunakan Tabel 2, kita memperoleh: Pendapatan terbesar dengan diket. x3 = 5 = max (0 + 17, 3 + 14) = 17 yang bersesuaian dengan usulan 1 atau 2.
Definisi Keadaan
Keadaan sistem mungkin merupakan konsep yang paling penting dalam model pemrograman dinamis. Keadaan ini mewakili hubungan antara tahap-tahap sehingga ketika setiap tahap dioptimumkan secara terpisah, keputusan yang dihasilkan dengan sendirinya layak untuk seluruh masalah.
by Eliyani http://www.mercubuana.ac.id 6
MODUL 9 RISET OPERASIONAL PEMROGRAMAN DINAMIS Namun keadaan ini seringkali tidak jelas sehingga sulit ditemukan cara menghubungkan tahap-tahap tersebut. Dua pertanyaan berikut dapat menjadi cara untuk menemukan keadaan : 1. Hubungan apa yang mempersatukan tahap-tahap tersebut? 2. Informasi apa yang diperlukan untuk mengambil keputusan yang layak pada tahap sekarang tanpa memeriksa kelayakan keputusan tahap sebelumnya?
Perhatikan contoh-contoh berikut: Contoh 1. Pada masalah penganggaran yang sudah dibahas sebelumnya, keadaan yang menghubungkan antar tahap adalah alokasi modal. Pertimbangannya adalah fakta bahwa semua pabrik (yang menjadi tahap) bersaing untuk bagian modal yang terbatas. Contoh 2. Pertimbangkan situasi penggantian peralatan di mana pada akhir setiap tahun sebuah keputusan diambil untuk menggunakan mesin pada tahun berikutnya atau menggantinya segera. Jika sebuah mesin disimpan lebih lama, laba yang diperolehnya menurun. Sebaliknya mengganti sebuah mesin mengeluarkan biaya penggantian. Masalahnya adalah
memutuskan
kapan
sebuah
mesin
harus
diganti
untuk
memaksimumkan jumlah laba bersih.
Dalam masalah ini, tahap j mewakili tahun j. Alternatif pada setiap tahap adalah mempertahankan mesin atau menggantinya. Untuk mendefinisikan keadaan sistem : apa hubungan antara dua tahap berturut-turut? Informasi apa yang diperlukan dari tahap-tahap sebelumnya untuk mengambil keputusan (mempertahankan atau mengganti) dalam tahap sekarang? Jawabannya adalah : usia mesin. Jadi keadaan sistem pada suatu tahap ditentukan sebagai usia mesin pada awal periode yang berkaitan. Jadi usia mesin akan menjadi x1, x2 dan seterusnya.
by Eliyani http://www.mercubuana.ac.id 7
MODUL 9 RISET OPERASIONAL PEMROGRAMAN DINAMIS PERSAMAAN REKURSIF Perhitungan yang dilakukan pada pemrograman dinamis bersifat rekursif, perhitungan pada suatu tahap didasarkan pada tahap sebelum atau sesudahnya. Misalnya perhitungan pada tahap 2 tergantung pada perhitungan tahap 1 dan perhitungan pada tahap 3 tergantung pada perhitungan tahap 2. Dengan perkataan lain, perhitungan pada tahap sekarang
memanfaatkan
ringkasan
informasi
tahap
sebelumnya.
Ringkasan ini memberikan pendapatan optimal dari semua tahap dipilih ambil secara optimal tanpa melihat keputusan yang diambil sebelumnya. Sifat ini merupakan prinsip optimalitas yang merupakan daar bagi keabsahan perhitungan DP. Persamaan rekursif, secara matematis, dinyatakan dengan simbolsimbol: Rj(kj) = pendapatan alternatif kj pada tahap j fj(xj) = keuntungan optimal pada tahap 1, 2,… dan jika j keadaan xj cj(kj) = harga kj alternatif pada tahapj Persamaan rekursif dapat ditulis sebagai: f1 ( x1 ) maxR1 (k1 ) c1k1 x1
f j ( x j ) maxR j (k j ) f j1 x j c j (k j ), j2,3 c j k j x j
Perhitungan persamaan rekursif dilakukan dalam bentuk tabel standar seperti yang digambarkan pada perhitungan berikut. Tabel standar kasus penganggaran modal adalah:
by Eliyani http://www.mercubuana.ac.id 8
MODUL 9 RISET OPERASIONAL PEMROGRAMAN DINAMIS Tahap 1 f1 ( x1 ) maxR1 (k1 ) c1k1 x1 k11,2,3
Pemecahan Optimal
R1(k1) x1
k1=1
k1=2
k1=3
f1(x1)
k1*
0
0
-
-
0
1
1
0
5
-
5
2
2
0
5
6
6
3
3
0
5
6
6
3
4
0
5
6
6
3
5
0
5
6
6
3
Tahap 2 f 2 ( x2 ) maxR2 (k 2 ) f1x2 c2 (k 2 ) c2k 2 x2 k 21, 2,3, 4
R2 (k 2 ) f1x2 c2 (k 2 )
Solusi Optimal
x2
k2=1
k2=2
k2=3
k2=4
f2(x2)
k 2*
0
0+0=0
-
-
-
0
1
1
0+5=5
-
-
-
5
1
2
0+6=6
8+0=8
-
-
8
2
3
0+6=6
8+5=13 9+0=9
-
13
2
4
0+6=6
8+6=14 9+5=14
12+0=12 14
2
atau
3 5
0+6=6
8+6=14 9+6=15
12+5=17 17
4
Tahap 3
by Eliyani http://www.mercubuana.ac.id 9
MODUL 9 RISET OPERASIONAL PEMROGRAMAN DINAMIS f 3 ( x3 ) maxR3 (k 3 ) f 3x3 c3 (k 3 ) c3k3 x3 k31,2
R3 (k 3 ) f 3x3 c3 (k 3 )
Solusi Optimal
x3
k3=1
k3=2
f3(x3)
k 3*
5
0+17=17
3+14=17
17
1
atau
2
Pemecahan optimum dapat dibaca secara langsung dari tabel di atas dimulai dengan tahap 3. Untuk x3 = 5, usulan optimalnya adalah k 3* =1 atau k 3* =2. Pertimbangkan k 3* =1 terlebih dahulu.Karena c3(1) = 0, hal ini membuat x2=x3- c3(1)=5 untuk tahap 2 dan tahap 1. Tahap 2 menunjukkan bahwa x2 = 5 menghasilkan k 2* =4. Karena c2(4) = 4, maka x1= 5-4 = 1. Dari tahap 1, x1 = 1 memberikan k1* =2. Jadi kombinasi optimal dari usulan untuk tahap 1, 2 dan 3 adalah (2,4,1).
Persamaan Rekursif Mundur
Perhitungan di atas mencerminkan persamaan rekursif maju, dari tahap awal menuju tahap akhir. Yang umum dilakukan adalah rekursif mundur, dari tahap terakhir berlanjut ke belakang ke tahap 1. Perbedaan utama antara kedua prosedur adalah dalam cara mendefinisikan keadaan sistem. Contoh kasus penganggaran modal di atas, dapat diselesaikan dengan metode rekursif mundur sebagai: Keadaan sistem disimbolkan dengan yj sehingga: y1 = jumlah modal yang dialokasikan pada tahap 1, 2 dan 3. y2 = jumlah modal yang dialokasikan pada tahap 2 dan 3. y3 = jumlah modal yang dialokasikan pada tahap 3.
f3(y3) = pendapatan optimal untuk tahap 3 dengan diketahui y3 f2(y2) = pendapatan optimal untuk tahap 2 dan 3 dengan diketahui y2
by Eliyani http://www.mercubuana.ac.id 10
MODUL 9 RISET OPERASIONAL PEMROGRAMAN DINAMIS f1(y1) = pendapatan optimal untuk tahap 1,2 dan 3 dengan diketahui y1
Persamaan rekursif mundur dengan demikian ditulis sebagai: f 3 ( y3 ) maxR3 (k 3 ) k3 c3k3 x3
c j (k j ), j 1,2 f j ( y j ) maxR j (k j ) f j1 y j kj c j k j y j
f3 Urutan perhitungan tahap dengan demikian adalah:
f3
f3
Tahap 3. f 3 ( y3 ) maxR3 (k 3 ) k31, 2 c3k3 x3
Solusi Optimal
R3(k3) y3
k3=1
k3=2
f3(y3)
k 3*
0
0
-
0
1
1
0
3
3
2
2
0
3
3
2
3
0
3
3
2
4
0
3
3
2
5
0
3
3
2
Tahap 2. f 2 ( y 2 ) maxR2 (k 2 ) f 3y 2 c2 (k 2 ) c2k 2 x2 k 21,2,3,4
by Eliyani http://www.mercubuana.ac.id 11
MODUL 9 RISET OPERASIONAL PEMROGRAMAN DINAMIS R2 (k 2 ) f 3y 2 c2 (k 2 )
Solusi Optimal
x2
k2=1
k2=2
k2=3
k2=4
f2(x2)
k 2*
0
0+0=0
-
-
-
0
1
1
0+3=3
-
-
-
3
1
2
0+3=3
8+0=8
-
-
8
2
3
0+3=3
8+3=11 9+0=9
-
11
2
4
0+3=3
8+3=11 9+3=12
12+0=12 12
3
atau
4 5
0+3=3
8+3=11 9+3=12
12+3=15 15
4
Tahap 1. f1 ( y1 ) maxR1 (k1 ) f 2y1 c1 (k1 ) c1k1 x1 k11, 2,3
R1 (k1 ) f 2y1 c1 (k1 )
Solusi Optimal
y1
k1=1
k1=2
k1=3
5
0+15=15
5+12=17
6+11=17 17
f1(y1)
k1* 2 atau 3
by Eliyani http://www.mercubuana.ac.id 12
