Modul 14. PENELITIAN OPERASIONAL I
MODEL SIMULASI
Oleh : Eliyani
PROGRAM KELAS KARYAWAN PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI UNIVERSITAS MERCU BUANA http://www.mercubuana.ac.id JAKARTA 2007
Modul 14 RISET OPERASIONAL Model Simulasi
MODEL SIMULASI PENDAHULUAN Model-model deterministik seperti model pemprograma linier, model antrian atau model-model analisis keputusan memiliki nilai-nilai harapan (expected value) atau rumusan-rumusan yang jelas. Contoh: F = m.a, Z=3X1 + 2X2, dan lain-lain. Kondisi nyata kadang tidak dapat disederhanakan dengan model yang demikian atau rumus-rumus yang sudah ada. Sistem yang rumit tersebut perlu dimimikkan antara lain melalui pendekatan probabilistik sedemikian rupa sehingga peluangpeluang kejadian suatu nilai dapat diduga. Pada kondisi yang demikian, model simulasi dapat diandalkan untuk mendapatkan solusi yang tepat.
Terdapat dua macam model simulasi, yaitu simulasi analog dan simulasi matematik. Simulasi analog yaitu dengan mengganti fisik yang asli dengan fisik tiruan yang lebih mudah untuk dimanipulasi. Contoh mobil balap Ferrari diganti dengan replikanya. Contoh lain gedung UMB diganti dengan maket gedung UMB.
Simulasi matematik yaitu meniru sistem dengan model matematik untuk mendapatkan operating characteristics sistem melalui suatu eksperimen. Contoh untuk menduga bagaimana pertumbuhan tanaman jati yang memakan waktu ratusan tahun dilakukan eksperimen baik lapangan maupun laboratorium untuk mendapatkan parameter-parameter maupun model matematis pertumbuhannya. Jika eksperimen tersebut dilakukan berulang-ulang maka dibutuhkan bantuan komputer agar perhitungan lebih mudah dan lebih cepat.
Penekanan pada kuliah ini adalah model simulasi matematik yang diterapkan pada beberapa kasus.
http://www.mercubuana.ac.id 1
By Eliyani
Modul 14 RISET OPERASIONAL Model Simulasi
PROSES MONTE CARLO
Sebagian besar model simulasi merupakan model probabilitas. Simulasi sering dijalankan dengan memilih angka secara acak (random) dari distribusi probabilitas. Tujuan dari penggunaan angka ini adalah untuk mendekati variabel acak yang sering menyulitkan dalam menyelesaikan sebuah model secara analitik.
Teknik memilih angka secara acak dari distribusi probabilitas disebut dengan Monte Carlo Sampling. Monte Carlo bukan merupakan jenis simulasi atau simulasi probabilistik tetapi teknik yang digunakan dalam simulasi.
Contoh (dikutip dari Mulyono, 2004):
Penjualan BBM per hari dari sebuah SPBU merupakan variabel random diskret dengan distribusi probabilitas seperti pada Tabel 1.
Tabel 1. Distribusi Probabilitas Penjualan BBM per Hari Sebuah SPBU
Penjualan (X)
Probabilitas (Px)
14
0.2
15
0.4
16
0.2
17
0.1
18
0.1
Proses Monte Carlo akan memunculkan variabel random melalui proses sampling dari distribusi probabilitas. Proses ini dilakukan dengan memutar roda rolet yang disekat menjadi lima bagian seperti pada Gambar 1.
http://www.mercubuana.ac.id 2
By Eliyani
Modul 14 RISET OPERASIONAL Model Simulasi
x=18 10% x=14 20%
x=17 10%
x=16 20%
x=15 40%
Gambar 1. Roda rolet probabilitas penjualan BBM sebuah SPBU.
Pemutaran merupakan rekonstruksi penjualan. Dalam dunia nyata, real time proses penjualan tersebut dapat terjadi selama bertahun-tahun (nilai X merupakan nilai rata-rata) ditiru dengan putaran-putaran roda rolet yang hanya memakan waktu singkat atau simulated time. Jika pemutaran jujur, frekuensi relatif dari nilai yang muncul akan mendekati distribusi probabilitas. Untuk alasan praktis, pemunculan angka random dapat dilakukan dengan mengambil satu angka secara acak dari Tabel Angka Random seperti disajikan pada Tabel 2.
Proses Monte Carlo dilakukan menggunakan komputer. Untuk lebih memahami, proses tersebut secara manual digambarkan sebagai berikut.
Setelah dihitung probabilitas kumulatif dan intervalnya serta interval angka random seperti disajikan pada Tabel 3, pilih sembarang angka random dari daftar angka random pada Tabel 2. Misalkan dipilih angka 39. Angka ini terletak pada interval 20 – 59 yang selaras dengan per hari 15.
http://www.mercubuana.ac.id 3
By Eliyani
Modul 14 RISET OPERASIONAL Model Simulasi
Tabel 2.Daftar Angka Random
39 65 76 45 45 73 71 23 70 90 72 18 47 33 84 75 12 25 69 17 37 17 79 88 74
19 90 69 64 61 65 97 60 12 11 51 67 47 97 19 17 95 27 78 58 63 52 06 34 30
20 26 36 31 62 31 56 34 19 19 98 40 07 17 66 24 33 45 77 48 01 31 60 10 27
58 24 97 14 97 47 83 75 51 33 23 05 09 51 80 69 81 84 09 29 35 07 79 71 53
95 06 70 99 00 30 62 38 20 46 59 78 11 52 49 93 22 70 45 80 28 99 52 01 41
02 48 08 16 94 87 89 15 70 07 98 18 71 70 15 10 83 58 07 04 47 08 56 37 31
85 53 83 29 95 37 79 49 12 38 89 09 39 59 24 76 62 16 48 68 71 82 13 50 41
56 27 09 24 43 48 13 93 55 96 00 06 41 41 20 58 76 17 17 86 27 55 10 24 92
21 78 55 09 82 41 92 45 71 51 14 36 59 25 47 59 53 11 51 21 28 04 67 53 44
72 61 88 73 61 09 18 25 58 94 54 45 17 24 89 66 04 18 72 87 95 23 00 84 47
93 90 31 03 07 21 05 11 47 99 95 89 94 06 97 97 18 31 55 73 69 08 88 86 13
34 18 04 52 35 11 20 99 45 18 27 37 83 28 71 10 65 81 92 59 59 71 74 17 32
74 13 39 35 22 76 51 94 84 86 79 57 95 13 91 77 31 61 95 46 48 38 75 93 29
68 95 23 92 35 13 79 93 37 55 09 61 87 25 21 20 44 90 32 64 73 37 32 04 05
36 63 70 35 33 98 16 04 41 67 56 20 11 32 44 26 99 76 75 63 60 82 29 20 25
41 26 10 25 03 91 47 14 63 62 80 94 54 18 47 67 06 77 63 99 59 72 24 13 75
87 63 93 95 17 08 61 74 51 69 08 52 85 08 40 89 85 84 46 06 42 29 72 23 19
81 83 83 04 49 92 79 43 89 79 48 40 35 94 22 64 71 06 21 66 06 94 76 10 08
77 45 85 50 51 29 18 94 51 23 72 65 71 08 86 89 37 20 70 01 81 30 15 39 14
79 88 01 97 30 14 85 11 47 23 50 03 42 99 36 61 65 70 22 12 81 83 17 16 33
63 62 06 34 41 78 47 23 53 90 87 68 62 15 43 47 60 92 01 77 56 88 87 59 41
79 53 36 02 95 79 93 96 38 63 97 48 72 66 48 26 97 05 73 51 06 87 37 78 48
94 61 09 43 62 34 85 52 05 09 53 16 71 13 81 88 46 38 03 58 65 88 69 58 39
20 21 14 68 86 85 43 01 72 73 59 97 50 99 52 72 68 49 29 31 88 *2 84 27 83
84 95 48 46 45 14 93 87 81 40 24 62 2*0 42 31 75 70 16 08 24 85 81 56 39 38
22 17 68 65 84 19 36 27 59 46 16 77 23 02 77 78 43 76 71 61 03 28 28 26 08
87 02 22 57 51 39 77 32 77 09 28 06 24 25 93 97 67 63 99 61 69 30 16 09 05
68 69 80 95 44 75 57 92 36 59 22 45 44 84 11 80 45 67 93 82 53 58 47 70 93
11 29 01 95 80 89 74 19 82 15 87 80 61 65 31 59 73 19 85 23 66 56 45 65 79
49 34 35 86 47 08 58 94 34 74 09 71 91 74 25 53 33 65 97 21 45 56 20 19 47
04 31 17 21 56 61 06 98 03 91 23 68 35 26 00 15 39 25 70 99 58 71 96 30 24
33 73 99 19 87 87 14 77 43 96 99 53 93 61 28 93 86 52 77 65 18 46 23 34 27
26 72 39 27 67 43 00 65 98 50 52 70 05 48 34 15 33 59 05 28 85 13 99 24 44
53 77 57 68 93 45 60 33 01 07 56 65 05 61 86 22 87 26 07 47 49 18 09 79 49
60 61 97 22 61 98 99 46 50 47 90 92 10 70 80 86 96 98 29 06 74 16 32 23 02
93 22 53 64 39 78 76 58 54 74 61 81 31 96 82 42 88 07 10 05 77 94 30 05 39
07 10 63 76 35 92 38 70 96 92 00 57 25 60 59 24 98 65 63 21 28 10 99 00 27
87 03 04 79 88 52 06 79 79 45 46 72 60 18 77 47 21 61 88 32 12 73 73 99 12
08 13 13 85 51 82 63 18 27 44 55 66 12 62 11 27 87 30 21 60 49 99 57 94 82
55 34 57 72 69 69 66 92 19 09 08 99 55 64 57 10 92 35 36 12 96 88 57 17 91
http://www.mercubuana.ac.id
By Eliyani
4
Modul 14 RISET OPERASIONAL Model Simulasi
Tabel 3. Memuncul Variabel Random dari Daftar Angka Random
Penjualan
Probabilitas
Probabilitas Kumulatif
Interval Angka Random 00-19
Angka Random (r)
0.2
Interval Probabilitas Kumulatif 0.0-0.19
14
0.2
15
0. 4
0.6
0.2-0.59
20-59
39
16
0.2
0.8
0.6-0.79
60-79
17
0.1
0.9
0.8-0.89
80-89
18
0.1
1.0
0.9-0.99
90-99
Selanjutnya ulangi pemilihan angka random, arahnya bisa ke mana pun dari pemilihan pertama asal tidak diulang. Simulasi penjualan 15 hari (proses diulang 15 kali) ditunjukkan pada Tabel 4. Rata-rata penjualan hasil simulasi adalah 241/15 = 16.07. Expected value (nilai harapan) penjualan yang dihitung secara analitik dari distribusi probabilitas adalah:
n
)()(
ii i1
xPxx
= 14 (0.2) + 15 (0.5) + 16 (0.2) + 17 (0.1) + 18 (0.1) = 15.5
Perbedaan hasil simulasi angka random dengan perhitungan analitik merupakan kesalahan sampling (sampling error). Jika periode simulasi ditambah yang artinya memperbanyak sample, hasil simulasi akan semakin tepat, atau dikatakan hasil simulasi mendekati kondisi steady state. Membandingkan hasil simulasi dengan hasil perhitungan analitik disebut dengan kegiatan validasi model. Namun umumnya simulasi dilakukan jika solusi secara analitik tidak mungkin sehingga tidak ada patokan untuk validasi. Validasi dapat juga dilakukan dengan menggunakan data-data yang tidak digunakan dalam pembuatan model.
http://www.mercubuana.ac.id 5
By Eliyani
Modul 14 RISET OPERASIONAL Model Simulasi
Tabel 4. Simulasi Penjualan 15 Hari
Hari ke-
Angka Random r
Penjualan X
1
39
15
2
73
16
3
72
16
4
75
16
5
37
15
6
02
14
7
87
17
8
98
18
9
10
14
10
47
15
11
93
18
12
21
15
13
95
18
14
97
18
15
69
16 = 241
TENTANG ANGKA RANDOM
Angka random selalu dibutuhkan dalam setiap simulasi probabilistik untuk menentukan nilai variabel random. Angka random pada tabel angka random diciptakan dengan menggunakan teknik numerik sehingga bukan merupakan angka random murni tetapi pseudo random numbers. Angka random murni hanya dapat diciptakan dengan proses fisik seperti pemutaran rolet, penarikan kertas undian, dan lain-lain. Namun tentu saja kegiatan fisik tersebut kurang praktis sehingga penggunaan angka random lebih memungkinkan terutama untuk simulasi menggunakan komputer.
http://www.mercubuana.ac.id 6
By Eliyani
Modul 14 RISET OPERASIONAL Model Simulasi
Validitas simulasi dapat terpengaruh dengam menggunakan angka random yang tidak murni ini. Oleh karena itu, angka random harus memiliki karakteristik: 1. Memiliki distribusi seragam artinya setiap angka memiliki kesempatan yang sama untuk terpilih. 2. Teknik numerik untuk menciptakan angka random harus efisien artinya proses berjalan cepat dan murah dan angka yang telah muncul dapat muncul lagi setelah periode yang lama. 3. Urutan angka random tidak menunjukkan pola tertentu.
BEBERAPA CONTOH PENERAPAN SIMULASI
Simulasi Sistem Tak Terstruktur
Yang dimaksud dengan sistem tak terstruktur adalah sistem yang tidak dapat disederhanakan dalam model matematik atau dapat dibuatkan model matematiknya tetapi tidak tersedia teknik untuk mendapatkan solusinya atau rumusannya.
Contoh berikut dikutip dari Mulyono (2004). Sebuah posko keamanan menerima panggilan darurat sebanyak 0 hingga 6 per hari dengan distribusi probabilitas seperti disajikan pada Tabel 5.
Tabel 5. Distribusi Probabilitas Jumlah Panggilan Darurat Posko Keamanan
PANGGILAN
PROBABILITAS
0 1 2 3 4 5 6
0.05 0.12 0.15 0.25 0.22 0.15 0.06
Petugas keamanan membedakan setiap panggilan ke dalam tiga kelompok: ringan, sedang dan berat. Jenis kelompok menentukan jumlah petugas yang
http://www.mercubuana.ac.id 7
By Eliyani
Modul 14 RISET OPERASIONAL Model Simulasi
akan dikirim untuk membantu. Jika tergolong ringan akan dikirim 2 petugas, sedang memerlukan 3 petugas, dan berat membutuhkan 5 petugas. Distribusi probabilitas menurut kelompok seperti pada Tabel 6.
Tabel 6. Distribusi Jenis Panggilan Posko Keamanan
JENIS PANGGILAN
PROBABILITAS
Ringan
0.3
Sedang
0.56
Berat
0.14
Interval angka random untuk jumlah panggilan darurat dan jenis panggilan masing-masing ditunjukkan pada Tabel 7 dan Tabel 8.
Tabel 7. Interval Angka Random Jumlah Panggilan Darurat
Jumlah Panggilan 0 1 2 3 4 5 6
Probabilitas 0.05 0.12 0.15 0.25 0.22 0.15 0.06
Probabilitas Kumulatif 0.05 0.17 0.32 0.57 0.79 0.94 1.0
Interval Probabilitas Kumulatif 0.00-0.04 0.05-0.16 0.17-0.31 0.32-0.56 0.57-0.78 0.79-0.93 0.94-0.99
Interval Angka Random 00-04 05-16 17-31 32-56 57-78 79-93 94-99
Tabel 8. Interval Angka Random Jenis Panggilan Darurat
Jenis Panggilan
Probabilitas
Probabilitas Kumulatif
Interval Probabilitas Kumulatif
Interval Angka Random
Ringan Sedang Berat
0.3 0.56 0.14
0.3 0.86 1.0
0.00-0.29 0.30-0.85 0.86-0.99
00-29 30-85 86-99
Simulasi selama 10 hari baik untuk jumlah maupun jenis panggilan darurat disajikan pada Tabel 9.
http://www.mercubuana.ac.id 8
By Eliyani
Modul 14 RISET OPERASIONAL Model Simulasi
Tabel 9. Simulasi selama 10 hari Jumlah dan Jenis Panggilan Darurat
Hari ke1
2
r1 65
48
Banyaknya panggilan 4
3
r2
Jenis panggilan
Petugas yang Dikirim
71
Sedang
3
18
Ringan
2
12
Ringan
2
17
Ringan
2
89
Berat
5
18
Ringan
2
83
Sedang
3
Jumlah Petugas Sehari
9
10
3
08
1
90
Berat
5
5
4
05
1
89
Berat
5
5
5
18
2
08
Ringan
2
4
26
Ringan
2
94
Berat
5
06
Ringan
2
72
Sedang
3
47
Sedang
3
68
Sedang
3
60
Sedang
3
88
Berat
5
36
Sedang
3
77
Sedang
3
28
Ringan
2
31
Sedang
3
06
Ringan
2
39
Sedang
3
71
Sedang
3
22
Ringan
2
76
Sedang
3
6
7
8
9
10
47
62
17
43
68
3
4
2
3
4
10
14
6
7
11
http://www.mercubuana.ac.id 9
By Eliyani
Modul 14 RISET OPERASIONAL Model Simulasi
Hasil simulasi menunjukkan : Rata-rata jumlah panggilan darurat ringan sehari = 10/10 =1 Rata-rata jumlah panggilan darurat sedang sehari = 12/10 = 1.2 Rata-rata jumlah panggilan berat per hari = 5/10= 0.5 Rata-rata jumlah petugas yang dibutuhkan per hari = 8 orang. Jumlah petugas maksimum yang perlu disiapkan = 14 orang.
http://www.mercubuana.ac.id 10
By Eliyani
