MODUL 3
-1-
MODUL 3 : METODA PERSAMAAN TIGA MOMEN 3.1. Judul
:METODA “PERSAMAAN TIGA MOMEN” UNTUK MENYELESAIKAN
STRUKTUR
STATIS
TIDAK
TERTENTU Tujuan Pembelajaran Umum Setelah membaca bagian ini mahasiswa akan memahami bagaimanakah metoda “Persamaan Tiga Momen” itu dan langkah-langkah apakah yang dikerjakan untuk menyelesaikan suatu struktur statis tidak tertentu. Tujuan Pembelajaran Khusus Mahasiswa selain dapat memahami metoda “Persamaan Tiga Momen” juga dapat menyelesaikan suatu struktur statis tidak tertentu yaitu menghitung semua gaya-gaya luar (reaksi perletakan) dan gaya-gaya dalam (gaya normal, gaya lintang, momen) struktur tersebut dengan menggunakan metoda “Persamaan Tiga Momen”. 3.2. Pendahuluan Pada metoda “Consistent Deformation” yang telah kita bahas pada modul 2, kita menjadikan gaya luar yaitu reaksi perletakan sebagai gaya kelebihan pada suatu struktur statis tidak tertentu. Dengan menghilangkan gaya kelebihan yang ada, struktur dijadikan statis tertentu. Akibat beban yang ada dan akibat gaya kelebihan sebagai beban dihitung deformasi dari struktur statis tertentu tersebut. Dengan melihat kondisi geometris asli dari struktur statis tidak tertentu, disusun persamaan
“Consistent
Deformation”.
Dengan
persamaan
“consistent
deformation” yang tersusun gaya-gaya kelebihan dapat dihitung, gaya-gaya yang lain dapat dicari dengan persamaan keseimbangan statis. Metoda “Consistent Deformation” dapat dipakai pada struktur balok portal maupun konstruksi rangka batang statis tidak tertentu, sedangkan metoda “Persamaan Tiga Momen” yang
Metoda Persamaan Tiga Momen
MODUL 3
-2-
akan kita bahas ini hanya dapat dipakai untuk struktur balok dan portal statis tidak tertentu. Pada suatu struktur balok dan portal, sambungan antara batang-batang pada struktur tersebut diasumsikan sebagai sambungan kaku, dimana dalam sambungan kaku harus dipenuhi dua persyaratan yaitu : a). Keseimbangan : jumlah momen batang-batang yang bertemu pada sebuah n
titik simpul yang disambung secara kaku sama dengan nol ( ∑ M Ti = 0 ). i =1
b). Kestabilan : rotasi batang-batang yang bertemu pada sebuah titik simpul yang disambung secara kaku sama besar dan arahnya (θ
T1
=θ
T2
= …θ
)
T3
Contoh : Batang T1, T2, T3 bertemu di titik simpul T dengan sambungan kaku, maka syarat :
keseimbangan MT1 + MT2 + MT3 = 0 Kestabilan
θ
T1
=θ
T2
=θ
T3
P MT1 θ
MT3
T
3 θ
T1
MT2 θ 1
T3
Gambar 3.1. Keseimbangan titik simpul
T2
2 Metoda “Persamaan Tiga Momen”, memakai momen-momen batang
sebagai variabel (bilangan yang tidak diketahui) dan pergoyangan (defleksi ∆ ) pada struktur-struktur yang dapat bergoyang. Untuk menentukan apakah sebuah struktur dapat bergoyang atau tidak, dapat dilihat dari teori sebagai berikut : suatu titik simpul mempunyai dua kemungkinan arah pergerakan, yaitu vertikal dan horizontal. Perletakan jepit dan perletakan sendi tidak dapat bergerak vertikal maupun horizontal, sedangkan perletakan rol dapat bergerak hanya pada satu arah yaitu searah bidang perletakan. Batang dibatasi oleh dua titik simpul, sehingga pergerakan titik simpul searah batang sama. Metoda Persamaan Tiga Momen
MODUL 3
-3-
Dari konsep tersebut dapat dirumuskan : n = 2 j – (m + 2f + 2 h + r) Dimana : n = jumlah derajat kebebasan dalam pergoyangan. j = “joint”, titik simpul termasuk perletakan m = “member”, jumlah batang yang dibatasi oleh dua joint. f = “fixed”, jumlah perletakan jepit. h = “hinge”, jumlah perletakan sendi. r = “rol”, jumlah perletakan rol. Apabila n < 0, struktur tidak dapat bergoyang. Untuk menghitung variabel yang ada, disusun persamaan-persamaan sejumlah variabel yang ada, dari dua ketentuan syarat sambungan kaku seperti yang disebutkan diatas yaitu : (1) Jumlah momen-momen batang yang bertemu pada satu titik simpul sama dengan nol.
(2) Rotasi batang-batang yang bertemu pada satu titik sama, besar dan arahnya. Dan kalau ada variabel ∆
perlu persamaan keseimbangan
struktur.
3.3. Langkah-langkah yang harus dikerjakan pada metode “ Persamaan Tiga Momen ”. Untuk menyelesaikan perhitungan struktur statis tidak tertentu dengan metoda ” Persamaan Tiga momen “ urutan langkah-langkah yang harus dikerjakan adalah sbb : Tentukan apakah struktur statis tidak tertentu tersebut mempunyai pergoyangan , dengan rumus : n = 2j- (m+2f+2h+R) Kalau n < 0, berarti stuktur tersebut tidak bergoyang. Kalau ada pergoyangan, gambarkan bentuk pergoyangan dan tentukan arah rotasi batang – batang akibat pergoyangan tersebut. Dalam menggambarkan bentuk pergoyangan ada dua ketentuan yang harus diperhatikan yaitu :
Metoda Persamaan Tiga Momen
MODUL 3
-4-
• Batang tidak berubah panjang, Suatu batang ( ij ) kalau joint i bergerak ke kanan sebesar Δ , maka joint j juga akan berpindah ke kanan sebesar Δ. Δ i
Δ i’
j
j’
L
• Batang dapat berotasi akibat perpindahan relatif ujung-ujung batang. Perpindahan relatif antara ujung-ujung batang dapat digambarkan tegak lurus sumbu batang dan arah rotasi digambarkan dari arah asli sumbu batang ke arah sumbu batang setelah bergoyang. i j θ ij θ
ji
∆
θ
ij
=θ
ji
=
j’
L
Gambarkan permisalan arah momen-momen batang. Untuk momen kantilever, dapat dihitung besarnya dan ditentukan secara pasti arah putarannya, sedangkan untuk momen- momen batang yang lain besar maupun arahnya dimisalkan dengan mengingat ketentuan bahwa jumlah momenmomen batang yang bertemu pada satu titik simpul sama dengan nol. Jadi kalau pada satu titik simpul bertemu dua batang , maka besarnya momenmomen batang tadi sama, tetapi arahnya berlawanan. Dari langkah langkah yang telah dikerjakan diatas dapat ditentukan jumlah variablenya, yaitu momen-mpmen batang yang belum diketahui besarnya dan perpidahan relatif ujung batang (Δ) kalau ada goyangan.
Gambarkan pemisalan bentuk garis elastis struktur. Untuk menggambarkan permisalan bentuk garis elastis struktur, harus mengingat ketentuan bahwa rotasi batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul adalah sama, besar maupun arahnya . Jadi kalau salah satu batang yang bertemu pada satu titik dimisalkan rotasinya searah jarum jam , maka batang-batang yang lain yang
Metoda Persamaan Tiga Momen
MODUL 3
-5-
bertemu pada titik simpul tersebut harus digambarkan dengan arah rotasi yang sama yaitu searah jarum jam. Untuk menghitung variable-variable diatas, susunlah persamaan-persamaan sejumlah variable yang ada. Penyusunan persamaan – persamaan tersebut berdasarkan ketentuan keseimbangan momen dan rotasi batang-batang pada titik simpul atau perletakan. • Momen batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul sama dengan nol. Untuk momen batang yang digambarkan dengan arah sama, diberi tanda sama. Misalnya kalau searah jarum jam diberi tanda positif (+). Maka yang berlawanan arah jarum jam diberi tanda negatif (-) , atau sebaliknya . • Rotasi batang dengan perletakan jepit sama dengan nol. • Rotasi batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul sama besar maupun
arahnya
.
Untuk
menyusun
persamaan
rotasi
harus
memperhatikan permisalan garis elastis (rotasi batang) dengan beban dan momen – momen yang ada pada batang tersebut. Kalau arah rotasi batang pada permisalan garis elastis sesuai dengan rotasi batang yang diakibatkan oleh beban dan momen batang yang bekerja diberi tanda positif (+) , kalau sebaliknya diberi tanda negatif (-).
• Kalau ada variable pergoyangan (Δ) maka perlu tambahan persamaan keseimbangan struktur. Disini kita buat perhitungan “ free body diagram” dengan arah momen-momen batang seperti yang dimisalkan , sehingga kita mendapatkan satu persamaan yang menghubungkan antara variable satu dengan yang lainnya. Dari persamaan-persamaan yang disusun diatas , maka variable-variable yang berupa momen-momen batang tadi dapat dihitung besarnya. Kalau nilai variable yang didapat positif (+), maka arah momen permisalan benar, sedangkan kalau nilainya negatif (-), maka arah momen yang dimisalkan terbalik.
Metoda Persamaan Tiga Momen
MODUL 3
-6-
Setelah momen-momen diperoleh, dengan perhitungan keseimbangan tiaptiap batang (free body diagram), bidang momen, gaya lintang dan gaya normal dari struktur statis tidak tertemtu tersebut dapat digambarkan.
Contoh langkah-langkah perhitungan dengan metoda “ persamaan tiga momen “ 1.
P=1t
q = 1 t/m
D EI
A
B
6m
EI C
EI 6m
n=0 P=1t
B
θ
θ
D
BC
A
B
c). Permisalan garis elastis
Gambar 3.2.
C
MCD
= ½ (q )l2 + P x 2
=1/2 (1)2 + 1 x 2 Σ MC ==04 tm MCB = 4 TM
C
b). Permisalan arah momen batang BA
( Tidak ada penggoyangan ) Pemisalan momen batang:
D A
beban seperti tergambar : n = 2x3 – (2+2x1+2x0+2)
2m MC =4 tm
MB
jepit, B dan C rol. Dengan n = 2j-(m+2f+ 2h+2)
a). Balok statis tidak tertentu
MA
Balok diatas tiga tumpuan, A
MC = 4 tm Σ MB = 0
MBA + MBC =0
MBA = - MBC (sama besar, berlawanan arah, MB ) A jepit, ada MA
• Variable yang ada : MA dan MB. Berarti ada dua buah variable. • Pemisalan garis elastis. Salah satu batang dimisalkan dulu , misalnya batang AB melendut ke bawah berarti rotasi BA berlawanan arah jarum jam. Maka batang yang lain mengikuti dengan mengingat rotasi batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul sama besar maupun arahnya. • Menyusun persamaan : Karena ada dua variable ( MA dan MB ) maka butuh dua persamaan. Metoda Persamaan Tiga Momen
MODUL 3
-7-
- Dari persamaan keseimbangan momen, telah dipenuhi dari pemisalan arah momen batang - Dari persamaan rotasi batang-batang : A jepit
θ
AB
Titik B
θ
BA
=0
=θ
(1) BC
(2)
• Dari dua persamaan tersebut , MA dan MB dapat dihitung, setelah momen momen batang didapat, dengan perhitungan “ free body diagram “ bidang momen ( M ), gaya lintang ( D ), dan gaya normal ( N ), dapat digambarkan.
P1=1t
q=1 t/m’
2. C
P2=2t
EI
Suatu portal dengan perletakan A dan B sendi, dengan ukuran dan beban seperti tergambar
D
E
EI
n = 2 j – (m + 2 f + 2 f + 2) = 2 x 4 – (3 + 2 x 0 + 2 x 2 + 0)
EI
EI
4m
n=
1
ada sebuah bentuk pergoyangan. Gambar pergoyangan
B
A
Batang AC, A sendi berarti C hanya 4m
1m
bisa bisa berpindah tegak lurus sumbu batang AC.
a). Portal statis tidak tertentu C’
C
D’
D
Misalkan C berpindah ke C’ sebesar ∆ kekanan. Batang CD tidak berubah panjang, D juga bergerak kekanan sebesar ∆ ke D’. untuk batang BD keadaannya sama seperti batang AC. Batang-batang AC dan BD akibat
B
A
jam.
b). Gambar pengoyangan MC
C
MDC
MDE = 1,5 tm P1=1t D E
P2=2t M
C Metoda Persamaan Tiga Momen
pergoyangan berotasi searah jarum
MDB
Pemisahan momen batang. MDE = ½ (1) 1² + 1 x 1 = 1,5 tm Titik C, MCA = MCD sama besar berlawan arah (MC) Titik D, ada MDB , MDC dan
A
B
MDE = 1,5 tm
MODUL 3
-8-
c). Pemisahan Momen Batang θ C θ DCD C E θ C D θ D A B
Variabel yang ada : ∆ , MC, MDB, MDC
Pemisahan gambar garis elastis. Batang CD dimisalkan melendut kebawah, berarti θ searah jarum jam sedangkan θ
DC
CD
berlawan
arah jarum jam. Maka untuk batang AC, θ
B
A
CA
searah jarum jam,
sedangkan untuk batang DB, θ
d). Pemisahan garis elastis
DB
berlawanan
arah jarum jam.
Gambar 3.3.
Menyusun persamaan :
Karena ada 4 variabel (∆ , MC, MDB, MDC) bentuk empat persamaan. - Dari persamaan keseimbangan momen. Σ MD = 0 MDB + MDC – MDE = 0
(1)
- Dari rotasi titik simpul
θ
CA
=θ
CD
(2)
Titik D
θ
DB
=θ
DC
(3)
Titik C
- Karena ada variabel ∆ , maka perlu persamaan keseimbangan struktur (4)
Dari keempat persamaan yang disusun, variabel-variabel MC, MDB, MDC dan ∆ dapat dihitung. Setelah
momen-momen bahwa didapat,
dengan perhitungan “free body diagram”, bidang Momen (M), gaya Lintang (D), dan gaya Normal (N) dapat digambarkan. 3.3.1. Rumus Rotasi Batang
Metoda Persamaan Tiga Momen
MODUL 3
-9-
Setelah
mempelajari
langkah-langkah
yang
perlu
dilakukan
pada
penyelesaian struktur statis tidak tertentu dengan metoda “Persamaan Tiga Momen”, disana kita harus menyusun persamaan rotasi batang-batang. Untuk itu kita perlu mengetahui perumusan besarnya rotasi batang yang terjadi akibat pembebanan dan momen-momen batang. Dari mata kuliah Mekanika Bahan yaitu dengan
metoda-metoda yang
pernah kita pelajari seperti metoda “unit load” ataupun metoda “momen area”, kita dapat menghitung besar dan menentukan arah rotasi batang dengan perumusan sebagai berikut : θ
θ
ij
i
ji
j
EI
θ
ij
=θ
ji
θ
ij
=θ
ji
=
L θ
θ
ij
EI
ji
=
j
i L
b). akibat beban terpusat ditengah bentang.
Mij i
θ
θ
EI L
ij
θ
ij
θ
ij
=
j ji
c). akibat momen Mij
Mij i
θ
θ
ij
L
ji
=
j
d). akibat momen Mji i
j
θ Metoda Persamaan Tiga Momen ij
L
θ
ji
ji
θ ij = θ
ji
=
MODUL 3
-10-
e). akibat pergoyangan Gambar 3.4. Untuk akibat beban-beban yang lain rotasi batang dapat dihitung dengan metodametoda yang pernah didapat dari mata kuliah Mekanika Bahan seperti metoda “unit load” ataupun metoda “momen area” 3.4.
Penyelesaian
Struktur Statis Tidak Tertentu dengan Metoda
“Persamaan Tiga Momen” Dari pembahasan sebelumnya kita ketahui bahwa konsep dari metoda “Persamaan Tiga Momen” adalah memakai momen-momen batang sebagai variabel dan akan dihitung dengan menyusun persamaan-persamaan sebanyak variabel yang ada. Persamaan-persamaan tersebut akan disusun berdasarkan persyaratan keseimbangan momen dan rotasi dari batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul. Kalau dua batang bertemu pada satu titik simpul, maka dari persamaan rotasi batang-batang tersebut harus sama besar, akan didapatkan sebuah persamaan yang mengandung tiga momen. Dari sanalah nama metoda “Persamaan Tiga Momen” diambil. 3.4.1. Contoh-Contoh Penyelesaian 1.
P1 = 4t
q = 1 t/m’ 1,5 EI
A
B
6m
P2 = 1,5 t EI D
2 EI C 6m
2m
a). Balok statis tidak tentu dengan pembebanannya
Suatu balok statis tidak tertentu diatas 3 tumpuan, A perletakan jepit B dan C perletakan
rol
dengan
ukuran
dan
pembebanan seperti tergambar. Hitung momen-momen
batangnya
dengan
metoda “Persamaan Tiga Momen” dan gambarkan bidang M, D dan N nya.
MA
q = 1 t/m’
MB
M = 3 tm P = 1,5 t P1 = 4t C 2
Persamaan Tiga Momen 2 EI C EI AMetoda1,5 B 6m 6m
b).
EI D 2m
Gambar permisalan momen-momen batang
Penyelesaian : n = 2j – (m + 2f + 2h + 2) = 2 x 3 – (2 + 2 x 1 + 2 x 0 + 2) n = 0 tidak ada pergoyangannya.
MODUL 3
Metoda Persamaan Tiga Momen
-11-
MODUL 3
Permisalan Momen Batang θ
θ
MCD = 1,5 x 2 = 3 tm BC
Titik C Σ MC = 0 MCB = MCD
BA
B
A 6m
c).
-12-
C 6m
D
= MC = 3 tm
2m
Titik B ε MB = 0 MBA = MBC
Gambar permisalan garis elastis
= MB A jepit ada MA Permisalan garis elastis
Variabel yang ada : MA dan MB
θ
Persamaan :
1. A jepit : θ
BA
=θ
BC
berlawanan
arah jarum jam AB
=0
-
M A L AB M B .L AB q L AB 3 + =0 3 EI AB 6 EI AB 24 EI AB
-
M A .6 3(1,5EI)
-
M B .6 6(1,5EI)
+
1(6) 3 =0 24 (1,5EI )
2 MA + MB = 9
2. Titik simpul B : θ
BA
=θ
x 1,5 EI
(1) BC
-
M L M .L PL ² M A L AB M B .L AB 2 L AB3 + = + B BC + C BC - 1 BC 6 EI AB 3 EI AB 24 EI AB 3 EI BC 6 EI BC 16 EI BC
-
M A .6 M B .6 M B .6 1 ( 6) 3 3x 6 4(6)² + =+ + 6 (1,5 EI ) 3 (1,5EI ) 24 (1,5 EI ) 3 (2EI ) 3 (2EI ) 16 ( 2EI )
MA + 3,5 MB = 13,5
(2)
(1) – 2 x (2) - 6 MB = -18 MB = + 3 tm (arah benar)
(2) MA + 3,5 MB = 13,5 MA + 3,5 x 3 = 13,5 MB = 13,5 – 10,5 = + 3 tm (arah benar).
Metoda Persamaan Tiga Momen
x 1,5 EI
MODUL 3
-13-
MA=3 tm
A
q = 1t/m’
3t
P1 = 4t
MB=3 tm 3t
2t
B
MC=3 tm 2t
P2 = 1,5 t
1,5 t
C
D
d). Free body diagram 3t
2t
1,5t
+
+
A
B
3m
+
3t
3m
-
C
D
2t 3m
3m
2m
e). Bidang Gaya Lintang (D) 3 tm
3 tm
-
+
A
B
3 tm +
1,5 tm
C
D
3 tm
e). Bidang Momen (M) Gambar 3.5 P1 = 4t
P2 = 3t Suatu portal dengan ukuran dan
2EI
A
B
EI C EI
pembebanan seperti tergambar. A 3m
perletakan rol dan D perletakan jepit. Hitung
momen-momen
batangnya
dengan metoda “Persamaan Tiga
D
Momen” dan Gambar bidang M, D 2m
2m
Metoda Persamaan Tiga Momen
1m
dan N-nya.
MODUL 3
-14-
a). Portal statis tidak tertentu Penyelesaian :
A
C C’ B’
B
A’
n = 2 j – (m + 2f + 2h + µ ) = 2 x 3 – (2 + 2 x 1 + 2 x 0 + 1) = 1 ada pergoyangan !. Gambar pergoyangan A bergerak ke A’ sebesar ∆
D
B bergerak ke B’ sebesar ∆
b). Gambar pergoyangan MCB 3t
4t
C B
MBA
A
MBC = 3 x 1 = 3 tm
MDB
MBA
B θ
BA
; MBD
MDB
;
Permisalan Garis Elastis θ
BA
=θ
BD
(
)
Varibel yang ada : C θ BD
D Gambar permisalan
d).
Permisalan Momen Batang
MBD D c). Gambar permisalan momen batang
A
Batang BD berotasi searah jarum jam
garis elastis
MBA , MBD , MDB dan ∆ Persamaan : 1). Σ MB = 0 MBA – MBC – MBD = 0 MBA = MBD + 3 2). D jepit θ
DB
=0
M BD . L BD M .L ∆ + DB BD + =0 6 EI BD 3EI BD L BD
M BD . 3 M DB . 3 ∆ + + = 0 → 3 M BD + 6 M DB + 2 EI ∆ = 0 6 EI 3 EI 3
Metoda Persamaan Tiga Momen
(2)
(1)
MODUL 3
3). θ -
BA
-15-
=θ
BD
-
M BD . L BD M DB . L BD M BA . L BA PL ² ∆ + 1 BA = + 3 EI BA 16 EI BA 3 EI BD 6 EI BD L BD
M BA M BD . ³ M BD . 6 ∆ 4( 4)² + = + 3(2EI) 16 ( 2EI ) 3 EI 6 EI 3
4 MBA + 6 MBD + 3MDB – 2 EI∆ = 0
(3)
4). Persamaan Keseimbangan Struktur 4t
MBC = 3 tm B
A
3t A rol HA = 0 C
MBA
HA + HD = 0 HD = 0
Batang BD : Σ MB = 0
MBD 3m D
Σ H=0
MDB
HD x 3 + MDB – MBD = 0 MBD = MDB
HD = 0 Substitusi (4) ke (2)
9 MBD + 2 EI ∆ = 0
Substitusi (4) ke (3)
13 MBD – 2 EI ∆ = 0
+ 22 MBD = 0 MBD = 0 (4) MDB = 0 (1) MBA = + 3 tm
4t
A 1,25 t
MBA = 3 tm MBC = 3 tm 3t B C 2,75 t
3t
D 5,75 t e). Free Body Diagram
Metoda Persamaan Tiga Momen
(4)
MODUL 3
-16-
3 tm
3t 1,25 t B
-
-
C
A
A
B C 2,75 t
+
-
5,75 t 4m
D
+
A
B
2,5 tm
3m
D
1m
2m
f). Bidang N
2m
C
D 1m
2m
g). Bidang D
2m
1m
h). Bidang M
Gambar 3.6
3.4.2. Soal Latihan 1).
P1 = 0,5t q = 1 t/m’
A EI
dengan ukuran dan pembebanan C V
EI
B
2m
Suatu balok statis tidak tertentu
P2 = 3t
6m
D seperti tergambar. B dan C V perletakan rol, sedangkan A jepit.
2 EI
4m
4m
Ditanyakan : - hitung momen-momen batang dengan metoda “Persamaan Tiga Momen” - Gambar bidang M, D dan N-nya. 2).
q = 1 t/m’
B
EI
Suatu portal statis tidak tertentu dengan C
ukuran dan pembebanan seperti tergambar. A perletakan jepit dan C sendi.
EI
4m
Ditanyakan : Hitung
A 4m
Metoda Persamaan Tiga Momen
momen-momen
batang
dengan
metoda “Persamaan Tiga Momen” Gambar bidang M, D dan N-nya.
MODUL 3
-17-
Suatu balok tangga statis tidak tertentu
3). 1t
4t EI
A EI
EI
B
2m
dengan ukuran dan beban seperti D 3 m tergambar. B perletakan rol dan D jepit. Ditanyakan :
C
Hitung momen-momen batang dengan 4m
5m
metoda “Persamaan Tiga Momen”. Gambar bidang M, D dan N-nya.
4). q = 1 t/m’
P1= 4t
P2 = 1t Suatu portal statis tidak
2 EI
A
B EI
2 EI C P3 = 2t
EI D
2m 2m
E
tertentu dengan ukuran dan pembebanan seperti tergambar. A perletakan jepit, C rol dan E sendi.
4m
4m
6m
2m
Ditanyakan : - Hitung momen-momen batang dengan metoda “Persamaan Tiga Momen”. - Gambar bidang M, D, dan N-nya. 3.4.3. Rangkuman
Momen-momen batang yang bertemu pada sebuah titik simpul yang disambung secara kaku haruslah dalam keseimbangan. Berarti jumlah momen-momen batang yang bertemu pada suatu titik simpul sama dengan nol. n
∑ MTi = 0 MT1 + MT2 + ………+ MTn = 0
i =1
Batang-batang yang bertemu pada suatu titik simpul yang disambung secara kaku akan berotasi secara serentak. Berarti rotasi batang-batang
Metoda Persamaan Tiga Momen
MODUL 3
-18-
yang bertemu pada suatu titik simpul mempunyai arah dan besar yang sama. θ
=θ
T1
T2
=θ
T3
= ………….= θ
Tn
Variabel yang dipakai dalam metoda “Persamaan Tiga Momen” adalah momen batang dan ∆ kalau ada pergoyangan.
Untuk menghitung variable-variabel tersebut, disusun persamaanpersamaan sejumlah varibel yang ada. Persamaan-persamaan ini akan disusun dari : -
Jumlah momen-momen batang yang bertemu pada satu titik simpul sama dengan nol.
-
Rotasi perletakan jepit sama dengan nol.
-
Rotasi batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul sama besar.
-
Kalau ada variable ∆ , perlu persamaan keseimbangan struktur.
3.4.4. Penutup Untuk mengukur prestasi, mahasiswa dapat melihat kunci dari soal-soal latihan yang ada sebagai berikut : 1). P1 = 0,5 t q = 1 t/m MB = 3 tm MC = 3 tm
P2 = 3t M = 3 tm D MBA = MBC = MB = 3 tm
A EI
EI
D MBCB = MCD = MC = 3 tm MDC = 3 tm
C
B
2m
2 EI
6m
Metoda Persamaan Tiga Momen
4m
4m
MODUL 3
-19-
q = 1 t/m’ 2).
B
C EI
MA =
MB =
MBA = MBC = MB =
4m EI MA = A 4m
3).
MD = 5,676 tm
P1 = 1t M = 2 tm B
P2 = 4t
D
3m
EI A EI
EI
B
P1 = 4t MA
B EI
MD = 5,676 tm
4m
P2 = 1t
MBD q = 1 t /m’
MBA 2 EI
A
MCB = MCD = MC = 4,86 tm
MC = 4,846 tm
5m
2m
4).
C
MBA = MBC = MB = 2 tm
EI MBE P3 = 2t
MC
C
D EI
MA = 4 tm 2 mM = 4 tm BA
2 mMBC = 2,5 tm MBE = 1,5 tm
E
MCB = MCD = 4 tm 4m
4m
Metoda Persamaan Tiga Momen
6m
2m
MODUL 3
-20-
3.4.5. Daftar Pustaka 1. Chu Kia Wang “Statically Indeterminate Structures”. Mc GrawHill, Book Company, INC. 2. Kinney, J.S. “Indeterminate Structural Analysis”, Addison-Wesley Publishing Co. 3.4.6. Senarai Metoda “Persamaan Tiga Momen” memakai momen-momen batang sebagai varibel. Variabel-variabel dihitung dengan membuat persamaan-persamaan dari keseimbangan momen batang-batang pada suatu titik simpul dan rotasi batang-batang pada titik simpul sama besar. Kalau portal dapat bergoyang ada tambahan variable ∆ , dan persamaan tambahan keseimbangan struktur.
Metoda Persamaan Tiga Momen
MODUL 3
3.5.
-21-
Penyelesaian Struktur Statis Tidak Tertentu Akibat Penurunan Perletakan dengan metoda “Persamaan Tiga Momen” Seperti yang telah kita bahas pada metoda “Consistent Deformation”,
pada struktur statis tidak tertentu akibat terjadinya perbedaan penurunan perletakan akan menimbulkan gaya-gaya dalam yang cukup besar. Pada metoda “Persamaan Tiga Momen”, langkah-langkah yang harus dikerjakan untuk menyelesaikan struktur statis tidak tertentu akibat penurunan perletakan sama seperti pada akibat pembebanan luar yang telah disajikan dimuka. Hanya saja pada akibat penurunan perletakan, langkah pertama harus digambarkan pergoyangan struktur akibat adanya penurunan perletakan yang terjadi, setelah itu langkah-langkah yang dikerjakan sama dengan urutan langkah-langkah yang dikerjakan pada akibat beban luar. Jadi kalau struktur kita mempunyai pergoyangan dimana n > 0, maka akan ada gambar pergoyangan akibat penurunan perletakan dan gambar pergoyangan natural karena struktur kita dapat bergoyang secara natural.
3.5.1. Contoh penyelesaian akibat penurunan perletakan 1).
A
Sebuah balok statis tidak tertentu dengan
EI
perletakan A jepit dan B rol. Bentang balok
B
L = 6 m. Balok dari beton dengan ukuran
L=6m
penampang 40 x 60 cm, E beton = 2 x 105
a). Balok statis tidak tertentu
kg/cm2. Kalau terjadi penurunan perletakan B sebesar ∆
B A
2 cm B’ b). Pergoyangan akibat B turun ∆ B = 2 cm Metoda Persamaan Tiga Momen
B
= 2 cm, hitung momen batang balok
tersebut dan gambar bidang M, D dan N-nya. Penyelesaian : Gambar pergoyangan akibat B ∆
B
turun
= 2 cm. Tentukan arah putaran rotasi
batang (θ
AB
)
n = 2 j – (m + 2f + 2h + r)
MODUL 3
-22-
= 2 x 2 – (1 + 2 x 1 + 2 x 0+ 1) = 0 MA
Tidak ada goyangan Permisalan momen batang EI
A
MA
B L=6m
Variabel MA Permisalan garis elastis θ
c). Permisalan momen batang θ
θ
A
B
MB = 0 (rol)
AB
,θ
BA
B
A
A
B L=6m d). Permisalan garis elastis
Persamaan :
A jepit θ
AB
0
M .6 ∆ MA L 2 =0→ - A =0 L 3EI 600 3 EI
MA = + 24 tm Balok Beton : 4t A 1 (4t 40 ) 60 3 = 720 .000 cm 4 I = 12
EI (arah momen benar) 600
Σ MB = 0
B
VA = Σ V = 0 VA+ VB = 0
Free body2 diagram 5 E = 2e). x 10 kg/cm
EI = 2 x 105 x 720.000 kg cm2 = 144 x 109 kg cm2
VB = -VA = - 4t (↓)
EI = 14.400 t m2 (satuan disesuaikan LBidang dalam D meter). : 4t 4t 14 .400 + =+24 tm MA = + 600 A B Dx = VA = + 4t f). Bidang gaya lintang (D)
x = 0 DA = 4t x = 6 DB = 4t
24 tm
Bidang M : -
A
Metoda Persamaan Tiga Momen
g). Bidang momen (M)
B
Mx = -MA + VA . x =-24 + 4 x x = 0 MA = -24 tm x = 6 MB = -24 + 4 x 6 = 0 tm
Gambar 3.7.
MODUL 3
-23-
2). B
EI
C Suatu portal dengan perletakan A jepit dan B rol balok dan kalau dari beton dengan
EI
4m ukuran penampang 30 x 40cm,E beton = 2x105 kg/cm2. Kalau A turun 2cm,hitung momen-momen batang dan gambarkan bidang M,D dan N nya.
A
4m
a). Portal statis tidak tertentu
Metoda Persamaan Tiga Momen
MODUL 3
-24-
Penyelesaian
B
C
2cm
Gambarkan pergoyangan akibat A turun 2 cm. θ
B ’
BC
n =2j - (m + 2f + 2h + r) = 2 x 3 - (2 + 2 x 1 + 2 x 0 + 1) = 1 ada pergoyangan Gambar pergoyangan (natural). A
Misalkan C bergerak kekanan sebesar ∆ . B akan
2cm
bergerak ke kanan ke B’ sebesar ∆ juga.
A’ b). Pergoyangan akibat A turun 1 cm
θ
AB
dan θ
BA
Pemisahan Momen Batang ∆ B
∆ B ’
C
MA C ’
; MBA = MBC = MB
Variable : MA, MB, dan ∆ Pemisahan garis elastis θ
AB
;θ
BA
=θ
BC
A c). Pergoyangan natural MB B
θ
BC
C Balok / kolom beton :
θ
BA
MB
Ix =
1 (30) 403 = 160.000 cm4 12
EIx = 2 x 195 x 160.000 = 32 x 109 kg/cm2 θ
AB
MA
A d). Pemisalan momen batang dan garis elastis Persamaan : Metoda Persamaan Tiga Momen
= 3200 tm2
MODUL 3
1). θ
AB
-25-
=0
(A jepit)
M A L AB M B L AB M .4 M .4 ∆ ∆ + − =0→ A + B − =0 3 EI AB 6 EI AB L AB 3 EI 6 EI 4 4 M A +2 M B −
2). θ
BA
=θ
3 EI ∆ = 0 4
(1)
BC
M A L AB M B L AB ∆ + + = 6 EI AB 3 EI AB L AB
M B L BC ∆ B M . 4 M . 4 ∆ M .4 2 → A + B + = B 3 EI BC L BC 6 EI 3 EI 4 3EI 400 2 M A +8 M B +
3 3EI EI ∆ = − 4 200
(2) 3). Keseimbangan MB
C rol HC = 0 Σ H = 0 HA + HC = 0 HA = 0
MB Batang AB MA
HA = 0
Σ MB = 0 HA . 4 - MA + MB = 0 MA = MB
(1) + (2) 6 MA + 10 MB = -
3 EI 200
Substitusikan (3) ke (a) 6 MA + 10 MA = -
3 EI 200
MA = -
3 EI , dengan EI = 3200 tm2 3200
Metoda Persamaan Tiga Momen
(a)
(3)
MODUL 3
-26-
3 tm C
B 3/4 t
3/4 t
MA = -
3/4 t
MB = MA = - 3 tm (arah terbalik)
3 tm
3 tm
A
3/4 t e). Free Body Diagram B
3 tm +
B
C
-
3/4 t 3 tm
+
+
A
A
3/4 t
f). Bidang N
g). Bidang D
3 tm h). Bidang M
Gambar 3.8
3.5.2. Soal Latihan
Suatu balok statis tidak tertentu, A
1).
perletakan A,
B dan C rol. Balok
beton, dengan ukuran penampang 30 A
EI
B
6m
EI
4m
5 2 C x 40 cm, Ebeton = 2 x 10 kg / cm . Kalau terjadi penurunan di B 2 cm,
hitung momen-momen batang dengan metoda persamaan tiga momen. Dan gambarkan bidang M, D dan N-nya.
Metoda Persamaan Tiga Momen
C
MODUL 3
-27-
2). Suatu portal statis tidak tertentu dengan
B
EI
C
perletakan A jepit dan C sendi. Balok dan kolom beton dengan ukuran
EI
penampang 30
x 40 cm, Ebeton = 2 x 105 kg/cm2.
4m
Kalau C turun 2 cm, hitung momen-momen batang dengan metoda persamaan tiga momen dan gambar bidang M, D dan N-nya.
A 4m
D
B
2m
tangga,
dengan
beton dengan ukuran penampang 30 3 mx 50 cm kg/cm2
EI
EI
balok
perletakan B rol, dan D jepit. Balok
3).
A
Suatu
Kalau perletakan B turun sebesar 2 cm, hitung momen-momen batang
C
EI 5m
dengan
metoda
persamaan
tiga
momen dan gambar bidang M, D dan
4m
N-nya.
3.5.3. Rangkuman Pada penyelesaian struktur statis tidak tertentu akibat penurunan perletakan dengan metoda “Persamaan Tiga Momen”, pertama kali yang dikerjakan adalah menggambar bentuk pergoyangan struktur akibat penurunan perletakan yang terjadi, dan menentukan arah rotasi batang-batang akibat penurunan perletakan tersebut.
3.5.4. Penutup Untuk mengukur prestasi mahasiswa dapat melihat kunci dari soal-soal latihan yang ada sebagai berikut : 1). M =10,98 tm
MB =11,293 tm
A Metoda Persamaan Tiga Momen
A
EI 6m
B
EI 4m
C
EI = 3200 tm2 Momen-momen batang akibat perletakan B turun 2 cm.
MODUL 3
2).
-28-
MB = 6,856 tm B
EI
C EI = 3200 tm2 Momen-momen batang perletakan C turun 2 cm.
akibat
4m
EI MA = 3,428 tm A 4m
3).
MD =3,834 tm
MC = 2,13 tm A
EI
B
2m
EI
EI
D EI = 6250 tm2 Momen-momen batang akibat 3 m perletakan B turun 2 cm.
C
5m
4m
3.5.5. Daftar Pustaka 1.
Chu Kia Wang, “Statically Indeterminate Structures”, Mc Graw-Hill, Book Company, Inc.
2.
Kinney, J.S. “Indeterminate Structural Analysis”, Addison-Wesley Publishing Co.
Metoda Persamaan Tiga Momen
MODUL 3
-29-
3.5.6. Senarai Metoda “Persamaan Tiga Momen” memakai momen-momen batang sebagai varibel. Variabel-variabel dihitung dengan membuat persamaan-persamaan dari keseimbangan momen batang-batang pada suatu titik simpul dan rotasi batang-batang pada titik simpul sama besar. Kalau portal dapat bergoyang ada tambahan variable ∆ , dan persamaan tambahan keseimbangan struktur.
Metoda Persamaan Tiga Momen
