Persamaan Tiga Momen •
Persamaan tiga momen menyatakan hubungan antara momen lentur di tiga tumpuan yang berurutan pada suatu balok menerus yang memikul bebanbeban yang bekerja pada kedua bentangan yang bersebelahan, dengan atau tanpa penurunan-penurunan tumpuan yang tak sama.
•
g ini dapat p diturunkan berdasarkan kontinuitas kurva elastis di atas Hubungan tumpuan tengah, yakni kemiringan garis singgung diujung kanan bentangan sebelah kiri harus sama dengan kemiringan garis singgung di ujung kiri bentangan sebelah kanan.
Penurunan persamaan tiga momen a. Diagram momen pada dua bentangan yang bersebelahan
b. Diagram momen pada suatu bentangan
Diagram momen pada bentangan AB dibagi menjadi dua bagian, yaitu diagram momen akibat beban-beban yang bekerja pada AB apabila dianggap sebagai suatu balok sederhana sederhana, dan diagram momen yang dihasilkan dari momen-momen MA dan MB dimasing-masing tumpuan
•
Bentangan AB dan BC sebagai dua bentangan yang bersebelahan pada suatu balok yang semula horisontal.
•
Karena penurunan yang taksama, tumpuan A dan tumpuan C lebih tinggi dari tumpuan B, masing-masing sebesar hA dan hC, dengan demikian kurva elastisnya l ti melalui l l i titik titik-titik titik A’, A’ B’ B’, dan d C’. C’
•
MA, MB, dan MC sebagai momen lentur di tumpuan A, B, dan C.
•
Diagram momen pada bentangan AB dan BC yang dibagi menjadi dua bagian. g Diagram g momen A1 dan A2 disebabkan oleh beban-beban p pada masing-masing bentangan, dan diagram momen A3, A4 dan A5, A6, disebabkan oleh masing-masing ujung MA, MB, pada bentangan AB dan MB, MC pada bentangan BC
•
Diagram-diagram momen balok sederhana akibat beban-beban yang j p pada bentangan-bentangannya g g y telah diperoleh p sebelumnya, y , dan bekerja tujuan analisa tersebut adalah memperoleh momen-momen lentur MA, MB, dan MC di tumpuan.
•
Hubungan antara MA, MB, dan MC dapat diturunkan dari kondisi keselarasan untuk balok menerus di B, atau g garis singgung gg g kurva elastis BA’ di B terletak pada garis lurus yang sama dengan garis singgung kurva elastis BC’ di B.
•
Titik hubung B dapat dianggap sebagai suatu sambungan kaku.
•
Garis singgung A1BC1 berupa garis lurus, dinyatakan dengan persamaan :
AA 1 CC 1 = L1 L2
… Pers. 1)
Dimana : AA1 = hA – A1A’ = hA – (lendutan di A’ dari garis singgung di B)
1 ( A1 a1 + 13 A3 L1 + 32 A4 L1 ) = hA − EI 1 1 2 2 = hA − A1 a 1 + 16 M A L 1 + 32 M B L 1 EI 1
(
)
… Pers. 2)
dan CC1 = C1C C’ – hC = (lendutan di C C’ dari garis singgung di B) – hC
1 ( A2 a 2 + 23 A5 L2 + 13 A6 L2 ) − hC = EI 2 1 2 2 = A 2 a 2 + 13 M B L 2 + 16 M C L 2 − h c … Pers. 3) EI 2
(
)
Substitusikan pers pers. 2) dan pers pers. 3) ke dalam pers pers. 1) 1), maka diperoleh :
(
)
(
)
hc 1 1 hA 2 2 2 2 1 1 1 1 − A1a1 + 6 M A L1 + 3 M B L1 = A2 a2 + 3 M B L2 + 6 M C L2 − L2 L1 L1EI1 L2 EI 2 … Pers. 4) Dengan mengalikan setiap suku dalam pers. 4) dengan 6E, sehingga :
⎛ L1 ⎞ ⎛ L1 L2 ⎞ ⎛ L2 ⎞ 6. A .a 6. A2 .a2 6.EhC M A ⎜⎜ ⎟⎟ + 2M B ⎜⎜ + ⎟⎟ + M C ⎜⎜ ⎟⎟ = − 1 1 − + I1.L1 I 2 .L2 L2 ⎝ I1 ⎠ ⎝ I1 I 2 ⎠ ⎝ I2 ⎠ Pers. 5) dikenal sebagai persamaan tiga momen
… Pers. 5)
Penerapan persamaan tiga momen pada balok statis taktentu
•
Momen di tumpuan A dan E dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan-persamaan statika
•
Untuk menentukan momen di tumpuan B, C dan D ditentukan dengan menggunakan persamaan tiga momen.
•
Bila momen lentur di semua tumpuan telah diketahui, setiap bentangan dapat dianalisa terpisah yaitu sebagai akibat pembebanan yang diberikan dan momen momen-momen momen ujungnya. ujungnya
•
Reaksi-reaksi di tumpuan dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan statika, sehingga diagram gaya geser dan momen dapat digambarkan.
• Jika salah satu ujung balok terjepit, momen lentur di tumpuan terjepit tidak diketahui. • Untuk itu ditambahkan suatu bentangan khayal A0A dengan panjang L0 yang hanya ditumpu di A0 dan memiliki momen inersia yang tak terhingga besarnya
Contoh 1.
a. Momen-momen di tumpuan yang dapat diketahui : MA = 0 MD = -24 24 . 1 1,5 5 = -36 36 kNm (negatif karena mengakibatkan tekanan di tumpuan D pada bagian bawah balok)
b. Diagram momen pada bentangan sederhana akibat beban yang bekerja
c. Persamaan tiga momen : Bentangan AB dan BC
6(432 )(3) 6(1440 )(6 ) 6(2304 )(6 ) ⎛ 6 ⎞ ⎛ 6 12 ⎞ ⎛ 12 ⎞ M A ⎜ ⎟ + 2M B ⎜ + − − ⎟=− ⎟ + MC⎜ 6(3I ) 12(10 I ) 12(10 I ) ⎝ 3I 10 I ⎠ ⎝ 10 I ⎠ ⎝ 3I ⎠ Bentangan BC dan CD
6(1440)(6) 6(2304)(6) 6(288)(103 ) ⎛ 12 ⎞ ⎛ 12 6 ⎞ ⎛6⎞ MB ⎜ + ⎟ + MD⎜ ⎟ = − − − ⎟ + 2M C ⎜ 12(10I ) 12(10I ) 6(2I ) ⎝ 10I ⎠ ⎝ 10I 2I ⎠ ⎝ 2I ⎠ Disederhanakan , 6,4 MB + 1,2 MC = - 1555,2
… Pers. a)
1 2 MB + 8,4 1,2 8 4 MC = - 1495,2 1495 2
… Pers. Pers b)
Diselesaikan dengan cara eliminasi dan substitusi, maka diperoleh : MB = -215,39 kNm MC = -147,25 kNm
d. Reaksi Perletakan :
e. Diagram gaya geser :
f. Diagram momen
Contoh 2.
a. Momen-momen di tumpuan yang dapat diketahui : MA0 = 0 MD = -24 . 1,5 , = -36 kNm
b. Diagram momen pada bentangan sederhana akibat beban yang bekerja
c. Persamaan tiga momen : Bentangan AoA dan AB
6⎞ 6(432 )(3) ⎛L ⎛L ⎞ ⎛ 6⎞ M A0 ⎜ 0 ⎟ + 2 M A ⎜ 0 + ⎟ + M B ⎜ ⎟ = − 6(3I ) ⎝ 3I ⎠ ⎝∞⎠ ⎝ ∞ 3I ⎠
Bentangan AB dan BC
6(432 )(3) 6(1440 )(6) 6(2304 )(6 ) ⎛ 6⎞ ⎛ 6 12 ⎞ ⎛ 12 ⎞ + M A ⎜ ⎟ + 2M B ⎜ + M = − − − ⎟ ⎟ C⎜ 6(3I ) 12(10 I ) 12(10 I ) ⎝ 3I ⎠ ⎝ 3I 10 I ⎠ ⎝ 10 I ⎠
Bentangan BC dan CD
6 ⎞ 6(1440 )(6 ) 6(2304 )(6 ) 6(288)(103 ) ⎛ 12 ⎞ ⎛ 12 ⎛ 6 ⎞ + ⎟ + MD⎜ ⎟ = − − − MB⎜ ⎟ + 2M C ⎜ 12(10 I ) 12(10 I ) 6(2 I ) ⎝ 10 I ⎠ ⎝ 10 I 2 I ⎠ ⎝ 2I ⎠
Disederhanakan , 4,0 MA + 2,0 MB
= - 432
… Pers. a)
2,0 MA + 6,4 MB + 1,2 MC = - 1555,2
… Pers. b)
1,2 MB + 8,4 MC = - 1495,2
… Pers. c)
Diselesaikan dengan cara eliminasi dan substitusi, maka diperoleh : MA =
-0,36 kNm
MB = -215,28 kNm MC = -147,24 kNm d. Reaksi-reaksi perletakan, diagram gaya geser dan momen, kemudian diperoleh melalui cara yang sama seperti pada contoh 1.
