model Strook Werken met het DE SINGAPORE AANPAK Dr. Ban Har Yeap Gereedschap voor het visualiseren en oplossen van rekenopgaven

Dr.

p a e Y r a Ban H

Basis voor Succes

Een gezamenlijk project van Bazalt en HCO

AK

en en r e s i l a u s et vi h r o o v chap kenopgaven s d e e r e G an re v n e s s o opl aktijk d: r e p s s j a i b w r e Evidenc arch naar onde van rese

E AANP

l e d o m

GAPOR

k o o r St

DE SIN

e k r e W

t e h t e m n

Inhoud

Inhoudelijk advies voor Nederlandse versie: Vertaling: Projectleiding: Vormgeving: Bureauredactie: Drukwerk:

Ton van der Heiden, Lionel Kole, Dook Kopmels, Ban Har Yeap AVB, Amstelveen Projectbureau Bloom (Angelique van der Pluijm) EersteHulpBijDesign (Ilona Verheije) June Projecten (Lars Hendriks) FingerPrint, Moorsele (België)

Oorspronkelijke titel: Bar Modeling: A Problem-solving Tool. Een impressum van Marshall Cavendish International (Singapore) Private Limited, Times Centre, 1 New Industrial Road, Singapore 536196. © 2010 Marshall Cavendish International (Singapore) Private Limited. This Dutch edition licensed to Bazalt Publishing. All Rights reserved. No part of this publication may be reproduced or transmitted in any form or by any means, or stored in any retrieval system or any nature without the prior written permission of Marshall Cavendish International (Singapore) Private Limited. Marshall Cavendish is not responsible for the quality of the translation. ISBN 978-94-6118-092-6 Bazalt Educatieve Uitgaven 1e druk 2011 R Werken met het strookmodel, Bazalt Educatieve Uitgaven 2011 Niets uit deze uitgave mag worden gereproduceerd of doorgegeven in welke vorm dan ook zonder schriftelijke toestemming van Bazalt. Voor het bestellen van meer exemplaren of informatie over workshops, trainingen en implementatieondersteuning aansluitend bij deze uitgave, kunt u terecht bij onderstaande organisaties. Bazalt Postbus 351 4380 AJ Vlissingen telefoon (0118) 480880 fax (0118) 480900 email: [email protected]

HCO Postbus 53509 2505 AM Den Haag telefoon (070) 4482828 fax (070) 4482829 email: [email protected]

Voorwoord

5

Hoofdstuk 1 Het strookmodel

7

Het strookmodel: een introductie Het strookmodel en rekenkundige verhaalopgaven Het strookmodel en algebraïsche verhaalopgaven Leren van research Research: Toepassing van het strookmodel in Singaporese scholen

8 10 11 13 14

Hoofdstuk 2 Deel-geheelmodel

15

Deel-geheelmodel: een introductie Deel-geheelmodellen en discrete hoeveelheden Leren in de praktijk Deel-geheelmodellen en continue hoeveelheden Uitdagende deel-geheelsituaties Leren van theorie Oplossingen

16 17 20 21 28 34 35

Hoofdstuk 3 Vergelijkingsmodellen

39

Vergelijkingsmodellen: een introductie Additief vergelijkingsmodel Multiplicatieve vergelijkingsmethode Additieve- en multiplicatieve vergelijkingsmodellen Leren in de praktijk Takenlijst Vergelijkingsmodellen met breuken, verhoudingen en procenten Leren van theorie Leren van research Oplossingen

40 43 58 72 76 77 81 92 94 97

Hoofdstuk 4 ‘Voor-na’ modellen

105

Basis ‘voor -na’ modellen ‘Voor -na’ modellen: breuken ‘Voor -na’ modellen: procenten ‘Voor -na’ modellen: meer dan één hoeveelheid Leren van theorie Leren van research Leren in de praktijk Oplossingen

106 112 120 124 131 132 134 136

Werken met het strookmodel

Hoofdstuk 5 Geavanceerde vaardigheden met het strookmodel

139

De strook verplaatsen De strook knippen De strook knippen en verplaatsen Alles samenbrengen Leren van research Leren van theorie Leren in het veld Oplossingen

140 141 156 163 167 171 172 174

Literatuur

176

Index

178

Over de auteur

180

Ook interessant voor u

182

5

Voorwoord Dit boek is geschreven voor mensen in de onderwijspraktijk die bewust bezig zijn met rekenonderwijs: leraren, rekencoördinatoren, rekencoaches, intern begeleiders, onderwijsadviseurs, enzovoort. Centraal staat het werken met het strookmodel: gereedschap voor het visualiseren en oplossen van rekenopgaven. Leerlingen leren werken met het strookmodel. Dit is één van de factoren die het succes verklaren van de rekendidactiek uit Singapore. Het boek is geschreven voor leraren die het ‘hoe en waarom’ van het strookmodel willen kennen en dieper in willen gaan op de achterliggende didactiek. Het strookmodel is een visuele probleemoplossende heuristiek die helpt ook moeilijkere rekenopgaven goed op te lossen en tevens het fundament legt voor algebraïsch denken. Dit boek hanteert een inductieve aanpak, zodat lezers het gebruik van modellen ontdekken en gaan begrijpen. Dit boek is geschreven als gids en als bronnenboek voor het oefenen van het strookmodel bij het oplossen van rekenopgaven, met het accent op verhaalopgaven. In het eerste hoofdstuk krijgen lezers een korte inleiding in het werken met het strookmodel. In de volgende hoofdstukken ontdekken lezers de verschillende soorten strookmodellen en krijgen ze de kans ermee te oefenen: te beginnen met het basale deel-geheelmodel tot de meer uitdagende opgaven waarbij in één opgave meerdere soorten modellen worden gebruikt. Elk nieuw concept wordt ingeleid met verschillende voorbeelden en gevolgd door begeleide oefeningen en zelfstandige oefeningen. Tips en hints zorgen voor verankering van de kennis en fungeren als richtlijn bij het maken van de verhaalopgaven. Daarnaast krijgen lezers inzicht in de theoretische onderbouwing van het strookmodel op basis van onderzoek dat is uitgevoerd door onderzoekers met ervaring op dit gebied. Ook leren de lezers hoe het werken met het strookmodel op verschillende niveaus in de groep kan worden geïntroduceerd. Dr. Ban Har Yeap is de internationaal hoog aangeschreven expert op het terrein van de Singapore rekendidactiek. We vinden het fijn dat hij en de mensen van de uitgever, Marshall Cavendish, meegedacht hebben over het tot stand komen van deze Nederlandstalige versie. In Bazalt Educatieve Uitgaven werken HCO en RPCZ aan het beschikbaar krijgen van de zoveel opbrengst genererende Singapore rekendidactiek voor het onderwijs in Nederland en Vlaanderen. We zijn blij dat we - naast de rekenmethode Rekenwonders en de training voor leraren Singapore Rekenprofessional - nu ook dit praktische boek te kunnen presenteren aan de mensen in het onderwijs.

Dook Kopmels Manager Bazalt Educatieve Uitgaven

46

Hoofdstuk 3

Vergelijkingsmodellen

Los de verhaalopgave op met behulp van het getekende model.

47

Maak de gegeven modellen af en los de verhaalopgaven op.

Oefenopgave SPAARGELD

Oefenopgave KNIKKERS

Kris begint op maandag met sparen. Elke dag spaart ze € 2 meer dan de dag ervoor. Op de vrijdag van dezelfde week heeft ze € 35 bij elkaar gespaard. Welk bedrag had Kris op woensdag gespaard?

Marianne heeft 9 knikkers minder dan Lieke. Samen hebben ze 35 knikkers. Bereken het aantal knikkers dat Marianne heeft. 9

Maandag

Lieke Dinsdag

35 Marianne

Woensdag ? Donderdag Vrijdag

> Ziet u dat hier het ‘meer dan’ en ‘minder dan’-concept wordt toegepast?

Antwoord: 13 knikkers

Antwoord: € 7

96

Hoofdstuk 3 1


97

Oplossingen Begeleide oefenopgave KNIKKERS (p. 46)

Zelfstandige oefenopgave MAMA, PAPA EN BORIS (p. 48) 9 Leeftijd van Boris

Aantal knikkers van Marianne

28

35 Aantal knikkers van Lieke

?

Leeftijd van mama 28

2 eenheden = 35 – 9 = 26 1 eenheid = 26 ÷ 2 = 13 Lieke heeft 13 knikkers.

84

4

Leeftijd van papa

Inzichten Het is niet verrassend dat minder dan de helft van de leerlingen uit groep 5 ervoor koos het strookmodel te gebruiken. Verhaalopgaven in groep 3 en groep 4 kunnen vaak worden opgelost door direct een rekenkundige opgave te noteren met betrekking tot een van de vier basisbewerkingen. Veel leerlingen zien niet het nut van het tekenen van modellen. Voor uitdagende opgaven waarin meerdere stappen gezet moeten worden, wordt echter het nut van het strookmodel snel duidelijk. Het strookmodel is vooral nuttig voor zwakkere leerlingen die anders dergelijke opgaven niet succesvol zouden kunnen oplossen. Nesher (1992) rapporteerde over onderzoeken met Israëlische leerlingen waaruit naar voren kwam dat: (a) leerlingen die zwakker zijn in wiskunde, meer geneigd zijn diagrammen te gebruiken bij het oplossen van moeilijke opgaven, (b) leerlingen geneigd zijn diagrammen te gebruiken bij het oplossen van lastige opgaven, en (c) leerlingen die diagrammen gebruiken, vaak meer succesvol zijn. De impact wordt meer duidelijk bij lastige opgaven.

3 eenheden = 84 - 28 - 32 = 24 1 eenheid = 24 ÷ 3 = 8 Boris is 8 jaar oud. Mama is 36 jaar oud.

Begeleide oefenopgave SPAARGELD (p. 47)

Maandag

Zelfstandige oefenopgave GROEP (p. 51)

€2 Dinsdag

28

€2 €2

Aantal jongens ?

Woensdag

?

€35 Aantal meisjes

€2 €2 €2 14 Donderdag

Het rekenwiskundige onderwijs in Singapore wordt gekenmerkt door goed presterende tot gemiddelde presterende leerlingen. Bijvoorbeeld, 40% van de leerlingen in zowel groep 6 als in het tweede jaar VO bereikte het Advanced International Benchmark in de Trends in International Mathematics and Science Study (TIMSS). De internationale medianen zijn respectievelijk 5% en 2% voor groep 6 en het tweede jaar VO. In de nationale test die wordt afgenomen in groep 8 behaalden 4 op de 10 leerlingen in Singapore de hoogst mogelijke score. Waardoor kunnen gemiddelde leerlingen presteren op een hoog niveau? Strategieën zoals het strookmodel hebben er zonder twijfel aan toe bijgedragen dat uitdagende wiskunde toegankelijk wordt voor gemiddelde leerlingen.

€2 €2 €2 €2 Vrijdag

€ 2 x 10 = € 20 5 eenheden = € 35 - € 20 = € 15 1 eenheid = € 15 ÷ 5 = € 3 Chris heeft € 7 gespaard op woensdag.

Aantal meisjes = 28 + 14 = 42 Aantal kinderen = 28 + 42 = 70 Er zijn 70 kinderen in de groep.

Hoofdstuk 3

Werken met het strookmodel

39

3 k u t s n d e f l o l o H ode m s g n lijki

e g r e V "…Research heeft zich gefocust op de meest moeilijke typen vergelijkingsopgaven, zoals ‘Piet heeft 9 appels. Hij heeft 3 appels meer dan Connie’. Hoeveel appels heeft Connie?” (Verschaffel, Greer & De Corte, 2007, p. 583)

Samenvatting

38

Er zijn twee typen vergelijkingssituaties, te weten: additieve vergelijking en multiplicatieve vergelijking*. Dit hoofdstuk richt zich op verhaalopgaven die gaan over vergelijkingssituaties. *

Additief: meer/minder, multiplicatief: zoveel keer meer

• Vergelijkingsmodellen: een introductie • Additief vergelijkingsmodel • Multiplicatief vergelijkingsmodel • Additieve en multiplicatieve vergelijkingsmodellen • Vergelijkingsmodellen: breuk, verhouding en procent

40

Hoofdstuk 3


Vergelijkingsmodellen: een introductie

41

Oplossing voorbeeldopgave SCHELPEN

In situaties waarin vergelijkingsmodellen voorkomen, wordt een hoeveelheid vergeleken met een andere hoeveelheid. Laten we eens kijken naar twee voorbeelden van dergelijke situaties.

Dit is een basis vergelijkingsmodel. 3 Schelpen van Jens

Voorbeeldopgave SCHELPEN

15 Schelpen van Kim

Jens heeft 3 schelpen meer dan Kim. Samen hebben Jens en Kim 15 schelpen. Hoeveel schelpen heeft Jens?

Deze opgave gaat over discrete hoeveelheden.

Voorbeeldopgave GELD

Hieronder staan twee manieren om dit model te gebruiken voor het berekenen van het aantal schelpen dat Jens heeft. Methode 1: 3

Lars heeft 3 keer zoveel geld als Mees. Samen hebben Lars en Mees € 120. Hoeveel geld heeft Lars?

Deze opgave gaat over continue hoeveelheden.

Schelpen van Jens 15 - 3

> Hier is

een eenheid.

Schelpen van Kim

In de Opgave ‘Schelpen’ wordt het aantal schelpen dat Jens heeft, vergeleken met het aantal schelpen dat Kim heeft. In de Opgave ‘Geld’ wordt de hoeveelheid geld van Lars, vergeleken met de hoeveelheid geld van Mees. Hier zien we dat de eerste opgave een voorbeeld van additieve vergelijking is en de tweede opgave van multiplicatieve vergelijking.

Bij additieve vergelijking is één hoeveelheid een bepaalde hoeveelheid meer of minder dan een andere hoeveelheid. Het model rechts laat een situatie zien waarin B 3 meer is dan A.

2 eenheden = 15 – 3 2 eenheden = 12 1 eenheid = 12 ÷ 2 = 6 Kim heeft 6 schelpen. Dus Jens heeft 9 schelpen. Methode 2:

A

3

B

3

Schelpen van Jens 3

Bij multiplicatieve vergelijking is één hoeveelheid een bepaald aantal keer de andere hoeveelheid. Het model rechts laat een situatie zien waarin B 3 keer zoveel is als A.

A

15 + 3 Schelpen van Kim 3

B

Een veel gemaakte fout die leerlingen maken, is dat ze ‘B is 3 meer dan A’ en ‘B is 3 keer zoveel als A’ verkeerd interpreteren. Het strookmodel helpt de leerlingen dit soort misstappen voorkomen.

2 eenheden = 15 + 3 2 eenheden = 18 1 eenheid = 18 ÷ 2 = 6 Jens heeft 9 schelpen, dus Kim heeft 6 schelpen.

Laten we nu de Opgave ‘Schelpen’ en de Opgave ‘Geld’ oplossen met behulp van de vergelijkingsmodellen.

> Hier is

een eenheid.

42

Hoofdstuk 3


43

Additief vergelijkingsmodel

Oplossing voorbeeldopgave GELD Dit is een basis vergelijkingsmodel.

Voorbeeldopgave STICKERS

Mees

Nassim heeft 24 stickers. Hij heeft 5 stickers meer dan Sam. Hoeveel stickers heeft Sam?

€ 120 Lars

Stap 1 4 eenheden = € 120 1 eenheid = € 120 ÷ 4 = € 30

> Hier is

> Deze opgave gaat over een vergelijking tussen twee discrete hoeveelheden: het aantal stickers dat Nassim en Sam elk hebben.

een eenheid.

Mees heeft € 30 Lars heeft € 90 Denkt u dat de situaties die gaan over additieve vergelijking en de situaties die gaan over multiplicatieve vergelijking, zich op verschillende moeilijkheidsniveaus bevinden voor basisschoolleerlingen? Waarom?

representeert het aantal stickers dat Sam heeft.

De stickers van Sam

Stap 2 > Nassim heeft 5 stickers meer dan Sam, dus de strook die het aantal stickers representeert dat Nassim heeft, is 5 eenheden langer dan de strook die het aantal van Sam representeert. 5 De stickers van Nassim

Stap 3 > Geef nu op het model het aantal stickers weer dat Nassim heeft. ?

5

De stickers van Nassim 24

Dus, Sam heeft 19 stickers.

staat voor 24 – 5 = 19

Laten we het controleren. 19 + 5 = 24

44

Hoofdstuk 3


Voorbeeldopgave GELD DELEN

Twee kernconcepten in de additieve vergelijkingsmodellen zijn de concepten ‘meer dan’ en ‘minder dan’.

Abel heeft € 8 meer dan Sara. Tessa heeft € 6 minder dan Abel. Ze hebben met z’n drieën in totaal € 76. Wat is het geldbedrag dat elk van hen heeft?

In de Opgave ‘Geld delen’ (p. 44) zien we het ‘meer dan’-concept waar we de geldbedragen die Abel en Sara elk hebben, met elkaar vergelijken. Abel heeft € 8 meer dan Sara. €8

Stap 1

Abel

> Deze opgave gaat over een vergelijking van drie continue hoeveelheden: de hoeveelheid geld die Abel, Sara en Tessa elk hebben.

Sara

> Teken eerst het model en schrijf de hoeveelheden op de juiste plaats in het model. €8

We zien het ‘minder dan’-concept als we het geldbedrag van Abel en het geldbedrag van Tessa met elkaar vergelijken. Tessa heeft € 6 minder dan Abel.

Abel Sara

€8

€ 76 Abel

Tessa Tessa

€6

Stap 2

€2 €6 €8

> Kijk vervolgens hoe het model vereenvoudigd kan worden.

Abel Sara

€ 76

Tessa €2

Stap 3

€8

Abel Sara

€ 76 - € 8 - € 2 = € 66

Tessa ?

45

€2

Dus, staat voor 66 ÷ 3 = €22 Sara heeft € 22, Abel heeft € 30 en Tessa heeft € 24.

Laten we controleren: €22 + €30 + €24 = €76

46

Hoofdstuk 3



47

Maak de gegeven modellen af en los de verhaalopgaven op.

Oefenopgave SPAARGELD

Oefenopgave KNIKKERS

Kris begint op maandag met sparen. Elke dag spaart ze € 2 meer dan de dag ervoor. Op de vrijdag van dezelfde week heeft ze € 35 bij elkaar gespaard. Welk bedrag had Kris op woensdag gespaard?

Marianne heeft 9 knikkers minder dan Lieke. Samen hebben ze 35 knikkers. Bereken het aantal knikkers dat Marianne heeft. 9

Maandag

Lieke Dinsdag

35 Marianne

Woensdag ? Donderdag Vrijdag


Antwoord: 13 knikkers

Antwoord: € 7

48

Hoofdstuk 3


Oefenopgave MAMA, PAPA EN BORIS

49

In verhaalopgaven waarin additieve vergelijkingsmodellen worden gebruikt, is het de bedoeling de waarde van een eenheid te vinden. In de corresponderende algebraïsche vergelijkingen hieronder is dat het equivalent van het berekenen van de waarde van x.

Mama is 28 jaar ouder dan Boris. Mama is 4 jaar jonger dan papa. Samen zijn ze 84 jaar oud. Hoe oud is mama?

Opgave

Begeleide oefenopgave ‘Knikkers’ (p.46)

Leeftijd van Boris 28 Leeftijd van mama

Corresponderende algebraïsche vergelijking

Model

9

2x + 9 = 35

Lieke 35

26

Marianne ?

Leeftijd van papa

Begeleide oefenopgave ‘Spaargeld’ (p.47)

5x + 20 = 35

Maandag €2 Dinsdag €2€2 € 35

Woensdag

€ 15

€2€2€2 Donderdag €2€2€2€2 Vrijdag

Begeleide oefenopgave ‘Mama, papa en Boris’ (p.48)

3x + 60 = 84

Leeftijd van Boris 28 Leeftijd van mama

84 28


Antwoord: 36 jaar

Leeftijd van papa

4

24

50

Hoofdstuk 3


In het strookmodel kunnen de leerlingen duidelijk onderscheid maken tussen de onbekenden en de constanten.

51

Los de verhaalopgaven op met behulp van modellen.

x

Bijvoorbeeld: in de Opgave ‘Mama, papa en Boris’ (p. 48) is het eenvoudiger om de algebraïsche vergelijking 3x + 60 = 84 af te leiden van het vergelijkingsmodel dan via de conventionele methode: x + (x + 28) + [(x + 28) + 4] = 84.

Leeftijd van Boris

Oefenopgave GROEP 28

x Leeftijd van mama

84 28

x

4

Er zijn 28 jongens in een groep. Er zijn 14 meisjes meer dan jongens. Hoeveel leerlingen zijn er in totaal in de groep?

Leeftijd van papa

Het strookmodel helpt de leerlingen de procedures te begrijpen die ze uitvoeren tijdens algebraïsche manipulatie. x

Bijvoorbeeld in de Opgave ‘Knikkers’ (p. 46) is het eenvoudig te zien waarom 2x + 9 = 35…

9

Lieke 35 Marianne x

x

…hoe deze vergelijking vereenvoudigd kan worden om het volgende te verkrijgen: 2x = 35 – 9 of 2x = 26…

9

Lieke 35 - 9 = 26 Marianne x

x

…en waarom 2x = 26 vereenvoudigd kan worden om het volgende te krijgen: x = 26 ÷ 2 of x = 13

Lieke 26 Marianne x

Het strookmodel stelt jongere leerlingen in staat zich bezig te houden met algebraïsch denken alvorens ze in staat zijn om zich met formele algebraïsche manipulatie bezig te houden. Het gebruik van de rechthoekige stroken als visualisatiehulpmiddel dient als een goede basis voor het leren van formele algebra.

> In dit soort opgaven hoeven de leerlingen zich niet bezig te houden met onbekende waarden. Bijvoorbeeld: het aantal meisjes kan worden gevonden door het uitvoeren van eenvoudige rekenkundige procedures met de bekende hoeveelheden. Een dergelijke opgave wordt ook wel een rekenkundige opgave genoemd. > Teken eerst een rechthoekige strook om de bekende hoeveelheid te representeren, zoals het aantal jongens. > Kunt u een andere strook tekenen die de andere hoeveelheid representeert - het aantal meisjes?

Antwoord: 70 leerlingen

52

Hoofdstuk 3


Oefenopgave BIJEENKOMST

53

Oefenopgave OPEENVOLGENDE EVEN GETALLEN 10, 12, 14 en 16 zijn opeenvolgende even getallen die bij elkaar opgeteld 52 zijn. Vier andere opeenvolgende even getallen zijn opgeteld 92. Wat is het grootste getal van die vier getallen?

Er zijn 8 vrouwen meer dan mannen op de bijeenkomst. Er zijn in totaal 20 mensen op de bijeenkomst. Hoeveel mannen zijn er?

> In tegenstelling tot de vorige opgave moeten de leerlingen hier wel werken met de onbekende waarden. Een dergelijke opgave wordt ook wel een algebraïsche opgave genoemd. > Het strookmodel is in het bijzonder handig bij het oplossen van algebraïsche opgaven. > Teken een rechthoekige strook om de kleinste van de vier getallen te representeren. > Begin met het tekenen van een rechthoekige strook om een van de twee bekende waarden te representeren: het aantal vrouwen of het aantal mannen.

Antwoord: 6 mannen

> Hoe kunt u de andere drie getallen representeren in het model?

Antwoord: 26

54

Hoofdstuk 3


Oefenopgave IN BALANS Bereken het gewicht van

55

Oefenopgave DRIE VRIENDEN Hoeveel geld heeft elk persoon?

.

Wij drieën hebben in totaal €45.

Jack

Ik heb €12 meer dan Jack.

Ik heb €15 minder dan Kasper.

Kasper Linda

> Teken een strook om het geldbedrag dat één van hen heeft, te representeren. > Relateer de stroken voor de andere twee geldbedragen aan de al getekende strook.

> Welke is zwaarder, A of B?

Antwoord: 6 kg

Antwoord: Jack heeft € 12, Kasper heeft € 24 en Linda heeft € 9

56

Hoofdstuk 3


In de Opgave ‘Opeenvolgende even getallen’ (p. 53) is het model voor elk groter getal eenvoudig te tekenen: elk getal is 2 meer dan het voorgaande getal.

In de Opgave ‘Drie vrienden’ (p. 55) kan het zijn dat er extra stappen zijn gezet bij het vereenvoudigen van het model om een eenheid te vinden. Bijvoorbeeld: een leerling kan beginnen met het vergelijken van de bedragen die Jack en Kasper elk hebben...

Kleinste getal

57

Jack €12

2

Kasper €15

2 2

... en vervolgens het bedrag tekenen dat Linda heeft.

2 2 2

Hier worden twee eenheden verkregen:

en

Linda

. €3

Grootste getal

Er is een extra stap nodig om het model te vereenvoudigen:

Jack €3 €12

In de Opgave ‘In balans’ (p. 54) is het weliswaar eenvoudig om de modellen te tekenen die laten zien dat het gewicht van A 3 kg meer is dan dat van B:

> We beginnen hier met het bedrag dat Jack heeft,

Kasper

maar uiteindelijk gebruiken we het bedrag dat

€15

Linda heeft als de eenheid

3 kg

Linda

A B

maar het is lastiger om modellen te tekenen die laten zien dat het gewicht van A 1 kg meer is dan dat van C.

Een andere leerling begint wellicht met het vergelijken van de bedragen die Linda en Kasper elk hebben...

€15

> Hier beginnen we met het bedrag dat Linda 3 kg

Linda

Kasper

heeft en gebruiken dat als de eenheid €3 €12

A

... en tekent vervolgens het bedrag dat Jack heeft.

Jack

C 2 kg ?

Hier zijn de eenheden gelijk en is geen additionele stap vereist.

Maak de eenheid gelijk.

58

Hoofdstuk 3


59

Multiplicatieve vergelijkingsmethode Voorbeeldopgave VIER GROEPEN Er zijn vier groepen leerlingen in een hal. In elke groep zijn twee keer zoveel jongens als meisjes.

c) In groep C zijn 12 leerlingen. Hoeveel meisjes zijn er in groep C?

a) In groep A zijn 12 meisjes. Hoeveel jongens zijn er in groep A?

jongens 12 meisjes

?

?

jongens meisjes

Dus, staat voor 12 ÷ 3 = 4 Er zijn 4 meisjes in groep C.

12

2 x 12 = 24

d) In groep D zijn 12 jongens meer dan meisjes. Hoeveel leerlingen zijn er in groep D?

Er zijn 24 jongens in groep A. jongens

b) In groep B zijn 12 jongens. Hoeveel leerlingen zijn er in groep B?

? meisjes

12

12

jongens ? meisjes

Dus, 3 x 12 = 36

staat voor 12.

Er zijn 36 leerlingen in groep D. Dus, 3 x 6 = 18

staat voor 12 ÷ 2 = 6

Er zijn 18 leerlingen in groep B.

60

Hoofdstuk 3


Voorbeeldopgave SPEELGOED

Los de verhaalopgaven op met behulp van de getekende modellen.

Oefenopgave TWEE GETALLEN

Een computerspel kost twee keer zoveel als een knuffel. De knuffel kost twee keer zoveel als een bordspel. Het speelgoed samen kost € 224. Bereken de prijs van de knuffel.

Het grotere getal is 3 keer zo groot als het kleinere getal.

Ik denk aan twee gehele getallen.

bordspel ? knuffel computerspel

1 eenheid = € 224 ÷ 7 = € 32 2 eenheden = € 32 x 2 = € 64

61

€ 224

a) Als het kleinere getal 36 is, wat is dan de som van de twee getallen?

grotere getal ? kleinere getal

De knuffel kost € 64 36

b) Als het grotere getal 36 is, wat is dan de som van de twee getallen?

36 grotere getal ? kleinere getal

c) Als het verschil tussen de twee getallen 36 is, wat is dan het grotere getal? ? grotere getal kleinere getal

36

62

Hoofdstuk 3


63

Completeer het model en los de verhaalopgave op.

Oefenopgave SOM VAN DRIE GETALLEN

d) Als de som van de twee getallen 36 is, wat is dan het kleinere getal?

grotere getal 36 kleinere getal

De som van drie getallen is 96. Het grootste getal is 3 keer zo groot als het kleinste getal. Het middelste getal is 2 keer zo groot als het kleinste getal. Vind de waarde van het grootste getal.

? grootste getal

Antwoord: a) 144, b) 48, c) 54, d) 9

middelste getal kleinste getal

Antwoord: 48

64

Hoofdstuk 3


65

Voorbeeldopgave VINCENTS GETALLEN

Los de verhaalopgave op met behulp van modellen.

Oefenopgave BUS Ik denk aan een getal.

Er zijn 3 keer zoveel meisjes als jongens in de bus. Er zijn 2 keer zoveel kinderen als volwassenen in de bus. Er zijn in totaal 36 mensen in de bus. Hoeveel meisjes zijn er in de bus?

Mijn getal is 3 keer het getal van Vincent.

Mijn getal is 5 keer het getal van Vincent.

Vincent

Wytze Sabine

Het verschil tussen het getal van Sabine en Wytze is 70. Vind het verschil tussen het getal van Vincent en het getal van Sabine?

Getal van Vincent ? Getal van Sabine 70 Getal van Wytze

Uit het model valt af te lezen dat het verschil tussen het getal van Sabine en Vincent hetzelfde is als het verschil tussen het getal van Wytze en Sabine, en dat is 70. Het verschil is 70 .

> Er zijn drie hoeveelheden in deze opgave: het aantal jongens, het aantal meisjes en het aantal volwassenen. > Hoe past het aantal kinderen in het model?

Antwoord: 18 meisjes

> Of: = 70 ÷ 2 = 35 Het getal van Vincent is 35. Het getal van Sabine is 35 x 3 = 105. Het verschil is 105 – 35 = 70.

66

Hoofdstuk 3



Completeer het model en los de verhaalopgave op.

Oefenopgave KOFFER

Oefenopgave JHEMILA EN BRAM

Ik ben 3 keer zo oud als Bram.

67

Nadat Meike haar kleding in een koffer heeft ingepakt, weegt deze 20 kg. Naomi pakt haar kleding in een identieke koffer in en deze weegt 12 kg. Meike’s kleding weegt twee keer zoveel als de kleding van Naomi. Wat is het gewicht van de koffer?

Ik ben 6 jaar jonger dan Jhemila.

Meike Naomi Jhemila

Bram Wat is het verschil in gewicht tussen de ingepakte koffer van Meike en de ingepakte koffer van Naomi?

Hun moeder is 4 keer zo oud als Jhemila. Wat is de leeftijd van hun moeder?

20 kg – 12 kg = 8 kg Waar is de 8 kg in het model?

Leeftijd van Bram Leeftijd van Jhemila 6

> Kunt u uitleggen waarom de gearceerde delen gelijk zijn? Meike Naomi

Antwoord: 36 jaar

Antwoord: 4 kg

68

Hoofdstuk 3


69

Oefenopgave OPPERVLAKTE

Los de verhaalopgaven op met behulp van modellen.

Oefenopgave PAKJES

De lengte van een rechthoek is 5 keer z’n breedte. De omtrek is 60 cm. Vind de oppervlakte?

Pakje A is 4 keer zo zwaar als pakje B. Hoe zwaar is pakje C?

> Is het eenvoudiger om te beginnen met het tekenen van een strook om het gewicht van pakje A of het gewicht van pakje B te representeren?

Antwoord: 44 kg

Antwoord: 125 cm2

70

Hoofdstuk 3


In multiplicatieve vergelijkingsmodellen kan de bekende hoeveelheid, hieronder gerepresenteerd door 120, een van de volgende zijn:

71

In de Opgave ‘Koffer’ (p. 67) worden zowel het deel-geheelmodel als het vergelijkingsmodel gerepresenteerd. gewicht van gewicht van de koffer de kleding

Bekende hoeveelheid

Dit is het deel-geheelmodel :

Model

Een van de hoeveelheden

Meike totaalgewicht

120 Hoeveelheid A

Meike

Dit is het vergelijkingsmodel : Naomi

Hoeveelheid B

Hoeveelheid A

Kunt u het deel-geheelmodel en het vergelijkingsmodel identificeren in de Opgave ‘Pakjes’ (p. 68)?

Hoeveelheid B 120

Som van de hoeveelheden

Dit is het vergelijkingsmodel : Pakje A is 4 keer zo zwaar als pakje B.

A B

Hoeveelheid A 120

gewicht van C

Hoeveelheid B

gewicht van A

Dit zijn de deel-geheelmodellen: A en C wegen 156 kg. Verschil tussen de hoeveelheden

totaalgewicht

120 Hoeveelheid A

gewicht gewicht van C van B

Hoeveelheid B

B en C wegen samen 72 kg. totaalgewicht

72

Hoofdstuk 3


Additieve- en multiplicatieve vergelijkingsmodellen


Oefenopgave DRIE KOFFERS

Voorbeeldopgave DE LEEFTIJD VAN DENNIS Farid is 3 jaar jonger dan Julia. Dennis is 3 keer zo oud als Julia. Julia en Farid zijn samen 15 jaar jonger dan Dennis. Hoe oud is Dennis?

73

Mijn koffer weegt 6 kg meer dan de koffer van Amira.

Mijn koffer is twee keer zo zwaar als de koffer van Jim.

Leeftijd van Farid

> Additieve vergelijking Farid is 3 jaar jonger dan Julia.

3 Leeftijd van Julia 3

3

3

> Multiplicatieve vergelijking Dennis is 3 keer zo oud als Julia.

Leeftijd van Dennis

Amira

Pas het model aan om de totale leeftijd van Julia en Farid gemakkelijker te kunnen vergelijken met de leeftijd van Dennis.

3 Leeftijd van Julia Leeftijd van Farid 3

3 3

Mats

Jim

De drie koffers wegen samen 61 kg. Vind het gewicht van de zwaarste koffer?

Koffer van Jim Koffer van Amira

61 kg

Leeftijd van Dennis Koffer van Mats 15

Dus, = 15 – 6 = 9 3 x 9 + 9 = 36 Dennis is 36 jaar oud.

6 kg

> Combineer eerst de stroken die de leeftijd van Julia en Farid representeren en plaats de sectie met de bekende waarde aan het eind van strook. Pas nu de strook die de leeftijd van Dennis representeert zodanig aan dat het linkerstuk gelijk is aan de gecombineerde strook erboven.

Antwoord: 28 kg

74

Hoofdstuk 3


75

Oefenopgave MAALTIJD


Oefenopgave EXCURSIE Er gaan 5 jongens meer dan meisjes mee op een excursie. Er gaan twee keer zoveel leraren als meisjes mee op de excursie. Als we de meisjes niet meetellen, gaan er 29 personen mee. Hoeveel personen gaan er in totaal mee op de excursie?

Antwoord: 37 personen

De prijs van een broodje is 50 cent meer dan de prijs van een drankje. De prijs van een pizza is twee keer de prijs van een drankje. Twee pizza’s kosten € 1,90 meer dan een drankje en een broodje samen. Wat kost een drankje?

Antwoord: € 1,20

76

Hoofdstuk 3


77

Takenlijst Groepen 3 en 4 1

Leren praktijk in de

2

Janick heeft 9 potloden. Jamie heeft 5 potloden. Welk model is van Janick? Welk model is van Jamie?

A

Karen heeft 3 boeken meer dan Laura. Welk model is van Karen? Welk model is van Laura?

A

B

B

Groep 1-2 en groep 3 Geef de leerlingen twee staven Snap Cubes (bijvoorbeeld een 7-staaf en een 3-staaf). Vraag de leerlingen welke staaf meer blokjes heeft en hoeveel meer.

C D

Herhaal de procedure met staven van een andere lengtes (bijvoorbeeld een 5-staaf en een 4-staaf). Houd bij de resultaten bij in een tabel, zoals bijvoorbeeld hieronder is te zien. Is er een verschil in prestatie wanneer het verschil tussen het aantal Snap Cubes kleiner is? 7-staaf vs 3-staaf Student

Kan aangeven welke meer heeft

Kan benoemen hoeveel meer

3

5-staaf vs 4-staaf Kan aangeven welke meer heeft

Vraag de leerlingen om de twee hoeveelheden te combineren met de modellen die ze representeren. Sommige modellen zijn in proportie andere niet.

A B proportionele modellen

Is er een verschil tussen de prestaties van de leerlingen, als u de takenlijst verder afwerkt (p. 77)? Hoe verklaart u deze observaties?

A B

Kan benoemen hoeveel meer

4

Max heeft 5 snoepjes meer dan Myriam. A Welk model is van Max? Welk model is van Myriam? B

5

Nicole heeft 4 kaarten minder dan Nadia. Welk model is van Nicole? Welk model is van Nadia?

Groep 3 en 4

Niels heeft 10 munten. Mark heeft 7 munten. Welk model is van Niels? Welk model is van Mark?

X Y niet-proportionele modellen

A B

78

Hoofdstuk 3


79

Groep 1-2 tot en met groep 3 Er zijn verschillende typen 1-stap verhaalopgaven die gaan over additieve vergelijking.

1

Beide hoeveelheden zijn gegeven. Hun verschil is onbekend. a A

?

B b

2

Een van de hoeveelheden en hun verschil is gegeven. De andere hoeveelheid is onbekend. ? A

a

B b

A

?

a)

Tim heeft 8 munten. Susan heeft 5 munten. Wie heeft minder munten? Hoeveel minder munten?

b)

Tim heeft 8 munten. Susan heeft 5 munten. Wie heeft meer munten? Hoeveel meer munten?

Voorbeeldopgaven:

?

A

a

B ?

Voorbeeldopgaven: a)

Sebastiaan heeft 2 munten meer dan Marije. Samen hebben ze 8 munten. Hoeveel munten heeft Sebastiaan?

b)

Sebastiaan heeft 3 munten minder dan Marije. Samen hebben ze 9 munten. Hoeveel munten heeft Marije?

b

Zijn de opgaven van één categorie (1, 2 of 3) moeilijker dan die van een andere? Is er binnen dezelfde categorie een opgave die moeilijker is dan (één van) de andere(n)? Presenteer de opgaven verbaal aan leerlingen van groep 1-2 en groep 3.

a) Isa heeft 6 munten. Sander heeft 2 munten meer dan Isa. Hoeveel munten heeft Sander? b)

Isa heeft 6 munten. Sander heeft 2 munten minder dan Isa. Hoeveel munten heeft Sander?

b

B

Beide hoeveelheden zijn onbekend. Hun verschil en de som zijn gegeven.

Voorbeeldopgaven:

c) Isa heeft 6 munten. Ze heeft 3 munten meer dan Ray. Hoeveel munten heeft Ray?

a

3

d) Isa heeft 6 munten. Ze heeft 3 munten minder dan Ray. Hoeveel munten heeft Ray?

Groepen 5 en 6 Vraag de leerlingen om additieve -en multiplicatieve vergelijkingsopgaven op te lossen. Observeer welke methoden ze gebruiken. Is er een verschil in resultaat van de leerlingen wat betreft: a) het soort opgave? b) de gebruikte methode?

80

3 Hoofdstuk 1


Vergelijkingsmodellen met breuken, verhoudingen en procenten

Groepen 6 en 7 Leer de leerlingen het strookmodel aan. Bednarz en Janvier (1996) duiden de onderstaande opgaven (1 tot en met 4) aan als rekenkundige verhaalopgaven:

1

3

Peter heeft € 4 meer dan Ariane. Ariane heeft € 8. Hoeveel heeft Peter?

2

Syed heeft € 3 minder dan Tim. Syed heeft € 9. Hoeveel heeft Tim?

4

Valerie heeft 3 keer zoveel geld als Vincent. Vincent heeft € 12. Hoeveel heeft Valerie?

7

Veerle heeft € 4 minder dan Ben. Samen hebben ze € 15. Hoeveel heeft Ben?

6

Koen heeft € 4 meer dan Mick. Samen hebben ze € 20. Hoeveel heeft Koen?

8

De zin: Jan heeft twee keer zoveel geld als Katja. kan ook op andere manieren worden uitgedrukt: Katja heeft half zoveel geld als Jan heeft. De geldbedragen die Jan en Katja elk hebben, staan in verhouding van 2 : 1. Katja heeft 50% van wat Jan heeft. In dit deel tekenen we vergelijkingsmodellen voor verhaalopgaven met breuken, verhoudingen en procenten.

Rachid heeft 3 keer zoveel geld als Yani. Rachid heeft € 9. Hoeveel heeft Yani?

en aan 5 en 8 als algebraïsche verhaalopgaven:

5

81

Sandra heeft 3 keer zoveel geld als Dave. Samen hebben ze € 24. Hoeveel heeft Sandra? Eddie heeft 3 keer zoveel geld als Farida. Farida heeft € 12 minder dan Eddie. Hoeveel heeft Eddie?

Voorbeeldopgave MARKT Op een markt zijn er half zoveel mannen als vrouwen. Het aantal volwassenen is een derde van het aantal kinderen. Er zijn 3 600 mensen op de markt. Hoeveel kinderen zijn er?

Aantal mannen Aantal vrouwen

3 600

Aantal kinderen ?

Zijn algebraïsche opgaven in het algemeen moeilijker dan rekenkundige opgaven? Is een bepaald soort rekenkundige vergelijkingsopgave moeilijker dan een andere?

1 eenheid = 3 600 ÷ 12 = 300 9 eenheden = 9 x 300 = 2 700 Er zijn 2 700 kinderen op de markt.

> Dit zijn vergelijkingsmodellen met breuken.

82

Hoofdstuk 3


Voorbeeldopgave UIEN EN WORTELEN 3

83


3

Oefenopgave CHOCOLAATJES

4 van de verkoop van uien is evenveel als 5 van de verkoop van wortelen. De verkoop van wortelen is € 240 meer dan de verkoop van uien. Wat is de totale verkoop van uien en wortelen?

Verkoop van uien ?

Het gewicht van een klein doosje chocolaatjes is gelijk aan een vijfde van het gewicht van een grote doos chocolaatjes. Het verschil in gewicht tussen een kleine doos chocolaatjes en een grote doos chocolaatjes is 200 gram. Wat is het gewicht van de grote doos chocolaatjes?

Verkoop van wortelen € 240

1 eenheid = € 240 9 eenheden = 9 x € 240 = € 2 160

Gewicht van kleine doos chocolaatjes Gewicht van grote doos chocolaatjes 200 g

De totale verkoop is € 2 160.

In de Opgave ‘Markt’ (p. 81) worden breuken (half, een derde) gebruikt om de relatie te beschrijven tussen de twee hoeveelheden. In de Opgave ‘Uien en wortelen’ hierboven worden geen breuken gebruikt om de relatie te beschrijven, maar worden breuken gebruikt om een deel van de hoeveelheden in de vergelijking te beschrijven.

Antwoord: 250 g

84

Hoofdstuk 3


85

Voorbeeldopgave BROERTJES LEE


Oefenopgave SPORTLES Tijdens een sportles zijn er twee keer zoveel leerlingen die basketballen dan leerlingen die voetballen. Het aantal leerlingen dat basketbalt, is een vierde van het aantal leerlingen dat honkbalt. Er zijn 84 leerlingen meer die honkballen dan leerlingen die voetballen. Hoeveel leerlingen basketballen?

Er zijn drie broers in de familie Lee. De verhouding van de leeftijd van het oudste broertje ten opzichte van dat van het jongste broertje is 4 : 1. De verhouding van de leeftijd van het middelste broertje ten opzichte van dat van het jongste broertje is 2 : 1. Het oudste broertje is 4 jaar ouder dan het middelste broertje. Hoe oud is het jongste broertje? 4 Oudste broertje Middelste broertje

2 eenheden = 4 jaar 1 eenheid = 4 jaar ÷ 2 = 2 jaar

Jongste broertje

Het jongste broertje is 2 jaar oud. > Dit zijn vergelijkingsmodellen met betrekking tot verhouding. > Kunt u uitleggen waarom 2 eenheden, 4 jaar representeren?

Voorbeeldopgave KIEZELSTEEN De verhouding van het aantal rode kiezelsteentjes ten opzicht van het aantal blauwe kiezelsteentjes ten opzichte van het aantal groene kiezelsteentjes in een vaas is 2 : 3 : 5. Er zitten 80 kiezelsteentjes in de vaas. Hoeveel rode kiezelsteentjes zijn er? > Er zijn drie hoeveelheden in deze opgave: het aantal leerlingen dat basketbalt, het aantal leerlingen dat voetbalt, en het aantal leerlingen dat honkbalt . > Probeer de opgave op te lossen door eerst een strook te tekenen dat het aantal leerlingen representeert dat basketbalt . > Probeer het nu nog een keer door een strook te tekenen dat een van de andere hoeveelheden representeert.

Rode kiezelsteentjes Blauwe kiezelsteentjes Groene kiezelsteentjes

80

10 eenheden = 80 1 eenheid = 80 ÷ 10 = 8

> Is er een verschil in uw uiteindelijke antwoord?

2 eenheden = 2 x 8 = 16 Antwoord: 24 leerlingen

86

Hoofdstuk 3


87

Oefenopgave TWEEMASTER


Oefenopgave COMPUTER EN PRINTER De verhouding van de prijs van een computer ten opzichte van de prijs van een printer is 4 : 1. De printer kost € 450 minder dan de computer. Wat is de prijs van de printer?

Er zijn 3 keer zoveel leerlingen in groep 8 als in groep 4 op de Tweemaster. De verhouding van groep 4-leerlingen ten opzichte van groep 6-leerlingen is 1 : 4. In groep 6 en groep 8 zitten in totaal 112 leerlingen. Vind het aantal leerlingen in groep 6.

Leerlingen groep 4

Welk model representeert 112?

Leerlingen groep 6

? Prijs van de printer

Leerlingen groep 8 Prijs van de computer € 450

Antwoord: € 150

Antwoord: 64 leerlingen

88

Hoofdstuk 3


89

Voorbeeldopgave TOERISTEN 1


Oefenopgave CHEMISCHE STOF

> Dit zijn vergelijkingsmodellen die gaan over procenten.

Een oplossing van 1,8 liter wordt gemaakt door drie chemische stoffen met elkaar te mengen. De verhouding van de hoeveelheid van chemische stof A ten opzichte van die van chemische stof B is 2 : 3. De verhouding van de hoeveelheid van chemische stof A ten opzichte van die van chemische stof C is 1 : 2. Bereken hoeveel van chemische stof A nodig is om de oplossing te maken.

Het aantal toeristen dat dit jaar een bezoek heeft gebracht aan een stad, is 75% van het aantal van vorig jaar. Vorig jaar waren er 120 000 toeristen. Hoeveel toeristen hebben dit jaar een bezoek gebracht aan de stad? 3

75% = 4

75 eenheden Dit jaar 100 eenheden Vorig jaar 120 000

100 eenheden = 120 000 1 eenheid = 120 000 ÷ 100 = 1 200 75 eenheden = 75 x 1 200 = 90 000 Dit jaar hebben 90 000 toeristen een bezoek gebracht aan de stad.

> Of: Dit jaar Vorig jaar 120 000

Antwoord: 0,4 liter

4 eenheden = 120 000 1 eenheid = 120 000 ÷ 4 = 30 000 3 eenheden = 3 x 30 000 = 90 000

90

Hoofdstuk 3


91

Oefenopgave SALARIS 2


a) Het salaris van Alvin is 20% meer dan dat van Theodore. Het salaris van Alvin is € 3 600. Bereken het salaris van Theodore.

Oefenopgave SALARIS 1 Pedro’s salaris van donderdag is 90% van zijn salaris van vrijdag. Zijn totale salaris van donderdag en vrijdag is € 76. Wat is Pedro’s salaris van vrijdag?

100 eenheden

20 eenheden

Salaris van Alvin Salaris van Theodore

90 eenheden

100 eenheden

Salaris van donderdag Salaris van vrijdag

b) Het salaris van Charlotte is 25% minder dan het salaris van Carly. Hun totale salaris is € 7 000. Bereken het verschil in hun salaris.

100 eenheden

100 eenheden Salaris van Carly € 7 000 Salaris van Charlotte 75 eenheden

> Of:

> Of: Salaris van Carly

Salaris van donderdag

€ 7 000 Salaris van Charlotte

Salaris van vrijdag

Antwoord: € 40

Antwoord: a) € 3 000 b) € 1 000

92

Hoofdstuk 3


93

Leren eorie van th Hoe kunnen jongere leerlingen kennismaken met algebraïsch denken nog voor ze toe zijn aan formele algebra?

Hij voerde ook aan dat de ‘tabel- en pijldiagram’ een pre-algebraïsche representatie is die minder abstract en daardoor meer toegankelijk voor jongere leerlingen is dan formele algebra.

Bij het bespreken van multiplicatieve structuren bepleit Vergnaud (1988, 1994) het gebruik van minder formele representaties om algebraïsch denken meer toegankelijk te maken voor jongere leerlingen. Hij introduceerde ‘tabel- en pijldiagrammen’ om de multiplicatieve opgaven te representeren.

Bij de introductie van het strookmodel op scholen in Singapore voor de aanpak van de moeilijkheden die leerlingen hadden met het oplossen van verhaalopgaven, voerde Kho (1987) aan dat “het strookmodel minder abstract is dan de algebraïsche methode en kan worden geïntroduceerd voordat de leerlingen leren om algebraïsche vergelijkingen op te lossen (p. 350)”. Sterker nog, leerlingen “zullen het gebruik van symbolen om hoeveelheden te representeren beter begrijpen als ze ervaring hebben met het gebruik van stroken om hoeveelheden te representeren in het strookmodel (p. 350)”.

Een opgave zoals: Eén zakje met snoep kost € 2.

Wat kosten 3 zakjes met snoep?

kan worden gerepresenteerd met behulp van een ‘tabel- en pijldiagram’ zoals hieronder: zakjes snoep x3

kosten

1

€2

3

?

x3

of een andere ‘tabel- en pijldiagram’ zoals hieronder: zakjes snoep 1 3

kosten x€2 x€2

€2 ?

Vergnaud (1994) betoogde dat de ‘tabel en pijl’-diagrammen nuttige conceptuele hulpmiddelen zijn: de verticale pijlen geven de verhoudingen aan en de horizontale pijlen representeren de functies.

94

Hoofdstuk 1 3

Werken Vergelijkingsmodellen met het strookmodel

Het werd duidelijk dat de algebraïsche Opgave ‘Cadeau’, (p. 94), waar de leerlingen niet direct konden starten met een berekening , maar moesten werken met onbekende waarden, moeilijk was.

Leren search van re

Vergelijkingssituaties maakten het probleem niet moeilijker dan een opgave met een deel-geheelsituatie. Zo losten 9 op de 10 leerlingen de Opgave ‘Buskaartjes’ (p.94) op de juiste wijze op.

Het onderzoek In een onderzoek (Poh, 2007) werd aan 331 leerlingen van een school in Singapore die in groep 5 startten, gevraagd om een aantal verhaalopgaven op te lossen, om te zien of de leerlingen het strookmodel zouden gebruiken en om te zien welke moeilijkheden ze zouden tegenkomen bij het gebruik van het strookmodel. Normaal gesproken wordt het strookmodel geïntroduceerd in groep 4. Verhaalopgaven in groep 3 en groep 4 betreffen 1-stap- en 2-staps verhaalopgaven.

Conclusies Hoe presteerden leerlingen die in groep 5 startten, op de verschillende soorten verhaalopgaven?

Verhaalopgave

Type

Facility index*

Deel dat het strookmodel gebruikte

Opgave KRALEN Een verpakking bevat 147 kralen. 32 kralen zijn wit en 51 kralen zijn rood. Al de andere kralen zijn geel. Hoeveel gele kralen zijn er?

Deel-geheelsituatie. 2-staps verhaalopgave

0,77

0,41

Opgave STICKER Nellie gaf haar beste vriendin 25 stickers. Ze heeft nu nog 45 stickers over. Hoeveel stickers had ze in het begin?

1

95

Deze uitkomsten komen overeen met die van een ander onderzoek dat is gedaan onder 436 leerlingen uit groep 5 en 116 leerlingen uit groep 7 op drie scholen in Singapore (Yeap, 2002). Uit dit andere onderzoek bleek dat verhaalopgaven met vergelijkingssituaties maar een fractie moeilijker werden gevonden dan die met deel-geheelsituaties. Uit onderzoeken die ergens anders waren gedaan, kwam echter vaak naar voren dat verhaalopgaven met vergelijkingssituaties significant moeilijker werden gevonden. Men kwam erachter dat meer dan de helft van de leerlingen bij aanvang van groep 5 ervoor koos het strookmodel niet te gebruiken. Zij die een goed model konden tekenen, hadden echter twee keer meer kans om een moeilijke opgave succesvol op te lossen. Bijvoorbeeld, in de uitdagende Opgave ‘Cadeau’ wisten 3 van de 4 leerlingen die een goed model konden tekenen, de opgave met succes op te lossen. Maar onder hen die het strookmodel niet gebruikten, had minder dan 1 op de 4 succes. Deze trend was consistent voor alle andere opgaven, ook al was het niet zo overduidelijk als bij de Opgave ‘Cadeau’. Interessant hier is dat dit in contrast is met een ander onderzoek dat werd gedaan met een kleinere groep leerlingen uit groep 7 op een school in Singapore (Goh, 2009). Uit dit onderzoek onder 28 leerlingen bleek dat een meerderheid van de leerlingen het strookmodel gebruikte om opgaven op te lossen met vergelijkingssituaties. Het is ook interessant te vermelden dat lage presteerders veel meer kans hadden uitdagende opgaven, zoals hieronder met succes op te lossen, als ze het strookmodel zouden gebruiken.

‘Voor-na’-situatie. 1-stap verhaalopgave

0,92

0,46

Opgave BUSKAARTJES Amber heeft 159 gebruikte buskaartjes. Seppe heeft 21 kaartjes minder dan Amber. Hoeveel kaartjes heeft Seppe?

Vergelijkingssituatie. 1-stap verhaalopgave Rekenkundige opgave

0,92

0,44

Opgave CADEAU Samen hebben John en Lisa € 35 betaald voor een cadeau. Als John € 5 meer heeft betaald dan Lisa, hoeveel heeft Lisa dan betaald?

Vergelijkingssituatie. 1-stap verhaalopgave Algebraïsche opgave

0,38

0,37

Facility index is het percentage leerlingen dat de opgave succesvol heeft opgelost.

May en Romy hadden in eerste instantie een gelijke hoeveelheid geld. Nadat May € 30 had uitgegeven en Romy € 60, had May drie keer zoveel geld over als Romy. Hoeveel geld had elk kind in eerste instantie?

96

Hoofdstuk 3 1


97

Oplossingen Begeleide oefenopgave KNIKKERS (p. 46)

Zelfstandige oefenopgave MAMA, PAPA EN BORIS (p. 48) 9 Leeftijd van Boris

Aantal knikkers van Marianne

28

35 Aantal knikkers van Lieke

?

Leeftijd van mama 28

2 eenheden = 35 – 9 = 26 1 eenheid = 26 ÷ 2 = 13 Lieke heeft 13 knikkers.

84

4

Leeftijd van papa

Inzichten Het is niet verrassend dat minder dan de helft van de leerlingen uit groep 5 ervoor koos het strookmodel te gebruiken. Verhaalopgaven in groep 3 en groep 4 kunnen vaak worden opgelost door direct een rekenkundige opgave te noteren met betrekking tot een van de vier basisbewerkingen. Veel leerlingen zien niet het nut van het tekenen van modellen. Voor uitdagende opgaven waarin meerdere stappen gezet moeten worden, wordt echter het nut van het strookmodel snel duidelijk. Het strookmodel is vooral nuttig voor zwakkere leerlingen die anders dergelijke opgaven niet succesvol zouden kunnen oplossen. Nesher (1992) rapporteerde over onderzoeken met Israëlische leerlingen waaruit naar voren kwam dat: (a) leerlingen die zwakker zijn in wiskunde, meer geneigd zijn diagrammen te gebruiken bij het oplossen van moeilijke opgaven, (b) leerlingen geneigd zijn diagrammen te gebruiken bij het oplossen van lastige opgaven, en (c) leerlingen die diagrammen gebruiken, vaak meer succesvol zijn. De impact wordt meer duidelijk bij lastige opgaven.

3 eenheden = 84 - 28 - 32 = 24 1 eenheid = 24 ÷ 3 = 8 Boris is 8 jaar oud. Mama is 36 jaar oud.

Begeleide oefenopgave SPAARGELD (p. 47)

Maandag

Zelfstandige oefenopgave GROEP (p. 51)

€2 Dinsdag

28

€2 €2

Aantal jongens ?

Woensdag

?

€35 Aantal meisjes

€2 €2 €2 14 Donderdag

Het rekenwiskundige onderwijs in Singapore wordt gekenmerkt door goed presterende tot gemiddelde presterende leerlingen. Bijvoorbeeld, 40% van de leerlingen in zowel groep 6 als in het tweede jaar VO bereikte het Advanced International Benchmark in de Trends in International Mathematics and Science Study (TIMSS). De internationale medianen zijn respectievelijk 5% en 2% voor groep 6 en het tweede jaar VO. In de nationale test die wordt afgenomen in groep 8 behaalden 4 op de 10 leerlingen in Singapore de hoogst mogelijke score. Waardoor kunnen gemiddelde leerlingen presteren op een hoog niveau? Strategieën zoals het strookmodel hebben er zonder twijfel aan toe bijgedragen dat uitdagende wiskunde toegankelijk wordt voor gemiddelde leerlingen.

€2 €2 €2 €2 Vrijdag

€ 2 x 10 = € 20 5 eenheden = € 35 - € 20 = € 15 1 eenheid = € 15 ÷ 5 = € 3 Chris heeft € 7 gespaard op woensdag.

Aantal meisjes = 28 + 14 = 42 Aantal kinderen = 28 + 42 = 70 Er zijn 70 kinderen in de groep.

98

Hoofdstuk 3


Oplossingen Zelfstandige oefenopgave BIJEENKOMST (p. 52)

Oplossingen Begeleide oefenopgave SOM VAN DRIE GETALLEN (p. 63)

Begeleide oefenopgave TWEE GETALLEN (p. 61)

Zelfstandige oefenopgave IN BALANS (p. 54)

99

3 kg

a)

Aantal mannen

Gewicht van A

20 Aantal vrouwen

3 kg 14 kg

Gewicht van B

2 eenheden = 20 - 8 = 12 1 eenheid = 12 ÷ 2 = 6 Er waren 6 mannen.

Middelste getal

Kleiner getal

Kleinste getal

96

36 2 kg

Gewicht van C

Zelfstandige oefenopgave OPEENVOLGENDE EVEN GETALLEN (p. 53)

Grootste getal

Groter getal

? 8

36 × 3 = 108

Dus, staat voor 96 ÷ 6 = 16 Het grootste getal is 48.

Totaal = 108 + 36 = 144 b)

36 Groter getal

3 eenheden = 14 – 3 – 2 = 9 1 eenheid = 9 ÷ 3 = 3 A weegt 6 kilo.

Zelfstandige oefenopgave BUS (p.64)

Kleiner getal

Jongens 36 ÷ 3 = 12

Kleinste getal 2

c)

Tweede getal 2 2

92

Groter getal

Jack

Derde getal

€3 €12 Kasper

Grootste getal

€45

4 eenheden = 92 - 12 = 80 1 eenheid = 80 ÷ 4 = 20 De getallen zijn 20, 22, 24 en 26. Dus, het grootste getal van deze vier is 26.

Dus, staat voor 36 ÷ 2 = 18 Het grotere getal is 54.

Begeleide oefenopgave JHEMILA EN BRAM (p. 66)

d)

?

?

Dus, staat voor 36 ÷ 6 = 6 Er waren 18 meisjes.

Kleiner getal

? 2 2 2

Volwassenen

36

€3

36

Meisjes

Totaal = 36 + 12 = 48

Zelfstandige oefenopgave DRIE VRIENDEN (p. 55)

€15 Linda ?

3 eenheden = € 45 - € 3 - € 15 = € 27 1 eenheid = € 27 ÷ 3 = € 9 Jack heeft € 12, Kasper heeft € 24 en Linda heeft € 9.

Groter getal Kleiner getal

Dus, staat voor 36 ÷ 4 = 9 Het kleinere getal is 9.

Leeftijd van Bram 36

Leeftijd van Jhemila 6

Dus, staat voor 6 ÷ 2 = 3 3+6=9 4 x 9 = 36 Hun moeder is 36 jaar oud.

100

Hoofdstuk 3


Oplossingen

Oplossingen Zelfstandige oefenopgave EXCURSIE (p. 74)

Zelfstandige oefenopgave OPPERVLAKTE (p. 69)

Begeleide oefenopgave KOFFER (p. 67) 20 kg Meike

30 cm ?

Begeleide oefenopgave CHOCOLAATJES (p. 83)

Gewicht van klein doosje chocolaatjes

Meisjes

Breedte

5

200 g

Lengte Jongens

Naomi

29

Dus,

12 kg

Dus,

staat voor 8 kg en staat voor 12 kg - 8 kg = 4 kg

staat voor 30 cm ÷ 6 = 5 cm

Gewicht van grote doos chocolaatjes

Leraren

De lengte is 25 cm en de wijdte is 5 cm. 25 x 5 = 125 De oppervlakte is 125 cm2.

De koffer weegt 4 kilo.

?

3 eenheden = 29 - 5 = 24 1 eenheid = 8 8 + 29 = 37

4 eenheden = 200 g 1 eenheid = 200 gr ÷ 4 = 50 gr 5 eenheden = 5 x 50 gr = 250 gr

Er gingen 37 mensen mee met de excursie.

De grootste doos chocolaatjes weegt 250 gram.

Zelfstandige oefenopgave MAALTIJD (p.75)

Zelfstandige oefenopgave SPORTLES (p. 84)

Begeleide oefenopgave DRIE KOFFERS (p. 73) Zelfstandige oefenopgave PAKJES (p. 68) 156 kg

Gewicht van Jim's koffer 50ct

Gewicht van Amira's koffer

A en C

61 kg

Aantal leerlingen dat voetbalt

Broodje

?

6 kg B en C

Gewicht van Mats' koffer

72 kg

Dus,

156 kg - 72 kg = 84 kg en

staat voor 84 kg ÷ 3 = 28 kg

72 - 28 = 44 Pakje C weegt 44 kilo.

Aantal leerlingen dat basketbalt

Drankje

84

Pizza

staat voor

5 eenheden = 61 kg - 6 kg = 55 kg 1 eenheid = 55 kg ÷ 5 = 11 kg

101

Pizza

Gewicht van Mats’ koffer = 2 x 11 kg + 6 kg = 28 kg

Pizza

7 eenheden = 84 1 eenheid – 84 ÷ 7 = 12 2 eenheden = 2 x 12 = 24

50ct

De zwaarste koffer weegt 28 kilo. Drankje

Broodje

Aantal leerlingen dat honkbalt

€1.90

De prijs van een drankje is € 1,20

24 leerlingen basketballen.

102

Hoofdstuk 3


Oplossingen Begeleide oefenopgave COMPUTER EN PRINTER (p. 86)

Zelfstandige oefenopgave SALARIS 2 (p. 91)

Zelfstandige oefenopgave CHEMISCHE STOF (p. 88) ?

Prijs van printer

a)

Hoeveelheid van stof A

€450

1,8 liter

20 eenh.

€3 600 Salaris van Theodore

Hoeveelheid van stof C

?

100 eenheden

Salaris van Alvin

Hoeveelheid van stof B

Prijs van computer

Oplossingen

3 eenheden = € 450 1 eenheid = € 450 ÷ 3 = € 150

? 100 eenheden

De printer kost € 150.

Begeleide oefenopgave TWEEMASTER (p. 87)

9 eenheden = 1,8 liter 1 eenheid = 1,8 liter ÷ 9 = 0,2 liter 2 eenheden = 2 x 0,2 liter = 0,4 liter

120 eenheden = € 3 600 10 eenheden = € 3 600 ÷ 12 = € 300 100 eenheden = 10 x € 300 = € 3 000.

Er is 0,4 liter van chemische stof A nodig.

b) Salaris van Carly

Begeleide oefenopgave SALARIS 1 (p. 90)

Leerlingen Groep 4

100 eenheden

€7 000 Salaris van Charlotte

Leerlingen Groep 6 112

75 eenheden

Salaris van donderdag €76

Leerlingen Groep 8 ?

Salaris van vrijdag ?

7 eenheden = 112 1 eenheid = 112 ÷ 7 = 16 4 eenheden = 4 x 16 = 64

?

175 eenheden = € 7 000 25 eenheden = € 7 000 ÷ 7 = € 1 000 Het verschil is € 1 000. of:

19 eenheden = € 76 1 eenheid = € 76 ÷ 19 = € 4 10 eenheden = € 10 x 4 = € 40

In groep 6 zitten 64 leerlingen. Pedro’s salaris van vrijdag is € 40.

Salaris van Carly €7 000 Salaris van Charlotte

7 eenheden = € 7 000 1 eenheid - € 7 000 ÷ 7 = € 1 000 Salaris van Carly = 4 x € 1 000 = € 4 000 Salaris van Charlotte = 3 x € 1 000 = € 3 000 Het verschil is € 1 000.

103

model Strook Werken met het DE SINGAPORE AANPAK Dr. Ban Har Yeap Gereedschap voor het visualiseren en oplossen van rekenopgaven

Recommend Documents