MODEL MATEMATIK SISTEM FISIK
PEMODELAN MATEMATIK
Model Matematik
Gambaran matematik dari karakteristik dinamik suatu sistem. Beberapa sistem dinamik seperti mekanika, listrik, panas, hidraulik, ekonomi, biologi dan sebagainya dapat dikarakterisasikan dengan persamaan differensial. Persamaan tersebut dapat diperoleh dengan menggunakan beberapa hukum fisika dari sistem yang dipelajari, misalnya: ◦ Hukum Newton untuk sistem mekanik ◦ Hukum Kirchhoff untuk sistem listrik
Problem Definition
Theory
Mathematical Model Problem solving tools Computer program & Interface
Data
Model dapat disajikan dalam beberapa bentuk yang berbeda, tergantung pada sistem dan lingkungan sekelilingnya. Contoh dalam persoalan kontrol optimal lebih mudah untuk menggunakan perangkat persamaan differensial orde pertama.
Beberapa perangkat analitik dan komputer (metoda numerik) dapat digunakan dalam analisis sistem dan sintesis.
Dalam mencari suatu model, kita harus mengkompromikan antara penyederhanaan model dan ketelitian hasil analisis.
Kecepatan dan kehandalan komputer digital memungkinkan merumuskan model matematika yang lebih lengkap dan kompleks.
Harus dicari kesesuaian yang baik antara hasil analisis model matematik dan hasil studi eksperimental pada sistem fisik.
Physical Model
Mathematical Model Modeling Error
Mathematical Model
Numerical Model Discretization Error
Numerical Model
Computer Model Numerical Error
SISTEM LINIER
Sistem Linier adalah suatu sistem yang mempunyai model persamaan yang linier. Suatu persamaan differensial adalah linier jika koefisiennya adalah konstan atau hanya merupakan fungsi dari variabel bebasnya. Prinsip superposisi menyatakan bahwa respon yang dihasilkan oleh penggunaan secara serentak dua buah fungsi penggerak yang berbeda adalah sama dengan jumlah dari dua buah respon individualnya. Sistem linier parameter konstan (time invariant) dinyatakan oleh persamaan differensial linier parameter konstan. Misal: Sistem pegas. Sistem linier parameter berubah (time-varying) dinyatakan oleh persamaan differensial yang koefisiennya merupakan fungsi dari waktu. Contoh: Sistem kendali pesawat ruang angkasa (masa pesawat berubah karena konsumsi bahan bakar dan gravitasi).
SISTEM NON-LINIER
Sistem non-linier adalah sistem yang dinyatakan oleh
persamaan non-linier. Beberapa contoh persamaan non-linier: y = ex y = sin x y = x2 z = x2 + y2 Persamaan differensial disebut non-linier jika tidak berlaku prinsip superposisi, contoh: d2 x dt
2
d2 x dt
2
dx dt
(x 2
2
x
1)
dx dt
A sin t
x
0
FUNGSI ALIH Fungsi Alih sistem linier parameter konstan didefinisikan sebagai perbandingan dari transformasi Laplace keluaran (fungsi respon) dari transformasi Laplace masukan (fungsi penggerak), dengan anggapan bahwa semua syarat awal adalah nol.
G(s)
Y (s ) X (s )
b0sm
b1s m
1
... bm 1s
bm
a0 s n
a1s n
1
... an 1s
an
Fungsi alih merupakan sifat dari sistem itu sendiri untuk merelasikan masukan dengan keluaran. Fungsi alih tidak memberikan informasi mengenai struktur fisik dari sistem. Masukan X(s)
Fungsi Alih G(s)
Keluaran Y(s)
Sistem Translasi Mekanik
Tinjau sistem pegas-massa daspot (menimbulkan gaya viskos atau redaman). Setiap gerakan relatif antara batang torak dan silinder dilawan oleh minyak. Energi yang diserap daspot didisipasikan sebagai panas sehingga daspot tidak menyimpan energi kinetik atau potensial. Gaya x(t) sebagai masukan dan perpindahan masa y(t) sebagai keluaran. Kita akan mengikuti langkah-langkah sebagai berikut: ◦ Menulis persamaan diferensial dari sistem ◦ Mencari transformasi Laplace dari persamaan diferensial, dengan mengganggap semua syarat awal nol. ◦ Mencari perbandingan dari keluaran Y(s) dan masukan X(s). Perbandingan ini adalah fungsi alih.
