MODEL DIFUSI OKSIGEN DI JARINGAN TUBUH

MODEL DIFUSI OKSIGEN DI JARINGAN TUBUH

Kartika Yulianti, S.Pd., M.Si.


Pembimbing: Dr. Agus Yodi Gunawan

14 Juli 2009

Pembimbing:Dr. MODEL Agus DIFUSI Yodi Gunawan OKSIGEN()DI JARINGAN TUBUH

14 Juli 2009

1 / 24

Pendahuluan

Latar Belakang

Pendahuluan

Sistem Peredaran darah. Jantung → Arteri → Pembuluh kapiler → Vena → Jantung → Arteri Pulmonari → Paru-paru → Vena Pulmonari.



14 Juli 2009

2 / 24

Pendahuluan

Latar Belakang

Oksigen memegang peranan penting bagi kelangsungan metabolisme jaringan (tissue) dalam tubuh. Jika sel-sel di suatu jaringan tidak mendapat pasokan oksigen, maka sel-sel tersebut akan mati dan dapat menimbulkan kerusakan jaringan. Circulatory shock: kehilangan darah dalam jumlah besar, serangan jantung, serta penurunan tekanan darah dengan tajam. Tujuan: Membangun suatu model matematika yang menggambarkan proses penyebaran konsentrasi oksigen di suatu jaringan tubuh.



14 Juli 2009

3 / 24

Pemodelan

Pembuluh Kapiler

Pemodelan Pembuluh Kapiler Pembuluh kapiler: tersusun dari sebuah lapisan sel (endothelium). Molekul-molekul seperti oksigen, karbon dioksida, dan air dapat melalui dinding ini dan memasuki jaringan dengan cara difusi.


Pembuluh Darah (www.wikipedia.com).


14 Juli 2009

4 / 24

Pemodelan

Model Kapiler-Jaringan

Model Krogh Cylinder

Representasi dari daerah kapiler-jaringan: konsep pengulangan struktur satuan. Setiap kapiler bertanggungjawab untuk menyediakan nutrisi bagi jaringan yang melingkupi kapiler tersebut.



14 Juli 2009

5 / 24

Pemodelan

Model Kapiler-Jaringan

Asumsi: Bukan daerah percabangan. Reaksi kimia yang terjadi di jaringan berdistribusi secara kontinu. Simetri terhadap sumbu. Laju perpindahan material pada dinding luar jaringan adalah nol.



14 Juli 2009

6 / 24

Pemodelan

Penurunan Persamaan Difusi


Banyaknya molekul oksigen yang mengalir pada titik x di suatu permukaan A per satuan waktu adalah J(x)A. Volume satuan: dV ≈ rdθdzdr .



14 Juli 2009

7 / 24

Pemodelan

∂(c˜dV ) ∂˜t


= J ˜r dθd ˜r |z˜ − J ˜r dθd ˜r |z˜+d z˜ + J ˜r dθd z˜ |˜r − J(˜r + d ˜r )dθd z˜ |˜r +d ˜r − g(c˜)dV .

∂ c˜ ∂˜t

J|z˜ − J|z˜+d z˜ ˜r J|˜r − (˜r + d ˜r )J|˜r +d ˜r − g(c˜) + ˜r d ˜r d z˜ ∂(˜r J) ∂J − − g(c˜). = − ˜r ∂˜r ∂ z˜ =

Hukum Fick:


J = −Dj ∂ c˜ = Dj ∂˜t

(1) (2)

d c˜ d ˜r

∂ 2 c˜ 1 ∂ c˜ ∂ 2 c˜ + + 2 ˜r ∂˜r ∂ z˜ 2 ∂˜r

− g(c˜).


(3)

14 Juli 2009

8 / 24

Pemodelan

Persamaan Michaelis-Menten

Laju Konsumsi Oksigen Ac˜ . B + c˜ Parameter A : kecepatan maksimum oksigen bereaksi dengan enzim. Parameter B : koefisien kesetimbangan reaksi.


g(c˜) =

Grafik Michaelis-Menten dengan A=1, B=1.


14 Juli 2009

9 / 24

Pemodelan

Syarat Batas

Syarat Batas

∂ c˜ (b) = 0. ∂˜r c˜(˜r , 0) = ca . c˜(a, ˜t) = f (˜t).

c˜(a, ˜t) =


ci −ca ˜ ε t + ca ,

ci ,

(4) (5) (6)

0 ≤ ˜t < ε; ˜t ≥ ε.


14 Juli 2009

10 / 24

Kajian Model

Kajian Model

Karena b l maka difusi dalam arah aksial diabaikan.



14 Juli 2009

11 / 24

Metode Asimtotik

Keadaan Tunak

Model steady state: 1 ∂ c˜ ∂ 2 c˜ Ac˜ Dj + 2 = , ˜r ∂˜r ˜ B + c˜ ∂r

a ≤ ˜r ≤ b.

(7)

∂ c˜ (b) = 0. (8) ∂˜r c˜ adalah konsentrasi oksigen, sehingga haruslah c˜ ≥ 0. Oleh karena itu, kita asumsikan ruas kanan dari persamaan (7) adalah nol untuk c˜ < 0. Penskalaan: ˜r = ar , c˜ = ca c, (9) c˜(a) = ci ,

1 dc r dr

dimana λ =

Aa2 Dj ca , α


dc r dr

=

λcH(c) b , 1≤r ≤ α+c a dc b c(1) = b c1 , = 0, dr a

B ca ,

(10)

=

b c1 =

ci ca ,

(11)

dan H adalah fungsi Heaviside.


14 Juli 2009

12 / 24

Metode Asimtotik

Keadaan Tunak

Kasus α → 0 dan λ = O(1). Misalkan c mempunyai perluasan: c(r ; α) = c0 (r ) + αc1 (r ) + O(α2 ).

(12)

0 0 1 λc αλ 1 rc00 + α rc10 + O(α2 ) = =λ− + O(α2 ). r r α+c c0

(13)

Untuk O(1): 0 1 rc00 = λ, r

(14)

dengan c00 ( ba ) = 0,c0 (1) = b ci . Sehingga c00 (r ) =

λr K1 + . 2 r

(15)

Jika c0 aproksimasi yang valid untuk seluruh r , berlaku c00 ( ba ) = 0, 2 sehingga diperoleh K1 = − λb . 2a2 Kartika Yulianti, S.Pd., M.Si.


14 Juli 2009

13 / 24

Metode Asimtotik

c0 (r ) = b ci − λ

Keadaan Tunak

b2 r2 − 1 ln r − 4 2a2

(16)

.

c ≥ 0 maka c0 ≥ 0. c0 akan bernilai positif jika dan hanya jika λ<

b ci b2 2a2

ln r −

r 2 −1 4

(17)

.

Hubungan λ dan r untuk ba = 11 dan b ci = 1.25. Kartika Yulianti, S.Pd., M.Si.


14 Juli 2009

14 / 24

Metode Asimtotik

Keadaan Tunak

Untuk ba = 11, dan b ci = 1.25 c0 ≥ 0 jika λ < 0.0108627. Jika λ > 0.0108627, maka c0 mempunyai akar: r1 . Sehingga tidak berlaku c00 ( ba ) = 0. Untuk r < r1 , berlaku: c0 (r ) =

λ 2 λ r + K1 ln r + b ci − . 4 4

(18)

Untuk r ≥ r1 , c(r ) = 0. Asumsikan 0 ≤ c ≤ O(α). Penskalaan c = αn c¯, n ≥ 1. Persamaan (10) menjadi: 1d d c¯ λc¯ . α r = r dr dr 1 + αn−1 c¯

(19)

Karena α → 0 maka dengan n ≥ 1, setiap ekspansi c¯(r ; α) = c¯0 (r ) + ..., r ≥ r1 akan memberikan c = 0. Kartika Yulianti, S.Pd., M.Si.


14 Juli 2009

15 / 24

Metode Asimtotik

Akan dicari akar r1 dan K1 . Misalkan c = αn ψ,

Keadaan Tunak

r = r1 + αm ξ.

(20)

Substitusi dan Distinguished Limit, diperoleh: c = αψ, r = r1 + Matching Condition. Jika ξ → ∞, maka ψ → 0. Jika ξ → −∞, maka ψ → c0 (r ).



√

αξ.

14 Juli 2009

16 / 24

Metode Asimtotik

Keadaan Tunak

1 c0 (r ) = c0 (r1 ) + (r − r1 )c00 (r1 ) + (r − r1 )2 c000 (r1 ) + ... 2 √ 1 = αξc00 (r1 ) + αξ 2 c000 (r1 ) + ... 2 ' αψ(ξ).

(21) (22) (23)

Diperoleh c00 (r1 ) = 0. K1 = −

λr12 2 .


c0 (r ) = b ci − λ

r12 r2 − 1 ln r − 2 4


(24)

.

14 Juli 2009

17 / 24

Metode Asimtotik

Keadaan Tunak

Grafik r1 terhadap λ1 untuk b ci = 1.25. c0 (r ) untuk λ ≤ 0.0108627 adalah: 2 b r2 − 1 c0 (r ) = b ci − λ ln r − , 4 2a2 dan untuk λ ≥ 0.0108627 adalah: 2 ( r b ci − λ 21 ln r − c0 (r ) = 0,


r 2 −1 4

(25)

, jika 1 ≤ r < r1 ; jika r1 < r ≤ ba .


14 Juli 2009

18 / 24


Metode Asimtotik

Keadaan Tunak


14 Juli 2009

19 / 24


Metode Asimtotik

Keadaan Tunak


14 Juli 2009

20 / 24

Keadaan Tidak Tunak

Solusi Unsteady State



14 Juli 2009

21 / 24

Kesimpulan

Kesimpulan Nilai λ yang merepresentasikan perbandingan laju konsumsi terhadap penyediaan oksigen, memegang peranan penting dalam ketersediaan oksigen di daerah jaringan. Jika λ → 0, nilai konsentrasi oksigen tidak akan mencapai nilai nol dalam waktu tak hingga. Sedangkan jika λ = O(1), nilai konsentrasi oksigen di jaringan akan mencapai nilai nol dalam waktu yang berhingga.



14 Juli 2009

22 / 24

Daftar Pustaka

Daftar Pustaka (1) Carslaw, H.S. dan Jaeger, J.C. 1959. Conduction Of Heat In Solids. New York. Oxford Clarendon Press. (2) Holmes, Mark H. 1995. Introduction to Perturbation Method. New York. Springer-Verlag. (3) Mathews, John H. dan Fink, Kurtis D. 1999. Numerical Methods Using Matlab. London. Prentice-Hall International. (4) Middleman, Stanley. 1972. Transport Phenomena in the Cardiovascular System. New York. John-Wiley & Sons, Inc. (5) Poulikakos. 1994. Conduction Heat Transfer. New Jersey. Prentice-Hall. (6) Ross, J. 1996. Role of Blood Vessel. Tersedia di http : //classes.tmcc.edu/eburke/other − notes/Blood − Vessel.htm. (7) http://www. wikipedia.com.



14 Juli 2009

23 / 24


Terima Kasih

Terima Kasih


14 Juli 2009

24 / 24

MODEL DIFUSI OKSIGEN DI JARINGAN TUBUH

Recommend Documents