Pemodelan Difusi Oksigen di Jaringan Tubuh dengan Konsumsi Oksigen Linier Terhadap Konsentrasi Kartika Yulianti, S.Pd., M.Si. Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA Universitas Pendidikan Indonesia Jl. Dr. Setiabudhi 229, Bandung 40154
Ringkasan Oksigen memegang peranan penting bagi kelangsungan metabolisme sel di dalam jaringan (tissue) tubuh. Perpindahan oksigen dari darah ke jaringan tubuh terjadi di pembuluh kapiler dengan cara difusi. Daerah kapiler-jaringan dapat direpresentasikan dengan model Silinder Krogh. Berdasarkan model tersebut, diturunkan sebuah persamaan difusi yang menggambarkan penyebaran konsentrasi oksigen di suatu jaringan dengan memperhatikan laju konsumsi oksigen yang merupakan fungsi linier terhadap konsentrasi. Persamaan difusi tersebut diselesaikan pada keadaan tunak (steady state). Berdasarkan solusi yang diperoleh, semakin besar jarak dari sumber dinding kapiler konsentrasi oksigen semakin kecil. Kata kunci: Persamaan difusi, Silinder Krogh.
1
Pendahuluan
Sistem peredaran darah terdiri dari pembuluh arteri, kapiler, dan pembuluh vena. Pembuluh arteri dan pembuluh vena masing-masing berfungsi untuk mengantarkan darah dari dan ke jantung. Arteri (kecuali arteri pulmonalis) membawa darah yang kaya dengan oksigen ke seluruh jaringan tubuh. Di kapiler, oksigen dan substansi lain seperti hormon serta nutrisi berdifusi ke jaringan (tissue) yang melingkupinya. Selanjutnya darah yang telah kekurangan oksigen tersebut kembali ke jantung melalui pembuluh vena. 1
Unsur penting yang dibutuhkan oleh jaringan untuk melakukan metabolisme adalah oksigen. Mengingat pentingnya keberadaan oksigen untuk kelangsungan metabolisme sel tubuh, penyebaran konsentrasi oksigen dari suatu pembuluh kapiler ke jaringan yang melingkupinya adalah hal yang menarik untuk dikaji. Ketidakseimbangan antara ketersediaan oksigen dari pembuluh kapiler dan kebutuhan oksigen di jaringan tubuh (circulatory shock ) dapat berakibat fatal. Jika sel-sel di suatu jaringan tidak mendapat pasokan oksigen, maka sel-sel tersebut akan mati dan menimbulkan kerusakan jaringan. Sebagai contoh, untuk jaringan otak, jika sel-selnya mengalami kekurangan oksigen maka dapat mengakibatkan turunnya (atau hilang) tingkat kesadaran; pingsan atau koma. Lebih jauh lagi, keadaan tersebut dapat mengakibatkan kematian. Terdapat banyak faktor yang dapat mengakibatkan ketidakseimbangan antara ketersediaan dan kebutuhan tersebut, antara lain kehilangan darah dalam jumlah besar, serangan jantung, serta keadaan yang dapat mengakibatkan turunnya tekanan darah dengan tajam. Dalam makalah ini, suatu model matematika akan dibangun untuk menjelaskan proses penyebaran konsentrasi oksigen di kapiler dan jaringan yang melingkupinya. Model matematika yang dikonstruksi memperhatikan laju konsumsi oksigen di jaringan yang berupa fungsi linier terhadap konsentrasi. Selanjutnya, model matematika tersebut diselesaikan pada keadaan tunak (steady state).
2
Pemodelan
Pembuluh kapiler merupakan pembuluh darah yang berukuran paling kecil dari sistem sirkulasi darah dan membentuk jejaring yang kompleks. Dinding kapiler hanya tersusun dari sebuah lapisan sel, yaitu endothelium. Lapisan ini sangatlah tipis, sehingga molekul-molekul seperti oksigen, karbon dioksida, dan air dapat melalui dinding ini dan memasuki jaringan dengan cara difusi.
2.1
Model Kapiler-Jaringan
Untuk representasi daerah kapiler-jaringan, digunakan model silinder Krogh. Model silinder Krogh ini memperkenalkan konsep pengulangan struktur satuan sebagai representasi dari daerah kapiler-jaringan. Susunan silinder Krogh dapat dilihat pada Gambar 1. Sebagai akibat dari prinsip pengulangan struktur satuan, maka setiap kapiler bertanggungjawab untuk menyediakan nutrisi bagi jaringan yang melingkupi kapiler tersebut. Tentu saja ini 2
Gambar 1: Model Silinder Krogh.
adalah suatu penyederhanaan dari keadaan yang sebenarnya, dimana setiap bagian dari jaringan dapat disuplai oleh kapiler-kapiler lain yang tidak berada didekatnya, meskipun kapiler yang terdekatlah yang mendominasi suplai nutrisi tersebut Dengan menggunakan model ini dibuat beberapa asumsi: 1. Diasumsikan silinder Krogh merupakan model yang tepat secara geometri, meskipun pada daerah yang lain, seperti daerah percabangan, kapiler tidak memiliki struktur geometri yang sederhana. 2. Jaringan yang menyelubungi kapiler sebenarnya terdiri dari material yang berbeda dan reaksi kimia yang terjadi di dalam sel bertempat pada lokasi-lokasi tertentu. 3. Pada model ini, diasumsikan reaksi kimia yang terjadi di jaringan terdistribusi secara kontinu. 4. Diasumsikan silinder kapiler-jaringan, mempunyai bentuk yang simetri terhadap sumbu. 5. Pada dinding luar silinder, material yang masuk ke sebuah silinder, diasumsikan sama dengan material yang keluar dari silinder tersebut, sehingga laju perpindahan material pada dinding luar jaringan adalah nol.
2.2
Persamaan Difusi
Daerah kapiler-jaringan digambarkan pada Gambar 5. Dimisalkan a adalah jari-jari dinding kapiler, dan b adalah jari-jari dinding luar jaringan. Proses perpindahan material di kapiler dan jaringan terjadi secara difusi. Difusi dapat terjadi ke berbagai arah, antara lain arah radial, aksial, dan angular. Pada pembahasan ini diasumsikan difusi terjadi hanya dalam arah
3
Gambar 2: Daerah kapiler jaringan.
radial. Berdasarkan model silinder Krogh, persamaan difusi untuk daerah jaringan adalah: ∂˜ c 1 ∂˜ c ∂ 2 c˜ = Dj + 2 − g(˜ c). (1) r˜ ∂˜ r ∂˜ r ∂ t˜ dimana c˜ : konsentrasi oksigen di daerah jaringan. c˜k : konsentrasi oksigen di kapiler. t˜ : waktu r˜ : jari-jari Dj : koefisien difusi g(˜ c) : Laju konsumsi oksigen. Berdasarkan Middleman (1972), laju komsumsi oksigen mengikuti hukum kinetika Michaelis-menten, yang dinyatakan dengan: g(˜ c) =
A˜ c , B + c˜
(2)
dengan A merupakan konstanta laju reaksi dan B adalah konstanta laju kesetimbangan. Pada kurva g(˜ c) terdapat suatu interval untuk nilai konsentrasi, dimana fungsi 2 mendekati fungsi g(˜ c) = k˜ c , dengan k suatu konstanta. Sehingga persamaan 1 menjadi: ∂˜ c 1 ∂˜ c ∂ 2 c˜ = Dj + 2 − k˜ c. (3) r˜ ∂˜ r ∂˜ r ∂ t˜
4
3
Keadaan Tunak
Persamaan difusi untuk daerah jaringan dengan konsumsi oksigen linier terhadap konsentrasi diberikan oleh: c ∂ 2 c˜ 1 ∂˜ + 2 = k˜ c. (4) Dj r˜ ∂˜ r ∂˜ r Dengan syarat batas: −Dj
∂˜ c = h(˜ ck − c˜) ∂˜ r
pada r˜ = a,
∂˜ c (b) = 0. ∂˜ r
(5)
(6)
Di dalam kapiler, darah mengalir dari ujung arteri ke ujung vena sehingga nilai konsentrasi oksigen tidak ditentukan oleh persamaan difusi, tetapi oleh kondisi kesetimbangan, yaitu: −huiπa2
d˜ ck = 2πah(˜ ck − c˜), d˜ z
(7)
dimana nilai c˜ dihitung pada r˜ = a dan c˜k (0) = cin , dengan h menunjukkan koefisien ketahanan masssa, dan hui merupakan kecepatan aliran darah di kapiler. Masalah syarat batas (4)-(7) dapat dituliskan dalam bentuk tak berdimensi, dengan penskalaan: . c˜ = ccin ,
r˜ = ar,
z˜ = az.
Sehingga persamaan difusi untuk daerah jaringan adalah: ∂ 2 c 1 ∂c + = k2 c, ∂r2 r ∂r 2
(8)
1
dimana k = ( κa ) 2 . Persamaan konsentrasi untuk daerah kapiler adalah: Dj −huiπa
dck = 2πah(ck − c) dz
pada r = 1.
Syarat batas untuk persamaan (8) dan (9) diberikan oleh:
5
(9)
Gambar 3: Grafik Konsentrasi Oksigen dalam Arah Aksial
∂c = 0 ∂r ha ∂c = − (ck − c) ∂r Dj ck = 1
b pada r = , a
(10)
pada r = 1.
(11)
pada z = 0.
(12)
Solusi persamaan (9) dengan batas (12) adalah: h −2βυ ck (z) = exp z , $ + βυ hui dan penyebaran konsentrasi untuk daerah jaringan adalah: b b ck (z) I0 (kr)K1 (k ) + K0 (kr)I1 (k ) , c(r, z) = $ + βυ a a 1
dimana β = serta
(κDj ) 2 h
2
(13)
(14)
1
, k = ( κa ) 2 , I dan K adalah fungsi Bessel Termodifikasi, Dj b b $ = I0 (k)K1 (k ) + K0 (k)I1 (k ), a a b b υ = K1 (k)I1 (k ) − I1 (k)K1 (k ). a a
6
(15) (16)
Gambar 4: Grafik Konsentrasi Oksigen dalam Arah Radial
Gambar 3 dan 3 berturut-turut menunjukkan penyebaran oksigen dalam arah aksial dan radial untuk parameter ab = 11, κ = 5sec−1 , Dj = 1600µ2 /sec, h = 100µ/sec, cin = 0.2ml O2 /ml darah, dan hui = 400µ/sec. Untuk daerah kapiler, penyebaran oksigen dalam arah radial telah diasumsikan bernilai konstan. Sedangkan dalam arah aksial, semakin besar jarak dari inlet konsentrasi oksigen semakin kecil. Karena terdapat ketahanan perpindahan massa pada dinding kapiler, maka penyebaran oksigen pada dinding kapiler tidak kontinu. Sejalan dengan bertambah besarnya jarak dari dinding kapiler, nilai konsentrasi oksigen di jaringan menurun.
4
Kesimpulan
Pada makalah ini telah dibangun suatu model tentang distribusi konsentrasi oksigen di daerah kapiler dan jaringan. Dalam pemodelan ini, persamaan yang diperoleh diselesaikan dalam keadaan tunak. Pada daerah kapiler, semakin besar jarak terhadap ujung arteri (inlet), nilai konsetrasi oksigen semakin kecil. Demikian juga dalam arah radial, semakin besar jarak terhadap dinding kapiler, konsentrasi oksigen di jaringan semakin kecil.
Pustaka [1] Carslaw, H.S. dan Jaeger, J.C. 1959. Conduction Of Heat In Solids. New York. Oxford Clarendon Press. 7
[2] Holmes, Mark H. 1995. Introduction to Perturbation Method. New York. Springer-Verlag. [3] Middleman, Stanley. 1972. Transport Phenomena in the Cardiovascular System. New York. John-Wiley & Sons, Inc. [4] Poulikakos. 1994. Conduction Heat Transfer. New Jersey. Prentice-Hall.
8
