MODEL DIFUSI OKSIGEN DI JARINGAN TUBUH
TESIS Karya tulis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister dari Institut Teknologi Bandung
Oleh
KARTIKA YULIANTI NIM : 20106010 Program Studi Matematika
INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2008
ABSTRAK
MODEL DIFUSI OKSIGEN DI JARINGAN TUBUH Oleh
KARTIKA YULIANTI NIM : 20106010
Oksigen memegang peranan penting bagi kelangsungan metabolisme sel di dalam jaringan (tissue) tubuh. Perpindahan oksigen dari darah ke jaringan tubuh terjadi di pembuluh kapiler dengan cara difusi. Daerah kapiler-jaringan dapat direpresentasikan dengan model Silinder Krogh. Berdasarkan model tersebut, diturunkan sebuah persamaan difusi yang menggambarkan penyebaran konsentrasi oksigen di suatu jaringan. Persamaan difusi diselesaikan dengan metode analitik yaitu teknik perturbasi, dan metode numerik yaitu teknik beda hingga. Dalam menyelesaikan persamaan tersebut, dikaji beberapa nilai laju konsumsi oksigen yang memenuhi prinsip kinetika Michaelis-Menten. Hasil dari pendekatan analitik dan numerik menunjukkan kesesuaian. Kata Kunci. Persamaan Difusi, Silinder Krogh.
i
ABSTRACT
OXYGEN DIFFUSION MODEL IN TISSUE REGION By
KARTIKA YULIANTI NIM : 20106010
Oxygen plays an important role in cell metabolism inside a human’s body. The transfer of oxygen from blood to tissues takes place in capillaries by means of a diffusion process. A capillary-tissue region is usually modeled as Krogh Cylinder. Based on this model, we derive an equation describing the distribution of oxygen concentration in a tissue region. The equation is then solved analytically, by means of perturbation technique, and numerically by use of the finite difference technique. Some values of oxygen consumption rates are considered, which follow the Michaelis-Menten kinetics. Analytical and numerical results are both quite in agreement. Keywords. Diffusion equation, Krogh Cylinder.
ii
MODEL DIFUSI OKSIGEN DI JARINGAN TUBUH
Oleh
KARTIKA YULIANTI NIM : 20106010
Program Studi Matematika Institut Teknologi Bandung
Menyetujui Tanggal Juni 2008 Pembimbing
Dr. Agus Yodi Gunawan
PEDOMAN PENGUNAAN TESIS
Tesis S2 yang tidak dipublikasikan terdaftar dan tersedia di Perpustakaan Institut Teknologi Bandung, dan terbuka untuk umum dengan ketentuan bahwa hak cipta ada pada pengarang dengan mengikuti aturan HaKI yang berlaku di Institut Teknologi Bandung. Referensi kepustakaan diperkenankan dicatat, tetapi pengutipan atau peringkasan hanya dapat dilakukan seizin pengarang dan harus disertai dengan kebiasaan ilmiah untuk menyebutkan sumbernya.
Memperbanyak atau menerbitkan sebagian atau seluruh tesis haruslah seizin Direktur Program Pascasarjana, Institut Teknologi Bandung.
iv
Jagalah Allah, niscaya engkau mendapati-Nya dihadapanmu. Kenalilah Allah di waktu lapang, niscaya Dia mengenalmu di saat sulit. Ketahilah bahwa apa yang luput darimu tidak bakal mengenaimu dan apa yang mengenaimu tidak akan luput darimu. Ketahuilah bahwa bersama kesabaran ada kemenangan, bersama kesusahan ada jalan keluar, dan bersama kesulitan ada kemudahan. (H.R. Muslim)
K
Untuk Ibunda, Ayahanda, kakak, dan adikku tercinta
KATA PENGANTAR
Alhamdulillaahirabbil’alamiin, puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Illahi Rabbi yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini. Shalawat serta salam semoga selalu tercurah kepada teladan kita, Rasulullah SAW.
Tesis ini merupakan hasil penelitian yang mengkaji tentang penyebaran oksigen di suatu jaringan tubuh. Tesis ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar magister di program studi matematika Institut Teknologi Bandung.
Penulis menyadari bahwa karya ini tidak akan terwujud tanpa adanya dukungan dan bantuan dari berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1. Ibunda dan ayahanda yang telah memberikan do’a, perhatian, dukungan dan bimbingan kepada ananda. 2. Dr. Agus Yodi Gunawan, sebagai pembimbing, atas segala bimbingan, arahan, dan ilmu yang telah diberikan. 3. Dr. Yudi Suharyadi dan Dr. Sri Redjeki, selaku penguji seminar Tesis, yang telah memberikan masukan kepada penulis. 4. Seluruh staff pengajar Program Pasca Sarjana Matematika ITB yang telah memberikan bekal ilmu kepada penulis. 5. Seluruh staff Tata Usaha, Perpustakaan, Laboratorium Program Studi Matematika ITB. 6. Teman-teman mahasiswa S2 matematika ITB angkatan 2006 dan 2007, atas segala kebersamaan dan keceriaannya. vi
7. Diki Adam, atas segala bantuan dan dorongan. Penulis menyadari bahwa tidak ada satupun buah karya manusia yang sempurna di dunia ini. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun sebagai bahan perbaikan di masa yang akan datang. Akhirnya penulis berharap semoga tesis ini bermanfaat dan dapat memberi wawasan bagi para pembaca. Bandung, Juni 2008 Penulis
vii
DAFTAR ISI
ABSTRAK
i
ABSTRACT
ii
PEDOMAN PENGGUNAAN TESIS
iv
KATA PENGANTAR
vi
DAFTAR ISI
viii
DAFTAR GAMBAR DAN TABEL
x
DAFTAR SIMBOL
xii
Bab I Pendahuluan
1
I.1
Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
I.2
Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
I.3
Tujuan Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
I.4
Sistematika Pembahasan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Bab II Pemodelan
5
II.1 Pembuluh Kapiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
II.2 Model Kapiler-Jaringan
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
II.3 Penurunan Persamaan Difusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
II.4 Persamaan Michaelis-Menten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
II.5 Syarat Batas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Bab III Model Difusi Oksigen di Jaringan dengan Laju Konsumsi Konstan
10
III.1 Solusi Keadaan Tunak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 III.2 Solusi Keadaan Tidak Tunak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 viii
III.2.1 Solusi Analitik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 III.2.2 Solusi Numerik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Bab IV Model Difusi Oksigen di Jaringan dengan Laju Konsumsi Linier Terhadap Konsentrasi
22
IV.1 Keadaan Tunak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 IV.1.1 Jaringan yang Tipis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 IV.1.2 Jaringan yang Tebal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 IV.1.3 Koefisien Perpindahan Massa Tinggi . . . . . . . . . . . 28 IV.1.4 Koefisien Perpindahan Massa Menuju Nol . . . . . . . . 30 IV.2 Keadaan Tidak Tunak dengan Aliran Darah Bersifat Pulsatil . . 30 Bab V Model Difusi Oksigen di Jaringan dengan Laju Konsumsi Berdasarkan Hukum Michaelis-Menten
36
V.1 Keadaan Tunak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 V.1.1 Ketunggalan dan Kepositifan Solusi . . . . . . . . . . . . 37 V.1.2 Metode Numerik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 V.1.3 Metode Asimtotik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 V.2 Keadaan Tidak Tunak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Bab VI Kesimpulan
51
DAFTAR PUSTAKA
53
Lampiran A
54
Lampiran B
56
Lampiran C
60
Lampiran D
61
Lampiran E
62
ix
DAFTAR GAMBAR DAN TABEL
A. DAFTAR GAMBAR Gambar 1.1: Diagram Peredaran Darah . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Gambar 2.1: Pembuluh Darah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Gambar 2.2: Pembuluh Kapiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Gambar 2.3: Model Silinder Krogh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Gambar 2.4: Difusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Gambar 2.5: Penampang Kapiler-Jaringan . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Gambar 3.1: Silinder Kapiler-Jaringan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Gambar 3.2: Grafik Konsentrasi Oksigen dalam Arah Radial untuk Laju Konsumsi Konstan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Gambar 3.3: Grafik Konsentrasi Oksigen dalam Arah Aksial untuk Laju Konsumsi Konstan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Gambar 3.4: Syarat Batas pada r = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Gambar 3.5: Grafik s˜(r, 0) untuk 40 Suku Pertama . . . . . . . . . . . . 18 Gambar 3.6: Perbandingan Solusi Analitik dan Numerik untuk t = 0 dan t = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Gambar 3.7: Penyebaran Konsentrasi Oksigen di Jaringan untuk Laju Konsumsi Konstan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Gambar 4.1: Grafik Konsentrasi Oksigen dalam Arah Aksial untuk g(c) = k2 c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Gambar 4.2: Grafik Konsentrasi Oksigen dalam Arah Radial untuk g(c) = k2 c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Gambar 4.3: Grafik Konsentrasi Oksigen dalam Arah Aksial untuk
b a
Gambar 4.4: Grafik Konsentrasi Oksigen dalam Arah Radial untuk
b a
Gambar 4.5: Grafik Konsentrasi Oksigen dalam Arah Aksial untuk
b a
Gambar 4.6: Grafik Konsentrasi Oksigen dalam Arah Radial untuk
b a
→ 1 26 → 1 26
→ ∞ 27 → ∞ 28
Gambar 4.7: Grafik Konsentrasi Oksigen dalam Arah Radial untuk h → ∞ 29 x
Gambar 4.8: Grafik Konsentrasi Oksigen dalam Arah Aksial untuk h → ∞ 29
Gambar 4.9: Grafik c˜(a, t˜) untuk ca = 1 dan T1 = 0.5 . . . . . . . . . . . 31
Gambar 4.10: Skema Penyelesaian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Gambar 4.11: Perbandingan Solusi Numerik dan Analitik
. . . . . . . . 35
Gambar 4.12: Proses Penyebaran Oksigen di Jaringan dengan Laju Konsumsi Linier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Gambar 5.1: Perbandingan Solusi Asimtotik Suku Pertama dan Numerik untuk α = λ = 0.01, dan α = λ = 0.001 . . . . . . . . . . . . . . 41 Gambar 5.2: Hubungan λ dan r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Gambar 5.3: Grafik r1 terhadap
1 λ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Gambar 5.4: Perbandingan Solusi Asimtotik Suku Pertama dan Numerik α → 0, λ = O(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Gambar 5.5: Perbandingan Solusi Asimtotik Suku Pertama dan Numerik α = O(1), λ = 10, dan α = O(1), λ = 100 . . . . . . . . . . . . . 49 Gambar 5.6: Proses Penyebaran Konsentrasi Oksigen di Jaringan dengan Laju Konsumsi Memenuhi Prinsip Kinetika Michaelis-Menten . 49 B. DAFTAR TABEL Tabel 5.1: Nilai r1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
xi
DAFTAR SIMBOL
a
:
Jari-jari dinding kapiler.
b
:
Jari-jari dinding jaringan.
A
:
Koefisien kesetimbangan Reaksi (Michaelis-Menten).
B
:
Konstanta Michaelis.
c˜
:
Konsentrasi Oksigen di jaringan.
c˜k
:
Konsentrasi Oksigen di kapiler.
cin
:
Konsentrasi di ujung awal Kapiler.
ca
:
Konsentrasi awal di dinding kapiler.
ci
:
Konsentrasi di dinding kapiler.
Db
:
Koefisien difusi darah.
Dj
:
Koefisien difusi jaringan.
g0
:
Konstanta laju konsumsi Oksigen.
h
:
Koefisien ketahanan perpindahan massa.
In
:
Fungsi Bessel Termodifikasi orde-n
J
:
Fluks.
Jn
:
Fungsi Bessel orde-n
Kn
:
Fungsi Bessel Termodifikasi orde-n
r˜
:
Posisi dalam arah radial.
t˜
:
Waktu.
T1
:
Periode fungsi konsentrasi di dinding kapiler.
hui :
Rata-rata kecepatan darah.
V
:
Volume.
Yn
:
Fungsi Bessel orde-n
z˜
:
Posisi dalam arah aksial.
θ
:
Posisi dalam arah angular.
κ
:
Koefisien linier laju konsumsi oksigen.
ε
:
Waktu yang diperlukan untuk perubahan konsentrasi dari ca ke ci .
∇2
:
Operator Laplace xii
