B AB 1 MODEL JARINGAN UNTUK SISTEM SEDERHANA 1.1
Konsep Model Jaringan
Pada bab sebelumnya telah dijelaskan aplikasi dasar dari teori peluang untuk pengukuran keandalan sistem. Namun demikian, pada praktiknya sistem sering dimodelkan dengan menggunakan jaringan (network) dimana komponen – komponen pada sebuah sistem dihubungan dalam pola hubungan seri, paralel, serta gabungan seri dan paralel. Kesulitan dalam pemahaman metoda-metoda analitik penilaian keandalan sering diakibatkan lemahnya pemahaman terhadap pemodelan jaringan ini. Disamping itu harus diingat pulan bahwa topologi struktur sistem tidak selalu sama dengan model jaringan. Hal ini karena sistem kadang memiliki mekanisme kerja yang berbeda dengan topologi struktur yang terlihat. Sebagai contoh, sistem pompa sentrifugal yang tersusun paralel secara phisik kadang kala memiliki karakteristik kerja dimana satu atau lebih pompa beroperasi dan pompa lainnya akan bekerja saat pompa utama gagal beroperasi. Karena itu hendaknya pemahaman terhadap karakeristik kerja sistem dimiliki terlebih dahulu sebelum kita melakukan pemodelan jaringan. Komponen-komponen dapat dikatakan terhubung secara seri jika untuk menjamin sistem sukses semua komponen harus beroperasi atau tidak boleh gagal. Kegagalan pada satu komponen yang terhubung seri akan menyebabkan kegagalan sistem. Komponen-komponen dikatakan terhubung secara paralel jika hanya satu komponen saja yang terhubung secara seri dibutuhkan untuk menjamin sistem
1
sukses. Sistem akan gagal jika semua komponen yang terhubung paralel juga gagal. Dengan demikian sistem seri sering juga disebut dengan istilah non-redundant system serta sistem paralel disebut dengan fully redundant system.
1.2
Sistem Seri
Sistem yang terdiri dari dua komponen seri yakni
A
B
komponen A dan komponen B memiliki indeks keandalan komponen (R) masing-masing Ra dan Rb. Dengan demikian keandalan sistem dapat ditentukan dengan:
Gambar 1.2-1 Sistem seri dengan 2 komponen
Rs = Ra x Rb .................................................................... Jika terdapat n komponen yang terhubung secara seri maka: n
Rs =
∏ Ri ........................................................................... i =1
Dengan demikian indeks keandalan sistem yang terdiri dari beberapa komponen seri adalah perkalian dari indeks keandalan masing-masing komponen didalam sistem tersebut. Pada beberapa kasus penilaian keandalan, adakalanya akan lebih untuk menghitung indeks ketidakhandalan (unreliability-Q) terlebih dahulu sebelum menghitung indeks keandalan. Mengingat keandalan dan ketidakhandalan adalah komplementer terhadap satu sama lain, maka Qs = 1 - Ra x Rb = 1-(1-Qa).(1-Qb) = Qa + Qb - Qa.Qb ........................................................ Dan untuk n komponen seri maka
2
n
Qs = 1 −
∏ Ri ....................................................................... i =1
Contoh 3.1 Sistem A terdiri dari 5 komponen dan sistem B terdiri dari 10 komponen identik dimana semua sistem harus beroperasi untuk menjamin sistem sukses. Jika indek keandalan masing-masing komponen adalah 0.95, berapakah indek keandalan sistem A dan B tersebut tersebut? Untuk sistem A, maka
Rs
=
0.955 =
0,7737
Untuk sistem B, maka
Rs
=
0.9510 =
0,5987
Dari contoh soal di atas dapat diamati bahwa sistem seri akan sukses jika semua komponen yang ada pada sistem juga sukses. Kegagalan pada satu komponen akan menyebabkan sistem menjadi gagal. Semakin banyak komponen yang terhubung secara seri, maka keandalan sistem akan makin rendah. Contoh 3.2 Dua buah komponen identik yang terhubung secara seri memiliki indeks keandalan komponen 0.99. Berapakah indeks ketidakhandalan system? Qs = 1 – Ra.Rb = 1 – 0.992 = 0.0199 Contoh 3.3 Sebuah sistem membutuhkan 200 buah komponen identik yang terhubung secara seri. Jika indeks keandalan sistem tidak boleh kurang dari 0.99, berapakah indeks keandalan komponen dalam sistem? Rs = R200 = 0.99 Dengan demikian R = 0.991/200 = 0.99995
3
1.3
Sistem Paralel
Perhatikan dua komponen A dan B yang terhubung
A
secara paralel seperti terlihat pada gambar 3.2. Pada susunan tersebut, sistem sukses ditentukan jika paling tidak salah satu dari komponen tersebut sukses.
B
Dengan kata lain, sistem akan gagal jika semua komponen yang terhubung paralel gagal.
Gambar 1.3-2 Sistem paralel dengan 2 komponen
Indeks ketidakandalan sistem dirumuskan dengan: Qp = Qa x Qb .................................................................... Jika terdapat n komponen yang terhubung secara seri maka, indeks ketidakandalan sistem adalah: n
Qp =
∏ Qi ............................................................................. i =1
Dengan demikian indeks keandalan sistem diperoleh dengan: Rp = 1 - Qs = 1 – (Qa x Qb) ............................................. Jika terdapat n komponen yang terhubung secara seri maka, indeks keandalan sistem adalah: n
Rp = 1 −
∏ Qi ......................................................................... i =1
Daro pernyataan di atas dapat diketahui bahwa semakin banyak komponen yang terhubung secara paralel di dalam sistem, maka indeks keandalan sistem akan semakin tinggi. Contoh 3.4 Sebuah sistem terdiri dari empat komponen yang terhubung paralel dengan indeks keandalan komponen adalah 0.99, 0.95, 0.98, dan 0.97. Berapakah indeks keandalan dan ketidakandalan sistem?
4
Qp = Q1 x Q2 x Q3 x Q4 = (1-0.99) x (1-0.95) x (1-0.98) x (1-0.97) = 3.10-7 Dengan demikian indeks keandalan sistem adalah 1-3.10-7 = 0.9999997 Contoh 3.5 Sebuah komponen memiliki indeks keandalan 0.8. Analisalah pengaruh penambahan jumlah komponen jika komponen tersebut terhubung paralel satu sama lain. Jumlah Komponen 1 2 3 4 5 6
Keandalan sistem 0.800000 0.960000 0.992000 0.998400 0.999680 0.999936
penambahan keandalan 0.160000 0.032000 0.006400 0.001280 0.000256
prosentase keandalan 20 24 24,8 24,96 24,99
Dari persamaan yang telah dibahas di depan, maka diperoleh hasil sebagai berikut: Disini terlihat bahwa penam-
bahan koponen pertama terhadap satu komponen utama memberikan peningkatan prosentase keandalan yang paling besar. Penambahan beberapa komponen berikutnya tidak terlalu signifikan meningkatkan keandalan sistem secara keseluruhan. Contoh 3.6 Sebuah sistem yang memiliki indeks keandalan komponen 0.7, harus didisain agar memiliki indeks keandalan sistem sebesar 0.999. Berapakah jumlah minimum komponen yang harus dihubungkan secara paralel? 1 – 0.999 = (1 – 0.7)n 0.001 = 0.3n, sehingga n = 5,74 komponen, atau kalau dibulatkan akan menjadi 6 komponen.
1.4
Kombinasi sistem seri-paralel
Pada kasus susunan kombinasi antara seri dan paralel, maka penyederhanaan sistem dapat dilakukan dengan menggabungkan beberapa komponen yang terhubung secara seri atau paralel menjadi satu nilai keandalan gabungan.
5
Contoh 3.7 Tentukan
1
2
3
4
6
7
8
indeks
keandalan total sistem seriparalel
5
berapa
keandalan
ini
jika
indek
masing-masing
komponen adalah 0.9 Gambar 1.4-3 Sistem kombinasi seri-paralel
Sistem di atas dapat disederhanakan dengan menggabungkan keempat komponen seri (1, 2, 3, 4) (disebut dengan 9) menjadi satu bagian gabungan, dan proses yang sama juga dilakukan untuk komponen seri (5, 6, 7, 8) (disebut dengan 10). Selanjutnya dua gabungan komponen yang terhubung secara paralel dapat diselesaikan dengan algoritma sistem paralel. R9 = R1 R2 R3 R4
9 R10 = R5 R6 R7 R8 11
R11 = 1 – (1-R9)(1-R10) = R9+R10-R9R10 10
R11 = 0.94+0.94-0.98 = 0.8817 Gambar 1.4-4 Penyederhanaan sistem kombinasi seri-paralel
Contoh 3.8
3 1
Dapatkan
ekspresi
keandalan
sistem disebelah dan hitung indeks
2
ketidakandalan sistem jika indeks
4
keandalan
masing-masing
komponen adalah 0.8
5 Gambar 1.4-5 kombinasi seri-paralel
Langkah penyederhanaan adalah dengan menggabungkan komponen 3 dan 4 menjadi gabungan komponen 6. Selanjutnya komponen 1, 2 dan 6 digabungkan kembali menjadi gabungan komponen 7 dan diakhiri dengan menyederhanakan susunan parelel antara komponen 7 dan komponen 5.
6
1
2
7
6
8 5
5
Gambar 1.4-6 Langkah penyederhanaan kombinasi seri-paralel
Dari gambar diatas dapat dirumuskan: Q6 = Q3 . Q4 Q7 = 1–(1–Q1)(1–Q2)(1–Q6) = Q1+Q2+Q6–Q1Q2-Q2Q6-Q6Q1+Q1Q2Q6 Q8 = Q5 . Q7 Q8 = Q5(Q1+Q2+Q3Q4-Q1Q2-Q2Q3Q4-Q3Q4Q1+Q1Q2Q3Q4) = 0.07712 Atau dengan cara yang lain diperoleh: R6=R3+R4-R3R4
R7=R1R2R6
R8=R5+R7-R5R7=R5+R1R2(R3+R4-R3R4)-R5R1R2(R3+R4-R3R4) = 0.92288 Q8 = 1 – 0.92288 = 0.07712
1.5
Partially Redundant System
4
2 1
5
Tentukan
ekspresi
indeks
keandalan
gambar
berikut
dimana dari 3 komponen yaitu komponen 4, 5 dan 6,
3 6
minimum hanya 2 komponen saja
7
yang
untuk
harus
menjamin
sukses sistem
sukses. Gambar 1.5-7 Partially redundant system
7
Sistem di atas dapat disederhanakan dengan cara menggabungkan komponen 2 dan 3 menjadi gabungan 8, selanjutnya komponen 4, 5 dan 6 digabungkan menjadi gabungan komponen 9. Komponen 1, gabungan 8 dan gabungan 9 selanjutnya dapat disederhanakan menjadi gabungan komponen 10 dan akhirnya dapat disederhanakan dengan memparalelkan gabungan komponen 10 dengan komponen 7. Langkah–langkah tersebut dapat dilihat pada gambar berikut.
1
8
9
10
11
7
7
Gambar 1.5-8 Penyederhanaan partially redundant system
Perbedaan dengan contoh 3.8 di atas adalah bahwa pada kasus partially redundant system, gabungan komponen 9 tidak dapat dihitung langsung dengan memparalelkan ketiga komponen pendukungnya, karena ada persyaratan bahwa cukup 2 komponen saja harus sukses untuk menjamin gabungan komponen tersebut sukses. Ini bisa diselesaikan dengan menggunakan pendekatan distribusi binomial seperti yang telah dibahas pada bab sebelumnya. Q8 = Q2Q3
R10 = R1R8R9
Q11 = Q10Q7 = Q7(1-R1R8R9)= Q7(1-R1(1-Q2Q3)R9)= Q7(1-R1R9+R1R9Q2Q3) Selanjutnya R9 diperoleh dengan menggunakan distribusi binomial, dimana R4=R5=R6=R dan Q4=Q5=Q6=Q dan menghasilkan R9 = R3 + 3R2Q dan Q9 = 3RQ2 + Q3 Jika R4KR5KR6 dan Q4KQ5KQ6, maka: R9=R4R5R6+R4R5Q6+R5R6Q4+R6R4Q5,dan Q9= R4Q5Q6+R5Q6Q4+R6Q4Q5+Q4Q5Q6 Jika Ri = 0.8, maka R9 = 0.8960, Q9 = 0.1040, dan Q11 = 0.06237
1.6
Standby Redundant System 8
Sistem standby mengoperasikan satu atau lebih komponen utama dan satu atau lebih komponen dalam posisi standby yang akan beroperasi bila komponen utama gagal. Proses pemindahan kerja komponen ini dilakukan dengan menggunakan switch. Gambar 3.9 (a) adalah susunan parallel redundant dimana komponen A dan B beroperasi secara bersama-sama untuk melayani fungsi tertentu. Sementara itu Gambar 3.9 (b) adalah susunan standby redundant dimana komponen A beroperasi terlebih dahulu (karena terhubung dengan switch) sampai komponen tersebut gagal dan selanjutnya jika gagal switch akan berpindah ke komponen B untuk menggantikan fungsi komponen A.
A
A
B
B
(a)
(b)
Gambar 1.6-9 (a) Parallel redundancy (b) Standby redundancy
Pada buku ini hanya akan dibahas penurunan algoritma sistem standby untuk kasus switch sempurna (tidak mungkin gagal) dan kasus switch tidak sempurna. Kasus switch sempurna: Jika switch sempurna, dimana switch pasti sukses dalam memindahkan fungsi kerja komponen A ke komponen B saat komponen A tersebut gagal, maka sistem akan gagal jika komponen A gagal dan komponen B gagal (dimana A sudah gagal terlebih dahulu), atau dapat dituliskan: Q = Q( A).Q( B A)
Jika komponen A dan komponen B diasumsikan independen satu sama lain, maka Q = QA . QB ......................................................................... B
Persamaan di atas serupa dengan persamaan peluang kegagalan sistem parallel redundancy. Hal ini tidak benar, sebab sekalipun peluang kegagalannya sama,
9
namun
pada
standby
redundancy
waktu
operasi
komponen-komponen
didalamnya tentunya akan lebih kecil jika dibandingkan dengan parallel redundacy, sebab komponen B hanya akan berfungsi jika komponen A gagal. Hal ini berbeda dengan parallel redundancy dimana kedua komponen beroperasi bersama-sama. Kasus switch tidak sempurna: Jika switch tidak sempurna, maka berarti switch tersebut memiliki peluang untuk gagal dalam memindahkan fungsi kerja komponen A saat gagal menuju komponen B. Jika peluang switch sukses melakukan kerjanya adalah Ps, maka peluang kegagalan switch akan menjadi Qs = (1 – Ps). Permasalahan ini selanjutnya dapat diselesaikan dengan konsep peluang bersyarat (conditional probability) dimana: P(sistem gagal) = P(sistem gagal jika switch sukses) x P(switch sukses) + P(sistem gagal karena switch gagal) x P(switch gagal) Pernyataan diatas dapat diterjemahkan secara matematis menjadi: Q = QA.QB.Ps + QA.Qs B
= QAQBPs + QA(1-Ps) B
= QAQBPs + QA – QAPs B
= QA – QAPs(1-QB)...................................................... B
Jika switch terhubung dengan komponen B (komponen A standby), maka: Q = QB – QBPs(1-QA)........................................................ B
B
Jika switch memiliki peluang gagal tidak hanya pada saat melakukan fungsi pemindahan namun juga pada saat switch tersebut berada pada kondisi standby, maka kondisi tersebut bisa diwakili oleh hubungan seri antara Komponen A dan B yang terhubung paralel dengan switch tersebut. Pada kondisi ini switch tidak hanya memiliki peluang gagal pada saat melakukan fungsi pemindahan kerja (Ps) namun juga memiliki peluang gagal saat pada kondisi standby (indeks
10
keandalan switch tidak sama dengan 1 saat pada posisi standby). Hal tersebut dapat dijelaskan melalui gambar berikut.
A Ps
Rs
B Gambar 1.6-10 Standby redundancy dengan switch tidak sempurna
Dengan demikian: Q = [QA-QAPs(1-QB)] + Qs – [QA-QAPs(1-QB)]Qs ............... B
B
R = Rs(1-(QA-QAPs(1-QB)) ................................................ B
Jika switch terhubung dengan komponen B (komponen A standby) maka: Q = [QB-QBPs(1-QA)] + Qs – [QB-QBPs(1-QA)]Qs ............... B
B
B
B
R = Rs(1-(QB-QBPs(1-QA)) ................................................ B
B
Contoh 3.9 Jika susunan seperti pada gambar 3.10 memiliki indeks keandalan komponen A dan B adalah 0.9 dan komponen B memiliki keandalan jika komponen A sudah gagal terlebih dahulu sebesar 0.96, maka berapakah keandalan sistem jika (a) switch sempurna? (b) switch punya peluang gagal 0.08? (c) switch memiliki keandalan saat kondisi operasi sebesar 0.98? (a) R = 1 – (1-0.9) (1-0.96) = 1 – (0.1 x 0.04) = 0.996 (b) R = 1 – (0.1 – 0.1x0.92(1-0.04)) = 0.988 (c) R = 0.98 x 0.988 = 0.969 Contoh 3.10 Sama seperti contoh 3.9, jika susunan seperti gambar dibawah dan komponen C dan D memiliki indeks keandalan 0.99 dan 0.8, berapa indeks keandalan sistem?
11
A Ps C
Rs
B D
Indeks keandalan bagian A,B,Ps dan Rs sudah didapatkan pada contoh sebelumnya yakni 0.969. Karena itu indeks keandalan sistem secara keseluruhan adalah: R = RC(1-QD(1-0.969)) = 0.99(1-0.2(1-0.969) = 0.984
12
