Metaforen bij het leren van wiskunde: Waarom kunnen de mensen niet gewoon zeggen wat ze bedoelen? Joop van Dormolen
[email protected] 2012-06-08 www.elwier.nl
-
Voorbeelden en non-voorbeelden Zone van naaste ontwikkeling Niveaus van denken Proces-objectparen Reflectie op signaal en symbool Cognitieve belasting
“Ik wist het eigenlijk al, maar ik wist niet dat ik het wist.”
2
Want ook al kent de wiskunde nóg zoveel verschillende facetten, en ook al zijn er nóg zo veel aanknopingspunten met de meest uiteenlopende disciplines, toch blijft de wiskunde uiteindelijk één geheel. (Handboek, hfdst. 1)
3
Rij getallen b is een niet-stijgende rij.
(Waarom kunnen die wiskundigen niet gewoon zeggen wat ze bedoelen?)
4
Door twee punten kun je precies één lijn trekken.
5
Een functie is een voorschrift dat aan elk getal uit een bronverzameling B een getal uit een doelverzameling D toevoegt. Welk getal wordt door de functie x → 2x+3 wordt aan 2 toegevoegd?. Antwoord: Het getal 9 Een functie is zoiets als een machientje: Je stopt er een getal in en het geeft je een getal dat er bij hoort. 6
De functie van hoofdstuk 1 Dit eerste hoofdstuk verschilt van de volgende. De meeste andere hoofdstukken zijn opgebouwd rond een bepaald wiskundig thema, zoals vergelijkingen of modelleren, waarbij de voor dat thema relevante didactische theorieën worden toegepast op het leren en onderwijzen van dat onderwerp. Voor een bredere bespreking van die achterliggende theorieën wordt verwezen naar dit hoofdstuk 1, dat dus een naslagfunctie heeft.
7
Metaforen in de wiskunde Wortel van een getal Kegel Worteltrekken Imaginaire getallen Breuk Ring Lichaam
Snijdende lijnen
* 1
2
3
Punt, lijn, vlak =
1 1
2
Limiet
3
4 4
5 5
Benen van een hoek
2 2
4
0
2
4
0
3
Wortel van een vergelijking Reële getallen
3 3
0
3
Determinant
Vectorveld
4 Ruit 4 2
0
4
2
5 5
3
2
1
4
8
verticaal mathematiseren horizontaal mathematiseren
9
Zo vader, zo zoon
appel is een vrucht van een appelboom
ontvanger Die jongen is net als zijn vader
zender 10
interpretatie
letterlijk
ontvanger bedoelde betekenis zender 11
Wikipedia Een metafoor is een vorm van beeldspraak, waarbij geen vergelijkingwoord (als, zoals, net een, …) gebruikt wordt. Een metafoor kan ook een retorische beeldspraak zijn, die effect bereikt via associatie, vergelijking, gelijkenis, antithese (=tegenstelling), hyperbool (=(buitensporige)overdrijving) of metoniem.
12
Negatieve getallen in een kostschool Bonuspunten ≈ positieve getallen Strafpunten ≈ negatieve getallen Punten erbij doen ≈ optellen Punten eraf halen ≈ aftrekken Bij goed gedrag bonuspunten erbij: 8 + 4 = 12 Bij slecht gedrag strafpunten erbij: 3 + -6 = -4 Bij goed gedrag strafpunten eraf: -8 - -5 = -3 Bij slecht gedrag bonuspunten eraf: 5 – 3 = 2 -5 - -7 = ? 3+?= 2 13
Problemen bij gebruik van figuurlijke text De ontvanger interpreteert het signaal letterlijk, terwijl het figuurlijk bedoeld is. Één lijn door twee punten. De ontvanger interpreteert het signaal figuurlijk, terwijl het letterlijk bedoeld is. Een functie voegt een getal aan een getal toe. De ontvanger interpreteert het signaal figuurlijk, maar niet zoals de zender het bedoelde. Ze weten niet wat ze met hem moeten doen. De ontvanger weet niet hoe het signaal geinterpreteerd moet worden. Hoe kun je 7 strafpunten aftrekken als je maar 5 strafpunten hebt. 14
Waarschuwen voor een metafoor Zoals het spreekwoord zegt: De appel valt niet ver van de De appel valt niet ver van de boom. boom. zijn punten van een lijn. Getallen kun je je voorstellen als punten van een lijn. Een verkoopautomaat. Een functie functie is is een net zoiets als een verkoopautomaat. Een vector een Je kunt het is ook zopijl. zien: Een vector is een pijl. Hij zit op is zijn Die man zogeld. gierig. Hij zit op zijn geld, zo lijkt het wel. Dat In deis wiskunde een ruit. noemt men zoiets een ruit.
15
Dode metafoor Wortel van een getal
Benen van een hoek
Kegel
Wortel van een vergelijking
Worteltrekken
Reële getallen
Imaginaire getallen
Determinant
Breuk
Vectorveld
Ring
Ruit
Lichaam Snijdende lijnen Punt, lijn, vlak = Limiet
16
Robert Recorde (1510-1558) in zijn 1557 boek The Whetstone of Witte
17
Waarom kunnen de mensen niet gewoon zeggen wat ze bedoelen?
19
Literatuur Hoofdstuk in: Bishop, A., Mellin-Olsen, S., Van Dormolen, J. (1991). Mathematical knowledge: Its growth through teaching. Kluwer, Dordrecht.
Van Dormolen, J. (2000). Reflecteren in en buiten de klas, Ideeën en activiteiten. APS, Utrecht.
20
DE MOEDER DE VROUW Ik ging naar Bommel om de brug te zien. Ik zag de nieuwe brug. Twee overzijden die elkaar vroeger schenen te vermijden worden weer buren. Een minuut of tien dat ik daar lag, in 't gras, mijn thee gedronken mijn hoofd vol van het landschap wijd en zijdlaat mij daar midden uit de oneindigheid een stem vernemen dat mijn oren klonken. Het was een vrouw. Het schip dat zij bevoer kwam langzaamaan stroom af door de brug gevaren. Zij was alleen aan dek, zij stond bij 't roer, en wat zij zong hoorde ik dat psalmen waren. O, dacht ik, o dat daar mijn moeder voer. Prijs God zong zij, Zijn hand zal u bewaren.
Martinus Nijhoff (1894 – 1953) 21
