MÉRÉSTECHNIKA DR. SAMU KRISZTIÁN

2014.09.11.

MÉRÉSTECHNIKA DR. SAMU KRISZTIÁN egyetemi docens BME - Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék 2014

Dékáni utasítás:

1

2014.09.11.

„ars poetica” 

LABOR felelős: Bojtos Attila bojtos@ mogi.bme.hu Labor útmutatók és követelmények: 09.12-én este Labor beosztások: 09.12-én este www.mogi.bme.hu

2

2014.09.11.

Követelmények    





    

Elérhető teljes pontszám: 120 Mérési gyakorlatok száma 6, ebből maximálisan 6x10 pont szerezhető meg az elvégzett mérésekért. Az elméleti anyag számonkérése az utolsó előtti előadási órán történik. A zh 60 pontot ér. ZH a 13. héten, Pót ZH 14. héten. Aláírás feltétele min. 48 pont, a következő bontásban: – A mérések összpontszáma legalább 24, – ZH-n 24 pont elérése. Tanítási szünet miatt kieső mérések pótlása szabad heteken történik. Ha ez nem lehetséges, akkor az 5 db labor eredményét számítjuk át 60 pontra! A mérési beosztás a mérvadó! 2 db mérési gyakorlaton írásban ellenőrizzük az adott mérési gyakorlat anyagából való felkészülést és a jegyzőkönyv pontszámát a számonkérés eredményével súlyozzuk. (tehát 2 alkalommal beugró kérdés!!!) 40%-os beugró eredmény alatt a mérést meg kell ismételni! Mérés pótlása lehetséges más kurzusok szabad mérőhelyein. Pótlási héten pótlás és javítás is lehetséges, igen korlátozott számú hallgató számára (3 hallgató/mérőhely). Minden pótmérés beugró ZH köteles!!! JK előkészítés: fejléc és táblázat nyomtatás, főbb ismérvek kézzel. A többi a helyszínen kézzel. Leadás: óra végén!

LABOR KURZUSOK: Tárgykód

Tárgy név

Kurzus típus

Kurzus kód

Fő/Várólistás/Limit

Órarend inf.

BMEGEMIAMG1

Méréstechnika

Labor

14o_L01

18/0/18(min. 10)

H:12:15-14:00(D532);

BMEGEMIAMG1

Méréstechnika

Labor

14o_L02

18/0/18(min. 10)

H:12:15-14:00(D532);

BMEGEMIAMG1

Méréstechnika

Labor

14o_L03

18/0/18(min. 10)

H:14:15-16:00(D532);

BMEGEMIAMG1

Méréstechnika

Labor

14o_L04

18/0/18(min. 10)

H:14:15-16:00(D532);

BMEGEMIAMG1

Méréstechnika

Labor

14o_L05

17/0/18(min. 10)

H:16:15-18:00(D532);

BMEGEMIAMG1

Méréstechnika

Labor

14o_L06

18/0/18(min. 10)

H:16:15-18:00(D532);

BMEGEMIAMG1

Méréstechnika

Labor

14o_L07

17/0/18(min. 10)

K:08:15-10:00(D532);

BMEGEMIAMG1

Méréstechnika

Labor

14o_L08

18/0/18(min. 10)

K:08:15-10:00(D532);

BMEGEMIAMG1

Méréstechnika

Labor

14o_L09

18/0/18(min. 10)

SZE:10:15-12:00(D532);

BMEGEMIAMG1

Méréstechnika

Labor

14o_L10

18/0/18(min. 10)

SZE:10:15-12:00(D532);

BMEGEMIAMG1

Méréstechnika

Labor

14o_L11

18/0/18(min. 10)

SZE:12:15-14:00(D532);

BMEGEMIAMG1

Méréstechnika

Labor

14o_L12

18/0/18(min. 10)

SZE:12:15-14:00(D532);

BMEGEMIAMG1

Méréstechnika

Labor

14o_L13

18/0/18(min. 10)

CS:08:15-10:00(D532);

BMEGEMIAMG1

Méréstechnika

Labor

14o_L14

18/0/18(min. 10)

CS:08:15-10:00(D532);

BMEGEMIAMG1

Méréstechnika

Labor

14o_L15

18/0/18(min. 10)

CS:14:15-16:00(D532);

BMEGEMIAMG1

Méréstechnika

Labor

14o_L16

18/0/18(min. 10)

CS:14:15-16:00(D532);

BMEGEMIAMG1

Méréstechnika

Labor

14o_L17

18/0/18(min. 10)

CS:16:15-18:00(D532);

BMEGEMIAMG1

Méréstechnika

Labor

14o_L18

17/0/18(min. 10)

CS:16:15-18:00(D532);

BMEGEMIAMG1

Méréstechnika

Labor

14o_L19

0/0/18(min. 10)

P:08:15-10:00(D532);

BMEGEMIAMG1

Méréstechnika

Labor

14o_L20

0/0/18(min. 10)

P:08:15-10:00(D532);

BMEGEMIAMG1

Méréstechnika

Labor

14o_L21

0/0/18(min. 10)

P:12:15-14:00(D532);

BMEGEMIAMG1

Méréstechnika

Labor

14o_L22

0/0/18(min. 10)

P:12:15-14:00(D532);

BMEGEMIAMG1

Méréstechnika

Labor

14o_L23

18/0/18(min. 10)

P:14:15-16:00(D532);

BMEGEMIAMG1

Méréstechnika

Labor

14o_L24

10/0/18(min. 10)

P:14:15-16:00(D532);

3

2014.09.11.

pdf kód: MOGI_Meres_2014_GbB22-h6Q6N www.mogi.bme.hu

Ajánlott irodalom 

Halász – Huba: Műszaki mérések (Műegyetemi Kiadó, 2003)





tankonyvtar.hu, Czifra, Drégelyi-Kiss, Galla, Huba, Kis, Petróczky: Műszaki mérések Hütte: A mérnöki tudományok kézikönyve, H fejezet (Springer, 1993)

4

2014.09.11.

Amire még építünk:    

 

Műszaki és gazdasági adatok elemzése – jelen szemeszter Matematika 3 - jelen szemeszter Rezgéstan - következő szemeszter Irányítástechnika – következő év

Szenzortechnika – szab. vál. Műszertechnika - szakirányos

Labor gyakorlatok tematikája 

1. 2. 3. 4.

5. 6.

Gépészeti alapmérések: Finommechanikai alkatrész minősítése Hosszmérés finomtapintóval Sorozatmérés digitális mérőórával Kúpszög mérése Mérés és kiértékelés számítógéppel Mérés mérőmikroszkóppal

5

2014.09.18.

MÉRÉSTECHNIKA DR. SAMU KRISZTIÁN egyetemi docens

BME - Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék

2014.

Bevezetés

A GÉPÉSZET ÉS A MÉRÉSTECHNIKA

1

2014.09.18.

Miért fontosak a mérési jegyzőkönyvek esetében a formai követelmények?

Kalibrálási jegyzőkönyv Vizsgálóeszköz azonosítószám: Típus: Mérési tartomány: Mérőhasáb készlet száma: 1.sz. beállító gyűrű számjele: 2.sz. beállító gyűrű számjele: Vizsgálati hőmérséklet: Mérőpofák párhuzamossága: Tolómérő felületének épsége:

MÉRŐHASÁB KALIBRÁLÁS A mérőhasáb névleges és mért hossza az általános definícióban a következő kikötések figyelembe vételével igaz: hőmérséklet = 20 °C légnyomás = 101,325 Pa ( 1 at) vízgőznyomás = 1,333 Pa ( 10 Hgmm) CO2 tartalom = 0,03 %

Pontossági fokozat K (00) 0 1 2

A mért hossz eltérésének tűrése a névleges hossztól Képlet (µm) ±(0,05+0,001L) ±(0,1+0,002L) ±(0,2+0,004L) ±(0,4+0,008L)

2

2014.09.18.

A mérőhasábok a nagy pontosságú mérések legegyszerűbb eszközei. Olyan téglatest alakú lapok, amelyeknek két szemben fekvő tükrösített mérőfelülete közötti távolság a névleges méret előírt pontosságú meghatározására szolgál.

MICHELSON INTERFEROMÉTER SUGÁRMENETÉNEK VÁZLATA (Tref) Ref. tükör (T2) Lézer fényforrás (L)

Féligáteresztő tükör (T)

mérőhasáb felület (F)

dx

x Érzékelő (É)

plán paralel lemez (T2) T2 rácsok F rácsok

3

2014.09.18.

Az interferencia képek kiértékelése a MKEH Hosszmérő Laboratóriumában a Microsoft Paint program segítségével történik

A mérés egyenlete

       

 

l: a hasáb hossza 20 °C hőmérsékletre vonatkoztatva q: a végzett mérések száma λi: az egyes méréskehez használt fény névleges hullámhossza ni: a levegő egyes mérésekhez kiszámolt törésmutatójának az értéke Ki: a hasáb hosszon a fény félhullámhossz számának egészrésze Fi: a hasáb hosszon a fény félhullámhossz számának törtrésze α: a hasáb lineáris hőtágulási együtthatója ΔTi: a hasáb hőmérsékletének 20 °C – tól való eltérése az egyes mérések alkalmával Korrekciók Bizonytalanság

A képkiértékelés időigénye: 30 perc (a hasáb egy oldaláról készített 8 kép esetén) Az adatok feldolgozásának időigénye: 25 perc (a képpontok beírása EXCEL-be)

4

2014.09.18.

MÉRŐHASÁB KÉSZLET

Pontossági A mért hossz eltérésének fokozat tűrése a névleges hossztól (ISO) Képlet (µm) K (00) ±(0,05+0,001L) 0 ±(0,1+0,002L) 1 ±(0,2+0,004L) 2 ±(0,4+0,008L)

MÉRŐHASÁB PONTOSSÁGI VIZSÁLATA

Alkalmazás Labor hitelesítés Mérőszobai kalibrálás Üzemi kalibrálás Üzemi mérés

1. Magasabb osztállyal történő kalibrálás

2. Mérőfelületminősítés síkpárhuzamos (plánparalel) üveglemezzel

• K és 0. oszt. - Interferencia + szivárványosság nem keletkezhet • 1. oszt. – Interferencia nem keletkezhet • 2. oszt. - Interferencia + szivárványosság keletkezhet:

5

2014.09.18.

INTERFERENCIA levegőék esetén:

SÍKLAPOK

6

2014.09.18.

MÉRÉSTECHNIKA A GÉPÉSZETBEN ÉS A MODERN FOGYASZTÁSI CIKKEKEBEN (szemléltető példák) 

IDŐBEN VÁLTOZÓ MENNYISÉGEK MÉRÉSE A MODERN GÉPÉSZETBEN (ISMÉTLÉS) Mechatronikai Klasszikus gépészeti kérdésfelvetés szemléletű kérdésfelvetés Mekkorák legyenek a gerjesztések, hogy teljesüljenek az előírt mennyiségek?

Előírva: Gerjesztések

Tömegek, tehetetlenségek Tömegek, tehetetlenségek

MÉRÉS! Előírva:

x, φ, v, Ω, a, ε, F, M,

Mekkora, és milyen irányú lesz ?

x, v, a, F,

φ, Ω, ε, M,

AKTUÁTOROK Mérés (Visszacsatolás)

SZENZOROK

Processzor (szabályozó)

Előírt értékek

7

2014.09.18.



Extrém nagy fordulatszámú tengelyek elektromágneses „lebegtetése” (Asztali földgömb, a kommersz „testvérke”)



NC/CNC gépek pozicionáló rendszere



CD szenzor



Lézeres Doppler Vibrometer

www.s2m.fr www.skf.com

http://www.skf.com/group/products/magnetic-systems/index.html

8

2014.09.18.

Aktív csapágyazás (N>20.000/min) Pl.: Lézer TV poligon tükre, spec. hűtőkompresszor, www.s2m.fr Teljesítmény erősítő

Szabályozó

Jelfeldolgozó

ALAPJEL

Távolságszenzor-pár (útadó) Forgórész

Elektromágnes-pár

Szabályozórendszer általános bemutatása alap jel

xa

rendelkező jel

végrehajtó jel

xr

xv SZABÁLYZÓ

xe

ÉRZÉKELŐ (mérés)

szabályozott jel

SZAKASZ (folyamat)

xsz

MÉRÉSTECHNIKA

érzékelő jel

9

2014.09.18.

ÚTADÓ AC

AC

ube

uki

Transzformátoros Fojtótekercses

AC

MÉRENDŐ

ELÉRHETŐ

MÉRT

10

2014.09.18.

PÉLDA, AMELY AZ ELŐZŐ DIA FREKVENCIAMENETÉHEZ TARTOZIK: INDUKTÍV GYORSULÁSÉRZÉKELŐ

11

2014.09.25.



2014

MÉRÉSTECHNIKA A GÉPÉSZETBEN ÉS A MODERN FOGYASZTÁSI CIKKEKEBEN (szemléltető példák) 

1

2014.09.25.

IDŐBEN VÁLTOZÓ MENNYISÉGEK MÉRÉSE A MODERN GÉPÉSZETBEN (ISMÉTLÉS) Mechatronikai Klasszikus gépészeti kérdésfelvetés szemléletű kérdésfelvetés MÉRÉS!

Mekkorák legyenek a gerjesztések, hogy teljesüljenek az előírt mennyiségek?

Előírva: Gerjesztések

Előírva:

Tömegek, tehetetlenségek Tömegek, tehetetlenségek

x, φ, v, Ω, a, ε, F, M,

Mekkora, és milyen irányú lesz ?

x, v, a, F,

φ, Ω, ε, M,

AKTUÁTOROK

SZENZOROK

Mérés (Visszacsatolás)

Processzor (szabályozó)

Előírt értékek

Szabályozórendszer általános bemutatása alap jel

xa

rendelkező jel

végrehajtó jel

xr

xv SZABÁLYZÓ

xe

ÉRZÉKELŐ (mérés)

szabályozott jel

SZAKASZ (folyamat)

xsz

MÉRÉSTECHNIKA

érzékelő jel

2

2014.09.25.

NC, CNC pozicionáló rendszerek

D/A konverter

Jelformáló (szabályozó)

-

Jelfeldolgozó

PC, vagy mikrokontroller Alapjel (előírt érték)

POLYTEC

POLYTEC Laser Doppler Vibrometer „család” Rezgő felületek érintésmentes letapogatása Mérési távolság: 125 mm … 100 m Mérés látószöge: 50° x 40 ° Rezgés amplitúdó, elmozdulás (relatív is) mérése 0,01 … 0,5 m  Rezgés sebesség mérése 0,001 … 10 m/s  Frekvencia analízis: 1,0 MHz-ig    

http://youtu.be/YWwZU2hgjs8

3

2014.09.25.

Működési elv

lézer

osztóprizma

mozgó tükrök2

osztóprizma

minta objektív

prizma (tükör)

osztóprizma Braggcella1 detektor

1 – frekvencia moduláló eszköz (a frekvecia offset kiküszöbölésére) 2 – szkennelés céljából

4

2014.09.25.

A MÉRÉSI EREDMÉNY ALAKJA

q  q q

Mérendő mennyiség

Mérőszám

Etalon mértékegység

(3 részből áll)

x xv ha

VALÓDI ÉRTÉK, csak elméleti, mert ismernénk, nem kellene mérnünk. Várható érték: M(x)=μ

Helyette: x, xi leolvasott, TÉNYLEGESEN MÉRT ÉRTÉK xh

„HELYES” ÉRTÉK, amelyet az átlag

képvisel

x 

A mérés csak akkor „befejezett”, ha a hibaszámítást is elvégeztük!

- az összehasonlítás alapja

h

 H  

H ismert rendszeres hibák eredője Elméletben: H = x – xv Gyakorlatban: H = x – xh

 i  xi    i  xi  x

 mérési bizonytalanság Bizonytalansági tartomány, konfidencia intervallum Pl. egy összetevője a műszerkönyvben ± előjellel szereplő bizonytalanság

5

2014.10.02.



2014

1

2014.10.02.

A MÉRÉSI EREDMÉNY ALAKJA

q  q q

Mérendő mennyiség

Mérőszám

Etalon mértékegység

(3 részből áll)

x xv ha

VALÓDI ÉRTÉK, csak elméleti, mert ismernénk, nem kellene mérnünk. Várható érték: M(x)=μ

Helyette: x, xi leolvasott, TÉNYLEGESEN MÉRT ÉRTÉK xh

„HELYES” ÉRTÉK, amelyet az átlag

képvisel

x 

A mérés csak akkor „befejezett”, ha a hibaszámítást is elvégeztük!

- az összehasonlítás alapja

h

 H  

H ismert rendszeres hibák eredője Elméletben: H = x – xv Gyakorlatban: H = x – xh

 i  xi    i  xi  x

 mérési bizonytalanság Bizonytalansági tartomány, konfidencia intervallum Pl. egy összetevője a műszerkönyvben ± előjellel szereplő bizonytalanság

A MÉRÉSI HIBÁK, BIZONYTALANSÁGOK FORRÁSAI A eredmény bizonytalanságai azt tükrözik, hogy a mérendő mennyiségre vonatkozó ismereteink hiányosak. A „teljes” ismerethez „végtelen” mennyiségű információra lenne szükség.

Néhány jellegzetes bizonytalansági forrás: 1. A mérendő mennyiség hiányos meghatározása 2. A mérés nem tökéletes megvalósítása 3. A nem reprezentatív mintavétel 4. A környezeti feltételek hatásának nem tökéletes ismerete 5. A mérést végző személy hibájából adódó eltérések 6. A műszer véges felbontása, küszöbérzékenysége 7. Az etalonok és anyagminták pontatlan értékei 8. Az állandók és az algoritmusban alkalmazott faktorok pontatlansága 9. A mérési módszerben és eljárásban alkalmazott közelítések 10. A mérés ismétlőképességéből adódó eltérések 11….

2

2014.10.02.

MÉRÉSI EREDMÉNY KORREKT MEGADÁSA Figyelem! A következő 4 dián szereplő képletek nem „felismerések” eredményei. Ezek az összefüggések valószínűségszámítási módszerekkel igazolhatók. EGYETLEN MÉRÉS ELVÉGZÉSE ESETÉN:

y  x H  tu Eredmény

Bizonytalanság, ami az eljárás és a kivitelezés hibáira vezethető vissza. (Szűkebben értelmezve a műszer bizonytalansága).

Leolvasott érték Megbízhatósági (valószínűségi szint) faktora

Eredő rendszeres hiba (korrekció)

MÉRÉSI EREDMÉNY KORREKT MEGADÁSA MÉRÉSI SOROZAT (ISMÉTELT MÉRÉS) ELVÉGZÉSE ESETÉN „A” TÍPUSÚ BECSLÉSSEL , EGY „BEMENETI MENNYISÉG” ESETÉN:

s y  x  H  t s  x  H  t n 

x

Eredmény

Sorozat átlaga, vagy az átlagok átlaga

Átlag szórása Eredő rendszeres hiba

Megbízhatósági szint faktora

3

2014.10.02.

MÉRÉSI EREDMÉNY KORREKT MEGADÁSA EGY BEMENŐ ÉS EGY KIMENŐ MENNYISÉG ESETÉN, HA A MÉRÉSI SOROZATOT TÖBBFÉLE BIZONYTALANSÁG TERHELI, „A” és „B” TÍPUSÚ BECSLÉSSEL, VALAMINT U.N. KITERJESZTETT BIZONYTALANSÁGGAL: k 2 y  x  H  U  x  H  t   sx   u 2j  j1  

Eredmény Megbízhatósági szint faktora

Sorozat átlaga

Eredő rendszeres hiba

„Kiterjesztett” bizonytalanság

Eredmény (Y) megadása több bemenő mennyiség esetén, kétféle (A és B típ.) bizonytalanság becsléssel

Y  f ( X A1 , X A 2 ,...X A ,n k , X B1 ,...X Bk ) becslése : y  f ( x A1 , x A 2 ,...x A ,n k , x B1 ,...x Bk )  H eredő  U ahol n k k 2 U  k  u x   k    c i s x i    c j u 2j  j1  i 1 

Kiterjesztett mérési bizonytalanság „U”

A „k” faktor a konfidencia szinttel kapcsolatos: Normál eloszlást feltételezve, 95%-os megbízhatósági szinten k=2

Az xAi bemeneti mennyiség súlyozott, korrigált tapasztalati szórása, vagy az átlag szórása, tehát „A” típusú bizonytalansága.

A mérés „B” típusú, súlyozott bizonytalanságai

4

2014.10.02.

MEGJEGYZÉSEK a kiterjesztett mérési bizonytalansághoz

1. A bizonytalanság számítása más módon is történhet. 2. Mai napig használatosak különböző vállalatoknál un. „belső” minősítési rendszerek, amelyek az EAL-R2 ajánlástól eltérhetnek. 3. Fontos, hogy a felhasználó számára világossá tegyük paraméteres alakban is azt, hogyan jutottunk az eredményhez. 4. U megadása a műszer osztás tizedes jegyéig (, ha van releváns eredmény) vagy 2-3 értékes jegyig! 5. Egy korábbi időkben alkalmazott módon van kiszámítva az eredő bizonytalanság a Halász – Huba: Műszaki mérések c. jegyzet 5.5. fejezetében (95. old.).

KEREKÍTÉSI SZABÁLYOK A felesleges számjegyeket elhagyjuk, a megmaradókat kerekítjük. (Tizedes vesszőt használunk!) Elhagyott jegy

Megmaradó jegy

Példák

<5

Nem változik

3,14

3,1

>5

Eggyel nő

3,16

3,2

= 5, de utána van még értékes jegy

3,1501

= 5 és a megmaradó jegy páratlan

3,15 3,35

3,2 3,4

3,25 3,45 3,05

3,2 3,4 3,0

= 5 és a megmaradó jegy páros, vagy nulla

Nem változik

5

2014.10.02.

MŰSZERSPECIFIKUS KEREKÍTÉS (ajánlás!)

0,05 mm FELOLDÁSÚ TOLÓMÉRŐ Kerekítés: 0,05 mm-re (mint a Ft kerekítés) Pl. átlag=6,52  6,50 mm átlag=6,53  6,55 mm 5’ FELOLDÁSÚ IPARI SZÖGMÉRŐ Kerekítés: 5’-re (mint a Ft kerekítés) Pl. átlag=15° 38’  15° 40’ átlag=15° 37’  15° 35’ 0,01 - 2,49  0 2,50 - 4,99  5 5,01 - 7,49  5 7,50 - 9,99  0

A várható érték és a variancia •

Várható érték (első momentum)

M X    



 x  f x  dx



•

Variancia (második centrális momentum) szórásnégyzet 

Var  X      ( x   ) 2  f x  dx 2



,ahol f(x) a sűrűségfüggvény

6

2014.10.02.

az átlag (M becslése) és a szórás számítása (σ becslése) •

Számtani átlag

•

Terjedelem

x

1 n  xi n i 1

R  xmax  xmin •

•

•

Korrigált tapasztalati szórás (30 db mérés alatt)

1 n x i  x 2  i  1 n 1

s  

Tapasztalati szórás (30 db mérés felett)

s

Átlag becsült szórása (ha a rész szórások közel azonosak)

1 n 2  xi  x  n i 1

s  x

s n

sR  a(n)  R

SZÓRÁS BECSLÉSE A TERJEDELEMBŐL Gyakorlati segítség a szórás gyors közelítésére, ha „k” számú mérési sorozatot végeztünk, sorozatonként „n” számú méréssel: Terjedelem:

Ri = xi,max – xi,min

Átlagos terjedelem:

n

A(n)

2

0.89

3

0.59

R

1 k  Ri k i 1

Tapasztalati szórás becslése az átlagos terjedelemből:

s R  An   R

4

5 6 7 8 9

0.34

10

0.32

7

2014.10.02.

Mérési adatok feldolgozása

s1  

1 10 2   i  0,72138 n i 1

s *1  

1 10 2   i  0,760424 n  1 i 1

s2  

1 20 2   i  0,91487 n i 11

s *2  

1 20 2   i  0,964342 n  1 i 11

s3  

1 30 2   i  0,85246 n i 21

s *3  

1 30 2   i  0,898561 n  1 i 21

R  101,482  98,492  2,990mm



sx 

sR  2,990 * 0,32  0,9568

s*  

1 n 2 i  n  1 i 1

20,841  0,847725  0,8 29

s

s n

1 n 2 63   i  30  0,833477  0,8 n i 1

A MÉRÉSEK SZÁMA ÉS A SZÓRÁS Mi hatékonyabb a bizonytalanság csökkentésére? Ha feltételezhető a valószínűségi változó normál (Gauss) eloszlása akkor a várható érték körül rajzolt ±3s tartományba esés valószínűsége ≈99,7 %. (±1s –nél 68,3%, ±2s -nél 95%) s Azaz az átlag körül rajzolt intervallumba esik 3 n bele a keresett várható érték. Ez az intervallum: Student eloszlás esetében (ugyancsak 95 %-os valószínűségi szinten) ez az intervallum viszont már függ a mérések számától! Bizonyos méréstechnikai szabványok az átlag korrigált tapasztalati szórásával történő számítást gyakorlatban csak n≥10 ismételt mérés esetében engedik alkalmazni. Ennek egyik okát a hiba csökkentésével összefüggésben láthatjuk.

n-1

λSt

5

2.57

10

2.23

20

2.09

Fontos gyakorlati következtetés: A bizonytalanság csökkentése érdekében érdemesebb a tapasztalati szórás csökkentésére törekedni (a mérések gondosabb kivitelezésével), mint a mérések számát növelni, hiszen a tapasztalati szórás „súlya” nagyobb!

8

2014.10.02.

Jellegzetes mérési tevékenységek a mérnöki gyakorlatban: • • • • • •

Mérőeszköz kalibrálás Mérőeszköz hitelesítés Műszaki ismeretszerzés Minőségellenőrzés Folyamatirányítás Automatizálás

HITELESÍTÉS?

KALIBRÁLÁS?

Elkészült az új műszer! Ismeretlen a műszer…

Milyen a karakterisztikája?

Régen volt már használatban a műszer… Mi kalibrálás (K), és mi a hitelesítés (H)?

NEMZETKÖZI ETALON leszármaztatás

NEMZETI ETALON K

visszavezetés

H Legjobb eszköz az adott laborban

REFERENCIA ETALON HASZNÁLATI ETALON

OMH

K

HASZNÁLATI ETALON

9

2014.10.02.

Etalonok visszavezethetősége

Bizonytalanság Egység definíció Nemzetközi etalon

Nemzeti etalon

Kalibrálás: „Azoknak a műveleteknek az összessége, amelyekkel meghatározott feltételek mellett megállapítható az összefüggés egy mérőeszköz (mérőrendszer) értékmutatása illetve egy mértéknek vagy anyagmintának tulajdonított érték és a mérendő mennyiség etalonnal reprodukált megfelelő értéke között”

Referencia etalon

Használati etalon

Használati mérőeszköz

Hitelesítés 



A hitelesítés állami feladat, csak kijelölt és akkreditált intézmények végezhetik. Hatósági tevékenység, amelynek célja annak elbírálása, hogy a mérőeszköz megfelel-e a mérésügyi előírásoknak? Eredménye: IGEN - NEM A hitelesítés szabályait a Mérésügyi Törvény szabályozza. A melléklet felsorolja a hitelesítés körébe bevont mérési tevékenységeket és etalonokat. Ezek az alábbiak (lényeg kiemelve): 1. Kereskedelmi tevékenység, szolgáltatások, adás-vétel során alkalmazott mértékek (súlymérték, űrmérték, villamos energia, gázfogyasztás, vízfogyasztás, stb.) 2. Joghatással járó tevékenységek (Pl.: gépjármű sebességmérés) 3. Egészségüggyel kapcsolatos mérési tevékenységek (Pl.: laboratóriumi vizsgálatok, vérnyomás mérés, stb.)

10

2014.10.09.



2014

MÉRÉSI EREDMÉNY KORREKT MEGADÁSA MÉRÉSI SOROZAT (ISMÉTELT MÉRÉS) ELVÉGZÉSE ESETÉN

„A” TÍPUSÚ BECSLÉSSEL , EGY „BEMENETI MENNYISÉG” ESETÉN:

s y  x  H  t s  x  H  t n 

x

MÉRÉSI SOROZAT (ISMÉTELT MÉRÉS) ELVÉGZÉSE ESETÉN

„B” TÍPUSÚ BECSLÉSSEL , EGY „BEMENETI MENNYISÉG” ESETÉN: k 2 y  x  H  U  x  H  t   sx   u 2j  j1  

1

2014.10.09.

Etalonok visszavezethetősége

Bizonytalanság Egység definíció Nemzetközi etalon

Nemzeti etalon

Kalibrálás: „Azoknak a műveleteknek az összessége, amelyekkel meghatározott feltételek mellett megállapítható az összefüggés egy mérőeszköz (mérőrendszer) értékmutatása illetve egy mértéknek vagy anyagmintának tulajdonított érték és a mérendő mennyiség etalonnal reprodukált megfelelő értéke között”

Referencia etalon

Használati etalon

Használati mérőeszköz

Hitelesítés 




2

2014.10.09.

A mérés jogkövetkezménnyel járó tevékenység! -

Kereskedelem Egészségügy Hatóság

MKEH (OMH) – www.mkeh.hu

A hitelesítést tanúsító magyar nemzeti jelek 



a körbe foglalt Szent Korona, két oldalán a hitelesítés évének két utolsó számjegyét és alatta középen a hitelesítő egyéni jelölését tartalmazó fémzár (plomba) bélyegző, a fekvő téglalapba zárt Szent Korona, mellette az "MKEH" felirattal és az alatt egyedi azonosító jelöléssel.

3

2014.10.09.

Mi kalibrálás? Kalibrálás: Nem hatósági tevékenység, de elvben csak akkreditált laboratóriumok végezhetik. Azon tevékenységek összessége, amelyek során meghatározott feltételek mellett a használati etalon és a mérőeszköz közötti összefüggést keresik. Ennek eszköze a regresszió analízis. Célja lehet állapot-felmérés, vagy a műszerjellemzők meghatározása. Megj.: Régen a jusztírozást is kalibrálásnak tekintették, ez nem törvényes!

Hitelesítés és kalibrálás összevetése hitelesítés

kalibrálás

a jog eszközei által szabályozott (hatósági) tevékenység

nem hatósági tevékenység

mérésügyi hitelesítést csak az MKEH (volt OMH) végezhet

mérőeszközöket bárki kalibrálhat

hitelesíteni a jogszabály által meghatározott mérőeszközöket kell

kalibrálni bármely eszközt lehet, ha a visszavezetettségét igazolni szükséges

a hitelesítésnek jellemzően előfeltétele a mérőeszköztípusra vonatkozó hitelesítési engedély megléte

a kalibrálásnak nincs engedélyezési előfeltétele

a (sikeres) hitelesítést tanúsító jel (hitelesítési bélyeg, plomba stb.) és/vagy hitelesítési bizonyítvány tanúsítja

a kalibrálás eredményeként kalibrálási bizonyítvány készül

a hitelesítési bizonyítvány hatósági dokumentum és meghatározott időtartamig érvényes

a kalibrálási bizonyítvány nem hatósági dokumentum és nincs érvénytartama

a hitelesítést jogszabályban előírt időközönként meg kell ismételni

a kalibrálás megújításáról a tulajdonos saját hatáskörében és saját felelősségre dönt

4

2014.10.09.

Jusztírozás (finombeállítás) A jusztírozás nem kalibrálás vagy hitelesítés!!! elsősorban gazdasági kérdés: pontatlanul gyártunk  utána szabályozunk Jusztírozásra, finombeállításra akkor van szükség, ha: • az előállítási pontosság nem elég finom az elérendő cél figyelembe vételével, és ha működési okokból • egy műszerrész helyzetét folyamatosan, kis vagy nagy lépcsőkben reprodukálhatóan meg kell változtatni.

NÉHÁNY NEMZETKÖZI SZERVEZET A MÉRÉSÜGYBEN Nemzetközi Méteregyezmény CIM központi laboratóriuma Sevres-ben: BIPM Nemzetközi Súly-és Mértékügyi Hivatal feladatai  Etalonok alapskáláinak létesítése  Nemzetközi etalonok őrzése, összehasonlítás  Mérési módszerek fejlesztése  Fizikai állandók meghatározása 



Nemzetközi Mérésügyi Szervezet OIML segíti a nemzeti mérésügy munkáját

5

2014.10.09.

SI alapegységek és alapmennyiségek  

    

Hosszúság Tömeg Idő Elektromos áram Termodin. hőmérséklet Anyagmennyiség Fényerősség

l m t I T n I

m kg s A K mol cd

SI alapegységek és alapmennyiségek

Szabó Sipos Tamás rajzfilmje System International

http://youtu.be/JyJBy24MlGw

6

2014.10.09.

DEFINÍCIÓK (rövidítve) 1m

A fény által vákuumban 1/299 792 458 s idő alatt megtett út

1 kg

1889 óta Sèvres-ben őrzött platinum-iridium henger, mint a kilogramm nemzetközi ősetalonja

1s

Az alapállapotú cézium-133 atom két hiperfinom energiaszintje közötti átmenetnek megfelelő sugárzás 9 192 631 770 periódusának időtartama

1A

1 A konstans áram folyik két párhuzamos, végtelen hosszú és elhanyagolható keresztmetszetű vezetőben, ha közöttük vákuumban 2x10-7 N erő mérhető

1K

A víz hármaspontja termodinamikai hőmérsékletének 1/273.16-od része

1 mol

Egy rendszer anyagának azon mennyisége, amely ugyanannyi elemi egységet tartalmaz, ahány atom van a 12es tömegszámú szén 0,012 kg-jában

1 Cd

Olyan fényforrás fényerőssége adott irányban, amely 540×1012 Hz frekvenciájú monokromatikus sugárzást bocsát ki, és sugárerőssége ebben az irányban 1/683 W/steradian

ELNEVEZÉS

JEL

MÁS SI EGYSÉGGEL KIFEJEZVE

SI ALAPEGYSÉGGEL KIFEJEZVE

SÍKSZÖG

radian (a)

rad

-

m·m-1 = 1 (b)

TÉRSZÖG

steradian (a)

sr (c)

-

m2·m-2 = 1 (b)

hertz

Hz

-

s-1

ERŐ

newton

N

-

m·kg·s-2

NYOMÁS, MECH. FESZÜLTSÉG

Pascal

Pa

N/m2

m-1·kg·s-2

ENERGIA, MUNKA, HŐMENNYISÉG

joule

J

N·m

m2·kg·s-2

TELJESÍTMÉNY, SUGÁRTELJESÍTMÉNY

watt

W

J/s

m2·kg·s-3

ELEKTROMOS TÖLTÉS

coulomb

C

-

s·A

volt

V

W/A

m2·kg·s-3·A-1

farad

F

C/V

m-2·kg-1·s4·A2

SZÁRMAZTATOTT MENNYISÉG

FREKVENCIA

ELEKTROMOS FESZÜLTSÉG KAPACITÁS

7

2014.10.09.

SZÁRMAZTATOTT MENNYISÉG ELNEVEZÉS ELEKTROMOS ELLENÁLLÁS

JEL

ohm

MÁS SI SI ALAPEGYSÉGGEL EGYSÉGGEL KIFEJEZVE KIFEJEZVE V/A

m2·kg·s-3·A-2

ELEKTROMOS VEZETŐKÉPESSÉG

siemens

S

A/V

m-2·kg-1·s3·A2

MÁGNESES FLUXUS

weber

Wb

V·s

m2·kg·s-2·A-1 kg·s-2·A-1

MÁGNESES FLUXUSSŰRŰSÉG

tesla

T

Wb/m2

INDUKTIVITÁS

henry

H

Wb/A

m2·kg·s-2·A-2

degree Celsius (e)

°C

-

K

lumen

lm

cd·sr (c)

lux

lx

lm/m2

becquerel

Bq

-

s-1

gray

Gy

J/kg

m2·s-2

sievert

Sv

J/kg

m2·s-2

CELSIUS HŐMÉRSÉKLET FÉNYÁRAM MEGVILÁGÍTÁS AKTIVITÁS (NUKLEÁRIS) ELNYELT SUGÁRDÓZIS EKVIVALENS SUGÁRDÓZIS(d)

m2·m-2·cd = cd m2·m-4·cd = m-2·cd

JELÖLÉSEK AZ ELŐZŐ DIÁKON (a)A

radián és a steradián két jellemző kifejezés arra az esetre, amikor eltérő természetű származtatott mennyiségeknek azonos a dimenziója, pontosabban nincs dimenziója. Egy radián az a szög, amely alatt a sugárral megegyező nagyságú ívhossz a középpontból látszik. Másképp a radián a sugárnyi hosszúságú ívhosszhoz tartozó középponti szög 57.2958°. Egy szteradián az a középponti szög, amely a gömbsugár négyzetével egyenlő területű gömbfelületrészhez tartozik. A gyakorlatban a „rad” és „sr” mértékegységek használatosak, annak ellenére, hogy a definícióból mindkét esetben "1" adódna. (b)

(c)

A fotometriában a mértékegység neve steradian, jele „sr”.

Más mennyiségek „sieverts”-ben kifejezve: személyi dózis, effektív dózis, irányított ekvivalens dózis (d)

A Celsius hőmérséklet egysége a Celsius fok, jele °C. A Celsius hőmérséklet „t” numerikus értéke Celsius fokban kifejezve: t/°C = T/K - 273.15. (e)

8

2014.10.09.

Néhány fontos fogalom     

Alapmennyiség: Megállapodásszerűen egymástól függetlennek tekintett m. egy adott rendszerben Származtatott mennyiség: Alapmennyiségek függvényeként definiált Mértékegység: Ugyanolyan fajtájú, más mennyiség nagyságának kifejezésére definiált konkrét mennyiség Egységrendszer: alap és származtatott egységek összessége Koherens egység: Alapegységek hatványainak szorzataként kifejezhető egység, az arányossági tényező: 1. Pl. 1kg 1m 1N 



1s 2

Inkoherens egység: Mint fent, de az arányossági tényező nem 1. Pl: 1kg  9,81m 1kp  1s 2

SZEMELVÉNYEK A A MÉRÉSTECHNIKA TÖRTÉNETÉBŐL

9

2014.10.09.

Írásos feljegyzések, időszámítás 

Vinča-Tordos kultúra i. e. 3500 körül

Tatárlaki táblák (Torma Zsófia) Sumer i. e. 3200-tól

Terület-és hosszmértékek, időmérés  



Egyiptom i. e. 3100-tól Kína i. e. 2000-től Mayák i. e. 2000-től

365 nap = 1 év, négyévente 1 szökőnap   

Babilon i. e. 1800-tól Olmékok i. e. 1200-tól Görögök i. e. 776-tól

1 stadion ~ 192,25 m 

Rómaiak i. e. 753-tól

Babilon i.e. 1500 A torony magas, Magas, ennek ellenére mégsincs árnyéka. (Mi ez?) Válasz: a napfény.

A „MÉRÉSÜGY” A TÖRTÉNELEM TÜKRÉBEN Sumer kultúrák i. e. 3200, Hosszúság - súly - idő 24 hüvelyk = 1 könyök (~0,495 méter), 6 könyök = 1 nád Danna (biru) ~ 8550 méter csillag-naptár, vízióra, 1 nap = 12x2 óra tömeg-etalon: ~ 65 mg-os hematit súlyok (gabonaszem) 6 Mana = 1 gin, Mana (~ 0,5 kg) = 60 gir = 180 se i.e. 2500 –tól terület, térfogat Szila ~0,415 liter Gan ~35 ár, Sar ~35,28 méter, kör 360°, terület (π ~ 3), gömb térfogat

10

2014.10.09.

TÖRVÉNYKEZÉS ÉS MÉRÉSÜGY KAPCSOLATA A RÉGMULTBAN SUMER (i. e. kb. 3200-től) „Hogy nyugodt alvásod legyen, pontosan mérj, és végezzed munkádat!” A legrégebbi, ismert törvénykönyv, Ut-Napistim uralkodó (i. e. 2800 körül) AKKÁD - ASSZÚR - BABILON (i. e. kb. 2200 – 500) „...ha az ökör szabad ember fiát felöklelve, annak halálát okozza, fél mane ezüstöt fizet” (Talio: A babiloni törvényi szellem vezéreszméje a bosszú, ld.: Hammurabi törvény-”köve” i. e. 1728-1686) ÓSZÖVETSÉG (i. e. kb. 1200-től) „Hibátlan és pontos legyen a te súlyod, hibátlan és pontos legyen az űrmértéked, hogy sokáig élj azon a földön, amelyet az Úr ad neked!” Móz. V. 25. 14-15. ISZLÁM (Kr. u. 560) „Az irgalmas és könyörületes Allah nevében üldözze balsors azokat, Akik csalnak a súlyokkal és mértékekkel, valamint azokat, Akik teletöltik a mértékeket, amikor másoktól vásárolnak, De lecsökkentik, amikor maguk is eladnak.” Korán, 83. szura

IPARI FORRADALOM KÜSZÖBÉIG 5 MENNYISÉG MÉRÉSE JELLEMZŐ Idő

Geom. szög

Természeti jelenség alapon Helyi vonatkoztatással

Tömeg

Térfogat

Hosszúság

Koherencia nélkül Uralkodók, vezetők önkénye szerint

Mértékek koherencia nélkülisége az egyes országok (országrészek!) között. Példák: H Zsigmond (1405) : Tömeg, hossz-és űrmértékek Budához igazítva 1655-től a pozsonyi városházi mértékek (öl, arasz, rőf, stb.) dominanciája F 1790-ig 50-féle font súlyegység, láb, rőf GB 1580 táján (I. Erzsébet) : országos egységesítés („Imperial mértékek”)

11

2014.10.09.

VISSZAVEZETÉS TERMÉSZETI ÁLLANDÓKRA : XVIII. SZ. Első javaslatok a HOSSZÚSÁG visszavezetésére: Gabriel Mouton (Lyon, 1670): délkör 1/24x60-ed része Charles Talleyrand autun-i püspök 1790: 1 s lengésidejű inga hossza Francia Tud. Akadémia: Borda, Lagrange, Laplace, etc. „Méter” – javaslatok: 1793-1799

Sec-inga hossza

Egyenlítő negyvenmilliomod része

Negyed-délkör tízmilliomod része

Változik a nehézségi erő lokális jellege miatt

Nehézkes mérés

Párizsi délkör: Dunkerque-Barcelona

Hosszmértékből származtatva: TÖMEG Lavoisier 1793: 1 dm³ 4ºC (?) hőmérsékletű víz



(?)

tömege 1 kg.

A méter „keletkezése”    

A délkör hosszának megállapításához két adat volt szükséges: Dunkerque-Barcelona földrajzi szélességének különbsége a csillagok állása alapján: 9º 39’ A fenti távolság meghatározása >100 háromszögelési pont segítségével A 200 év előtti mérés 0.2 mm-rel rövidebbnek állapította meg a méter alapegységet a mai eszközökkel mérhető értéknél, - így ír a szakirodalom.

„Eretnek” gondolatok:  Valóban ilyen pontos méréseket tettek lehetővé a korabeli műszerek és ilyen stabilak voltak a geodéziai pontok?  Mennyire szabályos-e a Föld alakja az adott délkör mentén? Beszélhetünk-e valós délkörről? (Képzeletbeli kör, amelynek középpontja egybeesik a Föld középpontjával (?), és átmegy az Északi (?) és a Déli Sarkon (?).  Nem a véletlen és a rendszeres hibák néha egymást kompenzáló együttes hatása eredményezi a valóban imponáló kis eltérést?

12

2014.10.09.

EURÓPA ÉS MAGYARORSZÁG 1795. április 7-én fogadta el a francia Konvent a decimális alapú méterrendszert 1799. jún. 22.: Etalonok (ősmértékek) bemutatása a törvényhozásban, letétbe helyezés a Köztársasági Levéltárban: Méter: platina rúd Kilogramm: platina henger 1816: Németalföld törvényt hoz a bevezetésről 1840: Méterrendszer törvényessé tétele Franciaországban (Lajos Fülöp) 1849: Spanyolország törvényesen elfogadja az ősmértékeket 1847: Bicskén Nagy Károly matematikus a csillagvizsgálójába viszi az eredetileg a párizsi obszervatórium részére készült méter és kilogramm etalont. A kilogramm jelenleg is megvan, a méter a II. világháború alatt eltűnt. 1867-1870: Mérésügyi törvény előkészítése 1874: Törv. elfogadása Magyarországon (1874. évi VIII. törvénycikk ). Kruspér István és Szily Kálmán 1870-ben újrahitelesíti Párizsban a bicskei etalonokat. 1870 Párizs: 15 állam megalapítja a Nemzetközi Méterbizottságot (Kruspér) 1875 Párizs: 20 ország aláírja a Nemzetközi Méteregyezményt (Apponyi) 1907: Törvény az állami mérésügyről, M.kir.Központi Mértékügyi Intézet 1952: Megalapítják az OMH-t 2007: Magyar Kereskedelmi Engedélyezési Hivatal (volt OMH betagozódott)

A mérési eredmények statisztikai feldolgozása csoportba sorolással

13

2014.10.09.

Fontos fogalmak a mérési adatok statisztikai feldolgozásához ●

●

●

●

Mérési sorozat: Azonos mennyiség (méret) ismételt mérése ugyanazon munkadarabon. Sorozatmérés: Azonos mennyiség (méret) mérése azonos típusú gyártmány eltérő darabjain. Ismétlőképesség vizsgálata: Azonos személy, azonos eszközökkel, azonos körülmények között végez ismételt mérést. Reprodukálhatóság vizsgálata: Más helyen, más személy, azonos mérési eljárással, hasonló eszközökkel végez ellenőrző méréseket.

Mérési adatok feldolgozása

R  101,482  98,492  2,990mm

1 n 2 i  n  1 i 1

20,841  0,847725  0,8 29

1 10 2   i  0,760424 n  1 i 1

s *2  

1 20 2   i  0,964342 n  1 i 11

s *3  

1 30 2   i  0,898561 n  1 i 21 

sx 

sR  2,990 * 0,32  0,9568

s*  

s *1  

s

s n

1 n 2 63   i  30  0,833477  0,8 n i 1

14

2014.10.09.

Csoportba sorolás gyakoriság

q

MÉRÉSI ADATOK FELDOLGOZÁSÁNAK ÖSSZEFOGLALÁSA

s1

s2

1 x11 x13

qr xr

x14 ... x1i

x

xk 1 xk 2

... x2 n

xk 3 ... xkn x2 

m 1 m q q r  x r  x r r  n r 1 n r 1

rel. gyakoriság

k

x23

... x1n x1 

sk

i

x22

x12 Csoportba sorolással

si

2 x21

n

1  x1i n i 1

n

1  x2 i n i 1

Független sorozatokra:

s 2eredő  s12  s22  ...  sk2

s1  s2  ...  sk

Ha a szórások közelítőleg azonosak, az átlag szórása:

sx 

Az átlagok átlaga, ha minden kismintában azonos számú elem van:

1 n x k   xki n i 1

x  0 n k

x   xr f  xr x r 1

s n

x n→∞ esetén

1 k  xi k i 1



  Mx    x  f x dx 

sűrüség fv.

15

2014.10.09.

Hogyan viszonyul egymáshoz egyetlen mérési sorozat szórása és több mérési sorozat átlagának szórása?

D 2 x   2

s  

1 n xi  x 2  n i 1

•

Egy „n” elemű mérési sorozat szórása:

•

Az átlag varianciája (szórásnégyzete) és szórása: Ezek a valószínűségi változók akár átlagok is lehetnek!

 

n 1 1 n  1 D 2 x   D 2   x i   2 D 2  x i  2 D 2 x 1  x 2  ...  x n  i 1 n  n i1  n 1 1 2 D 2 x   2 D 2 x 1   D 2 x 2   ...  D 2 x n   2  n  D 2 x   n n n 2 2  s D 2 x    n n Sorozat

Az átlag becsült szórása:

Átlag sűrűségfüggvénye

sűrűségfüggvénye

s s  n 

x

16

2014.10.18.



2014

Hitelesítés és kalibrálás összevetése hitelesítés

kalibrálás

a jog eszközei által szabályozott (hatósági) tevékenység

nem hatósági tevékenység

mérésügyi hitelesítést csak az MKEH (volt OMH) végezhet

mérőeszközöket bárki kalibrálhat

hitelesíteni a jogszabály által meghatározott mérőeszközöket kell

kalibrálni bármely eszközt lehet, ha a visszavezetettségét igazolni szükséges

a hitelesítésnek jellemzően előfeltétele a mérőeszköztípusra vonatkozó hitelesítési engedély megléte

a kalibrálásnak nincs engedélyezési előfeltétele

a (sikeres) hitelesítést tanúsító jel (hitelesítési bélyeg, plomba stb.) és/vagy hitelesítési bizonyítvány tanúsítja

a kalibrálás eredményeként kalibrálási bizonyítvány készül

a hitelesítési bizonyítvány hatósági dokumentum és meghatározott időtartamig érvényes

a kalibrálási bizonyítvány nem hatósági dokumentum és nincs érvénytartama

a hitelesítést jogszabályban előírt időközönként meg kell ismételni

a kalibrálás megújításáról a tulajdonos saját hatáskörében és saját felelősségre dönt

1

2014.10.18.

SI alapegységek és alapmennyiségek  

    

q

Hosszúság Tömeg Idő Elektromos áram Termodin. hőmérséklet Anyagmennyiség Fényerősség

s2

x13

x14 ... x1i

xk 1 xk 2

... x2 n

xk 3 ... xkn x2 

m 1 m q q r  x r  x r r  n r 1 n r 1

rel. gyakoriság

k

x23

... x1n x1 

sk

i

x22

x12 Csoportba sorolással

si

2 x21

1 x11

x

m kg s A K mol cd

MÉRÉSI ADATOK FELDOLGOZÁSÁNAK ÖSSZEFOGLALÁSA

s1

qr xr

l m t I T n I

n

1  x1i n i 1

n

1  x2 i n i 1

Független sorozatokra:

s 2eredő  s12  s22  ...  sk2

s1  s2  ...  sk

Ha a szórások közelítőleg azonosak, az átlag szórása:

sx 

Az átlagok átlaga, ha minden kismintában azonos számú elem van:

1 n x k   xki n i 1

x  0 n k

x   xr f  xr x r 1

s n

x n→∞ esetén

1 k  xi k i 1



  Mx    x  f x dx 

sűrüség fv.

2

2014.10.18.

A mérés, mint ismeretszerzés

A MÉRÉS, MINT ISMERETSZERZÉSI ÉS MODELLEZÉSI FOLYAMAT Összehasonlítás

HIBÁK HIBÁK

A priori ismeretek

HIBÁK Fizikai technikai, valós, mérhető mennyiségek

Absztrakt leképezés

modell

leképezés

Modell alapján felépített mérőlánc tesztelése

EREDMÉNY

„MÉRÉS”

A modell finomítása

3

2014.10.18.

METROLÓGIA (MÉRÉSTUDOMÁNY)

MŰSZERTECHNIKA

ADATFELDOLGOZÁS HIBAANALÍZIS

Mit kell mérni? Hogyan mérjük? Mivel mérjük? Mérési körülmények

Mérő személyek

Hibák vizsgálata:

Mérési eredmény megadása:

•

Eredetük

•

Jellegük

• Számadattal és mértékegységgel

•

Formájuk

• Diagrammal

Hibák becslése

• Hisztogrammal (stb.)

Hibák kiküszöbölése

Általánosan elmondható a szenzorokról, hogy túlnyomóan • ALAKVÁLTOZÁST, • ELMOZDULÁST, • ANYAGJELLEMZŐ változást kell a mérendő mennyiség által reprodukálhatóan létrehozni ahhoz, hogy a lánc végén villamos jelhez juthassunk.

4

2014.10.18.

MÉRÉS-ÉS MŰSZERTECHNIKA KAPCSOLATRENDSZERÉNEK FONTOSSÁGA MÉRÉSI EREDMÉNY:

y  x  H  U  x  H  t  uE KORREKCIÓ (H) ÉS BIZONYTALANSÁG (U) A modellnek, a mérési eljárásnak, a műszereknek és a mérés körülményeinek ezekben döntő szerepük van!

A mérés és a műszertechnika kapcsolata Mérési eljárás Fizikai elv mechanikai villamos optikai

Mérési módszer kitérítéses összehasonlító

elektromechanikus

kompenzációs

optomechanikus

különbségi

optoelektronikus

helyettesítéses

stb.

frekvencia

Mérés kivitelezése A műszer működési módja érintéses érintésmentes

A mérőműszer megválasztása Statikus jellemzők: érzékenység feloldás felbontás Dinamikus jellemzők: frekvencia átvitel

Kapcsolódás a hibaanalízishez: Hibák osztályozása eredetük szerint

beállási idő túllendülés Mérési adatok feldolgozása

stabilitás

5

2014.10.18.

MÉRÉSI

HIBÁK

OSZTÁLYOZÁSA

EREDETÜK SZERINT

JELLEGÜK SZERINT

FORMÁJUK SZERINT

6

2014.10.18.

MÉRÉSI HIBÁK EREDETE PÉLDÁKON MODELL

V 

d2  h 4

Hiba: A munkadarab valós alakja eltér az ideális hengertől, például hordós

BEMUTATVA

ELJÁRÁS

KIVITEL

Elv: mechanikai Hiba: a mérőfelületek az érintkezési felület érdességi csúcsain fekszenek fel, a

Mód: érintéses Hiba: a tolómérő mérőfelülete és a munkadarab közé szennyeződés került

felületi érdesség összevethető a mérőeszköz felbontásával

Mérőeszköz: tolómérő Hibák: billenési hiba, osztás hibák

Módszer: összehasonlító Hiba: tolómérő esetében összehasonlító módszerrel mérünk, de az Abbe-elv nem teljesül, azaz a mérendő hosszúság és a mérce nem esnek egy egyenesbe

Mérés körülményei Hiba: forgácsoló megmunkálás után közvetlenül történik a mérés, a munkadarab hőmérséklete az előírtnál magasabb

Mérő személy Hiba: figyelmetlenségből adódó leolvasási hiba

MÉRÉSI MÓDSZEREK (teljesség igénye nélkül) •Mérési módszer (metrológiai aspektus szerint)

•Mérőeszköz, példa

1. Kitérítéses •A mérendő mennyiség által, valamilyen fizikai kapcsolat révén létrehozott erőhatás a műszer szerkezetében megfelelő ellenerőt hoz létre. Az egyensúlyi helyzet bekövetkezésekor a mennyiséget skála és mutató segítségével olvashatjuk le.

•Mérőóra hosszméréshez •Forgótekercses műszer

2. Összehasonlításos •A mérendő mennyiséget azonos típusú, ismert nagyságú mennyiséggel hasonlítjuk össze.

•Kétkarú mérleg nyomaték-összehasonlítás •Mérőléc

3. Kompenzációs, vagy null-módszer •A mérendő mennyiség értékét az általa létrehozott változás kiegyenlítésével állapítjuk meg. Ha a leolvasás a műszer mutató „0” állásában történik, akkor az null-kompenzáció.

•Hőmérséklet mérése kompenzográffal •Impedancia mérése hídkapcsolással, nulldetektorral.

4. Különbségi •A mérendő mennyiség és egy azonos típusú ismert, de kismértékben eltérő mennyiség különbségének mérése.

•Optiméter •Mérőhasáb kombináció és a munkadarab közötti, kismértékű különbség mérése.

5. Helyettesítéses •A mérendő mennyiséget azonos típusú, ismert értékű mennyiséggel helyettesítik. Eredményül a kijelzett érték változatlan marad, vagy a kismértékű eltérést skála segítségével mérik.

•„Borda”-rendszerű mérleg •A mérendő tömeggel egyenértékű súlyt vesznek le a mérlegkarról a tömeg oldalán.

6. Frekvencia módszer A mérendő a sajátfrekvenciából számítjuk.

•Szíjfeszesség mérő •Molekula tömeg mérés

•Rugós erőmérő

7

2014.10.18.

HELYETTESÍTÉSES MÓDSZER 1. oszt. mérleg: 0,0001 g (10g méréshatár) - nemesfémek, vegyelemzés) 2. oszt. mérleg: 0,01 g (1,2,10,20,100,200g méréshatár) - műszaki, gyógyszer 3. oszt. mérleg: 1 g (100 g; 1, 5, 20, 50 kg méréshatár) – asztali mérlegek, gyorsmérlegek

skála

optikai rendszer élágyazás skála kompenzációs súlyok

ellensúly kar

serpenyő

csillapítás

HELYETTESÍTÉSES MÓDSZER

8

2014.10.18.

KITÉRÍTÉSES MÓDSZER

Lorenz erő - Rugó

KITÉRÍTÉSES MÓDSZER Nyúlásmérő bélyeges nyomás jeltovábbítók (jelátalakítók)

Az induktív útadóval felszerelt nyomásmérő viszont összehasonlító módszerrel mér, mert a mag és a tekercs közötti relatív elmozdulás az összehasonlítás alapja.

9

2014.10.18.


KITÉRÍTÉSES MÓDSZER 4 db NYMB a termokompenzáció érdekében

Marás!!!

Rugós vezeték 1 mikron alatt nem működik!

10

2014.10.18.

4 db NYMB a termokompenzáció érdekében


6-wire configuration

Wheatstone - híd

R L C híd

120 

R/R=g

z z

z ±z

10-5 

10-7...10-3

±

uki  ube  z/z ube

uki z z ±

z ±z

11

2014.10.18.


Pld.: INDUKTÍV GYORSULÁSÉRZÉKELŐ


Forgatónyomaték jelátalakító (nyúlásmérő bélyeges ,csúszógyűrűs vagy rádiófrekv. jeltovábbítás) 12:50:12

NYMB: 2 db 45 fokban, ahol max. a nyírás (4 db, a hőkompenzáció miatt)

12

2014.10.18.


13

2014.10.30.



2014

1

2014.10.30.

MÉRÉSI MÓDSZEREK (teljesség igénye nélkül) •Mérési módszer (metrológiai aspektus szerint)

•Mérőeszköz, példa

1. Kitérítéses •A mérendő mennyiség által, valamilyen fizikai kapcsolat révén létrehozott erőhatás a műszer szerkezetében megfelelő ellenerőt hoz létre. Az egyensúlyi helyzet bekövetkezésekor a mennyiséget skála és mutató segítségével olvashatjuk le.

•Mérőóra hosszméréshez •Forgótekercses műszer

2. Összehasonlításos •A mérendő mennyiséget azonos típusú, ismert nagyságú mennyiséggel hasonlítjuk össze.

•Kétkarú mérleg nyomaték-összehasonlítás •Mérőléc

3. Kompenzációs, vagy null-módszer •A mérendő mennyiség értékét az általa létrehozott változás kiegyenlítésével állapítjuk meg. Ha a leolvasás a műszer mutató „0” állásában történik, akkor az null-kompenzáció.

•Hőmérséklet mérése kompenzográffal •Impedancia mérése hídkapcsolással, nulldetektorral.

4. Különbségi •A mérendő mennyiség és egy azonos típusú ismert, de kismértékben eltérő mennyiség különbségének mérése.

•Optiméter •Mérőhasáb kombináció és a munkadarab közötti, kismértékű különbség mérése.

5. Helyettesítéses •A mérendő mennyiséget azonos típusú, ismert értékű mennyiséggel helyettesítik. Eredményül a kijelzett érték változatlan marad, vagy a kismértékű eltérést skála segítségével mérik.

•„Borda”-rendszerű mérleg •A mérendő tömeggel egyenértékű súlyt vesznek le a mérlegkarról a tömeg oldalán.

6. Frekvencia módszer A mérendő a sajátfrekvenciából számítjuk.

•Szíjfeszesség mérő •Molekula tömeg mérés

•Rugós erőmérő

KITÉRÍTÉSES MÓDSZER Forgó vezető keret

Fordulatszám mérés

TACHOGENERÁTORRAL Csúszógyűrű

 B Homogén mágneses tér

Ui Kefe

U indukált  vkerületi  

Az indukált feszültség szinuszos alakú, az amplitúdója arányos a szögsebességgel. Többfajta kivitel létezik ezen kívül. A leggyakoribb az egyenfeszültségű tachogenerátor.

2

2014.10.30.


(R/R=g)

Bragg - rácsozat

g=0,78 optikai szál mag

köpeny törésmutató

ne – effektív törésmutató spektrális válasz λB

12:50:12

bemenet

transzmisszió

reflexió

ÖSSZEHASONLÍTÓ MÓDSZER Fordulatszám mérés

OPTIKAI REFLEXIÓS TACHOMÉTERREL Forrás R

Érzékelő

A

Forrás R A

Érzékelő Reflexió a felületről Reflexió a homloklapról R: Fényvisszaverő anyag (pl. Al fólia). A: fényelnyelő fekete festék vagy fekete papír Az fotoérzékelő kimenőjele villamos impulzus, annak f frekvenciája: n : a tengely fordulatszáma [1/min] p : visszaverő felületek száma a kerület mentén A tengely  szögsebessége:

  2   f  2  

f 

n p 60

n  n p p 60 30

3

2014.10.30.

ÖSSZEHASONLÍTÓ MÓDSZER

CSAK a kijelzés digitális!!! 50 kHz, primer sec. Kapcsolat gőzölt vezető (induktosin, kapacitív elv):


x Mozgórész (slider)

U1ki

Állórész (ruler)

p/4

p

U2ki

primer tekercs p

Rácsosztás (pitch)

Ube

4

2014.10.30.

ÖSSZEHASONLÍTÓ MÓDSZER kapacitív elv:


12:50:12

5

2014.10.30.

ÖSSZEHASONLÍTÓ MÓDSZER váll v. beszúrás mérő

12:50:12


6

2014.10.30.


12:50:12


Inkrementális hossz-és szögadók osztásos etalonjai Változatok: Transzmissziós Üveg hordozó Osztásperiódus

Reflexiós Fém hordozó Interpolációs faktor

Felbontás

40 μm

4 – 8 - 20

10-5-2 μm

20 μm

2 – 4 – 10 - 20

10-5-2-1 μm

7

2014.10.30.


Inkrementális adó elvi felépítése MÉRŐLÉCLÉC (MOZGÓ)

KOMPARÁTOR KIMENŐJEL

LETAPOGATÓLÉC LED

KÖV.ERŐSÍTŐ

FOTOTRANZISZTOR


INTER-

A

POLÁCIÓ

B

90º

A

IRÁNYB

DETEKTÁ-

Előre

Vissza

LÁSSAL

Monoflop:

B

1&

→

1

B

A A

1 1

A A

A E

B B

1

A

1 V

B B

1

A

1

B

B  A    A  B   B  A   A  B   E

A

1

B

 B  A   A  B   B  A   A  B   V

8

2014.10.30.

ÖSSZEHASONLÍTÓ MÓDSZER MITUTOYO LINEAR SCALE (NC,CNC) Rendszer (1 mikron) -refl., transzm. - 5 mikron fáziseltolt vonal a fejben -20 mikron a lécen

12:50:12


Abszolút hossz-és szögadó kódolt etalonjai A felbontást meghatározó bitsáv

A rezgésből eredő hibák kiküszöbölésére U, vagy V alakban elrendezett optokapukat (LED – fototranzisztor páros) alkalmaznak.

9

2014.10.30.

ÖSSZEHASONLÍTÓ MÓDSZER Koordináta mérőgépek KMG

Koordináta mérőgépek konstrukciós kialakításai

A koordináta mérőgépek leggyakoribb kialakításai - a PORTÁLOS (fenn) - a HORIZONTÁLKAROS (jobbra lenn)

- a hordozható mérőkar (HUMANOID)

10

2014.10.30.

Koordináta méréstechnika

A tapintással dolgozó mérőfej tapintógömbje (cirkónium, rubin, stb.) mindig egy pontban érintkezik a munkadarab felülettel. Pontok sokaságából bármilyen sík- illetve térelem képezhető. Az egyes elemek meghatározása (kör, egyenes, sík stb.) programrutinok indításával történik.

A koordináta méréstechnika gépi eszközei Mérés kapcsoló típusú tapintóval

1.Ráfutás a mérendő felületre.

2. A tapintógömb a felületnek ütközik. A számítógép a gömb középpontjának a koordinátáit rögzíti.

3. A számítógép a gömbközéppont a tapintásirányú koordinátájához hozzászámítja a tapintógömb sugarát.

4. A tapintógömb eltávolódik a felülettől. Átlépés (pozícionálás) egy másik mérési ponthoz.

11

2014.10.30.

ÖSSZEHASONLÍTÓ MÓDSZER Induktív útadók

+/- 2 mm,

Belső magos, tapintós induktív útadó

Belső magos, érintés mentes induktív útadó +/- 10 mm,

12:50:12


x Mozgató rúd Vasmag

L

Tekercs

LMax

L0 x

12

2014.10.30.


közel interferometriai feloldás fényinterferenciás mérési elv 12:50:12

0,05 mikron feloldás 50 mm-en!


12:50:12

13

2014.10.30.

FREKVENCIA MÓDSZER Molekulák tömegmérése

rezgő „híd”

A „hídra” helyezett részecske megváltoztatja a rendszer sajátfrekvenciáját!

14

2014.11.20.



2014

1

2014.11.20.

MÉRÉSI

HIBÁK

FORMÁJUK SZERINT IDŐ / FREKVENCIA FÜGGÉSÉBEN

Tranziens hiba Dinamikus hiba Állandósult hiba Amplitúdó átvitel hibája Fázis átvitel hibája

Mintavételezési hiba

A HIBA RENDSZÁMA Ha ismert a hiba okozója és a hiba közötti függvénykapcsolat, és ez utóbbi „ráadásul” gyorsan konvergáló hatványsorba fejthető, akkor a hibát a rendszámával is tudjuk jellemezni. f    a0  a1  a22  a33  ...

Megfontolások: 1. Jó műszerkonstrukció esetén kis  hibával számolhatunk 2. Gyors konvergencia esetén igaz, hogy n+1 « n Annak eldöntésében, hogy melyik hatványú összetevő hagyható el, a mérnöki tapasztalat segít. A hiba rendszámát a hatványsor még figyelembe vett tagjának kitevőjével adjuk meg. Alkalmazási példa: ABBE ELV Ki volt Ernst Abbe? Kapcsolata a Carl Zeiss-szel, és matematikai munkásságának hatása a tudományos műszerkonstrukció terén. Carl Zeiss máig ható szelleme: Tőkés magántulajdon helyett alapítványi forma minden Zeiss üzemben. Életen át tartó képzés, szociális háló.

2

2014.11.20.

Abbe elv Összehasonlító módszer, valamint közvetlen mérési stratégia esetén, a feladat megoldásához rendelkeznünk kell egy osztásos mércével. Abbe elve: A mérőberendezés konstrukciója legyen olyan, hogy a munkadarab mérendő mérete és az osztásos mérce egy egyenesbe essen. Szemléletes példája ezen elv érvényesülésének a vízszintes és függőleges Abbe komparátor. H7/g6 (f6) ~ 20 – 30 μm

F

Példa az Abbe elv be nem tartására (szükséghelyzet): Tolómérő

lh

Hibafüggvény (ok-okozat):

s

l  lh  h h  s  tg h

1 2   h  s     3   5  ... 3 15  

φ«1 az illesztés jóvoltából, ezért csak az első hatvány marad: A hiba elsőrendű.

l

Hitelesítés 




3

2014.11.20.

Mi kalibrálás? Kalibrálás: Nem hatósági tevékenység, de elvben csak akkreditált laboratóriumok végezhetik. Azon tevékenységek összessége, amelyek során meghatározott feltételek mellett a használati etalon és a mérőeszköz közötti összefüggést keresik. Ennek eszköze a regresszió analízis. Célja lehet állapot-felmérés, vagy a műszerjellemzők meghatározása. Megj.: Régen a jusztírozást is kalibrálásnak tekintették, ez nem törvényes!

LINEÁRIS REGRESSZIÓ 1. LEGKISEBB NÉGYZETEK MÓDSZERE (GAUß) A diszkrét mérési pontok alapján ezzel a módszerrel akkor lehet közelítő függvényt keresni, ha az egyik mennyiség mérése precízebben történhet, vagy pontosabban előírható.

Ez általában a megfelelő gondossággal elvégzett kalibrálás esetén áll fenn, ha lineáris kapcsolatot feltételezünk. x = xbe Ismert pontosságú (hibájú) műszeren leolvasott értékek y = xki Kalibrálandó műszeren leolvasott értékek

Megjegyzés: Ha mindkét mennyiség jelentősebb ingadozást, bizonytalanságot mutat, akkor Wald módszere (néhai kolozsvári matematikus) ajánlott.

4

2014.11.20.

n

 i 1

2 i

Gauß ezt a módszert az alábbiak miatt javasolta: •a hiba változó előjelű (+,-) •szélsőérték kereshető (deriválás)

 min

Xki=y

yhi i-edik „helyes „érték

+ yh,i

x x

x

δi

x

yi

i-edik mért érték

δi

i-edik hiba

n

a kalibrációs lépések száma

Ismeretlen, elméleti (regressziós) függvény, itt: egyenes (lineáris kapcsolat)

Xbe=x

b

yi

xi

Adott „x”-hez tartozó „y” várható értékét „y” regressziójának nevezzük.



2 i

n

   yi  yhi     yi  m  xi  b   min 2

2

n

n

min: A feladat tehát szélsőérték keresés Megjegyzés: Ha a pontok nem egyenes köré csoportosulnak, akkor parabolikus, hiperbolikus, vagy exponenciális regressziót célszerű alkalmazni.

Szélsőérték keresés:    i2 n

m b  ∂ f/∂m:





  yi2  2 yi mxi  b   mxi  b 

2

n

m b 

 2 xi yi  2mxi2  2 xi b  0



0

 2 yi  2mxi  2b  0

∂ f/∂b:

azaz mxi  b  yi

azaz mxi  bxi  xi yi 2

Az „m”-re és „b”-re megoldandó lineáris egyenletrendszer: m xi2  b xi   xi yi n

n

n

m xi  b  n   yi n

Vagy célszerűbben mátrixos alakban:

n

 xi2 n   xi  n

 x  m  x y   n   b    y     i i

i

n

n

i

n

5

2014.11.20.

 xi yi  m 1  n  b   M  yi      n 

A keresett m és b paraméterek a mátrixegyenletből:

m és b meghatározása Cramer - szabállyal egyszerűbb, mint mátrixinvertálással! Lépések a Cramer - módszerrel: 2./ Számláló „m” esetében:

x y x n y i

i

n

i

n

i

2

  det M  n xi2    xi   M n  n 

1./

3./ Számláló „b” esetében:

x x y  x y  xy x x y     2 i

 n xi yi   yi  xi n

n

n

i i

2 i

n

i

n

n

n

i

n

i

i i

n

n

i

n

n

Végeredményül:

m

n xi yi   yi  xi n

n

n

  n xi2    xi  n  n 

2

b

x  y x y x 2 i

n

i

n

i i

n

  n xi2    xi  n  n 

i

n 2

Keressünk e két képletnél célszerűbb formát az algoritmizáláshoz!

Gyakorlatban, a „kézi és gépi” számoláshoz használható alakok

(A képletek levezetést a következő diákon ismertetjük azok számára, akik kíváncsiak a képletek hátterére is.)

 x n

m

i 1 n

i

 x i 1



 x  yi i

x



2

majd „m” felhasználásával:

b  y  mx

6

2014.11.20.

Milyen „alapon” lesz a bonyolult képlet ilyen „egyszerű”? Térjünk vissza a mátrixos forma előtti egyenlet rendszerhez:

m xi2  b xi   xi yi n

n

n

m xi  b  n   yi n

n

A 2. egyenletből „b” azonnal kifejezhető, ld. előző dián:

b

1 n 1 n yi  m  x i  y  m x  n i 1 n i 1

és y  mx  b

Most a „b”-re kapott formulát behelyettesítjük az 1. egyenletbe:

m





n n 1 n 2 x i  y  m x   x i   (x i yi )  n i 1 i 1 i 1

n n n n  m  x i2  x   x i   y   x i   ( x i y i ) i 1 i 1 i 1  i 1  n n   m  x i2  x  n  x    ( x i y i )  n  x  y  i 1  i 1

„m” kifejezhető lenne, de a jobb oldalon még mindig nem az egyszerű számítási képlet állna: n

m

 (x y )  n  x  y i

i 1

i

n

x i 1

2 i

nx

2

Nézzük, hogyan alakítható tovább a számláló és a nevező. Ez utóbbi ráadásul a számítás algoritmizálhatóságának feltétele is!

7

2014.11.20.

A nevező számítása lényegesen egyszerűbb, ha igaz az alábbi feltételezés: n

x i 1

2 i



n

 n  x   xi  x 2



2

i 1

A statisztikában fontos összefüggés ellenőrzése:

 x n

i 1



n

n

i 1

i 1

 x  x i2  2  x   x i  n  x 2

i

2

A dia legfelső egyenletének jobb oldalát átalakítva tehát az új összefüggés: n

x i 1

2 i

n

n

i 1

i 1

 n  x   x i2  2  x   x i  n  x 2

n

2 x   x i  2n  x

2

2

i 1

n

Egyszerűsítések után látható, hogy igaz a feltételezés:

x i 1

x

i

 nx

1 n  xi n i 1

A számlálót is át kell alakítani, ha egyszerűen algoritmizálható formát szeretnénk: n

 (x y )  n  x  y i 1

i

i

Két lehetőség lenne, de tekintettel arra, hogy a nevezőben már rendelkezésre áll az „x” abszolút hibája (illetve ennek négyzete), célszerű ezt a számlálóban is felhasználni: n

n

n

n

i 1

i 1

i 1

í 1

 ( x i y i )  n  x  y   ( x i y i )  x  n y   ( x i y i )  x   y i A két szummában yi a közös szorzó, ami kiemelhető, ha a szummákat a közös határok miatt összevontuk: n

n

n

i 1

í 1

í 1



 ( x i yi )  x   yi   yi x i  x



Tehát az „m” számítási képletében a számláló legcélszerűbb alakja (tekintettel a nevező formájára) valóban az itt látható eredmény:

 y x n

í 1

i

i

x



8

2014.11.20.

2. WALD MÓDSZERE ALKALMAZÁSA: Ha mindkét változót normális eloszlású véletlen hiba terheli. ELJÁRÁS:

1. A mért érték párokat sorba rendezzük. Lehetőleg a mérési tartomány két végének környezetében végezzünk méréseket. A halmazt két részre osztjuk, és mindkét részhalmaz súlypontját képezzük. 2. A két súlypontot (s1, s2) összekötve a regressziós egyenes meredekségét kapjuk. 3. A teljes halmaz „S” súlypontjának kiszámítása után a 2. pontban meghatározott meredekséggel húzunk egyenest az „S” súlyponton keresztül.

9

2014.11.20.

A két részhalmaz súlypontjának meghatározása:

x1 

x2 

1 k xj k j1

y1 

n 1 xj n  k j k 1

y2 

1 k  yj k j1

n 1 yj  n  k j k 1

A regressziós egyenes meredekségének számítása:



y 2  y1 x 2  x1

A teljes halmaz súlypontján átmenő egyenes és az ordináta metszéspontja meghatározható:

1 n x  xj n j1

y

1 n  yj n j1

yx 

y  x  

Végül a regressziós egyenes egyenlete:

KORRELÁCIÓ Általánosságban két mennyiség közötti kapcsolat szorosságát, a függőség fokát értik a fogalom alatt. A méréstechnikában igen gyakran felmerülő probléma annak felderítése, hogy két, különböző mérési sorozatból származó mintasokaság (adathalmaz) között van-e lineáris összefüggés? Legyenek a két vizsgált minta átlagai:

x

x

i

n

n

y

y

i

n

n

Az átlag és az egyes mért értékek közötti eltérést egy n-dimenziós vektor elemeiként is fel lehet fogni.



 Y y  y , y  y ,...y  y  

 

X x1  x , x2  x ,... xn  x 1

2

n

10

2014.11.20.

Miért célszerű ebben az esetben a vektor-számítás alkalmazása? A vektor-térben ugyanis egyszerűbb a korreláció (kapcsolat) értelmezése. Ha ugyanis a két vektor egymással φ szöget zár be, akkor a szög értékével kifejezhető minden lényeges összefüggés: A két vektor közötti hajlásszög cosinus-a -1 és +1 között mozoghat, ezt nevezzük „r” korrelációs faktornak. 1./ φ=90º, akkor nincs közöttük lineáris függés 2./ φ=0º, akkor van lin. kapcsolat, a két vektor között konstans szorzóval y=ax 3./ φ=180º, akkor van lin. kapcsolat, a két vektor között negatív konstans szorzóval y= - ax 4./ φ≈0º, ill. φ≈180º akkor lehet lineáris a kapcsolat, de van egy korrekciós tag „e” y= ax + e, ahol |e|→0 Ha a korrelációs tényező ±1, akkor a két számsorozat között feltételezhető a lineáris kapcsolat.

X  Y  X  Y  cos 

X és Y vektor szorzata:

1 

Tekintettel arra, hogy a számításokhoz mérési adatokat használunk fel, TAPASZTALATI KORRELÁCIÓS EGYÜTTHATÓT (r*) kapunk.

 1

X Y  cos   r  1 X Y

 x  x y  y  i

i

n

 x  x   y  y  2

2

i

 cos   r  1

i

n

n

Ha r=1, akkor a fenti egyenletből is megkaphatjuk a regressziós egyenes egyenletét. Kérdés, mekkora „a” értéke, ha φ=0º ?

X Y  1 X Y

A korreláció alapján

aX=Y

X Y Y  X

Y X

X 

X Y X

2

a

azaz

Végül:

Y  aX 

X

másrészt

X

illetve

y

aX X



Y X

 x  x y  y  i

n

i

 x  x 

2

x  x y

i

n

11

2014.11.20.

„Tapasztalati” korrelációs együttható számítása az átlag és a szórás ismeretében Következik a vektor-szorzatból, a tapasztalati szórások felhasználásával.

 x  x y  y 

 x  x y  y 

n

r   x, y, s x , s y  

i

i 1

x

 x

2

i

n

i

y  y

2

i



i 1

n

i

i

2 2 1 1   xi  x yi  y n n

1 n x i  x yi  y  i 1  n r  x, y, s x , s y   sx  sy

A tapasztalati korrelációs együttható minimális értéke adott mintanagyság és konfidenciaszint mellett. Műszaki feladatokra min. 0.7-0.8! Itt „N” minta nagyság, nem szabadságfok!

12

2014.11.20.

A Pearson-féle táblázatban azt látjuk, hogy a minta nagysága, a mérési sorozat hossza (N) és a konfidencia szint (90%, 95%, 99% és 99,9%) alapvetően befolyásolják azt, hogy a gyakorlatban milyen korrelációs tényezők mellett lehet elfogadni, illetve elutasítani az adatok közötti összefüggésre vonatkozó hipotézist. Az ebben a táblázatban szereplő „N” nem a szabadságfokot jelöli! Létezik olyan Pearson korrelációs táblázat is, ahol a szabadságfok (degree of freedom, df) van feltüntetve: df=N-2, azaz a szabadságfok a minta hosszánál kettővel kisebb. A nullhipotézis H0 a fenti táblázat esetében azt jelenti, hogy a két adatsor között nincs kapcsolat. A „Critical values” (kritikus érték) jelentése ennek következtében az, hogy amennyiben az adott mintanagyságra kiszámított tapasztalati korrelációs együttható értéke kisebb, mint a táblázatban közölt kritikus érték, akkor a nullhipotézis H 0 igaz. A kapcsolat feltételezése adott valószínűséggel visszautasítható. A számoszlopok felett látható 0.1, 0.05, 0.01 és 0.001 értékek az un. „alfa” értékek. Ezek mutatják a tévedés valószínűségét, amennyiben a nullhipotézist elvetnénk (10%, 5%, 1% és 0.1%). Látható, hogy pl. egy 10 mérésből álló sorozat esetében, műszaki feladatnál, P=99% konfidencia szinten, már r*=0.765 érték is elegendő lehet ahhoz, hogy elfogadjuk a kölcsönös összefüggés fennállásának feltételezését. Ez a táblázat szellemében, az un. H1 ellenhipotézis elfogadását jelenti 1% tévedés lehetősége mellett.

A kalibrálás menete Precíziós méréseket csak stabilizált, szabványos hőmérsékleten, előírt nyomás és páratartalom mellett lehet elvégezni. A referencia etalonként használt eszköz(ök) pontossága ideálisan egy nagyságrenddel jobb legyen. A bevizsgálást a statikus bemenet és statikus kimenet közötti kalibrációs függvény meghatározására általában a statikus kalibrálással kezdik. Vannak a gépészeti alkalmazásban olyan mérőeszközök, amelyek funkcionálisan statikus működésűek. A statikus kalibrálás minden lépésénél meg kell várni, amíg beáll az állandósult (stacionárius) állapot.

13

2014.11.20.

A dinamikus kalibrálás célja annak eldöntése, hogy a mérőeszköz rendszáma, időállandói, frekvencia menete, alsó és felső határfrekvenciája, rezonancia frekvenciája, stb. valóban egyeznek-e a feltételezett értékekkel, illetve ezek egyeznek-e az adatlapon megadott értékekkel? Egy műszaki rendszer rendszáma a dinamikus működését leíró matematikai modell, pl. a differenciálegyenlet rendszámával, valamint ezzel összefüggésben, a frekvencia átviteli függvény nevezőjében a Laplace-operátor (s) fokszámával egyezik meg. A rendszám a műszaki rendszerben található független energia tárolók számával egyezik meg.

Az időben változó mennyiségek mérésére szolgáló mérőláncok összeállításánál elengedhetetlen a dinamikus kalibrálás és az eszközök frekvenciamenetének illesztése a mérendő jel spektrumához.

14

2014.11.20.

A dinamikus kalibrálás célja annak eldöntése, hogy a mérőeszköz rendszáma, időállandói, frekvencia menete, alsó és felső határfrekvenciája, rezonancia frekvenciája, stb. valóban egyeznek-e a feltételezett értékekkel, illetve ezek egyeznek-e az adatlapon megadott értékekkel? Egy műszaki rendszer rendszáma a dinamikus működését leíró matematikai modell, pl. a differenciálegyenlet rendszámával, valamint ezzel összefüggésben, a frekvencia átviteli függvény nevezőjében a Laplace-operátor (s) fokszámával egyezik meg. A rendszám a műszaki rendszerben található független energia tárolók számával egyezik meg.

Termoelem, mint elsőrendű rendszer

ref(t)=20 °C

tömeg x fajhő = hőkapacitás 1 db energia tároló

uki(t)

théta

be(t)

gáz olaj

g(t)

termikus átadási ellenállás

Rt

hő kapacitás

termikus vezetési ellenállás

Ct

Rt „gömb” hőmérséklet

g(t)

Pt

Fe

Pt-Fe: 10mV/100K (t)  uki (t)

 Ct Rt 2  2  1 dt

be(t)

két eltérő vill. potenciálú fém (hegesztve, forrasztva, csavarva)

15

2014.11.20.

VÁLTOZÓK SZÁRMAZTATÁSA ÖSSZEFOGLALÁS

Termoelem, mint elsőrendű rendszer Eszköz: STRUKTÚRAGRÁF

Rt+Rt

be

qR átmenő változó

g kereszt változó Ct

forrás

ref

DIFFERENCIÁL EGYENLET:

Rt

koncentrált paraméter

Ct hőáram:

hőteljesítmény:

dQ q dt

qR 

 analógia Rt

hőáram:

I

U R

be

Rt

g

1

d () Q  Ct   qC  Ct dt

Ct

2

ref 1= be-ref

2= g-ref

16

2014.11.20.

Termoelem, mint elsőrendű rendszer CSOMÓPONTI MÓDSZER (Kirchoff törv.)

Rt

bemenet

1(t)

qR  Ctt

1  2 Rt

2(t)

qC  Ct

d2 dt

 qR  qC  0

1  2   Ct 2  0 Rt dt

Ct Rt

2  2  1 dt termikus időállandó

.

T  2  2  1

Példák elsőrendű rendszerekre

Gerjesztés nélküli – feltöltött, majd magára hagyott rendszerek!

17

2014.11.20.

SÚLYFÜGGVÉNY (időtartományban értelmezett):

• homogén differenciál egyenlet megoldása, • autonóm rendszer válasza, • egység impulzus gerjesztésre adott rendszerválasz.


t   2 (t )  1 1  e T diff. egyenlet partikuláris megoldása: 

méréstechnikában a cél 0,1%!!!

   

inhomogén megoldás

statikus állapot 3T után

5% hiba

T a műszer adatlapján kötelező elem

18

2014.11.20.

Elsőrendű műszer válasza egység-sebesség függvényre

U(t)

Dinamikus hiba

Valódi (helyes) kimeneti függvény

Átmeneti függvény egységsebesség bemenetre

Tranziens hiba

t

ti

tj

19

2014.11.27.



2014


ref(t)=20 °C

tömeg x fajhő = hőkapacitás 1 db energia tároló

uki(t)

théta

be(t)

gáz olaj

g(t)

termikus átadási ellenállás

Rt

hő kapacitás

termikus vezetési ellenállás

Ct

Rt „gömb” hőmérséklet

g(t)

Pt

Fe

Pt-Fe: 10mV/100K (t)  uki (t)

 Ct Rt 2  2  1 dt

be(t)

két eltérő vill. potenciálú fém (hegesztve, forrasztva, csavarva)

1

2014.11.27.

Példák elsőrendű rendszerekre

Gerjesztés nélküli – feltöltött, majd magára hagyott rendszerek!



u

   

jelvezetékek

u(t)

y(t)

e

Xbe(t)

egységugrás fv.

Xki(t) termoelem

fém burkolat



ÁTMENETI FV. v(t)

statikus hiba

vn

statikus állapot 3T után t   v(t )  vn 1  e T 

5% hiba 0,95 vn

0,632 vn tranziens hiba

T

Tbeáll

   

elsőrendű műszer időbeli válasza egységugrás gerjesztésre

„T” a műszer adatlapján kötelező elem

2

2014.11.27.


2 (t )  2 (t )  1 (t ) dt

Ct Rt

1

Laplace transzformáció 7 szabály

 x(t ) dt  s x(s)

x(t )  x( s)

d x(t )  s  x( s ) dt

ÁTVITELI FÜGGVÉNY – G(s):

G ( s) 

elsőrendű – egy tároló

1 s Ct

Y (s) 2 ( s ) 1    ki 1 1 ( s ) s R C  1 U t t be ( s ) Rt  s Ct

T



s  j rad / s 

időállandó

MATEMATIKAI MODELLEK bemenet: u(t) kimenet: y(t)

U(s) Y(s)

Idő-tartomány u(t)

diff. egyenlet

Operátor, v. frekvenciatartomány y(t)

U(s)

G(s)

Y(s)

átviteli függvény

- átmenteti függvény v(t) válasz az 1(t) bementere

s = jω

- súlyfüggvény w(t) – válasz a (t) jelre

|G(j ω)|: amplitúdó-arány G(jω)

Arc{G(j ω)}: fáziskülönbség

3

2014.11.27.

Az átviteli függvény és a Bode-diagram Mitől más ez a megadás mint, az időtartománybéli? u ( s) Y ( s) 1 G( s)  2   u1 ( s) U ( s) s T  1

(t)  Laplace  1



s  j j - komplex körfrekvencia felbontható: Im+Re  szög+amplitúdó KOMPLEX SÍKBAN



G L    Re   j Im 

Im

GL()

() Re

Két információ nyerhető ki G(s)-ből:

1. Harmonikus jelek (sin) amplitúdó átvitel aránya G ( ) 



G L    Re   j Im 

xki ( ) Y ( )  xbe ( ) U ( )

BODE diagram

2. A kimenő és bemenő harmonikus jel fáziskülönbsége arcG( )   ( )



G L    Re   j Im 

Harmonikus (sin) jelek amplitúdó átvitel aránya – BODE diagram A [dB] mint a jelszint erősítés mérőszáma: visszavezetés a teljesítménymérésre Pl. műv. erősítők

I mérés nehézkes, problémás 2

10 lg

tengelyek komprimálása

pki pbe

uki  iki 

uki Rki

ube  ibe 

ube Rbe

2

Y(s)

KOMPLEX SÍKBAN

2

u u 10 lg ki 2  20 lg ki ube ube

[dB]

Im (G)

U(s)

Elsőrendű rendszerre:

G( s) 

G ( ) 

G( ) db  20 lg

v u

1 j T  1

u()

Y ( s) 1  U ( s) s T  1

 1  2 2  T  1 



UL()

YL()

 A  2 2  T  1 

Y()

Re (G)

 20 lg A  20 lg  2T 2  1  20 lg 1  10 lg(  2T 2  1)  10 lg(  2T 2  1) számláló

nevező

T 0  arctg T    arctg A 1  Re

 ( )   v ( )  u ( )  arctg  számláló

nevező

Im

4

2014.11.27.

A BODE diagram A [dB] mint a jelszint erősítés mérőszáma: -

nagy és kis amplitúdó arány jeleníthető meg (pl. gépészetben 10-1...104) A logaritmikus komprimálás miatt nagy frekvenciatartomány is megjeleníthető (pl. hang 20 Hz...20 kHz )

 G() [dB]

uki/ube1

uki/ube=1

 0 !!!

uki/ube1  [°]

lg  egy dekád

lg 

A BODE diagram

 G() [dB]

G( s) 

0,087 dB  1% hiba

u ( s) Y ( s) 1  ki  U ( s) ube ( s) jRt Ct  1

3 dB  41% hiba lg 

ha A=1 -20 db/dekád

 [°]

 s= 1 / T – letörési v. sarok k.frekvencia lg 

5

2014.11.27.

A BODE diagram

G( ) db  20 lg

Y U


 ( )   arctg 0  arctg

nevező

T 1

 arctg T 

 Y()

1/T

(-)

aszimptóta

A BODE diagram

Y ( ) db  20 lg

v u


 ( )   arctg 0  arctg  Y() [dB]

nevező

T 1

 arctg T 

0,087 dB  1% hiba



 [°]


6

2014.11.27.

PÉLDA, AMELY AZ ELŐZŐ DIA FREKVENCIAMENETÉHEZ TARTOZIK: INDUKTÍV GYORSULÁSÉRZÉKELŐ

MIÉRT VAN A DINAMIKAI MODELLEZÉSRE SZÜKSÉG?

ALAPISMERETEK MŰSZEREK ADATLAPJAINAK „ÉRTELMES” OLVASÁSÁHOZ

7

2014.11.27.

2. r. rsz. SÚLYFÜGGVÉNYE

U(t) R1 Umax Un

statikus állapot 3T után

t

2. r. rsz. BODE diagamja  Y() [dB]

Csillapítás = 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,7 1 2

-40 db/dekád

u(t)

lg   [°] t [s]

lg 

8

2014.11.27.

Rezgéstani normált görbe .

4. szem.: REZGÉSTAN 5. szem.: IRÁNYÍTÁSTECHNIKA

D D

D



csillapítatlan rsz.





D

 D

 D



csillapítatott rsz.

csillapítatlan rsz. körfr.

Méréstechnikai jel = villamos jel

Szenzor / jelátalakító feladata  alakváltozást,  elmozdulást,  vagy anyagjellemző változást kell a mérendő mennyiség által reprodukálhatóan létrehozni ahhoz, hogy a lánc végén villamos jelhez juthassunk.

9

2014.11.27.

JEL: (IDŐBEN VÁLTOZÓ) FIZIKAI (KÉMIAI) MENNYISÉG HÍR/KÖZLEMÉNY: (IDŐBEN) KORLTOZOTT JELEK INFORMÁCIÓ (Shannon, Bell Laboratories): BIZONYTALANSÁG, AMELYET A HÍR MEGSZŰNTET(ETT). HÍRKÉSZLET: ÖSSZES LEHETSÉGES HÍR INFORMÁCIÓ MENYISÉG/HÍRTARTALOM: A HÍR KÖZLÉSE ÁLTAL ELOSZLATOTT BIZONYTALANSÁG NAGYSÁGA. EZÉRT ANNAK A HÍRNEK VAN NAGYOBB INFORMÁCIÓTARTALMA, AMELYNEK A BEKÖVETKEZÉSI VALÓSZÍNŰSÉGE KISEBB.

JELEK FELOSZTÁSA DETERMINISZTIKUS

SZTOCHASZTIKUS

ANALÓG PERIÓDIKUS

HARMONIKUS

ÁLTALÁNOS PERIODIKUS

DISZKRÉT NEM PERIÓDIKUS KVÁZI PERIODIKUS EGY-ÉS KÉTOLDALASAN HATÁROLT

ERGODIKUS

AMPLITÚDÓ KVANTÁLT

NEM ERGODIKUS

IDŐ KVANTÁLT AMPLITÚDÓ ÉS IDŐ KVANTÁLT

10

2014.11.27.

PERIODIKUS JELEK

x(t)

ÁLTALÁNOSAN PERIODIKUS

NEMHARMONIKUS PERIODIKUS

t SZUPERPONÁLT PERIODIKUS x(t)

t

NEMPERIODIKUS JELEK Kétoldalasan határolt APERIÓDIKUS

négyszög

félszinusz

Egyoldalasan határolt APERIÓDIKUS

egység ugrás fv.

KVÁZI PERIÓDIKUS x(t)

t DIRAC delta

11

2014.11.27.

ERGODIKUS ZAJ

NEM ERGODIKUS ZAJ

KVANTÁLÁS - mintavételezés

x(t)

IDŐ kvantálás

IDŐ + AMPLITÚDÓ kvantálás x(t)

x(t)

t AMPLITÚDÓ kvantálás

Shannon elv: fmintavétel≥2∙ fmax

12

2014.11.27.

A Shannon-féle mintavételezési szabály

T

 1   F 2 f max

pl. T=10 ms jel esetén min. fmin=20 Hz !!!!!

13

2014.11.27.

DIGITÁLIS KIJELZÉSŰ MŰSZEREKEN LEOLVASOTT ÉRTÉKEK SZÓRÁSA Közvetett A/D konverzióval (átalakítással) dolgozó mérőeszközökre jellemző az un. digitális maradék-hiba, amelynek értéke 1 bit. A közvetlen A/D konverzió kvantálást (szintekhez rendelést) jelent mind az amplitúdó értékre, mind pedig az időre nézve (mintavételezés). A kvantálás miatt a jelszinteket egy adott tartományban azonos értékűnek vesszük, ebből következik, hogy egy kvantum teljes tartományában a tényleges érték végig azonos valószínűséggel léphet fel. x(t)

x*(t)

t

t

f(x) z

z

x(t) = x

xi-1

xi - z/2

xi

xi + z/2

xi+1

14

2014.11.27.

EGYENLETES ELOSZLÁS DISZKRÉT ESETBEN P xi  

P(x) Diszkrét valószínűségi folyamat esetében (pl.: kockadobás) valamennyi elemi esemény bekövetkezésének valószínűsége azonos:

1 6

1/6 x 1

2

3

4

5

6

EGYENLETES ELOSZLÁS FOLYTONOS ESETBEN f(x)

 1  a xb f ( x)   b  a   0  másként

(b-a)-1

x F(x)

1

x

Eloszlásfüggvény

b

a

FOYTONOS, EGYENLETES ELOSZLÁS STATISZTIKAI JELLEMZŐI Várható érték (átlag):

b

   x  f x dx  a



b

1 xdx b  a a

1 x2 b 1 b2  a2 b  a     ba 2 a ba 2 2

Variancia (szórásnégyzet): b

b

 2   f x ( x   ) 2 dx   f x x 2 dx   2 a

a

2

1  ab 1 ( a  b) 2 x 2 dx  x  dx   ba 2  ba a 4 a

b

2 

b

2 

1 x 3 b (a  b) 2 4b 3  4a 2  3(b  a )(a  b) 2    ba 3 a 4 12(b  a )

2 

4b 3  4a 3  3b 3  3a 2b  3ab 2  3a 3 b 3  3ab 2  3a 2b  a 3  12(b  a) 12(b  a)

2 

(b 2  2ab  a 2 )(b  a ) (b  a ) 2  12(b  a) 12

15

2014.11.27.

Alkalmazás digitális kijelzésű műszerekre: A várható érték a kijelzett értékkel esik egybe:

ab M x   2 A szórás a legkisebb helyértéknek megfelelő digit kb. harmada, ~29 %a:

 x  

z z xi   xi  2 2 x i 2

ba z 1   z 12 12 2 3

A gyakorlatban egy digitális kijelzésű mérőóra: vonatkoztatva: Osztásköz: z=0,01 mm

sx 

0,01 1 0,005    3m 2 3 3

16

2014.11.27.



2014

ZH beosztás: ZH – 3 kérdés, 60 pont, min. 40% (Aud.Max, 12.04., csüt.): •

A-L, 12.15

•

M-Z, 13.00

pót ZH (Aud.Max, 12.11., csüt.): 12.15. pót labor: 12.15. hétfő, 12:15-14 KORL. LÉTSZÁM!!! + KÜL.ELJ.DÍJAS + BEUGRÓ

1

2014.11.27.


Ct Rt

2 (t )  2 (t )  1 (t ) dt 1

Laplace transzformáció 7 szabály

 x(t ) dt  s x(s)

x(t )  x( s)

d x(t )  s  x( s ) dt

ÁTVITELI FÜGGVÉNY – G(s):

G ( s) 

elsőrendű – egy tároló

1 s Ct

Y (s) 2 ( s ) 1    ki 1 1 ( s ) s R C  1 U t t be ( s ) Rt  s Ct 

s  j rad / s 

T időállandó



u

   

jelvezetékek

u(t)

y(t)

e

Xbe(t)

egységugrás fv.

Xki(t) termoelem

fém burkolat



ÁTMENETI FV. v(t)

statikus hiba

vn

statikus állapot 3T után t   v(t )  vn 1  e T 

5% hiba 0,95 vn

0,632 vn tranziens hiba

T

Tbeáll

   

elsőrendű műszer időbeli válasza egységugrás gerjesztésre

„T” a műszer adatlapján kötelező elem

2

2014.11.27.

MATEMATIKAI MODELLEK bemenet: u(t) kimenet: y(t)

U(s) Y(s)

Idő-tartomány u(t)

Operátor, v. frekvenciatartomány y(t)

diff. egyenlet

G(s)

U(s)

- átmenteti függvény v(t) válasz az 1(t) bementere

Y(s)

átviteli függvény

- súlyfüggvény w(t) – válasz a (t) jelre

s = jω

KOMPLEX SÍKBAN

Im (G) UL()

|G(j ω)|: amplitúdó-arány G(jω)

u() YL() Y()

Re (G)

A BODE diagram

 G() [dB]

Arc{G(j ω)}: fáziskülönbség

G( s) 

0,087 dB  1% hiba

u ( s) Y ( s) 1  ki  U ( s) ube ( s) jRt Ct  1



 [°]


3

2014.11.27.

JELEK (VÁLTOZÓK) A RENDSZEREKBEN

Műszaki jelek felírhatók harmonikus jelek összegeként!

JELEK (VÁLTOZÓK) A RENDSZEREKBEN x(t) A t 2/ω0

A JEL „SPEKTRUMA” x(t)=Asin ω0t

|F(ω)|

ω0

Időtartomány

ω

Operátor (frekvencia) tartomány

4

2014.11.27.

A LEGFONTOSABB JELTÍPUSOK ÉS SPEKTRUMUK

Folytonos jelek

Időben határolt jelek

Diszkrét spektrum

Folytonos spektrum

(t)

A Fourier együtthatók ábrázolása a körfrekvenciák függvényében: A „spektrum”

ω1

2ω1

3ω1

5ω1

7ω1

9ω1

A Fourier együtthatók alapján megrajzolt harmonikus összetevők, és eredőjük. Elméletben, ha az eredőt az összes összetevő figyelembe vételével rajzoljuk meg, akkor az eredeti függvényt látjuk viszont.

5

2014.11.27.

JELÁTVITEL PROBLÉMÁINAK SZEMLÉLTETÉSE A SPEKTRUM SEGÍTSÉGÉVEL Mérendő jel Regisztrált jel

Szűrő átviteli tag a műszerben (pl.)

A négyszögjel hibátlan átviteléhez elvben végtelen sok harmonikus összetevő átvitelére lenne szükség. Ez a gyakorlatban megvalósíthatatlan, ezért az átvitt jel spektrumát felülről korlátozzák. Ez a korlátozás azonban következményekkel jár. •Hibával terhelt lesz a visszaállított jel •A még átvitt legnagyobb frekvencia és a mintavételezés frekvenciája között Shannon fontos összefüggést állított fel.

6

2014.11.27.

A Shannon-féle mintavételezési szabály

T

 1   F 2 f max

pl. T=10 ms jel esetén min. fmin=20 Hz !!!!!

Dirichlet feltételek: - f(x) véges számú szélsőértékkel rendelkezik - f(x) véges számú szakadási ponttal rendelkezik - f(x) absz. integrálható - f(x) korlátos

7

2014.11.27.

8

2014.11.27.

Ez az oka annak, hogy a FFT programokkal kiszámított spektrum „kétoldalas”. A negatív körfrekvenciákra eső részt a pozitív oldalhoz kell számítani.

9

2014.11.27.

10

2014.11.27.

Harmonikus függvények integráljai

Példa állandó amplitúdójú, periodikus függvény Fourier sorának kiszámítására

Annak szemléltetése, hogy az egyes együtthatók meghatározása során milyen integrálási határokkal kell számolni. Alap-harmonikus, és behelyettesítési alakja az integrálásnál

1 

2 T

1T  2



xt   A0    Ak cos kt  Bk sin kt  k 1

Az úgynevezett egyen-összetevő (lin. átlag): 2 A1  T

T /2

 0

B2 

2 T

T /2

2 T

T /2

1 T

T /2

h

 hdt  T t 0

T /2 0



h 2

2h 2h T /2 sin   sin 0  0 h  cos tdt  sin t 0  T T

B1  A2 

A0 

2 T

T /2

2h

 h  sin tdt   T cos t 2h

 h  cos 2tdt  T 2 sin 2t



T /2 0

0

2h

 h  sin 2tdt   T 2 cos 2t

B5 

B7 

2 T

T /2

2 T

T /2

2 T

0



T /2 0



h cos 2  cos 0   h 1  1  0 T T

2h

 h  sin 3tdt   T 3 cos 3t

T /2 0



2h cos 3  cos 0   2h  1   1  4h  T  2h 3T 3T 3T 2 3



2h cos 5  cos 0   2h  1   1  4h  T  2h 5T 5T 5T 2 5

0

2h

 h  sin 5tdt   T 5 cos 5t

T /2 0

0

T /2

2h

 h  sin 7tdt   T 7 cos 7t 0

2h cos   cos 0   2h  1   1  4h  T  2h T T T 2 

h sin 2  sin 0  0 T

0

B3 

T /2

0

T /2 0



2h cos 7  cos 0   2h  1   1  4h  T  2h 7T 7T 7T 2 7

11

2014.11.27.

A Fourier együtthatók ábrázolása a körfrekvenciák függvényében: A „spektrum”

ω1

2ω1

3ω1

5ω1

7ω1

9ω1

A Fourier együtthatók alapján megrajzolt harmonikus összetevők, és eredőjük. Elméletben, ha az eredőt az összes összetevő figyelembe vételével rajzoljuk meg, akkor az eredeti függvényt látjuk viszont.

MÉRÉSI EREDMÉNY KORREKT MEGADÁSA EGY BEMENŐ ÉS EGY KIMENŐ MENNYISÉG ESETÉN, HA A MÉRÉSI SOROZATOT TÖBBFÉLE BIZONYTALANSÁG TERHELI, „A” és „B” TÍPUSÚ BECSLÉSSEL, VALAMINT U.N. KITERJESZTETT BIZONYTALANSÁGGAL: k 2 y  x  H  U  x  H  t   sx   u 2j  j1  

Eredmény

Sorozat átlaga

Megbízhatósági szint faktora Eredő rendszeres hiba

„Kiterjesztett” bizonytalanság

12

2014.11.27.

Eredmény (Y) megadása több bemenő mennyiség esetén, kétféle (A és B típ.) bizonytalanság becsléssel

Y  f ( X A1 , X A 2 ,...X A ,n k , X B1 ,...X Bk ) becslése : y  f ( x A1 , x A 2 ,...x A ,n k , x B1 ,...x Bk )  H eredő  U ahol n k k 2 U  k  u x   k    c i s x i    c j u 2j  j1  i 1 

Kiterjesztett mérési bizonytalanság „U”

Az xAi bemeneti mennyiség súlyozott, korrigált tapasztalati szórása, vagy az átlag szórása, tehát „A” típusú bizonytalansága.

A „k” faktor a konfidencia szinttel kapcsolatos: Normál eloszlást feltételezve, 95%-os megbízhatósági szinten k=2

A mérés „B” típusú, súlyozott bizonytalanságai

KÖZVETETT MÉRÉS EREDMÉNYÉNEK SZÓRÁSA Valamennyi részeredményt rendszeres és véletlen hibák terhelnek. x1   1 A rendszeres hibákat a korrekcióban vesszük figyelembe, a xi   i véletlen hibákat a szórásuk jellemzi: xn   n

x1 , x2 ,...xi ,...xn változók egymástól függetlenek, Levezetés nélkül: Ha az akkor kiszámítható a közvetett mérés eredményének varianciája (szórásnégyzete):

 f x1...xn    f x1...xn    Var xn   Var x1   ...  x 1    xn 

 y2  Var  f x1...xn   

2

2

Fentiekkel az eredő tapasztalati szórás általánosan használatos meghatározása:

 f x1 ,...xn    f x1 ,...xn   s y     s X1   ...  s X n  x1 xn     2

2

Csebisev tétele szerint ez „optimistább”, és egyben a valósághoz közelibb becslést ad, mint a hibaterjedéssel számított abszolút, vagy a relatív hiba.

13

2014.11.27.

Abszolút és relatív hibák „terjedése” közvetett mérésnél (A hibák hatása az eredményben) - MÚLT 1./ Ha a végeredményt additívan kapjuk a részeredményekből: y = x + z

 y  y y    x   z  z  x 

Eredő abszolút hiba:

a ± előjel azt mutatja, hogy az eltérés mindkét „irányban” felléphet, a részeredmények hibái a súlyfaktorokkal „terhelve” összeadódnak,

y  (1 x  1 z)

esetünkben:

Eredő relatív hiba:

x z x z z    y y x  z x x x x z     z z y xz xz 1 1 x x

A két részeredmény egymáshoz való kapcsolatának bemutatására az összefüggés számlálóját és nevezőjét osztottuk x-szel. A relatív hiba képlete jól mutatja, hogy abban az esetben, ha a végeredményt két érték különbségeként kapjuk, és a számértékek közel állnak egymáshoz, igen veszélyes lehet ez a mérési és számítási módszer!

2./ Ha a végeredményt szorzással, osztással, vagy hatványozással

y  xn  z m

kaphatjuk: Eredő abszolút hiba: Eredő relatív hiba:



 0  0  m, n   1  1

y   nx n 1  z m  x  xn  mzm 1  z



n 1 m n m 1 y nx  z  x  x  mz  z x z  n m y xn  z m x z

Összegezhetjük, hogy az abszolút érték miatt, mindkét függvény-típus esetében „pesszimisztikus” eredményt kapunk. Csebisev igazolta, hogy az eredő hiba számítása során reálisabb eredményhez jutunk, ha a rész-hibákat véletlen hibaként fogjuk fel, és a hibák négyzetösszegének gyökével számolunk.

AJÁNLOTT MÓDSZER KÖZVETETT MÉRÉS HIBÁJÁNAK MEGHATÁROZÁSÁRA: •A rendszeres hibákat korrekcióként vesszük figyelembe •A részeredmények szórásaiból eredő szórást számolunk

14

2014.11.27.

KÖZVETETT MÉRÉS EREDŐ HIBÁJA xi részeredményből tevődik össze a mérés eredménye: Például a fajlagos ellenállás meghatározása: Ideális esetben: xi = xi0

  R

A U A    I 

és így

y  f x1 , x2 ,...xi ,...xn 

y0  f x10, x20, x30,...xn0 

xi0 a mért i-edik jellemző helyes (a valódit nem ismerjük) értéke, amelyet kellően nagy számú mérés átlagértékével becslünk.

Hibával terhelt mérés (valóság) esetében:

H X i  dxi  xi  xi 0

Feladatunk megkeresni y0 azon dy0 változását, amely azért lép fel, mert xi0 helyett xi volt a mérésünk eredménye: Kivitelezés: Ilyen típusú feladatok megoldására szolgál a parciális deriválás!

dy 

y x1

 dx1  ... X 10 ,...X n 0

y xn

 dxn X 10 ,...X n 0

(Taylor sor elsőrendű tagjaiból)

A parciális derivált értékeit xi0 helyen határozzuk meg.

PÉLDÁK A KÖZVETETT MÉRÉS BIZONYTALANSÁGÁNAK MEGHATÁROZÁSÁRA

1. Henger űrtartalmának meghatározása hosszmérésekkel:

V

D2   h  f x1 , x2   y 4

Elvi okokból a számításokhoz mindkét, n-szer megismételt hosszmérés adataiból adódó legjobb becslési értéket, azaz az átlagot használjuk fel. Ugyancsak meghatározható mindkét mérés szórása is, ami egyben az eljárást és a kivitelezést is minősíti. f x1 , x2  V D    h   x1 D 2

sD n s h,  sh  h n D,  s D 

f x1 , x2  V D 2     x2 h 4

 D    h s D   D 2   sh   sy        n   4 n   2 2

Eredő mérési bizonytalanság:

2

D h

15

2014.11.27.

2. Görbület sugarának mérése szferométerrel:

R-b

2

b

f

a

a2 a 2 R 2     R  b    R 2  2 Rb  b 2 4 2 a2 0  2 Rb  b 2 4  a2 b 1  a2 R    b 2    2b  4  8b 2

R a  a 4b R 1 a 2 1 4b 2  a 2    b 2 8 b 2 8b 2 A mérés eredő bizonytalansága: 2

Számítások a mérhető mennyiségekből:

a  a  sa b  b  sb

 4b 2  a 2 s   a s  2 sR     b     a   8b 2 n   4b n   Az „f” sík és a lencse felülete közötti „b” távolság méréséhez síküveglapot használnak. Az „a” méret és a szórása a gépkönyvben található, esetleg mérni kell.

16

MÉRÉSTECHNIKA DR. SAMU KRISZTIÁN

Recommend Documents