Měření nanodrsnosti pomocí optických metod a mikroskopie atomové síly Ivan Ohlídal1,2 , Daniel Franta1,2 a Petr Klapetek3 1 2 3
Katedra fyzikální elektroniky, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Kotlářská 2, 611 37, Brno Laboratoř plazmatu a plazmových zdrojů, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Kotlářská 2, 611 37 Brno Český metrologický institut, Okružní 31, 638 00 Brno
Abstrakt V tomto příspěvku je podán přehled statistických veličin charakterizujících náhodně drsné povrchy, které jsou významné z hlediska praxe. Dále jsou popsány způsoby měření těchto veličin pomocí mikroskopie atomové síly a optické metody založené na kombinaci spektroskopické elipsometrie a spektroskopické reflektometrie. Tyto způsoby jsou ilustrovány prostřednictvím výsledků dosažených u náhodně drsných povrchů monokrystalu křemíku a u drsných horních rozhraních tenkých vrstev TiO2 . Obdržené výsledky u obou druhů náhodně drsných povrchů pomocí kombinované optické metody a mikroskopie atomové síly jsou vzájemně srovnány. Je také provedena diskuse chyb, které mohou ovlivnit hodnoty statistických veličin určených pomocí mikroskopie atomové síly. V tomto příspěvku navíc ukážeme, že pomocí obou výše zmíněných experimentálních technik je možné provést i kvantitativní charakterizaci náhodně drsných povrchů vykazujících nanometrický charakter, tj. povrchů jejichž výškové nerovnosti jsou popsány standardními odchylkami s hodnotami menšími než 10 nm. Zároveň také ukážeme, že v případě nanometricky drsných povrchů je nutné z principiálních důvodů očekávat zřetelné rozdíly v hodnotách jejich statistických veličin určených pomocí mikroskopie atomové síly na jedné straně a pomocí kombinované optické metody na straně druhé.
1
Úvod
Náhodná drsnost výrazně ovlivňuje fyzikální a chemické vlastnosti povrchů pevných látek. Například v důsledku této drsnosti povrchy pevných látek a tenké vrstvy rozptylují světlo a rtg záření, drsnost povrchů a rozhraní tenkých vrstev ovlivňuje jejich mechanické a elektrické vlastnosti atd. Je tedy nutné mít k dispozici metody umožňující kvantitativně charakterizovat náhodnou povrchovou drsnost, tj. určovat hodnoty statistických veličin jednoznačně popisujících tuto drsnost. Jedněmi z nejvýznamnějších metod umožňujících kvantitativní studium náhodné povrchové drsnosti jsou optické metody. V posledních deseti letech se v rámci optických metod používaných pro tento účel začínají výrazně uplatňovat metody spektroskopické elipsometrie a spektroskopické reflektometrie. Rovněž moderní experimentální technika známá jako mikroskopie atomové síly (atomic force microscopy – AFM) sehrává v posledních deseti letech významnou roli při kvantitativní charakterizaci náhodné povrchové drsnosti. Pomocí těchto zmíněných experimentálních technik, tj. spektroskopické elipsometrie, spektroskopické reflektometrie a mikroskopie atomové síly, lze kvantitativně studovat velmi jemně drsné povrchy, jemně drsné povrchy a středně drsné povrchy. Zmíněná klasifikace náhodně drsných povrchů je provedena na základě hodnot nejvýznamnějších číselných statistických veličin, tj. hodnot standardní odchylky výšek nerovností σ a autokorelační délky T (přesné definice těchto dvou veličin budou uvedeny v následujícím odstavci). Přiřazení hodnot σ a T k jednotlivým povrchům je následující: 1. Velmi jemně drsné povrchy: σ ≈ 1 nm a T ≈ 1 nm 2. Jemně drsné povrchy: σ < 10 nm a T ≤ 10 nm 3. Středně drsné povrchy: 1000 nm > σ ≥ 10 nm a T > 10 nm Pomocí AFM je ovšem možné také charakterizovat velmi drsné povrchy, pokud hodnoty dvou zmíněných číselných statistických veličin odpovídají následujícím nerovnostem: 5000 nm ≥ σ ≥ 1000 nm, T > 1000 nm. Pomocí spektroskopické elipsometrie a spektroskopické reflektometrie lze provést rozumnou kvantitativní charakterizaci těchto velmi drsných povrchů pouze tehdy, pokud tyto dvě optické metody jsou aplikovány ve vzdálenější infračervené oblasti spektra. Aplikace obou zmíněných optických metod v této části optického spektra je však experimentálně velmi obtížná a v praxi se pro studium povrchové drsnosti využívá jen výjimečně. V praxi často vznikají velmi jemně drsné povrchy v důsledku bombardování hladkých povrchů částicemi (např. ionty), v důsledku termické a anodické oxidace hladkých povrchů kovů a polovodičů atd. Jemně drsné povrchy vznikají například při termické i anodické oxidaci povrchů kovů a polovodičů, při mechanickém leštění povrchů v poslední fázi leštícího procesu, při leptání povrchů různých pevných látek atd. Středně drsné povrchy se objevují opět při termické a anodické oxidaci kovů a polovodičů, při leptání povrchů různých pevných látek, broušení 1
Obrázek 1: Schematické znázornění modelu náhodně drsného povrchu Si pokrytého velmi tenkou přirozenou vrstvou.
hladkých povrchů atd. Konkrétní typ povrchové drsnosti, který vznikne při termické a anodické oxidaci hladkých povrchů závisí na technologických podmínkách oxidace (totéž platí pro proces leptání). Je nutné poznamenat, že všechny tři uvedené typy náhodné povrchové drsnosti vznikají i u rozhraní tenkých vrstev v závislosti na použitém technologickém procesu a podmínkách přípravy těchto vrstev. V posledních několika letech se v odborné literatuře často objevuje pojem nanometrická náhodná drsnost. Pod tímto pojmem se rozumí náhodná povrchová drsnost jejíž lineární rozměry alespoň v jednom směru vykazují hodnoty rovné řádově několika nanometrům. Jinými slovy řečeno to znamená, že buď hodnota σ nebo hodnota T je u nanometrické povrchové drsnosti rovna několika nanometrům. Mezi nanometricky drsné povrchy patří samozřejmě i povrchy mající náhodnou povrchovou drsnost charakterizovanou veličinami σ a T , které současně vykazují hodnoty rovné několika nanometrům. To znamená, že velmi jemně drsné povrchy i jemně drsné povrchy zmiňované nahoře patří z tohoto hlediska mezi nanometricky náhodně drsné povrchy. Naším hlavním cílem v tomto článku je popsat měření prakticky významných statistických veličin charakterizujících drsné povrchy, včetně nanometricky drsných, pomocí mikroskopie atomové síly a optické metody tvořené spektroskopickou elipsometrií a spektroskopickou reflektometrií.
2
Významné statistické veličiny náhodně drsných povrchů
V tomto odstavci budou definovány významné statistické veličiny náhodné povrchové drsnosti mající vliv na fyzikální a chemické vlastnosti povrchů pevných látek a tenkých vrstev. Soustředíme se na náhodně drsné povrchy, které jsou generovány izotropními, stacionárními a ergodickými stochastickými procesy. Skutečnost, že náhodně drsné povrchy odpovídají izotropním a stacionárním stochastickým procesům znamená to, že tyto povrchy jsou izotropně a homogenně drsné (tj. hodnoty statistických veličin nezávisí na poloze a směru). Pojem ergodičnosti bude vysvětlen pomocí následujících vztahů. Z hlediska praxe je nutné uvažovat o šesti následujících významných statistických veličinách popisujících povrchy, které splňují předcházející předpoklady: (a) standardní odchylka výšek nerovností σ Z ∞ ZZ 1 σ2 = z 2 w(z) dz = lim ζ 2 (x, y) dx dy , S→∞ S −∞ S
(1)
kde w(z) je jednorozměrné rozdělení hustoty pravděpodobnosti náhodné funkce ζ(x, y) popisující náhodně drsný povrch (symboly x a y značí kartézské souřadnice ve střední rovině povrchu a z reprezentuje výšky nerovností povrchu). (b) standardní odchylka sklonů nerovností povrchu tan β0 ZZ Z ∞ 1 ′2 ′ ′ 2 ζ ′2 (x, y) dx dy , z w(z ) dz = lim tan β0 = S→∞ S S −∞ kde ζ ′ (x, y) =
∂ζ(x, y) ∂x
nebo
∂ζ(x, y) ∂y
(2)
(3)
a w(z ′ ) reprezentuje jednorozměrné rozdělení hustoty pravděpodobnosti náhodné funkce ζ ′ (x, y). (c) autokorelační funkce výšek B(τ ) Z ∞Z ∞ ZZ 1 z1 z2 w(z1 , z2 , τ ) dz1 dz2 = lim B(τ ) = ζ(x1 , y1 ) ζ(x1 + τx , y1 + τy ) dx1 dy1 , S→∞ S −∞ −∞ S
(4)
kde w(z1 , z2 , τ ) je dvourozměrné rozdělení hustoty pravděpodobnosti náhodné funkce ζ(x, y) odpovídající q bodům [x1 , y1 ] a [x2 , y2 ] (τx = x2 − x1 , τy = y2 − y1 , τ = τx2 + τy2 ). 2
(d) spektrální hustota prostorových frekvencí (power spectral density function) W (K): Z ∞ 1 W (K) = W (Kx , Ky ) = τ B(τ ) J0 (τ K) dτ , (5) 2π 0 q kde K = Kx2 + Ky2 , Kx a Ky jsou složky vlnového vektoru harmonické komponenty jisté prostorové frekvence povrchové drsnosti a J0 značí Besselovu funkci nultého řádu. . (e) jednorozměrné rozdělení hustoty pravděpodobnosti výšek w(z) (f) jednorozměrné rozdělení hustoty pravděpodobnosti sklonů w(z ′ ) Vzorce (1), (2) a (4) vyjadřují ergodičnost stochastických procesů generujících náhodně drsné povrchy. Jinými slovy řečeno to znamená, že ergodické stochastické procesy jsou takové procesy, u nichž středování přes soubor realizací náhodné funkce popisující tento proces dává stejné výsledky jako středování přes jednu nekonečně rozlehlou realizaci tohoto procesu.
3
Měření statistických veličin pomocí AFM
Při měření povrchové drsnosti pomocí mikroskopu atomové síly určujeme hodnoty výšek nerovností v určitých bodech střední roviny povrchu. To znamená, že jako výstup měření ze zmíněného mikroskopu obdržíme soubor hodnot výšek, který je nutné dále vhodným způsobem zpracovat. V rámci tohoto zpracování se musí nejdříve provést justování zmíněného souboru hodnot výšek nerovností. Toto justování se provádí tak, že se určí střední hodnota všech výšek. Určené hodnoty výšek se potom vztáhnou vůči této střední hodnotě, která se položí rovna nule. Tímto způsobem získáme hodnoty výšek nerovností, které jsou určeny vůči nulové střední rovině povrchu. Z předcházejícího textu vyplývá, že při výpočtu statistických veličin ve vztazích (1)–(5) musí být integrály nahrazeny součty. To tedy znamená, že při zpracování AFM dat musíme užít následující rovnice: (a) σ2 =
M N 1 XX 2 z , N M j=0 i=0 ij
(6)
kde N resp. M značí počet sloupců resp. řádků odpovídajících konkrétnímu AFM skenu (rastru). (b) tan2 β0 =
M N −1 X X 1 z ′2 , (N − 1)M j=0 i=0 ij
kde
′ zij =
zi+1,j − zij h
(7)
představuje numerickou numerickou derivaci profilu povrchu podél řádků. (c) B(τ ) =
M N −t X X 1 zij zi+t,j , (N − t)M j=0 i=0
kde
τ = th
(8)
kde h je vzdálenost mezi sousedními body řádků a t je přirozené číslo (t je mnohem menší než N ). (d) V praxi je výhodnější použít místo funkce W (K) jednorozměrnou spektrální hustotu prostorových frekvencí W1 (Kx ), tj. Z ∞
W (Kx , Ky ) dKy .
W1 (Kx ) =
(9)
−∞
Hodnoty W1 (Kx ) se určují rychlou Fourierovou transformací: W1 (Kx ) =
M 2 2π X ˆ Pj (Kx ) , N M h j=0
(10)
kde Pj (Kx ) je Fourierův koeficient j-tého řádku, tj. Pj (Kx ) =
N h X zij exp(−iKx ih) . 2π i=0
3
(11)
Obrázek 2: AFM snímek povrchu drsného křemíku (vzorek č. 8). Snímek odpovídá skenu 5 × 5 µm.
(e) N (z, δz) , N M δz kde funkce N (z, δz) představuje počet hodnot výšek zij ležících v intervalu hz − δz/2, z + δz/2i. w(z) =
(12)
(f) w(z ′ ) =
N (z ′ , δz ′ ) . (N − 1)M δz ′
(13)
Poznamenejme, že hodnoty σ a tan β0 lze určit i jiným způsobem, tj. tzv. parametrizací. V případě nejčastěji se vyskytujícího náhodně drsného povrchu, tj. normálního (Gaussova) povrchu, je možné hodnoty těchto parametrů určit prostřednictvím proložení experimentálních hodnot příslušných veličin pomocí odpovídajících následujících funkcí [k tomu účelu lze například využít metodu nejmenších čtverců (MNČ)]: 1 w(z) = √ exp(−z 2 /2σ 2 ) , 2π σ
(14)
T exp −(z ′ T /2σ)2 , w(z ′ ) = √ 2 πσ
(15)
σ2 T W1 (Kx ) = √ exp −(Kx T /2)2 , 2 π √ σ tan β0 = 2 , T
4
(16) (17)
Měření statistických veličin pomocí optických metod
Pomocí spektroskopické elipsometrie a spektroskopické reflektometrie lze určovat hodnoty parametrů σ, T , případně tan β0 . Je to dáno tím, že ve vztazích pro optické veličiny, tj. elipsometrické veličiny a odrazivost, vystupují tyto parametry ve funkcích jako jsou jednorozměrné rozdělení výšek nerovností, spektrální hustota prostorových frekvencí nebo autokorelační funkce. To znamená, že tyto funkce musí být ve vztazích pro optické veličiny formulovány pomocí vhodných matematických vyjádření, v nichž veličiny σ, T nebo tan β0 vystupují jako hledané parametry. Tyto 4
Obrázek 3: Jednorozměrné rozdělení hustoty pravděpodobnosti výšek w(z) pro vzorek č. 8 obdržené pomocí AFM měření a optické metody: body představují AFM data, —— fit experimentálních AFM dat, - - - - - teoretická křivka vypočítaná pomocí hodnoty σ určené z fitu experimentálních hodnot W1 (Kx ), · · · · · · teoretická křivka vypočítaná pomocí hodnoty σ určené optickou metodou.
parametry jsou potom hledány při zpracování odpovídajících experimentálních dat pomocí vztahů pro příslušné optické veličiny, tj. jsou hledány pomocí parametrizace (opět může být pro tento účel využita MNČ). Z toho vyplývá, že při srovnávání výsledků charakterizace drsných povrchů nebo rozhraní dosažených prostřednictvím AFM a zmíněných optických metod je možné se soustředit pouze na hodnoty parametrů σ, T nebo tan β0 . Je vhodné ještě poznamenat, že vztahy pro optické veličiny náhodně drsných povrchů nebo tenkých vrstev s náhodně drsnými rozhraními jsou velmi komplikované z matematického hlediska, a proto je nebudeme zde uvádět. Lze je najít v příslušné odborné literatuře (viz např. [1]).
5
Příklady experimentálních výsledků
Ilustrace určení některých významných statistických charakteristik náhodně drsných povrchů bude provedena nejprve prostřednictvím výsledků dosažených u pěti náhodně drsných povrchů monokrystalu křemíku. Tyto drsné povrchy byly připraveny anodickou oxidací hladkých povrchů destiček monokrystalu křemíku za různých technologických podmínek. V důsledku anodické oxidace hladkých povrchů křemíku je možné za jistých podmínek oxidace získat různě drsné povrchy tohoto materiálu (vrstvy vzniklého anodického oxidu musí být ovšem rozpuštěny). Měření AFM dat bylo provedeno pomocí komerčního mikroskopu atomové síly ACCUREX II.L firmy TopoMetrix. Byl použit skener typu tripod a standardní bezkontaktní hrot tvaru trojbokého jehlanu. Měření bylo většinou provedeno na rozsahu skenu (rastru) 5 × 5 µm při rozlišení 300 × 300 pixelů. Další podrobnosti měření jsou popsány v našem dřívějším článku [2]. Hodnoty statistických veličin náhodně drsných povrchů křemíku určené pomocí AFM byly srovnány s výsledky obdrženými pomocí kombinované optické metody založené na společné interpretaci experimentálních dat získaných v rámci víceúhlové spektroskopické elipsometrie a spektroskopické reflektrometrie aplikované při téměř kolmém dopadu světla. V rámci této kombinované optické metody jsou elipsometrická a reflektometrická experimentální data zpracovávána pro každý vzorek současně pomocí MNČ. Elipsometrická data byla tvořena spektrálními závislostmi elipsometrických veličin (např. elipsometrických parametrů) naměřenými pro různé úhly dopadu světla a reflektometrická data byla pak tvořena spektrálními závislostmi absolutní odrazivosti naměřenými při téměř kolmém dopadu světla (podrobněji viz [3]). Pro měření elipsometrických a reflektometrických dat studovaných vzorků byly využity fázově modulovaný spektroskopický elipsometr Jobin-Yvon UVISEL/DH10 a spektrofotometr Varian Cary 5 E. Optická data byla měřena ve spektrálním oboru 240–830 nm. Pro interpretaci optických dat byly využity vztahy odpovídající Rayleigh-Riceovy teorii a skalární difrakční teorii (podrobněji viz články [1], [4] a [5]). Je nutné poznamenat, že při interpretaci optických dat získaných při měření křemíkových vzorků jsme využili model tvořený 5
18000 16000 14000 W1 [nm3]
12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
Kx [nm-1] Obrázek 4: Jednorozměrná spektrální hustota prostorových frekvencí W1 (Kx ) odpovídající vzorku číslo 8: body značí experimentální hodnoty, —— fit experimentálních hodnot, - - - - - teoretická křivka vypočtená na základě hodnot σ a T určených optickou metodou.
náhodně drsným povrchem podložky (tj. křemíku), který je pokryt velmi tenkou přirozenou vrstvou (viz obr. 1). V obr. 2 je uveden AFM snímek vybrané části náhodně drsného povrchu Si (vzorek č. 8). Výsledky získané pomocí AFM a optické metody jsou pro vzorky č. 2, 3, 6, 7 a 8 uvedeny v tabulce 1. V druhém sloupci této tabulky jsou uvedeny hodnoty parametru σ určené pomocí vztahu (6) (tyto hodnoty jsou určeny pomocí programu který přísluší k vybavení mikroskopu a který neudává chybu určené hodnoty). Ve sloupcích 4 a 5 jsou uvedeny hodnoty veličin σ a T nalezené prostřednictvím parametrizace funkcí W1 (Kx ) a w(z) vyjádřených pomocí rovnic (16) a (14) (pomocí parametrizace funkce w(z) nelze určit hodnoty T ). Sloupec 3 obsahuje hodnoty σ a T určené pomocí kombinované optické metody. Z tabulky 1 je vidět, že existuje určitý nesouhlas mezi hodnotami σ a T určenými na jedné straně pomocí AFM a na straně druhé pomocí optické metody. Vysvětlení této skutečnosti bude provedeno v následujícím odstavci. V obr. 3 jsou uvedeny hodnoty funkce w(z) určené pomocí rovnice (12) (viz body) spolu s křivkou vyjadřující proložení těchto hodnot pomocí funkce vystupující v rovnici (14). Navíc jsou v tomto obrázku uvedeny křivky odpovídající teoretickým hodnotám w(z), které byly vypočítány pomocí hodnot σ určených využitím optické metody a využitím prokládání hodnot W1 (Kx ) určených pomocí rovnic (10) a (11) funkcí vystupující v rovnici (16). V obrázku 4 jsou uvedeny hodnoty funkce W1 (Kx ) určené pomocí rovnic (10) a (11) spolu s křivkou vyjadřující proložení těchto hodnot pomocí funkce dané rovnicí (16). Navíc jsou zde uvedeny křivky odpovídající
parametr σ2 σ3 σ6 σ7 σ8 T2 T3 T6 T7 T8
fit dat AFM 6,12 14,60 17,36 23,38 15,07
opticky
AFM W1 (Kx )
AFM w(z)
5,15 ± 0,06 10,73 ± 0,03 14,23 ± 0,02 15,58 ± 0,003 12,12 ± 0,004 102 ± 4 119,5 ± 0,3 137,6 ± 1,2 154,7 ± 1,2 126,0 ± 1,2
6,42 ± 0,03 14,73 ± 0,12 19,16 ± 0,16 23,2 ± 0,2 16,51 ± 0,16 75,1 ± 0,8 142 ± 3 240 ± 5 265 ± 6 209 ± 5
5,8 ± 0,3 14,5 ± 0,6 17,8 ± 0,7 24,2 ± 0,7 16,3 ± 0,1
Tabulka 1: Výsledky získané pomocí AFM a optické metody pro vzorky č. 2, 3, 6, 7 a 8.
6
teoretickým hodnotám této funkce vypočítaným pomocí hodnot σ a T , které byly určeny pomocí optické metody. Z obr. 3 vyplývá, že jednorozměrné rozdělení hustoty pravděpodobnosti výšek v případě vzorku č. 8 dobře odpovídá normálnímu povrchu. Z obr. 4 je však vidět, že funkce W1 (Kx ) charakterizující tento vzorek neodpovídá striktně vztahu (16), tj., že tato funkce nemá striktně normální (Gaussův) charakter. Poslední dvě skutečnosti nejsou vzájemně v rozporu, protože normální povrch může obecně vykazovat autokorelační funkci B(τ ) i funkci W1 (Kx ) v negaussovském tvaru. Je vhodné si povšimnout, že z obrázků 3 a 4 rovněž vyplývá jistý nesouhlas mezi výsledky obdrženými pomocí AFM a výsledky obdrženými využitím optické metody. Z předcházejících výsledků je také patrné, že pouze křemíkový vzorek číslo 2 lze jednoznačně zařadit mezi nanometricky drsné povrchy. Typickými nanometricky drsnými povrchy jsou horní rozhraní tenkých vrstev TiO2 , které byly připraveny termickým napařováním ve vakuu na podložky tvořené destičkami z monokrystalického křemíku při standardních podmínkách tohoto napařování (podrobněji viz [6]). Bylo analyzováno pět vzorků. Horní rozhraní těchto pěti vzorků vrstev TiO2 byla analyzována pomocí AFM a kombinované optické metody stejným způsobem jako vzorky drsných povrchů monokrystalického Si. AFM snímek části drsného horního rozhraní vzorku číslo 5 je na obr. 5. Již z tohoto snímku je vidět, že horní rozhraní tohoto vzorku vykazuje velmi jemnou drsnost odpovídající nanometrickému charakteru (v obrázku je zřetelný i artefakt způsobený zobrazováním vrcholu hrotu velmi ostrými nerovnostmi na rozhraní, což ukazuje, že lineární rozměry těchto nerovností ve střední rovině jsou srovnatelné s poloměrem vrcholu hrotu, který byl roven asi 20–30 nm). Hodnoty parametrů σ a T jednotlivých rozhraní byly určovány pouze pomocí fitování funkce W1 (Kx ) určené na základě výškových AFM dat a prostřednictvím fitování experimentálních dat odpovídajících kombinované optické metodě (tj. přímá metoda určení hodnot σ z AFM dat na základě definice nebyla v případě těchto vzorků využita). Při fitování optických i AFM dat byla opět využita MNČ. Spolu s určováním hodnot těchto dvou statistických parametrů bylo ovšem nutné současně určovat hodnoty tlouštěk a spektrákní závislosti optických konstant jednotlivých vrstev TiO2 . Je také nutné zdůraznit, že v případě analýzy vrstev TiO2 byla drsnost horních rozhraní zahrnuta do rovnic pro optické veličiny těchto vrstev pouze pomocí Rayleigh-Riceovy teorie kvůli zmíněné jemnosti drsnosti (tato teorie je teorií perturbační, a proto je vhodná pro popis interakce světla s jemně drsnými povrchy). Hodnoty parametrů σ a T spolu s hodnotami tlouštěk odpovídajících vrstev jsou uvedeny v tabulce 2. V této tabulce jsou srovnány hodnoty obou statistických parametrů, které byly určeny oběma technikami, tj. AFM i kombinovanou optickou metodou. Z tabulky 2 je zřejmé, že existují evidentní rozdíly mezi hodnotami σ a T určenými pomocí AFM na jedné straně a pomocí kombinované optické metody na straně druhé. Stejný nesouhlas byl zjištěn v případě funkce W1 (Kx ) určené s využitím AFM dat a vypočítané pomocí hodnot σ a T nalezených na základě kombinované optické metody (viz obr. 6). Poznamenejme ještě, že obě křivky v obr. 6 odpovídají Gaussovským funkcím. Předcházející výsledky jasně potvrzují skutečnost, že horní rozhraní všech pěti vrstev TiO2 jsou typickými nanometricky drsnými povrchy. Nesouhlas mezi hodnotami statistických veličin určenými pomocí AFM a kombinované optické metody u horních rozhraní vrstev TiO2 bude rovněž diskutován v následujícím odstavci.
6
Diskuse
Výsledky obdržené pomocí AFM i pomocí optické metody jsou samozřejmě zatíženy jistými systematickými chybami. V případě AFM nejvýznamnějšími chybami tohoto druhu jsou dvě následující chyby: 1. Konečný poloměr hrotu způsobuje, že povrchová drsnost je při měření určitým způsobem vyrovnávána (zahlazována). Tato skutečnost se projeví především tím, že jsou určovány menší hodnoty σ a tan β0 a někdy i mírně větší hodnoty T , než odpovídá skutečnosti. Je zřejmé, že tato systematická chyba se však výrazněji uplatní pouze u náhodně drsných povrchů vykazujících relativně malé hodnoty autokorelační délky T , tj. uplatní se hlavně u těch nanometricky drsných povrchů, které jsou v předešlé části textu nazývány velmi jemně drsnými povrchy a jemně drsnými povrchy. Odstranit nebo snížit zmíněnou systematickou chybu je u těchto náhodně drsných povrchů
fit optických dat č. vzorku 1 2 3 4 5
fit AFM dat
di [nm]
σi [nm]
Ti [nm]
σi [nm]
Ti [nm]
47,17 ± 0,01 147,29 ± 0,01 294,52 ± 0,01 636,91 ± 0,02 986,31 ± 0,03
2,59 ± 0,03 2,66 ± 0,04 3,24 ± 0,04 6,01 ± 0,04 8,50 ± 0,04
10,2 ± 0,3 11,8 ± 0,5 11,5 ± 0,3 22,8 ± 0,4 28,0 ± 0,4
0,266 ± 0,001 0,443 ± 0,002 1,333 ± 0,013 1,925 ± 0,022 4,100 ± 0,047
9,1 ± 0,1 11,1 ± 0,1 23,0 ± 0,5 63,0 ± 1,7 93,2 ± 2,6
Tabulka 2: Hodnoty tloušťky a statistických parametrů σ a T horních rozhraní vrstev TiO2 odpovídající pěti studovaným vzorkům.
7
Obrázek 5: AFM snímek části horního rozhraní vrstvy TiO2 odpovídající vzorku 5. Podmínky při skenování: bezkontaktní mód, skenovaná plocha 2×2 µm (400×400 pixelů), „tubeÿ skener, standardní bezkontaktní hrot, skenovací rychlost 3 µm s−1 .
600 500
W1 [nm3]
400 300 200 100 0 0
0.05
0.1
0.15
0.2
-1
Kx [nm ] Obrázek 6: Spektrální hustota prostorových frekvencí W1 (Kx ) pro vzorek 5: body reprezentují hodnoty funkce W1 (Kx ) určené pomocí AFM, plná křivka značí fit dat AFM, čárkovaná křivka reprezentuje funkci vypočítanou na základě hodnot σ a T nalezených s využitím kombinované optické metody.
8
velmi obtížné, ne-li nemožné. 2. Podmínky měření v rámci mikroskopu AFM určují rozsah prostorových frekvencí jednotlivých harmonických složek náhodné povrchové drsnosti. To znamená, že při AFM měřeních se uplatní pouze ty harmonické složky, jejichž hodnoty Kx leží v intervalu od Kx min do Kx max , kde Kx min resp. Kx max značí minimální resp. maximální hodnotu Kx . Je zřejmé, že hodnota Kx min je určena délkou strany čtverce skenování (rastrování) a hodnota Kx max je určena vzdáleností dvou nejbližších sousedních bodů, v nichž jsou hodnoty výšek určovány (tj. je dána počtem pixelů). Z předcházejícího je tedy zřejmé, že hodnoty statistických veličin určené AFM odpovídají pouze určitému intervalu prostorových frekvencí odpovídajících studovanému drsnému povrchu, což zřejmě ovlivní hodnoty statistických veličin určovaných pomocí AFM dat. Existují samozřejmě i další systematické chyby, které ovlivňují výsledky AFM měření. Patří mezi ně především chyby spojené se zpracováním naměřených dat výšek. Jako příklad lze uvést chyby vzniklé v důsledku použití rychlé Fourierovy transformace při určování hodnot funkce W1 (Kx ). Podrobnějším rozborem jsme zjistili, že kombinovaná optická metoda je citlivá na jiný interval prostorových frekvencí náhodně drsných povrchů (tento podrobnější rozbor je relativně komplikovaný a bude presentován v jiném článku). Tato skutečnost je pravděpodobně hlavním důvodem dříve zmíněného nesouhlasu mezi hodnotami statistických veličin určených AFM a kombinovanou optickou metodou. V rámci tohoto odstavce je vhodné ještě zdůraznit dva významné fakty vyplývající s předcházejícího textu tohoto článku. První z nich je pozitivní a spočívá v tom, že pomocí AFM i popsané kombinované optické metody je možné určovat hodnoty významných statistických veličin i u nanometricky drsných povrchů. Druhý z nich je negativní a říká to, že u těchto nanometricky drsných povrchů lze očekávat z principiálních důvodů poměrně značný nesouhlas mezi hodnotami statistických parametrů nalezených pomocí AFM a kombinované optické metody v důsledku vlivu výraznějších systematických chyb, které jsou u obou zmíněných experimentálních technik rozdílné.
7
Závěr
V závěru tohoto článku je možné konstatovat, že mikroskopie atomové síly i optická metoda založená na kombinaci spektroskopické elipsometrie a spektroskopické reflektometrie jsou velmi důležitými a efektivními metodami pro analýzu náhodné povrchové drsnosti. V rámci obou těchto metod je možné určit významné číselné statistické charakteristiky této drsnosti, tj. je možné určit hodnoty parametrů σ (standardní odchylka výšek nerovností), T (autokorelační vzdálenost) a tan β0 (standardní odchylka sklonů nerovností). Dále jsme ukázali, že pomocí AFM je možné určit i další důležité statistické veličiny popisující kvantitativně náhodně drsné povrchy. Jsou to tyto veličiny: jednorozměrné rozdělení výšek sklonů w(z), jednorozměrná spektrální hustota prostorových frekvencí W1 (Kx ) a autokorelační funkce B(τ ) (autokeralační funkci lze určit pomocí Fourierovy transformace ze spektrální hustoty prostorových frekvencí). Pro ilustraci byly v tomto článku také presentovány konkrétní výsledky dosažené pro statistické veličiny popisující vybrané vzorky náhodně drsných povrchů monokrystalického křemíku a náhodně drsných horních rozhraní tenkých vrstev TiO2 . Ukázali jsme rovněž, že pomocí AFM a kombinované optické metody lze určit i hodnoty významných statistických charakteristik popisujících nanometrickou náhodnou povrchovou drsnost. Dále je nutné zdůraznit, že hodnoty statistických charakteristik mohou být značně ovlivněny systematickými chybami přístrojového charakteru i systematickými chybami spojenými s matematickým zpracováním AFM dat. Je proto nutné provádět interpretaci a vysvětlení výsledků dosažených zvláště pomocí AFM velmi opatrně. Toto konstatování je především platné při srovnávání výsledků týkajících se povrchové drsnosti dosažených pomocí AFM na jedné straně a optickými metodami na straně druhé. Toto tvrzení platí zvláště pro případ nanometricky drsných povrchů vykazujících velmi malé hodnoty autokorelační délky T .
8
Poděkování
Tento článek byl vypracován v rámci projektu Tandem FT-TA/094, který je podporován Ministerstvem průmyslu a obchodu České republiky.
9
Literatura
[1] I. Ohlídal, D. Franta, in Progress in Optics, Vol. 41, 181–280 (2000) edited by E. Wolf (Amsterdam: North-Holland) [2] D. Franta, I. Ohlídal and P. Klapetek, Mikrochim Acta 132, 443–447 (2000) [3] D. Franta and I. Ohlídal, Surf. Interface Anal. 30, 574–579 (2000) [4] D. Franta, I. Ohlídal, J. Mod. Optics 45, 903–934 (1998) [5] I. Ohlídal, F. Lukeš, Opt. Acta 19, 817–843, (1972) [6] D. Franta, I. Ohlídal, P. Klapetek, and P. Pokorný, Surf. Interface. Anal. 34, 759–762 (2002)
9
