MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ Lesnická a dřevařská fakulta Ústav nauky o dřevě
Modální analýza bubenické paličky metodou konečných prvků Diplomová práce
Autor: Bc. Petr Sochor Vedoucí práce: Ing. Jan Tippner, Ph.D.
Brno 2013/2014 1
2
Čestné prohlášení
Prohlašuji, že jsem tuto práci: „Modální analýza bubenické paličky metodou konečných prvků“ vypracoval samostatně a veškeré použité prameny a informace jsou uvedeny v seznamu použité literatury. Souhlasím, aby moje práce byla zveřejněna v souladu s § 47b zákona č. 111/1998 Sb. o vysokých školách ve znění pozdějších předpisů a v souladu s platnou Směrnicí o zveřejňování vysokoškolských závěrečných prací. Jsem si vědom, že se na moji práci vztahuje zákon č. 121/2000 Sb., autorský zákon, a že Mendelova univerzita v Brně má právo uzavření licenční smlouvy a užití této práce jako školního díla podle § 60 odst. 1 Autorského zákona. Dále se zavazuji, že před sepsáním licenční smlouvy o využití díla jinou osobou (subjektem) si vyžádám písemné stanovisko univerzity o tom, že předmětná licenční smlouva není v rozporu s oprávněnými zájmy univerzity a zavazuji se uhradit případný příspěvek na úhradu nákladů spojených se vznikem díla, a to až do jejich skutečné výše. V Brně dne:……………………… ………………………………… Podpis studenta 3
Poděkování: Práce byla podpořena v rámci projektu "Založení mezinárodního výzkumného týmu pro vývoj nových materiálů na bázi dřeva" reg. č. CZ.1.07/2.3.00/20.0269, který je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR a dále projektem "Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu" (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021) za přispění finančních prostředků EU a státního rozpočtu České republiky. Zvláštní poděkování patří především vedoucímu této diplomové práce Ing. Janu Tippnerovi, Ph.D. za jeho ochotu, čas a cenné rady, které pomohli při vzniku této práce. Také děkuji výbornému kolektivu z Ústavu nauky o dřevě. Poděkování patří také mé rodině za podporu ve studiu.
4
ABSTRAKT Autor: Petr Sochor Název práce: Modální analýza bubenické paličky metodou konečných prvků Tato diplomová práce přibližuje problematiku vlastností bubenických paliček a možnostech jejich experimentálního a teoretického popisu. Postupně se zaměří na využití numerických metod při popisu chování hudebních nástrojů, zejména perkusních. Metodika pojednává o výstavbě modelu paličky a provedení modální analýzy za použití výpočetního softwaru ANSYS. Cílem metodiky práce bylo porovnání vlastních frekvencí a tvarů kmitání pro jednotlivé standardní modely. Dále byly mezi sebou porovnány alternativy konstrukce z hlediska geometrie a materiálové skladby a jejich vliv na vlastní frekvence a tvary kmitání. Posledním krokem této práce bylo vytvoření modifikovaného modelu za použití kompozitních materiálů. Klíčová slova: bubenické paličky, akustika hudebních nástrojů, modální analýza, ANSYS, metoda konečných prvků (MKP)
ABSTRACT Author: Petr Sochor Title: Modal analysis of drumsticks finite element method This thesis examines the issues associated with drumstick mechanical properties and possibilities of experimental methods and theoretical descriptions. Gradually, it focuses on the use of numerical methods to describe the behavior of musical instruments, especially percussion. The methodology explains the construction of a model drumstick and execution of modal analysis using a commercially available software ANSYS. The goal of the methodolgy is a comparison of natural frequencies and mode shapes for each alternative model. Design alternatives were also compared in terms of geometry, material composition and the impact on the natural frequencies and vibration shapes. The final step of this method was a creation of a modified drumstick model using composite materials. Keywords: drumsticks, acoustic musical instruments, modal analysis, ANSYS, finite element method (FEM) 5
OBSAH
1 ÚVOD ............................................................................................................................ 8 2 CÍL PRÁCE ................................................................................................................ 10 3 LITERÁRNÍ PŘEHLED .......................................................................................... 11 3.1 Historie bubenických paliček ................................................................................ 11 3.2 Anatomie paličky .................................................................................................. 12 3.3 Rozměry paliček.................................................................................................... 14 3.4 Materiály na výrobu bubenických paliček ............................................................ 15 3.4.1 Dřevo Hickory (Carya ovata) ......................................................................... 15 3.4.2 Dřevo Habr (Carpinus betulus) ...................................................................... 16 3.4.3 Paličky z kompozitních materiálů .................................................................. 18 3.5 Akustické vlastnosti dřeva .................................................................................... 19 3.5.1.Rezonanční vlastnosti dřeva ........................................................................... 20 3.5.2 Logaritmický dekrement útlumu .................................................................... 20 3.5.3 Experimentální modální analýza paliček........................................................ 21 3.6 Využití akustiky při párování paliček ................................................................... 22 3.7 Akustické vlastnosti bicích nástrojů...................................................................... 23 3.7.1 Akustické kmitání bubnů................................................................................ 24 3.8. Materiál pro výrobu bicích nástrojů ..................................................................... 26 3.8.1 Modální analýza bicích nástrojů ..................................................................... 28 3.9. Metoda konečných prvků ..................................................................................... 29 3.10. Modální analýza ................................................................................................ 30 4 METODIKA ............................................................................................................... 31 4.1. Vytvoření geometrie modelu................................................................................ 32 4.2. Materiálový model ............................................................................................... 33 4.3. Diskretizace modelu (síťování) ............................................................................ 34 6
4.4. Použité typy elementů a diskretizace modelu ...................................................... 35 4.5. Výpočet modální analýzy ..................................................................................... 36 5. VÝSLEDKY A DISKUZE ....................................................................................... 37 5.1. Vliv druhu dřeva na frekvenci .............................................................................. 37 5.2. Vliv průměru paličky na frekvenci ...................................................................... 41 5.3. Vliv tvaru a ukotvení paličky na frekvenci .......................................................... 45 5.4. Vliv délky paličky na frekvenci ........................................................................... 51 5.5. Modifikace bubenické paličky ............................................................................. 55 6 ZÁVĚR ....................................................................................................................... 62 7 SUMMARY ................................................................................................................ 64 8 PŘEHLED POUŽITÉ LITERATURY ................................................................... 67 8.1. Seznam odborné literatury ................................................................................... 67 8.2. Internetové zdroje ................................................................................................. 69 9 PŘÍLOHY ................................................................................................................... 74
7
1 ÚVOD „Buben je nepostradatelný v běžném životě, žádný nástroj nemá tolik rituálních úkolů, žádný nástroj není držen více posvátně“. Curt Sachs
Tato práce navazuje na bakalářskou práci, která se zabývala mechanickými vlastnostmi bubenických paliček (Sochor 2012). Kromě mechanických vlastností tato práce popisovala konstrukci, hlavní rysy a požadavky na výrobu dřevěných paliček. Cílem
práce
bylo
porovnat
naměřené
výsledky
mechanických
vlastností
nejpoužívanějších dřev pro výrobu paliček. V této práci jsou vybraná data získaná měřením v rámci předchozí práce porovnána s výsledky testu numerické simulace. Bubenické paličky jsou nezbytnou součásti perkusních nástrojů zejména pro klasickou bicí soupravu a používají se pro úder do blánozvučných nástrojů. Paličky rozeznívají bubny a určují tak jejich výsledný zvuk, který může být ovlivněn řadou jiných faktorů mezi které patří např.: rozměr paličky, výrobní materiál, vlhkost dřeva nebo povrchová úprava. Jeden z největších světových výrobců paliček, firma Pro-Mark, ročně produkuje přibližně 1,2 miliónu párů a vyváží je do více než čtyřiceti zemí světa (R- stisk 2010). Jednotliví výrobci mají odlišné technologické procesy výroby a před expedicí z továrny paličky párují dle akustických vlastností. Zajímavým příkladem je firma Silverfox, která klade důraz na kvalitu povrchu. V praxi paličky procházejí pěti stupni broušení, po té jsou individuálně upraveny speciálním povrchovým lakem. Výsledkem je potom dokonalá kvalita povrchu, díky kterému se zvýší odolnost, trvanlivost a akustické vlastnosti. V dnešní době se vyrábí řada modifikovaných modelů, které mohou nabídnout různé úpravy z hlediska povrchu, tvaru a materiálové skladby. Trendem posledních deseti let je používání kompozitních materiálů, které mají v mnoha ohledech lepší vlastnosti než dřevo. Výroba a testování prototypů nových modelů paliček je časově a finančně náročná. Tato práce nabízí možnou alternativu při testování nových modelů použitím výpočetního programu ANSYS.
Díky numerickým simulacím lze vytvořit model
bubenické paličky, provádět modální analýzu a zjistit tak její vlastní frekvence a vlastní 8
tvary kmitání. Na základě tohoto měření je možné model změnit pomocí geometrie a materiálové skladby a tím sledovat vliv faktorů
na její chování. Tyto simulace
můžeme aplikovat i u jiných hudebních nástrojů. V posledních letech byla věnována pozornost především modální analýze houslí, akustických kytar nebo klávesových nástrojů.
9
2 CÍL PRÁCE Cílem práce je sestavit konečně-prvkový model bubenické paličky a využít jej k popisu vlastních frekvencí a vlastních tvarů kmitání pomocí numerické modální analýzy. Geometrie a materiál paličky bude parametrizován na základě několika simulací a budou porovnány alternativy konstrukce z hlediska geometrie a materiálové skladby. Diskutovány budou nutná zjednodušení modelu a vliv faktorů na chování modelu.
10
3 LITERÁRNÍ PŘEHLED 3.1 Historie bubenických paliček Paličky přicházely v různých podobách, ale vždy měly stejný základ z hlediska konstrukce. Většinou se jednalo se o jednoduchou dřevěnou tyč, která byla na špičce potažená kůží nebo obyčejnou tkaninou, používané už před staletími. Paličky jsou používány k rozeznívání bubnů, které sloužili pro kulturní, rituální a zábavné účely. Zatímco jejich přesné začátky nejsou přesně určeny, mají určité orientační body, podle kterých můžeme identifikovat historii paliček. Moderní paličky se datují od doby použití bicích nástrojů (sloužily k držení rytmu hudebního vystoupení) už v průběhu středověku. První vzhled paličky byl již zaznamenán v 7. stol. v Asii. Základní typy paliček zahrnují dřevěně paličky, paličky s filcovou hlavičkou a metličky. Vstupem do 20. století se jejich druhy a funkce nadále rozšiřovaly. Základní rysy paliček se po staletí nezměnily. Skládá se ze špičky, kužele, zúžení (pod špičkou), těla a zakončení (spodek paličky). Až do konce roku 1950 byly paličky vyrobeny převážně ze dřeva, ale rychle se opotřebovávaly. V roce 1958 výrobce paliček Joe Calato vynalezl nový druh paličky s nylonovou špičkou. Inovace se ukázala jako dlouhodobá, než se tyto tradiční paličky zavedly do výroby (Dean 2012). Vývoj výroby paliček je dnes velmi pokročilý a každý hráč si může najít ideální pár paliček pro každou příležitost. Nedávné pokroky zaznamenaly ergonomické paličky, světelné (in-the-dark) paličky, grafitové a hliníkové paličky.
Obr. 1: Evoluce paliček (dle Music trades june, 2012)
11
3.2 Anatomie paličky Cílem vypracování diplomové práce je také důležité se seznámit s konstrukci bubenické paličky (viz obr. 2). Každým rysem paličky je její specifický tvar, který působí na pocit ze hry a následně i na zvuk. Dnes máme stovky druhů různých tvarů, které se liší zejména v oblasti rukojeti a špičky. V případě tvaru rukojeti jde hlavně o dobrý pocit ze hry. U výjimečných modelů je rukojeť navržená tak, aby zabraňovala vibracím a měla protiskluzové vlastnosti.
Obr. 2: Anatomie bubenické paličky. 1. Špička (tip): Z hlediska hry na bicí a činely mají malé špičky jasnější a cílenější zvuk, v opačném případě vyzařují silné a hlasité znění. Co se týká tvaru špičky, tak ta je nejdůležitější pro výsledný zvuk. Dostává se do styku s bubny a činely. Každá špička je specifická svým tvarem pro různý styl hry jako jsou např.: rock, jazz, metal, vážná hudba apod.
Obr. 3: Druhy špiček (dle www.americanmusical.com)
12
Náběh zúžení se nachází v oblasti před špičkou, dále na něj navazuje část zúženého kužele (shoulder), který má svoji roli na umístění těžiště paličky, citlivost a ovladatelnost ze hry. V některých případech můžou mít neobvyklý tvar, (zúžený válec oproti celému průměru celé paličky). Jedná se většinou o speciální modely významných hráčů. Další části paličky je tělo (shaft). Na těle většinou najdeme potisk značení typu paličky, logo firmy nebo podpis známého bubeníka, včetně názvu hudební skupiny. Tělo paličky je nejvíce namáháno hrou na malý buben (snare drum), při které se opotřebovává. Velmi tomu napomáhá hrací styl tzv. „Rimshot“ (tělo paličky je namáháno o kovové nebo lité ráfky bubnů). Rukojeť je pro hráče nejvíce důležitá, prvořadé je pohodlné držení paličky a dobrý pocit ze hry. Jak už bylo uvedeno, rukojeti paliček se vyrábějí v různých tvarech. A to např.: čtvercové - mnohoúhelníkové tvary, vroubkované, drážkované s různým profilem nebo s pogumovanou rukojetí, které pomáhají zabraňovat vibracím a klouzání. Zajímavé jsou především modely od firmy Zildjian Wood Anti - vibe, která navrhla paličku, jejichž předností je úprava, která při úderech na buben snižuje vibrující kmity v paličce. Konstrukce je navržena tak, že do konce paličky je navrtán otvor, do kterého je vložena gumová výplň pohlcující vibrace viz. obr. 4 (R- stisk 2010).
Obr. 4: Konce paliček zamezující vibrace firmy Zildijan,Wedgie a Vic Firth (dle www.mikedolbear.co.uk/)
Zakončení (butt-end) je většinou vytvarované do zakulaceného tvaru, čímž je mnohem pohodlnější do ruky. Koncem paličky lze kombinovat i hraní, které produkuje plné tóny. Konce paliček jsou nabízeny v různých tvarech. V některých případech si lze navrhnout paličku a objednat na zakázku přímo u výrobce.
13
3.3 Rozměry paliček Tato kapitola je důležitá k poznání její celkové konstrukce a následné tvorbě geometrie při řešení dané problematiky. Prvním důležitým rozměrem je délka. Z pohledu hraní mají delší paličky vetší dosah, odezvu a flexibilitu. Naopak krátké paličky se lépe ovládají a mají menší váhu. Délka paliček se většinou pohybuje od 358 mm do 425 mm, někdy se i vyskytuji do 450 mm. Průměr se pohybuje v rozmezí od 13 do 18 mm (nejpoužívanější 13,8 – 15,2 mm). Poslední oblasti je váha, která závisí hlavně na průměru paličky a na druhu dřeva. Žádná palička nemá menší váhu než 40 gramů a větší než 80 gramů.Váha paličky se odráží ve výsledném zvuku úderu a ve schopnosti ji ovládat (Kulíček 2009). Čím je tvrdší a hustší, tím jasnější zvukové spektrum s větším podílem nižších frekvencí dává při hře na činelech. Toto si před několika lety otestovala firma Latin Percussion, když experimentálně zhotovila paličky nazvané Dynafibe. Ty byly vyrobeny z dřeva hickory, které bylo lisováním zhuštěno. Paličky byly velmi těžké, měly velmi jasný a průrazný zvuk v celém zvukovém spektru. (R- stisk 2010).
Obr. 5: Značení paliček podle tvaru špičky, rozměru a stylu hry (dle www.vicfirth.com)
14
3.4 Materiály na výrobu bubenických paliček 3.4.1 Dřevo Hickory (Carya ovata) Strom rodu Carya. Na světě je asi osm až šestnáct druhů dřeva hickory. Jedná se o listnaté tvrdé dřevo, které roste ve vlhkém prostředí ve východních Spojených státech (Phillips 1973). Dále je hlavně rozšířen ve státech Missouri, Texas, Arkansas a Florida (na jihu Floridy se nevyskytuje). Dřevo rozdělujeme do dvou skupin: na pravé (True Hickory) a nepravé (Pecan Hickory). Dělí se hlavně podle struktury dřeva a její hustoty. Listy a plody stromu se podobají ořešáku (Wageführ a Scheiber 1974). Z pohledu makroskopické struktury se nejvíce podobá jasanu. Je to dřevo jádrové s vysokou hustotou, pevností a tvrdosti. Běl má širokou. Na výrobu paliček se výhradně používá dřevo bělové (vysoká houževnatost a tvrdost). Pro vysokou pevnost se hůře opracovává. Ideálně kombinuje váhu a pevnost. Dřevo hickory umí dobře pohlcovat vibrace a dynamické rázy. Je velmi odolné proti lomu, naopak má horší vlastnosti proti podélnému štípání (Wageführ a Scheiber 1974). V Severní Americe je to nejlepší, komerčně dostupné dřevo a to pro svoji pevnost a flexibilitu. Používá se k výrobě rukojeti pracovních nástrojů (sekery, kladiva apod.), sportovní náčiní (golfové a basebollové hole), výroba konstrukčních materiálů, podlahy, nábytek, dýhy atd. (Encyclopedia of wood 1993). Barva dřeva je nažloutle hnědá (podobná akátu), jádrové dřevo světle hnědé až načervenalé (podobá se ořechu). Textura je stejnoměrná, pruhovaná v radiálním řezu, fládrovaná v tangenciálním řezu, matně lesklá, rýžkovaná (R. Wagenführ 2002). Dřevo hickory je nejideálnějším materiálem pro výrobu paliček. Je vhodné pro všechny hudební žánry od jazzu až po tvrdý rock. Pro výrobu paliček se nejčastěji používá druh Carya ovata nebo Carya tomentosa (R-stick 2010).
15
3.4.2 Dřevo Habr (Carpinus betulus) Habr je vynikající materiál pro obrábění. Vyrábí se z něj především rukojeti kartáčů, kulečníkové tága, kuželky a kužely. Používá se také na výrobu částí klavírů, harf, klavichordů a dalších hudebních nástrojů. Vysoká odolnost proti opotřebení dělá z habrového dřeva výborný materiál na výrobu paliček. Vybrané kmeny se používají na výrobu dekorativní dýhy (Dřevo od A do Z 2006). Kolem dvaceti druhů habru roste v severních oblastech mírného pásu Evropy. Vyskytuje se na jihu Švédska a jihu Malé Asie, avšak komerčně využívané druhy rostou především ve Francii, Turecku a Iránu. Dále na Ukrajině v pobřežních oblastech Černého moře, na Balkánském poloostrově, v pohořích střední Itálie, v opadavých lesích mírného pásma (Gibbs 2009). Charakteristické růstové vlastnosti habru: svalovitost, křivost a točivost. Barva dřeva je bílá až světle šedá, občas s úzkými světle nahnědlými proužky. Textura habru je stejnoměrná, mezi bělovým a jádrovým dřevem není žádný rozdíl. V tangenciálním řezu má pruhovanou strukturu a v radiálním řezu je skvrnitá (Wageführ a Scheiber 1974). Habr se suší poměrně rychle a dobře, má jen nepatrný sklon k deformaci a při použití vykazuje tvarovou nestabilitu. Má vysokou pevnost v ohybu a tlaku, střední tuhost, rázovou houževnatost a vynikající smykovou pevnost. Dřevo je špatně štípatelné. Má velmi dobrou ohebnost. Vzhledem ke své hustotě a pevnosti je dost obtížně opracovatelné a mírně otupuje břity nástrojů. Habrové dřevo lze dobře povrchově upravovat, dobře drží lepené spoje, dobře se moří a lakuje. Mezi bělovým a jádrovým dřevem není žádný rozdíl – obě jsou nevýrazné, bílé barvy s šedavými proužky a skvrnkami, způsobené širokými dřeňovými paprsky, které při řezu na čtvrtky tvoří skvrnitou kresbu. Obvykle je nepravidelně nebo příčně fládrovaná a má jemnou, souměrnou texturu (Gibbs 2009). Vhodný pro všechny styly hry. Je především populární pro svou dynamiku a kontrolu držení. Na rozdíl od dřeva hickory má nízké a vysoké tóny. Má osobitý zvonivý charakter (R-stick 2010).
16
Obr. 6: Paličky: A hickory, B habr
Zajímavou novinkou na trhu roku 2013 se objevil nový druh paliček od firmy Boso Drumsticks, která produkuje paličky z nevšedních materiálů. Vyrábí tři typy paliček ze 100% bambusu, z technologicky upravovaného bambusu a model s kombinací obou materiálů. Model Natural je vyroben ze 100% přírodního bambusu. Je lehčí než dřevo hickory, vhodný pro rychlé hraní s lehkým dotykem. Palička s označením Dark je technologický upravený model ze stlačeného bambusu. Je těžší než dřevo hickory, vhodný především pro silné hraní. Posledním modelem značky Boso jsou paličky s pojmenováním Strata. Jedná se o kombinované vrstvy přírodního a upraveného bambusu, srovnatelné s hmotnosti dřeva hickory (http://www.bosodrumsti cks.com/pages/about-us).
Obr. 7: Bambusové paličky Boso (dle www.bosodrumsticks.com)
17
3.4.3 Paličky z kompozitních materiálů 3.4.3.1 Hliníkové paličky Americká firma Ahead je charakteristická svoji výrobou nedřevěných bubenických paliček. Palička je vyrobena z dutého, aluminiového jádra, které je v kontaktní části (tělo a náběh) kryto polyuretanovým pláštěm (tapperem). Špičky paliček jsou tvořeny z nylonu. Dalším podobným modelem jsou paličky značky Carbonstick, pouze s tím rozdílem, že celá palička je vyrobena z uhlíkových vláken (http://www.drumextra.cz/znacky/ahead/).
Obr. 8: Palička od firmy Ahead (dle www.thomann.de)
3.4.3.2 Grafitové paličky Jsou vyrobeny z patentovaného materiálu X-10, které jsou výsledkem rozsáhlého výzkumu, pokročilé konstrukce a speciální technologie materiálů. Paličky jsou vyráběny z nylonu, grafitu a dalších materiálů, které nabízejí výhody pro hráče na bicí nástroje. Tyto přínosy zahrnují vyšší trvanlivost, poměrně nízké deformace, konzistentní hmotnost a lepší pocit hry. Vyrábí se s gumovou rukojetí (Shock-Grip), která chrání ruce proti vibracím a únav (http://www.aquariandrumheads.com/products/g raphite-stick-series).
Obr. 9: Grafitové paličky Stick Series (dle www.aquariandrumheads.com)
18
3.4.3.3 Světelné paličky Hiptrix paličky obsahují vnitřní osvětlení LED (Light-Emitting Diode), které se rozsvítí při prvním úderu na bicí nástroje. Jsou vyrobeny z odolného polykarbonátu. Tyto paličky jsou vhodné spíše pro vizuální bubnování ve tmě (http://www.hiptrix.com/ products/).
Obr. 10: Světelné paličky Firestix (dle www.hiptrix.com)
3.5 Akustické vlastnosti dřeva Dřevo je přírodní materiál, který byl používán po celé tisíciletí k mnoha účelům. V současné době se dřevo používá jako surovina pro celou řadu produktů jako je nábytek, konstrukční dřevo, celulóza, papír nebo hudební nástroje. Dřevo ukazuje velké rozdíly ve svých vlastnostech. Vlastnosti dřeva závisí především na jeho buněčných, anatomických a chemických vlastnostech (Zobel a Buijtenen 1989). Ze dřeva se vyrábí celá řada hudebních nástrojů jakou jsou kytary, akustické desky klavíru, housle nebo perkuse. Zvukem nazýváme mechanické vlnění prostředí, které vnímáme sluchovým orgánem jako zvukový vjem (Požgaj 1997). Definice akustiky z pohledu hudebního nástroje můžeme chápat jako mechanické rozkmitáni schopné hmoty, která svou kmitavou energii uvolňuje do prostoru v podobě zvukových vln (Syrový 2003). Dřevo je považováno za anizotropní (ortotropní) pevnou látku ve třech vzájemně kolmých rovinách: podélný, radiální a tangenciální (Bucur 1996). Šíření zvuku ve dřevě je tedy mnohem složitější než u izotropních materiálů. Ve dřevě se mohou podélné a příčné vlny šířit z hlavního směru symetrie. Povrchové vlny se mohou šířit ve všech směrech 19
jak u izotropních tak u anizotropních materiálů. Rychlost šířeni zvuku ve dřevě je závislá na materiálových charakteristikách jako je hustota, Youngův modul pružnosti, teplota prostředí a vlhkost. Lze ji vypočítat podle vztahu: (Horáček 2008).
kde E – Youngův modul pružnosti, ρ – hustota dřeva.
3.5.1.Rezonanční vlastnosti dřeva Rezonance je vibrace způsobená poměrně malou periodickou oscilací budiče, která odpovídá vlastní frekvenci systému (Fletcher a Rossing 1991). Rezonanční vlastnosti jsou odvozené vlastnosti dřeva založené na rezonančních frekvencích u uplatňující se při charakteristice visko-elastických vlastností dřeva. Rezonancí dřeva nazýváme schopnost dřeva zesilovat zvuk bez zkreslení. V tělese např.: tvaru paličky (tyče), tak můžeme vyvolat podélné, příčné nebo torzní kmitání (vibrace). Pro každou část dřeva pak existují odpovídající frekvence kmitání, při kterých vzniká maximální deformace tělesa. Tyto frekvence jsou funkcí rozměrů tělesa, jeho hustoty, pružných vlastností , vlhkosti a teploty tělesa, a tvaru kmitání (Gandelová 2009). Rezonance je klíčovým konceptem hudby. U bicích nástrojů jsou rezonance založeny na interakci mezi budiče a rezonátorem (Roads 1996).
3.5.2 Logaritmický dekrement útlumu Poměr dvou za sebou jdoucích amplitud se nazývá logaritmický dekrement útlumu (Požgaj 1997). Přestanou-li působit síly vyvolávající vibrace, amplituda kmitání se postupně zmenšuje až úplně vymizí. Tlumící sílu můžeme rozdělit na radiaci zvuku a vnitřní tření. Při volných netlumených vibracích se vyzařování zvuku a vnitřní tření projevují poklesem amplitud dvou po sobě následujících vibračních cyklů (Gandelová 2009).
20
3.5.3 Experimentální modální analýza paliček Wagner (2006) měří vlastní frekvence dřevěných bubenických paliček. Měření probíhá pomocí experimentální modální analýzy. Obr. 11 znázorňuje naměřené výsledky pro dvě paličky v různých módech. Testování probíhá v obou případech stejně s tím rozdílem, že první palička je upnuta za její konec a druhá v oblasti rukojeti. Měření probíhá souběžně kolmo na vlákna letokruhů. V oblasti této analýzy je palička uvedena do pohybu pomocí oscilačního mechanismu a její odklon je snímán prostřednictvím laserového paprsku (Wagner 2006).
Obr. 11: Na levém obrázku je zobrazení tvarů vlastních frekvencí pro dva modely bubenických paliček upnuté za jejich konec a druhý obrázek znázorňuje zobrazení tvarů frekvencí upnutí za jejich rukojeť (dle Wagner 2006)
21
3.6 Využití akustiky při párování paliček V posledních deseti letech se pro párování paliček (pitching sticks) používá experimentální modální analýza, díky které je možné spárovat až 10 000 paliček denně. První způsob párování paliček byl za pomoci sluchu a musela ho provádět zkušená osoba, mající výborný sluch. Tento proces však většinou trval dlouhou dobu, proto z hlediska komerční výroby nebylo možné tuto metodu dále aplikovat. Bylo nutné zavést novou metodu, která tento proces urychlí, a to pomocí modální analýzy. Abychom mohli použít moderní způsob pro třídění paliček, je třeba porozumět jejich vlastnostem, a to z hlediska hustoty, tuhosti a tvaru. Nejprve se musela vypracovat vstupní data pro párování paliček, než se tato metoda začala používat ve výrobě. Prvním krokem pro naměření dat bylo zvážení sto paliček a zkoumání některých defektů. Následně pomocí vibrací byla provedena analýza, ze které vzešla statistická databáze. Tato databáze byla analyzována na řadu režimů frekvencí. Současně s měřením párování probíhala také kontrola jakosti. Ke kvalitnímu párování paliček je dostatečná nejnižší frekvence prvního módu. V praxi to znamená, že ve výrobě je možné měřit každou paličku v řádu milisekund (Bissinger 2004).
Obr. 12: Párování paliček (dle www.vicfirth.com)
22
3.7 Akustické vlastnosti bicích nástrojů Dřevo je přírodní materiál, který je nejčastěji používán u hudebních nástrojů pro jeho mechanické a akustické vlastnosti. To představuje problém při analýze nástrojů kvůli jeho přirozené proměnlivosti. V této kapitole jsou popsány vlastnosti bicích nástrojů a použití modální analýzy. Perkuse jsou pravděpodobně nejstarším a nejrozsáhlejším souborem hudebních nástrojů. K rozeznívání dochází pomocí úderů do nástroje, třesením nástroje nebo škrábáním na nástroj. Bicí nástroje se dělí na bicí soupravu (včetně činelů) a perkuse (Sadie a Tyrrell 2001).
Obr. 13: Popis bicí soupravy.
Buben sám o sobě vytváří velmi rezonující tón bez ohledu na laděni a je založený na rozměrech korpusu. Tomy jsou principiálně podobné velkému bubnu, pouze jejich frekvenční oblasti jsou posunuty v závislosti na ladění a fyzických rozměrech. Co se týká akustiky, tak v místnostech s rovnoběžnými stěnami vnikají "stojaté vlny". Podobně je tomu i u konstrukcí bubnů a reproduktorů. V případě ladění se dají tyto problémy odstranit zvýšením hmotnosti, rozbitím vln, ztužením nebo přidáním pohlcujících materiálů. Bubny mají tvar válce, jehož stěny jsou rovnoběžné ve
23
všech směrech. Frekvence stojatých vln může být vypočtena podle vzorce: (Johnson 1999). f = v / 2d v - rychlost zvuku, d - průměr bubnu v metrech. Zvukovou barvu a rezonanci, kterou slyšíme, může ovlivnit stavba korpusu bubnu (závisí na materiálu a jeho tloušťce). To je často popisováno jako „vřelost“ nebo „ostrost“ zvuku. Zvuk je ovlivňován zejména typem blány a úderem paličky. Vlastním principem je tvar bubnu a jeho tuhá konstrukce, které vytváří stojaté vlnění o určité frekvenci. Toto jsou přirozené vlastnosti, založené na rozměru bubnu a stejná pravidla platí i pro akustiku prostředí (velikost a tvar místnosti, umístěni bicí soupravy) (Johnson 1999).
Typ bubnu
Fundamentální
Rezonance
frekvence
Doporučené
Rozměr
tóny
korpusu
Velký buben
60-100 Hz
250-500 Hz
F
22 x 16
Malý buben
200-300 Hz
400-1000 Hz
G
14 x 6
Tomy
80-300 Hz
400-800 Hz
Dis Ais
10 x 9
Činely
300 Hz
600-800 Hz
-
-
Tab. 1: Rozsah frekvence bicích nástrojů (dle www.muzikus.cz)
3.7.1 Akustické kmitání bubnů Podle způsobu vybuzení vydávají membrány bicích nástrojů celou řadu převážně neharmonických tónů, které se odlišují módem kmitání: kruhovým, radiálním a jejich kombinací. Kruhový mód kmitání má při rovnoměrně napnuté, kruhové membráně uzlové čáry, rozložené po soustředných kružnicích podle počtu vybuzených tónů. Radiální mód kmitání vytváří uzlové čáry přímkové (přímky prochází středem) a podle počtu vybuzených tónů dělí kruhovou membránu na výseče viz obr. 12 (Kašpařík 2014). 24
Obr.14: Chladniho obrazce (dle http://u2.lege.net/John_Keely/keelytech.com/cymatics.h tml).
Módy kruhové jsou vybuzeny úderem do středu membrány a jsou silně tlumeny a jejich frekvenční poměry jsou zcela neharmonické, proto je jejich charakter výrazně hlukový. Módy radiální (tzv. „dortové“) vybuzené úderem blíže okraji jsou naopak málo tlumené a jejich tóny se mohou blížit harmonické řadě. Převaha „vyladěného“ tónu ve složitém alikvotním spektru závisí na tvaru a rozměrech prostoru rezonujícího s membránou – možnost „libovolného“ přelaďování nástroje poskytují tympány s „kotlovým“ tvarem rezonančního prostoru, který nemá výraznou vlastní rezonanci. Naopak vyladění neumožňují nástroje uzavřené dvěma membránami, jejichž kmity spolu interferují bez ohledu na to, ve kterém místě je aktivní membrána buzena (Kašpařík 2014). 25
3.8. Materiál pro výrobu bicích nástrojů Většina výrobců světových značek vyrábí korpusy bubnů z dřevin jako jsou americká lípa (basswood), javor (maple), bříza (birch), buk (beech), mahagon a další. Důležitým měřítkem pro kvalitu jsou technické a konstrukční prvky, které i při použití různých materiálů mají zásadní vliv na výsledný zvuk. Jedná se zejména o náběhové hrany pro uložení vlastního rezonátoru (blány). Vlastní vibrace korpusu je ovlivněna u jejich samotných hracích i rezonančních blan, ladění a uchycení tomů (přechodových bubnů). Rezonanci ovlivňuje také hustota dřeva. Při výrobě korpusu např.: z pravého amerického nebo honduraského mahagonu, získáme výtečný zvukový nástroj (S. Johnson 1999). Zvyšováním hmotností se tlumí vibrace, které ovlivňují výsledný zvuk (včetně uchycení tom-tomu). Chemickými lepidly přilepené fólie z umělých hmot nemají pro zvuk zásadní přínos, ale mají schopnost nabídnout odolné a velmi estetické povrchové úpravy. Jsou to materiály s velkou hustotou, které budou zabraňovat vlastní rezonanci korpusu, ale pomohou zase při vyzáření zvuku kolmo od blány bubnu. Dalším rysem je stavba korpusu bubnu. Tloušťka, počet a způsob spojování jednotlivých vrstev dýh, množství lepidla k tomuto účelu použitého ve vztahu k omezení rezonance korpusů, kvalita a kontrola úložných hran pro blány, kvalita přesného válce korpusu, atd. Obecně platí, že slabší, tenkostěnné korpusy lépe rezonují a mají celkově otevřenější zvuk. Silnější, vícevrstvé korpusy jsou naopak suché. Další možností jsou tenkostěnné korpusy se zpevňujícím prstencem (http://www. drumcenter.cz/eshop/novinka- 176.html). Javorové dřevo je všeobecně nejpoužívanějším materiálem pro stavbu bubnovýc h korpusů. Jde o tvrdé, dobře znějící dřevo, které produkuje vyrovnané frekvence v celém zvukovém spektru. Dalším dřevem je mahagon, který zvětší podíl basových frekvencí asi o 20 %, střední a vysoké frekvence jsou dosti podobné jako u javoru. Oproti javoru zní více v basovém spektru s mírně potlačenými středy a výškami. U dřeva břízy ve srovnání s javorem vyzařuje o 10 % méně basových frekvencí a o 20 % více vysokých frekvencí. Bicí
soustava
z březového dřeva
je
nástrojem
s nejjasnějším, ale také s nejtvrdším zvukem. Dalším materiálem pro výrobu bubnů jsou ocelové plechy a akryl (S. Johnson 1999). 26
Obr. 15: Korpusy malého bubínku. A, Korpus z překližovaného dřeva, B, Korpus z masivního dřeva vyrobený na principu lepené spárovky C, Korpus z masivního dřeva vyrobený pomocí ohýbané desky (dle www.egodrumsupply.com)
27
3.8.1 Modální analýza bicích nástrojů Modální analýza je experimentální analýza rezonančních módů nástroje. Zásadní objekty frekvence a podtón se stanoví stejně jako umístění uzlových čar (Fletcher a Rossing 1991). Modální testování lze provádět přes dopad kladiva na korpus bubnu nebo přes vibrační těleso uchycené za vnitřek korpusu (Russell a Haveman 2000). Davison (2005) se věnuje experimentální modální analýze perkusních nástrojů. Zaměřuje se na syntézu různých perkusí jako je klasická bicí souprava, Jembe, Conga, Bonga, ale i elektronické bicí. Fyzická syntéza je syntéza zvuku na základě mechanického a akustické chování přístroje. Teoretický základ blánozvučných nástrojů byl už dlouho znám (Rayleigh 1894), avšak málo výzkumů bylo provedeno na speciální reálné případy, a to zejména interakce režimu mezi korpusem bubnu a membránou (blánou). Membrána je klíčová pro zvuk produkující mechanismus a může být popsán podle 2-D vlnové rovnice (L. Davison 2005). Většina bubnů má membrány natažené přes duté těleso, často válcovitého tvaru. Toto uspořádání umožňuje dva různé typy rezonancí. Vzduch uvnitř v dutině bubnu bude mít řadu rezonančních frekvencí určených svým tvarem a velikostí. Stejně jako vzduch rezonuje v těle kytary nebo v tubě, bude zdůrazňovat některé frekvence na úkor druhých a tento účinek může být i dostatečně silný, aby buben vydával tón. Těleso bubnu má také své vlastní druhy vibrací na válcových stranách bubnu viz obr. 16. Zde se zelená plocha pohybuje směrem ke středu bubnu, zatímco červená oblast se pohybuje směrem od středu. To opět znamená, že některé podtexty membrány budou posíleny rezonancí, zatímco jiné nikoliv. Podobně jako u těla kytary nebo houslí posílí v řetězcových harmoniích. Těleso bubnu má ještě jednu další funkci, která určuje, jak zvuk z horního povrchu membrány interaguje se zvukem spodní plochy (rezonanční membrány) (http://homepages.ius.edu/ kforinas/S/Percussion.html).
Obr. 16: Rozložení uzlů korpusu bubnu v různých módech (dle www.percussion.com). 28
3.9. Metoda konečných prvků Metoda konečných prvků je obecná numerická metoda, která může být využita k řešení celé řady úloh. Kromě problémů mechaniky (statiky a dynamiky pevných a poddajných těles) se i používá pro modelování proudění tekutin, pro úlohy vedení tepla
záření, elektromagnetismus, akustiku, piezoelektrické děje, atd. (Brožovský
a Materna 2012). Dnes má MKP mezi numerickými metodami zcela dominantní postavení. MKP je samostatným oborem obsahujícím část teoreticko-matematickou, počítačovou a inženýrsko-problémovou. K dispozici je množství komerčních systémů (ANSYS, ABAQUS, Cosmos). MKP vyžaduje rozdělení řešené oblasti na konečný počet podoblastí - prvků. Je tedy třeba na modelu tělesa vytvořit síť konečných prvků. Pro každý typ prvku je kromě dimenze a tvaru charakteristický počet a poloha jeho uzlů. Uzly sítě jsou body v nichž hledáme neznámé parametry řešení. Hustota a topologie prvků sítě zásadně ovlivňuje kvalitu výsledků a potřebnou kapacitu pro řešení (Vrbka a Vaverka 2006). Posuzovaná součást z hlediska vnitřních napětí a vnějších deformací s ohledem na vnější síly, tvar součásti a její fyzikální veličiny je rozdělena na konečný počet prvků - elementů. Tyto mají definovaný tvar např. čtyřstěn. Zatížení těchto prvků vede v konečném důsledku k řešení řady rovnic a metoda konečných prvků je nejvýznamnější numerickou metodou, založenou právě na řešení soustavy rovnic, popisujících model součásti, jeho vlastnosti a zatížení (Fink a Řezníček 2006). Výpočetní program ANSYS je obecně nelineární, multifyzikální program, zahrnující strukturální analýzu (statika, dynamika, pružnost pevnost, deformační stabilita), rázové děje, vedení tepla, proudění, elektromagnetické pole, elektrostatiku, ale také i akustiku. ANSYS umožňuje provádět nejen kontrolní výpočty, ale na základě kontrolních výpočtů následně optimalizaci a to jak topologickou, tak i citlivostní analýzy. U výpočtů je možné provést hodnocení únavy a životnosti (Vrbka a Vaverka 2006).
29
3.10. Modální analýza Modální analýza slouží k výpočtu vlastních tvarů netlumeného kmitání a k nim příslušejících frekvencí. Je základní dynamickou analýzou, která by měla být zahajovací částí pro jiné, detailnější dynamické analýzy. Měří se vibrační odezvy za provozních podmínek zkoumané struktury (Bilošová 2011). Většina průmyslových odvětví běžně navrhuje své struktury na počítačích a často mají jejich analytický model. Dynamické vlastnosti vypočítané pomocí tohoto modelu je potřeba ověřit pomocí modální zkoušky na prototypu. Navíc modální zkouška poskytuje nějakou informaci o tlumení ve struktuře a ta může být použita k doladění analytického modelu. Nejrozšířenější aplikací modálních zkoušek je jejich použití při řešení problémů ke snížení nadměrných úrovní vibrací (Brüel 1993). Tímto odvětví se zabývá vibrační diagnostika. Struktura je rozkmitána budícími účinky, často mimo své pracovní prostředí. Tento proces je podstatou modálních zkoušek. Je několik způsobů k zjištění modálních parametrů např.: vlastních frekvencí, vlastních tvarů a modálního tlumení bez návaznosti na teoretický model. Zjištění modálních parametrů s cílem srovnat experimentálně získaná data s odpovídajícími daty získanými pomocí MKP nebo jiné teoretické metody (Bilošová 2011). Při matematickém modelování kmitavého chování jsou sestaveny pohybové rovnice a výsledné vlastnosti modální analýzy napočteny užitím tzv. modální transformace. Tato transformace se zakládá na náhradě soustavy vzájemně vázaných homogenních diferenciálních rovnic soustavou nezávislých, izolovaně řešitelných homogenních diferenciálních rovnic. Složité výpočty soustavy pohybových rovnic je v mnohých případech nutné podrobit matematickému zjednodušení, které může vést k možným chybám. Teoretická modální analýza se stává nenahraditelnou v případě neexistence reálné soustavy, ale pouze softwarového modelu (Dvořák 2009).
30
4 METODIKA Hlavním cílem je vytvořit numerické modely bubenických paliček, které napodobí skutečné produkty. Pro vytvoření numerického modelu je použit výpočetní PC software ANSYS verze 14.5. Tento software je obecně nelineární, multifyzikální program, zahrnující mimo jiné i akustické analýzy založené na metodě konečných prvků. Pro požadovanou tvorbu modelu a výpočetního řešení je použit skriptovací jazyk APDL (Ansys Parametric Design Language), ve kterém provedeme modální analýzu. Ta slouží k výpočtu vlastních frekvencí a tvarů kmitání paličky. Je základní dynamickou analýzou, která by měla být startovacím bodem pro jiné, detailnější analýzy. Pro provedení úlohy je třeba následujících kroků. Prvním krokem je preprocessing (předběžné zpracování dat), které zahrnuje tvorbu geometrie a sítě, včetně nadefinování materiálových konstant. Druhý krok zahrnuje řešení výpočtu (solution), kde stanovíme okrajové podmínky a provedeme vlastní výpočet. Posledním krokem řešené úlohy je vyhodnocení výsledků (postprocessing) a zobrazení jednotlivých módů kmitání a animace vyřešené úlohy. Preprocessing (předběžné zpracování dat) geometrie
síť Výpočet nastavení výpočtu okrajové podmínky Postprocessing (vyhodnocení výsledků) prohlednutí výsledků
Obr. 17: Postup řešeni modální analýzy v programu ANSYS
31
4.1. Vytvoření geometrie modelu Geometrie modelu je komplexem vzájemně navazujících geometrických entit datového modelu. Geometrickými entitami jsou body, čáry, plochy a objemy. Při navrhování a vytváření geometrického modelu je nezbytné zachovat topologickou spojitost hlavně při automatickém generování sítě (Gombár 2013). Pro vytvoření geometrie modelu použijeme program ANSYS a jeho vnitřní skriptovací jazyk APDL. Jedná se o systémové prostředí, které pracuje pomocí skriptů a příkazů. K výpočtu se může použit i stejný řešič ANSYS Workbench nebo programy CAD systému jako jsou např. : Rhinoceros nebo Autodesk 3ds Max. Pomocí parametrizace v APDL je možno zkoumat vlivy předvolených hodnot na výsledné vlastnosti objektu, v našem případě vliv parametrů bubenické paličky na její vlastní frekvence a tvary kmitáni. Prvním krokem tvorby modelu je vykreslení keypointů bubenické paličky. Pro návrh geometrie modelu bubenické paličky se vycházelo ze dvou modelů. Prvním modelem je nejpoužívanější palička s označením 5A, která je tvořena pomocí sedmi bodů. Druhý model je palička s tvarovanou rukojetí tvořena prostřednictvím patnácti bodů. Všechny body byly spojeny pomocí křivky a přímky (splines). Přímku spojoval první a poslední bod. Ze spojení všech bodů byla vytvořena plocha, která se pomocí funkce orotování (extrude) změnila v 3D model. Výsledkem byl objem paličky.
32
4.2. Materiálový model Po dokončení geometrie a tvorby modelu je dalším krokem definování materiálových vlastností. Dřevo je anizotropní materiál, tudíž má odlišné vlastnosti v různých směrech. Abychom vytvořili geometrický model, potřebujeme materiálové konstanty: normálové moduly pružnosti (Youngovy), Poissonova čísla, smykové moduly pružnosti a hustotu.
Hickory
Habr
MOEL [MPa]
15 300
10 400
MOER [MPa]
890
785
MOET [MPa]
835
724
μLR [–]
0,434
0,350
μLT [–]
0,509
0,448
μRT [–]
0,762
0,560
GLR [MPa]
1200
960
GLT [MPa]
990
850
GRT [MPa]
303
180
ρ [kg.m-3]
840
750
Tab. 2: Materiálové konstanty dřeva hickory a habru (dle Wood Handbook, 1999).
33
4.3. Diskretizace modelu (síťování) Síťování pracuje na principu metody konečných prvků. Je to numerická metoda, která se používá při diskretizaci dané oblasti, to znamená rozdělení vytvořeného modelu na konečný počet elementů, které s přiměřenou přesností vyplní tvar modelu. Pro diskretizaci je potřeba definovat: typ elementu, velikost elementu a přiřazení elementu. Model A
Model B
Obr. 18: Rozměry paliček včetně síťovaných modelů.
34
4.4. Použité typy elementů a diskretizace modelu Dalším aspektem pro vytvoření modelu je výběr vhodného elementu pro který je charakteristický tvar a jeho fyzikální oblasti. Výběr daného elementu je jednou z klíčových voleb při provádění diskretizace. Knihovna elementů pro tvorbu modelu obsahuje přes 100 typů elementů. Pro řešení výpočtu paliček byl vybrán 3D element s označením SOLID 187.
Obr. 19: Struktura SOLID 187(dle www.andrew.cmu.edu)
SOLID187 je elementem ve tvaru jehlanu a prvkem vyššího stupně 3-D a 10uzlového prvku. SOLID187 má kvadratický posuv a je dobře vhodný pro modelování nepravidelného síťování. Prvek je definován 10 uzly, které mají na každém tři stupně volnosti (uzel: posunutí ve směru osy x, y, a z). Prvek má vlastnosti plasticity, hyperelasticity, tečení, pružnosti, pevnosti v ohybu a velké napětí. Má také smíšené formulace schopnosti pro simulaci deformací a téměř nestlačitelné, pružné, plastické hmoty a zcela nestlačitelné hyperelastické materiály (http://inside.mines.edu/~apetrell/E NME442/Documents/SOLID187.pdf)
35
4.5. Výpočet modální analýzy Při výpočtu dynamických vlastností bubenických paliček byla provedena modální analýza za pomocí výpočtu block Lanczos. U této analýzy je možnost nastavit počet požadovaných vlastních frekvencí, včetně krajních (max. a min.) hodnot frekvenčního pásma, ve kterém jsou frekvence vyhledávány. Okrajové podmínky byly nastaveny v prvním a posledním bodě. Výstupem jsou vypočtené vlastni frekvence a vlastni tvary kmitáni paličky. Pro výpočet tohoto testu bylo vybráno deset vlastních frekvenci (modů), rozsah frekvenci byl nastaven od 100 do 1300 Hz.
36
5 VÝSLEDKY A DISKUZE 5.1. Vliv druhu dřeva na frekvenci Nejpoužívanější dřevo pro výrobu paliček je u našich výrobců hickory (Carya ovata) a habr (Carpinus betulus). Proto tyto dřeva byly mezi sebou porovnány. Pro porovnání byl zvolen model A obr. 19 a k její analýze byly použity materiálové konstanty uvedené v tab. 2. Obě dřeva vykazují podobné hodnoty. Příčinou těchto méně výrazných rozdílů může být poměr tuhosti k hustotě. Další hodnoty, které můžeme porovnat je významnost jednotlivých vlastních frekvencí, která je vyvozena z tzv. participačního faktoru. Jedná se o podíl kmitané části při konkrétním tvaru. Patrná změna je vidět ve čtvrtém módě. Dále byly porovnány vlastní tvary kmitání paliček jak u prvního, tak u druhého dřeva. Všechny módy vykazují téměř totožné vlastní tvary kmitání.
mód [-] 1
model A-hickory [Hz] 124,8
model-A-hic.particip. [-] 6,6
model A-habr [Hz] 123,9
model-A-hab.particip. [-] 6,986
2
125
6,61
124,1
6,996
3
272,1
8,082
270,1
8,557
4
273,2
8,096
271,1
9,572
5
482,5
9,109
478,7
9,645
6
485,6
9,143
481,7
9,679
7
638,2
5,177
621,2
5,45
8
757,5
9,999
751
10,593
9
764,9
10,067
758
10,661
10
1087,2
11,238
1076,8
11,914
Tab. 3: Hodnoty prvních deseti vlastních frekvencí a participačních faktorů paliček
37
2. mód
3. mód
Hickory
1. mód
125 Hz
272,1 Hz
Habr
124,7 Hz
123,9 Hz
124,1 Hz
270,1 Hz
5. mód
6. mód
273,1 Hz
482,5 Hz
485,6 Hz
Habr
Hickory
4. mód
271,1 Hz
478,7 Hz
481,7 Hz
Obr. 20: Vlastní tvary kmitání paliček dřeva hickory a habru v 1., 2., 3., 4., 5. a 6 módu
38
8. mód
9.ód
Hickory
7. mód
757,5 Hz
764,9 Hz
Habr
638,2 Hz
621,2 Hz
751 Hz
758 Hz
10. mód
Hickory 1087,2 Hz
Habr 1076,7 Hz
Obr. 21: Vlastní tvary kmitání paliček dřeva hickory a habru v 7., 8., 9. a 10 módu
39
Vliv druhu dřeva na frekvenci 1200
Frekvence [Hz]
1000 800 600 400 200 0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
mód [-] model A - hickory
model A - habr
Obr. 22: Porovnání vlastních frekvencí dřevěných paliček Srovnani participačních faktorů paliček 14
Participační faktor [-]
12 10 8 6 4 2 0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
mód [-] model A - hickory
Model A - habr
Obr. 23: Porovnání participačních faktorů paliček hickory a habru
Obr. 22 zobrazuje vlastní frekvence paliček hickory a habru, kde není viditelný rozdíl. V případě participačního faktoru (obr. 23) je vidět rozdíl ve 4. módě a menší změny v 8., 9. a 10. módě.
40
5.2. Vliv průměru paličky na frekvenci Mezi standardní rozměry průměru paliček patří rozmezí od 13 do 18 mm. Ke stanovení průměru paličky na její vlastní frekvence bylo vybráno šest rozměrů a to 13, 14, 15, 16, 17 a 18 mm. Pro všechny varianty bylo použito dřevo hickory. Pro výpočet byl použit rozsah frekvence od 100 do 1400 Hz. Výpočet ukázal, že rostoucí průměr paliček vede ke zvýšení vlastních frekvencí. Se zvyšováním průměru dochází ke snížení schopnosti paličky kmitat. Příčinou je zvyšování tuhosti paličky. Výsledky jsou zobrazeny v tab. 4 a tab.8. Obr. 26. a 27. zobrazuje kmitání paliček o průměru 13, 15, 17 a 18 mm. S rostoucím průměrem paličky jsou patrné změny vlastního kmitání a to 1., 3., 5., 7. a 9 módu. U ostáních módu se žádná změna výrazně neprojevila.
Frekvence [Hz] mód [-] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
13 mm 117,4 117,6 256,7 257,5 453,8 456,3 665,3 711,1 716,8 1021,1
14 mm 124,8 125 272,1 273,2 482,5 485,6 686,4 757,5 764,9 1087,2
15 mm 131,8 132,1 287 288,7 510,7 514,6 692,6 803,5 812,6 1152,4
16 mm 138,5 138,9 301,3 303 538,2 543 699,5 847,7 859,1 1214
17 mm 144,8 145,4 315,3 317,4 565,5 571,5 705,1 891,9 906,1 1275,5
18 mm 150,9 151,6 329,1 331,5 575,7 592,7 709,9 935,8 952,8 1336,2
Tab. 4: Hodnoty prvních deseti vlastních frekvencí u šesti různých průměru paliček
41
1600 1400
Frekvence [Hz]
1200
mód 10 mód 9
1000
mód 8 mód 7
800
mód 6 mód 5
600
mód 4 mód 3
400
mód 2 mód 1
200 0 13
14
15
16
17
18
průměr paliček [mm]
Obr. 24: Porovnání šesti různých průměrů paliček a jejich vliv na prvních deset vlastních frekvencí
Obr. 24 zobrazuje vlastní frekvence průměrů paliček, ze kterého je patrné, že s přibývajícím průměrem se zvyšují vlastní frekvence. Viditelný rozdíl je možné spatřit v 7. a 10. módě. Sedmý mód vykazuje malý růst vlastních frekvencí oproti ostatním módům. Ostatní módy v projevují mezi sebou vzájemnou shodu jako je tomu např. : u 1. a 2. módu.
42
3. mód
5. mód
150,9 Hz
329,1 Hz
564,7 Hz
17 mm
18 mm
1. mód
315,3 Hz
565,5 Hz
15 mm
144,8 Hz
287 Hz
510,7 Hz
13 mm
131,8 Hz
171,4 Hz
256,7 Hz
453,8 Hz
Obr. 25: Vlastní tvary kmitání paliček o průměru 13, 15, 17 a 18mm v 1., 3. a 5. módu
43
9. mód
599,8 Hz
952,8 Hz
17 mm
18 mm
7. mód
906,1 Hz
15 mm
576,4 Hz
812,6 Hz
13 mm
620,4 Hz
665,3 Hz
716,8 Hz
Obr. 26: Vlastní tvary kmitání paliček o průměru 13, 15, 17 a 18 mm v 7. a 9. módu
44
5.3. Vliv tvaru a ukotvení paličky na frekvenci V této kapitole byl zkoumán rozdíl uchycené a volné paličky a také její tvar na výsledné vlastní frekvence. Uchycení má simulovat držení paličky v oblasti rukojeti. K simulaci byl použit model A a B. Hodnoty jsou zobrazeny na obr. 27 a v tab. 5. Z grafu je vidět rozdíl mezi uchycenou a volnou paličkou, konkrétně uchycené modely mají vyšší frekvence. Model A_uchycená vykazuje daleko vyšší vlastní frekvence v 8., 9. a 10. módě oproti modelu B_uchycená. Na obr. 28. je vyobrazeno porovnání participačního faktoru modelů A a B. Pro porovnání byly vybrány vlastní tvary kmitáni od prvního do devátého módu. Na obr. 29., 30. a 31. jsou vidět rozdíly ve tvarech kmitání, které jsou způsobeny uchycením paličky za rukojeť a jejího tvaru.
1400 1200
Frekvence [Hz]
1000 800 600 400
200 0 1
2
3
4
5
6
Mód [-]
model A_volná model A_uchycená
7
8
9
10
model B_volná model B_uchycená
Obr. 27: Porovnání volné a uchycené paličky modelů A a B a jejich vliv na prvních deset vlastních frekvencí
45
mód [-] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
model A_volná 124,8 125 272,1 273,2 482,5 485,6 638,2 757,5 764,9 1087,2
Frekvence [Hz] model B_volná model A_uchycená 114,1 101,3 114,5 297,2 257,3 306,7 258,3 531,6 455,6 549,6 458,4 629,8 674,4 650,3 727,6 1084,2 734,4 1120,8 999,8 1186,1
model B_uchycená 147,9 164 372,3 423,5 634,6 720,4 751,9 762,8 855,5 863,4
Tab. 5: Hodnoty prvních deseti vlastních frekvencí volné a uchycené paličky
Frekvence [Hz] mód [-] 1
Model A 124,8
model-A- particip. [-] 6,6
Model B 114,1
model-B- particip. [-] 6,688
2 3
125 272,1
6,61 8,082
114,5 257,3
6,696 7,69
4 5
273,2 482,5
8,096 9,109
258,3 455,6
7,701 9,235
6 7
485,6 638,2
9,143 5,177
458,4 674,4
9,251 5,553
8 9
757,5 764,9
9,999 10,067
727,6 734,4
9,241 9,328
10
1087,2
11,238
999,8
10,748
Tab. 6: Hodnoty prvních deseti vlastních frekvencí modelu A a B
46
12
Frekvence [Hz]
10 8 6
A part B part
4 2 0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Mód [-]
Obr. 28: Porovnání participačních faktorů modelů paliček A a B
Obr. 28 zobrazuje porovnání hodnot participačního faktoru, mezi modelem paličky A a B, kde nepatrný rozdíl je vidět v 8. a 9. módě.
47
2. mód
3. mód
A_volná
1. mód
125 Hz
272,1 Hz
A_uchycená
124,8 Hz
297,2 Hz
306,7 Hz
B_volná
101,3 Hz
114,5 Hz
257,3 Hz
B_uchycená
114,1 Hz
147,9 Hz
164 Hz
372,3 Hz
Obr. 29: Vlastní tvary kmitání uchycené a volné paličky modelu A a B v 1., 2. a 3. módě.
48
5. mód
6. mód
A_volná
4. mód
482,5 Hz
485,6 Hz
A_uchycená
273,2 Hz
549,6 Hz
629,8 Hz
B_volná
531,6 Hz
455,6 Hz
458,4 Hz
B_uchycená
258,3 Hz
423,5 Hz
634,6 Hz
720,4 Hz
Obr. 30: Vlastní tvary kmitání 4., 5. a 6. módu uchycené a volné paličky modelu A a B
49
8. mód
638,2 Hz
757,5 Hz
9. mód
A_volná
7. mód
A_uchycená
764,9 Hz
1084,2 Hz
1120,8 Hz
B_volná
650,3 Hz
727,6 Hz
734,4 Hz
B_uchycená
674,4 Hz
751,9 Hz
762,8 Hz
855,5 Hz
Obr. 31: Vlastní tvary kmitání 7., 8. a 9. módu uchycené a volné paličky modelu A a B
50
5.4. Vliv délky paličky na frekvenci Dalším testem byl vliv délky paličky na její vlastní frekvenci. Pro výpočet bylo vybráno šest rozměrů paliček s odlišnou délkou: 358, 371, 385, 398, 412 a 425 mm. Z výsledku testu vyplývá, že s rostoucí délkou paličky klesají vlastní frekvence a zmenšuje se její tuhost. Výsledky jsou zobrazeny na obr. 32 na kterém je vidět, že největší rozdíl hodnot vykazuje 10. mód. Naopak 7. mód vykazuje malé klesání vlastních frekvencí oproti ostatním módům. Na 33. a 34 jsou vyobrazeny tvary kmitání v 1., 3., 5., 7., 9. a 10. módě. Patrný rozdíl nastává v třetím módě. Zbylé módy kmitání jsou bez větších změn.
1600 1400 mód [-] 10
1200
Frekvence [Hz]
mód [-] 9 1000
mód [-] 8 mód [-] 7
800
mód [-] 6 mód [-] 5
600
mód [-] 4 400
mód [-] 3 mód [-] 2
200
mód [-] 1 0 358
371
385
398
412
425
délka paliček [mm]
Obr. 32: Porovnání šesti různých délek paličky a její vliv na prvních deset vlastních frekvencí
51
Frekvence [Hz] mód [-] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
358 mm 159,7 160,2 350,2 352,3 625,8 632 696,2 979,3 993,6 1388,5
371 mm 149,4 149,8 327,1 328,8 583,5 588,4 685,6 914,8 926,2 1302,7
385 mm 140,1 140,4 306 307,6 544,7 549,2 661,3 854,6 865 1220,3
398 mm 131,6 131,9 287,2 288,5 510,3 513,9 651,4 801,1 809,5 1147,6
412 mm 123,9 124,1 270,1 271,2 478,8 482 636,1 751,8 759,1 1079,2
Tab. 7: Hodnoty frekvencí šesti různých délek paličky v prvních deseti módech
52
425 mm 116,7 117 254,4 255,4 450,2 453 619,5 706,6 713,2 1016,1
3. mód
5. mód
116,7 Hz
254,4 Hz
450,2 Hz
131,6 Hz
287,2 Hz
510,3 Hz
140,1 Hz
306 Hz
544,7 Hz
159,7 Hz
350,2 Hz
625,8 Hz
358mm
385mm
398mm
425mm
1. mód
Obr. 33: Vlastní tvary kmitání různých délek paličky v 1., 2. a 3 módě
53
9. mód
10. mód
619,5 Hz
713,2 Hz
1016,1 Hz
651,4 Hz
809,5 Hz
1147,6 Hz
661,3 Hz
865 Hz
696,2 Hz
993,6 Hz
385mm
398mm
425mm
7. mód
358mm
1220,3 Hz
1388,5 Hz
Obr. 34: Vlastní tvary kmitání různých délek paličky v 7., 9. a 10. módě
54
5.5. Modifikace bubenické paličky Cílem bylo sestavit model paličky, který bude mít lepší vlastnosti z hlediska rozměrů, vlastních frekvenci a snížených vlastních vibrací. Částečnou inspirací pro tento krok byly zjištění z průzkumu více než dvaceti amerických patentů týkajících se struktury tvaru paličky (http://www.freepatentsonline.com/result.html?sort=relevance& srch=top&query_txt=Drumstick&submit=&patents=on). Pro sestavení modelu byly použity
kompozitní materiály včetně samotného
dřeva. Model je tvořen ze dvou částí. Vnější část paličky je tvořena ze dřeva (model A) a druhá část obsahuje výplň z kompozitního materiálu ve tvaru válce o průměru 4 mm a délce 300 mm viz. obr. 35. Pro simulaci byly vytvořeny tři modely v kombinaci: hickory x kevlar, hickory x uhlíková vlákna a hickory x pryž. Prvním vybraným materiálem pro modifikaci je kevlar, který má vysokou pevnost v tahu a dobře absorbuje rázovou energii. Je velmi tuhý, odolný vůči chemikáliím a teplu. Kevlar má vynikající rozměrovou stabilitu což znamená, že si při zatížení zachovává
svůj
tvar
(http://www.dupont.com/products-and-services/fabrics-fibers-
nonwovens/fibers/brands/kevlar.html). Dalším vybraným materiálem pro modifikaci paličky jsou uhlíková vlákna. Mají vysokou pevnost v tahu a jsou odolná proti únavě. Mezi mechanické vlastnosti uhlíkových vláken patří také útlum vibrací, nízká měrná hmotnost a nulová plastická deformace při namáhání (http://www.f1technical.net/article s/3). Posledním vybraným kompozitem je pryž. Mezi vlastnosti pryže patří velká elasticita, akumulace části energie při deformaci a velká odolnost vůči opakovaným deformacím. Vyznačuje se chemickou odolností vůči kyselinám i zásadám. Tvrdá pryž odolává i látkám oxidační povahy (Hrazdíra 2009). Uhlík.vlák.
Kevlar
Pryž
MOEL [MPa]
700
300
500
μLR [–]
0,17
0,2
0,48
ρ [kg.m³]
1600
1400
930
Tab. 8: Materiálové konstanty kompozitních materiálů (dle www.performancecomposites.com)
55
Obr. 35: Znázornění konstrukce paličky modelu A a její vnitřní výplně
Výsledek testu ukázal rozdíly hodnot vlastních frekvencí mezi kevlarem a pryží. Naopak dřevěná palička vykazuje přibližně stejné hodnoty jako dřev. palička v kombinaci s uhlíkovými vlákny. Zajímavější je výsledek participačního faktoru, neboli ukazatele podílu vykmitané hmoty při konkrétní frekvenci, který vykazuje zajímavou hodnotu u kombinace dřevěné paličky s kevlarem a dřevěné paličky s pryží. Výsledky jsou zobrazeny na obr. 36 a 37. Naměřené hodnoty jsou v tab. 9 a 10. Obr. 38, 39. a 40 zobrazuje tvary kmitání jednotlivých modifikovaných paliček. Zajímavý je vlastní tvar kmitání, který vykazuje dřevěná palička kombinovaná s pryží. Naopak stejné vlastní tvary kmitání jsou pro kevlar a uhlíková vlákna, které se od sebe liší zejména od 7. módu.
56
14
Participační faktor [-]
12 10 8
hickory
6
uhlík.vlák. kevlar
4 pryž 2 0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Mód [-]
Obr. 36: Srovnání hodnot participačního faktoru modifikované paličky
mód [-] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
dřev. palička hickory 6,6 6,61 8,082 8,096 9,109 9,143 5,177 9,999 10,067 11,238
Srovnáni participačních faktorů paliček dřevěné paličky s kombinací s komp. mat. uhlík.vlák. kevlar pryž 6,622 6,74 10,314 6,627 6,739 10,324 8,153 8,274 4,88 8,152 8,248 9,864 9,231 9,579 9,874 9,236 9,533 9,607 5,193 10,817 9,629 10,252 10,755 10,649 10,262 12,26 10,593 11,728 12,062 12,353
Tab. 9: Naměřené hodnoty participačního faktoru pro modifikovanou paličku
57
1400
Frekvence [Hz]
1200 1000
800
hickory uhlík.vlák.
600
kevlar 400
pryž
200 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Mód [-]
Obr. 37: Srovnání hodnot vlastních frekvencí modifikované paličky
mód [-] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
dřev. palička hickory 124,8 125 272,1 273,2 482,5 485,6 638,2 757,5 764,9 1087,2
Frekvence [Hz] dřevěné paličky v kombinací s komp. mat. uhlík.vlák. kevlar pryž 124,2 129,7 179,7 124,6 130 180,1 270,3 285,3 255,1 271,8 286,2 329,9 478,9 509,7 331,2 482,9 511,7 552,9 573,4 797,4 555,9 750,7 801,4 841,5 759,7 1142,5 847,8 1073,4 1149,8 1179,9
Tab. 10: Naměřené hodnoty vlastních frekvencí modifikované paličky
58
2. mód
3. mód
179,7 Hz
180,1 Hz
129,7 Hz
130 Hz
285,3 Hz
124,6 Hz
270,3 Hz
125 Hz
272,1 Hz
pryž
1. mód
uhlík. vlák.
kevlar
255,1 Hz
hickory
124,2 Hz
124,8 Hz
Obr. 38: Vlastní tvary kmitání modifikované paličky v 1., 2. a 3. módě
59
5. mód
6. mód
329,9 Hz
331,2 Hz
552,9 Hz
286,2 Hz
509,7 Hz
511,7 Hz
271,8 Hz
478,9 Hz
482,9 Hz
273,2 Hz
482,5 Hz
485,6 Hz
hickory
uhlík. vlák.
kevlar
pryž
4. mód
Obr. 39: Vlastní tvary kmitání modifikované paličky ve 4., 5. a 6. módě
60
8. mód
9. mód
555,9 Hz
841,5 Hz
847,8 Hz
797,4 Hz
801,4 Hz
1142,5 Hz
uhlík. vlák.
kevlar
pryž
7. mód
750,7 Hz
759,7 Hz
hickory
573,4 Hz
638,2 Hz
757,5 Hz
764,9 Hz
Obr. 40: Vlastní tvary kmitání modifikované paličky v 7., 8. a 9. módě 61
6 ZÁVĚR V rámci této diplomové práce byl sestaven konečně-prvkový model bubenické paličky a byly zjištěny vlastní frekvence a vlastní tvary kmitání pomocí numerické modální analýzy. Geometrie a materiál paličky byly parametrizovány a pomocí několika simulací byly porovnány výsledky různých testů. Tyto testy byly rozděleny zaměřením na vliv materiálu (druh dřeva) a na vliv konstrukce paličky. Výsledky materiálových testů nevykazovaly příliš rozdílené hodnoty - tzn. materiál, ze kterého je palička vyrobena nemá zásadní vliv na její frekvenci. Je nutné podotknout, že u tohoto testu byly použity pouze dvě dřeva, a to hickory a habr. Při výpočtech vlastních frekvencí byl největší rozdíl hodnot mezi těmito dvěma dřevy vykázán v módu č. 7, kde rozdíl hodnot činil 2,73 %. Nejmenší vykázaný rozdíl byl v módu č. 1 a to 0,69 %. Vypočtené hodnoty participačního faktoru byly více rozdílné, nicméně největší vypočtený rozdíl (mód č.4) byl 15,42 %, ale v ostatních módech se rozdíly pohybovaly v rozmezí 5,01 % až 5,67 %. Z pohledu následného výzkumu by bylo zajímavé porovnat paličky vyrobené z jiných dřev (např. dub, akát, jasan) či z kompozitních materiálů. Naopak výsledky konstrukčních testů prokázaly, že konstrukční parametry mají zásadní vliv na frekvenci. Byly provedeny testy, které sledovaly vliv průměru, délky a tvaru paličky na frekvenci. Ze zjištěných výsledků je zřejmé, že nejsilnější vliv na frekvenci paličky má právě její délka. Čím je palička delší, tím se její frekvence snižují. Nejkratší palička použitá v testu měřila 358 mm a nejdelší měřila 425 mm. Hodnoty vlastní frekvence u nejdelší paličky byly o 11,02 % (mód č. 7) až 28,31 % (mód č. 6) nižší než u nejkratší paličky. Vliv průměru paličky na frekvenci je také zásadní. Zde platí to, že čím větší průměr, tím se zvyšují vlastní frekvence. V testu byly použity paličky s průměry od 13 mm do 18 mm. U nejširší paličky se vlastní frekvence zvýšily v rozmezí od 6,29 % (mód č. 7) do 24,76 % (mód č. 9) oproti nejužší paličce. Tvar paličky má z těchto tří simulovaných testů nejnižší vliv na vlastní frekvenci paličky, ale zde velice záleží na konkrétním modelu - zda je palička tvarovaná v oblasti rukojeti nebo těla. Pro tuto práci byla tvarově upravena rukojeť jedné paličky. Takto upravená palička se zásadně nelišila ve vlastních frekvencích od klasicky tvarované paličky.
62
Ze získaných dat výše uvedených testů je zřejmé, že konstrukční úpravy paliček, s cílem optimalizování frekvencí na požadované hodnoty, jsou nepraktické zejména z uživatelského pohledu paličky. Někteří výrobci paliček používají kompozitní materiály nebo je kombinují se dřevem, aby dosáhli lepších mechanických vlastností (snížení vibrací a lámavosti). Tento výrobní postup byl inspirací pro vlastní úpravu struktury paličky v programu ANSYS s cílem následného porovnání vlastních tvarů frekvencí klasické a této modifikované paličky. Samotná modifikace v tomto případě znamenala použití tří různých kompozitních materiálů (pryž, kevlar a uhlíková vlákna) v kombinaci se dřevem hickory. Na takto upravených paličkách byla také provedena modální analýza a zajímavým zjištěním bylo, že palička kombinovaná ze dřeva a uhlíkových vláken měla téměř stejné hodnoty ve většině módů (rozdíly od 0,35 % v módu č. 2 do 1,29 % v módu č. 10) jako palička vyrobená pouze ze dřeva. Jen v módu č. 7 byl rozdíl hodnot u paličky kombinované s uhlíkovým vláknem nižší o 11,31 %. Naopak paličky kombinované s kevlarem a pryží vykazovaly jednak vyšší frekvence, ale také odlišné vlastní tvary kmitání v porovnání s dřevěnou paličkou. Palička
kombinovaná
s kevlarem
vykazovala
rovnoměrně
rostoucí
hodnoty
participačního faktoru oproti paličce ze dřeva - graf vypočtených hodnot vykazuje úměrné navýšení participačního faktoru vůči zvýšeným frekvencím. Palička ze dřeva vykázala hodnotu až o 52 % nižší (mód č.7) než palička kombinovaná s kevlarem. Výsledky této práce nabízí několik možností využití těchto metod v praxi. Jak již bylo zmíněno v úvodu, pro výrobce paliček je podstatné zejména párování jednotlivých kusů z hlediska mechanických vlastností tak, aby vybrané páry byly co nejvíce totožné a vydávaly tak stejné zvuky při úderu do bubnu. Ruční párování není z ekonomického hlediska efektivní, softwarové výpočty vlastních frekvencí umožňují rychlé vyhledání nejoptimálnějšího materiálu, tvaru, délky a průměru paličky. Výrazně tak snižují náklady a čas při výrobním procesu. Také simulace modifikované paličky (dřevo a kevlar) určila ve výpočtech pozoruhodné hodnoty a bylo by zajímavé takto strukturovanou paličku vyrobit a otestovat v praxi.
63
7 SUMMARY This thesis describes the Finite Element Method (FEM) of a drumstick and the findings of natural frequencies and modal shapes of a structure using Numerical Modal Analysis. The geometry and material of a drumstick were parameterized and by using a number of simulations the results of various tests were compared. These tests were divided into two groups - the influence of material (type of wood) and the influence of a drumstick structure. The results of material tests did not show very different values - ie. material from which the drumstick is made does not have a major impact on its natural frequencies. It needs to be noted that only two types of wood were used in this test - hickory and hornbeam. While calculating natural frequencies the topmost difference in values between the two woods was in mode number 7, where the difference was 2,73 %. The lowest value was in mode number 1 and it was 0,69 %. The calculated values of participating factor were more diverse, however, the topmost difference (mode number 4) was 15,42% but in the other modes the differences were only between 5,01 % to 5,67 %. From the point of view of future research it would be very interesting to compare values of drumsticks made from other types of wood (for example oak, locust, ash) or composite materials. In contrast, the results of structure tests have shown that the structure parameters have a profound effect on natural frequencies. Tests were conducted to examine the influence of a drumstick diameter, length and shape on natural frequencies. From the obtained results it was clear that the strongest influence on natural frequencies is precisely its length. The longer the drumstick the lower the natural frequencies. The shortest drumstick used in the test measured 358 mm and the longest measured 425 mm. The values of the natural frequencies of the longest drumstick were from 11.02% (mode number 7) to 28.31% (mode number 6) lower than the shortest drumstick. The impact of diameter of the drumstick on the natural fequency is also essential. In this case, the larger the diameter the higher the natural frequency. In the test drumsticks with the diameter from 13 mm to 18 mm were used. With the largest diameter drumstick the natural frequencies increased from 6.29 % (mode number 7) to 24.76 % (mode number 9) in comparison to the lowest diameter drumstick.
64
The shape of the drumstick has the lowest impact on the natural frequency but it depends on the particular model - whether the drumstick is modified at the handle or at the body. For the purpose of this paper a handle of one drumstick was modified. Such modified drumstick did not significantly differ from the classically shaped drumstick. From the data obtained from the above tests it is obvious that structurally modified drumsticks, with the goal of optimal natural frequencies, are not parctical from the user`s perspective. Some manufacturers use composite materials combined with wood to achieve better mechanical properties (reduced vibration and breakage). Such production process was the inspiration for the self-modification of the structure of a drumstick in the ANSYS program with the objective of comparing natural frequencies of a classical drumstick and the self-modified one. The actual modifications in this case meant the use of three different composite materials (rubber, aramid and carbon fibers) in combination with hickory wood. Modal analysis was also performed on these modified drumsticks and interesting finding was that the drumstick where wood and carbon fibre was combined had almost the same values in most modes (difference from 0.35% in mode number 2 to 1.29% in mode number 10) as the drumstick made out of wood only. Only in the mode number 7, the difference in values with a drumstick combined with carbon fiber was lower by 11.31 %. On the other hand the drumsticks combined with kevlar and rubber showed higher natural frequencies and also different shapes of vibration compared to the wooden drumstick. Drumstick combined with kevlar showed optimal values of participatory factor compared to the wooden one - a graph showing the calculated values indicates proportional increase of participatory factor to the increased frequencies. Wooden drumstick showed a value of up to 52 % lower (mode number 7) than the one combined with kevlar. The results of this paper offers several options for the use of these methods in practice. As it was already mentioned in the introduction part, for the manufacturer it is particularly relevant to be able to pair individual drumsticks in order of mechanical properties, so that the selected pairs are as identical as possible to produce similar sounds while hitting the drum. Manual matching is not economically efficient and software calculations of natural frequencies allow manufacturers to efficiently find the most optimal material, shape, length and diameter of a drumstick. They can 65
significantly reduce costs and time in the production process. Also the simulation of a modified drumstick (wood and kevlar) identified in the calculations optimal mechanical properties and it would be interesting to manufacture and test such a modified drumstick.
66
8 PŘEHLED POUŽITÉ LITERATURY 8.1. Seznam odborné literatury A. RUSSELL and W. HAVEMAN. Acoustic and modal analysis of an African djembe drum. J. Acoust. Soc. Am. , 108(5), 2000. BILOŠOVÁ, Alena. Využití experimentální modální analýzy k diagnostice porušení strojních součástí: autoreferát doktorské disertační práce. 1. vyd. Ostrava: Vysoká škola báňská - Technická univerzita, Fakulta strojní, 2002. ISBN 80-248-0201-5. BUCUR, Voichita. Acoustics of wood. Boca Raton: CRC Press, c1995, 284 p. ISBN 08493-4801-3. DEAN, Matt. The drum: a history. 5., erg. und erw. Aufl. Lanham, Md.: Scarecrow Press, 2012, vii, 354 s. ISBN 08-108-8171-3. DOUGLAS, R. Phillips Hickory. . . an American wood. 1973, U.S. Department of Agriculture Forest Service Dřevo: velká encyklopedie : 150 druhů dřeva : podrobný průvodce "strom za stromem" : svět nejvšestrannějšího přírodního zdroje. 1. vyd. Editor Aidan Walker. Praha: Grada, 2009, 192 s. ISBN 978-80-247-2858-2. Dřevo od A do Z. 1. vyd. Čestlice: Rebo, 2006, 427 s. ISBN 978-80-7234-531-12007. Encyclopedia of wood. New York: St. Remy Press, c1993, 144 p. ISBN 08-094-9917-7. FLETCHER, Neville H a Thomas D ROSSING. The physics of musical instruments. New York: Springer-Verlag, c1991, xvii, 620 p. ISBN 35-409-6947-0. GANDELOVÁ, Libuše, Jarmila ŠLEZINGEROVÁ a Petr HORÁČEK. Nauka o dřevě. 2., nezměn. vyd. V Brně: Mendelova zemědělská a lesnická univerzita, 2002c1996, 176 s. ISBN 978-80-7157-577-12008. GOMBÁR, Jakub. Tvorba indukčního stroje pomocí APDL skriptu. Brno, 2013. Diplomová práce. VUT. HORÁČEK, Petr. Fyzikální a mechanické vlastnosti dřeva I. 2., přeprac. vyd. Brno: Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně, 2008, ii, 124 s. ISBN 978-807375-169-2. HRAZDÍRA, Matěj. Materiály na bázi uhlíku a jejich využití. Brno, 2010. Bakalářská práce. VUT. KRAMER, Paul J a T KOZLOWSKI. Physiology of woody plants. New York: Academic Press, 1979, xiii, 811 s. ISBN 01-242-5050-5. 67
KULÍČEK, David. Souhrn podkladů a návrh výroby dřevěných bubenických paliček. Praha, 2009. Diplomová práce ČZU v Praze. LACHLAN, D. Intellligent synthesis of electronic and ethnic drums,Literature Review. 2005. 23 s. School of Computer Science and Software Engineering Monash University MATERNA, Alois a Jiří BROŽOVSKÝ. Metoda konečných prvků ve stavební mechanice. Ostrava, 2012. Učební text VŠB v Ostravě POŽGAJ, A., CHOVANEC, D., KURJATKO, S., BABIAK, M., 1997. Štruktura a vlastnosti dreva. Bratislava, Priroda, 488 s., ISBN 80-07-00960-4. [PREPARED BY THE FOREST PRODUCTS LABORATORY, FPL. Wood handbook: wood as an engineering material. Rev. ed. Madison, Wis: Forest Products Society, 1999. ISBN 978-189-2529-022. RAHDALL, R. Frequency Analysis. 3rd ed. Naerum: Brüel, 1993. ISBN 87-873-5507-8 RAYLEIGH, John William Strutt. The Theory of Sound I. New York: Dover Publications, 1945, 480 s. ISBN 04-866-0292-3. ROADS, Curtis. The computer music tutorial. Cambridge, Mass.: MIT Press, c1996, xx, 1234 s. ISBN 02-626-8082-3. SADIE, Stanley a John TYRRELL. The new Grove dictionary of music and musicians. 2nd ed. New York: Grove, 2001, 29 v. ISBN 15-615-9239-0. SOCHOR, Petr. Mechanické vlastnosti bubenických paliček. Brno, 2012. Bakalářská práce. Mendelova univerzita v Brně. WAGENF HR,
R
a
Christian
SCHEIBER. Holzatlas.
1.
Aufl.
Leipzig:
Fachbuchverlag, c1975, 690 p. WAGENF HR, Rudi a Christian SCHEIBER. Obrazový lexikon: dřevo. 1. vyd. Překlad Bohumil Hurda. Praha: Grada Publishing, 2002, 347 s. ISBN 80-247-0346-7. WAGNER, A. Analysis of Drumbeats – Interaction between Drummer, Drumstick and Instrument. Diplomová práce. 2006. 70 s. at the Department of Speech, Music and Hearing TMH ZOBEL, Bruce a Johannes P VAN BUIJTENEN. Wood variation: its causes and control. New York: Springer-Verlag, c1989, xv, 363 p. ISBN 03-875-0298-X.
68
8.2. Internetové zdroje REKTOŘÍK, Bořivoj. www.muzikus.cz [online]. 2009 [cit. 2014-05-12]. Dostupné z: http://www.muzikus.cz/nazor/?&rst=all&robjid=1705&rtyp_obj=1 REKTOŘÍK, Bořivoj. www.rstick.com [online]. 2009 [cit. 2014-05-12]. Dostupné z: http://www.rstick.com/index.php?id_cms=95&controller=cms&id_lang=7 REKTOŘÍK, Bořivoj. www.rstick.com/index.php. [online]. [cit. 2014-05-03]. Dostupné z: http://www.rstick.com/index.php?id_cms=98&controller=cms&id_lang=7 REKTOŘÍK, Bořivoj. www.rstick.com [online]. [cit. 2014-05-03]. Dostupné z: http://www.rstick.com/index.php?id_cms=31&controller=cms&id_lang=7 BOSO, drumsticks. www.bosodrumsticks.com [online]. [cit. 2014-05-04]. Dostupné z: http://www.bosodrumsticks.com/pages/about-us Drumextra [online]. 2010 [cit. 2014-05-12]. Dostupné z: http://www.drumextra.cz/znacky/ahead/ Aquariandrumheads [online]. 2014 [cit. 2014-05-12]. Dostupné z:http://www.aquariandrumheads.com/products/graphite-stick-series Hiptrix [online]. 2014 [cit. 2014-05-12]. Dostupné z: http://www.hiptrix.com/products/ How to Pitch-Match Drumsticks - 10,000 Times a Day. BISSINGER, George. Acoustic [online]. [cit. 2014-05-04]. Dostupné z: http://www.acoustics.org/press/148th/bissinger.html
Resotune. JOHNSON, Scott. Prof.Sound's Drum Tuning Bible v3 [online]. 1999. vyd. 1999 [cit. 2014-05-05]. Dostupné z: https://www.resotune.com/Drum%20tuning%20bible.pdf KOSTELNÝ, Štefan. Muzikus [online]. 2007 [cit. 2014-05-05]. Dostupné z: http://www.muzikus.cz/pro-muzikanty-clanky/Frekvence-panorama-a-hloubka-Temamesice~21~srpen~2007/ KAŠPAŘÍK, Jan. Mujweb [online]. [cit. 2014-05-05]. Dostupné z: http://mujweb.cz/kasparik.j/AKUSTIKA-ORGANOLOGIE.htm 69
Drumcenter [online]. 2008 [cit. 2014-05-12]. Dostupné z: http://www.drumcenter.cz/eshop/novinka-176.html LANG, C. a R. WISMAN. Homepages.ius.edu [online]. 2004 [cit. 2014-05-12]. Dostupné z:http://homepages.ius.edu/kforinas/S/Percussion.html FEM/MKP: Základy použití metody konečných prvků pro technické výpočty v programu Autodesk Inventor Professional. In: ŘEZNÍČEK, Ladislav a Milan FINK. Http://spstrutnov.cz/ [online]. 2006 [cit. 2014-05-05]. Dostupné z: http://spstrutnov.cz/o-skole/projekty/technicke-vypocty/skripta-fem-mkp.pdf VRBKA, Martin a Michal VAVERKA. Metoda konečných prvků. Http://old.uk.fme.vutbr.cz/ [online]. 2006 [cit. 2014-05-05]. Dostupné z: http://old.uk.fme.vutbr.cz/kestazeni/MKP/prednaska2_mkp.pdf DVOŘÁK, Vítězslav. EXPERIMENTÁLNÍ MODÁLNÍ ANALÝZA [online]. 2009 [cit. 2014-05-05]. Dostupné z: http://old.fst.zcu.cz/_files_web_FST/_SP_FST(SVOC)/_2009/_sbornik/PapersPdf/Ing/ Dvorak_Vitezslav.pdf SOLID 187 [online]. 2010 [cit. 2014-05-12]. Dostupné z:http://inside.mines.edu/~apetrell/ENME442/Documents/SOLID187.pdf Freepatentsonline [online]. 2014 [cit. 2014-05-12]. Dostupné z:http://www.freepatentsonline.com/result.html?sort=relevance&srch=top&query_txt= Drumstick&submit=&patents=on Mechanical Properties of Carbon Fibre Composite Materials, Fibre [online]. 2009 [cit. 2014-05-05]. Dostupné z: http://www.performancecomposites.com/carbonfibre/mechanicalproperties_2.asp Kevlar [online]. 2014 [cit. 2014-05-12]. Dostupné z: http://www.dupont.com/productsand-services/fabrics-fibers-nonwovens/fibers/brands/kevlar.html Carbon fibre [online]. 2014 [cit. 2014-05-12]. Dostupné z: http://www.f1technical.net/articles/3
70
Seznam obrázků Obr. 1: Evoluce paliček .................................................................................................. 11 Obr. 2: Anatomie bubenické paličky. .............................................................................. 12 Obr. 3: Druhy špiček ....................................................................................................... 12 Obr. 4: Konce paliček zamezující vibrace firmy Zildijan,Wedgie a Vic Firth ................ 13 Obr. 5: Značení paliček podle tvaru špičky, rozměru a stylu hry ................................... 14 Obr. 6: Paličky: A hickory, B habr ................................................................................. 17 Obr. 7: Bambusové paličky Boso .................................................................................... 17 Obr. 8: Palička od firmy Ahead ...................................................................................... 18 Obr. 9: Grafitové paličky Stick Series ............................................................................. 18 Obr. 10: Světelné paličky Firestix ................................................................................... 19 Obr. 11: Na levém obrázku je zobrazení tvarů vlastních frekvencí pro dva modely bubenických paliček upnuté za jejich konec a druhý obrázek znázorňuje zobrazení tvarů frekvencí upnutí za jejich rukojeť ................................................................................... 21 Obr. 12: Párování paliček ............................................................................................... 22 Obr. 13: Popis bicí soupravy. ......................................................................................... 23 Obr. 14: Chladniho obrazce............................................................................................ 25 Obr. 15: Korpusy malého bubínku. A, Korpus z překližovaného dřeva, B, Korpus z masivního dřeva vyrobený na principu lepené spárovky C, Korpus z masivního dřeva vyrobený pomocí ohýbané desky..................................................................................... 27 Obr. 16: Rozložení uzlů korpusu bubnu v různých módech. ........................................... 28 Obr. 17: Diagram pro postup řešeni modální analýzy v programu ANSYS. .................. 31 Obr. 18: Rozměry paliček včetně síťovaných modelů. .................................................. 34 Obr. 19: Struktura SOLID 187. ....................................................................................... 35 Obr. 20: Vlastní tvary kmitání paliček dřeva hickory a habru v 1., 2., 3., 4., 5. a 6 módu. ........................................................................................................................................ 38 Obr. 21: Vlastní tvary kmitání paliček dřeva hickory a habru v 7., 8., 9. a 10 módu. .... 39 Obr. 22: Porovnání vlastních frekvencí dřevěných paliček. ........................................... 40 Obr. 23: Porovnání participačních faktorů paliček hickory a habru. ........................... 40 Obr. 24: Porovnání šesti různých průměrů paliček a jejich vliv na prvních deset vlastních frekvencí. ......................................................................................................... 42 Obr. 25: Vlastní tvary kmitání paliček o průměru 13, 15, 17 a 18mm v 1., 3. a 5. módu. ........................................................................................................................................ 43 71
Obr. 26: Vlastní tvary kmitání paliček o průměru 13, 15, 17 a 18 mm v 7. a 9. módu. .. 44 Obr. 27: Porovnání volné a uchycené paličky modelů A a B a jejich vliv na prvních deset vlastních frekvencí. ................................................................................................ 45 Obr. 28: Porovnání participačních faktorů modelů paliček A a B. ............................... 47 Obr. 29: Vlastní tvary kmitání uchycené a volné paličky modelu A a B v 1., 2. a 3. módě. ........................................................................................................................................ 48 Obr. 30: Vlastní tvary kmitání 4., 5. a 6. módu uchycené a volné paličky modelu A a B. ........................................................................................................................................ 49 Obr. 31: Vlastní tvary kmitání 7., 8. a 9. módu uchycené a volné paličky modelu A a B. ........................................................................................................................................ 50 Obr. 32: Porovnání šesti různých délek paličky a její vliv na prvních deset vlastních frekvencí. ......................................................................................................................... 51 Obr. 33: Vlastní tvary kmitání různých délek paličky v 1., 2. a 3 módě. ........................ 53 Obr. 34: Vlastní tvary kmitání různých délek paličky v 7., 9. a 10. módě. ..................... 54 Obr. 35: Znázornění konstrukce paličky modelu A a její vnitřní výplně. ........................ 56 Obr. 36: Srovnání hodnot participačního faktoru modifikované paličky. ...................... 57 Obr. 37: Srovnání hodnot vlastních frekvencí modifikované paličky. ............................ 58 Obr. 38: Vlastní tvary kmitání modifikované paličky v 1., 2. a 3. módě. ........................ 59 Obr. 39: Vlastní tvary kmitání modifikované paličky ve 4., 5. a 6. módě. ...................... 60 Obr. 40: Vlastní tvary kmitání modifikované paličky v 7., 8. a 9. módě. ........................ 61
72
Seznam tabulek Tab. 1: Rozsah frekvence bicích nástrojů . ..................................................................... 24 Tab. 2: Materiálové konstanty dřeva hickory a habru.................................................... 33 Tab. 3: Hodnoty prvních deseti vlastních frekvencí a participačních faktorů paliček. .. 37 Tab. 4: Hodnoty prvních deseti vlastních frekvencí u šesti různých průměru paliček. ... 41 Tab. 5: Hodnoty prvních deseti vlastních frekvencí volné a uchycené paličky............... 46 Tab. 6: Hodnoty prvních deseti vlastních frekvencí modelu A a B. ................................ 46 Tab. 7: Hodnoty frekvencí šesti různých délek paličky v prvních deseti módech. .......... 52 Tab. 8: Materiálové konstanty kompozitních materiálů ................................................. 55 Tab. 9: Naměřené hodnoty participačního faktoru pro modifikovanou paličku............. 57 Tab. 10: Naměřené hodnoty vlastních frekvencí modifikované paličky. ......................... 58
73
9 PŘÍLOHY Příloha č. 1: Tvorba modelu v APDL Palička ze dřeva hickory model A /PREP7 !* ET,1,SOLID187 !* MPTEMP,,,,,,,, MPTEMP,1,0 MPDATA,DENS,1,,840 MPTEMP,,,,,,,, MPTEMP,1,0 MPDATA,EX,1,,15300e6 MPDATA,EY,1,,890e6 MPDATA,EZ,1,,835e6 MPDATA,PRXY,1,,0.434 MPDATA,PRYZ,1,,0.509 MPDATA,PRXZ,1,,0.762 MPDATA,GXY,1,,1200e6 MPDATA,GYZ,1,,990e6 MPDATA,GXZ,1,,303e6 K,1,0,0,0, K,2,0.005,0.002,0, K,3,0.007,0.007,0, K,4,0.007,0.335,0, K,5,0.0035,0.395,0, K,6,0.0045,0.4025,0, K,7,0,0.410,0 FLST,3,4,3 FITEM,3,1 FITEM,3,3 FITEM,3,3 FITEM,3,3 BSPLIN, ,P51X /FOC,1,,-0.3,,1 /REP,FAST /FOC,1,,-0.3,,1 FLST,3,3,3 FITEM,3,1 FITEM,3,2 FITEM,3,3 BSPLIN, ,P51X /REP,FAST /FOC,1,,0.3,,1 /REP,FAST /FOC,1,,0.3,,1 /REP,FAST /FOC,1,,0.3,,1 /REP,FAST FLST,3,2,3 FITEM,3,3 FITEM,3,4 BSPLIN, ,P51X FLST,3,2,3
!výběr elementu !definice materiálového modelu !hustota
!modul pružnosti v podélném směru !modul pružnosti v radiálním směru !modul pružnosti v tangenciálním směru !poissonovo číslo !poissonovo číslo !poissonovo číslo !smykový modul pružnosti v radiální rovině !smykový modul pružnosti v tangenciálním směru !smykový modul pružnosti v příčné rovině
!vytvoření bodů
!vytvoření křivky, přímky a spojení bodů
74
FITEM,3,4 FITEM,3,5 BSPLIN, ,P51X FLST,3,3,3 FITEM,3,5 FITEM,3,6 FITEM,3,7 BSPLIN, ,P51X /FOC,1,,-0.3,,1 /REP,FAST /FOC,1,,-0.3,,1 /REP,FAST FLST,3,2,3 FITEM,3,7 FITEM,3,1 BSPLIN, ,P51X /FOC,1,,0.3,,1 /REP,FAST /FOC,1,,0.3,,1 /REP,FAST /FOC,1,,0.3,,1 /REP,FAST /REP,FAST FLST,2,5,4 FITEM,2,5 FITEM,2,1 FITEM,2,2 FITEM,2,3 FITEM,2,4 AL,P51X /AUTO,1 /REP,FAST FLST,2,1,5,ORDE,1 FITEM,2,1 FLST,8,2,3 FITEM,8,1 FITEM,8,7 VROTAT,P51X, , , , , ,P51X, ,360, , FINISH /SOL FLST,2,2,3,ORDE,2 FITEM,2,1 FITEM,2,7 !* /GO DK,P51X, , , ,0,ALL, , , , , , FINISH /PREP7 SMRT,6 SMRT,5 TYPE, 1 MAT, 1 REAL, ESYS, 0 SECNUM, !* MSHAPE,1,3D
!vytvoření plochy
!orotování objektu o 360°
!nastavení okrajových podmínek
75
MSHKEY,0 !* FLST,5,4,6,ORDE,2 FITEM,5,1 FITEM,5,-4 CM,_Y,VOLU VSEL, , , ,P51X CM,_Y1,VOLU CHKMSH,'VOLU' CMSEL,S,_Y !* VMESH,_Y1 !meshing,síťování !* CMDELE,_Y CMDELE,_Y1 CMDELE,_Y2 !* ANTYPE,2 !* MODOPT,LANB,10 !možnosti nastavení modální analýzy EQSLV,SPAR MXPAND,10, , ,0 LUMPM,0 PSTRES,0 !* MODOPT,LANB,10,100,1200, ,OFF !nastavení rozsahu frekvencí FINISH /SOL /STATUS,SOLU SOLVE !výpočet FINISH ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
76
Příloha č. 2: Tvorba modelu v APDL Definice materiálového modelu pro Habr MPTEMP,,,,,,,, MPTEMP,1,0 MPDATA,DENS,1,,750 !hustota MPDATA,EX,1,,10400e6 !modul pružnosti v podélném směru MPDATA,EY,1,,785e6 !modul pružnosti v radiálním směru MPDATA,EZ,1,,724e6 !modul pružnosti v tangenciálním směru MPDATA,PRXY,1,,0.350 !poissonovo číslo MPDATA,PRYZ,1,,0.448 !poissonovo číslo MPDATA,PRXZ,1,,0.560 !poissonovo číslo MPDATA,GXY,1,,960e6 !smykový modul pružnosti v radiální rovině MPDATA,GYZ,1,,850e6 !smykový modul pružnosti v tangenciálním směru MPDATA,GXZ,1,,180e6 !smykový modul pružnosti v příčné rovině -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Geometrie paličky modelu B K,1,0,0,0, K,2,0.005,0.002,0, K,3,0.007,0.007,0, K,4,0.007,0.097,0, K,5,0.005,0.103,0, K,6,0.005,0.121,0, K,7,0.007,0.127,0, K,8,0.007,0.147,0, !vytvoření bodů pro model B K,9,0.005,0.153,0, K,10,0.005,0.173,0, K,11,0.007,0.179,0, K,12,0.007,0.335,0, K,13,0.0035,0.395,0, K,14,0.0045,0.4025,0, K,15,0,0.410,0, ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
77
Příloha č. 3: Tvorba modelu v APDL Palička ze dřeva hickory (model A), včetně zavedení vnitřní výplně z rozdílného materiálu (modifikace paličky) /prep7 ! ET,1,SOLID187 !výběr elementu ! K,1,0.002,0,0, K,2,0.005,0.002,0, K,3,0.007,0.007,0, !vytvoření bodů K,4,0.007,0.335,0, K,5,0.0035,0.395,0, K,6,0.0045,0.4025,0, K,7,0,0.410,0, --------------------------------------------------- vytvoření bodů pro vnitřní výplň ------------------------------------------K,8,0,0.30,0, K,9,0.002,0.30,0, k,10,0,0,0 ! FLST,3,3,3 FITEM,3,1 FITEM,3,2 FITEM,3,3 BSPLIN, ,P51X !vytvoření křivky, přímky a spojení bodů FLST,3,2,3 FITEM,3,3 FITEM,3,4 BSPLIN, ,P51X FLST,3,2,3 FITEM,3,4 FITEM,3,5 BSPLIN, ,P51X FLST,3,3,3 FITEM,3,5 FITEM,3,6 FITEM,3,7 BSPLIN, ,P51X FLST,3,2,3 FITEM,3,7 FITEM,3,8 BSPLIN, ,P51X FLST,3,2,3 FITEM,3,8 FITEM,3,9 BSPLIN, ,P51X FLST,3,2,3 FITEM,3,9 FITEM,3,1 BSPLIN, ,P51X ! LSTR,1,10 LSTR,10,8 ! FLST,2,7,4 FITEM,2,1 FITEM,2,7
78
FITEM,2,2 FITEM,2,6 FITEM,2,5 FITEM,2,3 FITEM,2,4 AL,P51X ! FLST,2,4,4 FITEM,2,9 FITEM,2,7 FITEM,2,6 FITEM,2,8 AL,P51X !vytvoření plochy aplot ! MPTEMP,,,,,,,, MPTEMP,1,0 MPDATA,EX,1,,15300e6 MPDATA,EY,1,,890e6 MPDATA,EZ,1,,835e6 MPDATA,PRXY,1,,0.434 !definice materiálového modelu pro dřevo hickory MPDATA,PRYZ,1,,0.509 MPDATA,PRXZ,1,,0.762 MPDATA,GXY,1,,1200e6 MPDATA,GYZ,1,,990e6 MPDATA,GXZ,1,,303e6 MPTEMP,,,,,,,, MPTEMP,1,0 MPDATA,DENS,1,,840 !hustota !* ------------------------!definice pro materiálový (isotropní) model pro kevlar, uhlík.vlák. a pryž-------------------MPTEMP,,,,,,,, MPTEMP,1,0 MPDATA,EX,2,,3E+010 MPDATA,PRXY,2,,0.2 !definice materiálového modelu pro kevlar MPTEMP,,,,,,,, MPTEMP,1,0 MPDATA,DENS,2,,1400 !hustota ! MPTEMP,,,,,,,, MPTEMP,1,0 MPDATA,EX,3,,85e9 !definice materiálového modelu uhlíková vlákna MPDATA,PRXY,3,,0.4999 MPTEMP,,,,,,,, MPTEMP,1,0 MPDATA,DENS,3,,1440 !hustota ! MPTEMP,,,,,,,, MPTEMP,1,0 MPDATA,EX,4,,5e6 MPDATA,PRXY,4,,0.48 !definice materiálového modelu pro pryž MPTEMP,,,,,,,, MPTEMP,1,0 MPDATA,DENS,4,,930 !hustota ! FLST,2,2,5,ORDE,2 FITEM,2,1
79
FITEM,2,-2 FLST,8,2,3 FITEM,8,7 FITEM,8,8 VROTAT,P51X, , , , , ,P51X, ,360, , !orotování objektu o 360° ! vsel,s,volu,,1 vsel,a,volu,,5 vsel,a,volu,,3 vsel,a,volu,,7 vplot vatt,1,1,1 vsel,all vsel,s,volu,,2 vsel,a,volu,,6 vsel,a,volu,,4 vsel,a,volu,,8 vplot vatt,4,1,1, !volba materiálu ! vsel,all vglue,all !spojení všech objektů ! SMRT,5 MSHAPE,1,3D MSHKEY,0 vsel,all vmesh,all !vysíťování ! ksel,s,kp,,10 ksel,a,kp,,7 !nastavení okrajových podmínek DK,all,,0,,0,ALL, ! /solu antype,2 MODOPT,LANB,10 !možnosti nastavení modální analýzy EQSLV,SPAR MXPAND,10, , ,0 LUMPM,0 PSTRES,0 !* MODOPT,LANB,10,100,3000, ,OFF !nastavení rozsahu frekvencí FINISH /STATUS,SOLU SOLVE !výpočet FINISH ! ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
80
