MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LESNICKÁ A DŘEVAŘSKÁ FAKULTA ÚSTAV NAUKY O DŘEVĚ

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LESNICKÁ A DŘEVAŘSKÁ FAKULTA ÚSTAV NAUKY O DŘEVĚ

MODÁLNÍ ANALÝZA REZONANČNÍ DESKY PIANINA METODOU KONEČNÝCH PRVKŮ Bakalářská práce

2010/2011

Hana Klímová 1

PROHLÁŠENÍ Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma: Modální analýza rezonanční desky pianina metodou konečných prvků zpracovala sama a uvedla jsem všechny použité prameny. Souhlasím, aby moje diplomová práce byla zveřejněna v souladu s § 47b Zákona č. 111/1998 Sb., o vysokých školách a uložena v knihovně Mendelovy univerzity v Brně, zpřístupněna ke studijním účelům ve shodě s Vyhláškou rektora Mendelovy univerzity o archivaci elektronické podoby závěrečných prací. Autor kvalifikační práce se dále zavazuje, že před sepsáním licenční smlouvy o využití autorských práv díla s jinou osobou (subjektem) si vyžádá písemné stanovisko univerzity o tom, že předmětná licenční smlouva není v rozporu s oprávněnými zájmy univerzity a zavazuje se uhradit případný příspěvek na úhradu nákladů se vznikem díla dle řádné kalkulace.

V Brně dne 4. března 2011

Hana Klímová 2

Zadávací list

3

ABSTRAKT Práce se zabývá studiem změny vlastních frekvencí a vlastních tvarů kmitání rezonanční desky (RD) pianina vlivem změny vlastností materiálu (hustota, modul pružnosti, odklon vláken), změn geometrie (tloušťka desky, rozměry žeber, počet žeber, tvar kobylek) a způsobu ukotvení v nástroji. Modální analýza byla provedena metodou konečných prvků ve výpočetním programu ANSYS. Výpočetní model byl sestaven parametricky pomocí skriptovacího jazyka APDL, což umožnilo provedení řady citlivostních analýz. Výsledky popisují vliv hustoty (nepřímá závislost) a podélného modulu pružnosti materiálu (přímá závislost) na vlastní frekvence desky. Nejméně významný se jeví vliv odklonu vláken v příčné rovině. Obecně předpokládaný vliv změny geometrie a tuhosti na vlastní frekvence byl blíže popsán i pro RD pianina. Z výzkumu vyplývá, že s rostoucí tuhostí soustavy způsobenou vzájemným uložením žeber a přířezů a ukotvením, rostou hodnoty vlastních frekvencí. Ke změnám vlastních tvarů kmitání dochází zejména při změnách upevnění RD.

Klíčová slova: modální analýza, rezonanční deska, pianino, MKP, ANSYS 4

ABSTRACT This work studies eigenfrequencies and eigenmodes of vibration in soundboard of upright piano due to changes material properties (wood density, modulus of elasticity, deflection of fiber), changes in geometry (thickness, rib dimensions, number of ribs, the shape of bridges) and type of anchor in the instrument. Modal analysis was performed using the finite element method with software ANSYS. Computational parametric model was built using a Ansys Parametric Design Language (APDL), which allow an order of sensitivity analysis. Results indicated a significant effect of density (indirect dependency) and the longitudinal modulus of elasticity of the material (direct relationship) at eigenfrequency of soundboard. At least it appears significant effect in the lateral deflection of fiber plane. Generally, the expected impact of changes in geometry and stiffness on eigenfrequencies was described in more detail for the upright piano. Research shows increasing stiffness of the system is caused by the imposition of cross-rib and cut and anchored, increasing the value of eigenfrequencies. The changes in eigenmodes of vibration is mainly due to changes in anchor of plate. Key words: modal analysis, soundboard, upright piano, FEM, ANSYS 5

PODĚKOVÁNÍ Ráda bych na tomto místě věnovala vřelé díky panu ing. Janu Tippnerovi, Ph.D za odborné vedení, podporu i kritiku, a možnosti, které se mi díky němu naskytly. Dále bych chtěla poděkovat celé rodině za toleranci, trpělivost a finanční dotace, neboť jsem se tak mohla plně věnovat studiu. Mým nejbližším za pomoc v těžkých chvílích – díky!

6

Seznam obrázků Obr. 1: Vlastní tvary kmitání (Fletcher 1998 cit. Nakamura 1983)............................................................14 Obr. 2: Diagram pro postup řešení strukturální analýzy v programu ANSYS (dle Nakasone 2009)..........16 Obr. 3: Znázornění těles určujících tvar výřezu na spodní straně RD........................................................17 Obr. 4: RD s vertikálními přířezy.................................................................................................................18 Obr. 5: RD s dolním výřezem.......................................................................................................................18 Obr. 6: RD s diskantovou a basovou kobylkou............................................................................................18 Obr. 7: Basová kobylka pianina..................................................................................................................18 Obr. 8: Rezonanční deska (RD_1) s normálním uložením žeber.................................................................19 Obr. 9: Žebro rezonanční desky desky, jehož geometrii uvádí Tippner (2010)............................................19 Obr. 10: Typy geometrie rezonanční desky .................................................................................................19 Obr. 11: Změna uložení a počtu žeber na rezonanční desce typu RD_1.....................................................20 Obr. 12: SOLID187 - tetraedrický prvek s deseti uzly (Madeci 2006)........................................................22 Obr. 13: Diskretizovaný model RD – detail (porovnání).............................................................................23 Obr. 14: Vliv velikosti prvku na první vlastní frekvenci RD........................................................................25 Obr. 15: Vlastní frekvence volné a ukotvené RD.........................................................................................26 Obr. 16: Vlastní tvary kmitání a vlastní frekvence RD bez žeber a kobylek se sklonem přířezů 30°..........26 Obr. 17: Vliv sklonu přířezů na první tři vlastní frekvence RD...................................................................27 Obr. 18: Vlastní tvary kmitání RD bez žeber a kobylek pro 1., 3., 5., 7. a 9. vlastní frekvenci...................28 Obr. 19: Porovnání velikosti vlastních frekvencí při změně tloušťku RD....................................................29 Obr. 20: Různé materiálové modely s vlivem na trend vlastních frekvencí.................................................40 Obr. 21: Vliv uložení kobylek na vlastní frekvence RD................................................................................41 Obr. 22: Vliv kobylky na vlastní tvary kmitání............................................................................................41 Obr. 23: Vliv žeber na vlastní frekvence RD (i s kobylkami) ve srovnání s RD pouze s kobylkami............42 Obr. 24: Vliv žeber na vlastní tvary kmitání................................................................................................42 Obr. 25: Histogramy zobrazující generování hodnot parametrů citlivostní analýzy..................................43 Obr. 26: Graf citlivosti první vlastní frekvence...........................................................................................44 Obr. 27: Nepřímá závislost velikosti první vlastní frekvence na hustotě rezonančních přířezů..................44 Obr. 28: Přímá závislost velikosti první vlastní frekvence na podélném modulu pružnosti........................44 Obr. 29: Srovnání participačních faktorů desky RD_1, RD_2 a RD_3.......................................................45 Obr. 30: Trend vývoje vlastních frekvencí u tří typů vylehčení/vyztužení RD..............................................45 Obr. 31: První čtyři vlastní tvary kmitání desek RD_1, RD_2 a RD_3.......................................................46 Obr. 32: Participační faktor pěti typů uložení žeber na RD........................................................................48

7

Seznam tabulek Tab. 1: Přehled použitých hustot a podélných modulů pružnosti u rezonančních přířezů..........................20 Tab. 2: Počet prvků v modelu RD při měnících se rozměrech hrany konečného prvku..............................24 Tab. 3: Vliv ukotvení na prvních deset vlastních frekvencí [Hz].................................................................26 Tab. 4: Vlastní frekvence při změně tloušťky RD se sklonem 40°................................................................28 Tab. 5: Velikost prvních deseti vlastních frekvencí [Hz] při změně materiálového modelu........................29 Tab. 6: Hodnoty prvních deseti vlastních frekvencí pro RD_1, RD_2 a RD_3...........................................35 Tab. 7: Výsledky statické analýzy pro geometrie: RD_1, RD_2 a RD_3.....................................................37 Tab. 8: Hodnoty hmotností RD s různým typem žebrování..........................................................................38 Tab. 9: Typy změny žebrování a jejich vliv na modální vlastnosti RD.........................................................39

8

Obsah 1 ÚVOD..........................................................................................................................10 2 LITERÁRNÍ PŘEHLED.............................................................................................11 3 CÍL PRÁCE.................................................................................................................14 4 METODIKA................................................................................................................15 4.1 Tvorba geometrie modelu......................................................................................16 4.2 Materiálový model................................................................................................19 4.3 Konečně-prvková diskretizace modelu.................................................................21 4.4 Definování okrajových podmínek........................................................................22 4.5 Výpočet.................................................................................................................23 4.6 Export a zobrazování výsledků.............................................................................23 5 VÝSLEDKY A DISKUZE..........................................................................................24 5.1 Výsledky modální analýzy samostatné RD..........................................................24 5.1.1 Vliv velikosti prvku konečně-prvkového modelu RD...................................24 5.1.2 Vliv ukotvení RD...........................................................................................25 5.1.3 Vliv tloušťky RD...........................................................................................28 5.1.4 Vliv konstant materiálových modelů rezonančních přířezů .........................29 5.2 Výsledky modální analýzy RD s žebry a kobylkami...........................................31 5.2.1 Vliv diskantové a basové kobylky.................................................................31 5.2.2 Vliv žeber.......................................................................................................32 5.2.3 Pravděpodobnostní analýza vlivu materiálových vlastností..........................33 5.2.4 Vliv uvolnění výřezem..................................................................................35 5.2.5 Statická analýza tří typů geometrie RD.........................................................37 5.2.6 Vliv počtu a uložení žeber.............................................................................38 6 ZÁVĚR........................................................................................................................40 6.1 Využitelnost v praxi..............................................................................................40 7 SUMMARY.................................................................................................................41 8 LITERATURA.............................................................................................................42 9 PŘÍLOHY....................................................................................................................46

9

1 ÚVOD Dřevo je materiál, kterým se člověk obklopuje od nepaměti, ať vědomě či nevědomě. Je to dáno jeho všemi lidskými smysly vnímanou krásou a nezastupitelným užitkem. Dřevo je materiál přírodní a tedy ve většině svých vlastností velmi rozmanitý. Jistá pravidla jeho chování však existují, a proto je dřevo mnohdy nenahraditelné jinými materiály. Aby bylo dřevo využíváno co nejlépe, je zevrubně zkoumáno už po staletí. Stále jsou však vyvíjeny nové metody, jak tento výzkum zdokonalit a z jeho výsledků lze pohlížet na zažitá fakta z jiného úhlu. V okamžiku, kdy člověk zažehná existenční problémy, tedy využije dřevo pro konstrukci obydlí a zdroj tepla, vznikne prostor pro rozvoj duševna. Jednou z takových potřeb je poslech hudby reprodukované hudebními nástroji, jejichž hlavní komponenty určující barvu zvuku jsou často vyrobené právě ze dřeva. Mohou to být jazýčky žesťových nástrojů, těla bicích nástrojů, ale především resonanční desky strunných nástrojů. Jedním příkladem strunného hudebního nástroje je klavír, jenž strunu rozechvívá úderem kladívka díky složité kladívkové mechanice a vybuzené vibrace struny jsou přes kobylku zesilovány ozvučnicí neboli rezonanční deskou (dále RD). Na rezonanční desky jsou kladeny vysoké požadavky z hlediska kvality materiálu. Technologický postup opracování, výběr materiálu a výsledná konstrukce rozhodují o akustických vlastnostech RD. Rezonanční deska pak svým tvarem, povrchovou úpravou, umístěním žeber, kobylek, vsazením do rámu a konečným uchycením v nástroji atd. má markantní vliv na chování celého nástroje a tím i na libozvučnost vyluzovaných tónů. Posouzení libozvučnosti je dosti subjektivní počin. Nároky společnosti se s vývojem v době značně mění. Jsou však skutečnosti, které vlivu času odolávají. Důvodem můžou být neměnné fyzikální zákony, osvědčené postupy, ale také omezenost na straně materiálu, technologie výroby či znalostí. V každé fázi vývoje existuje jistý pocit, že dál už cesta nevede, že není co zdokonalovat, ale skutky dob minulých svědčí o pravém opaku. Budiž názornou ukázkou samotné pianino. Není pochyb o významu takového hudebního nástroje jak na poli umělecko-vědním, kde tento nástroj slouží nejen k názorné a snadné výuce pro pochopení hudebních pravidel, tak i na poli estetickém, kde se nabízí možnost vnímání pianina jako předmětu s širokou škálou variability provedení. Klavíry jsou neodmyslitelně spojeny s domácími i veřejnými interiéry. Provedení, neboli výsledný vzhled (dnes oblíbeným ekvivalentem je výraz design) je závislý na mnoha faktorech. Hlavní je především funkčnost daná právě zkušenostmi,které využívají neměnné fyzikální zákony akustiky. Takové zákony lze experimentálně zkoumat. Měření je však komplikované, náročné na čas, podmínky, materiál a měřicí zařízení. Často do procesu výzkumu vstupuje mnoho proměnných, které výzkum komplikují a mohou znehodnotit výsledky. Proto se vyvinuly metody bádání pomocí zjednodušených virtuálních modelů. Tyto modely definují chování (konstrukcí, objektů, systémů) v různých podmínkách; ne vždy přesně odpovídají konkrétní situaci, přesto přináší hodnotnou představu o reakcích na zatížení.

10

2 LITERÁRNÍ PŘEHLED Pianino je hudební nástroj, který je řazen mezi strunné klávesové nástroje. Vyvinulo se na počátku osmnáctého století vertikálním uspořádáním konstrukce klavíru, aby tento hudební nástroj v obytném prostoru zaujímal méně místa. Jako klavír má i pianino několik velikostních variant, nejvyšší má 150 cm, nejmenší pak 100 cm s kladívkovou mechanikou umístěnou pod klaviaturu (Lehtonen 2005). Pianino je převážně obdélníkového tvaru, i když historie zaznamenala mnoho podob tohoto nástroje. Pianino je obdobně jako piano složeno z velkého počtu částí, které se podílejí na vzniku tónu. Skříň pianina má především funkci dekorativní, dále funkci konstrukční, protože podpírá a chrání hrací mechanismus. Skříň je součástí ozvučného těla nástroje, spolu s rámem, na kterém jsou upnuté struny, a desky, která nese zvuk do okolí. Použitý materiál proto musí splňovat požadavky na akustické vlastnosti a rozměrovou stabilitu nástroje. Z toho důvodu se často používá překližka nebo dýhovaná spárovka (Williams 2003). Kvalitu hry udává především hrací mechanismus, který se dělí na základní dva typy: na mechaniku anglickou a vídeňskou (Sýkora 2005). Vídeňská mechanika je v dnešní době zastaralá a již se při výrobě klavírů nepoužívá z důvodu nekvalitní hry – je potřebná větší síla úderů, přičemž vznikají příliš ostré tóny. Další nevýhodou vídeňské mechaniky je neschopnost rychlého opakování tónů. Anglická mechanika je mnohem komplikovanější systém pák, a proto dovoluje nastavení podle požadavků pianisty. Vývoj a skladbu mechanik podrobně popisuje např. Sýkora (2005) či Williams (2003). Hlavní akustický prvek, který se zásadně podílí na vzniku tónu, je ozvučná neboli rezonanční deska. Tón je harmonické vlnění, které je charakterizováno šířením vln přenášejících zvukovou energii v hmotném prostředí (Syrový 2003). Účelem rezonanční desky je zesilovat tóny, tedy vibrace vyvolané strunou v širokém rozsahu frekvencí (Wogram 1990). Rozsah dnešního klasického pianina je 88 tónů, tedy od A 1 po c5 tj. 7 a ¼ oktávy. Pro kompatibilitu všech hudebních nástrojů byl sjednán roku 1939 na Mezinárodní konferenci o ladění v Londýně mezinárodní standard pro tón a 1 (A nad středním C, tzv. jednočárkovaná oktáva) na frekvenci 440 Hz (Williams 2003). Na rezonanční desky strunných nástrojů jsou kladeny speciální požadavky z hlediska kvality materiálu. Nejvyšší požadavky jsou na rezonanční dřevo užívané při výrobě houslí. Pro výrobu piana jsou též vysoké, avšak u pianin nároky klesají, neboť neslouží ke zvláštním koncertním účelům a skladba celého hudebního nástroje dovoluje mírné odchylky od vysokého standardu (Podobský 1975). Rezonanční deska je vyráběna především ze smrkového dřeva (Picea Abies L.), které rostlo nejméně sto let v nadmořské výšce nad 1 000 metrů (Požgaj 1997). Rezonanční dřevo se začíná tvořit po devadesáti letech věku stromu, žádoucí je stav, kdy na 1 cm připadají nejméně 4 letokruhy, čehož je dosaženo po 32 letech pro tloušťku rezonančního přířezu 8 cm, tzn. při celkovém věku stromu 122 let (Požgaj 1997). Produkční doba střední jakosti rezonančního dřeva je 150 až 160 let a odpovídá 6 letokruhům na 1 cm a 10 až 12 cm tloušťky (Požgaj 1997). Akustické vlastnosti se však liší strom od stromu, a tak je výzkumu tohoto materiálu věnována velká pozornost. Výzkum v oblasti akustických 11

vlastností dřeva provedla např. Bucur (1995). Vlastnostmi dřeva pro výrobu rezonančních desek pian a pianin se zabýval Podobský (1975). Vnějším zatížením (tlak zvukové vlny) je vyvoláno vnitřní napětí v materiálu, to má vliv na jeho poměrné deformace (vychýlení RD). Vztah napětí a elastické poměrné deformace popisuje Hookeův zákon. Pružnost dřeva je definovaná pomocí hodnot modulů pružnosti. Moduly pružnosti se dělí podle směru zatížení na podélné, příčné a to ve směru radiálním nebo tangenciálním, dále podle způsobu zatížení na moduly tahu, tlaku, ohybu, smyku a krutu a podle doby trvání zatížení na modely statické a dynamické. Podobský (1975) udává vhodný poměr mezi statickým podélným modulem pružnosti v tahu E [MPa] a hustotou ρ [g/cm3] v podobě akustické konstanty A [bezrozměrná]. Tato by pro kvalitní rezonanční desky pianin měla převyšovat hodnotu 1300. Vztah mezi modulem pružnosti a hustotou experimentálně zjišťovali např. Rohanová et al. (2010), Kubojima et al. (2006), Kloiber (2006), Obataya et al. (2000), Holz (1981), Caniato et al. (2007), Achim a Carter (2009). Modální analýza je metoda zobrazení vlastních tvarů kmitání konstrukce tzv. módů, a určení vlastních frekvencí, při nichž k chvění dochází (Syrový 2003). V soustavě se při změně frekvencí rozkmitávají body s určitou amplitudou neboli vychýlením. V případě nulového vychýlení je tento bod nazýván uzlem, bod s maximálním vychýlením se nazývá kmitna (Syrový 2003). U desek nebo membrán uzly při dosažení vlastních frekvencí tvoří spojité oblasti vytvářející čáry či plochy. Tyto tvary zkoumal již na konci 18. století německý fyzik E. F. Chladni tak, že jemným práškem posypal příslušnou desku a při buzení prášek z kmiten odskakoval a hromadil se v uzlových čarách. Toto zobrazení vlastních kmitů je dnes známo pod pojmem Chladniho obrazce (Syrový 2003). Bodig (1993) rozděluje kmitání jednoduchého nosníku na podélné, ohybové a torzní. Určení velikosti vlastní frekvence se používá pro nedestruktivní zjišťování modulu pružnosti (Požgaj 1997). Pomocí modální analýzy lze zjistit vlastnosti konstrukce a používaných materiálů, které podle výsledku lze nahrazovat za podobné, především pomocí ní lze optimalizovat tvar konstrukce. Fyzikálně-akustické principy strunných hudebních nástrojů podrobně popisu je Syrový (2003), Fletcher a Rossing (1998) podávají podrobný popis o fyzice hudebních nástrojů a odkazují se na Nakamuru (1983), který zkoumal vlastní tvary kmitání a vlastní frekvence na rezonanční desce pianina bez žeber, výsledky výzkumu ilustruje Obr. 1. Experimentální modální analýzou piana se zabýval Wogram (1990), který sledoval vztah rezonanční desky a strun. Vlastní tvary kmitání rezonanční desky piana pomocí numerické analýzy zkoumal Suzuki (1986) a společně s Nakamurou (1990) popisují akustiku celého piana. Nakamura (1993) popisuje charakteristiku vibrací rezonanční desky piana metodou numerické analýzy. Vlastnosti rezonanční desky pianina experimentálně sleduje Podobský (1975). Porovnává vlastní frekvence rezonanční desky samostatné s vlastními frekvencemi desky, ke které jsou postupně přidávány součásti tedy žebra, kobylky, rám se strunami až po úplné pianino. Kvalitu hudebního nástroje, která by měla být ovlivněná kvalitou použitého materiálu, nechává hodnotit hudebníky. Jako zásadní se projevuje vliv hustoty a modulu pružnosti použitého materiálu. Porovnávány byly také tloušťky rezonanční desky. Standardně je používána tloušťka 6,5-9,5 mm, ve výsledcích Podobský (1975) uvádí doporučenou tloušťku pro budoucí výrobu pianin 12

5,5-7,0 mm stejně jako jednotnou tloušťku v celém průřezu 6,5 mm. Uložení přířezů je dalším faktorem, který ovlivňuje vlastní frekvence. Po přidání žeber, která jsou vždy kolmo na přířezy se však sklon přířezů nejeví jako zásadní (Podobský 1975). Wogram (1990) sleduje vliv tloušťky resp. výšky průřezu žeber a počet žeber na vlastní frekvence. Dochází k závěru, že snížení počtu žeber na polovinu odpovídá situaci, kdy je výška původního počtu žeber snížena o čtvrtinu. Analýzy využívající numerické simulace pomocí metody konečných prvků se při porovnávání získaných výsledků ukázaly jako metody ekvivalentní metodám experimentálním, což dokazují práce Kindla a Wanga (1987) nebo Berthauta et. al. (2003) a dalších. Giordano (1997) dokazuje, že zjednodušený ortotropický model desky s žebry popisuje základní vlastnosti. Bethaut (2003) vymodeloval přesný konečně-prvkový model RD klavíru a porovnal získané modální vlastnosti modelu s experimentální modální analýzou reálné desky. Použil tuto metodu i k optimalizaci tvaru RD klavíru. Nebyl zde však zahrnut přetlak strun, který má významný vliv na modální vlastnosti. Tím se zabývali až Mamou-Mani et al. (2007), kteří metodu konečných prvků zkoumali zatížení RD strunami a jeho vliv na vibrace RD s užitím prestres analýzy. Zohledňovali vliv žeber, kobylek i rámu. Jejich experiment vyhodnocuje tuhost konstrukce způsobenou rámem jako významný faktor ovlivňující velikost vlastních frekvencí. Ortiz-Berenguer et al. (2008) využívají konečně-prvkový model RD klavíru Steinway ke zkoumání významnosti tvaru či rozměrů na schopnost vibrovat. Askenfelt a Jansson (1990) se zabývali soustavou od klávesy přes kladívka až ke strunám, experimentálně hodnotili kvalitu zvuku a chvění struny, Askenfelt společně s Chaignem (1994) se zabývali numerickou simulací stejného problému. Tippner (2010) se kromě účinku předpětí vyvolaného přetlakem strun zabývá i teplotně-vlhkostními vlivy na dynamické vlastnosti RD klavíru Petrof. Moore a Zietlow (2006) pomocí interferometru zkoumají provozní tvary rezonanční desky pianina i klavíru, zároveň tvoří počítačový model pro numerickou simulaci. Jako jediní porovnávají vlastní tvary RD pianina při zatížení strunami s vlastními tvary RD bez zatížení. Pozorovali velký vliv zatížení strun hlavně na první vlastní tvar i velikost příslušné frekvence.

Obr. 1: Vlastní tvary kmitání (Chladniho obrazce) a vlastní frekvence rezonanční desky s kobylkami a bez žeber (Fletcher 1998 cit. Nakamura 1983).

13

3 CÍL PRÁCE Cílem práce je sestavit konečně-prvkový model rezonanční desky pianina a využít jej k popisu vlastních frekvencí a vlastních tvarů kmitání pomocí numerické modální analýzy. Geometrie a materiál desky budou parametrizovány a na základě několika simulací budou porovnány alternativy konstrukce desky z hlediska materiálové skladby a ukotvení v nástroji. Dále bude model rozšířen o konstrukci diskantové i basové kobylky a žeber. Sledován bude jejich vliv na vlastní frekvence a vlastní tvary kmitání.

14

4 METODIKA Programů využívajících FEM (Finite Element Method) neboli metodu konečných prvků (MKP) je celá řada. Pro zadaný úkol je využit software ANSYS Mechanical APDL 12.1 licencovaný Lesnickou a dřevařskou fakultou Mendelovy univerzity v Brně (ANSYS Academic Research). Systém je velmi rozšířený, disponuje certifikátem kvality ISO 9001 a často je také pokládán za systém referenční. Jeho základní užívání v grafickém prostředí popisuje např. Kohnke (1998), Nakasone (2006), Madenci a Guven (2006), Moaveni (2008). Prostřednictvím skriptovacího jazyka APDL (Ansys Parametric Design Language) lze zadání úloh ukládat do maker (soubor *.mac), kde jsou snadno parametrizovatelná a rovněž čas pro zadání výpočtu je tím výrazně zkrácen. Sled kroků práce pro užívání programů FEM vychází z diagramu, uvedeného na Obr. 2. Začátek

Tvorba geometrie modelu

Vložení materiálových konstant modelu

Konečně-prvková diskretizace modelu

Definování okrajových podmínek

Výpočet

Export a zobrazování výsledků

Konec

Obr. 2: Diagram pro postup řešení strukturální analýzy v programu ANSYS (dle Nakasone 2009)

Práce v programu je rozdělena do tří částí: příprava výpočtového modelu (preprocessing), řešení (solution) a vyhodnocení výsledků (postprocessing). Definování geometrie, materiálu, síťování a okrajových podmínek patří právě do preprocessingu, zadání výpočtu a samotný výpočet do části solution a zpracování číselných či grafických výsledků do postprocessingu. Úlohou uživatele je sestavit správný výpočtový model, neboť správnost vstupů ovlivní výsledky. Zásadním činitelem může být volba parametrů fyzikálního modelu i použití nevhodného síťování (Kolář et al. 1997). 15

4.1

Tvorba geometrie modelu

Při tvorbě geometrického modelu rezonanční desky s kobylkou a žebry byly rozměry samostatné rezonanční desky převzaty (Podobský et al. 1975), rozměry kobylek byly změřeny autorkou na reálném nástroji a pro tvorbu žeber byl převzat skript (Tippner 2010). Hodnoty rozměrů byly parametrizovány pro případ pozorování vlivu geometrie na velikost vlastních frekvencí a vlastních tvarů kmitání. Např. při porovnávání samostatné rezonanční desky je parametrizována zejména tloušťka desky, sklon přířezů a ukotvení. Rezonanční deska pianina je v průřezu klínovitá tak, že směrem vzhůru roste její tloušťka. Porovnávány byly tloušťky 6,5 – 9,5 mm (obvyklá) a 5,5 – 7,0 mm, což je tloušťka, která byla shledána jako doporučená dle výsledků Podobského (1975). Model byl vytvořen pomocí bodů, které určují vrcholy rezonanční desky. Tyto body spojené liniemi určují hrany desky. Povrch desky je definován spojením linií do ploch. Objem desky vznikne vyplněním prostoru mezi plochami viz. sled příkazů v komentovaném APDL skriptu Příloha 1. Je zřejmé, že makro může být aplikováno i pro model desky s jednotnou tloušťkou po průřezu. Lze upravovat výšky bočních stran i šířku celé desky. Na základě současných návrhů konstrukce rezonančních desek pianin Petrof byl model doplněn o výřez na spodní straně desky, který desku v tomto místě uvolňuje z rámu. Parametrizované hodnoty jsou zejména hloubka resp. výška výřezu, délka výřezu a poloměr oblení v rozích výřezu, čehož bylo dosaženo modelováním pomocných objemů (kvádrů a válců), jejichž rozměry jsou na sobě vzájemně závislé. Uložení pomocných těles ukazuje Obr. 3. Tělesa byla od desky odečtena booleovskou operací (subtract). Celý proces byl vložen do podmínky, která umožní počítat s výřezem pouze v případě jeho zohlednění, viz. Příloha 2.

Obr. 3: Znázornění těles určujících tvar výřezu na spodní straně RD. Přířezy jsou modelovány prostřednictvím dělení objemu (pomocí pracovní roviny). Příkaz dělení je vložen do cyklu pro opakování tak, aby deska byla rozdělena po celé šířce, což odpovídá přibližně dvaceti přířezům. Každý z přířezů může mít definovanou odlišnou šířku, proto je šířka vedena jako parametr. Šířky lze v prostředí makra prostřednictvím přehledného výčtu měnit dle aktuálních požadavků.

16

Uložení jednotlivých přířezů je diagonální (30°, 40°, 60° apod.), horizontální (90°) a vertikální (0° - počítáno od boční strany desky), jak ukazuje Obr. 4 a popisuje Příloha 3. Příklad RD se spodním uvolněním resp. výřezem a diagonálním uložením přířezů zobrazuje Obr. 5.

Obr. 4: RD s vertikálními přířezy.

Obr. 5: RD s dolním výřezem.

Model rezonanční desky je rozšířen o kobylky (diskantová a basová) a žebra. Diskantová kobylka je vytvořena pomocí bodů, jimiž je vedena křivka (spline). Tato křivka udává „cestu“ pro profil průřezu diskantové kobylky (zjednodušen jako čtvercový, ale parametrizován tak, že lze získat lichoběžníkovitý), čímž je vytvořen její objem (Příloha 4). Provedení v praxi se však u jednotlivých výrobců i modelů pianin liší, jak v průřezu tak v nárysném tvaru resp. poloměru zakřivení jejích částí (tvar souvisí s tvarem rámu se strunami). Nárysný tvar diskantové a basové kobylky pianina Petrof znázorňuje Obr. 6). Basová kobylka je vytvořena pomocí tří objemů, jak uvádí Obr. 7. Postup tvorby geometrie basové kobylky je patrný z APDL skriptu viz Příloha 6.

Obr. 6: RD s diskantovou a basovou kobylkou.

Obr. 7: Basová kobylka pianina.

17

Obr. 8 představuje typ uložení žeber. Ta jsou vedena kolmo na směr uložení rezonančních přířezů. Na Obr. 9 je ukázka geometrie použitých žeber odpovídající skutečnosti. Parametrický model geometrie v APDL byl převzat (Tippner 2010) a upraven pro model rezonanční desky pianina (Příloha 7 a Příloha 8). Pro porovnávání vlastních tvarů kmitání a vlastních frekvencí bylo použito tří typů desek s označením RD_1, RD_2 a RD_3. RD_1 je deska tloušťky 6,5-9,5 mm bez spodního uvolnění se sklonem přířezů 40° a jedenácti žebry profilovanými, uloženými kolmo na směr přířezů. Dále jsou součástí dvě prizmatická žebra v levém spodním a pravém horním rohu desky uložená rovnoběžně s přířezy. Deska označená jako RD_2 se liší uvolněním na spodní hraně a deska RD_3 má navíc těsně nad výřezem vodorovně uložené žebro o délce odpovídající délce výřezu. Nárysné pohledy těchto typů desek vedle sebe staví Obr. 10. U desky označené RD_1 je dále sledován vliv změny počtu a polohy žeber vzhledem ke kmitající ploše desky a jejich vliv na vlastní tvary kmitání a velikosti vlastních frekvencí. Uvažovány byly varianty uvedené na Obr. 11.

Obr. 8: Rezonanční deska (RD_1) s normálním uložením žeber.

Obr. 9: Žebro rezonanční desky desky, jehož geometrii uvádí Tippner (2010).

Obr. 10: Typy geometrie rezonanční desky (zleva: RD_1, RD_2, RD_3).

18

Obr. 11: Změna uložení a počtu žeber na rezonanční desce typu RD_1.

4.2

Materiálový model

Na rezonanční dřevo pro výrobu rezonanční desky jsou kladeny takové požadavky, že dřevo, jež obecně vykazuje vlastnosti anizotropního materiálu v cylindrické soustavě souřadné, můžeme v tomto případě považovat za ortotropní v kartézské soustavě souřadné (Tippner 2010), což podstatně zjednodušuje definování materiálu pro výpočet v programu ANSYS. Za předpokladu malých deformací, který lze pro zatížení rezonanční desky při kmitání a přetlaku strun předpokládat, lze popis mechanické odezvy použít lineárně elastický model – Hookeův zákon (např. Bodig 1993). Vstupními daty jsou normálové (Youngovy) moduly pružnosti (E) ve směru radiálním (R), tangenciálním (T) a podélném (L), smykové moduly pružnosti (G) ve třech rovinách (RL, RT, LT) a tzv. malá (Kohnke 1998) Poissonova čísla (NU) též ve třech rovinách (RL, RT, LT). Při tvorbě materiálového modelu je však zásadní určení směru anatomických os vzhledem k osám geometrickým. Toho bylo v programu dosaženo prostřednictvím zavedení odklonu elementových souřadných systémů (ESYS) skrze lokální souřadné systémy. Odklon lokálních souřadných systémů byl určen natočením pracovní roviny (WP) do požadované orientace. Osy X,Y a Z lokálních souřadných systémů pak v tomto pořadí představovaly směry R, L a T. Mimo odklon anatomických os určený odklonem přířezů, bal zaveden i odklon os v rámci každého přířezu a to dodatečným odklonem WP. 19

Postup je stále stejný, čili v nakloněné WP vytvořit lokální souřadný systém (CSYS) a podle něj zajistit správné natočení ESYS pro síťování modelu v souladu s CSYS. Vlastnosti rezonančního dřeva shrnuje Tippner (2010), inspirován autory jako je např. Green et al. (1999), Bucur (1995). Nízká hustota a vysoký modul pružnosti smrkového dřeva podmínce, kterou uvádí Podobský (1975) vyhovují v případě materiálového modelu mat_2.mac (Příloha 9), kde jsou voleny hodnoty hustot od 420 do 460 kg/m3 a jim odpovídající modul pružnosti v podélném směru vypočítaným podle vztahu (Kloiber 2006): Ey=45,452⋅−6406,1 [MPa]. [ 4.1 ] Každému přířezu byla určena jiná hodnota hustoty a tomu odpovídající vypočtený podélný modul pružnosti. Průměrná hodnota odpovídá 14 000 MPa. Rozpětí je malé, proto je možné pokládat RD s mat_2.mac za homogenní a tedy velmi blízkou reálné desce. Materiálových modelů bylo vytvořeno několik s různými hodnotami hustot a na nich závislými podélnými moduly pružnosti. Mimo na hustotě závislých hodnot modulu pružnosti bylo rovněž použito hodnot náhodně volených v reálných mezích, nebo rovněž hodnoty pro všechny přířezy shodné. Přehled v Tab. 1. Zbylé dva normálové a tři smykové moduly pružnosti jsou v makru dopočítány přes konstanty (poměry mezi jednotlivými moduly) dle Greena et al. (1999); Poissonova čísla jsou pro všechny materiály konstantní (Green et al. 1999). U materiálu mat_3.mac jsou voleny extrémní hodnoty hustot. Důvodem je snaha o popis vlivu vysoké hustoty na velikost vlastních frekvencí a změnu vlastních tvarů kmitání. Pro sledování dalších vlivů jsou vytvořeny materiály lišící se tím, že mají všechny přířezy stejný modul pružnosti a různé hustoty (mat_7, 8 a 9.mac), nebo je použita jedna hodnota hustoty a mění se hodnoty modulů pružnosti (mat_4, 5 a 6.mac). Materiálové konstanty pro žebra jsou stejné jako pro rezonanční desku. Kobylka je buková a hodnoty konstant jsou převzaty (Bucur 1995 cit. Hearmon 1948).

Tab. 1: Přehled použitých hustot a podélných modulů pružnosti u rezonančních přířezů. Název makra Průměrná hustota přířezů [kg/m3] Vyjádření Ey Průměrný Ey přířezů [MPa] Název makra Průměrná hustota přířezů [kg/m3] Vyjádření Ey Průměrný Ey přířezů [MPa] Název makra Průměrná hustota přířezů [kg/m3] Vyjádření Ey Průměrný Ey přířezů [MPa]

mat_1.mac 494 lin.záv. na hust. 16051 mat_4.mac 494 lin.záv. na hust. 14452 mat_7.mac 447 jednotná hodnota 14000

mat_2.mac 447 lin.záv. na hust. 13924 mat_5.mac 494 jednotná hodnota 13000 mat_8.mac 494 jednotná hodnota 14000

mat_3.mac 547 lin.záv. na hust. 18469 mat_6.mac 494 různé hodnoty 13924 mat_9.mac 547 jednotná hodnota 14000

20

4.3

Konečně-prvková diskretizace modelu

Vlastní zadání je na numerickou úlohu převedeno tzv. diskretizací. Řada numerických metod se zabývá řešením jedné či více obyčejných či parciálních diferenciálních rovnic (Kolář 1997). Matematická definice z roku 1968 uvádí, že metoda konečných prvků je zobecněná Ritz-Galerkinova variační metoda, užívající bázových funkcí s malým kompaktním nosičem, úzce spjatým se zvoleným rozdělením řešené oblasti na konečné prvky (Kolář et al. 1997). Zjednodušeně to znamená náhradu (diskretizaci) kontinua s definovanými neznámými funkcemi na konečný počet malých prvků s množinou parametrů, kde se na jednodušší řešení algebraických soustav rovnic převádí analytické řešení parciálních diferenciálních rovnic (Kolář et al. 1997). Pro řešení je nezbytné správné použití typu prvku, kdy např. v případě úlohy z oblasti lineární jsou použity lineární prvky, pro prostorové soustavy se využívají prvky objemové (čtyřstěny, šestistěny) apod. a náhradní funkce jsou pak určeny konečným počtem parametrů v uzlových bodech ležících na oblasti prvku. Pro objem rezonanční desky pianina s žebry a kobylkami byl vybrán trojrozměrný prvek tvaru čtyřstěnu s deseti uzly pod označením SOLID187 v programu ANSYS. SOLID187 (Obr. 12) byl vybrán z důvodu vhodného chování při síťování nepravidelných těles. Každý z definovaných deseti uzlů má implicitně zadané tři stupně volnosti: posunutí ve směru osy X, Y a Z. Prvek má předdefinované vlastnosti při chování plastickém, hyperelastickém, tečení, tuhosti v tlaku, velkého vychýlení a výrazném napětí, stejně tak pro simulace deformací téměř nestlačitelných elastoplastických materiálů či plně nestlačitelných hyperelastických materiálů (Madenci 2006), využit byl pro jednoduchý popis mechanického chování lineárně elastického ortotropního materiálu. Velikost prvku je v makru modelu definovaná výchozí délkou hrany čtyřstěnu, tedy vzdáleností mezi uzly ve vrcholech prvku. Čím menší je tato vzdálenost, tím podrobnější je popis chování, zároveň však přibývá počtu řešených rovnic a roste čas výpočtu. Velikost hrany prvku je parametrizována a na intervalu 25-5 mm je zjišťován vliv velikosti prvku na výsledné hodnoty vlastních frekvencí a vlastní tvary kmitání. Diskretizovaný detail modelu rezonanční desky s délkou hrany konečného prvku 25 mm, 15 mm a 5 mm vedle sebe staví Obr. 13 (Příloha 11).

Obr. 12: SOLID187 - tetraedrický prvek s deseti uzly (Madeci 2006).

21

Obr. 13: Diskretizovaný model RD - detail. Porovnání velikosti hrany konečného prvku (zleva: 25 mm, 15 mm a 5 mm).

4.4

Definování okrajových podmínek

Okrajovými podmínkami při modální analýze je zejména ukotvení modelu (omezení stupňů volnosti posunutí na hranici oblasti). Porovnávání vlastních tvarů kmitání a vlastních frekvencí rezonanční desky v hudebním nástroji je možné při několika možných způsobech ukotvení. V prvním případě je analýze podrobena volná rezonanční deska, tedy v celé soustavě jsou přípustné tři stupně volnosti pro uzly všech prvků. Při experimentech v praxi mohou tomuto případu odpovídat zavěšené desky s minimální opěrnou plochou. U této analýzy je možné pozorovat obecné chování materiálu či místa soustavy s výrazně vysokou tendencí kmitat a podle toho pak upravit vetknutí či posílení konstrukce pro žádaný výsledný efekt. Dále je pozorován vliv ukotvení na hranách desky tak, že jsou vybrány linie jejího obrysu, pro které je definováno nulové posunutí ve všech směrech. Uchycení pouze hran rezonanční desky pianina neodpovídá reálnému způsobu uchycení v nástroji, proto je v dalším zkoušení definováno nulové posunutí pro všechny plochy prvků, které leží v ploše hrany rezonanční desky, tedy plochy po celém obvodu, z důvodu porovnání vlivu ukotvení modelu na výsledné hodnoty modální analýzy. Zkoušeny jsou i varianty ukotvení jen některých hran. Vše je zadáno APDL příkazy ve skriptu viz Příloha 12.

22

4.5

Výpočet

Předešlé kroky byly prováděny v části preprocessingu. Nyní práce vstupuje do fáze solution. Jejím cílem je definování výpočtu modální analýzy. Rozhodujícími údaji je metoda řešení resp. metoda extrakce vlastních čísel (Kohnke 1998), počet požadovaných výstupních vlastních frekvencí a krajní (minimální a maximální) hodnoty frekvenčního pásma, ve kterém jsou vlastní frekvence hledány. Pro zjištění vlastních tvarů kmitání a vlastních frekvencí je volena metoda Block Lanczos určená právě pro tyto typy výpočtů (Madenci 2006). Počet výstupních hodnot (počet módů) je pro všechny případy geometrií minimálně deset. Důležité jsou hodnoty prvních vlastních frekvencí a tvary následujících minimálně pěti vlastních tvarů (Příloha 13). Citlivostní analýza - zjišťování vlivu různých parametrů na velikost vlastních frekvencí je zajištěno pravděpodobnostní analýzou (Probabilistic Design), jež náhodně dosazuje za parametry hodnoty s předdefinovanou odchylkou. Těmito parametry je hustota přířezů, odklon vláken a moduly pružnosti, obojí ve všech třech rovinách. Schopnost desky kmitat je porovnávána sledování participačního faktoru kmitající hmoty desky ve směru osy Z (tady podíl hmoty desky vykmitávající ve směru kolmém k rovině desky). Tato metoda je vhodná pro základní zhodnocení významnosti jednotlivých tvarů kmitání získaných modální analýzou.

4.6

Export a zobrazování výsledků

Získávání výstupních dat je součástí postprocessingu. Pro model rezonanční desky pianina jsou uváděny tvary vlastního kmitání posunutí uzlů ve směru kolmém na plochu desky, což odpovídá posunutí uzlu ve směru osy Z. Vypočítané hodnoty posunutí jsou zobrazeny jako vrstevnicové grafy. Hodnoty posunutí jsou vzájemně odlišené škálou barev. Platí, že pro stejné vychýlení je stejná barva. Měřítko vykreslení deformací je možné nastavit, barevná škála se přizpůsobuje krajním hodnotám posunutí. Vlastní frekvence je možné získat jako seznam s příslušnými hodnotami v textovém souboru. Postprocessing výpočtu dále zahrnuje export grafů v podobě obrázků (např. do formátu JPEG). V dialogovém okně programu pro uložení výstupu lze nastavit rozlišení obrázku, barvu pozadí apod. Jako vše, i tuto operaci lze ve skriptu parametrizovat, vložit do podmínky či cyklu (Příloha 14). Výstupem citlivostní analýzy je graf závislosti vlastních frekvencí na vstupních parametrech.

23

5 VÝSLEDKY A DISKUZE 5.1

Výsledky modální analýzy samostatné RD

5.1.1

Vliv velikosti prvku konečně-prvkového modelu RD

První vlastní frekvence [Hz]

Hustota sítě resp. velikost prvku konečně-prvkového modelu je faktorem, jež může ovlivnit velikost frekvence a vliv tohoto faktoru musí být zhodnocen. Pro srovnání byla vybrána samostatná RD s tloušťkou 5,5-7,0 mm a s materiálovým modelem mat_1.mac, podle kterého hmotnost desky odpovídá hodnotě 3,1335 kg. Uložení přířezů je diagonální (30°), nulové posunutí je definováno v hranách desky. Velikost prvku ovlivní výsledné frekvence úměrně s rostoucí velikostí hrany (viz. Obr. 14). Minimální délka hrany prvku 5 mm je volena podle minimální tloušťky desky. Čím je prvek menší, tím jsou v důsledku mírného poklesu tuhosti frekvence nižší. První vlastní frekvence RD s velikostí hrany prvku 5 mm je rovna hodnotě 119 Hz, s velikostí 25 mm je tato hodnota 124 Hz. Změna velikosti hrany o 80 % vyvolá změnu velikosti frekvencí o 4 %. S rostoucím pořadím frekvence toto procento klesá: pro 25. mód je hodnota vlastní frekvence RD s prvkem o velikosti 5 mm rovna 994 Hz, s velikostí prvku 25 mm je rovna hodnotě 1 010 Hz, což je 1,5% rozdíl. S klesajícím rozměrem hrany prvku se velmi výrazně zvyšuje čas výpočtu, neboť roste počet uzlů sítě konečně-prvkového modelu (viz. Tab. 2). Na vlastní tvary kmitání v tomto rozmezí hodnot nemá velikost prvku pozorovatelný vliv. Pro přesnost výpočtu je tedy vhodné volit minimální možnou velikost hrany prvku. V případě rychlého hrubého posouzení je i relativně velký prvek pro zjištění modálních vlastností dostatečný. 125 123 121 119 117 0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

Velikost prvku [m]

Obr. 14: Vliv velikosti prvku na první vlastní frekvenci RD.

Tab. 2: Počet prvků v modelu RD při měnících se rozměrech hrany konečného prvku. Velikost hrany prvku [m] Počet prvků v modelu RD

0,025 11540

0,020 18201

0,015 32318

0,010 71974

0,005 283796

24

5.1.2

Vliv ukotvení RD

Při modální analýze volné (neukotvené) RD, se vlastní frekvence výrazně liší od případu, kdy je deska ukotvena po celém obvodu (Obr. 15). Vývoj vlastních frekvencí volné RD má mírnější trend oproti RD ukotvené. Stejně výrazně se liší vlastní tvary kmitání, stále je však respektován směr uložení přířezů (Obr. 16).

Obr. 15: Vlastní frekvence volné a ukotvené RD.

22 Hz

46 Hz

54 Hz

131 Hz

158 Hz

204 Hz

Obr. 16: Vlastní tvary kmitání a vlastní frekvence RD bez žeber a kobylek se sklonem přířezů 30°. Horní řádek zobrazuje RD bez ukotvení, spodní RD ukotvenou po obvodu.

25

Vlastní frekvence byly porovnány ve vztahu k ukotvení hran (nulové posunutí v uzlech linií) a bočních ploch (nulové posunutí všech uzlů ležících ve čtyřech bočních rovinách desky zahrnující i uzly linií resp. hran). Projevil se mírný vliv změny ukotvení na výsledné hodnoty (viz. Tab. 3), z čehož vyplývá, že s rostoucí plochou ukotvení, tedy rostoucí tuhostí soustavy, rostou hodnoty vlastních frekvencí. Na vlastní tvary kmitání rozdíl těchto dvou typů ukotvení však vliv nemá. Tab. 3: Vliv ukotvení na prvních deset vlastních frekvencí [Hz]. poř. vl.frek. [ Hz ] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Vetknuté hrany 123,7 151,6 198,2 257,2 320,7 332,5 369,6 394,3 443,1 464,5

Vetknuté plochy 131,0 158,2 204,2 263,6 332,1 347,1 385,4 406,5 454,6 477,3

Pro následující výpočty byl vybrán prvek o velikosti hrany 0,025 m a ukotvení bočních ploch. Provedeno je srovnání frekvencí při změně sklonu přířezů od 0° (vertikální uložení přířezů) do 90° (horizontální). Odpovídající změnu prvních pěti vlastních frekvencí ukazuje Obr. 17. V rozmezí 0-20° kmitá RD v prvních třech vlastních frekvencích na výrazně menším intervalu než v rozmezí 50-80°. Na intervalu sklonu 20-50° se hodnota 1., 4. a 5. vlastní frekvence RD výrazně snižuje; třetí se naopak zvyšuje. Druhá vlastní frekvence se snižuje jen mírně. Sklon přířezů má výrazný vliv na tvary vlastního kmitání RD. Obr. 18 ukazuje 1., 3., 5., 7. a 9. vlastní tvar kmitání rezonančních desek a k nim odpovídající hodnoty frekvencí při třech způsobech uložení rezonančních přířezů. Barevná škála vyjadřuje posunutí uzlů modelu ve směru osy Z, tedy vychýlení desky ve směru kolmém k její ploše. Stupně modré barvy značí posunutí do záporných hodnot na ose Z, kde tmavě modrá je minimum, tedy maximální vychýlení desky. Od zelené přes žlutou až po červenou je to posunutí do kladných hodnot osy Z, kde právě červená značí maximální vychýlení desky. Absolutní hodnoty posunutí vlastních tvarů kmitání zjištěné modální analýzou nejsou reálnými amplitudami. Jsou použitelné pouze pro relativní porovnání tvarů mezi sebou. Obrysy barevných ploch určují vlastní tvary kmitání a jednoznačně kopírují podélný směr uložení přířezů. Velikost první vlastní frekvence RD roste při zmenšující se délce rezonančních přířezů, což je způsobeno rostoucí tuhostí desky. 350,00

Frekvence [Hz]

300,00 250,00 1.f r 2.f r 3.f r 4.f r 5.f r

200,00 150,00 100,00 50,00 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Sklon přířezů [°]

Obr. 17: Vliv sklonu přířezů na první tři vlastní frekvence RD.

26

0° (vertikální)

30° (diagonální)

90° (horizontální)

1. fr

154 HZ

131 Hz

88 Hz

3. fr

199 Hz

204 Hz

208 Hz

5. fr

308 Hz

332 Hz

255 Hz

7. fr

408 Hz

385 Hz

340 Hz

9. fr

464 Hz

455 Hz

419 Hz

Obr. 18: Vlastní tvary kmitání RD bez žeber a kobylek pro 1., 3., 5., 7. a 9. vlastní frekvenci s uložením přířezů (zleva) vertikálním, diagonálním a horizontálním.

27

5.1.3

Vliv tloušťky RD

Tloušťka desky patří k dalším parametrům, u nichž byl posouzen vliv na vlastní frekvence a vlastní tvary kmitání. Původní tvar rezonanční desky má klínovitý průřez, tedy RD se směrem vzhůru rozšiřuje. Obvyklé rozměry tloušťky desky jsou ve spodní části 6,5 mm a v horní 9,5 mm, např. Podobský (1975) uvádí doporučené tloušťky RD vespod 5,5 mm a nahoře 7,0 mm. Diagonální směr přířezů má odklon od vertikální hrany rezonanční desky 40° (odpovídá odklonu používaných u pianin Petrof v té době). Data výsledků jsou zpracována v Tab. 4 a v grafu na Obr. 19. Ukazuje se, že při první vlastní frekvenci je rozdíl v hodnotách malý a ve vyšších vlastních frekvencích se s rostoucím pořadím módu rozdíl stále zvětšuje. RD s tloušťkou 6,5-9,5 mm má výraznější rozdíly mezi po sobě jdoucími hodnotami vlastních frekvencí. Z počátku je rozdíl v hodnotách přibližně 11%, u desátého módu je tento rozdíl již 19%. Znamená to, že RD s tloušťkou 5,5-7,0 mm bude kmitat více ve středních frekvencích, protože tam díky menšímu trendu vývoje bude mít vyšší zastoupení vlastních frekvencí. Tippner (2010) uvádí hodnotu vlastní frekvence 110 Hz pro tón A1 a 123,5 Hz pro tón H1. Mezi zkoušenými deskami je tedy rozdíl celého tónu v hodnotě první vlastní frekvence. Tab. 4: Vlastní frekvence při změně tloušťky RD se sklonem 40°. č. frekv. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Frekvence [Hz] RD 5,5-7 RD 6,5-9,5 110,1 122,5 148,2 177,2 207,6 255,1 267,8 316,3 291,5 349,9 320,5 384,3 367,1 451,2 395,0 485,7 456,2 563,2 484,3 595,4

Obr. 19: Porovnání velikosti vlastních frekvencí při změně tloušťku RD.

28

5.1.4

Vliv konstant materiálových modelů rezonančních přířezů

Vliv konstant materiálových modelů podle Tab. 1 na velikost vlastních frekvencí byl porovnáván u RD se sklonem přířezů 30° a tloušťkou 5,5-7,0 mm bez žeber a kobylek. Materiálové modely s označením mat_1, mat_2 a mat_3 mají stejnou lineární závislost mezi hustotou a podélným modulem pružnosti (vzorec 4.1), a tak i trend vlastních frekvencí RD s těmito třemi materiály je stejný, ale liší se ve velikosti, která je závislá na hustotě, tedy s rostoucí hustotou (a na ní závislém modulu pružnosti) roste velikost vlastních frekvencí. To znamená, že vliv tuhosti převládá nad vlivem hmoty. Proto s požadavky na kmitání při vyšších frekvencích je možné volit materiál s vyššími hodnotami hustoty. U dalších materiálů jsou závislosti různé, tak i hodnoty vlastních frekvencí desek se různě liší, trend vývoje je však podobný, jak zobrazuje Obr. 20. Mat_4, mat_5 a mat_6 jsou materiálové modely se stejnou průměrnou hodnotou hustoty rezonančních přířezů, mění se závislost modulu pružnosti na hustotě. Průměrné hodnoty těchto modulů se výrazně neliší, proto se ani výrazně neliší výsledné hodnoty vlastních frekvencí. Z výsledků pro mat_4 a mat_5 je zřejmý růst vlastních frekvencí s rostoucí hodnotou modulu pružnosti. Nárůst průměrné hodnoty modulu pružnosti o 11 % způsobí 4,5% nárůst hodnot vlastních frekvencí. Mat_6 má však hodnoty modulu pružnosti náhodné s průměrnou hodnotou mezi materiály mat_4 a mat_5, a přitom hodnoty vlastních frekvencí jsou nejvyšší z těchto tří možností. Je to dáno tím, že modul pružnosti u mat_4 je lineárně závislý na hustotě, proto u jednotlivých přířezů s extrémními hodnotami hustoty jsou i extrémní hodnoty modulu pružnosti, zatímco u mat_6 se tyto hodnoty pohybují s malou odchylkou od průměrné hodnoty. Další materiály mat_7, mat_8 a mat_9 mají totožné hodnoty modulu pružnosti a rozdílné průměrné hustoty. Zde vyplývá nepřímá závislost, tedy při 19% zvýšení hodnoty hustoty klesne hodnota vlastních frekvencí o 10 %, což je dáno rostoucí tuhostí soustavy RD. Výsledky všeobecně objasňují trendy vlivu konstant na vlastní frekvence RD a mohou napomoci při odhadu dopadu změn materiálu (použití dřeva s horší kvalitou apod.) na dynamické vlastnosti RD. Pro další testování je vybrán materiálový model s hustotou odpovídající reálným hodnotám hustoty rezonančních přířezů a na ní lineárně závislém modulu pružnosti podle vzorce 4.1, tedy materiálový model nejvíce odpovídající skutečnosti, s označením mat_2.

Tab. 5: Velikost prvních deseti vlastních frekvencí [Hz] při změně materiálového modelu podle Tab. 1. poř. vl. frekv. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

mat_1 131,0 158,2 204,2 263,6 332,1 347,1 385,4 406,5 454,6 546,6

mat_2 128,4 154,8 198,7 256,6 325,5 341,1 378,2 398,2 445,2 534,3

mat_3 133,7 161,1 206,9 267,2 339,0 355,1 393,6 414,5 463,5 556,4

mat_4 117,2 143,8 188,0 244,0 303,3 315,6 350,7 374,2 420,0 507,0

mat_5 111,8 136,7 178,5 231,1 291,3 297,9 333,7 353,6 399,3 475,4

mat_6 121,2 148,3 192,8 250,3 315,2 325,7 362,8 386,3 433,9 521,7

mat_7 128,7 154,8 198,7 257,4 326,9 342,1 377,9 398,2 444,7 468,9

mat_8 123,0 148,1 191,0 246,1 309,9 326,7 360,9 377,9 426,5 446,0

mat_9 116,4 140,0 179,7 232,7 295,5 309,3 341,8 360,2 402,3 423,8

29

Obr. 20: Různé materiálové modely s vlivem na trend vlastních frekvencí.

30

5.2

Výsledky modální analýzy RD s žebry a kobylkami

5.2.1

Vliv diskantové a basové kobylky

Vlastní frekvence samostatné RD při uložení přířezů se sklonem 40° od vertikálního uložení se pohybují od 100 Hz výše. Pomocí kobylky diskantové a basové se vibrace strun přenáší na RD, její vliv na přenos zvuku by měl být co nejmenší. Změnu vlastních frekvencí a tvarů lze očekávat, vzhledem k orientaci kobylek a jejich současnému vlivu na změnu tuhosti a hmoty soustavy, však nikoli změnu výraznou. Graf zobrazující velikosti vlastních frekvencí na Obr. 21 to potvrzuje. Vlastní tvary kmitání též nejsou výrazněji ovlivněny (Obr. 22). Na kobylky je vyvíjen tlak, tzv. přetlak, kterým na desku působí napjaté struny (Syrový 2003), proto je provedena statická analýza simulující zatížení celkovou silou 1000 N působící kolmo k desce na horní plochu diskantové a basové kobylky. Tento zjednodušený model napomůže popsat deformace a napětí v rezonanční desce způsobený přetlakem strun, více v kapitole 5.2.5.

Obr. 21: Vliv uložení kobylek na vlastní frekvence RD.

Pořadí frekvence:

1

5

10

145 Hz

380 Hz

614 Hz

148 Hz

393 Hz

638 Hz

RD holá

Velikost frekvence:

RD s kobylkami

Velikost frekvence:

Obr. 22: Vliv kobylky na vlastní tvary kmitání.

31

5.2.2

Vliv žeber

Vlastní tvary kmitání samostatné RD i RD s kobylkami respektují směr uložení přířezů. Po přidání žeber k RD se vlastní tvary kmitání změní - nesledují již směr uložení přířezů ani směr žeber, ale soustavu jako celek. Obr. 24 zobrazuje 1., 5. a 10. vlastní tvary, které jsou vybrány z důvodu zřetelného příkladu změny dynamického chování RD. Vlastní frekvence RD s kobylkami i žebry oproti RD jen s kobylkami jsou vyšší a rovněž navýšení frekvencí roste s rostoucím pořadím módu (Obr. 23).

Obr. 23: Vliv žeber na vlastní frekvence RD (i s kobylkami) ve srovnání s RD pouze s kobylkami.

Pořadí frekvence:

1

5

10

148 Hz

393 Hz

638 Hz

155 Hz

484 Hz

848 Hz

RD s kobylkami

Velikost frekvence:

RD s kobylkami i žebry

Velikost frekvence:

Obr. 24: Vliv žeber na vlastní tvary kmitání.

32

5.2.3

Pravděpodobnostní analýza vlivu materiálových vlastností

Širší hodnocení vlivu materiálových parametrů umožňuje citlivostní analýza pomocí pravděpodobnostní analýzy (v rámci ANSYS tzv. Probabilistic Design System, PDS). PDS dovoluje použití pseudonáhodného generování čísel pro parametry metodou Monte Carlo. Pro materiálové konstanty je použito Gaussovo rozložení hodnot, pro které je vstupním parametrem aritmetický průměr a směrodatná odchylka. Do této analýzy byly zahrnuty parametry pro odklon vláken materiálu od geometrických os rezonančního přířezu. Dále hustota a normálové moduly pružnosti (Příloha 5). Citlivostní analýza zobrazuje na grafu (Obr. 26) významné parametry, které přímo nebo nepřímo úměrně ovlivňují hodnoty první vlastní frekvence RD při tloušťce desky 6,5-9,5 mm, sklonu přířezů 40° a parametry žeber a kobylek. Obr. 25 zobrazuje (nahoře) histogramy generovaných hodnot hustoty (vlevo) a modulu pružnosti (vpravo) při citlivostní analýze. Spodní grafy vyjadřují hustoty pravděpodobnosti volby hodnoty parametrů. Největší vliv na vlastní frekvence má hustota rezonančních přířezů (nepřímá závislost, Obr. 27), platí, že s rostoucí hustotou klesá hodnota první vlastní frekvence RD. Významný podíl má hodnota modulu pružnosti ve směru podélném (přímá závislost, Obr. 28), kdy s rostoucí hodnotou modulu pružnosti roste i hodnota vlastní frekvence. Tyto výsledky se shodují se studií, kterou provedl Tippner (2010). Odklon anatomických os od tangenciálního směru a podélný modul pružnosti ve směru radiálním. Nevýznamný je modul pružnosti ve směru tangenciálním a odklon vláken od podélné a radiální geometrické osy přířezu.

Obr. 25: Nahoře: levý histogram zobrazuje generování hodnot hustoty [kg/m^3] a pravý generování hodnot podélného modulu pružnosti [Pa]. Spodní grafy zobrazují hustoty 33 pravděpodobnosti volby hodnot pro parametry vlevo hustoty a vpravo modulu pružnosti.

Obr.

26: Graf citlivosti první vlastní frekvence k volbě vlastností materiálu. HUST_1 – objemová hmotnost, EX_1,EY_1,EZ_1 – normálové moduly pružnosti (X,Y,Z odp. R,L,T), ODKL_X1,ODKL_Y1,ODKL_Z1 – odklon anatomických os (X,Y,Z odp. R,L,T).

Obr. 27: Nepřímá závislost velikosti první vlastní frekvence na hustotě rezonančních přířezů.

Obr. 28: Přímá závislost velikosti první vlastní frekvence na podélném modulu pružnosti materiálu RD.

34

5.2.4

Vliv uvolnění výřezem

Varianty změn geometrie byly ozřejmeny v kapitole 4.1 na straně 19, v níž je uvedeno označení RD_1, RD_2 a RD_3. Pro analýzu schopnosti RD kmitat byl porovnány participační faktory. Dle Obr. 29 vykazuje RD_1 lepší schopnost kmitání při čtvrté a osmé vlastní frekvenci. Nejlépe kmitá RD_2, což je dáno uvolněním ukotvení v oblasti spodního výřezu, které je u RD_3 vyztuženo horizontálním žebrem. Lze ale říci, že RD_3 zaznamenává nejmenší odchylky, výjimkou je šestá vlastní frekvence. Zajímavý poměr participačního faktoru u všech desek je v lichých frekvencích. Zde jsou hodnoty pro všechny tři typy RD (vyjma třetího módu) značně blízké. Trend vývoje vlastních frekvencí je na Obr. 30. Vyplývá z něj, že s rostoucí tuhostí ukotvení desky rostou hodnoty vlastních frekvencí (Tab. 6). Vliv žebra ztužujícího uvolnění RD na vlastní frekvence je nevýrazný; vykmitání hmoty se sníží, protože soustava je vyztužená. Hodnoty první, druhé a čtvrté vlastní frekvence pro všechny typy desek jsou srovnatelné, ale u druhé a páté je výrazný rozdíl mezi RD_1 a zbylými dvěma deskami. Vlastní tvary kmitání se však výrazně liší (Obr. 31).

Obr. 29: Srovnání participačních faktorů desky RD_1, RD_2 a RD_3.

Obr. 30: Trend vývoje vlastních frekvencí u tří typů vylehčení/vyztužení RD. Tab. 6: Hodnoty prvních deseti vlastních frekvencí pro RD_1, RD_2 a RD_3. RD_1 155,3 259,2 370,5 413,1 483,9 606,6 659,0 688,2 806,3 848,7

Frekvence [Hz] RD_2 109,9 224,4 237,0 382,0 407,0 472,7 554,8 620,7 669,0 764,8

RD_3 117,7 221,3 244,6 389,1 411,2 452,9 566,2 632,1 671,9 748,0

35

RD_1

RD_2

RD_3

1. fr

155 Hz

110 Hz

118 Hz

2. fr

259 Hz

224 Hz

221 Hz

3. fr

371 Hz

237 Hz

245 Hz

4. fr

413 Hz

382 Hz

389 Hz

Obr. 31: První čtyři vlastní tvary kmitání desek (zleva) RD_1, RD_2 a RD_3 s hodnotami vlastních frekvencí.

36

5.2.5

Statická analýza tří typů geometrie RD

Vlastní tvary kmitání RD se mění s její geometrií. Výstupy modální analýzy vyjadřují oblasti s relativní maximální výchylkou při kmitání a vlastní frekvence kmitání. Z hlediska použití RD je rovněž důležitá její mechanická odolnost. RD je vystavena řadě mechanických vlivů z nichž nejvýrazněji na odolnost desky působí přetlak strun (Syrový 2003, Mamou-Mani 2008, Tippner 2010). Tento jev je zjednodušeně popsán statickou analýzou. Při statické analýze jsou zatíženy plochy kobylek silou 500 N na každou z nich (dohromady 1000 N na RD), čímž je modelován tlak strun na RD. Srovnány jsou geometrie desek RD_1, RD_2 a RD_3. Tab. 7 uvádí příklad výstupů této analýzy. Maximální výchylka u RD_1 je zanedbatelná (0,67 mm); maximální napětí v radiálním směru dřeva přířezů je 8,5 MPa. Tato hodnota je extrémní, v reálném modelu pravděpodobně nevznikne, protože konstrukce bude vyztužena na větší ploše a napětí se rozloží. Model ve většině materiálu zobrazuje napětí s průměrnou hodnotou 0,5 MPa, což je vzhledem ke konvenční pevnosti dřeva přípustné. Oblast nejvyššího napětí RD_1 je v místě, kde je u RD_2 a RD_3 umístěn spodní výřez (uvolnění). Tedy toto místo pro uvolnění nemusí být z hlediska mechanického namáhání právě nejvhodnější. Deska RD_2 s uvolněním bez ztužujícího žebra má nejvyšší průhyb desky 2,1 mm a s tím roste i napětí v přířezech na 2,5 MPa. Zatímco RD_3 má vyztužení nad výřezem, proto klesá maximální průhyb (1,3 mm), ale průměrné napětí roste (2,7 MPa). Této problematice je potřeba se nadále více věnovat, zahrnout předpětí v materiálu a eliminovat místa s maximálním napětím pro přesnost výstupních dat. Tab. 7: Výsledky statické analýzy pro geometrie: RD_1, RD_2 a RD_3. Typ geometrie

RD_1

RD_2

RD_3

0,67 mm

2,1 mm

1,3 mm

0,5 MPa

2,5 MPa

2,7 MPa

Rozložení uzlových posunutí ve směru osy Z

Max. průhyb

Rozložení napětí v příčném směru dřeva přířezů

Převládající napětí

37

5.2.6

Vliv počtu a uložení žeber

Rezonanční deska pianina je běžně osazena jedenácti žebry. Ta jsou zejména z důvodu vyztužení RD v pravidelných vzdálenostech od sebe umístěna příčně na směr uložení přířezů. Popis toho, jak změna počtu a uložení žeber ovlivňuje vlastní frekvence a vlastní tvary kmitání je náplní této kapitoly. Voleny byly čtyři typy změny uložení. Jako 1. typ je označována RD_1, 2. typ je RD s odebranými sudými žebry; pro 3. typ žebrování jsou ponechána dvě horní a dvě dolní krajní žebra a dvě žebra ve středu desky. Typy žebrování označované jako 4. a 5. snižují počet žeber na sedm a ta jsou umístěna podle kmitající plochy RD. Modely vedle sebe staví Obr. 11 v kap. 4.1; hmotnosti konstrukcí v Tab. 8. Z výsledků je patrné, že všechny typy mají vlastní frekvence i vlastní tvary kmitání velmi podobné (Tab. 9). Výjimkou je třetí mód kmitání a obzvláště v případě třetího typu uložení žeber. Porovnání participačního faktoru RD s různými typy uložení žeber znázorňuje graf na Obr. 32. Zde se ukazuje, že podíl kmitající hmoty u RD s původním žebrováním je vyšší v první, čtvrté a osmé vlastní frekvenci. Důvodem je umístění žeber, která jsou při daném vlastním tvaru kmitání zapojena a jejich kmitající hmota je tak zahrnuta do výpočtu participačního faktoru. Nejvíce se hodnotami kmitání odlišuje 3. typ uložení žeber. Pro další testování by bylo vhodné zachovat počet žeber a změnit jejich uložení tak, aby byly podepřeny určité vlastní tvary, tedy v místě jejich vrcholů neumisťovat žebra a spíše je vložit do uzlových čar. Stejně tak tloušťka či výška žeber, protože tyto přispívají k tuhosti soustavy a to má též vliv na velikost vlastních frekvencí či kmitající hmotu.

Obr. 32: Participační faktor pěti typů uložení žeber na RD.

Tab. 8: Hodnoty hmotností RD s různým typem žebrování. Typ žebrování Hmotnost [kg]

1.typ

2.typ

3.typ

4.typ

5.typ

5,384

4,52

4,557

4,698

4,744

38

Tab. 9: Typy změny žebrování a jejich vliv na modální vlastnosti RD. 1. vlastní tvar

2. vlastní tvar

3. vlastní tvar

155 Hz

259 Hz

371 Hz

158 Hz

259 Hz

382 Hz

159 Hz

258 Hz

375 Hz

159 Hz

258 Hz

379 Hz

154 Hz

260 Hz

378 Hz

1. typ (původní)

2. typ

3. typ

4. typ

5. typ

39

6 ZÁVĚR Pro rezonanční desku pianina s diskantovou i basovou kobylkou a žebry byl vytvořen konečně-prvkový model v prostředí programu ANSYS. Parametrizovaný model respektuje složitou geometrii desky, žeber a kobylek, zahrnuje lineárně elastický materiálový model definovaný odděleně pro každou součást (včetně možnosti zavedení odklonu vláken), kdy inženýrské konstanty jsou závislé mezi sebou a na hustotě. Tento model byl použit pro modální analýzu a statickou analýzu zjednodušeného působení přetlaku strun. Citlivostní analýza hodnotící vliv modulů pružnosti, hustoty a odklonů vláken ve dřevě na velikost vlastních frekvencí prokázala nejvýznamnější vliv hustoty a podélného modulu pružnosti a méně významný vliv modulu pružnosti ve směru radiálním. Odklon tangenciálního směru od roviny RD je významný pouze v mezích, které přesahují běžně používané odklony vláken v přířezech, ostatní sledované parametry jsou nevýznamné. Sledován byl vliv orientace přířezů vůči boční hraně RD, dále byly porovnány dvě tloušťky RD. Porovnány byly modální vlastnosti samostatné RD, RD s kobylkami a posléze s žebry. Sledován byl rovněž vliv různého způsobu ukotvení RD sledující zlepšení jejího vyzařování jejím uvolněním. Vlastní tvary samostatné RD respektují orientaci přířezů. Kobylky mají na velikost vlastních frekvencí RD malý vliv, vlastní tvary kmitání neovlivňují. Zvýšení tuhosti soustavy žebrováním vede k výrazné změně vlastních tvarů kmitání a vlastních frekvencí desky z 145 Hz na 155 Hz. Změny vlastního žebrování ovlivňují modální vlastnosti nevýznamně. Např. snížením počtu žeber z jedenácti na šest při zachování rozměrů žeber dochází ke změně vlastních frekvencí o cca 2 %. Vliv změny ukotvení (uvolnění spodním výřezem) způsobilo výraznou změnu vlastních frekvencí a tvarů kmitání, změnu průhybu RD z 0,67 mm na 2,1 mm a napětí v materiálu způsobené přetlakem strun o 80 %. V porovnání s experimentálními metodami zjišťování modálních vlastností se tato práce rámcově shoduje s jejich výsledky.

6.1

Využitelnost v praxi

Cílem výrobce pianin je v celém frekvenčním rozsahu nástroje zvýšit amplitudy při kmitání RD, aby bylo dosaženo plnosti tónu, avšak při zachování jeho kvality. Stejně tak je potřebné v oblastech nízkých frekvencí od 20 do 100 Hz a v oblasti vysokých frekvencí od 3 do 4,5 kHz zlepšit rezonanční schopnosti desky. Toho lze dosáhnout úpravou geometrie, skladbou a vlastnostmi použitého materiálu či uvolněním. Z tohoto pak plynou požadavky na práci. Numerická simulace modální analýzy parametrického modelu rezonanční desky pianina se jeví jako vhodná metoda zkoumání obecného vlivu změn geometrie, materiálových vlastností či okrajových podmínek na vlastní tvary kmitání a vlastní frekvence. Další výhodou numerické simulace je provedení experimentu bez nákladů na drahý rezonanční materiál. Parametrický model je jedním z nástrojů při vývoji kvality produkce. Lze jím měnit mnoho zavedených proměnných, ke kterým patří i použitý materiál. Zkoumané byly modely RD z přířezů masivního rezonančního dřeva smrku. Praxe ale umožňuje použití např. překližované desky bez obvodového ztenčení na průřezu, což by mohlo zjednodušit výrobu RD a snížit náklady. Je možné zkoumat vliv zjednodušení složité geometrie žeber či různé typy jejich uložení. Dále lze geometrii modelu ještě upravit, aby bylo obsaženo klenutí desky, materiálový model pro případnou vlhkostní analýzu či nové způsoby uvolnění po obvodu, což je předmětem dalšího bádání. 40

7 SUMMARY It was generated model of upright piano soundboard with bridges and ribs in software ANSYS using FEM. Parametric model respects complicated geometry of soundboard, ribs and bridges, covers linear elastic material model defined for each segment separately (anatomical axis deviation too), engineering constants are depedend on wood density or on static longitual modul of elasticity. This model was used for modal analysis and simple static analysis for stress caused of strings tension. Probabilistic design system rewiews influence different parametres on first eigenvalue has shown signifikant influence of wood density and longitual static modul of elasticity, less was influence of radial modul of elasticity. Observation was made on change of deviation resonance cuts and two thicknesses upright piano soundboard. Modal characteristics was compared with changed geometriy – original bottom cut out. Changes of way of anchor was observates too for rewiev of ability to oscillation. Results has schown that eigenmodes respected direct of cut lay. Marked difference is between free soundboard and peripheral anchorage soundboard. Bridges without strings tension have no influence on eigenmodes. Ribs increases stiffness of upright piano soundboard system, so it is a reason to extreme changes in modal behaviour. Value of first eigenfrequency soundboard with ribs increases from 145 Hz to 155 Hz. Changes of lay of ribs and number of ribs have no extreme influence on eigenmodes but eigenfrequencies change a little bit. E. g. was used seven ribs instead eleven and it was only 2% influence on eigenfrequecy value. Bottom cut out has marked influence on eigenmodes. Static analysis has shown that strain amplitude for RD_1 is 0,67 mm and for RD_2 is three times higher (2,1 mm) and stress strain in material is increased from 0,5 MPa to 2,5 MPa. In the end it is possible to say, that this work is according to experimental research modal properties of upright piano soundboard.

41

8 LITERATURA ASKENFELT, A., JANSSON, E. V., 1990. From touch to string vibrations, in Five Lectures on the Acoustics of the Piano. Edited by A. Askenfelt (Royal Swedish Academy of Music, Stockholm), vol. 64, s. 39–57. BERTHAUT, J., ICHCHOU, M. N., JÉZÉQUEL, L., 2003. Piano soundboard: Structural behavior, numerical and experimental study in the modal range. Applied Acoustics, vol. 64(11), s. 1113-1136. BODIG, J., JAYNE, B. A., 1993. Mechanics of wood and wood composites. Malbar, Florida, Kreiger publishing company, 712 s. BUCUR, V., 1995. Acoustics of Wood. Boca Raton: CRC Press, 284 s., ISBN 0-8493-4801-3. CANIATO, M., FAVRETTO, S., LUCCHINI, E., 2007. A new approach for the characterization of the resonance wood. 19th International Congress on Acoustics, Madrid, 6 s. CARTER, P., ACHIM, A., 2009. Assessing the potential of acoustic tools to predict sawn batten stiffness in Sitka Spruce. The Research agency of the Forestry commission. CHAIGNE, A., ASKENFELT, A., 1994. Numerical simulation of piano strings I., A physical model for a struck string using finite difference methods, Journal of the Acoustical Society of America, vol. 95, 1112 s. FLETCHER, N. H., ROSSING, T. D., 1998. The physics of musical instrument. 2nd edition, Springer Science and Business Media, Inc., 756 s. ISBN 0-387-98374-0 GIORDANO, N., 1997. Simple model of a piano soundboard. Journal of the Acoustical Society of America, vol. 102, 1159 s. GREEN, D. W., WINANDY, J. E., KRETCHMANN, D. E., 1999. Mechanical properties of wood. Wood handbook: Wood as engineering material. Madison, Wisconsin, USA, Forest product laboratory, s. 4-1 to 4-45. HOLZ, D. (1981) Zum alterungsverhalten des werkstoffes holz - einige ansichten, untersuchungen, ergebnisse. Holztechnologie, vol. 22(2), s. 80-85. HORI, R., et al., 2002. The importance of seasonal differences in the cellulose microfibril angle in softwoods in determining acoustic properties. Journal of materials science, vol. 37, s. 4279 – 4284. KINDEL, J., WANG, I., 1987. Vibrations of a piano soundboard: Modal analysis and finite element analysis. Journal of the Acoustical Society of America. Vol. 81, s. S61-S61.

42

KLOIBER, M., KOTLÍKOVÁ, M., 2006. Porovnání statického a dynamického modulu pružnosti poškozeného dřeva. Applied mechanics 2006, 8 th International scientific conference. 15 s. KOLÁŘ, V., NĚMEC, I., KANICKÝ, V., 1997. FEM: Principy a praxe metody konečných prvků. Praha Computer Press, 398 s., ISBN 80-7226-021-9. KOHNKE, P., 1998. ANSYS – Theory reference. Canonsburg, PA, USA, ANSYS, Inc. 965 s. KUBOJIMA, Y., TONOSAKI, M., YOISHIHARA, H., 2006. Young´s modulus obtained by flexural vibration test of wooden beam with inhomogenity of density. The Japan Wood Research Society, s. 20-24. LEHTONEN, H.-M., 2005. Analysis and Parametric Synthesis of the Piano Sound. Master´s Thesis, Helsinky University of Technology. Helsinky, 63 s. MADENCI, E., GUVEN, I., 2006. The finite element method and applications in engineering using ANSYS. New York: Springer, 686 s., ISBN 0-387-28289-0. MAMOU-MANI, A., FRELAT, J., BESNAINOU, C., 2008. Numerical simulation of a piano soundboard under downbearing. Journal of the Acoustical Society of America, vol. 123 (4), s. 2401-2406. MOAVENI, S., 2008. Finite element analysis: theory and application with ANSYS. 3 rd edition. Upper Saddle River, N.J.: Pearson Prentice Hall, 861 s., ISBN 978-0-13-241651-1. MOORE, T. R., ZIETLOW, S. A., 2006. Interferometric studies of a piano soundboard, Journal of the Acoustical Society of America, vol. 119, s. 1783-1793. NAKAMURA, I., 1993. Vibrational and acoustic characteristics of soundboard. Journal of the Acoustical Society of Japan, vol. 16 (6), s. 429-439. NAKASONE, Y., YOSHIMOTO, S., STOLARSKI, T. A., 2006. Engineering analysis with ANSYS software. Amsterdam: Butterworth-Heinemann, 456 s. ISBN 0-7506-6875-X. ORTIZ-BERENGUER, L. I. et al., 2008. Modeling of piano using FEM simulation of soundboard vibration. Acoustics 08 Paris, France, s. 6251-6256. PODOBSKÝ, J., NOSEK J., VEICHEROVÁ, H., 1975. Výzkum vlivu materiálu na akustickou kvalitu rezonanční desky pianina. Základní výzkum rezonančních desek - závěrečná zpráva výzkumného úkolu RD 8.1, Československé hudební nástroje oborový podnik Hradec Králové.

43

POŽGAJ, A., CHOVANEC, D., KURJATKO, S., BABIAK, M., 1997. Štruktúra a vlastnosti dreva. Bratislava, Príroda, 488 s., ISBN 80-07-00960-4. ROHANOVÁ, A., LAGAŇA, R., DUBOVSKÝ, J., 2010. Grading characteristics of structural Slovak spruce timber determined by ultrasonic and bending methods. ‘The Future of Quality Control for Wood & Wood Products’, 4-7th May 2010, Edinburgh The Final Conference of COST Action E53. SUZUKI, H., NAKAMURA, I., 1990. Acoustic of piano. Appl. Acoust., vol. 30, s. 147-205. SUZUKI, H., 1986. Vibrational and sound radiation of a piano soundboard. Journal of the Acustical Society of America., vol. 80 (6), s. 1573- 1582. SYROVÝ, V., 2003. Hudební akustika. 1. vyd. Praha: Akademie múzických umění, Akustická knihovna Zvukového studia Hudební fakulty AMU. 427 s., ISBN 80-7331-901-2. SÝKORA, V. J., 2005. Dějiny klavírního umění: Dějiny nástroje. I. Netolice: Jiří Churáček JC-audio, 65 s., ISBN 80-7232-267-2. TIPPNER, J., 2007. Konečně-prvkový model a modální analýza rezonanční desky klavíru. Acta Mendelovy zemědělské a lesnické univerzity v Brně. sv. LV, vol. 4, s. 111-118, ISSN 1211-8516. TIPPNER, J., 2010. Numerická simulace rezonanční desky klavíru. Disertační práce. Mendelova univerzita v Brně. Brno, 327 s. WILLIAMS, J., NEJEDLÁ, M., 2003. Piano: Průvodce hudebním nástrojem a jeho místem v dějinách. Praha Slovart, 160 s., ISBN 80-7209-473-4. WOGRAM, K., 1990. The string and the soundboard, in: Five lecures on the acoustics of the piano. Edited by Askenfelt.

44

Seznam příloh Příloha 1: Geometrie RD............................................................................................................................47 Příloha 2: Geometrie spodního výřezu RD.................................................................................................47 Příloha 3: Dělení RD na přířezy.................................................................................................................48 Příloha 4: Diskantová kobylka....................................................................................................................48 Příloha 5: Probabilistic design - vliv parametrů materiálu na vlastní frekvence RD.................................48 Příloha 6: Basová kobylka..........................................................................................................................49 Příloha 7: Žebra..........................................................................................................................................50 Příloha 8: Žebra – 2. část...........................................................................................................................51 Příloha 9: Materiálový model (mat_2.mac)................................................................................................52 Příloha 10: Přiřazení materiálových vlastností rezonančním přířezům.....................................................52 Příloha 11: Konečně-prvkový model RD.....................................................................................................53 Příloha 12: Vetknutí RD (plochy)................................................................................................................53 Příloha 13: Zadání pro výpočet modální analýzy........................................................................................53 Příloha 14: Zobrazení a uložení obrázku s výsledkem modální analýzy.....................................................53

45

9 PŘÍLOHY Příloha 1: Geometrie RD. /prep7 !preprocessor - oblast definovani vypoctoveho modelu !------------------------ parametry desky ----------------------------------------------------------d1=1.2 !delka desky [m] s1=0.0065 !spodni tloustka desky [m] s2=0.0095 !horni tloustka desky [m] v1=0.80 !vyska desky vlevo [m] v2=0.90 !vyska desky vpravo [m] d2=(d1**2+(v2-v1)**2)**0.5 !vypocet delky horni hrany desky [m] alf1=(atan((s2-s1)/v2)*180)/PI !odklod wp predni steny desky od GO o tg"alf1"=(s1-s2)/v2 !---------------------- zadni rovina desky (kolma) -------------------------------------------------k,1,0,0,0, !prikaz vytvori bod "1" se souradnicemi [x,y,z]=[0,0,0] k,2,d1,0,0, !prikaz vytvori bod "2" se souradnicemi [x,y,z]=[d1,0,0] k,3,d1,v2,0, !prikaz vytvori bod "3" se souradnicemi [x,y,z]=[d1,v2,0] k,4,0,v1,0, !prikaz vytvori bod "4" se souradnicemi [x,y,z]=[0,v1,0] lstr,1,2 !body "1" a "2" spoji do linie "1" lstr,2,3 !body "2" a "3" spoji do linie "2" lstr,3,4 !body "3" a "4" spoji do linie "3" lstr,4,1 !body "4" a "1" spoji do linie "4" al,1,2,3,4 !mezi liniemi "1","2","3" a "4" vytvori plochu ! !-------------------- predni rovina desky (zkosena)-------------------------------------------------wpcsys,-1,0 !uklid pracovni roviny (wp) do pocatku souradne soustavy~ ! ~globalniho systemu (GO) wpof,,,s1 !posunuti wp o parametr s1 ve smeru osy Z wpro,,alf1 !otoceni wp o uhel zadany parametrem "alf1" csys,wp !aktivni rovina je wp ! k,5,0,0,0, !zopakovani postupu pro tvorbu plochy desky v wp k,6,d1,0,0, $ k,7,d1,v2,0, $ k,8,0,v1,0, lstr,5,6 $ lstr,6,7 $ lstr,7,8 $ lstr,8,5 al,5,6,7,8 ! !------------------------------objem desky ---------------------------------------------------------lstr,1,5 !spojeni mezi body vrcholu dvou vytvorenych ploch do linii lstr,2,6 $ lstr,3,7 $ lstr,4,8 al,1,10,5,9 !vytvoreni ploch mezi vzniklymi hranami al,2,10,6,11 $ al,3,11,7,12 $ al,4,12,8,9 allsel,all !vyber vsech ploch va,all !vytvoreni objemu mezi vybranymi plochami

Příloha 2: Geometrie spodního výřezu RD. !----------------------- parametry vyrezu ----------------------------------------------------------! r=0.02 !obleni v rohu vyrezu [m] v=0.001 !vyska, v niz je stred valce (vyska vyrezu = v + r) [m] s=0.40 !vzdalenost mezi stredy valcu (sirka vyrezu = s + 2*r) [m] t=0.01 !vrcholy na ose Z (tloustka teles = 2*t) [m] ! !----- modelovani teles potrebnych pro ziskani vyrezu ----------------------------------------------! *if,vyr_d,eq,1,then !podminka: „když vyr_d=1 pak provede nasledujici:“ wpof,d1/2 !posunuti wp do stredu spodni strany RD na ose X wpof,-r-s/2 !zpetne posunuti wp o polovinu parametru r-s na ose X csys,wp !aktivni je wp, která je v levem pocatku vyrezu block,0,r,-0.01,v,-t,t !kvadr urcujici levou vertikalni hranu vyrezu (1) wpof,r !posunuti wp o paramtetr r na ose X block,0,s,-0.01,v,-t,t !vyplni prostor mezi telesy urcujicimi tvar vyrezu (2) wpof,s !posunuti wp o parametr s na ose X block,0,r,-0.01,v,-t,t !kvadr urcujici pravou stranu vyrezu (3) wpof,,v !posunuti wp o parametr v po ose Y cylind,r,0,-t,t,0,360 !valec pro obleni v pravem rohu vyrezu (4) wpof,-s !posunuti zpet wp o parametr s na ose X block,0,s,0,r,-t,t !kvadr urcujici horni hranu vyrezu (5) cylind,r,0,-t,t,0,360 !valec pro obleni v levem rohu vyrezu (6) ! !------------------------ ziskani vyrezu -----------------------------------------------------------VSBV,1,3 $ VSBV,8,6 !Boolean operation Subtrackt by Volumes – odecteni ~ VSBV,1,2 $ VSBV,3,4 ! ~ objemu v poradi urcenem cisly, coz jsou „jmena“ ~ VSBV,1,7 $ VSBV,2,5 ! ~ vybranych objemu ! wpcsys,-1,0 !uklid wp do Go csys,0 !aktivni je GO *endif !ukoceni oblasti podminky

46

Příloha 3: Dělení RD na přířezy !-------------- parametry sirky prirezu [m] --------------------------------------------------------! sir_1=0.076 $ sir_2=0.065 $ sir_3=0.075 $ sir_4=0.070 $ sir_5=0.065 sir_6=0.075 $ sir_7=0.075 $ sir_8=0.070 $ sir_9=0.066 $ sir_10=0.070 sir_11=0.074 $ sir_12=0.075 $ sir_13=0.080 $ sir_14=0.065 $ sir_15=0.070 sir_16=0.075 $ sir_17=0.065 $ sir_18=0.075 $ sir_19=0.075 $ sir_20=0.065 ! !---------------- deleni desky na prirezy ----------------------------------------------------------wpcsys,-1,0 !uklid wp do GO wpro,,,90 !otoceni wp o 90° podle osy Y wpro,,-od_pr !rotace wp o uhel od_pr (vertikalni deska: od_pr=0) ! csys,wp !aktivuje wp *do,i,1,poc_pr-1 !pocatek cyklu reseni v poctu od 1 do poc_pr=20 wpof,,,sir_%i% !posunuti wp o sirku prirezu "sir_pr" vsbw,all,sepo,delete !rozdeleni objemu pomoci wp (rovina xy) Příloha č. 4: Materiálový model pro přířezy RD pianina. *enddo !ukonci cyklus reseni wpcsys,-1,0 !uklid wp do GO csys,0 !aktivuje GO ! allsel,all !vyber vsech objemu vglue,all !slepeni vsech vybranych objemu

Příloha 4: Diskantová kobylka. !---------------- parametry kobylky ----------------------------------------------------------p_x_dk=0.176 !pocatek na ose x diskantove kobylky [m] p_y_dk=0.136 !pocatek na ose y diskantove kobylky [m] d_dk=1.20 !delka diskantove kobylky [m] s_dk=0.028 !sirka disk. kobylky [m] t_dk=0.016 !tloustka disk. kobylky [m] alf3=(atan(v1/d1)*180)/PI !odklon smeru kobylky od vertikaly RD [°] ! !------------------ diskantova kobylka -------------------------------------------------------csys,wp !aktivni rovina WP wpof,d1 !posunuti WP o parm. d1 ve smeru X wpro,,,180 !otoceni WP o 180°kolem osy Y wpof,p_x_dk,p_y_dk !posunuti WP do spodniho pocatku kobylky wpro,alf3 !otoceni WP o uhel alf3 kolem osy Z K,201,-0.06,0.05,0 !1. bod spliny (201) k,202,d_dk/15,0.0,0 !2. k,203,d_dk/6,0.0,0 !3. k,204,d_dk/1.6,0.04,0 !4. k,205,d_dk/1.2,0.02,0 !5. k,206,d_dk/1.01,-0.06,0 !6. numstr,line,1000 !pojmenuj nesledujici linie 1000 a vyse bsplin,201,202,203,204,205,206 !vytvori spline z bodu 201 az 206 lwpl,-1,1000,0 !zarovnani WP k pocatlu spline asel,none !vycisteni vyberu rectng,0,s_dk,0,t_dk, !tvorba obdelniku [X0,X1,Y0,Y1] vdrag,all, , , , , ,1000 !tahnuti obdelku po spline

Příloha 5: Probabilistic design - vliv parametrů materiálu na vlastní frekvence RD. /inp,RD,mac /pds pdan1,RD,mac pdvar,ex_1,gaus,1000e6,0.2*1000e6 pdvar,ey_1,gaus,10000e6,0.2*10000e6 pdvar,ez_1,gaus,500e6,0.2*500e6 pdvar,odkl_x1,gaus,0,0.2*1 pdvar,odkl_y1,gaus,5,0.2*5 pdvar,odkl_z1,gaus,10,0.3*10 pdvar,hust_1,gaus,485,0.2*485 ! pdvar,freq_1,resp pdvar,freq_2,resp ! pdmeth,mcs,dir pddmcs,500,none,all,,,,1234567 ! pdexe,citlivost pdsesns,citlivost,freq_1,both,rank,0.025 /eof

!otevreni souboru RD.mac !otevreni PDS !pravdepodobnostni analyza pro RD.mac !parametr EX=1000 MPa s rozptylem hodnot 20 % !parametr EY=10 000 MPa s rozptylem hodnot 20 % !parametr EZ=500 MPa s rozptylem hodnot 20 % !parametry odkl_x=0° s rozptylem hodnot 20 % !parametry odkl_y=5° s rozptylem hodnot 20 % !parametry odkl_z=10° s rozptylem hodnot 30 % !parametry hust=485 s rozptylem hodnot 20 % !vliv parametru na 1. vl. frekvenci !vliv parametru na 2. vl. frekvenci !vyber resice Monte Carlo Simulation !pocet cyklu reseni 500 !ulozit vysledky v souboru citlivost.exe !sldovat zavislost parametru na freq_1 !konec skriptu

47

Příloha 6: Basová kobylka. !------------------ basova kobylka -------------------------------------------------------p_x_bk=0.48 !pocatek na ose x basove kobylky [m] p_y_bk=0.136 !pocatek na ose y basove kobylky [m] d_bk=0.384 !delka basove kobylky [m] s_bk=0.032 !sirka basove kobylky [m] s2_bk=0.072 !sirka basove kob. u zakladny (vlevo) [m] t_bk=0.040 !tloustka basove kobylky (celkova) [m] t1_bk=0.012 !tloustka zakladoveho prism. telesa [m] ! t2_bk=0.020 !tloustka bk se strednim konickym dilcem [m] ! t3_bk=0.040 !tlouska horniho prism. teliska [m] !-------------------------------------------------------------------------wpcsys,-1,0 !WP do GO csys,wp !aktivni je WP wpof,d1 !posunuti WP o d1 v X wpro,,,180 !otoceni WP o 180 kolem Y wpof,p_x_bk,p_y_bk !posunuti WP o parametry wpro,alf3/3 !natoceni WP o 1/3 uhlu alf3 !---------------- zakladove prism. teleso -----------------------------------------------numstr,line,1200 !nazvy linii id 1200 ! k,301,0,s2_bk-s_bk,0 !pudorysne body objemu (rovnobeznik) k,302,d_bk,0,0 k,303,d_bk,s_bk,0 $ k,304,0,s2_bk,0 lstr,301,302 $ lstr,302,303 !pudorysne linie lstr,303,304 $ lstr,304,301 al,1201,1202,1203,1200 !plocha podstavy z linii ! k,305,0,s2_bk-s_bk,t1_bk !dtto horni podstava k,306,d_bk,0,t1_bk k,307,d_bk,s_bk,t1_bk $ k,308,0,s2_bk,t1_bk lstr,305,306 $ lstr,306,307 lstr,307,308 $ lstr,308,309 $ al,1205,1206,1207,1204 ! lstr,301,305 $ lstr,302,306 !spojeni vrcholu podstav lstr,303,307 $ lstr,304,308 ! al,1200,1204,1209,1208 !vytvoreni ploch na hranach al,1209,1201,1205,1210 al,1210,1202,1206,1211 $ al,1211,1203,1207,1208 ! va,all !ze vsech ploch objem telesa !-------------------- stredni konicke teleso ------------------------------------------numstr,line,1300 !dtto stredni dil ! k,401,0,0,t1_bk $ k,402,d_bk,0,t1_bk k,403,d_bk,s_bk,t1_bk $ k,404,0,s2_bk,t1_bk lstr,401,402 $ lstr,402,403 lstr,403,404 $ lstr,404,401 al,1300,1301,1302,1303 k,405,0,0,t2_bk $ k,406,d_bk,0,t2_bk k,407,d_bk,s_bk,t2_bk $ k,408,0,s2_bk,t2_bk lstr,405,406 $ lstr,406,407 lstr,407,408 $ lstr,408,405 al,1304,1305,1306,1307 ! lstr,401,405 $ lstr,402,406 lstr,403,407 $ lstr,404,408 al,1300,1304,1309,1308 $ al,1309,1301,1305,1310 al,1310,1302,1306,1311 $ al,1311,1303,1307,1308 ! va,all !---------------------- horni prism. teleso --------------------------------------------numstr,line,1400 !dtto horni dil ! k,501,0,0,t2_bk $ k,502,d_bk,0,t2_bk k,503,d_bk,s_bk,t2_bk $ k,504,0,s_bk,t2_bk lstr,501,502 $ lstr,502,503 lstr,503,504 $ lstr,504,501 al,1400,1401,1402,1403 ! k,505,0,0,t3_bk $ k,506,d_bk,0,t3_bk k,507,d_bk,s_bk,t3_bk $ k,508,0,s_bk,t3_bk lstr,505,506 $ lstr,506,507 lstr,507,508 $ lstr,508,505 al,1404,1405,1406,1407 ! lstr,501,505 $ lstr,502,506 lstr,503,507 $ lstr,504,508 al,1400,1404,1409,1408 $ al,1409,1401,1405,1410 al,1410,1402,1406,1411 $ al,1411,1403,1407,1408 ! va,all

48

Příloha 7: Žebra. mod_sc=1000 $ _rib_angle=50 !uhel mezi osou zeber a levou hranou desky [°] ! _count_ribs=11 !pocet zeber _fillet_r=20/mod_sc !polomer zaobleni zebra [mm] _r_z=0 !z souradnice leveho spodniho rohu [mm] _esize_r=10/mod_sc !globsal velikost elementu [mm] ! _r_l_1=375 !delka zebra [mm] _r_l1_1=125 !delka odlehceni (smer kolicnik) [mm] _r_l2_1=125 !delka zesileni [mm] _r_v_1=10 !vyska zebra [mm] _r_t_1=4 !vyska zebra v zeslabeni [mm] _r_s_1=14 !sirka zebra [mm] _r_x_1=0 !x sour. leveho spod. rohu zebra [mm] _r_y_1=135 !y dtto [mm] _r_v_r_1=2.5 !srazeni vysky diky hornimu zaobleni zebra [mm] _r_od_k_1=80 !polomer odlehceni konce u kolicniku [mm] _r_od_n_1=80 !polomer odlehceni konce u nosu [mm] ! _r_l_2=590 $ _r_l1_2=125 $ _r_l2_2=340 $ _r_v_2=10 $ _r_t_2=4 _r_s_2=24 $ _r_x_2=-95 $ _r_y_2=45 _r_v_r_2=2.5 $ _r_od_k_2=80 $ _r_od_n_2=80 ! _r_l_3=780 $ _r_l1_3=125 $ _r_l2_3=530 $ _r_v_3=10 $ _r_t_3=4 _r_s_3=24 $ _r_x_3=-95 $ _r_y_3=0 _r_v_r_3=2.5 $ _r_od_k_3=80 $ _r_od_n_3=80 ! _r_l_4=920 $ _r_l1_4=125 $ _r_l2_4=670 $ _r_v_4=10 $ _r_t_4=4 _r_s_4=24 $ _r_x_4=-95 $ _r_y_4=0 _r_v_r_4=2.5 $ _r_od_k_4=80 $ _r_od_n_4=80 ! _r_l_5=1000 $ _r_l1_5=125 $ _r_l2_5=750 $ _r_v_5=25 $ _r_t_5=4 _r_s_5=24 $ _r_x_5=-95 $ _r_y_5=0 _r_v_r_5=2.5 $ _r_od_k_5=80 $ _r_od_n_5=80 ! _r_l_6=1000 $ _r_l1_6=125 $ _r_l2_6=750 $ _r_v_6=25 $ _r_t_6=4 _r_s_6=24 $ _r_x_6=-95 $ _r_y_6=0 _r_v_r_6=2.5 $ _r_od_k_6=80 $ _r_od_n_6=80 ! _r_l_7=1000 $ _r_l1_7=125 $ _r_l2_7=750 $ _r_v_7=26 $ _r_t_7=4 _r_s_7=24 $ _r_x_7=-95 $ _r_y_7=0 _r_v_r_7=2.5 $ _r_od_k_7=80 $ _r_od_n_7=80 ! _r_l_8=910 $ _r_l1_8=125 $ _r_l2_8=660 $ _r_v_8=26 $ _r_t_8=4 _r_s_8=24 $ _r_x_8=-95 $ _r_y_8=90 _r_v_r_8=2.5 $ _r_od_k_8=80 $ _r_od_n_8=80 ! _r_l_9=800 $ _r_l1_9=125 $ _r_l2_9=550 $ _r_v_9=25 $ _r_t_9=4 _r_s_9=24 $ _r_x_9=-95 $ _r_y_9=200 _r_v_r_9=2.5 $ _r_od_k_9=80 $ _r_od_n_9=80 ! _r_l_10=625 $ _r_l1_10=125 $ _r_l2_10=375 $ _r_v_10=23 $ _r_t_10=4 _r_s_10=24 $ _r_x_10=-95 $ _r_y_10=305 _r_v_r_10=2.5 $ _r_od_k_10=80 $ _r_od_n_10=80 ! _r_l_11=425 $ _r_l1_11=125 $ _r_l2_11=175 $ _r_v_11=22 $ _r_t_11=4 _r_s_11=24 $ _r_x_11=-95 $ _r_y_11=425 _r_v_r_11=2.5 $ _r_od_k_11=80 $ _r_od_n_11=80 ! *dim,mat_r,array,100+_count_ribs !definice poli *dim,real_r,array,100+_count_ribs *dim,esys_r,array,100+_count_ribs type_r=1 ! *dim,_r_l_,array,_count_ribs $ *dim,_r_l1_,array,_count_ribs *dim,_r_l2_,array,_count_ribs $ *dim,_r_v_,array,_count_ribs *dim,_r_t_,array,_count_ribs $ *dim,_r_s_,array,_count_ribs *dim,_r_x_,array,_count_ribs $ *dim,_r_y_,array,_count_ribs *dim,_r_v_r_,array,_count_ribs $ *dim, _r_od_k_,array,_count_ribs *dim,_r_od_n_,array,_count_ribs ! *do,i,1,_count_ribs !cyklus naplneni poli _r_l_(i)=_r_l_%i%/mod_sc $ _r_l1_(i)=_r_l1_%i%/mod_sc _r_l2_(i)=_r_l2_%i%/mod_sc $ _r_v_1=_r_v_%i%/mod_sc _r_t_1=_r_t_%i%/mod_sc $ _r_s_1=_r_s_%i%/mod_sc _r_x_(i)=_r_x_%i%/mod_sc $ _r_y_(i)=_r_y_%i%/mod_sc _r_v_r_1=_r_v_r_%i%/mod_sc $ _r_od_k_1=_r_od_k_%i%/mod_sc _r_od_n_1=_r_od_n_%i%/mod_sc *enddo ! numstr,volu,1000 !nacteni cislovani objemu numstr,area,1000 numstr,line,1000 numstr,kp,1000 !...*

49

Příloha 8: Žebra – 2. část. !...* *do,i,1,_count_ribs, wpcsys,-1,0 csys,wp ! wpof,,,s1 wpro,,alf1

!uklid WP do GO !aktivni rovina je WP

wpof,-0.075,0.475 wpro,-_rib_angle wpro,,,180 ! wpave,(_r_x_(i))*(i-1),_r_y_(i),_r_z, block,0,_r_s_1,0,_r_l_(i),0,-_r_t_1 !*enddo !/eof wpro,,90 csys,wp wpof,,-_r_t_1, ! vsel,none asel,none lsel,none k,i*10e3+1,0,0,0 !tvorba bodu prurezu prismy k,i*10e3+2,_r_s_1,0,0, k,i*10e3+3,_r_s_1,-_r_v_1+_r_v_r_1,0, k,i*10e3+4,0.5*(_r_s_1),-_r_v_1,0, k,i*10e3+5,0,-_r_v_1+_r_v_r_1,0, lstr,i*10e3+1,i*10e3+2 !tvorba linii prurezu prismy lstr,i*10e3+2,i*10e3+3 larc,i*10e3+3,i*10e3+5,i*10e3+4, lstr,i*10e3+5,i*10e3+1 al,all $ vext,all,,,0,0,-_r_l_(i) !tvorba plochy a jeji tazeni v delce zebra lsel,none wpof,,,-_r_l1_(i) ! k,i*10e3+7,_r_s_1,0,_r_od_k_1, !tvorba bodu polomeru odlehceni u kolicniku k,i*10e3+8,_r_s_1,-_r_v_1,0, k,i*10e3+10,0,0,_r_od_k_1, k,i*10e3+11,0,-_r_v_1,0, k,i*10e3+18,0,-_r_v_1/3,_r_od_k_1/3, k,i*10e3+19,_r_s_1,-_r_v_1/3,_r_od_k_1/3, asel,none larc,i*10e3+7,i*10e3+8,i*10e3+19 !tvorba linii polomeru odlehceni larc,i*10e3+10,i*10e3+11,i*10e3+18 lstr,i*10e3+8,i*10e3+11 lstr,i*10e3+7,i*10e3+10 al,all !tvorba plochy pro orez cm,trim_k,area k,i*10e3+12,_r_s_1,0,-_r_od_n_1-_r_l2_(i), !dtto ale na druhe strane - u nosu k,i*10e3+13,_r_s_1,-_r_v_1,-_r_l2_(i), k,i*10e3+14,0,0,-_r_od_n_1-_r_l2_(i), k,i*10e3+15,0,-_r_v_1,-_r_l2_(i), k,i*10e3+16,0,-_r_v_1/3,-_r_l2_(i)-_r_od_n_1/3 k,i*10e3+17,_r_s_1,-_r_v_1/3,-_r_l2_(i)-_r_od_n_1/3 asel,none lsel,none larc,i*10e3+12,i*10e3+13,i*10e3+17 larc,i*10e3+14,i*10e3+15,i*10e3+16 lstr,i*10e3+13,i*10e3+15 lstr,i*10e3+12,i*10e3+14 al,all cm,trim_n,area cmsel,a,trim_k cm,trim_bt,area ! vsba,all,trim_bt,sepo,delete,delete !rozdeleni objemu vsel,s,loc,z,0,_r_l1_(i) vsel,a,loc,z,-_r_l2_(i),-_r_l_(i)+_r_l1_(i) vsel,r,loc,x,0,_r_s_1 vsel,r,loc,y,0,-_r_v_1 vdele,all !vyber a vymaz nepotrebnych objemu ! vsel,s,loc,z,_r_l1_(i),_r_l1_(i),-_r_l_(i)+_r_l1_(i) vsel,r,loc,x,0,_r_s_1 vsel,r,loc,y,_r_t_1,-_r_v_1 !vglue,all !cdopt,anf !cdwrite,comb,piv_r%i%_geom_par,cdb, ! wpro,,-90 wpof,,_r_t_1 wpof,,,_r_l1_(i) *enddo

50

Příloha 9: Materiálový model (mat_2.mac). ***** X = R, Y = L, Z = T ***** !--------------------------------- hustoty prirezu [kg/m**3] ---------------------------------------! hust_1=457 $ hust_2=469 $ hust_3=432 $ hust_4=498 $ hust_5=491 hust_6=496 $ hust_7=493 $ hust_8=564 $ hust_9=534 $ hust_10=533 hust_11=492 $ hust_12=437 $ hust_13=459 $ hust_14=449 $ hust_15=458 hust_16=467 $ hust_17=567 $ hust_18=561 $ hust_19=568 $ hust_20=457 ! !--------- Poissonovy konstanty v prislus. rovinach [Pa] (Green et al. 1999) -----------------------! nuxy=0.04 nuxz=0.245 nuyz=0.025 ! !--------------------------------- definice materialu ----------------------------------------------! mptemp,,,,,,,, !prikaz otevira oblast definovani materialovych hodnot ! *do,i,1,poc_pr !zacykleni prikazu pro reseni u jednotlivych prirezu !------------------ parametrycka cast cyklu ------------------------------------------------------! ey_%i%=(45.452*hust_%i%-6406.1)*10e6 !Youngovy moduly pruznosti v danych smerech [Pa]; vypocet ~ !~ statickeho podelneho modulu pruznosti (Kloiber 2006) ex_%i%=0.078*ey_%i% !prepocet rad. modulu pruznosti (Green et al. 1999) ez_%i%=0.043*ey_%i% !prepocet tang. modulu pruznosti (Green et al. 1999) ! gxy_%i%=0.064*ey_%i% !smykove mod. pruz. v RL rovine [Pa] (Green et al. 1999) gxz_%i%=0.003*ey_%i% !smykove mod. pruz. v RT rovine [Pa] (Green et al. 1999) gyz_%i%=0.061*ey_%i% !smykove mod. pruz. v LT rovine [Pa] (Green et al. 1999) ! !------------------ definovani materialu pres parametry ------------------------------------------mp,ex,i,ex_%i% ! mp,ey,i,ey_%i% !vlozeni Youngovych modulu pruznosti v prislusnych smerech mp,ez,i,ez_%i% ! ! mp,gxy,i,gxy_%i% ! mp,gyz,i,gyz_%i% !vlozeni smykovych modulu pruznosti v prislusnych rovinach mp,gxz,i,gxz_%i% ! ! mp,nuxy,i,nuxy ! mp,nuyz,i,nuyz !vlozeni Poissonovych cisel v prislusnych rovinach (konst) mp,nuxz,i,nuxz ! ! mp,dens,i,hust_%i% !vlozeni hustoty ! *enddo !ukonceni cyklu

Příloha 10: Přiřazení materiálových vlastností rezonančním přířezům. !------------ odklon anatomickych os prirezu -------------------------------------------------------!odklon anatomickych os od geometricke osy X = R [°] odkl_x1=0.1 $ odkl_x2=0.5 $ odkl_x3=0.4 $ odkl_x4=0.5 $ odkl_x5=0.1 odkl_x6=0.2 $ odkl_x7=0.6 $ odkl_x8=0.1 $ odkl_x9=0.2 $ odkl_x10=0.7 odkl_x11=0.9 $ odkl_x12=0.1 $ odkl_x13=0.5 $ odkl_x14=0.4 $ odkl_x15=0.8 odkl_x16=0.1 $ odkl_x17=0.3 $ odkl_x18=0.9 $ odkl_x19=0.1 $ odkl_x20=0.9 ! !odkon anatomickych os od geometricke osy Y = L [°] odkl_y1=5.1 $ odkl_y2=4.5 $ odkl_y3=4.9 $ odkl_y4=5.1 $ odkl_y5=4.6 odkl_y6=5.3 $ odkl_y7=4.3 $ odkl_y8=4.8 $ odkl_y9=4.8 $ odkl_y10=5.3 odkl_y11=4.3 $ odkl_y12=5.2 $ odkl_y13=5.1 $ odkl_y14=5.5 $ odkl_y15=4.1 odkl_y16=5.1 $ odkl_y17=4.9 $ odkl_y18=4.8 $ odkl_y19=5.1 $ odkl_y20=4.5 ! !odkon anatomickych os od geometricke osy Z = T [°] odkl_z1=10 $ odkl_z2=11 $ odkl_z3=15 $ odkl_z4=10 $ odkl_z5=9 odkl_z6=15 $ odkl_z7=14 $ odkl_z8=9 $ odkl_z9=13 $ odkl_z10=10 odkl_z11=9 $ odkl_z12=9 $ odkl_z13=13 $ odkl_z14=10 $ odkl_z15=9 odkl_z16=15 $ odkl_z17=14 $ odkl_z18=15 $ odkl_z19=15 $ odkl_z20=10 ! !---------- prirazeni atributu jednotlivym prirezum ------------------------------------------------! sir_h=0 !definovani pomocneho parametru *do,i,1,poc_pr, !zapoceti cyklu priraz. atributu od 1 do poc_pr=20 wpro,od_pr !rotace wp o uhel od_pr csys,wp !aktivni wp sir_h=sir_h+sir_%i% !parametr pro sirku posunuti vsel,s,loc,x,sir_h-sir_%i%,sir_h !vyber objemu ve smeru osy x mezi hodnotami ~ ! ~ sir_h-sir_%i% az sir_h wpro,okl_x%i%,odkl_y%i%,odkl_z%i% !otoceni WP o odklon vlaken zadane paramatricky cswpla,%10+i%,0,1,1, !tvorba lokalniho souradneho systemu c.11,12,13... ! ~ (10+poc_pr) pomoci WP vatt,%i%,1,1,%10+i% !prideleni atributu vybranemu objemu wpcsys,-1,0 !uklid pracovni roviny do GO *enddo !ukonceni cyklu

51

Příloha 11: Konečně-prvkový model RD. el_s=0.0025 ! et,1,solid187 prvkoveho modelu (95, 5) esize,el_s mshape,1,3D mshkey,0 vsel,all vmesh,all

!parametr pro velikost prvku !výběr typu elementu, ktery bude pouzit pri tvorbe konecne!rozmery elementu definovane pres parametr el_s !specifikace tvaru elementu, 1 - ctyrsten pro 3D !typ sitovani !vyber objemu, ktere budou sitovany !prikaz k sitovani vsech vybranych objemu

Příloha 12: Vetknutí RD (plochy). asel,s,loc,x,-0.0001,0.0001 da,all,all,0 asel,s,loc,x,d1-0.0001,d1+0.0001 da,all,all,0 asel,s,loc,y,-0.0001,0.0001 da,all,all,0 ! wpcsys,-1,0 wpof,,v1 wpro,alf2 csys,wp ! asel,s,loc,y,-0.0001,0.0001 da,all,all,0

!vyber ploch v rovině YZ ve vzdalenosti 0 +/- 0.1 mm od pocatku !pro vybrane plochy nulove posunuti (leva hrana RD) !vyber ploch v rovine YZ ve vzdalenosti d1 +/- 0.1 mm od pocatku !ve vybranych plochach nulove posunuti (prava hrana RD) !vyber plochy v rovine XZ ve vzd. 0 +/- 0.1 mm od pocatku !pro vybrane plochy nulove posunuti (spodni hrana RD) !aktivni je GO !posunuti WP o v1 na ose Y (vyska RD na leva strane) !natoceni WP o uhel alf2 !aktivni je WP !vyber plochy v rovine XY ve vzd. 0 +/- 0.1 mm !nulove posunuti pro vsechny vybrane plochy

Příloha 13: Zadání pro výpočet modální analýzy. poc_modu=10 ! antype,2 modopt,lanb,poc_mod,5,100000,,off eqslv,spar mxpand,poc_mod,,,1 lumpm,off pstres,off ! /solu allsel,all solve finish

!parametr pro pocet modu !typ analyzy, 2 - modalni !block Lanczos v intervalu 5 – 100 000 Hz

!predpeti !prepnuti do solveru (resic) !pro vsechny objemy

Příloha 14: Zobrazení a uložení obrázku s výsledkem modální analýzy. /psot1 ul_obr=1 ! *if,ul_obr,eq,1,then SET,FIRST !* /efacet,1 plnsol,u,z,0,1.0 /show,jpeg,,0 jpeg,qual,100, jpeg,orient,horiz jpeg,color,2 Jpeg,mdopt,1 /gfile,1200, !* /cmap,_tempmap_,cmp,,save /rgb,index,100,100,100,0 /rgb,index,0,0,0,15 /replot /cmap,_tempmap_,cmp /delete,_tempmap_,cmp /show, close /device,vector,0 *endif

!prepnuti do postprocessingu !parametr podminky !pokud parametr je 1, pak provede nasledujici sktipt !nacteni vysledku prvniho modu !zobrazeni posunuti ve smeru osy Z !nastaveni parametru pro typ a kvalitu vystupniho obrazku

!ulozeni vystupniho obrazku

!konec podminky

52