Materi : 5.1. Kapasitas panas fonon 5.2. Rapat keadaan model Debye 5.3. Temperatur Debye 5.4. Persamaan Debye T 3

INDIKATOR Mahasiswa harus dapat :  Menentukan rapat keadaan model Debye.  Menghitung temperatur Debye.  Menghitung kapasitas panas fonon.  Menggunakan persamaan Debye untuk kapasitas panas fonon.

Materi :    

5.1. Kapasitas panas fonon 5.2. Rapat keadaan model Debye 5.3. Temperatur Debye 5.4. Persamaan Debye T3

TIK 

Untuk menentukan : Capasitas panas jenis phonon (Cv pada volume konstant) untuk temperatur tinggi dan temperatur rendah menurut model Eintein dan model Debye

Kapasitas Panas Phonon  Model

Einstein

 Model Debye

Pada BAB IV

 jika dalam kristal terdapat phonon maka akan terjadi hubungan dispersi (diatomik)

Cabang optik

2c m1

1/ 2

 1 1   2C    m1 m2 

Tidak ada energi yang melewati

  a

2c m2 0

Cabang akustik

k

 a

Daerah Brillouin I

Gambar tersebut menunjukkan cabang akustik dan cabang optik dari hubungan dispersi untuk kisi linear diatomik, menunjukkan limit frekuensi sudut pada k = 0 dan kmaks= π/a, dimana massa atom m1 < m2.

Kapasitas panas phonon Kapasitas panas dengan volume konstan didefinisikan sebagai

 U  CV     T V dimana U adalah energi kristal dan T adalah temperatur.



Apabila partikel phonon yang mempunyai frequensi  , maka menurut kuantum Planck besarnya energi adalah

E = h = ћ .  Energi kristal untuk vektor panjang gelombang k = k1 adalah

U k1 , p 

  3

p 1

k1 , p

 

k1 , p

Artinya : Setiap harga 1 k mempunyai 3 jenis polarisasi.



Secara umum energi kristal untuk satu k ditulis : U k,p 



k,p

 k , p

p

Sehingga : Energi Total Kristal Untuk seluruh nilai k    U k , p     U k , p k k  p        k , p   k , p  k  p  p

U tot U tot

   



Dimana kp  probabilitas penempatan tingkat energi phonon Dari fungsi distribusi Planck didapat harga kp

k, p 

1 e

h / kbT

1

Dengan kb = 1,381 . 10-23 joule/K

Distribusi Planck  Grafik Fungsi Distribusi Plank 

Untuk T mendekati linier

0

kbT



• Suatu osilator harmonik yang sama pada keseimbangan termal memiliki perbandingan antara jumlah keadaan N pada keadaan kuantum n + 1 ke keadaan kuantum n Sehingga

N n 1  e  / kbT Nn pecahan dari total N pada keadaan kuantum n adalah

Nn





N s 0

s

e   / kbT 

e s 0

 s / k bT

• Maka

 

 s  / k b T se  s

 s  / k b T e  s

xe

Kita misalkan

  / k b T

maka

1 d x 4 s s x  1  x dans sx  x dx s x  1  x 2 s

Sehingga Persamaan menjadi



 sx  x s

s

s

x

s



1  x 2 1 1 x

1 x x  .  2 1  x  1 1  x x

• Kemudian ganti kembali harga x-nya dan hasilnya subtitusikan ke persamaan energi kristal, maka persamaannya menjadi

1 1 x e / kbT    / kbT   / kbT 0    / kbT  / kbT 1 x 1 e (1 e ) e e e 1    / kbT e 1 Maka Energi Kristal dapat dituliskan : U   k , p  k , p kp

U  kp

 k , p e

 kp / kbT

1

Kapasitas Panas pada Temperatur Tinggi ( T>>) Energi kristal berdasarkan fungsi distribusi planck yaitu U 

 kp

 e



kp

k,p

/ k bT

1

Dengan menggunakan deret taylor maka persamaan di atas menjadi

e  x  1  x  x 2  x 3 ....., maka e

h / k bT

h  1  ..... k bT

Sehingga U dapat dinyatakan  kp  kp

1  U  1 kp kp 1 1 k bT k bT

U   k bT kp

A. Sehingga Menurut Einsten



Atom-atom kristal dianggap bergetar satu sama lain di sekitar titik setimbangnya secara bebas.

 Getaran atomnya dianggap harmonik sederhana yang bebas sehingga mempunyai frekuensi sama       2  

sehingga di dalam zat padat terdapat sejumlah N atom maka ia akan mempunyai 3N osilator harmonik yang bergetar bebas dengan frekuensi ().

U   k bT  3 Nk bT kp

Maka Kapasitas Panas

U d 3NkbT   Cv  T dT

CV  3 Nk b  Nk b  R

Cv  3R

R adalah konstanta universal gas. Jadi kapasitas panas phonon untuk temperatur tinggi menurut model Einstein adalah

CV  3 Nk b  3R Sesuai dengan eksperiment Dulong & Petit.

Kapasita Panas pada Temperatur rendah   1 k bT

Untuk T<< maka

Bila kp = maka model Einstein 3N jadi

3N

U e



k bT

1

U d  3 N      Cv  T dT  kb T   1 e

CV

 h  h k bT   e  3Nh .  2  2 k T e h  b   1  k bT   1



2

3 N   k bT 2

2

.

e   e 





k

b

T

k

b

T

  1 

2



3N  e k bT  . 2  2  k bT   k bT K bt  2e  1 e   3 N  2 2 1 .   k bT e k T 1 2

2

b

Sehingga Cv untuk Suhu rendah

3N   kbT .e Cv  kbT 2

2

jika E  hE kB

maka

3 Nh 2 2 e h  / k bT . h  / k bT cv  2 k bT (e  1) 2 2

 h  1 e h  / k bT  2 h / k T c v  3 Nk B  2 b k T ( e  1 )  B  2

e h  / k bT  E  c v  3 Nk B   h  / k bT 2 T ( e  1 )   2

e h  / k bT E  cv  3R  h  / k bT 2 T ( e 1 )    2

cv e h  / k bT  E    3 R  T  ( e h  / k b T  1) 2

Gambar. Variasi temperature dari cv/3R untuk 1 mol intan cv 3R

T / E

cv T  , maka 1 3R cv 0 T  0, maka 3R

B. Model Debye • Atom-atom dianggap sebagai osilator harmonis yang tak bebas

 Gerakan

tetangga

atom-atom

dipengaruhi

oleh

atom

o Menyempurnakan Model Einstein terutama : T << untuk T<< maka  << berada pada cabang akustik

Model Debye untuk Rapat Keadaan ( Density of State) D(w) didefinisikan : jumlah keadaan (dN) tiap rentang energi (dW)  (dN )  D( )     ( d ) 

dN  D ( )d

Energi total

    kp  U   k     kp  p  k bT e  1 

U 

  p

  kp e



k bT

1

. D ( w ) dw

Rapat Keadaan dalam 3 dimensi k

4 3 Vbola  k 3

 2   dimana   L  sehingga

3

4 3 k N  3 3 2       L 

Volume sel primitive kubus dengan sisi L 3

3

3

L .k V .k N  N  2 2 6 6

V L

3

dN Vk 2  D k   dk 2 2

2

dN dN dk Vk  dk  Dw       dw dk dw 2  dw 

contoh

dk 1    vk  d v Vk 2 1 V  2  D ( )  2 v 2 v 3



U  3

WD



 0

e

k =vk

 k bT

1

V 2 d 3 2 v

V k2 N  6 2 

U  3

D

 0

  3V e



2 kb

2

v3d 1

Sehingga limit dari integral diatas didapat : ωD 4 k D 3   D  vk D N 3 3  2     L 

  D h 3V  2 3 U     v 2  cv  d  3  h T T  0 e k B   1   

3hV cv  2 2 v 3

D

3 0 1

 d   dT

  1  d  h k B    1  e

dimana    d  1 1    dT  eh kB 1  eh kB 1    

2

 h  h kB  1       e 2   kB   kBT 

2    h   h k   3hV 1 1   B     e cv    h 2 3  2  2 v 0 1  e k B   1   k B  k T  B 

D

3

2

cv

3h V 1  2 2 v 3 k B  2

D

 0



e 

4 h

e kB

h

kB

  1 

2

d

  d  

Misalkan :

xk B T kB h h dx      d  x dx h kB h d k B  h D kB

3h 2V cv  2 2 v 3 k B  2



4

 xk BT  x  e  kB  h  dx 2 h ex 1



0

3h 2VT 4 cv  2 3 2 2 v k B 

4

h D kB

 0

4

 kB  4 x   x e kB  h dx 2 h ex 1



h D 3 kB

3Vk B T cv  2 2 v 3h 3





x4  ex

 e 0

x



1

2

dx

Bila didefinisikan :

h D D  kB

dan

3

V  kD N 6 2

3

 D  V   2 3 v 6 Nv    V   3 6 2 D

sehingga

 6 2 Nv 3  4 3   k 3    B 3  D   cv  2 2  h 3 v 3

D / T

x e

 e 0

4

x

x



1

2

dx

cv 

18 Nv k B T 2

4

3

2 v h  D 2

3

h D 3

3

 kB  3  T cv  9NkB hD 

0

3 D / T

9 Nk B T

0

D / T

  



1

4

x

x



1

2

x4  ex

2

dx

dx

kB 1  dx 2 x hD D e 1



 T cv  9 Nk B   D

x

x e

 e

3

0

x4  ex

 e

3

3

4

cv 

3 D / T



3  /T D

x4  ex

 e 0

x



1

2

dx

 Kapasitas panas untuk temperatur tinggi T   D  X D  1

e0  x4 x4   x 2 x 2 4 x e e   1 1   x x e 1   .....  2 4!  2!  4 x 2  x Untuk daerah integrasi 0 ≤ x ≤ xD dengan xD << 1 x 2 2  3 xD 2 ! T 2



ex  x4



Jadi :





cv  9  N  k B 



D

cv  9  N  k B 

x

3

0

T3 D

dx

2

1 3  x 3

T3 x3 cv  9  N  k B  3 3  3 x T Jadi model Debye : untuk suhu tinggi :

cv  3  NkB  3  R

• Kapasitas panas untuk temperatur rendah

T D XD 1

 T cv  9  N  k B    D  T c v  9  N  k B   D

     

3x

ex  x4 dx x e 1

D

 0

3x D



ex  x4 dx x e 1

 0







Integral parsial : UdV  UV  V dU misalkan

U  x4  dU  4x3dx ex 1 dV  x dx  V  x e 1 e 1







3

maka



 T    x4   x c v  9 Nk B     D  e 1



 0

 4x3 dx  x e 1 

Dimana

     x4 T   T  0  e x  1  T   e  1  



dan

x3 4 x dx  43! 4 0 e 1

1 1 1 4  4   4  4  4 ....  90 1 2 3

Dengan fungsi Zeta Reaman maka

3

T  c v  9 Nk b   4 3!  4   3

4 T   c v  9 Nk b    4 . 6 .  90    3

12 4 T  CV   NKB   5  

NK B 3 CV  234 3 T ......................................Hukum T3 Debye  atau

c v 4  T   3R 5  D 4

  

3

cv/3R

cv 1 T  , maka 3R T/Θ

cv 0 T  0, maka 3R

 Perbandingan fungsi Einstein dan Debye berdasarkan grafik : CV C 3R

v

Debye

T / D

Einstein

Latihan Soal 1.Jelaskan dan tuliskan persamaan tentang capasitas panas jenis (Cv) phonon pada temperatur rendah dan temperatur tinggi menurut model a. Einstein b. Debye 2. Jelaskan anggapan yang dipakai untuk model Einstein dan Debye. 3.Pada keadaan suhu rendah, diketahui temperatur Debye untuk logam tembaga adalah 340K Hitunglah kapasitas panas phonon pada suhu 4 K dan 27 C

Latihan Soal : 1.Tentukan rapat keadaan model Debye. 2.Menghitung temperatur Debye. 3.Menghitung kapasitas panas fonon. 4.Gunakan persamaan Debye untuk kapasitas panas fonon.