INTEGRASI NUMERIK KAPASITAS PANAS DEBYE MATERIAL LOGAM MENGGUNAKAN METODE NEWTON-COTES

SIGMA, Vol. 13, No. 2, Juli 2010: 107-113 ISSN: 1410-5888

INTEGRASI NUMERIK KAPASITAS PANAS DEBYE MATERIAL LOGAM MENGGUNAKAN METODE NEWTON-COTES E. Juarlin, A. Limbong, dan P. L. Gareso Jurusan Fisika FMIPA Universitas Hasanuddin Email: [email protected]

Abstract There are three kinds of heat capacity: Classical heat capacity, Einstein heat capacity, and Debye heat capacity. Debye model assumes that atoms vibrate and its number of states contributes to heat capacity. The last step in the Debye model formula derivation is the derivation of internal energy with respect to temperature. The integration can not be solved analytically but it can be solved numerically. Numerical integration methods using in this paper is the Newton-Cotes method which uses 240 segments. Numerical integration is approximated by first order to five order polynom.

Keywords: Debye heat capacity, Newton-Cotes formula, Simpson Method 1. Pendahuluan Panas, salah satu sifat material, bersifat penting sebagai salah satu kriteria aplikasi material. Para peneliti Cooper and Rizzuto (1971), Civjan et al (1972), Garai (2004), Rycerz, et al. (2004), Mohelnikova (2006), Korkut, et al. (2008), dan Nascimento et al. (2009) melaporkan bahwa sifat panas, perlakuan panas, perpindahan panas mempunyai dampak yang besar dalam sifat material lainnya. Salah satu bagian dari sifat panas adalah kapasitas panas. Dari kapasitas panas, ada banyak informasi yang dapat diperoleh. Salah satu informasi tersebut adalah panas yang diserap atau dilepaskan selama terjadi perpindahan panas maka jumlah panas yang diberikan atau dilepaskan dapat diketahui. Para peneliti melaporkan bahwa kapasitas panas berkaitan dengan sifat-sifat lainnya (Garai, 2004; Rycerz, et al., 2004; Mohelnikova, 2006). Kapasitas panas dibagi dua jenis ditinjau dari keadaan sistem ketika menerima atau melepaskan panas, yaitu kapasitas panas pada tekanan tetap (Cp) dan kapasitas panas pada volume tetap (Cv). Kapasitas panas pada volume tetap Cv dibagi menjadi tiga, yaitu: kapasitas panas klasik, kapasitas panas Einstein dan kapasitas panas Debye (Kittel, 1953). Kapasitas panas Debye diturunkan dari energi sistem osilator harmonik kuantum dan rapat keadaan sebagai fungsi temperatur. Dalam model Debye, integrasi untuk mendapatkan kapasitas panas Debye, tidak bisa diselesaikan secara analitik. Dalam makalah ini, penulis menghitung integrasi di dalam rumus kapasitas panas Debye untuk logam menggunakan metode numerik. Metode numerik Newton-Cotes (N-C) digunakan untuk menyelesaikan integrasi numerik tersebut. Metode N-C adalah metode yang mudah, dan sudah mapan. 2. Metode Newton-Cotes Untuk menghitung luas daerah di bawah kurva dapat digunakan metode trapesium dan metode Simpson. Metode trapesium adalah menghitung luas di bawah kurva berdasarkan 1 interpolasi linear. Metode Simpson adalah menghitung luas di bawah kurva berdasarkan 3 3 interpolasi pangkat dua. Metode Simpson adalah menghitung luas di bawah kurva 8 berdasarkan interpolasi pangkat tiga. Misalkan sebuah fungsi f (x ) berada di a < x < b . Integral fungsi tersebut dirumuskan:

SIGMA Vol. 13, No. 2, Juli 2010

107

E. Juarlin, A. Limbong, dan P. L. Gareso

b

I=

∫ f (x )dx

(1)

x =a

Jarak antara a dengan b dibagi menjadi n interval dan jarak antar interval adalah b−a h= n Formula Newton-Cotes (N-C) adalah salah satu teknik menghitung integral. Suatu kurva yang diintegralkan terhadap sumbu x, didiskritisasi sepanjang sumbu x. Titik-titik diskritisasi diinterpolasi. Bentuk interpolasi bisa berupa interpolasi linear, pangkat dua, pangkat tiga dan seterusnya. Formula integrasi numerik N-C menyatakan bahwa sebuah fungsi yang diintegrasikan, dapat diekspansikan menjadi: b

∫ f (x )dx = αh(w f (x ) + w f (x ) + w f (x ) + K + w f (x )) 1

1

2

2

3

3

N

N

(2)

x =a

Beberapa konstanta tersaji dalam tabel berikut: Tabel 1. Konstanta Polinom dengan N adalah orde polinomial.

N

α

1

1 2 1 3 3 8 2 45 5 288

2 3 4 5

wi 11

141 1331 7 32 12 32 7 19 75 50 50 75 19

3. Hasil dan Pembahasan

Menurut Purwanto (2007) rumus kapasitas panas logam adalah: ⎛T Cv 36Na k ⎜⎜ ⎝ TD

⎞ ⎟⎟ ⎠

3

9Na k ⎛ TD ⎞ (3) ⎟ ⎛ ⎛ TD ⎞ ⎞ ⎠ x =0 ⎜⎜ exp⎜ ⎟ − 1⎟⎟ ⎝T ⎠ ⎠ ⎝ Integrasi di persamaan (3) diselesaikan menggunakan metode N-C. Kurva kapasitas panas Debye logam terhadap suhu terdapat di gambar 1. Ketika suhu logam rendah, kurva dapat diaproksimasi menjadi fungsi kubik dari suhu. Ketika suhu logam tinggi, kurva mendekati garis asimptot.

108

TD

x 3 dx

∫ (exp(x ) − 1) − ⎜⎝ T


Integrasi Numerik Kapasitas Panas Debye Material Logam Menggunakan Metode Newton-Cotes

Gambar 1. Kapasitas panas Debye (Purwanto, 2007)

Fungsi terintegrasi di persamaan (3) digambarkan dalam gambar 2. Fungsi tersebut dibagi menjadi fugsi naik dan fungsi turun. Titik puncak fungsi berada di (2,820;1,421435). Fungsi naik bila diaproksimasi dengan fungsi polinomial, menghasilkan kesalahan terkecil bila diaproksimasi dengan fungsi polinom derajat empat yang menghasilkan persamaan: y = 0.049 x 4 − 0.3906 x 3 + 0.8722 x 2 + 0.0558 x − 0.0061 Fungsi turun bila diaproksimasi dengan fungsi polinomial, menghasilkan kesalahan terkecil bila diaproksimasi dengan fungsi polinom derajat lima yang menghasilkan persamaan: y = 10 −10 x 5 − 5.10 −8 x 4 + 8.10 −6 x 3 − 6.10 −4 x 2 − 7.10 −4 x + 1.4223

Gambar 2. Fungsi Terintegrasi di Rumus Debye ⎛T Gambar 4 menggambarkan suku kedua ruas kanan persamaan (3) terhadap ⎜⎜ ⎝ TD

⎞ ⎟⎟ . Dalam suku ⎠

⎛ ⎛T tersebut ada garis asimptot pada suhu tinggi. Hal tersebut terjadi karena fungsi ⎜⎜ exp⎜ D ⎝T ⎝

⎞ ⎞ ⎟ − 1⎟⎟ ⎠ ⎠

−1

⎛T ⎞ bersifat divergen dan fungsi ⎜ D ⎟ bersifat konvergen. ⎝T ⎠


109


5

8

x 10

Right Second Term in Eq. 19

7 6 5 4 3 2 1 0

0

1

2

3

4

5 T/TD

6

7

8

9

10

Gambar 4. Fungsi Suku Kedua Ruas Kanan P. 3

Contoh logam yang diambil dalam makalah ini adalah logam logam Perak. Perak mempunyai suhu Debye 250 K (Hajra, 1987). ⎛T ⎞ Grafik kapasitas panas Debye terhadap ⎜⎜ ⎟⎟ untuk formula N-C berpangkat satu sampai lima ⎝ TD ⎠

T sama untuk logam TD lainnya. Tetapi, grafik konstanta panas Debye terhadap T berbeda untuk logam lainnya.

terdapat di gambar 5a-5e. Grafik konstanta panas Debye terhadap

4

2.5

x 10

Numeric Debye Heat Constant using 1st order polynomial

2

Cv

1.5

1

0.5

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

T/TD

Gambar 5a. Kapasitas panas Debye menggunakan formula N-C polinom orde 1

110



4

x 10

2.5

Numeric Debye Heat Constant using 2nd order polynomial

2

Cv

1.5

1

0.5

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

T/TD

Gambar 5b. Kapasitas panas Debye menggunakan formula N-C polinom orde 2 4

2.5

x 10

Numeric Debye Constant using 3rd order polynomial

2

Cv

1.5

1

0.5

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

T/TD

Gambar 5c. Kapasitas panas Debye menggunakan formula N-C polinom orde 3


111


4

2.5

x 10

Numeric Debye Constant using 4th order polynomial

2

Cv

1.5

1

0.5

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

T/TD

Gambar 5d. Kapasitas panas Debye menggunakan formula N-C polinom orde 4 5

10

x 10

Numeric Debye Constant using 5th order polynomial

9 8 7

Cv

6 5 4 3 2 1 0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

T/TD

Gambar 5e. Kapasitas panas Debye menggunakan formula N-C polinom orde 5

Formula N-C dapat mensimulasikan konstanta panas Debye sampai polinom orde lima. Grafik kapasitas panas Debye menggunakan formula N-C orde satu sampai orde empat tidak menunjukkan perbedaan yang berarti. Garis asimptotik untuk keempat grafik tersebut adalah

2,5 ⋅104 J/K. Garis asimptotik dicapai pada suhu tinggi yang berarti bahwa kapasitas panas

112



logam menurut Debye adalah sama. Khusus untuk polinom orde 5, grafik lambat mencapai garis asimptotik dan mempunyai nilai asimptotik yang lebih besar. Hal itu menunjukkan bahwa kesalahan numerik mulai tampak di orde lima formula N-C. 4. Kesimpulan Formula N-C dapat mensimulasikan konstanta panas Debye. Hasil yang mirip didapatkan dari polinom orde satu sampai orde empat. Hasil tersebut adalah hasil simulasi kapasitas panas Debye terbaik. Saran penelitian adalah perhitungan numerik kapasitas panas logam metode Einstein dan perhitungn kapasitas panas logam menggunakan metode lainnya. Kepustakaan

Cooper, J. R. and Rizzuto, C. 1971. “Magnetic Susceptibility, Electronic Specific Heat and Transport Properties of Some Intermetallic Compounds of Cerium.” Journal de Physique Colloque C1, 32: 1136-1138. . Civjan et al. 1972. “Effects of Heat Treatment on Mechanical Properties of Two NickelChromium-Based Casting Alloys.” J. Dent. Res, 51 (6): 1537-1545. Korkut, et al. 2008. “Effect of Heat Treatment on Some Mechanical Properties of Laminated Window Profiles Manufactured Using Two Types of Adhesives.” Int. J. Mol. Sci. 9 (4): 454-463. Nascimento, et al. 2009. “Effect of Solution Heat Treatment in Nanoscale Mechanical Properties of ASTM A 744Gr. CN3Mn Superaustenitic Stainless Steel.” 11th International Conference oan Advanced Material. Garai, J. 2004. “Correlation between Thermal Expansion and Heat Capacity.” arXiv: physics/0404117. Rycerz, L., et al. 2004. “Heat Capacity and Thermodynamic Properties of LaBr3 at 300 – 1100 K, Z.” Naturforsch. 59a. Mohelnikova, J. 2006. “Determination of Specific Heat of a Building Material.” WSEAS Transactions on Heat and Mass Transfer, 1 (11): 789-791. Kittel, C. 1953. Introduction to Solid State Physics. New York: John Wiley & Sons,. Purwanto, A. 2007. Fisika Statistik. Surabaya: Gava Media. Hajra, J. P. 1987. “A New Formalism for Representation of Heat Capacity in Metals.” Bulletin Material Science, 9 (3), India.


113

INTEGRASI NUMERIK KAPASITAS PANAS DEBYE MATERIAL LOGAM MENGGUNAKAN METODE NEWTON-COTES

Recommend Documents