Pa«stwowa Wy»sza Szkoªa Zawodowa w Nowym S¡czu
Matematyka w przyrodzie i sztuce matematyka, przyroda i sztuka w ksztaªceniu powszechnym Tom 3 Pod redakcj¡
Adama Pªockiego
Nowy S¡cz 2013
Komitet Redakcyjny
doc. dr Marek Reichel przewodnicz¡cy; prof. dr hab. in». Jarosªaw Fr¡czek; prof. dr hab. Leszek Rudnicki; dr hab. n. med. Ryszard Gajdosz, prof. nadzw.; dr hab. Zdzisªawa Zacªona, prof. nadzw.; dr hab. Magdalena Sitarz, prof. nadzw.; dr hab. Wanda Pilch, prof. nadzw.; mgr Agata Witrylak-Leszy«ska
Redaktor Naczelny
doc. dr Marek Reichel
Sekretarz Redakcji
dr Tamara Bolanowska-Bobrek
Redaktor wydania
prof. zw. dr hab. Adam Pªocki Skªad komputerowy (LATEX)
dr Marcin Mazur
Recenzenci
prof. RNDr. Ji°i Cihla°, CSc (Univerzita Jana E. Purkyn¥ Usti nad Labem); doc. RNDr. Roman Fri£, DrSc (Katolická univerzita Ruºomberok); RNDr. Alena Kopa£ková, Ph.D. (Technická univerzita Liberec); prof. zw. dr hab. Andrzej Nowicki (Uniwersytet Mikoªaja Kopernika Toru«); prof. zw. dr hab Jerzy Ombach (Uniwersytet Jagiello«ski Kraków); doc. PaedDR. Jaroslav Perný, Ph.D. (Technická univerzita Liberec); dr hab. prof. nadzw. Ewa Swoboda (Uniwersytet Rzeszowski); prof. RNDr. Pavel Tlustý, CSc (Jiho£eská univerzita eské Bud¥jovice); dr hab. prof. nadzw. Edward Tutaj (Uniwersytet Jagiello«ski Kraków) Wydano za zgod¡ JM Rektora PWSZ w Nowym S¡czu prof. dra hab. in». Zbigniewa lipka Autorzy ponosz¡ odpowiedzialno±¢ za poprawno±¢ j¦zykow¡ tekstu c
Copyright by Pa«stwowa Wy»sza Szkoªa Zawodowa w Nowym S¡czu Nowy S¡cz 2013
ISBN 978-83-63196-46-2
Adres Redakcji
33-300 Nowy S¡cz, ul. Staszica 1 tel. 18 443 45 45, e-mail:
[email protected]
Wydawca
Wydawnictwo Naukowe Pa«stwowej Wy»szej Szkoªy Zawodowej w Nowym S¡czu 33-300 Nowy S¡cz, ul. Staszica 1 tel. 18 443 45 45, e-mail:
[email protected]
Druk
EXPOL P. Rybi«ski, J. D¡bek Spóªka Jawna 87-800 Wªocªawek, ul. Brzeska 4 tel. 54 232 37 23, 232 48 73, e-mail:
[email protected]
Spis tre±ci Wst¦p Kv¥toslav Bártek, Eva Bártková, David Nocar, Matematika v díle Albrechta Dürera
Eva Bártková, David Nocar, Kv¥toslav Bártek, Vyuºití algebraic-
5 7
kých hyperstruktur p°i ur£ování d¥di£nosti krevních skupin
31
Bogumiªa Klemp-Dyczek, Mozaiki pªaszczyzny euklidesowej
41
Ivana Macha£íková, Josef Molnár, roubovice v p°írod¥ a um¥ní
71
Marek Mokri², Príroda v úlohách z geometrie
93
Bronisªaw Pabich, Matematyka w muzyce ±wiat muzyki a matematyzacja
Ada Paªka, Tworzenie obrazów anamor cznych propozycja war-
105
sztatów
131
Zdzisªaw Pogoda, Matematyka szopki krakowskiej
145
Alena Prídavková, Modely pojmov teórie mnoºín s prírodovedným námetom
Jana P°íhonská, Metody teorie graf· p°i °e²ení problém· s bludi-
155
²ti
167
Iveta Scholtzová, Miery v primárnej edukácii £as
177
Darina Stachová, Milan Stacho, Magické ²tvorce vo výtvarnom umení
Radka t¥pánková, Pavel Tlustý, Propojení základních poznatk· z genetiky a stochastiky na základní ²kole
Izabela Stronias, Czwarty wymiar w malarstwie i rze¹bie pocz¡t-
187 203
ku XX wieku
209
Rastislav Telgársky, Mathematics without in nity
223
Marián Trenkler, Kon²trukcie magických obd¨ºnikov
253
Vladimír Van¥k, Matematika a po£así
261
Renata Zemanová, Radek Krpec, Lidové um¥ní inspirace elementární matematiky
273
Dzi¦kujemy Muzeum Historycznemu m. Krakowa za udost¦pnienie nam materiaªów ikonogra cznych zwi¡zanych z krakowskimi szopkami. Cz¦±¢ z nich prezentujemy na pustych stronach parzystych.
Wst¦p Szkolna matematyka jest od stuleci raczej izolowana od innych dziedzin wiedzy, a zwªaszcza od nauk przyrodniczych i humanistycznych. Jednym z powodów tego faktu, s¡ obawy matematyków przed wulgaryzacj¡ matematyki, ilekro¢ prezentuje si¦ j¡ w kontek±cie realnego ±wiata. Obawy nierzadko sªuszne. Tymczasem j¦zyk matematyki, jej poj¦cia i twierdzenia wykorzystuje si¦ w innych przedmiotach nauczania (idea wspóªrz¦dnych w geogra i, konstrukcje przestrzenne na lekcjach wychowania technicznego), a ponadto matematyka rozwijaªa si¦ i nadal rozwija tak»e dzi¦ki temu, »e jej poj¦cia i jej metody s¡ narz¦dziami opisu realnych obiektów i towarzysz¡cych im stosunków ilo±ciowych i jako±ciowych (matematyzacja jako faza procesu stosowania matematyki), a przede wszystkim narz¦dziami rozwi¡zywania pozamatematycznych problemów. Zakªad Edukacji Matematyczno-Przyrodniczej PWSZ w Nowym S¡czu zorganizowaª w dniach 1617 maja 2013 r. trzeci¡ mi¦dzynarodow¡ konferencj¦
Matematyka w przyrodzie i sztuce matematyka, przyroda i sztuka w ksztaªceniu powszechnym, której tematem byªo miejsce przyrody i sztuki w matematycznej aktywizacji. Praca jest monogra ¡, w której znalazªy si¦ wybrane wyst¡pienia na tej konferencji. W dydaktyce matematyki wyró»nia si¦ zasad¦ integracji zewn¦trznej, w której chodzi o ekspansj¦ matematycznych poj¦¢ i twierdze« na inne przedmioty nauczania. Monogra a dotyczy tak»e owej integracji w nauczaniu matematyki. O integracji zewn¦trznej mo»na mówi¢, gdy tworzymy matematyczny model procesu dziedziczenia cech zgodnie z prawami Mendla. W pracy analizuje si¦ na gruncie matematyki dziedziczenie grupy krwi oraz koloru oczu w procesie panmiksji (jest to losowe kojarzenie osobników, którego rezultatem jest genotyp potomka). Cz¦±ci¡ wielu dzieª sztuki (rze¹by, obrazy) i architektury (budowle, plany miast, ogrody, czy place) s¡ takie matematyczne obiekty, jak wielok¡ty, wielo±ciany (w tym bryªy plato«skie), kwadraty magiczne, zbiory, których moce s¡ liczbami Fibonacciego, spirale Fibonacciego. W wielu tych ludzkich wytworach (zwªaszcza w architekturze) pojawiªy si¦ geometryczne symetrie i osobliwe proporcje (zªoty podziaª odcinka). Te same obiekty odkryª czªowiek w wytworach przyrody (krysztaªy, kwiaty, drzewa, owoce, rogi zwierz¡t, skorupy ±limaków, proporcje czªowieka). Krzywa ±rubowa jako obiekt matematyczny pojawiªa si¦ w ludzkich wytworach (spiralne schody, bi»uteria, spr¦»yny, wazony, ozdoby choinkowe, barokowe kolumny), ale ta krzywa wyst¦puje tak»e w przyrodzie (ukªad korzeni i gaª¦zi niektórych drzew, struktura molekuª DNA, mineraªy). W kontek±cie tych spiral pojawiaj¡ si¦ izometrie i ich rozmaite zªo»enia. O ciekawej geometrii mowa jest w kontek±cie tworzenia obrazów anamor cznych.
Symetria rozumiana najpierw jako przeksztaªcenie geometryczne na prostej, pªaszczy¹nie, czy w przestrzeni trójwymiarowej, pojawiªa si¦ w malarstwie, rze¹bie, architekturze, ale tak»e w przyrodzie (krysztaªy) i w zyce. Poj¦ciu symetrii nadaje si¦ dzi± szerszy, ogólniejszy sens. O symetriach mo»na mówi¢ w muzyce. W stochastyce pojawiaj¡ si¦ osobliwe wnioskowania przez symetri¦ (i nie jest to symetria geometryczna). Idea symetrii jest dzi± traktowana jako szczególne ¹ródªo interdyscyplinarnych poszukiwa« jedno±ci przyrody. Matematyka pojawia si¦ w sztuce ludowej. W monogra i opisujemy fenomen krakowskiej szopki, jej projektowanie i sklejanie zaliczaj¡c do aktywno±ci matematycznych. Wspominamy o ludowej architekturze, o ludowych haftach i wycinankach w Czechach. W Polsce mamy wiele regionów sªyn¡cych z ludowych haftów (Bobowa na S¡decczy¹nie, Koniaków na l¡sku Cieszy«skim), czy wycinanek (Kurpie, owicz). Symetrie w papierowej wycinance uzyskuje si¦ poprzez odpowiednie zginanie papieru. W ten sposób ujawnia si¦ o± symetrii lub jej ±rodek oraz ich rola w tym przeksztaªceniu. W monogra i pojawiª si¦ postulat, aby te wytwory sztuki ludowej o wyra¹nych matematycznych strukturach, wª¡cza¢ do powszechnego ksztaªcenia matematycznego, ucz¡c przy tym pewnego lokalnego patriotyzmu (podziw dla tradycji naszych maªych ojczyzn, w których »yjemy). S¡ to wi¦c tak»e wychowawcze aspekty integracji sztuki ludowej i matematyki. W monogra i zebrano prace komentuj¡ce matematyk¦ w przyrodzie i sztuce oraz prace dotycz¡ce matematyki, przyrody i sztuki w powszechnym ksztaªceniu matematycznym oraz w ksztaªceniu przez matematyk¦ i sztuk¦. W tym sensie adresatem tej monogra i jest tak»e nauczyciel (i to nie tylko nauczyciel matematyki). Zebrane w niej prace mog¡ (i maj¡) u±wiadomi¢ nauczycielowi, a przede wszystkim pracownikom naukowym, którzy tych nauczycieli ksztaªc¡, »e wokóª nas jest sporo (nie zawsze dostrzeganej) ciekawej matematyki. Mamy tu na uwadze nowe spojrzenie na tre±ci i obiekty wykorzystywane w nauczaniu matematyki, w ksztaªceniu matematycznym, a przede wszystkim w ksztaªceniu poprzez matematyk¦. Prezentowane w tej monogra i prace maj¡ charakter interdyscyplinarny i potwierdzaj¡ tez¦ Hugona Steinhausa, »e matematyka peªni rol¦ po±rednika mi¦dzy materi¡ a duchem. Adam Pªocki Nowy S¡cz, w grudniu 2013 r.
Zeszyty Naukowe PWSZ, Nowy S¡cz 2013
Vyuºití algebraických hyperstruktur p°i ur£ování d¥di£nosti krevních skupin 1
2
3
Eva Bártková , David Nocar , Kv¥toslav Bártek 1
Katedra matematiky
Pedagogická fakulta Univerzity Palackého v Olomouci iºkovo nám. 5, 77140 Olomouc, eská republika e-mail:
2
[email protected]
Katedra matematiky
Pedagogická fakulta Univerzity Palackého v Olomouci iºkovo nám. 5, 77140 Olomouc, eská republika e-mail:
[email protected] 3
D¥kanát
Pedagogická fakulta Univerzity Palackého v Olomouci iºkovo nám. 5, 77140 Olomouc, eská republika e-mail:
[email protected]
Abstract In the example of determining the inheritance of blood group the article deals with interdisciplinary relations between mathematics and genetics. This inheritance is not traditionally studied using Mendel's squares, but here using the expertise of the algebra of the algebraic hyperstructures with one binary hyperoperation.
Abstrakt lánek se na p°íklad¥ ur£ování d¥di£nosti krevních skupin zabývá problematikou mezip°edm¥tových vztah· mezi matematikou a genetikou. Tato d¥di£nost zde není zkoumána tradi£n¥ pomocí Mendelovských £tverc·, nýbrº se zde vyuºívá poznatk· z algebry z oblasti algebraických hyperstruktur s jednou binární hyperoperací.
32
Eva Bártková, David Nocar, Kv¥toslav Bártek
1.
KREVNÍ SKUPINY U LOV
KA
U £lov¥ka je známo více neº 30 systém· krevních skupin. Mezi nejznám¥j²í pat°í systém AB 0 rozeznáváme £ty°i základní krevní skupiny: A, B , AB a 0. Objev krevních skupin pat°í mezi významné objevy léka°ství po£átku 20. století. Existenci krevních skupin jako první prokázal rakouský v¥dec a léka° Karl Landsteiner v roce 1900, popsal v²ak pouze t°i krevní skupiny: A, B a C (dnes 0). Nezávisle na n¥m dosp¥l v roce 1907 ke stejnému objevu rovn¥º £eský léka° Jan Janský. Ten správn¥ identi koval a klasi koval v²echny £ty°i krevní skupiny ([6], [7]). Krevními skupinami rozumíme v²echny antigeny na membránách erytrocyt· (£ervených krvinek), které jsou schopné vyvolat tvorbu protilátek. Tyto antigeny jsou ozna£ovány jako aglutinogeny. Protilátky (aglutininy) se v krevním ob¥hu vyskytují bu¤ p°irozen¥, nebo je jejich tvorba vyvolána pr·nikem krvinek jiné krevní skupiny do krevního ob¥hu (nap°. po transfúzi nebo za t¥hotenství v krvi matky). Setká-li se aglutinogen A s protilátkou (aglutininem) anti - A nebo aglutinogen B s protilátkou (aglutininem) anti - B , dojde ke shluknutí - aglutinaci (viz obrázek 1).
Obr. 1. Reakce aglutinogen· s protilátkami (aglutininy)
Hyperstruktury d¥di£nosti krevních skupin
33
Jedinci krevní skupiny A nesou na svých krvinkách aglutinogen A a tvo°í protilátky (aglutininy) anti - B , skupina B nese aglutinogen B a tvo°í protilátky (aglutininy) anti - A. Skupina AB má oba aglutinogeny a netvo°í ºádné protilátky (aglutininy), skupina 0 nemá aglutinogeny (je p°ítomen jen jejich prekurzor) a tvo°í protilátky (aglutininy) proti ob¥ma aglutinogen·m ([5], [7], viz obrázek 2).
Obr. 2. P°ítomnost aglutinogen· a aglutinin· u jednotlivých krevních skupin
Pozd¥ji se zjistilo, ºe n¥kte°í lidé s krevní skupinou A produkují protilátku, která aglutinuje erytrocyty taktéº skupiny A u jiných lidí. Z tohoto d·vodu byla skupina A rozd¥lena na dv¥ podskupiny: A1 a A2 . Bernsteinova teorie t°í alel byla díky Thomsenovi a kol. roz²í°ena o £tvrtou alelu. Byly to tedy alely A1 , A2 , B a 0. Dnes uº víme, ºe existují i dal²í podskupiny skupin A a B (viz [1]). Zastoupení krevních skupin v systému AB 0 není v na²í populaci rovnom¥rné, nejvíce se vyskytuje krevní skupina A cca 43 %. Zhruba 38 % lidí má krevní skupinu 0, 13 % krevní skupinu B a 6 % krevní skupinu AB ([5], [8]). Pom¥r zastoupení krevních skupin v lidské populaci by se tak dal vyjád°it p°ibliºn¥ pom¥rem
A : 0 : B : AB = 7, 16 : 6, 3 : 2, 16 : 1.
34
Eva Bártková, David Nocar, Kv¥toslav Bártek
P°ibliºn¥ lze tedy konstatovat nap°.: Osob s krevní skupinou A je sedmkrát více neº osob s krevní skupinou AB . Osob s krevní skupinou B je dvakrát více neº osob s krevní skupinou AB . Osob s krevní skupinou 0 je t°ikrát více neº osob s krevní skupinou B , apod. Tento údaj m·ºe být jedním z ukazatel· pravd¥podobnosti nalezení vhodného dárce krve. P°i krevní transfúzi je ºivotn¥ d·leºité pouºít pouze krevní skupinu, která p°íjemce nepo²kodí. Povolené kombinace krve dárce a p°íjemce ukazuje tabulka na obrázku 3.
Obr. 3. Kompatibilita krevních skupin p°i transfúzi
V tabulce je také vid¥t uplatn¥ní druhé nejd·leºit¥j²í klasi kace pro popis lidských krevních skupin, a to Rh faktor. Rh faktor je krvinkový aglutinogen. Osoby, u kterých se vyskytuje (85 % populace) jsou Rh pozitivní (Rh+ ), ostatní jsou Rh negativní (Rh− ). 2.
EENÍ PROBLÉMU D
DINOSTI KREVNÍCH SKUPIN POMOCÍ MATEMATICKÉHO APARÁTU
Krevní skupiny £lov¥ka pat°í mezi monogenní kvalitativní znaky znaky podmín¥né jedním genem (tzv. genem velkého ú£inku). Tento gen má 3 základní alely, ozna£me je: I A , I B , i. Tyto alely se kombinují vºdy po dvou a výsledná krevní skupina je dána vztahem obou alel. Alely podmi¬ující tvorbu aglutinogenu (tedy I A nebo I B ) jsou dominantní v·£i alele, která nepodmi¬uje tvorbu ºádného
Hyperstruktury d¥di£nosti krevních skupin
35
aglutinogenu (tedy i). V·£i sob¥ jsou alely I A , I B kodominantní (ob¥ p°ítomné alely se projeví ve fenotypu, navzájem se neovliv¬ují) ([5]). Kombinace alel, kterým odpovídají krevní skupiny, popisuje tabulka 1. Genotyp I AI B I Ai I AI A IBi IBIB ii
Fenotyp krevní skupina krevní skupina krevní skupina krevní skupina krevní skupina krevní skupina
AB A A B B 0
Tab. 1
V dal²ím textu budeme pro rozli²ení jednotlivých genotyp· u stejných fenotypových projev· vyuºívat ozna£ení uvedeného v tabulce 2.
I A I B = AB I A i = Ad I A I A = Ah I B i = Bd I B I B = Bh ii = 0 Tab. 2
P°i °e²ení n¥kterých problém· obecné genetiky lze vyuºít poznatk· o základních algebraických strukturách. Podstatné p°itom je, ºe tyto metody jsou efektivn¥j²í neº klasické °e²ení pomocí tzv. mendelovských £tverc· ([2]). Nech´ M je mnoºina, jejímiº prvky jsou v²echny moºné genotypy sledovaného znaku, tedy M = {AB, Ad , Ah , Bd , Bh , 0}. Výsledky moºných genotyp· k°íºení pak popisuje tabulka 3.
36
Eva Bártková, David Nocar, Kv¥toslav Bártek
K°íºení # je binární hyperoperací na neprázdné mnoºin¥ M . Jedná se o zobrazení # : M × M → P 0 (M ), kde P 0 (M ) rozumíme systém v²ech neprázdných podmnoºin mnoºiny M ([3]).
#
AB
Ad
Ah
Bd
AB Ah , Bh , Ad , Ah , Ah , AB AB AB , Bd
Bh
0
AB , Ad , AB , Bh Bd , Bh
Ad , Bd
Ad
Ad , Ah , Ad , Ah , Ad , Ah AB , Bd 0
AB , Ad , AB , Bd Bd , 0
Ad , 0
Ah
Ah , AB
AB , Ad
AB
Ad
Bd
AB , Ad , AB , Ad , AB , Ad Bd , Bh Bd , 0
Bd ,Bh , 0
Bd , Bh
Bd , 0
Bh
AB , Bh
AB , Bd
AB
Bd , Bh
Bh
Bd
0
Ad , Bd
Ad , 0
Ad
Bd , 0
Bd
0
Ad , Ah
Ah
Tab. 3
Systém P 0 (M ) nazýváme poten£ní mnoºina mnoºiny M a její mohutnost je 2n , kde n je mohutnost mnoºiny M . Poten£ní mnoºina ²estiprvkové mnoºiny M tedy obsahuje ²edesát£ty°i podmnoºin, ale z vý²e uvedené tabulky je patrné, ºe zobrazení # je pouze zobrazení do mnoºiny nikoli na celou mnoºinu P 0 (M ). Algebraická struktura(M, #) tvo°í tzv. komutativní hypergrupoid. V hypergrupoidu dokáºeme nalézt i dva netriviální podhypergrupoidy se t°emi prvky (M1 , #), (M2 , #), kde M1 = {Ad , Ah , 0} a M2 = {Bd , Bh , 0} (viz tabulka 4 a 5).
Hyperstruktury d¥di£nosti krevních skupin
ÚLOHY
3. Úloha £. 1.
37
Jaké krevní skupiny mohou zd¥dit d¥ti rodi£·, jestliºe otec je
nositelem krevní skupiny
0
a matka nositelkou krevní skupiny
A?
e²ení. D¥ti mohou být nositeli krevní skupiny A a 0, nebo´ platí:
Ad # 0 = {Ad , 0}, Ah # 0 = {Ad }. e²ení plyne také rovnou z uzav°enosti podhypergrupoidu (M1 , #).
#
AB
Ad
Ah
Bd
AB Ah , Bh , Ad , Ah , Ah , AB AB AB , Bd
Bh
0
AB , Ad , AB , Bh Bd , Bh
Ad , Bd
Ad
Ad , Ah , Ad , Ah , Ad , Ah AB , Bd 0
AB , Ad , AB , Bd Bd , 0
Ad , 0
Ah
Ah , AB
AB , Ad
Ad
Bd
AB , Ad , AB , Ad , AB , Ad Bd , Bh Bd , 0
Bd ,Bh , 0 Bd , Bh
Bd , 0
Bh
AB , Bh
AB , Bd
AB
Bd , Bh
Bh
Bd
0
Ad , Bd
Ad , 0
Ad
Bd , 0
Bd
0
Ad , Ah
Ah
AB
Tab. 4
Úloha £. 2.
Oba rodi£e mají krevní skupinu
B
(jejich genotyp není znám).
Jakou mohou mít jejich d¥ti krevní skupinu?
e²ení. U d¥tí se m·ºe projevit pouze krevní skupina B nebo 0. Plyne z uzav°enosti podhypergrupoidu (M2 , #). Konkrétn¥ mohou nastat následující moºnosti: a) Jsou-li oba jeho rodi£e homozygoti (tj. genotyp Bh ), je z tabulky patrné, ºe jejich d¥ti mohou mít také pouze skupinu B (genotyp Bh ).
38
Eva Bártková, David Nocar, Kv¥toslav Bártek
b) Je-li jeden z rodi£· homozygot (genotyp Bh ) a druhý heterozygot (genotyp Bd ), mohou mít jejich d¥ti op¥t krevní skupinu B (genotyp Bd nebo Bh ). c) Jsou-li oba rodi£e heterozygoti (tj. genotyp Bd ), pak mohou mít jejich d¥ti jak krevní skupinu B (genotyp Bd nebo Bh ), tak krevní skupinu 0. Genotypový ²t¥pný pom¥r Bd : Bh : 0 = 2 : 1 : 1. Fenotypový ²t¥pný pom¥r B : 0 = 3 : 1.
#
AB
Ad
Ah
Bd
AB Ah , Bh , Ad , Ah , Ah , AB AB AB , Bd
Bh
0
AB , Ad , AB , Bh Bd , Bh
Ad , Bd
Ad
Ad , Ah , Ad , Ah , Ad , Ah AB , Bd 0
AB , Ad , AB , Bd Bd , 0
Ad , 0
Ah
Ah , AB
AB , Ad
Ad
Bd
AB , Ad , AB , Ad , AB , Ad Bd , Bh Bd , 0
Bd ,Bh , 0 Bd , Bh
Bd , 0
Bh
AB , Bh
AB , Bd
AB
Bd , Bh
Bh
Bd
0
Ad , Bd
Ad , 0
Ad
Bd , 0
Bd
0
Ad , Ah
Ah
AB
Tab. 5
4.
ZÁV
R
Na n¥kolika úlohách k ur£ení krevních skupin jsme si ukázali p°íklady typických genetických problém·, které lze krom¥ tradi£ní metody pomocí Mendelovských £tverc· výhodn¥ °e²it s vyuºitím poznatk· o algebraických strukturách a hyperstrukturách. U této metody se nemusí
Hyperstruktury d¥di£nosti krevních skupin
39
sestavovat tabulka vºdy pro konkrétní p°ípad, nebo´ se zkonstruuje kompletní Cayleyho tabulka pro v²echny moºné p°ípady. Tím je tato metoda efektivn¥j²í a univerzáln¥j²í, nebo´ lze sestrojenou Cayleyho tabulku vyuºít k °e²ení celé t°ídy úloh.
Reference [1] Daniels G., Human blood groups, Blackwell Science, Cambridge 2002. [2] Emanovský P., Kania T.,Algebraické struktury v genetice jako prost°edek
k rozvíjení interdisciplinárních vztah· v dvoup°edm¥tovém u£itelském studiu, In E-pedagogium II, UP, Olomouc 2004. [3] Chvalina J., Funkcionální grafy, kvaziuspo°ádané mnoºiny a komutativní
hypergrupy, VMU, Brno 1995. [4] Jelínek J. a kol., Biologie a fyziologie £lov¥ka a úvod do studia obecné
genetiky, Nakladatelství Olomouc, Olomouc 2003. [5] Machová J., Biologie £lov¥ka pro u£itele, Karolinum, Praha 2008. [6] Ne£ásek J., Cetli I. a kol.,Obecná genetika, SPN, Praha 1984. [7] Papou²ek I., Bártková E., Polymorfní geny, d¥di£nost a ur£ování krevních
u zví°at a lidí, [online]: http://fvhe.vfu.cz/export/sites/ fvhe/adresa/sekce_ustavy/ubchvzz/Biologie/biologie-materialy/ krevni-skupiny-internet.doc
skupin
[8] Rosypal S., P°ehled biologie, Scientia, Praha 1998.
Zdroje obrázk·: http://www.zbynekmlcoch.cz/informace/medicina/nemoci-lecba/ jak-se-provadi-krizova-zkouska-krve-postup-urceni-krevni-skupiny Obr. 2: http://www.wikiskripta.eu/index.php/Krevní_skupiny Obr. 3: http://cs.wikipedia.org/wiki/Krevní_transfúze Obr. 1:
