Matematyka w przyrodzie i sztuce matematyka, przyroda i sztuka w ksztaªceniu powszechnym

Pa«stwowa Wy»sza Szkoªa Zawodowa w Nowym S¡czu

Matematyka w przyrodzie i sztuce matematyka, przyroda i sztuka w ksztaªceniu powszechnym Tom 3 Pod redakcj¡

Adama Pªockiego

Nowy S¡cz 2013

Komitet Redakcyjny

doc. dr Marek Reichel przewodnicz¡cy; prof. dr hab. in». Jarosªaw Fr¡czek; prof. dr hab. Leszek Rudnicki; dr hab. n. med. Ryszard Gajdosz, prof. nadzw.; dr hab. Zdzisªawa Zacªona, prof. nadzw.; dr hab. Magdalena Sitarz, prof. nadzw.; dr hab. Wanda Pilch, prof. nadzw.; mgr Agata Witrylak-Leszy«ska

Redaktor Naczelny

doc. dr Marek Reichel

Sekretarz Redakcji

dr Tamara Bolanowska-Bobrek

Redaktor wydania

prof. zw. dr hab. Adam Pªocki Skªad komputerowy (LATEX)

dr Marcin Mazur

Recenzenci

prof. RNDr. Ji°i Cihla°, CSc (Univerzita Jana E. Purkyn¥ Usti nad Labem); doc. RNDr. Roman Fri£, DrSc (Katolická univerzita Ruºomberok); RNDr. Alena Kopa£ková, Ph.D. (Technická univerzita Liberec); prof. zw. dr hab. Andrzej Nowicki (Uniwersytet Mikoªaja Kopernika Toru«); prof. zw. dr hab Jerzy Ombach (Uniwersytet Jagiello«ski Kraków); doc. PaedDR. Jaroslav Perný, Ph.D. (Technická univerzita Liberec); dr hab. prof. nadzw. Ewa Swoboda (Uniwersytet Rzeszowski); prof. RNDr. Pavel Tlustý, CSc (Jiho£eská univerzita eské Bud¥jovice); dr hab. prof. nadzw. Edward Tutaj (Uniwersytet Jagiello«ski Kraków) Wydano za zgod¡ JM Rektora PWSZ w Nowym S¡czu prof. dra hab. in». Zbigniewa lipka Autorzy ponosz¡ odpowiedzialno±¢ za poprawno±¢ j¦zykow¡ tekstu c

Copyright by Pa«stwowa Wy»sza Szkoªa Zawodowa w Nowym S¡czu Nowy S¡cz 2013

ISBN 978-83-63196-46-2

Adres Redakcji

33-300 Nowy S¡cz, ul. Staszica 1 tel. 18 443 45 45, e-mail:

[email protected]

Wydawca

Wydawnictwo Naukowe Pa«stwowej Wy»szej Szkoªy Zawodowej w Nowym S¡czu 33-300 Nowy S¡cz, ul. Staszica 1 tel. 18 443 45 45, e-mail:

[email protected]

Druk

EXPOL P. Rybi«ski, J. D¡bek Spóªka Jawna 87-800 Wªocªawek, ul. Brzeska 4 tel. 54 232 37 23, 232 48 73, e-mail:

[email protected]

Spis tre±ci Wst¦p Kv¥toslav Bártek, Eva Bártková, David Nocar, Matematika v díle Albrechta Dürera

Eva Bártková, David Nocar, Kv¥toslav Bártek, Vyuºití algebraic-

5 7

kých hyperstruktur p°i ur£ování d¥di£nosti krevních skupin

31

Bogumiªa Klemp-Dyczek, Mozaiki pªaszczyzny euklidesowej

41

Ivana Macha£íková, Josef Molnár, roubovice v p°írod¥ a um¥ní

71

Marek Mokri², Príroda v úlohách z geometrie

93

Bronisªaw Pabich, Matematyka w muzyce ±wiat muzyki a matematyzacja

Ada Paªka, Tworzenie obrazów anamorcznych propozycja war-

105

sztatów

131

Zdzisªaw Pogoda, Matematyka szopki krakowskiej

145

Alena Prídavková, Modely pojmov teórie mnoºín s prírodovedným námetom

Jana P°íhonská, Metody teorie graf· p°i °e²ení problém· s bludi-

155

²ti

167

Iveta Scholtzová, Miery v primárnej edukácii £as

177

Darina Stachová, Milan Stacho, Magické ²tvorce vo výtvarnom umení

Radka t¥pánková, Pavel Tlustý, Propojení základních poznatk· z genetiky a stochastiky na základní ²kole

Izabela Stronias, Czwarty wymiar w malarstwie i rze¹bie pocz¡t-

187 203

ku XX wieku

209

Rastislav Telgársky, Mathematics without innity

223

Marián Trenkler, Kon²trukcie magických obd¨ºnikov

253

Vladimír Van¥k, Matematika a po£así

261

Renata Zemanová, Radek Krpec, Lidové um¥ní inspirace elementární matematiky

273

Dzi¦kujemy Muzeum Historycznemu m. Krakowa za udost¦pnienie nam materiaªów ikonogracznych zwi¡zanych z krakowskimi szopkami. Cz¦±¢ z nich prezentujemy na pustych stronach parzystych.

Wst¦p Szkolna matematyka jest od stuleci raczej izolowana od innych dziedzin wiedzy, a zwªaszcza od nauk przyrodniczych i humanistycznych. Jednym z powodów tego faktu, s¡ obawy matematyków przed wulgaryzacj¡ matematyki, ilekro¢ prezentuje si¦ j¡ w kontek±cie realnego ±wiata. Obawy nierzadko sªuszne. Tymczasem j¦zyk matematyki, jej poj¦cia i twierdzenia wykorzystuje si¦ w innych przedmiotach nauczania (idea wspóªrz¦dnych w geograi, konstrukcje przestrzenne na lekcjach wychowania technicznego), a ponadto matematyka rozwijaªa si¦ i nadal rozwija tak»e dzi¦ki temu, »e jej poj¦cia i jej metody s¡ narz¦dziami opisu realnych obiektów i towarzysz¡cych im stosunków ilo±ciowych i jako±ciowych (matematyzacja jako faza procesu stosowania matematyki), a przede wszystkim narz¦dziami rozwi¡zywania pozamatematycznych problemów. Zakªad Edukacji Matematyczno-Przyrodniczej PWSZ w Nowym S¡czu zorganizowaª w dniach 1617 maja 2013 r. trzeci¡ mi¦dzynarodow¡ konferencj¦

Matematyka w przyrodzie i sztuce matematyka, przyroda i sztuka w ksztaªceniu powszechnym, której tematem byªo miejsce przyrody i sztuki w matematycznej aktywizacji. Praca jest monogra¡, w której znalazªy si¦ wybrane wyst¡pienia na tej konferencji. W dydaktyce matematyki wyró»nia si¦ zasad¦ integracji zewn¦trznej, w której chodzi o ekspansj¦ matematycznych poj¦¢ i twierdze« na inne przedmioty nauczania. Monograa dotyczy tak»e owej integracji w nauczaniu matematyki. O integracji zewn¦trznej mo»na mówi¢, gdy tworzymy matematyczny model procesu dziedziczenia cech zgodnie z prawami Mendla. W pracy analizuje si¦ na gruncie matematyki dziedziczenie grupy krwi oraz koloru oczu w procesie panmiksji (jest to losowe kojarzenie osobników, którego rezultatem jest genotyp potomka). Cz¦±ci¡ wielu dzieª sztuki (rze¹by, obrazy) i architektury (budowle, plany miast, ogrody, czy place) s¡ takie matematyczne obiekty, jak wielok¡ty, wielo±ciany (w tym bryªy plato«skie), kwadraty magiczne, zbiory, których moce s¡ liczbami Fibonacciego, spirale Fibonacciego. W wielu tych ludzkich wytworach (zwªaszcza w architekturze) pojawiªy si¦ geometryczne symetrie i osobliwe proporcje (zªoty podziaª odcinka). Te same obiekty odkryª czªowiek w wytworach przyrody (krysztaªy, kwiaty, drzewa, owoce, rogi zwierz¡t, skorupy ±limaków, proporcje czªowieka). Krzywa ±rubowa jako obiekt matematyczny pojawiªa si¦ w ludzkich wytworach (spiralne schody, bi»uteria, spr¦»yny, wazony, ozdoby choinkowe, barokowe kolumny), ale ta krzywa wyst¦puje tak»e w przyrodzie (ukªad korzeni i gaª¦zi niektórych drzew, struktura molekuª DNA, mineraªy). W kontek±cie tych spiral pojawiaj¡ si¦ izometrie i ich rozmaite zªo»enia. O ciekawej geometrii mowa jest w kontek±cie tworzenia obrazów anamorcznych.

Symetria rozumiana najpierw jako przeksztaªcenie geometryczne na prostej, pªaszczy¹nie, czy w przestrzeni trójwymiarowej, pojawiªa si¦ w malarstwie, rze¹bie, architekturze, ale tak»e w przyrodzie (krysztaªy) i w zyce. Poj¦ciu symetrii nadaje si¦ dzi± szerszy, ogólniejszy sens. O symetriach mo»na mówi¢ w muzyce. W stochastyce pojawiaj¡ si¦ osobliwe wnioskowania przez symetri¦ (i nie jest to symetria geometryczna). Idea symetrii jest dzi± traktowana jako szczególne ¹ródªo interdyscyplinarnych poszukiwa« jedno±ci przyrody. Matematyka pojawia si¦ w sztuce ludowej. W monograi opisujemy fenomen krakowskiej szopki, jej projektowanie i sklejanie zaliczaj¡c do aktywno±ci matematycznych. Wspominamy o ludowej architekturze, o ludowych haftach i wycinankach w Czechach. W Polsce mamy wiele regionów sªyn¡cych z ludowych haftów (Bobowa na S¡decczy¹nie, Koniaków na l¡sku Cieszy«skim), czy wycinanek (Kurpie, owicz). Symetrie w papierowej wycinance uzyskuje si¦ poprzez odpowiednie zginanie papieru. W ten sposób ujawnia si¦ o± symetrii lub jej ±rodek oraz ich rola w tym przeksztaªceniu. W monograi pojawiª si¦ postulat, aby te wytwory sztuki ludowej o wyra¹nych matematycznych strukturach, wª¡cza¢ do powszechnego ksztaªcenia matematycznego, ucz¡c przy tym pewnego lokalnego patriotyzmu (podziw dla tradycji naszych maªych ojczyzn, w których »yjemy). S¡ to wi¦c tak»e wychowawcze aspekty integracji sztuki ludowej i matematyki. W monograi zebrano prace komentuj¡ce matematyk¦ w przyrodzie i sztuce oraz prace dotycz¡ce matematyki, przyrody i sztuki w powszechnym ksztaªceniu matematycznym oraz w ksztaªceniu przez matematyk¦ i sztuk¦. W tym sensie adresatem tej monograi jest tak»e nauczyciel (i to nie tylko nauczyciel matematyki). Zebrane w niej prace mog¡ (i maj¡) u±wiadomi¢ nauczycielowi, a przede wszystkim pracownikom naukowym, którzy tych nauczycieli ksztaªc¡, »e wokóª nas jest sporo (nie zawsze dostrzeganej) ciekawej matematyki. Mamy tu na uwadze nowe spojrzenie na tre±ci i obiekty wykorzystywane w nauczaniu matematyki, w ksztaªceniu matematycznym, a przede wszystkim w ksztaªceniu poprzez matematyk¦. Prezentowane w tej monograi prace maj¡ charakter interdyscyplinarny i potwierdzaj¡ tez¦ Hugona Steinhausa, »e matematyka peªni rol¦ po±rednika mi¦dzy materi¡ a duchem. Adam Pªocki Nowy S¡cz, w grudniu 2013 r.

Zeszyty Naukowe PWSZ, Nowy S¡cz 2013

Matematika v díle Albrechta Dürera 1

2

Kv¥toslav Bártek , Eva Bártková , David Nocar

1

3

D¥kanát

Pedagogická fakulta Univerzity Palackého v Olomouci iºkovo nám. 5, 77140 Olomouc, eská republika e-mail:

[email protected]

2

Katedra matematiky

Pedagogická fakulta Univerzity Palackého v Olomouci iºkovo nám. 5, 77140 Olomouc, eská republika e-mail: 3

[email protected]

Katedra matematiky

Pedagogická fakulta Univerzity Palackého v Olomouci iºkovo nám. 5, 77140 Olomouc, eská republika e-mail:

[email protected]

Abstract

The article attempts to give readers insight into Albrecht Dürer's relationship to mathematics in his art works of a painter, an engraver, an architect of city fortication system and perfect cities , and an author of art theory works. We try to show how mathematics inuenced Dürer's art works and how Dürer himself contributed to the development of mathematics.

Abstrakt

lánek p°edstavuje vztah Albrechta Dürera jako um¥lce s velmi blízkým vztahem k matematice a jejího vyuºití v malbách, rytinách, v architektonických návrzích m¥stských opevn¥ní a dokonalých m¥st. Pokusili jsme se nastínit, jak matematika ovlivnila Dürerovu um¥leckou tvorbu a jak on sám p°isp¥l k rozvoji matematiky.

8

Kv¥toslav Bártek, Eva Bártková, David Nocar

1.

Albrecht Dürer

Základní ºivotopis

(14711528), rodák z Norimberku, byl jedním z nej-

významn¥j²ích um¥lc· zaalpské renesance. Jeho otec byl významným norimberským zlatníkem, v jehoº ateliéru se mladý Dürer ²kolil a zde se také nau£il technice m¥dirytu. Ve svých studiích pokra£oval v díln¥ Michaela Wolgemuta, u n¥jº se vytvá°ely d°evo°ezy pro místní tiskárnu. Do této dílny nastoupil v 15ti letech roku 1486. Od roku 1490 cestoval po Evrop¥ a seznamoval se s díly tehdej²ích významných mistr·. Nejprve procestoval Porýní a poté pravd¥podobn¥ i Nizozemsko. V roce 1494 se vydal p¥²ky na první studijní cestu do Benátek. Zde studoval díla italských mistr·, coº vyvolalo jeho zájem o ideální proporce lidského t¥la, které vyjad°oval pomocí matematických vzorc· ([16]).

Obr. 1.

A. Dürer (1484)

Obr. 2.

A. Dürer (1500)

V roce 1505 se vydal na dal²í studijní cestu do Bologne a Florencie, kde se seznamoval s díly nap°. da Vinciho. V Itálii poznal d·leºitost matematiky v um¥ní, zejména v pot°eb¥ m¥°ení kaºdé £ásti lidského t¥la coby nutnosti k dosaºení p°esnosti a také pot°eby v¥decky se v¥novat perspektiv¥, aby mohla být správn¥ nakreslená t¥la realisticky umíst¥na v prostoru. Jeho kreslí°ský talent ve spojení s dokonale zvládnutou technikou práce s kovem, pe£livostí a precizností se projevil v mnoha zachovaných

Matematika v díle Albrechta Dürera

9

m¥dirytinách, d°evorytech, skicách, portrétech, krajinách atd. Jeho talent nez·stal bez pov²imnutí jiº za jeho ºivota, stal se v roce 1512 dvorním malí°em císa°e Maxmiliána I., získal stipendium a tím i nan£ní nezávislost ([16]). Byl £asto kritizován za to, ºe mu práce na objednaných dílech trvá p°íli² dlouho, on p°itom pracoval na £etných studiích a skicách ke kaºdému obrazu. Byl zastáncem v¥deckého p°ístupu k um¥ní, svá díla d·sledn¥ a pe£liv¥ prom¥°oval a v dílech se snaºil d·sledn¥ uplat¬ovat lineární perspektivu.

2.

Díla výtvarná

Dürer je autorem, mimo jiné, mnoha kreseb, 108 m¥dirytin a 246 d°evo°ez·. Mezi m¥dirytiny, které tvo°í vrcholná mistrovská díla v Dürerov¥ tvorb¥, jsou °azeny rytiny Rytí°, Smrt a ábel (1513), Svatý Jeromým

ve své pracovn¥ (1514) a Melencolia I (1514).

Obr. 3.

a ábel

Rytí°, Smrt

Svatý Jeromým ve své pracovn¥ Obr. 4.

Pravd¥podobn¥ nejznám¥j²í a také m¥dirytinou vyvolávající nejv¥t²í diskuse a dohady je Melencolia I. Pat°í mezi první um¥lecká díla, o kterých se ví, ºe byla skute£n¥ sestrojovaná (kruºítkem, pravítkem), a to v lineární perspektiv¥ ([10], s. 67).

10


asto se diskutuje o významu názvu této rytiny, zejména pro£ se v názvu vyskytuje °ímská £íslice jedna. Velmi pravd¥podobné se jeví být tvrzení o Dürerem zamý²leném cyklu, v n¥mº by zpracoval kompletní alegorii v²ech £ty° lidských temperament·. Dochoval se v²ak pouze jediný dokon£ený m¥diryt.

Obr. 5.

Melencolia I (A. Dürer 1514), viz [21] 1

Rytina Melencolia I vznikla v roce 1514 a, jak bývá u Dürera zvykem, tvo°í letopo£et sou£ást monogramu um¥lce. Tento letopo£et v²ak v rytin¥ nacházíme i na jiném míst¥, v pravé horní £ásti na zdi domu je umíst¥n magický £tverec 1

4×4

resp. °ádu 4, v jehoº dolním °ádku práv¥ tento

Tento rok byl pro Dürera tragický z toho d·vodu, ºe roku 1514 zem°ela jeho matka. To velmi pravd¥podobn¥ ovlivnilo nám¥t i zpracování celé rytiny.


11

letopo£et nacházíme. V dolním °ádku se v²ak Dürerovi také poda°ilo umístit i numerologické hodnoty svého monogramu tedy

A = 1 a D = 4.

N¥kdy je uvád¥n jako autor tohoto magického £tverce práv¥ A. Dürer, ale je skoro jisté, ºe magický £tverec Dürer objevil ve spisech L. Pacioliho (viz [12]), s nimiº se p°i svých studijních cestách do Itálie seznámil.

Magický £tverec a monogram autora s rokem vzniku rytiny Melencolia I Obr. 6.

ím je zobrazený magický £tverec tak zvlá²tní, ºe mu byla v¥nována celá °ada pojednání a rozbor·, nazna£íme v dal²ích odstavcích. Magickým £íslem £tverce je £íslo 34. íslo 34 obdrºíme po se£tení hodnot jak ve sloupcích, tak v °ádcích a samoz°ejm¥ i v diagonálách. Dále sou£et 34 obdrºíme, pokud se£teme hodnoty ve v²ech rohových polích, které tvo°í pomyslný £tverec a také v jeho pooto£eních, a dále v polích kolem st°edu (viz obrázek 7).

Obr. 7

12


Hodnotu sou£tu 34 obdrºíme také v polích sousedících s rohovými poli (viz. obrázek 8) a také v mnoha dal²ích symetricky vytvá°ených sou£tech (obrázek 9). St°edov¥ký pohled na sv¥t byl, jak známo, pon¥kud odli²ný od pohledu £lov¥ka 21. století. Matematika byla provázána s dal²ími obory poznání alchymií a astrologií, které sou£asnému pojetí v¥dy nevyhovují, ale utvá°ely základ pro v¥dy sou£asné chemii, fyziku a astronomii. V tomto pojetí byly £ísl·m, geometrickým obrazc·m, t¥les·m a r·zným £íselným schémat·m p°isuzovány symbolické a magické aº okultní významy. Magické £tverce proto v této dob¥ byly povaºovány za magické v pravém slova smyslu.

Obr. 8

Heinrich Cornelius Agrippa ve svém latinsky psaném spisu Okultní

lozoe (1534) v knize druhé hovo°í o magických £tvercích následovn¥ 2

. . . tabulka náleºí Jupiterovi a jest £tvercem £ty°ky. Obsahuje 16 £ísel, v

kaºdé °ad¥ po £ty°ech, jichº sou£et v²emi sm¥ry jest t°icet £ty°i a úhrnný sou£et 136. . . . Jest zaznamenáno, ºe vyryjeme-li tabulku v dob¥, kdy Jupiter jest mocný a vládne do st°íbrné desti£ky, ºe p°iná²í zisk, bohatství, vd¥k i lásku, mír a svornost lidí, ºe usmi°uje nep°átele, uchovává pocty a hodnosti a vnuká dobré rady; ru²í o£arování, je-li vyryta do korálu. Magický £tverec £tverci Venu²i,

5×5 8×8

3×3

pak byl p°isouzen vlivu Saturnu, magickému

vládl Mars. Magický £tverec Merkuru a

9×9

6×6

náleºel Slunci,

7×7

M¥síci.

N¥které výklady rytiny shledávají d·vody pro umíst¥ní zmín¥ného £tverce z d·vodu st°edov¥ké víry v magickou moc tohoto £tverce, která 2

Jednu její obdobu pouºil Dürer ve své rytin¥; v²ech 880 normálních magických £tverc· °ádu 4 nalezl francouzský matematik Bernard Frénicle de Bessy (16051675), p°ítel Pierra de Fermata ([9], poznámka autor·)


13

m¥la prosp¥²n¥ p·sobit na jedince se sklony práv¥ k melancholii.

Obr. 9

3.

Ikonografie rytiny

Nejen znázorn¥ný magický £tverec má sv·j symbolický význam. A ani magický £tverec nemá pouze jeden symbolický význam. Dürer v rytin¥ zobrazil mnoho atribut·, které byly jednak tematicky spjaté s my²lenkovým konceptem rytiny, mají v²ak i vztah k r·zným oblastem matematiky. Rytina Melencolia I (obr. 5) je vyobrazením jednoho ze £ty° lidských temperament· a ve st°edov¥ku jí byly p°ipisovány práv¥ atributy zobrazené v rytin¥ pes, kniha, m¥²ec. Hlavní postava je obklopena kruºidlem, pravítkem, trojúhelníkem atributy geometrie (geometrie podléhá Saturnu, stejn¥ tak je Saturn symbolicky spojen s vyobrazením psa a tesa°skými nástroji hoblíkem, pilou, které odkazují na tesa°e taktéº podléhající vlivu Saturnu). Kruºidlo £i odpichovátko, které drºí postavy zobrazované v renesan£ním um¥ní v ruce, ozna£ují mo°eplavce nebo stavitele p°ípadn¥ um¥lce (odkazuje na jeho znalosti geometrie a perspektivy). Kruºidlo, stejn¥ jako pravítko £i m¥°idlo a trojúhelník, je v²ak také atributem geometrie jednoho ze sedmi svobodných um¥ní. Ta se d¥lila na trivium a kvadrivium. V¥dy trivia a kvadrivia byly odli²eny na jedné stran¥ od lozoe a na stran¥ druhé od technických £i mechanických v¥d architektury

14


a zem¥d¥lství. Kvadrivium tvo°ila geometrie, aritmetika, astronomie a musika; trivium pak gramatika, logika (resp. dialektika) a rétorika. Atribut knihy odkazuje na dal²í ze svobodných um¥ní rétoriku. Logika je zastoupena váhami nástroj na váºení pravdivého a nesprávného, atributem astronomie bývá koule £i globus s vyzna£enými souhv¥zdími. Kruºidlo a sextant bývají také atributy astronomie. Aritmetiku pak zastupuje tabulka pokrytá £íslicemi, na niº obvykle pí²e zobrazovaná postava, zde se jedná o jiº zmín¥ný magický £tverec (mén¥ £asto se zobrazuje také po£ítadlo). Mohou ale mít zmi¬ované zobrazené p°edm¥ty i jiný význam?

4.

Konvexní útvar v rytin¥

Dal²ím objektem, kterému byla v¥nována v literatu°e velká pozornost a vyvolal snad i nejv¥t²í diskuse, je konvexní útvar v levé £ásti rytiny. Byly publikovány mnohé práce zabývající se skute£ným tvarem objektu, jeho p·vodem a také hledající d·vod stejn¥ jako u magického £tverce pro£ jej Dürer do kompozice umístil.

Obr. 10.

Dürerovo t¥leso v rytin¥ Melencolia I

Diskuse ohledn¥ druhu zobrazeného mnohost¥nu se vedou jiº desítky let. Dle Schreibera ([17]) m¥l Dürer v úmyslu zobrazit t¥leso, jeº lze vepsat kulové plo²e tak, ºe v²ech 12 vrchol· jí bude náleºet. M¥lo se dle


Weitzela ([19]) jednat o Archimedovské t¥leso

(3, 5, 5),

15

nicmén¥ výsled-

kem byl konvexní mnohost¥n na obrázku 10. Schreiber dosp¥l k záv¥ru, ºe se jedná o klenec rovnob¥ºnost¥n o shodných koso£tvercových stra◦ nách s ostrým úhlem 72 , který je, aby jej bylo moºno vepsat kulové plo²e, u obou vrchol· leºících na del²í diagonále od°ezán.

Obr. 11.

Bokorys a p·dorys Dürerova klence dle Schreibera ([17])

Dürer mohl osv¥d£enou metodou konstrukce p·dorysu a bokorysu poºadované t¥leso zobrazit (obrázek 11). Umíst¥ním koule v pop°edí a zobrazením nástroj· slouºících k úprav¥ d°eva £i kamene (pila, hoblík, m¥°idla, úhelník, kruºidlo atd.) pak mohl nazna£it vodítka k vytvo°ení reálného t¥lesa postupným o°ezáváním a úpravou koule. Vra´me se k jiº popisovanému magickému £tverci. Je moºné, ºe i jeho umíst¥ní v rytin¥ souvisí s tímto mnohost¥nem? T. Lynch ([12]) se domnívá, ºe oba elementy (t¥leso i magický £tverec) nemají pouze ikonologický význam, mohou být základním motivem celé rytiny d·vodem ztvárn¥né melancholie.

Obr. 12.

Nárys Dürerova t¥lesa do £tverce 4x4

16


Lynch ([12], s. 228) poukazuje, ºe nárys Dürerova t¥lesa se dá p°esn¥ vepsat do £tverce tvo°eného 16ti poli, tedy stejného schématu, jako bylo pouºito p°i ztvárn¥ní magického £tverce na rytin¥. Pomocí Brunelleschiho pr·se£né metody pak bylo moºno dosáhnout velmi dobrého výsledku rekonstrukce Dürerova t¥lesa.

Obr. 13.

P·dorys a nárys Dürerova t¥lesa

V £esky psaných zdrojích k uvedené problematice stojí za prostudování práce Kup£ákové ([10]).

5.

Spisy a pojednání

Období 14., 15. a 16. století znamená, trochu paradoxn¥, rozvoj a ²í°ení p°írodních v¥d mj. také matematiky a nových matematických teorií a to díky rozvoji um¥ní a architektury ([8], s. 410). Práv¥ v období renesance se architekti, inºený°i, °emeslnící a um¥lci zajímají o sv¥t kolem sebe, o jeho fungování a p°esné znázorn¥ní. Rozvíjí se teorie proporcí, perspektiva a její vyuºívání v um¥ní. Zavád¥jí se pojmy úb¥ºník, hlavní bod obrazu, jsou rozpracovávány metody zobrazování t¥les v perspektiv¥ podle jeho p·dorysu a nárysu (nap°. Brunelleschi). Zmi¬me jen n¥kolik nejzásadn¥j²ích d¥l z tohoto období, která mají vztah k tématu. Della pictura O malí°ství vydáno 1511 v Benátkách, jehoº autorem je Leon Battista Alberti (14041472). Albertiho popisovaná idea konstrukce obrazu v perspektiv¥ byla velmi jednoduchá pokud vidíme n¥jaký p°edm¥t p°es okno, m·ºeme zachytit jeho správný


17

obraz tak, ºe p°eneseme kontury p°edm¥tu na okenní tabuli. Zatímco p°ená²íme kontury na okenní tabuli, sledujeme p°edm¥t pouze jedním okem a není moºné pohnout hlavou ([6], s. 7172). Tento postup dále pouºívali £i rozpracovávali nap°. Leonardo da Vinci a, jak se zmíníme v dal²í £ásti textu, také Albrecht Dürer.

Obr. 14.

Luca Pacioli De divina proportione

Dal²ími, z dne²ního pohledu, zásadními díly té doby byly: spis De prospectiva pingendi

( O

perspektiv¥ v malí°ství ),

14741482, autorem je Piero de Franceschi (1416/171492); známý spis Luca Pacioliho De divina proportione (dopln¥ný kresbami Leonarda da Vinciho); Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportiona-

lita , vydaná v Benátkách v roce 1494. S t¥mito spisy byl Dürer seznámen a z nich vycházel ve svém vlastním pojednání Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richt-

scheyt, in Linien, Ebenen und gantzen corporen (v £eském p°ekladu Uvedení do m¥°ení ) vydaného v Norimberku v roce 1525. Na pojednání pracoval 16 let a jeho prost°ednictvím zamý²lel um¥lc·m p°edat základní matematická pravidla a pou£ky se základním výkladem uºité geometrie a stereometrie. Výklad za£íná od elementárních geometrických pojm· p°ímky, k°ivky, kruºnice, spirály, ²roubovice aº po sloºit¥j²í kon-

18


strukce a jejich vyuºití ve výtvarném um¥ní.

Obr. 15.

Dürerovy konstrukce ve spisu

Underweysung...

Nalezneme zde také popis sestrojení parabolických oblouk·, °ezy kuºel· (hyperbolické, parabolické, eliptické i pouºití t°etí pr·m¥tny). Dürer tak bývá povaºován za p°edch·dce deskriptivní geometrie ([11], s. 233).

Obr. 16.


Underweysung...


19

Konstrukce pravidelných konvexních mnohoúhelník· kruºítkem vyuºívá Dürer pro sestrojování rozli£ných kruºeb. Dürer se tak ve spisu zabývá i problémy konstrukcí pravidelných mnohoúhelník·. Podívejme se na konstrukce p¥tiúhelník· nalezení pravidelného p¥tiúhelníku vepsaného dané kruºnici n¥ní p¥tiúhelníku k dané úse£ce

AB .

k

a podrobn¥ji na dopl-

Ve spisu je obsaºeno °e²ení pro-

blému, které v²ak není p·vodní, je obsaºeno jiº v n¥mecké u£ebnici

Geometria Deutsch (14891490).

Geometria Deutsch konstrukce pravidelného p¥tiúhelníku ke stran¥ ab Obr. 17.

Konstrukci petiúhelníku uvádenou v Dürerove spisu jsme realizovali pomocí programu Cabri a její popis uvádíme pod obrázkem 18.

Obr. 18.

Kontrukce petiúhelníku v Cabri II Plus

20


Popis konstrukce: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13)

AB , k1 ; k1 (A, |AB|), k2 ; k2 (B, |AB|), P, Q; k ∩ l = {P, Q}, k3 ; k3 (Q, |AB|), X, Y ; X = k1 ∩ k3 , Y = k2 ∩ k3 , ←→ o; o = P Q, Z; Z = o ∩ k3 , 7→ XZ; 7→ Y Z , E; E = k1 ∩ 7→ Y Z , C; C = k2 ∩ 7→ XZ , k4 ; k4 (C, |AB|), D; D = o ∩ k4 .

Podrobn¥j²í analýzou v²ak m·ºeme dojít k záv¥ru, ºe dané °e²ení je pouze p°ibliºné ([11], s. 239240). Pro pot°eby tehdej²ích malí°·, rytc· a architekt· byla v²ak tato metoda dostate£n¥ p°esná .

Obr. 19

P°i zv¥t²ení výsledného p¥tiúhelníku a dopln¥ní v programu Cabri II Plus o automaticky zkonstruovaný pravidelný p¥tiúhelník o stran¥

|AB|

je vid¥t, ºe se tyto p¥tiúhelníky nep°ekrývají. Dürer·v p¥tiúhelník (alový) má body

E

a

C

od sebe vzdáleny nepatrn¥ více, neº je u pravidel-

ného p¥tiúhelníku (£erného). Z toho plyne, ºe velikost úhlu u vrcholu a stejn¥ tak i u vrcholu

B

A

musí být u Dürerova p¥tiúhelníku o n¥co v¥t²í


21

108◦ . Program Cabri II Plus tuto velikost úhlu vy£íslil zaokrouhlen¥ ◦ jedno desetinné místo na hodnotu 108, 4 . Kup£áková a Royt vypo-

neº na

£ítali velikost tohoto odli²ného úhlu s p°esností na £ty°i desetinná místa ◦ na hodnotu 108,3661 ([11], s. 239).

Obr. 20

V dal²ích £ástech spisu se m·ºeme seznámit s Dürerovými návrhy parketáºí, v¥nuje se také konstrukcím sítí Platónských a Archimédovských t¥les nebo problematice osv¥tlení zobrazovaných objekt· a vrºeným stínem. iroký záb¥r celého díla dopl¬ují Dürerovy konstrukce písma.

Obr. 21

22


Dal²í oblastí, kterou se Dürer v Uvedení . . . zabývá, jsou malí°ské zobrazovací techniky a pom·cky. Obrázek 23 zachycuje Dürerem vylep²enou metodu sklen¥né desky. Sám vyrobil ([20]) z tehdy dostupných zem¥m¥°i£ských nástroj· speciální nastavitelné za°ízení, které umoº¬ovalo xovat polohu oka v jediném bod¥ pomocí ukotveného pr·hledu a tak popsanou metodou pracovat.

Obr. 22

Dürer, pravd¥podobn¥ i v tomto p°ípad¥ inspirován Albertiho spisem, v²ak metodu je²t¥ dále rozpracoval pouºitím sklen¥né desky se £tvercovou sítí umíst¥nou v pr·m¥tné rovin¥ (obrázek 24). Sí´ má také na pracovní desce stolu, sem pozorovaný pr·m¥t p°ená²í. Navíc lidské oko pozorovatele je v tomto systému nahrazeno o£kem ukotveným v pevném bod¥ (o£ko ve zdi) a zorné paprsky nití £i provázkem zatíºeným ol·vkem. Pr·m¥ty bod· jsou pr·se£íky provázk· - zorného paprsku a provázk·,


23

které jsou upevn¥ny na rámu okna. Po zav°ení okna se bod jiº snadno p°enese na médium umíst¥né v pr·m¥tné rovin¥.

Obr. 23

Dal²í Dürer·v spis Vier Bücher von menschlicher Proportion ( ty°i knihy o lidské proporci ) vydán poprvé v roce 1528 se ob²írn¥ zaobírá typologií a proporcionalitou lidských postav a jednotlivých £ástí lidského t¥la. Dürer zde, stejn¥ jako v p°edchozím spisu, kde pr·kopnicky p°istupuje k zobrazování t¥les pomocí nárys·, p·dorys· a bokorys·, zobrazuje stejným zp·sobem lidské hlavy, tvary obli£eje nebo celá lidská t¥la s jejich proporcemi. Otázkou matematického vyjád°ení krásy se Dürer zabýval dlouhodob¥. V¥noval jí mimo°ádnou pozornost a tzv. antropometrii chápal jako sou£ást geometrie. Zabýval se velmi pe£liv¥ a dlouhodob¥ (od roku 1500 velmi intenzivn¥) studiem proporcí £lov¥ka a do²el k záv¥ru, ºe vý²ku postavy lze odvodit z vý²ky hlavy a ºe existuje plynulá °ada gur vysokých od ²esti a p·l vý²ky hlavy aº k postavám vysokým osminásobek

24


vý²ky hlavy. Vypracoval tedy kánon jiný, neº byly kánony Vitruvia £i Leonarda da Vinci (viz [10]).

Obr. 24

V roce 1500 p°i²el z Benátek do Norimberku Jacopo de'Barbari (aby zde pracoval pro císa°e Maxmiliána I.) a jeho prost°ednictvím se Dürer seznámil s antickými teoretiky, mj. práv¥ s Vitruviem. Zájem o tuto problematiku v²ak projevoval je²t¥ mnohem d°íve, jiº za svého pobytu v Benátkách v roce 1494, kde se zajímal p°eváºn¥ o akt a ideály krásy, ale také o perspektivní podání prostoru. Tyto snahy vyústily práv¥ ve vydání tohoto pojednání, které se jiº nedlouho poté do£kalo p°eklad· do latiny, francouz²tiny, ital²tiny £i holand²tiny.

Obr. 25


25

Mimo pojednání, o nichº jsme se jiº zmínili, je Dürer i autorem spisu, zabývajícím se architekturou a oblastí navrhování fortikací Etliche

Underricht zu Befestigung der Stett, Schloss und Flecken . D·vodem pro£ se touto problematikou Dürer zajímal, bylo rostoucí nebezpe£í plynoucí z tureckých výboj· v jihovýchodní Evrop¥ (p°ipome¬me rok 1526, kdy se konala bitva u Mohá£e, v níº zahynul poslední £eský král Ludvík Jagellonský). Dürer byl mezi prvními, rozhodn¥ sepsal první n¥mecky psané pojednání ([18], s. 11), kte°í na téma opev¬ování m¥st vydali spis - p°ed ním to byl v Itálii nap°. N. Machiavelli (mezi lety 1512 1527).

Obr. 26.


Vier Bücher von menschli-

cher Proportion

P°estoºe Dürerova práce m¥la pouze malý vliv v oboru opev¬ování, m·ºeme v ní pozorovat zrod polygonální koncepce opevn¥ní, kterou pozd¥ji rozvíjel francouzský ²lechtic Montalembert (17141800). Dürerovo dílo v této oblasti p°edstavuje spojovací £lánek mezi starou koncepcí obrany m¥st a novou. Navrhuje nap°íklad podstatn¥ zesílit tehdej²í obranné v¥ºe, budování robustních hradeb a jeho jméno je spojováno s prvními návrhy výstavby d¥lost°eleckých kasemat. Spis také obsahuje

26


návrhy moderních prvk· obrany bastiony ([22]). Zajímavé jsou také návrhy dokonalých m¥st , které nalezneme v záv¥ru spisu.

Obr. 27.

Dokonalé m¥sto dle A. Dürera

Dürerovy my²lenky také velmi pravd¥podobn¥ ovlivnily tehdej²ího víde¬ského, císa°ského architekta odpov¥dného za opev¬ování Turky ohroºovaných m¥st a Dürerova p°ítele Jana erta z významného brn¥nského ²lechtického rodu (v literatu°e uvád¥n jako Johann Tschertte nebo Hans Czert; zem°el 1552). Dürer a ert sdíleli zájem o geometrii ([18], s. 11), která pro n¥ oba byla natolik d·leºitá, ºe Dürer svému p°íteli navrhl rodový znak, do n¥jº zakomponoval odkaz na jejich spole£nou zálibu v podob¥ schématického vyjád°ení Pythagorovy v¥ty ([15]). Rodina ert· tak má na náhrobním kameni znak, jehoº p°edlohu vytvo°il práv¥ A. Dürer, hrobka se nachází v Brn¥ v kostele sv. Jakuba. Zajímavou hypotézu p°edkládá Mohelník. Doslova °íká, ºe jejich spole£ná záliba v geometrii nepochybn¥ byla podn¥cována p°edev²ím spole£ným zájmem o architekturu, a nelze tedy vylou£it její bezprost°ední praktické vyuºití. Kompozi£ní principy pouºité v Brn¥ odpovídají svým


27

charakterem specickým kompozi£ním princip·m uplatn¥ným v Dürerov¥ malí°ském díle. Jeho R·ºencová slavnost má kompozici tém¥° identickou s tím, co m·ºeme najít v kompozici Brna. Navíc je zjevné, ºe Dürer na tomto obraze krom¥ svého autoportrétu namaloval i Jana erta jako uznání jeho podílu na matematickém a geometrickém základu díla ([14]).

Obr. 28.

Bastion dle A. Dürera nárys, p·dorys, bo£ní °ez

Práce s názvem R·ºencová slavnost Rosenkranzfest (162 cm

×

192 cm, vytvo°ena 15051507, viz obr. 30) je povaºována za vrcholnou Dürerovu malbu, jedná se o dílo s typickou renesan£ní kompozicí denovanou rovnoramenným trojúhelníkem. K vid¥ní je v Národní galerii

28


v Praze. Do Prahy se dostala na základ¥ sb¥ratelských aktivit císa°e Rudolfa II. v 17. století.

Obr. 29.

Erb na náhrobku rodiny ert·

Obr. 30.

A. Dürer R·ºencová slavnost


6.

29

Záv¥r

Albrecht Dürer bývá ozna£ován otcem n¥mecké renesance, n¥kte°í odborníci o n¥m hovo°í dokonce jako o nejlep²ím n¥meckém um¥lci v²ech dob. Jak vidno Dürer byl vskutku £lov¥kem renesan£ním v dne²ním slova smyslu, jeho zaujetí (nejen mezi um¥lci) matematikou bylo na svou dobu neobvyklé a mnohé p°ístupy k um¥ní £i architektu°e je moºné ozna£it za pr·kopnické.

Reference [1] AGRIPPA J.C., Okultní lozoe, Trigon, Praha 1994. [2] DÜRER A., Etliche Underricht zu Befestigung der Stett, Schloss und Flec-

ken, Norimberk, 1527. Dostupné online:

3931/e-rara-9248

http://www.e-rara.ch/doi/10.

[3] DÜRER A., Vier Bucher von menschlicher Proportion durch Albrechten

Durer von Nurerberg [sic.] erfunden und beschuben zu nutz allen denen so zu diser kunst lieb tragen, [online]:

hierinnsindbegri00dure

http://archive.org/details/

[4] FUCHS E., Magické £tverce aneb od knihy I-t'ing k internetové sou£as-

nosti, In Matematika, fyzika a vzdelávání, První. Brno, VUTIUM, 2004. s. 2963, 35 s. ISBN 80-214-2601-2. [5] HALL J., Slovník nám¥t· a symbol· ve výtvarném um¥ní, Mladá fronta, Praha 1991. [6] IVINS W. M., Art and Geometry. A Study In Space Intuitions, Dover Publications, Inc., New York 1964. [7] JOHNSON P., D¥jiny renesance, Barrister & Principal, Brno 2004. [8] JUKEVI A. P., D¥jiny matematiky ve st°edov¥ku, Academia, Praha 1978. [9] KATRNOKA F., KÍEK M., SOMER L., Magické £tverce a sudoku, In Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 53 (2008), No. 2, 113-124. Persistent URL:

http://dml.cz/dmlcz/141848

[10] KUPÁKOVÁ M., Dürerova Melancholie aneb detektivní geometrie, In Eduard Fuchs: Matematika v prom¥nách v¥k·. IV., Akademické nakladatelství CERM, Brno 2007. Persistent URL:

401055

http://dml.cz/dmlcz/

[11] KUPÁKOVÁ M., ROYT J., Vzácný tisk Dürerova

Pojednání

v

knihovn¥ Ústavu pro d¥jiny um¥ní UK, In Pokroky matematiky, fyziky, a astronomie, Vol. 53 (2008), No. 3, 231-240. URL:

141860

http://dml.cz/dmlcz/

[12] LYNCH T., The Geometric Body in Dürer's Engraving Melencolia I In Journal of the Warburg and Courtauld Institutes, Published by: The

30


Warburg Institute., Vol. 45 (1982), p. 226-232. Dostupné online:

//www.jstor.org/stable/750979

http:

[cit. 10. 5. 2012]

[13] MIK F., Gombrich. Tajemství obrazu a jazyk um¥ní, Barrister & Principal, Brno 2008. [14] MOHELNÍK L., Prostorová interpretace architektonického a urbanistic-

kého díla = Space interpretation of the architectural and urbanistic work zkrácená verze Ph.D. Thesis, VUTIUM, Brno 2005. [15] ROUKOVÁ B., Kostnice pod kostelem sv. Jakuba V¥t²ího v Brn¥ [online] Dostupné z:

http://is.muni.cz/th/96641/ff_m/

[cit. 2013-03-16].

[16] RICKETTS M., Renesance. Mist°i sv¥tového malí°ství, REBO, estlice 2005. [17] SCHREIBER T., A New Hypothesis on Dürer's Enigmatic Polyhedron in

His Copper Engraving Melencolia I, [online]:

com

http://www.idealibrary.

[18] SMITH J. Ch., Albrecht Dürer and Eastern Europe, In Ars 42, no 1. p. 5-22. Institue of Art History of Slovak Academy of Sciences, Bratislava 2009. [19] WEITZEL H. A further hypothesis on the polyhedron of A. Dürer's en-

graving Melencolia I. In Historia Mathematica 3, 2004.

[20] [21] [22] [23]

http://euler.fd.cvut.cz/predmety/geometrie/lp_malirstvi/ Renesanc.pdf http://www.museum-joanneum.at/upload/file/Duerer_ Melancholie.jpg http://eb.tbicl.org/fortification-and-siegecraft/ https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Geometria_ Deutsch

Matematyka w przyrodzie i sztuce matematyka, przyroda i sztuka w ksztaªceniu powszechnym

Recommend Documents