Matematyka w przyrodzie i sztuce matematyka, przyroda i sztuka w ksztaªceniu powszechnym

Pa«stwowa Wy»sza Szkoªa Zawodowa w Nowym S¡czu

Matematyka w przyrodzie i sztuce matematyka, przyroda i sztuka w ksztaªceniu powszechnym Tom 3 Pod redakcj¡

Adama Pªockiego

Nowy S¡cz 2013

Komitet Redakcyjny

doc. dr Marek Reichel przewodnicz¡cy; prof. dr hab. in». Jarosªaw Fr¡czek; prof. dr hab. Leszek Rudnicki; dr hab. n. med. Ryszard Gajdosz, prof. nadzw.; dr hab. Zdzisªawa Zacªona, prof. nadzw.; dr hab. Magdalena Sitarz, prof. nadzw.; dr hab. Wanda Pilch, prof. nadzw.; mgr Agata Witrylak-Leszy«ska

Redaktor Naczelny

doc. dr Marek Reichel

Sekretarz Redakcji

dr Tamara Bolanowska-Bobrek

Redaktor wydania

prof. zw. dr hab. Adam Pªocki Skªad komputerowy (LATEX)

dr Marcin Mazur

Recenzenci

prof. RNDr. Ji°i Cihla°, CSc (Univerzita Jana E. Purkyn¥ Usti nad Labem); doc. RNDr. Roman Fri£, DrSc (Katolická univerzita Ruºomberok); RNDr. Alena Kopa£ková, Ph.D. (Technická univerzita Liberec); prof. zw. dr hab. Andrzej Nowicki (Uniwersytet Mikoªaja Kopernika Toru«); prof. zw. dr hab Jerzy Ombach (Uniwersytet Jagiello«ski Kraków); doc. PaedDR. Jaroslav Perný, Ph.D. (Technická univerzita Liberec); dr hab. prof. nadzw. Ewa Swoboda (Uniwersytet Rzeszowski); prof. RNDr. Pavel Tlustý, CSc (Jiho£eská univerzita eské Bud¥jovice); dr hab. prof. nadzw. Edward Tutaj (Uniwersytet Jagiello«ski Kraków) Wydano za zgod¡ JM Rektora PWSZ w Nowym S¡czu prof. dra hab. in». Zbigniewa lipka Autorzy ponosz¡ odpowiedzialno±¢ za poprawno±¢ j¦zykow¡ tekstu c

Copyright by Pa«stwowa Wy»sza Szkoªa Zawodowa w Nowym S¡czu Nowy S¡cz 2013

ISBN 978-83-63196-46-2

Adres Redakcji

33-300 Nowy S¡cz, ul. Staszica 1 tel. 18 443 45 45, e-mail:

[email protected]

Wydawca

Wydawnictwo Naukowe Pa«stwowej Wy»szej Szkoªy Zawodowej w Nowym S¡czu 33-300 Nowy S¡cz, ul. Staszica 1 tel. 18 443 45 45, e-mail:

[email protected]

Druk

EXPOL P. Rybi«ski, J. D¡bek Spóªka Jawna 87-800 Wªocªawek, ul. Brzeska 4 tel. 54 232 37 23, 232 48 73, e-mail:

[email protected]

Spis tre±ci Wst¦p Kv¥toslav Bártek, Eva Bártková, David Nocar, Matematika v díle Albrechta Dürera

Eva Bártková, David Nocar, Kv¥toslav Bártek, Vyuºití algebraic-

5 7

kých hyperstruktur p°i ur£ování d¥di£nosti krevních skupin

31

Bogumiªa Klemp-Dyczek, Mozaiki pªaszczyzny euklidesowej

41

Ivana Macha£íková, Josef Molnár, roubovice v p°írod¥ a um¥ní

71

Marek Mokri², Príroda v úlohách z geometrie

93

Bronisªaw Pabich, Matematyka w muzyce ±wiat muzyki a matematyzacja

Ada Paªka, Tworzenie obrazów anamorcznych propozycja war-

105

sztatów

131

Zdzisªaw Pogoda, Matematyka szopki krakowskiej

145

Alena Prídavková, Modely pojmov teórie mnoºín s prírodovedným námetom

Jana P°íhonská, Metody teorie graf· p°i °e²ení problém· s bludi-

155

²ti

167

Iveta Scholtzová, Miery v primárnej edukácii £as

177

Darina Stachová, Milan Stacho, Magické ²tvorce vo výtvarnom umení

Radka t¥pánková, Pavel Tlustý, Propojení základních poznatk· z genetiky a stochastiky na základní ²kole

Izabela Stronias, Czwarty wymiar w malarstwie i rze¹bie pocz¡t-

187 203

ku XX wieku

209

Rastislav Telgársky, Mathematics without innity

223

Marián Trenkler, Kon²trukcie magických obd¨ºnikov

253

Vladimír Van¥k, Matematika a po£así

261

Renata Zemanová, Radek Krpec, Lidové um¥ní inspirace elementární matematiky

273

Dzi¦kujemy Muzeum Historycznemu m. Krakowa za udost¦pnienie nam materiaªów ikonogracznych zwi¡zanych z krakowskimi szopkami. Cz¦±¢ z nich prezentujemy na pustych stronach parzystych.

Wst¦p Szkolna matematyka jest od stuleci raczej izolowana od innych dziedzin wiedzy, a zwªaszcza od nauk przyrodniczych i humanistycznych. Jednym z powodów tego faktu, s¡ obawy matematyków przed wulgaryzacj¡ matematyki, ilekro¢ prezentuje si¦ j¡ w kontek±cie realnego ±wiata. Obawy nierzadko sªuszne. Tymczasem j¦zyk matematyki, jej poj¦cia i twierdzenia wykorzystuje si¦ w innych przedmiotach nauczania (idea wspóªrz¦dnych w geograi, konstrukcje przestrzenne na lekcjach wychowania technicznego), a ponadto matematyka rozwijaªa si¦ i nadal rozwija tak»e dzi¦ki temu, »e jej poj¦cia i jej metody s¡ narz¦dziami opisu realnych obiektów i towarzysz¡cych im stosunków ilo±ciowych i jako±ciowych (matematyzacja jako faza procesu stosowania matematyki), a przede wszystkim narz¦dziami rozwi¡zywania pozamatematycznych problemów. Zakªad Edukacji Matematyczno-Przyrodniczej PWSZ w Nowym S¡czu zorganizowaª w dniach 1617 maja 2013 r. trzeci¡ mi¦dzynarodow¡ konferencj¦

Matematyka w przyrodzie i sztuce matematyka, przyroda i sztuka w ksztaªceniu powszechnym, której tematem byªo miejsce przyrody i sztuki w matematycznej aktywizacji. Praca jest monogra¡, w której znalazªy si¦ wybrane wyst¡pienia na tej konferencji. W dydaktyce matematyki wyró»nia si¦ zasad¦ integracji zewn¦trznej, w której chodzi o ekspansj¦ matematycznych poj¦¢ i twierdze« na inne przedmioty nauczania. Monograa dotyczy tak»e owej integracji w nauczaniu matematyki. O integracji zewn¦trznej mo»na mówi¢, gdy tworzymy matematyczny model procesu dziedziczenia cech zgodnie z prawami Mendla. W pracy analizuje si¦ na gruncie matematyki dziedziczenie grupy krwi oraz koloru oczu w procesie panmiksji (jest to losowe kojarzenie osobników, którego rezultatem jest genotyp potomka). Cz¦±ci¡ wielu dzieª sztuki (rze¹by, obrazy) i architektury (budowle, plany miast, ogrody, czy place) s¡ takie matematyczne obiekty, jak wielok¡ty, wielo±ciany (w tym bryªy plato«skie), kwadraty magiczne, zbiory, których moce s¡ liczbami Fibonacciego, spirale Fibonacciego. W wielu tych ludzkich wytworach (zwªaszcza w architekturze) pojawiªy si¦ geometryczne symetrie i osobliwe proporcje (zªoty podziaª odcinka). Te same obiekty odkryª czªowiek w wytworach przyrody (krysztaªy, kwiaty, drzewa, owoce, rogi zwierz¡t, skorupy ±limaków, proporcje czªowieka). Krzywa ±rubowa jako obiekt matematyczny pojawiªa si¦ w ludzkich wytworach (spiralne schody, bi»uteria, spr¦»yny, wazony, ozdoby choinkowe, barokowe kolumny), ale ta krzywa wyst¦puje tak»e w przyrodzie (ukªad korzeni i gaª¦zi niektórych drzew, struktura molekuª DNA, mineraªy). W kontek±cie tych spiral pojawiaj¡ si¦ izometrie i ich rozmaite zªo»enia. O ciekawej geometrii mowa jest w kontek±cie tworzenia obrazów anamorcznych.

Symetria rozumiana najpierw jako przeksztaªcenie geometryczne na prostej, pªaszczy¹nie, czy w przestrzeni trójwymiarowej, pojawiªa si¦ w malarstwie, rze¹bie, architekturze, ale tak»e w przyrodzie (krysztaªy) i w zyce. Poj¦ciu symetrii nadaje si¦ dzi± szerszy, ogólniejszy sens. O symetriach mo»na mówi¢ w muzyce. W stochastyce pojawiaj¡ si¦ osobliwe wnioskowania przez symetri¦ (i nie jest to symetria geometryczna). Idea symetrii jest dzi± traktowana jako szczególne ¹ródªo interdyscyplinarnych poszukiwa« jedno±ci przyrody. Matematyka pojawia si¦ w sztuce ludowej. W monograi opisujemy fenomen krakowskiej szopki, jej projektowanie i sklejanie zaliczaj¡c do aktywno±ci matematycznych. Wspominamy o ludowej architekturze, o ludowych haftach i wycinankach w Czechach. W Polsce mamy wiele regionów sªyn¡cych z ludowych haftów (Bobowa na S¡decczy¹nie, Koniaków na l¡sku Cieszy«skim), czy wycinanek (Kurpie, owicz). Symetrie w papierowej wycinance uzyskuje si¦ poprzez odpowiednie zginanie papieru. W ten sposób ujawnia si¦ o± symetrii lub jej ±rodek oraz ich rola w tym przeksztaªceniu. W monograi pojawiª si¦ postulat, aby te wytwory sztuki ludowej o wyra¹nych matematycznych strukturach, wª¡cza¢ do powszechnego ksztaªcenia matematycznego, ucz¡c przy tym pewnego lokalnego patriotyzmu (podziw dla tradycji naszych maªych ojczyzn, w których »yjemy). S¡ to wi¦c tak»e wychowawcze aspekty integracji sztuki ludowej i matematyki. W monograi zebrano prace komentuj¡ce matematyk¦ w przyrodzie i sztuce oraz prace dotycz¡ce matematyki, przyrody i sztuki w powszechnym ksztaªceniu matematycznym oraz w ksztaªceniu przez matematyk¦ i sztuk¦. W tym sensie adresatem tej monograi jest tak»e nauczyciel (i to nie tylko nauczyciel matematyki). Zebrane w niej prace mog¡ (i maj¡) u±wiadomi¢ nauczycielowi, a przede wszystkim pracownikom naukowym, którzy tych nauczycieli ksztaªc¡, »e wokóª nas jest sporo (nie zawsze dostrzeganej) ciekawej matematyki. Mamy tu na uwadze nowe spojrzenie na tre±ci i obiekty wykorzystywane w nauczaniu matematyki, w ksztaªceniu matematycznym, a przede wszystkim w ksztaªceniu poprzez matematyk¦. Prezentowane w tej monograi prace maj¡ charakter interdyscyplinarny i potwierdzaj¡ tez¦ Hugona Steinhausa, »e matematyka peªni rol¦ po±rednika mi¦dzy materi¡ a duchem. Adam Pªocki Nowy S¡cz, w grudniu 2013 r.

Zeszyty Naukowe PWSZ, Nowy S¡cz 2013

roubovice v p°írod¥ a um¥ní 1

Ivana Macha£íková , Josef Molnár

2

Gymnázium Zlín Lesní £tvr´ Lesní £tvr´ 1364 761 37, Zlín, eská republika e-mail: [email protected] 2 Katedra algebry a geometrie P°írodov¥decká fakulta Univerzita Palackého v Olomouci 17. listopadu 12 771 46, Olomouc, eská republika e-mail: [email protected] 1

Abstract

The article deals with the denition of the concept of Helix and the occurrence of helixes in architecture, biology and chemistry.

Abstrakt

lánek se zabývá denicí pojmu Helix a výskyt ²roubovic v architektu°e, biologie a chemie.

1.

roubovice jako trajektorie bodu

V kurikulárních materiálech matematiky základních a st°edních ²kol se obvykle pojem ²roubovice neobjevuje. Nalezneme ale tuto k°ivku v r·zných aplikacích v p°írod¥ a um¥ní? D°íve neº odpovíme na tuto otázku, uvedeme si n¥kolik d·leºitých pojm·.

roubový pohyb vzniká sloºením rovnom¥rného otá£ivého pohybu kolem pevné p°ímky o (osy ²roubového pohybu ) a rovnom¥rného posuvného pohybu v jejím sm¥ru.

72

Ivana Macha£íková, Josef Molnár

roubovice je trajektorie bodu p°i ²roubovém pohybu. Je to k°ivka, kterou opí²e bod p°i rovnom¥rném pohybu po kruºnici k a sou£asném rovnom¥rném posuvu kruºnice k ve sm¥ru osy ²roubového pohybu, která prochází st°edem kruºnice k kolmo k rovin¥ této kruºnice k .

Obr. 1

Osa ²roubového pohybu se nazývá osa ²roubovice.

Obr. 2

roubovice v p°írod¥ a um¥ní

73

Pozn. 1: roubovice leºí na válcové plo²e. Za speciální p°ípady ²roubovice lze povaºovat p°ímku o, pop°ípad¥ téº kruºnici k .

Obr. 3

Pozn. 2: P°ímka, kruºnice a ²roubovice jsou jediné tzv. po sob¥ posunovatelné k°ivky. V praxi se s tímto jevem m·ºeme setkat nap°íklad p°i zasouvání p°ímého me£e nebo kruhové ²avle do p°ímé £i kruhové pochvy. Dv¥ po sob¥ posunutelné ²roubovice nenalezneme v podobné situaci, nýbrº v mírumilovném ²roubu a matici.

Obr. 4

74


Závit ²roubovice je stopou bodu ²roubovice p°i oto£ení o plný úhel. Velikost odpovídajícího posunutí se nazývá vý²ka závitu.

Obr. 5

roubovice je jednozna£n¥ ur£ena polom¥rem kruºnice k , vý²kou závitu v a to£ivostí (obr. 1). Na obr. 2a) je ²roubovice pravoto£ivá, na obr. 2b) levoto£ivá.

Obr. 6


2.

75

roubovice v £innosti £lov¥ka a v p°irod¥

Te£ny ²roubovice svírají s její osou konstantní úhel, tj. ²roubovice je k°ivka konstantního spádu.

Obr. 7

Pr·m¥tem ²roubovice do roviny m·ºe být nap°. kruºnice, sinusoida, cykloida (prodlouºená, prostá £i zkrácená), spirála, p°ípadn¥ jiná k°ivka, viz obr. 3 a 4.

Obr. 8

76


roubovice jsou sou£ástí architektury a stavitelství (viz obr. 5, 6, 7), fauny (obr. 8) a ory (obr. 9), techniky (obr. 10) i nap°. drhání (macramé, obr. 11). Výskytem ²roubovice v chemických slou£eninách se budeme podrobn¥ji zabývat v následující kapitole.

Obr. 9

3.

roubovice v chemii

V molekulách bílkovin se vyskytují ur£ité pravideln¥ uspo°ádané úseky (tzv. sekundární struktura bílkovin ). Pravidelné sekundární struktury lze popsat jako ²roubovice (helixy), li²ící se pr·m¥rem závitu, jeho stoupáním a smyslem otá£ení (mohou být pravo- nebo levoto£ivé). Z daných geometrických parametr· peptidové vazby a aminokyselinových zbytk· m·ºeme vytvo°it jen omezený po£et ²roubovicových konformací. V²em sterickým i energetickým poºadavk·m nejlépe vyhovuje tzv. α-²roubovice (α-helix ). Jeden její závit je tvo°en 3,6 aminokyselinovými zbytky. V²echny skupiny CO a NH peptidových vazeb jsou v této ²roubovici orientovány zhruba rovnob¥ºn¥ s její dlouhou osou a kaºdá skupina


77

NH je vázána vodíkovou vazbou ke skupin¥ CO o t°i zbytky vzdálen¥j²í (obr. 12).

Obr. 10

Sloºení bílkovin s p°evahou aminokyselin s malým nebo ºádným postranním °et¥zcem umoº¬ují vznik ²roubovice, jejíº skupiny NH a CO jsou orientovány kolmo na její osu. Polypeptidový °et¥zec uspo°ádaný do takové ²roubovice je v ní dále formován v druhou superponovanou ²roubovici s podstatn¥ vy²²ím stoupáním závitu (superhelix). T°i polypeptidové °et¥zce tak vytvá°ejí jediný velmi kompaktní vláknitý útvar. Tato struktura je typická pro nejroz²í°en¥j²í ºivo£i²nou bílkovinu kolagen. Základní strukturní jednotkou kolagen· je tropokolagen, který se skládá ze t°í vláken, z nichº kaºdé obsahuje asi 1 000 aminokyselinových zbytk· . Tropokolagen je trojvláknový pravoto£ivý helikální prut asi 300 nm dlouhý o pr·m¥ru 1,5 nm (obr. 13). Kaºdý ze t°í °et¥zc· tvo°í levoto£ivá ²roubovice s NH a CO skupinami sm¥rovanými zhruba kolmo na její osu. Kaºdé ze t°í vláken tropokolagenového superhelixu vytvá°í

78


vodíkové vazby mezi NH skupinami zbytk· glycinu a skupinami CO v jiném vláknu.

Obr. 11

Dal²ím p°íkladem ²roubovice v chemii je prostorové uspo°ádání DNA (sekundární struktura DNA). V roce 1953 vytvo°ili J. Watson a F. Crick dnes obecn¥ p°ijímaný model molekuly DNA. Skládá se ze dvou °et¥zc· svinutých do pravoto£ivých ²roubovic kolem pomyslné spole£né osy za vzniku dvoj²roubovice (dihelixu, obr. 14). et¥zce v ní mají opa£ný sm¥r (polaritu) a dopl¬kovou (komplementární) strukturu. Oba °et¥zce jsou p°i tom uspo°ádány tak, ºe jejich páte°e, sestávající z pentosových kruh· a fosfátových zbytk·, jsou vn¥ a báze mí°í dovnit° dihelixu, jejich roviny jsou navzájem rovnob¥ºné a kolmé na osu dvoj²roubovice. Mezi dvojicemi komplementárních bází se p°i tom vytvá°ejí vodíkové vazby. Molekula DNA m·ºe existovat ve více formách (obr. 15): • B-DNA (popsaná Watsonem a Crickem) pravoto£ivá, na jeden závit p°ipadá 10 nukleotidových zbytk·, • A-DNA pravoto£ivá, na jeden závit p°ipadá 11 nukleotidových zbytk·, dihelix má jiný pr·m¥r, páry bází jsou posunuty od osy dihelixu a jsou k ní jinak naklon¥ny,


79

• Z-DNA levoto£ivá helikální forma s 12 nukleotidovými zbytky p°ipadajícími na jeden závit, páte° °et¥zce má nepravideln¥j²í tvar neº u forem A a B.

Obr. 12.

α-helix

Se ²roubovicí se setkáváme i u sekundární struktury polysacharid· (obr. 16). roubovice (helix) je obvykle levoto£ivá, na její stabilizaci se podílejí vodíkové vazby, hydrofobní interakce i interakce s okolními látkami. S touto konformací se setkáváme u amylosy a n¥kterých polysacharid· pojivových tkání. Po£et glukosových jednotek na jeden závit m·ºe být 6 aº 8.

Obr. 13.

Tropokolagen

80


Jiný p°íklad ²roubovice v chemii (p°ípadn¥ krystalograi) je ²roubová osa jako prvek prostorové symetrie (obr. 17, 18, 19, 20, 21). Operace prostorové symetrie charakterizují soum¥rnost struktury krystalu.

Obr. 14.

Model DNA

Nejprve uvádíme n¥kolik základních pojm· z krystalograe.

Krystal je homogenní anizotropní diskontinuum (denice mineralogická).

A-DNA (pravoto£ivá), B-DNA (pravoto£ivá), Z-DNA (levoto£ivá) Obr.

15.


81

Krystal je hmotný systém, ve kterém kaºdému m°íºovému bodu náleºí stejná a stejn¥ orientovaná báze (denice krystalogracká). Tyto denice platí pro klasické krystaly, neplatí pro tzv. kvazikrystaly (nap°. tekuté krystaly). Kaºdý krystal musí mít pravidelnou vnit°ní strukturu.

Obr. 16.

Amylosa

M°íº (m°íºka) je mnoºina bod· mající stejné okolí. Kaºdou m°íº charakterizují m°íºkové parametry: délky jednotlivých úse£ek a , b , c , úhly α, β , γ . M°íº je na rozdíl od struktury ktivní.

Obr. 17.

roubová osa 31

82


Struktura je m°íºka spolu s hmotnou bází, skládá se z £ástic (atom·, iont·).

Obr. 18.

roubová osa 32

Bu¬ka je elementární rovnob¥ºnost¥n s vrcholy v uzlech m°íºe. Je základní stavební jednotkou kaºdé m°íºe.

Obr. 19.

roubová osa 41

Zásady výb¥ru základní bu¬ky: • základní bu¬ka musí mít stejnou soum¥rnost jako celá struktura,


83

• po£et stejných hran a úhl· mezi hranami musí být maximální, • po£et pravých úhl· musí být maximální, • objem základní bu¬ky musí být minimální.

Obr. 20.

roubová osa 42

Základní bu¬ky m·ºeme rozd¥lit podle toho, kolik uzl· p°ipadá na jejich objem: • P (R) - primitivní (prostá), • A, B, C - jednodu²e (bazáln¥) centrovaná, • F - plo²n¥ centrovaná, • I - prostorov¥ centrovaná.

Obr. 21.

roubová osa 43

84


Primitivní bu¬ka obsahuje uzly pouze ve svých osmi vrcholech na objem primitivní bu¬ky p°ipadá jeden uzel. T¥lesn¥ (prostorov¥) centrovaná bu¬ka obsahuje krom¥ osmi uzl· ve vrcholech je²t¥ jeden uzel v pr·se£íku t¥lesových úhlop°í£ek na objem t¥lesn¥ centrované bu¬ky p°ipadají dva uzly. Bo£n¥ (bazáln¥) centrovaná bu¬ka je krom¥ osmi uzl· ve vrcholech tvo°ena dal²í dvojicí uzl·, které leºí ve st°edu dvou protilehlých st¥n na objem bazáln¥ centrované bu¬ky p°ipadají op¥t dva uzly. Plo²n¥ centrovaná bu¬ka je tvo°ena osmi uzly ve vrcholech a ²esti uzly ve st°edech v²ech ²esti st¥n na objem plo²n¥ centrované bu¬ky p°ipadají £ty°i uzly. Existuje 14 typ· strukturních m°íºek, jimº odpovídá 14 základních bun¥k, které ozna£ujeme jako Bravaisovy bu¬ky (obr. 22).

Bravaisovy bu¬ky (1 - trojklonná, 2 - jednoklonná, 3 - koso£tvere£ná, 4 - klencová, 5 - ²estere£ná, 6 - £tvere£ná, 7 - krychlová soustava) Obr. 22.


85

Operace symetrie je taková transformace útvaru, aby nový stav (obraz) byl nerozli²itelný od p·vodního (vzoru). Prvek symetrie je geometrický prvek (bod, p°ímka, rovina), v·£i n¥muº provádíme p°íslu²nou operaci symetrie. Prvek symetrie je invariantní vzhledem k této operaci symetrie. Mnoºina v²ech operací symetrie dané molekuly spolu s operací skládání tvo°í grupu. Tuto grupu nazýváme grupa symetrie. Pokud provádíme operace symetrie s izolovanou molekulou, vºdy z·stává n¥jaký bod beze zm¥ny (nepohyblivý), operace symetrie dané molekuly tvo°í bodovou grupu symetrie. U bodové grupy symetrie z·stává alespo¬ jeden bod nezm¥n¥n, neuvaºuje se translace. Je vhodná pro popis geometrických t¥les, molekul.

Prostorová grupa symetrie neponechává ºádný bod v identické poloze, uvaºuje se translace (posunutí). Je vhodná k popisu krystalových struktur.

operace

prvek

identita (ponechání beze zm¥ny) inverze

identita

rotace o zrcadlení (reexe) rotace + zrcadlení rotace + inverze

360◦ n

symbol symbol (Schoenies) (Hermann-Maugin) E

1

st°ed symetrie

i

1

n -£etná rota£ní osa rovina symetrie rota£n¥reexní osa rota£n¥inverzní osa

Cn

n

σ

m

Sn

ñ

Cni

n

Tab. 1.

P°ehled operací a prvk· bodové symetrie

86


Prostorová symetrie obsahuje navíc translaci, takºe máme dva dal²í prvky symetrie, a to ²roubovou osu a skluznou rovinu.

roubové osy symetrie jsou sloºené prvky symetrie. P°íslu²né operace symetrie se skládají z: ◦

rotace o úhel α = 360 , n translace podél denovaného vektoru ve sm¥ru této osy. Osa musí být rovnob¥ºná s libovolnou m°íºkovou translací struktury. Sm¥r rotace ²roubové osy je velmi d·leºitý, vychází se z pravoto£ivého systému os, takºe pravoto£ivá ²roubová osa ve sm¥ru z má transla£ní vektor ve stejném sm¥ru vzh·ru (tj. ve sm¥ru palce pravé ruky, kdy prsty nazna£ují rota£ní pohyb od osy x k y ).

operace

prvek

symbol

rotace + translace ²roubová osa nk zrcadlení + translace skluzná rovina a, b, c, n, d Tab. 2.

Operace a prvky prostorové symetrie

◦

Máme-li n-£etnou rota£ní osu symetrie, pak n oto£ení o úhel α = 360 n doprovázených n translacemi τ podél ²roubové osy musí vést k transla£nímu pohybu výchozího objektu (atom, molekula) o celo£íselný násobek (m) m°íºové translace t:

nτ = mt nebo τ =

m t, kde m, n jsou celá £ísla. n

Obecn¥ lze vyjád°it symbol ²roubové osy jako nm . Transla£ní sloºky ²roubových os symetrie závisí na £etnosti osy a mohou nabývat jen ur£itých hodnot (hodnota v závorce ozna£uje transla£ní sloºku).

P°ehled ²roubových os (obr. 23):

• • • •

dvoj£etná osa 20 , 21 ( 21 ), 22 , troj£etná osa 30 , 31 ( 13 ), 32 ( 23 ), 33 , £ty°£etná osa 40 , 41 ( 14 ), 42 ( 42 ), 43 ( 34 ), 44 , ²esti£etná osa 60 , 61 ( 61 ), 62 ( 26 ), 63 ( 63 ), 64 ( 46 ), 65 ( 65 ), 66 .


87

Dolní index zna£í hodnotu m z vý²e uvedeného vztahu. Je-li m = 0, jde o £istou rotaci, v p°ípad¥, ºe je m = n, jde o £istou translaci.

Obr. 23.

roubové osy

Skluzné roviny symetrie (roviny posunutého zrcadlení) jsou prvky symetrie, kdy p°íslu²nými operacemi je zrcadlení kombinované s translací podél roviny zrcadlení. Podle sm¥ru a velikosti translace rozli²ujeme skluzné roviny osní, diagonální a diamantové. Osní skluzné roviny (zna£íme a, b, c podle os) zrcadlení je provázeno posunutím o 12 a (p°íp. 1 b, 21 c). Úhlop°í£né skluzné roviny (zna£ení n ) zrcadlení je provázeno 2 posunutím o polovinu st¥nové úhlop°í£ky plo²n¥ centrované bu¬ky, tedy o a+2 b (p°íp. b+2 c , a+2 c ). Diamantové skluzné roviny (zna£ení d) zrcadlení

88


je provázeno posunutím o £tvrtinu st¥nové úhlop°í£ky plo²n¥ centrované c ). bu¬ky, tedy o a ±4 b (p°íp. b ±4 c , a ± 4

Obr. 24.

Krystalogracké soustavy tvary krystal·

Operace bodové symetrie a jejich moºné kombinace tvo°í celkem 32 bodových grup. Bodovými grupami lze charakterizovat symetrii vn¥j²ího tvaru krystalu existuje 32 krystalograckých odd¥lení, která se rozd¥lují do sedmi krystalograckých soustav (obr. 24).

Obr. 25.

Struktura krystalu uorit CaF2


89

V roce 1890 E. S. Fedorov odvodil v²echny moºné kombinace prvk· symetrie v prostoru. E. S. Fedorov, A. Schoenies, W. Barlow dokázali, ºe prostorových grup symetrie je 230. Jedná se o kombinaci v²ech moºných transformací krystalové struktury, takºe prostorová grupa charakterizuje soum¥rnost struktury krystalu (obr. 25 a 26). Celkový po£et prostorových grup zahrnuje v²echny kombinace transla£ních i beztransla£ních operací symetrie, které jsou p°ípustné ve 14 Bravaisových bu¬kách. Existuje tedy 230 moºností, jak se m·ºe libovolný motiv opakovat v prostoru.

Obr. 26.

4.

Struktura krystalu k°emen SiO2

Obecná ²roubovice

roubovice leºí na rota£ní válcové plo²e, tedy vzdálenost vytvá°ejícího bodu ²roubovice od osy p°íslu²ného rota£ního pohybu je konstantní. O obecné ²roubovici mluvíme v p°ípad¥, ºe se vzdálenost tvo-

90


°ícího bodu od osy p°íslu²ného rota£ního pohybu m·ºe spojit¥ m¥nit, typickým p°íkladem je obecná ²roubovice leºící na rota£ní kuºelové plo²e (viz obr. 27). Zajímavá ukázka obecné ²roubovice je na obrázku 28.

Obr. 27

5.

Záv¥r

Ukázali jsme si jen malý zlomek situací, kde se m·ºeme se ²roubovicí setkat. Ale i to dle na²eho názoru sta£í k tomu, aby se o ²roubovicích


91

a jejich uºití dov¥d¥li ºáci (zejména technických) st°edních ²kol, by´ jen ve volitelné £i nepovinné matematice nebo v deskriptivní geometrii.

Obr. 28

Reference [1] B°ezina F. a kol., Stereochemie a n¥které fyzikáln¥ chemické metody studia anorganických látek. Vydavatelství UP, Olomouc 1994. [2] Graf U., Kabaret matematiky. Orbis, Praha 1943.

92


[3] Macha£íková I., Molnár J., Grupy symetrie molekul. In: Matematyka w przyrodzie i sztuce matematyka, przyroda i sztuka w ksztalceniu powszechnym. Wydawnictwo PWSZ, Nowy Scz 2012, s. 37-48, ISBN 978-8363196-30-1. [4] Urban A., Deskriptivní geometrie II. SNTL, Praha 1967. [5] Vodráºka Z., Biochemie 1. Academia, Praha 1992, ISBN 80-200-0439-4. [6] Vodráºka Z., Biochemie 2. Academia, Praha 1992, ISBN 80-200-0441-6. [7] Zimák J., Mineralogie a petrograe. Vydavatelství UP, Olomouc 1993. [8] http://vydavatelstvi.vscht.cz/knihy/uid_es-002_v1/hesla/ bilko-viny_-_periodicke_motivy.html [9] http://kolagen.annapikura.com/ [10] http://www.e-chembook.eu/cz/biochemie/nukleove-kyseliny [11] http://www.didier-pol.net/2amidon.htm [12] http://cheminfo.chemi.muni.cz/ianua/olga/olga.pdf [13] http://mineralogie.sci.muni.cz/kap_1_3_symetrie/kap_1_3_ symet-rie.htm [14] http://www.xray.cz/kryst/str05a.htm [15] http://web.natur.cuni.cz/ugmnz/mineral/tvary.html [16] http://www.chemi.muni.cz/~lobl/Projekt/Projekt.html

Zpracováno v rámci °e²ení projektu CZ 1.07/1.1.0/26.0047 "Matematika pro v²echny".

Matematyka w przyrodzie i sztuce matematyka, przyroda i sztuka w ksztaªceniu powszechnym

Recommend Documents