Matematika példatár 3

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara

Csabina Zoltánné

Matematika példatár 3. MAT3 modul

MATDeriváltak, differenciálszámítás függvények és görbék vizsgálatára. Magasabb rendű deriváltak alkalmazása a hibaszámításban.

SZÉKESFEHÉRVÁR 2010

Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999. évi LXXVI. törvény védi. Egészének vagy részeinek másolása, felhasználás kizárólag a szerző írásos engedélyével lehetséges.

Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027 „Tananyagfejlesztéssel a GEO-ért” projekt keretében készült. A projektet az Európai Unió és a Magyar Állam 44 706 488 Ft összegben támogatta.

Lektor: Vígné dr Lencsés Ágnes Phd.

Projektvezető: Dr. hc. Dr. Szepes András

A projekt szakmai vezetője: Dr. Mélykúti Gábor dékán

Copyright © Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

Tartalom 3. MATDeriváltak, differenciálszámítás függvények és görbék vizsgálatára. Magasabb rendű deriváltak alkalmazása a hibaszámításban. ................................................................................................... 1 3.1 Bevezetés .................................................................................................................... 1 3.2 Differenciálszámítás ...................................................................................................... 1 3.2.1 A differenciálhányados fogalma ............................................................................ 1 3.2.2 Differenciálási szabályok ..................................................................................... 4 3.2.3 A differenciálhányados geometriai alkalmazása, érintőszámítás, szögfeladat, normális .............................................................................................................................. 8 3.2.4 Magasabbrendű deriváltak Taylor-polinom, Taylor sor, simulókör ............................... 11 3.2.5 L’Hospital-szabály ............................................................................................ 15 3.2.6 Függvényvizsgálat, szélsőérték-számítás ............................................................... 18 3.2.7 Többváltozós függvények differenciálása, hibaszámítás ............................................ 22 3.3 Megoldások ............................................................................................................... 27

3. fejezet - MATDeriváltak, differenciálszámítás függvények és görbék vizsgálatára. Magasabb rendű deriváltak alkalmazása a hibaszámításban. 3.1 Bevezetés A feladatgyűjtemény a matematikai analízis tantárgy gyakorlatainak tananyagát öleli fel a NyME Geoinformatikai Kar mérnöki szakán. A feladatgyűjtemény külön fejezetekben tárgyalja az egyes anyagrészeket. Minden fejezet elején megtalálhatók a legfontosabb definíciók és tételek bizonyítás nélkül, amelyek ismerete elengedhetetlen a feladatok megoldásához. Minden fejezetben találhatók részletesen kidolgozott példák, amelyek az egész tananyagot felölelik, és segítik annak megértését. Minden fejezet végén feladatok találhatók, amelyeket további gyakorlás és az önálló munkára való szoktatás céljából készültek. A feladatok részben saját összeállításúak, továbbá más forrásból átvettek, illetve átdolgozottak. A fejezetek tananyagai egymásra épülnek, ezért érdemes a feldolgozott sorrendben haladni a tanulásban. A feladatgyűjtemény célja hallgatóink munkájának, tanulásának könnyítése, matematika tanulásának elmélyítése. A fokozatosság elvén alapuló feladatok pedig fejlesztik a matematikai gondolkodásukat, valamint a szaktárgyak és alapozó tárgyak elsajátításához szükséges ismeretek elmélyítését, a feladatmegoldó készséget, jártasságot. A hallgatók, olyan alapokra tesznek szert, amelyek felhasználásával képessé válnak a gyakorlatban felmerülő problémák modelljeinek felállítására, és azok megoldására. A feladatok megoldásával szakmájához szükséges konvertibilis és tovább építhető matematikai ismeret birtokába jut.

3.2 Differenciálszámítás 3.2.1 A differenciálhányados fogalma Definíció: Legyen x0 az f függvény értelmezési tartományának egy belső pontja. Azt mondjuk, hogy az f függvény differenciálható az x0 pontban, ha a ges határértéke. A

(x) differencia-hányados-függvénynek az x0 pontban létezik vé-

számot az f függvény x0 ponthoz tartozó differenciálhányadosának (deriváltjának) nevezzük. Ha a fenti határérték nem létezik, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény az x0 pontban nem differenciálható. Az f függvény x0 helyen vett differenciálhányadosa, az f függvénygörbe A(x0,f(x0)) pontbeli érintőjének az iránytangense.

Matematika példatár 3.

2010

1. példa: Vizsgáljuk meg, hogy az f(x) = 4x2 függvény differenciálható-e a 2 pontban! Megoldás: Először az f(x) függvény 2 pontjához tartozó differenciahányados-függvényét írjuk fel:

x ⊂ R\{2} Ennek a függvénynek a 2 pontban vesszük a határértékét:

. A 2 pontban van véges határérték, tehát az f függvény differenciálható ebben a pontban. 2. példa: Határozzuk meg az f(x) = x2 + 3x függvény differenciálhányadosát x=1 helyen a differenciahányados határértékeként! Megoldás:

Tehát f ’(1) = 5. 3. példa: Definíció alapján vezessük le az f(x) = x3 függvény derivált függvényét, x ⊂ R! Megoldás: Legyen x0 ⊂ R tetszés szerinti. Vizsgáljuk a differenciahányados-függvény határértékét az x0 helyen:

Az x0 pontot tetszőlegesen választottuk, ezért az f függvény bármely x ⊂ R pontban differenciálható, és f ’(x) = 3x2. 4. példa: Differenciálható-e az alábbi függvény az x0 = 2 pontban?

Megoldás: Megvizsgáljuk a függvény jobb és bal oldali differenciálhatóságát az x0 = 2 pontban:

MAT3-2

© Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar, 2010

Csabina Zoltánné


Tehát az f függvény az x0 = 2 pontban nem differenciálható.

1. ábra A függvénynek az x0 = 2 pontban töréspontja van. FELADATOK: 1.) Határozzuk meg az f(x) = x2 + x függvény differenciálhányadosát x=2 helyen a differenciahányados határértékeként! 2.) Tekintsük az f(x)= x2 -5 függvény görbéjének az A(3,4) pontját. Mivel egyenlő az A pontban húzott érintő iránytangense?

3.) Közvetlenül a definíció alapján vezessük le az

függvény derivált függvényét!

4.) Differenciálható-e az alábbi függvény a [0;5] intervallumon?

5.) Differenciálható-e az alábbi függvény az x= 0 helyen?

6.) Differenciálható-e az alábbi függvény az x= 1 helyen?

7.) Legyen f(x)= 8.) Számítsuk ki az létezik). 9.) Az

. Differenciálható-e az f függvény az x=0 helyen? függvény differenciálhányadosának értékét az

helyen (ha

függvény differenciálható-e az x=-3 az x=0 és az x=1 helyen?


MAT3-3


2010

3.2.2 Differenciálási szabályok 1.

,

1. 3.

4. 5. Az összetett függvény deriválási szabályát szokás lánc-szabálynak is nevezni. Elemi függvények deriváltjai:

Logaritmikus deriválás:

MAT3-4


Csabina Zoltánné


, ez egy olyan függvény, amelynek az alapja és a kitevője is függvény. Vegyük mindkét oldal logaritmusát, majd deriváljuk mindkét oldalt.

5. példa: Határozzuk meg az alábbi függvények deriváltjait! A függvények értelmezési tartományának és deriváltjaik értelmezési tartományának vizsgálatát önállóan végezze el! 1.

. 1. f(x) = (lnx2) tg x

. 1. A fenti hozzárendelési törvénnyel adott függvény háromszorosan összetett, h(x) = 2x g(h(x)) = sin(h(x))= sin2x f (g(h(x))) = Az összetett függvény deriválási szabályát felhasználva: z’(x) = (esin2x)’ = esin2x (cos2x) 2 Ez a részletezés a feladatok során általában nem szükséges, hiszen a konkrét függvény alapján látható a függvény összetétele, s így a szabály közvetlenül alkalmazható. 1.


MAT3-5


2010

1.

. 1.

.

7. Logaritmikus deriválás:

. 8.)

Logaritmikus deriválás:

. 9.) Implicit függvény deriválása:

. 10.)

MAT3-6


Csabina Zoltánné


Implicit függvény deriválása:

. Feladatok: Deriváljuk a következő függvényeket! Néhány példában gondolja meg, mely valós x-re értelmezhetők illetve differenciálhatók a függvények! 1. 11.) 2. 13.) 3. 15.) 4.

17.)

5. 19.) 6. 21.) 7. 23.) 8. 25.) 9.

27.) 10. 29.) 11.

31.)

12. 33.)


MAT3-7

Matematika példatár 3. 13.

2010

35.)

14.

37.)

3.2.3 A differenciálhányados geometriai alkalmazása, érintőszámítás, szögfeladat, normális Az érintő egyenlete: A P0 (x0; f(x0)) ponton átmenő m meredekségű (iránytangensű) egyenes egyenlete: y= m(x – x0) + f(x0), a P0-ban az f függvényhez húzott érintő egyenlete: m = tgα = f ’(x0) y= f ’(x0)(x – x0) + f(x0). A görbe normálisa merőleges az érintési pontban az érintőre. A normális egyenlete:

y=

(x – x0) + f(x0), m = tg =

.

Az f ’(x0) ≠ 0, mert különben a képlet nem alkalmazható.

2. ábra Definíció: A P pontban két egymást metsző síkgörbe hajlásszöge a két görbéhez a metszéspontban húzott érintők által bezárt derékszögnél nem nagyobb szög.

3. ábra

MAT3-8


Csabina Zoltánné


,0 ω ≤

ha f ’(x0)g’(x0) ≠ –1. Abban az esetben, ha f ’(x0)g’(x0) = –1, akkor ω =

.

6.példa: Határozzuk meg az f(x) = ex + 2 függvény görbéjének érintőjét és normálisát az x0 = 0 abszcisszájú pontjában. Megoldás: , amiből az érintő iránytangense: f ’(x0) = e0 = 1.

Az érintési pont: E (0;3). A derivált függvény:

A normális iránytangense:

= –1

Az érintő egyenlete: y = 1(x – 0) + 3 vagyis y = x + 3 A normális egyenlete: y = –1(x – 0) + 3 vagyis y = –x + 3

4. ábra 7.példa: Határozzuk meg az xy = 1 és az y = x2 görbék hajlásszögét. Megoldás: Először meg kell adnunk a két síkgörbe metszéspontját.

A metszéspont M(1;1)

5. ábra


MAT3-9


2010

és g(x) = x2, deriváltjaik:

és g’(x) = 2x

f ’(x0) = f ’(1) = –1 és g’(x0) = g’(1) = 2

, ebből α = 71°34’.

8.példa: Határozzuk meg grafikusan az fokos szögben metszik egymást.

és y = ln x + 1 görbék metszéspontját, majd számítsuk ki, hány

Megoldás: A két síkgörbe metszéspontja: M(1;1)

6. ábra

és

, f ’(x0) = f ’(1) = –1 és g’(x0) = g’(1) = 1

Ekkor f ’(x0)g’(x0) = –1·1 = –1, tehát ω = 90°. Feladatok: 38.)Keressük meg az

függvény görbéjének érintőjét és normálisát az

x0 = 4,5 helyen. 39.)Írjuk fel az

parabola érintőjének az egyenletét az x tengellyel való metszéspontjaiban.

40.)A van 45°-os irányszögű érintője?

egyenlettel adott függvény görbéjének milyen abszcisszájú pontjában

41.)Mutassuk meg, hogy az függvény görbéjének a koordinátatengelyekkel alkotott metszéspontjaiba húzott érintői párhuzamosak egymással. 42.)Adott az áthalad az origón?

MAT3-10

x⊂R függvény. Milyen abszcisszájú pontban kell meghúzni azt az érintőt, amelyik


Csabina Zoltánné


43.)Adjuk meg az x+4y=3 egyenesre.

egyenlettel adott görbe azon érintőjének egyenletét, amely merőleges az

44.) Határozzuk meg a

függvény azon pontjait, amelyekhez húzott érintő

párhuzamos az y=x+4 egyenessel.

45.) Mekkora az

görbe érintőjének meredeksége az origóban és a P(2,1) pontban?

46.)Keressük meg az amelyhez húzott érintő párhuzamos az x tengellyel.

függvénnyel megadott görbének azon pontjait,

47.) Határozzuk meg a és b paraméterek értékét úgy, hogy az f függvény minden valós x-re differenciálható legyen.

48.) Hány fokos szögben metszi az y=x+6 egyenes az 49.) Mekkora szög alatt metszi az y=-2x+5 egyenes az

parabola felső ágát? -et.

a milyen értékénél metszi 45°-ban az x tengelyt?

50.) Az

51.)Milyen messze van az x=(2ln2)y-4ln2 egyenes az

52.) Az

görbétől?

egyenes milyen messze van az

től.

3.2.4 Magasabbrendű deriváltak Taylor-polinom, Taylor sor, simulókör Definíció: Ha f differenciálható a H1 halmazon (H1 = Df ’) és ennek f ’ deriváltfüggvénye differenciálható a H2 H1 halmazon, akkor az f ’ deriváltfüggvényét – amelyet f ”-vel jelölünk – nevezzük az f függvény második deriváltjának (H2 = Df ”). Hasonló módon jutunk el az f függvény n-edik deriváltjának fogalmához, amit az f függvény n-edrendű deriváltjának is nevezzük. Definíció:

Ha

az

f

függvény

az

x0

pontban

n-szer

differenciálható,

akkor

képezhetjük

a

polinomot, amelyet az f függvény x0-hoz tartozó n-edrendű Taylor polinomjának nevezünk. Ha x0 = 0, akkor a Tn(x) függvényt az f n-edrendű Maclaurin-polinomjának nevezzük. Definíció: Legyen az f függvény az értelmezési tartománya valamely x0 pontjában akárhányszor differenciálható. Ekkor az


MAT3-11


2010

hatványsort az f függvény x0-hoz tartozó Taylor-sorának nevezzük. Definíció: Az y = f(x) függvény görbéjének simulóköre az x0 pontban az a kör, amellyel a görbe legalább másodrendben érintkezik. Ha az f(x) és g(x) függvények, valamint differenciálhányadosaik értéke az n-edikig bezárólag az x0 helyen rendre megegyeznek, azaz f(x0) = g(x0), f ’(x0) = g’(x0),... f (n)(x0) = g(n)(x0), f (n+1)(x0) ≠ g (n+1)(x0), akkor azt mondjuk, hogy az f(x) és a g(x) görbék az x0 helyen n-edrendben érintkeznek.

Definíció: Egy görbe görbülete az x0 pontban az x0 pontbeli simulókör sugarának a reciproka:

A simulókör sugarát a következő képlettel is kiszámíthatjuk:

.

.

9.példa: Határozzuk meg az f(x) = ln x (x ⊂ R+) függvény harmadik deriváltjának az x0 = 1 helyen vett helyettesítési értékét. Megoldás: A deriváltak:

, f ”’(1) = 2

10.példa: Határozzuk meg az f(x) = sin x függvény 28-adik deriváltját. Megoldás: f ’(x) = cos x, f ”(x) = –sin x, f ”’(x) = –cos x, f (4) (x)= sin x, f (5) (x)= cos x ... Látható, hogy a deriváltak n = 4-es periódussal ismétlődnek:

Ezért f (28) (x) = sin x, x ⊂ R. 11. példa: Írjuk fel az f(x) = ln x függvény x0 = 1 ponthoz tartozó n-endrendű Taylor-polinomját, ahol 0 x 2. f(x) = ln x f(1) = ln 1 = 0

f ’(1) = 1

MAT3-12


Csabina Zoltánné

MATDeriváltak, differenciálszámítás függvények és görbék vizsgálatára. Magasabb rendű deriváltak alkalmazása a hibaszámításban. f ”(1) = –1

f ”’(1) = 2 = 2!

f 4(1) = –6 = –3!

f 5 = 24 = 4! ΜΜ

f(n)(1) = (–1)n+1 (n – 1)!

12. példa: Határozzuk meg és e helyen a parabola görbületét!

parabola x0 = 2 helyhez tartozó simulókörének egyenletét (g(x)),

Megoldás:

7. ábra

= f(x) f(2) = –1 = g(2)

= f ’(x) f ’(2) = –1 = g’(2)


MAT3-13


2010

= f ’’(x) f ’’(2) =

= g’’(2)

Felírjuk a keresett simulókör egyenletét implicit alakban, kétszer deriváljuk, majd behelyettesítjük a konkrét értékeket. Az u, v és r-re így kapott egyenletrendszert megoldjuk:

(2 + 2)2 + (–1 + 5)2 = r2 , ahonnan r = 4

Ez azt jelenti, hogy a vizsgált

.

egyenletű parabola a P(2;-1) pontjában olyan mértékben görbült, mint

egy 4 ≈ 5,6 egység sugarú kör vonala. (A kör görbültsége minden pontjában azonos, a parabola görbültsége pontonként változik.) A simulókör egyenlete: (x + 2)2 + (y + 5)2 = 32

A parabola görbülete az x0 = 2 helyen:

.

FELADATOK: 53.) Határozzuk meg az f(x) = 4x3 – 2x2 + 5x + 6 függvény összes f (n)(x) deriváltját! 54.) Határozzuk meg az deriváltját!

függvény

deriváltját, majd az

függvény 15-dik

55.)Képezzük a megadott függvények második és harmadik derivált függvényét:

a.)f(x)=xarctg(x) b.) i. d.)f(x)=tgx

56.) Az

függvény minden pozitív egész n értékre adjuk meg az

f (n)(x) függvényt. 57.) Írjuk fel a

polinomot (x+1) hatványai szerint!

58.) Írjuk fel az f(x)=cosx, függvény 59.) Írjuk fel az

MAT3-14

függvény

pontjához tartozó negyedfokú Taylor- polinomját! pontjához tartozó harmadfokú Taylor- polinomját!


Csabina Zoltánné

MATDeriváltak, differenciálszámítás függvények és görbék vizsgálatára. Magasabb rendű deriváltak alkalmazása a hibaszámításban. 60.) Írjuk fel az alábbi függvények harmadfokú MacLaurin- polinomját!

a.)

b.)

c.) f(x)=tgx

61.) Határozzuk meg az f(x)=ln(1-x) MacLaurin-sorát! 62.) Negyedrendű Taylor polinom felhasználásával adjuk meg ln1,5 közelítő értékét. 63.) Az görbületét.

függvénynek az y tengellyel való metszéspontjában írjuk fel a simulókörének egyenletét és

64.) Mekkora az y=sinx görbülete az egyenletét!

65.) Mekkora az rének egyenletét!

pontban? Adjuk meg a görbe E pontjához tartozó simulókörének

görbülete az

pontban? Adjuk meg a görbe E pontjához tartozó simulókö-

66.) Adjuk meg a következő függvények görbületét az a.

pontban!

b.) 67.)Írjuk fel az

függvény E(3,3) pontjában simulókörének egyenletét és görbületét!

3.2.5 L’Hospital-szabály Vannak olyan határértékszámítási problémák, amelyek megoldása az eddig ismert módszerekkel nem lehetséges, vagy ha igen, akkor csak nagyon körülményesen. Ilyenek például a és a típusú határértékek, valamint az ezekre visszavezethetők. Az ilyen jellegű határértékek meghatározására való határértékszámítási szabályokat L’Hospital-szabályoknak szokás nevezni.

A véges helyen vett

és

típusú.

Tétel: Ha f és g rendelkezik a következő tulajdonságokkal:

1.)

, vagy

2.) f és g x0 környezetében differenciálható (esetleg féloldali) 3.)

x0 környezetében

és 4.) létezik a


MAT3-15


akkor a

2010

határérték is létezik, és

.

13. példa: Számítsuk ki a következő határértékeket! A tétel feltételeinek vizsgálatát az olvasóra bízzuk.

1.

.

2.

.

3.

.

Tétel: Ha f és g rendelkezik a következő tulajdonságokkal:

1.)

vagy

2.) f és g függvény az (a;∞) intervallumon differenciálható 3.) g’(x) ≠0 ezen az intervallumon

és 4.) létezik a

akkor a

határérték is létezik, és

.

14. példa: Számítsuk ki a következő határértékeket: 1.

. 2. .

3.

Megemlítjük még a ∞ –∞ , ∞ ·0, ∞0, 1∞, 00 típusú határértékeket. E határértékek kiszámítását a alakra vezetjük vissza, és ezekre alkalmazzuk a L’Hospital szabályt.

vagy a

15. példa: (∞ – ∞) típus

MAT3-16


Csabina Zoltánné


. Megoldás:

Közös

nevezőre

mivel ez újból

hozva

a

helyettesítési

érték

lesz,

alkalmazható

a

L’Hospital

szabály:

alakú, újra alkalmazzuk a L’Hospital-szabályt:

,

tehát

.

16. példa: (∞ ·0) típus

. Megoldás: A kifejezést törtté alakítjuk

, így alkalmazható a L’Hospital szabály:

. FELADATOK: A következő határértékek kiszámításához használjuk a L’Hospital-szabályt. 1. 69.) 2. 71.) 3. 73.)


MAT3-17


2010

4.

75.) 5. 77.) 6. 79.) 7. 81.)

.

3.2.6 Függvényvizsgálat, szélsőérték-számítás Tétel: Legyen az f függvény az [a;b] intervallumon folytonos és az (a;b) nyílt intervallumon differenciálható. Az f függvény ezen az intervallumon akkor és csak akkor monoton növekedő ill. fogyó, ha f ’(x) ≥ 0, illetve f ’(x) ≤ 0 teljesül minden x ⊂ (a;b)-re. Tétel: Ha az f függvény az x0 hely valamely környezetében differenciálható, f ’(x0) = 0, és az f ’ deriváltfüggvény az x0 pontban előjelet vált, akkor f-nek az x0 pontban van lokális szélsőértéke. a. Ha f ’ az x0 pontban negatív értékből pozitív értékbe megy át, akkor f-nek az x0 pontban lokális minimuma van. b. Ha f ’ az x0 pontban pozitív értékből negatív értékbe megy át, akkor f-nek az x0 pontban lokális maximuma van. Annak megállapítására, hogy egy függvénynek létezik-e szélsőértéke, és ha létezik milyen, néha célszerű magasabbrendű deriváltakat is felhasználni. Tétel: Ha az f függvény az x0 pontban kétszer differenciálható, továbbá f ’(x0) = 0 és f ”(x0) 0, akkor a függvénynek az x0 helyen lokális maximuma van. Ha pedig f ’(x0) = 0 és f ”(x0) 0, akkor a függvénynek az x0 pontban lokális minimuma van. 17. példa: Határozzuk meg az f(x) = x4 – 2x2 + 2 függvény monotonitási szakaszait és lokális szélsőértékeit. Megoldás: f ’(x) = 4x3 – 4x = 4x(x2 – 1) f ’(x) = 0, ha 4x3 – 4x = 0, 4x(x2 – 1) = 0, ha x = –1; 0; 1. Az f ’ zérushelyei négy részintervallumra bontják az f értelmezési tartományát.

8. ábra

MAT3-18


Csabina Zoltánné

MATDeriváltak, differenciálszámítás függvények és görbék vizsgálatára. Magasabb rendű deriváltak alkalmazása a hibaszámításban. Táblázatunk már tartalmazza az f függvényre vonatkozó következtetéseinket is. Ahol az első derivált pozitív (–1 x 0 és x 1) ott a függvény szigorúan monoton növekedő, ahol a derivált negatív (x –1 és 0 x 1), ott a függvény szigorúan monoton csökkenő.

9. ábra

18. példa: Határozzuk meg az

függvény lokális szélsőértékeit!

Megoldás: Mivel a függvény minden x⊂R differenciálható, ezért lokális szélsőértéke ott lehet, ahol az első derivált zérus:

, f ’(x) = 0 ha x = –1, 1 A szélsőérték létezéséhez elengedő, ha az első derivált zérushelyein az f ” függvény értéke nem nulla. Ez esetben:

f ”(–1) = 3 0 f ”(1) = –3 0 Ez azt jelenti, hogy a függvénynek az x = –1 helyen lokális minimuma van, amelynek értéke f(–1) = –3, és az x = 1 helyen lokális maximuma van, amelynek értéke f(1) = 3. Tétel: Ha az f függvény az [a;b] intervallumon kétszer differenciálható, akkor ahhoz, hogy itt konvex (illetve konkáv) legyen, szükséges és elégséges, hogy f ”(x) ≥ 0 (illetve f ”(x) ≤ 0) legyen az egész [a;b] intervallumon. Tétel: Ha f függvény az x0 hely valamely környezetében kétszer differenciálható és f ”(x0) = 0, valamint az f ” függvény az x0 helyen előjelet vált, akkor f-nek az x0 helyen inflexiós pontja van. Tétel: Ha f az x0 helyen háromszor differenciálható, valamint f ”(x0) = 0 és f ’”(x0) ≠ 0, akkor f-nek az x0-ban inflexiós pontja van.

19. példa: Határozzuk meg az

függvény inflexiós pontjait!

Megkeressük a második derivált zérushelyeit és megvizsgáljuk az f ” függvény előjelét: f ’(x) = x2 – 2x – 3 és f ”(x) = 2x – 2. Az f ”(x) = 0 egyenlet megoldása: x = 1. A második derivált előjelváltásait foglaljuk táblázatba:


MAT3-19


2010

10. ábra Ahol f ” pozitív (x 1), ott konvex, ahol f ” negatív (x 1), ott konkáv az f függvény. Az x = 1 helyen f ” előjelet váltva 0, ezért az inflexiós pont. (f ’’’(x) = 2, így f ’’’(1) = 2 ≠ 0, tehát az x = 1 pontban van inflexiós pont.) A gyakorlati feladatok egy része az úgynevezett szélsőérték-feladat, amikor is csak a szélsőértékek meghatározása a cél. Az ilyen feladatok kitűzésekor általában nem kapjuk meg a vizsgálandó függvényt, azt a feladatban megfogalmazott feltételek alapján kell előállítani. 20. példa: Adott egy felül nyitott négyzet alapú hasáb, amelynek a térfogata 32 m3. Hogyan kell megválasztani a hasáb adatait, hogy a felszín minimális legyen? Megoldás: 1. Ha az alapél „a” és a magasság m, akkor a felszín: A = a2 + 4am. 2. A következő lépésben egyváltozóssá tesszük a felszín függvényét a térfogat segítségével.

V = 32 m3, V = a2m = 32, m =

A = a2 + 4a

,

Df : a 0

1. A felszínnek ott lehet szélső értéke, ahol A’(a) = 0. Az „a” szerint differenciálva:

,

ha a = 4

1.

ez pedig azt jelenti, hogy V-nek az a = 4 értékre minimuma van. 1. A minimális felszínű négyzet alapú hasáb adatai:

. A minimális felszín: Amin = 16 + 4·4·2 = 48 m2.

a = 4 és m = FELADATOK:

82.) Vizsgáljuk meg a következő függvényeket, szélsőérték szempontjából (helye, nagysága, minősége). Határozza meg azokat az intervallumokat is, amelyeken a függvény monoton! a. b.)

MAT3-20

.


Csabina Zoltánné


83.) Határozza meg az az

függvény szélsőértékét! Határozza meg

pontba húzható érintő egyenletét!

84.) Határozza meg a következő függvények szélsőértékét. Írja fel a függvénygörbékhez az húzható érintők egyenletét!

pontban

a. b.)

.

85.) Vizsgáljuk meg a következő függvényeknél, hogy a függvény görbéje mely intervallumban konvex, illetve konkáv. Határozza meg a függvény inflexiós pontját, és írja fel az inflexiós pontbeli érintő egyenletét! a. b.) i. .

d.)

86.) Határozza meg a következő függvények szélsőértékét/szélsőértékeit és inflexiós pontját/pontjait! a. b.) 87.) A

intervallumon hol konvex, ill. konkáv a következő függvény?

. 88.)Végezzünk teljes függvényvizsgálatot, és ábrázoljuk a függvényt! a. b.)

.

89.) Húsz méter hosszú drótszövetünk van. Hogyan válasszuk meg a téglalap alakú kert adatait, ha maximális területet akarunk körülhatárolni, és az egyik oldalon már van kerítés? 90.) 60cm-es vashuzalból téglatestet alakítunk ki. Hogyan kell megválasztani az éleit (alapja a, 2a oldalú téglalap), hogy a térfogat maximális legyen?

91.) Az egyenes és a koordináta tengelyek által meghatározott háromszögbe téglalapot írunk úgy, hogy az egyik csúcs az adott egyenesen, 2-2 csúcsa pedig az x ill. y tengelyen van. Hogyan kell megválasztani a csúcsok koordinátáit, ha maximális területű téglalapot szeretnénk? 92.) Egy felül nyitott henger alakú edény térfogata 500 magasságát, hogy a felszín minimális legyen?

. Hogyan kell megválasztani a henger sugarát és

93.) Bontsuk fel a 22-t két pozitív részre úgy, hogy az egyik résznek a negyedik hatványa, és a másik rész hetedik hatványának szorzata maximális legyen!


MAT3-21


2010

94.) Határozzuk meg az R sugarú gömbbe írható legnagyobb térfogatú kúp sugarát, magasságát és térfogatát! 95.) Adott egy oldalú négyzet alakú lemez, mely minden sarkából kivágunk egy-egy kis négyzetet, majd a maradék oldalrészeket felhajtva egy dobozt kapunk. Mekkora legyen a levágott kis négyzetek oldala, hogy a doboz térfogata maximális legyen? Mekkorák a maximális térfogatú doboz élei, és mekkora a maximális térfogat? 96.) Egy henger alakú üveg alján olyan félgömböt helyezünk el, amelynek sugara megegyezik a henger sugarával. Az így kapott test térfogata üveg a legkevesebb felülettel rendelkezzen?

. Mekkora legyen a henger sugara és a magassága, hogy az

97.) Egy termék árbevételi függvénye Milyen termékszám esetén lesz maximális az árbevétel?

, ahol x az előállított termék darabszámát jelöli.

3.2.7 Többváltozós függvények differenciálása, hibaszámítás Definíció: Legyen z = f(x,y) egy kétváltozós függvény, amely értelmezve van a P0(x0;y0) pont vala-

mely környezetében. A határértéket az f(x,y) függvény x szerinti parciális differenciálhányadosának vagy parciális deriváltjának nevezzük a P0(x0;y0) pontban. Az x szerinti parciális

derivált jelölése:

.

Az x indexszel azt emeljük ki, hogy a differenciálást az x változó szerint hajtjuk végre, állandó y mellett. Hasonlóan definiálható az f függvény y szerinti parciális deriváltja.

Egy kétváltozós függvény mindkét parciális differenciálhányadosa egyváltozós függvény differenciálhányadosa. Ebből következik, hogy a parciális differenciálhányadosok kiszámítására mindazon differenciálási szabályok alkalmazhatók, amelyeket az egyváltozós függvények differenciálásával kapcsolatban megtanultunk. A parciális differenciálhányadosok értelmezéséből nyilvánvaló azok geometriai jelentése: a z = f(x,y) felület és az y = y0 sík metszésvonala (x0;y0;f(x0,y0)) pontjához húzott érintőjének az iránytangense az x tengelyre vonatkozóan. Hasonlóan: az a z = f(x, y) felület és az x = x0 sík metszésvonala (x0;y0;f(x0,y0)) pontjához húzott érintőjének az iránytangense az y tengelyre vonatkozóan.

MAT3-22


Csabina Zoltánné


11. ábra Tegyük fel, hogy a z = f(x, y) függvény

parciális differenciálhányadosai léteznek az xy sík bizonyos tartományában. Ezen függvények parciális differenciálhányadosait (amennyiben azok léteznek) az f(x,y) függvény másodrendű parciális differenciálhányadosainak nevezzük:

Az

és

differenciálhányadosokat vegyes másodrendű differenciálhányadosoknak nevezzük.

Tétel: Ha a z = f(x,y) függvény második vegyes parciális differenciálhányadosai egy (x0,y0) pontban folytonosak, akkor e pontban egyenlők is egymással: . Definíció: A z = f(x,y) függvény teljes differenciálja a P0(x0;y0) pontban: . A teljes differenciált a hibaszámításban használják.

Abszolút hiba:


MAT3-23


2010

Relatív hiba:

, vagy

.

34. példa: Határozzuk meg a következő függvények parciális deriváltjait! a.) f(x,y)= 3x2y + xy2 b.)

c.)

.

Megoldás:

a.)

(y-t konstansnak vesszük),

(x-et konstansnak vesszük) b.) .

c.)

. 35.feladat: Számítsuk ki a következő függvények másodrendű parciális deriváltjait: a.) b.) Megoldás:

a.)

b.)

MAT3-24

,


Csabina Zoltánné


,

. 36. feladat: Egy derékszögű háromszög befogóit , adatokat használva mekkora abszolút hibával számítható a háromszög átfogója?

-nek mértük. A fenti

Megoldás:

a0=5, b0=12,

. 37. feladat: Egy háromszög alakú telek két oldala a mérési hibával , a köztük lévő szög pítsuk meg a hibakorlátokat!

és

.Számítsuk ki a háromszög területét és álla-

Megoldás: a0=83,56, b0=52,25,

,

,

relatív hiba:

,

.


MAT3-25


2010

abszolút hiba:

.

Tehát a terület: FELADATOK: 98.) Határozza meg az alábbi kétváltozós függvények elsőrendű parciális deriváltjait! 1.

2.)

3./

4./

1. 6.) 2. 8.) 3. 10.) 4. 12.) 5. 14.) 6.

16.)

7. 18.) 8. 20.)

.

9. 22.)

99.) Tekintse az legegyszerűbb alakban!

100.)Adott az

.

kétváltozós függvényt. Határozza meg az

kétváltozós függvény, ahol

összeget a

állandók. Határozza meg a

hányadost a legegyszerűbb alakban!

MAT3-26


Csabina Zoltánné


101.) Bizonyítsuk be, hogy

102.) Igazoljuk, hogy a

, ha

.

függvény eleget tesz az

103.) Mekkora „ a ” értéke, ha az differenciálegyenletnek?

differenciálegyenletnek. függvény megoldása a

104.) Megmérve egy henger m magasságát, és alapkörének r sugarát, a következő eredmények adódnak: r=2,5m ± 0,01m; m=4,0m ± 0,2m. Becsüljük meg a henger térfogatának kiszámításakor fellépő abszolút és relatív hibát! 105.) Egy négyzet oldalának hosszát megmértük és területét abból számítottuk. A számított terület : , a=35,1m. Milyen pontossággal mértük meg a négyzet oldalát? 106.) Megmérve egy egyenes körkúp m magasságát, és alapkörének r sugarát, a következő eredmények adódnak: r=10,0cm ± 0,1cm; m=20cm ± 0,05cm. Becsüljük meg az egyenes körkúp térfogatának kiszámításakor fellépő abszolút és relatív hibát! 107.) Egy négyzet alapú egyenes hasáb magasságát méternek, alapélét csülje meg, hogy mekkora abszolút és relatív hibával számolható a térfogat!

méternek mérték. Be-

108.) Egy háromszög két szöge és , az egyik oldala pedig b=41,32m ± 0,01m. Mekkora a háromszög a oldala? Határozzuk meg az a oldal abszolút és relatív hibáját! 109.) Egy háromszög két oldala a=200m ± 2m és b=300m ± 5m, a köztük levő szög pedig . Mekkora a háromszög harmadik, c oldala, és mekkora abszolút és relatív hibával számítható ki a háromszög ezen oldala? 110.)Egy optikai lencse fókusztávolsága f=30cm ± 0,15cm, tárgytávolsága t=35cm ± 0,2cm. Milyen határok között ingadozik a képlettel számított k értéke? 111.) Egy golyó sugara r=2cm ± 0,001cm, tömege m=14g ± 0,02g. Mekkora a sűrűség, és annak abszolút és relatív hibája? 112.) Adott egy P pont polárkoordinátáival, P(t,α): t=215,64m ± 0,06m és ki a P pont Descartes-féle koordinátáit (P(x,y)), és ezek abszolút és relatív hibáit!

. Számítsuk

113.) Milyen pontossággal számítjuk ki a gravitációs gyorsulás értékét, ha méréskor az időt 8% relatív hibával mértük, és s=2m-t Δs=0,5cm abszolút

hibával tudtuk mérni.

3.3 Megoldások 1. Tehát f ’(2) = 5.

2.


MAT3-27


2010

3.

Tehát

x≠3.

4. Az x0 = 4 pontban kell vizsgálni a differenciálhatóságot.

, tehát az f függvény az x0 = 4 pontban nem differenciálható, és így a [0;5] intervallumon sem. Ugyanis egy f függvény akkor differenciálható egy [a; b] zárt intervallumon, ha minden belső pontban, továbbá a-ban jobbról és b-ben balról differenciálható.

5.

. A 0 helyen nem differenciálható, mivel a különbségi hányados-függvény féloldali határértékei közül csak az egyik véges.

6. A függvény differenciálható az x=1 helyen.

12. ábra

7.

MAT3-28


Csabina Zoltánné

Mivel


ezért differenciálható az x=0 helyen, és

.

8. Az f függvény így is megadható:

9.

13. ábra

Mivel x=0 helyen

és

, ezért x=-3, x=1 helyeken nem differenciálható a függvény. Míg

, ezért itt differenciálható.

10.

11.

12.

,

.

.

.

.


.

MAT3-29


13.

2010

. 14.

.

15.

.

16.

.

17.

.

18.

19.

20.

22.

.

. 21.

.

.

23.

.

24.

26.

27.

MAT3-30

. 25.

.

.

.


Csabina Zoltánné


28.

.

29.

30.

.

.

31.

.

.

.

32.

.

1.

.

34.

.

35.

.

36.

.

37.

38. az érintő egyenlete: y =

.

(x – 4,5) + 3 =

x + 1,5

A normális egyenlete: y = –3(x – 4,5) + 3 = –3x + 16.5


MAT3-31


2010

14. ábra 39. A metszéspontok :

,

Az érintők egyenlete:

,

-re illeszkedő →y=-x+3;

40.

,

41.

Metszéspontok: A(4,0),B(0,2).

. -re illeszkedő →y=x-4.

, tehát párhuzamos.

42.Origón áthaladó érintő:

.

43. Érintési pont: E(3,8), érintő egyenlete: y=4x-4.

44.

.

45. Az origóban m=1, a P(2,1)-ben pedig m=0. 46.

,

vagy, ha

és

.

47. x 3 és x 3 –nál a függvény differenciálható. x=3, akkor differenciálható, ha az y=ax+b egyenes az függvénynek az x=3 ponthoz húzott érintője.

, tehát E(3,9) illeszkedik az egyenesre.

b=-9. Az érintő egyen-

lete: y=6x-9.

48. Metszéspont: használható,

MAT3-32

.

,

,

A képlet nem

.


Csabina Zoltánné


15. ábra

49.

.

50. a=e, y=lnx.

51.

,

,

, E(2,1).

.

16. ábra

52. e ��f →


E(9,-24), d=2.

MAT3-33


2010

17. ábra 53. f ’(x) = 12x2 – 4x + 5 f ”(x) = 24x – 4 f ”’(x) = 24 f (4) = 0 és innen adódik, hogy f (n)(x) = 0 ha n ≥ 4. 54. f ’(x) = 2x ln2, f ”(x) = 2x ln2 2, ...f (15) (x)= 2x ln152, x ⊂ R. Az n-edik deriváltra vonatkozó képlet is könnyen megadható: f (n) (x) = 2x lnn2.

55. a.)

,

b.)

,

c.)

,

d.)

,

.

56.

MAT3-34


Csabina Zoltánné


57.Meg kell határoznunk az f függvény

-hez tartozó Taylor-polinomját.

58.

.

59.

60. a.)

.

b.)

c.)

.

61.

Eszerint n≥1 esetén

,

A MacLaurin-sor pedig:

.

62. Az ln(1+x) függvény Taylor sorát használjuk fel. ln1,5 = ln(1+0,5) Tehát x=0.5 értéket helyettesítünk az alábbi MacLaurin-polinomba.

vagyis

. 63.


MAT3-35


2010

18. ábra

C(-2,3),

64.

,

65.

66. a.)

,

.

simulókör:

.

,

,

,

.

,

,

.

b.)

,

67.

MAT3-36

.

,


Csabina Zoltánné


C(-7,8),

, simulókör:

.

1.

. 69.

.

70.

.

II.Megoldás:

71.

.

72.

.

73.

74.

.

. 75.

.

76.

.

77.

78.

.

alakkal állunk szemben. Algebrai átalakítással

alakra hozhatjuk, és alkalmazhatjuk a szabályt:

.


MAT3-37


2010

79.

.

(Vegyük észre: nem használtuk a L’Hospital szabályt!)

80.

.

81.

,ezért legyen

82. a.)

,

19. ábra b.)

,

,

83.

MAT3-38

,

,

a szélsőérték max.

,

, ha


Csabina Zoltánné


20. ábra

,

A keresett érintő egyenlete :

.

84.a.)

,

21. ábra

,

b.)

, az érintő egyenlete:

,

.

,

,

22. ábra

.


MAT3-39


2010

Az érintő egyenlete: 85.a.)

. ,

,

23. ábra

,

. Az inflexiós érintő egyenlete:

.

b.)

,

24. ábra

. c.)

, az inflexiós érintő egyenlete:

, ,

vel

.

, ha

, vagyis

, mi-

.

25. ábra

,

MAT3-40

. Az inflexiós érintő egyenlete:

.


Csabina Zoltánné


d.)

Az hely környezetében az előző feladatot)

előjelet vált, tehát itt a függvénynek inflexiós pontja van. (Lásd az

Az inflexiós érintő egyenlet :

86.a.)

Szélsőérték: ,

,

,

Inflexiós pont:

.

,

tehát van szélsőérték, és ez helyi maximum.

nincs ilyen valós szám, a függvénynek nincs inflexiós pontja.

b.)

26. ábra

27. ábra

Inflexiós pontok: Figyeljük meg a táblázatokon a függvény páratlan tulajdonságát!


MAT3-41


2010

87.

28. ábra

88.a.) Df : R \{–1;1}, Zérushelye:

ha x = 0.

A függvény páratlan, mert

∀x⊂R

Határértékei a végtelenben:

és mivel páratlan: A szakadási helyekhez tartozó jobb és baloldali határértékek:

x = –1 az y tengellyel párhuzamos aszimptota

x = 1 az y tengellyel párhuzamos aszimptota

Ferde (ált. helyzetű) aszimptota egyenlete: y = ax + b

MAT3-42


Csabina Zoltánné


tehát az egyenlet: y = x A függvény monotonitási szakaszai, szélsőértékei:

f ’(x) = 0, (x2 – 1)2 = 1 + x2 x4 – 2x2 + 1 = 1 + x2

x2(x2 – 3) = 0 → ; f(0) = 0

.

;

29. ábra

30. ábra A függvény konvex, illetve konkáv szakaszai, inflexiós pont.

, itt a függvénynek maximuma van,

, a függvénynek minimuma van.

31. ábra


MAT3-43


2010

. Az inflexiós pontban az érintő az x tengellyel párhuzamos. A görbe vázlata:

32. ábra A függvény értékkészlete: R. b.)

R \{7}, zérushely:x=0, pólushely: x=7.

,

.

Szélsőérték:

, ha x=-7.

33. ábra

, ha x=-14. f(x) konvex ⇔

⇔ x-14, x≠-7

f(x) konkáv ⇔

⇔ x-14. Inflexiós pont:x=-14-nél.

A függvény értékkészlete:

MAT3-44

.


Csabina Zoltánné


34. ábra 89. T(a,b)=a·b milyen a,b-re maximális. k=20=2a+b ⇒ b=20-2a,

, ha 0 a 10.

, tehát az a=5 lok. maximum, b=10. 90.

maximumát keressük a feltétel mellett.K=60=12a+4b ⇒ , értelmezési tartománya 0 a 5.

.

, lok. maximum, b=5. 91.

35. ábra

T(x,y)=x·y maximumát keressük, ha

, A feltételből y=6-0,6x,

, 0 x 10.

, tehát maximuma van, y=3. A(5;3), B(0;3), C(0;0), D(5;0).


MAT3-45


2010

92.

minimumát keressük, ha térfogata

,

A

feltételt

kihasználva:

,

,

tehát minimuma van,

93.

0R,

.

maximumát keressük, ha 0 x 22. , ,

,

.

94.

36. ábra

, 0 x R, (R0 adott)

Az értelmezési tartományon az első derivált csak akkor nulla, ha

R – 3x = 0, azaz x =

MAT3-46

.


Csabina Zoltánné


A térfogat az

helyen maximális. A sugár:

.

A kúp magassága:

A maximális térfogat:

.

Tehát a kúp maximális térfogata a gömb térfogatának

-ede.

95. Jelöljük a levágott négyzet oldalát x-szel. Ekkor a keletkezett doboz térfogata: Nyilván

.

.

csak x=2 eleme az értelmezési tartománynak.

, ezért az x=2 helyen a térfogatfüggvénynek maximuma van. A doboz oldalai 8,8 és 2 cm hosszúak, a térfogata pedig 128

.

96. Legyen m a henger magassága, rpedig a sugara. Ezen két test együttes térfogata: → minimális legyen.

, tehát a függvénynek minimuma van az r=3-ban, m=3.


MAT3-47


2010

97.

és

vagyis

, ha

,

vagyis

37. ábra a maximális árbevétel. 98. 1.)

,

2.)

.

,

3.)

.

,

4.)

.

,

.

5.)

,

,

.

6.)

,

7.)

8.)

.

,

,

.

.

9.)

,

.

MAT3-48


Csabina Zoltánné


10.)

11.)

,

.

,

.

12.)

13.)

14.)

,

.

,

.

,

.

15.) 16.)

,

.

,

.

17.)

18.)

,

.

,

.

19.)

,

.

20.)

,

.


MAT3-49


99.

100.

2010

.

.

102.

,

,

. 103.

.

104.

.

, .

105.

,

,

.

Tehát a=35,1m ± 0,213m.

106. 107.

,

,

,

.

,

108.

.

,

‰. . 109.

110.

MAT3-50

⇒ c=264,575m,

,

.

.


Csabina Zoltánné


A határ, ami között ingadozik: [195,45cm ; 224,55cm].

111. 112.

,

,

,

‰,

. .

‰

113.

,

,

. Azaz a g relatív hibája 16,25%.

Irodalomjegyzék Csabina Z-né: Matematika, NymE Geoinformatikai Kar Jegyzetsokszorosító Részleg, Székesfehérvár, 2002. Banach, S: Differenciál- és integrálszámítás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1975. Bay L.–, Juhász A.–, Szentelekiné Páles I.: Matematikai analízis példatár, Bárczy B.: Differenciálszámítás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1970. Csernyák L.: Analízis, Tankönyvkiadó, Budapest, 1992. Denkinger G.: Analízis, Tankönyvkiadó, Budapest, 1980. Denkinger G. – Gyurkó L.: Matematikai analízis, Feladatgyűjtemény, Kovács J.–, Takács G.–, Takács M.: Analízis, Tankönyvkiadó, Budapest, 1986. Rejtő M.–, Pach Zs. Pálné–, Révész P.: Matematika, Mezőgazdasági Kiadó, Budapest, 1972. Szerényi Tibor: Analízis, Tankönyvkiadó, Budapest, 1985. B.P.Gyemidovics: Matematikai analízis, feladatgyűjtemény, Tankönyvkiadó, Budapest, 1974. Varga O.-, Merza J.-, Sebestyén L.: Matematika és példatár I/2, Tankönyvkiadó, Budapest, 1966.


MAT3-51


2010

Tóth A.: Analízis feladatok, ARÉV Nyomda Kft., Székesfehérvár, 2002. Csikós Pajor G.: Matematikai analízis, Műszaki Főiskola, Szabadka, 2000.

MAT3-52


Matematika példatár 3

Recommend Documents