MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT I. 1) Egyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6 b 2 36 b 6
(2 pont)
Megoldás: Az egyszerűsítés utáni alak: b 6
(2 pont) Összesen: 2 pont
2) A 2, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű számot. Ezek közül véletlenszerűen kiválasztunk egyet. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az így kiválasztott szám páratlan? Válaszát indokolja! (3 pont) Megoldás: (A képezhető háromjegyű számok száma:) 3! 6 . Ezek közül 2 páratlan. 2 1 Így a keresett valószínűség 6 3
(1 pont) (1 pont) (1 pont) Összesen: 3 pont
3) Hányszorosára nő egy kocka térfogata, ha minden élét háromszorosára növeljük? (2 pont) Megoldás: A kocka térfogata 27-szeresére nő.
(2 pont)
4) Adottak a következő számok: a 23 5 72 114 és b 2 52 113 13 . Írja fel a és b legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét! A kért számokat elegendő prímtényezős alakban megadni. (2 pont) Megoldás: A legnagyobb közös osztó: 2 5 113 13310
(1 pont)
A legkisebb közös többszörös: 2 5 7 11 13 1865263400 (1 pont) Összesen: 2 pont 3
2
2
4
5) A következő két függvény mindegyikét a valós számok halmazán értelmezzük: f x 3 sin x ; g x sin 3x . Adja meg mindkét függvény értékkészletét! (2 pont) Megoldás: f értékkészlete: R f 3; 3 g értékkészlete: Rg 1;1
(1 pont) (1 pont) Összesen: 2 pont
6) Mekkora az x 2 6, 5x 3, 50 egyenlet valós gyökeinek összege, illetve szorzata? Válaszát indokolja! (3 pont) Megoldás: Az egyenlet gyökei: 7 és –0,5. A gyökök összege: 6,5. A gyökök szorzata: –3,5.
(2 pont) (1 pont) Összesen: 3 pont
7) Az A halmaz az 5-re végződő kétjegyű pozitív egészek halmaza, a B halmaz pedig a kilenccel osztható kétjegyű pozitív egészek halmaza. Adja meg elemeik felsorolásával az alábbi halmazokat: A; B; A B; A \ B; (4 pont) Megoldás:
A 15;25;35;45;55;65;75;85;95
(1 pont)
B 18;27;36;45;54;63;72;81;90;99
(1 pont)
A B 45
(1 pont)
A \ B 15;25;35;55;65;75;85;95
(1 pont) Összesen: 4 pont
8) Adja meg az alábbi két egyenlet valós gyökeit! a) 52x 625 1 b) 2y 32
(1 pont) (1 pont)
Megoldás: x 2 y 5
(1 pont) (1 pont) Összesen: 2 pont
9) Melyik szám nagyobb? 1 A lg vagy B cos 8 10
(2 pont)
Megoldás: A nagyobb szám betűjele: B cos 8
(2 pont)
10) Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet! x 2 7
(2 pont)
Megoldás: Az egyenlet megoldása a 9 és a −5.
(1 pont) (1 pont) Összesen: 2 pont
11) Melyik a 201-edik pozitív páros szám? Válaszát indokolja!
(3 pont)
Megoldás: Az a1 2 első tagú, d 2 differenciájú számtani sorozat felismerése. (1 pont) (1 pont) a201 2 200 2 402 (1 pont) Összesen: 3 pont 12) Döntse el az alábbi állítások mindegyikéről, hogy igaz-e vagy hamis! A: Ha két szám négyzete egyenlő, akkor a számok is egyenlők. (1 pont) B: A kettes számrendszerben felírt 10100 szám a tízes számrendszerben 20. (1 pont) C: Egy hat oldalú konvex sokszögnek 6 átlója van. (1 pont) Megoldás: A: hamis B: igaz C: hamis
(1 pont) (1 pont) (1 pont) Összesen: 3 pont
II/A. 13) Egy iskolai tanulmányi verseny döntőjébe 30 diák jutott be, két feladatot kellett megoldaniuk. A verseny után a szervezők az alábbi oszlopdiagramokon ábrázolták az egyes feladatokban szerzett pontszámok eloszlását:
a) A diagramok alapján töltse ki a táblázat üres mezőit! Az első feladatra kapott pontszámok átlagát két tizedes jegyre kerekítve adja meg! (3 pont) 1. feladat 2. feladat pontszámok átlaga
3,10
pontszámok mediánja b) A megfelelő középponti szögek megadása után kördiagramon a 2. feladatra kapott pontszámok eloszlását!
ábrázolja (4 pont)
c) A versenyen minden tanuló elért legalább 3 pontot. Legfeljebb hány olyan tanuló lehetett a versenyzők között, aki a két feladat megoldása során összesen pontosan 3 pontot szerzett? (5 pont)
Megoldás: a) 1. feladat
2. feladat
pontszámok átlaga
3,57
3,10
pontszámok mediánja
3,5
4
(3 pont) b) Egy tanulóhoz tartozó középponti szög: 12°. (1 pont) 13 tanulóhoz 156°, 6 tanulóhoz 72°, 4 tanulóhoz 48°, 3 tanulóhoz 36°, 2 tanulóhoz 24° tartozik. (1 pont)
(2 pont) c)
Egy tanuló 3 pontot négyféleképpen érhetne el: 0 3; 1 2; 2 1; 3 0 . A diagram alapján nem valósulhat meg: 0 3; 2 1 . 1 2 pontot 1 tanuló kaphatott. 3 0 pontot 2 tanuló kaphatott. Legfeljebb 3 tanuló érhetett el pontosan 3 pontot.
(1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) Összesen: 12 pont
14) Egy autó ára újonnan 2 millió 152 ezer forint, a megvásárlása után öt évvel ennek az autónak az értéke 900 ezer forint. a) A megvásárolt autó tulajdonosának a vezetési biztonságát a vásárláskor 90 ponttal jellemezhetjük. Ez a vezetési biztonság évente az előző évinek 6 %-ával nő. (4 pont) Hány pontos lesz 5 év elteltével az autótulajdonos vezetési biztonsága? Válaszát egész pontra kerekítve adja meg! b) Az első öt év során ennek az autónak az értéke minden évben az előző évi értékének ugyanannyi százalékával csökken. Hány százalék ez az éves csökkenés? (8 pont) Válaszát egész százalékra kerekítve adja meg!
Megoldás: a)
A vezetési biztonság pontjai egy t0 90 , q 1,6 hányadosú mértani sorozat tagjai. (1 pont) 5 (Ebben a sorozatban) t5 90 1,06 (pont). (1 pont)
90 1,065 120,44 tehát 5 év után a vezetési biztonság 120 pontos. b) Legyen a csökkenési ráta x. Ekkor 2,152x 5 0,9 900 x5 0,4182 , 2152 900 amiből x 5 2152 x 0,84 , 1 0,84 0,16 , tehát évente 16 %-kal csökken az autó értéke. A feladat megoldható úgy is, ha a kamatos kamatszámításhoz képletet használunk. Összesen:
(1 (1 (1 (2
pont) pont) pont) pont)
(1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) hasonló 12 pont
15) Az ABC háromszög csúcsainak koordinátái: A 3; 2 , B 3; 2 és C 0; 0 . a) Számítsa ki az ABC háromszög szögeit! (5 pont) b) Írja fel az ABC háromszög körülírt körének egyenletét! (7 pont) Megoldás: a)
Az ABC háromszög egyenlő szárú.
(1 pont)
2 (2 pont) 3 tehát az alapon fekvő szögek nagysága 33,7°, (1 pont) a szárak szöge pedig 112,6°. (1 pont) b) A körülírt kör középpontja az oldalfelező merőlegesek közös pontja, ez a szimmetria miatt az ordinátatengelyen van. (1 pont) Az AC oldal felezőmerőlegese átmegy a 1,5;1 felezőponton. (1 pont) Az AB alapon fekvő hegyesszögek tangense
Az AC oldal felezőmerőlegesének egy normálvektora a CA, CA 3;2 .
(1 pont) (1 pont)
Az AC oldal felezőmerőlegesének egyenlete: 3x 2y 6,5 .
(1 pont)
Ez az y tengelyt a 0;3,25 pontban metszi (ez a körülírt kör középpontja). A kör sugara 3,25.
(1 pont)
A körülírt kör egyenlete: x y 3,25 3,25 . 2
2
2
(1 pont) Összesen: 12 pont
II/B. 16) Egy 12 cm oldalhosszúságú négyzetet megforgatunk az egyik oldalával párhuzamos szimmetriatengelye körül. a) Mekkora az így keletkező forgástest térfogata és felszíne? (6 pont) A felszínt egész cm2-re, a térfogatot egész cm3-re kerekítve adja meg! Ugyanezt a négyzetet forgassuk meg az egyik átlóját tartalmazó forgástengely körül! b) Mekkora az így keletkező forgástest térfogata és felszíne? (9 pont) A felszínt egész cm2-re, a térfogatot egész cm3-re kerekítve adja meg! c) A forgástestek közül az utóbbinak a felszíne hány százaléka az első forgatással kapott forgástest felszínének? (2 pont) Megoldás: a)
Az első esetben a forgástengely a négyzet szemközti oldalainak közös felezőmerőlegese, (1 pont) a keletkező forgástest forgáshenger: alapkörének sugara 6 cm, magassága 12 cm. (1 pont) 2 Térfogata: V1 6 12 (1 pont) V1 432 1357 cm3
(1 pont)
Felszíne: A1 2 62 2 6 12
(1 pont)
(1 pont) A1 216 679 cm2 b) A második esetben (mivel a négyzet átlói merőlegesen felezik egymást) a forgástest egy kettőskúp. A közös köralap átmérője a négyzet átlója, a kúpok magassága a négyzet átlóhosszának fele. (1 pont) A négyzet átlója: d 12 2 17 (1 pont)
6 2
2
Az egyik kúp térfogata: V1 azaz V1 144 2 640
6 2
(1 pont)
3
(1 pont)
A két kúp egybevágó, így a kettőskúp térfogata: V 2V1 1280 cm2 A forgáskúp palástja kiterítve körcikk, amelynek az 2 6 2 17 53,4 cm sugara 12 cm hosszú. 2 6 2 12 72 2 320 cm2 Így a területe: T 2
A kérdezett százalék: azaz kb. 94%.
(1 pont)
(1 pont)
(1 pont)
144 2 2T 100 100 , A1 216
(1 pont)
A kettőskúp felszíne: 2T 144 2 640 cm2 c)
(1 pont) ívhossza (1 pont)
(1 pont) Összesen: 17 pont
17) Egy új típusú, az alacsonyabb nyomások mérésére kifejlesztett műszer tesztelése során azt tapasztalták, hogy a műszer által mért pm és a valódi pv nyomás között a lg pm 0,8 lg pv 0,301 összefüggés áll fenn. A műszer által mért és a valódi nyomás egyaránt pascal (Pa) egységekben szerepel a képletben. a) Mennyit mér az új műszer 20 Pa valódi nyomás esetén? (4 pont) b) Mennyi valójában a nyomás, ha a műszer 50 Pa értéket mutat?(6 pont) c) Mekkora nyomás esetén mutatja a műszer a valódi nyomást? (7 pont) A pascalban kiszámított értékeket egész számra kerekítve adja meg! Megoldás: a)
lg pm 0,8 lg 20 0,301 lg pm 1,342
b)
c)
pm 22 Pa lg 50 0,8 lg pv 0,301 lg 50 0,301 , lg pv 0,8 lg pv 1,747
pv 56 Pa pv pm felismerése (Legyen a keresett nyomás pv pm p ) lg p 0,8 lg p 0,301, 0,301 lg p 1,505 0,2 p 32 Pa
(2 pont) (1 pont) (1 pont) (2 pont) (2 pont) (1 pont) (1 pont) (2 pont) (2 pont) (2 pont) (1 pont) Összesen: 17 pont
18) András, Balázs, Cili, Dóra és Enikő elhatározták, hogy sorsolással döntenek arról, hogy közülük ki kinek készít ajándékot. Úgy tervezték, hogy a neveket ráírják egy-egy papírcetlire, majd a lefelé fordított öt cédulát összekeverik, végül egy sorban egymás mellé leteszik azokat az asztalra. Ezután, keresztnevük szerinti névsorban haladva egymás után vesznek el egy-egy cédulát úgy, hogy a soron következő mindig a bal szélső cédulát veszi el. a) Mennyi a valószínűsége, hogy az elsőnek húzó Andrásnak a saját neve jut? (5 pont) b) Írja be az alábbi táblázatba az összes olyan sorsolás eredményét, amelyben csak Enikőnek jut a saját neve! A táblázat egyes soraiban az asztalon lévő cédulák megfelelő sorrendjét adja meg! (A megadott táblázat sorainak a száma lehet több, kevesebb vagy ugyanannyi, mint a felsorolandó esetek száma. Ennek megfelelően hagyja üresen a felesleges mezőket, vagy egészítse ki újabb mezőkkel a táblázatot, ha szükséges!) (6 pont) A húzó neve
A cédulák megfelelő sorrendjei
A
B
C
D
E E E E E E E
c) Az ajándékok átadása után mind az öten moziba mentek, és a nézőtéren egymás mellett foglaltak helyet. Hány különböző módon kerülhetett erre sor, ha tudjuk, hogy a két fiú nem ült egymás mellett? (6 pont) Megoldás: a)
Az 5 név bármelyike ugyanakkora valószínűséggel kerülhet az első helyre, (1 pont) 1 0, 2 . tehát a keresett valószínűség (1 pont) 5 A feladat megoldható a kedvező/összes formulával is. (1 pont)
b) A húzó neve
A cédulák megfelelő sorrendjei
A
c)
B
C
D
E
B
A
D
C
E
B
C
D
A
E
B
D
A
C
E
C
A
D
B
E
C
D
A
B
E
C
D
B
A
E
D
A
B
C
E
D
C
A
B
E
D
C
B
A
E
(6 pont) Azt a két helyet, ahol a fiúk ülhetnek (nem egymás mellett), 6-féleképpen választhatjuk ki, (1 pont) 5 mert 4 6 . (1 pont) 2 A két kiválasztott helyen a fiúk 2-féleképpen helyezkedhetnek el. (1 pont) A lányok minden egyes esetben 3! 6 különböző módon ülhetnek le egymáshoz képest. (1 pont) Összesen tehát 6 2 6 (1 pont) 72 különböző módon ülhetnek le. (1 pont) Komplementer halmazzal is számolhatunk. Összesen: 17 pont
