MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. május 5. KÖZÉPSZINT I. 1) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! 2x 2 13x 24 0
(2 pont)
Megoldás: Az egyenlet gyökei 1, 5 és 8 . 2) Számítsa ki a 12 és 75 számok mértani közepét!
(2 pont) (2 pont)
Megoldás: A mértani közép: 30.
(2 pont)
3) Egy négytagú csoportban minden tagnak pontosan két ismerőse van a csoport tagjai között. Szemléltessen gráffal egy ilyen ismeretségi rendszert! (Az ismeretség kölcsönös.) (2 pont) Megoldás: Például:
(2 pont) 4) Döntse el az alábbi két állítás mindegyikéről, hogy igaz vagy hamis! (2 pont) sin x x függvény periódusa 2. a) Az x b) Az x
sin 2x x
függvény periódusa 2.
Megoldás: a) igaz b) hamis
(1 pont) (1 pont) Összesen: 2 pont
5) A 9.B osztály létszáma 32 fő. Közülük először egy osztálytitkárt, majd egy titkárhelyettest választanak. Hányféleképpen alakulhat a választás kimenetele? (2 pont) Megoldás: 32 31 992 -féleképpen.
(2 pont)
6) Adja meg a log 3 81 kifejezés pontos értékét!
(2 pont)
Megoldás: A kifejezés értéke 4.
(2 pont)
7) Egy mértani sorozat első tagja -3, a hányadosa -2. Adja meg a sorozat ötödik tagját! Írja le a megoldás menetét! (3 pont) Megoldás:
an a1 q
n 1
(1 pont) 5 1
a5 3 2
(1 pont)
A sorozat ötödik tagja: -48.
(1 pont) Összesen: 3 pont
8) Írja fel 24 és 80 legkisebb közös többszörösét! Számítását részletezze! (3 pont) Megoldás:
24 23 3 80 24 5 A legkisebb közös többszörös: 24 3 5 240 .
(1 pont) (1 pont) (1 pont) Összesen: 3 pont
9) Az A és a B halmazok a számegyenes intervallumai: A 1, 5;12 ,
B 3; 20 . Adja meg az A B és a B A halmazokat!
(4 pont)
Megoldás:
A B 1, 5; 20
(2 pont)
B A 3;12
10) Adja meg a 3x 2y 18 egyenletű metszéspontjának koordinátáit!
(2 pont) Összesen: 4 pont egyenes
és
az
y
tengely (2 pont)
Megoldás:
M 0; 9
(2 pont)
11) Egy kisüzem 6 egyforma teljesítményű gépe 12 nap alatt gyártaná le a megrendelt csavarmennyiséget. Hány ugyanilyen teljesítményű gépnek kellene dolgoznia ahhoz, hogy ugyanennyi csavart 4 nap alatt készítsenek el? (2 pont) Megoldás: 18 gépnek kellene dolgoznia.
(2 pont)
12) Egy gömb alakú gáztároló térfogata 5000 m3. Hány méter a gömb sugara? A választ egy tizedesre kerekítve adja meg! Írja le a számítás menetét! (4 pont) Megoldás: Ha a gömb sugara r, akkor: 15000 11994 , 4 15000 ebből r 3 , 4 A gömb sugara 10,6 m. r3
4r 3 5000 , 3
(1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) Összesen: 4 pont
II/A. 13) Egy 2000. január elsejei népesség-statisztika szerint a Magyarországon élők kor és nem szerinti megoszlása (ezer főre) kerekítve az alábbi volt: Korcsopor Férfiak száma Nők száma t (év) (ezer fő) (ezer fő) 0 – 19 1214 1158 20 – 39 1471 1422 40 – 59 1347 1458 60 – 79 685 1043 80 75 170 a) Melyik korcsoport volt a legnépesebb? A táblázat adatai alapján adja meg, hogy hány férfi és hány nő élt Magyarországon 2000. január elsején? (3 pont) b) Ábrázolja egy közös oszlopdiagramon, két különböző jelölésű oszloppal a férfiak és a nők korcsoportok szerinti megoszlását!(5 pont) c) Számítsa ki a férfiak százalékos arányát a 20 évnél fiatalabbak korcsoportjában, valamint a legalább 80 évesek között! (4 pont) Megoldás: a) A 20-39 éves korcsoport volt a legnépesebb (2 893 ezer fő). 4792 ezer (4 792 000) férfi és 5251 ezer (5 251 000) nő élt az országban.
(1 pont) (1 pont) (1 pont)
b)
(5 pont)
c) A 20 évnél fiatalabb férfiak száma 1214 ezer, a korcsoport lélekszáma 2372 ezer fő volt, (1 pont) tehát a férfiak százalékos aránya: 1214 (1 pont) 0, 512 51, 2% 2372 A legalább 80 éves férfiak száma 75 ezer, a korcsoport lélekszáma 245 ezer fő volt, (1 pont) tehát a férfiak százalékos aránya: 75 (1 pont) 0, 306 30, 6% 245 Összesen: 12 pont 14) Egy vetélkedőn részt vevő versenyzők érkezéskor sorszámot húznak egy urnából. Az urnában 50 egyforma gömb van. Minden egyes gömbben egyegy szám van, ezek különböző egész számok 1-től 50-ig. a) Mekkora annak a valószínűsége, hogy az elsőnek érkező versenyző héttel osztható sorszámot húz? (3 pont) A vetélkedő győztesei között jutalomként könyvutalványt szerettek volna szétosztani a szervezők. A javaslat szerint Anna, Bea, Csaba és Dani kapott volna jutalmat, az egyes jutalmak aránya az előbbi sorrendnek megfelelően 1 : 2 : 3 : 4 . Közben kiderült, hogy akinek a teljes jutalom ötödét szánták, önként lemond az utalványról. A zsűri úgy döntött, hogy a neki szánt 16000 forintos utalványt is szétosztják a másik három versenyző között úgy, hogy az ő jutalmaik közötti arány ne változzon. b) Összesen hány forint értékű könyvutalványt akartak a szervezők szétosztani a versenyzők között, és ki mondott le a könyvutalványról? (6 pont) c) Hány forint értékben kapott könyvutalványt a három versenyző külön-külön? (3 pont) Megoldás: a) Mivel 1-50-ig 7 darab 7-tel osztható szám van, (1 pont) 7 az első versenyző valószínűséggel húz 7-tel osztható számot. (2 pont) 50 b) Ha a jutalom ötödrésze 16000 forint, akkor a teljes jutalmat 80000 forintra tervezték. (2 pont) Az arányok szerint 1 egység a teljes jutalom 10-ed része, (1 pont) egy egység 8000 forintot ér. (1 pont) Bea kapott volna 16000 forintot, így ő mondott le a jutalomról. (2 pont) c) Mivel 1: 3 : 4 arányban osztották szét a könyvutalványokat, (1 pont) Anna 10000, Csaba 30000, Dani pedig 40000 forint értékben kapott könyvutalványt. (2 pont) Összesen: 3 pont
15) Valamely derékszögű háromszög területe 12 cm2, az hegyesszögéről 2 pedig tudjuk, hogy tg . 3 a) Mekkorák a háromszög befogói? (8 pont) b) Mekkorák a háromszög szögei, és mekkora a köré írt kör sugara? (A szögeket fokokban egy tizedesjegyre, a kör sugarát cm-ben szintén egy tizedesjegyre kerekítve adja meg!) (4 pont) Megoldás: a) A befogók aránya 3 : 2 . (2 pont) Az egyik befogó 3x, a másik 2x. (1 pont) a b a háromszög területe: (1 pont) . 2 a 3x 2x (1 pont) 12 . 2 (1 pont) x 2 4. A (pozitív) megoldás: x 2. (1 pont) b A befogók hossza 6 cm és 4 cm. (1 pont) b) Az hegyesszög 56,3° (1 pont) a másik hegyesszög 33,7°-os. (1 pont) A derékszögű háromszög átfogója (Pitagorasz tétele szerint) 52 7, 2 cm , (1 pont) a kör sugara (az átfogó fele): 13 3, 6 cm . (1 pont) Összesen: 12 pont
II/B. 16) A következő kérdések ugyanarra a 20 oldalú szabályos sokszögre vonatkoznak. a) Mekkorák a sokszög belső szögei? Mekkorák a külső szögek? (3 pont) b) Hány átlója illetve hány szimmetriatengelye van a sokszögnek? Hány különböző hosszúságú átló húzható egy csúcsból? (6 pont) c) Milyen hosszú a legrövidebb átló, ha a szabályos sokszög beírt körének sugara 15 cm? A választ két tizedesjegyre kerekítve adja meg! (8 pont) Megoldás: a) A belső szögek 162°-osak, (2 pont) a külső szögek 18°-osak. (1 pont) 20 17 b) Az összes átlók száma (2 pont) 170 2 Szemközti csúcsokat összekötő átlóból 10 van, (ezek egyenese 1–1 szimmetriatengely) szemközti oldalak felezőpontját összekötő szimmetriatengelyből szintén 10, (1 pont) tehát összesen 20 szimmetriatengelye van a sokszögnek. (1 pont) Egy csúcsból 17 átló húzható, ezek között 8–8 páronként egyenlő hosszú, (1 pont) tehát 9 különböző hosszúságú átló húzható egy csúcsból. (1 pont) c) A szabályos 20-szög egy oldalához tartozó O (konvex) középponti szög 18°-os. (1 pont) a (1 pont) tg9 2 15 (1 pont) a 30 tg9 9°9° (1 pont) a 4,75 cm A legrövidebb átló egy 162°szárszögű egyenlő szárú háromszögből számolható ki, amelynek szárai ≈4,75 cm hosszúak. (1 pont) d (1 pont) sin 81 2 4,75 d 9,5 sin81
(1 pont)
d 2 4, 75 sin 81 9,38 cm
(1 pont)
15 d
A
C
Összesen: 17 pont B
17) A valós számok halmazán értelmezett f másodfokú függvény grafikonját 1 g (x ) x 2 függvény grafikonját a úgy kaptuk, hogy a g: g : 2 v 2; 4, 5 vektorral eltoltuk. a) Adja meg az f függvény hozzárendelési utasítását képlettel! b) Határozza meg f zérushelyeit! c) Ábrázolja f grafikonját a [2; 6] intervallumon!
(3 pont) (4 pont) (4 pont)
Oldja meg az egész számok halmazán a következő egyenlőtlenséget! 1 2 5 x 2x d) (6 pont) 2 2 Megoldás: a)
A függvény hozzárendelési szabálya: 1 2 f x x 2 4, 5 2
(3 pont)
b) A 0,5 x 2 4,5 0 egyenletet kell megoldani. 2
(1 pont)
0,5 x 2 4,5 0
(1 pont)
x1 5 x2 1
(1 pont)
2
c)
(1 pont) (4 pont)
d) Átrendezve az egyenlőtlenséget, éppen az f x 0 alakhoz jutunk.
(3 pont)
ennek az egész megoldásai: 1; 0;1; 2; 3; 5. A feladat megoldható grafikusan is.
(3 pont) Összesen: 17 pont
18) Egy ruházati nagykereskedés raktárában az egyik fajta szövetkabátból már csak 20 darab azonos méretű és azonos színű kabát maradt; ezek között 9 kabáton apró szövési hibák fordulnak elő. A nagykereskedés eredetileg darabonként 17 000 Ft-ért árulta a hibátlan és 11 000 Ft-ért a szövési hibás kabátokat. A megmaradt 20 kabát darabját azonban már egységesen 14 000 Ft-ért kínálja. Egy kiskereskedő megvásárolt 15 darab kabátot a megmaradtakból. Ezeket egyenlő valószínűséggel választja ki a 20 kabát közül. a) Számítsa ki, mekkora annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott kabátok között legfeljebb 5 olyan van, ami szövési hibás! (A valószínűséget három tizedesjegyre kerekítve adja meg!) (10 pont) b) Legfeljebb hány hibás kabát volt a 15 között, ha a kiskereskedő kevesebbet fizetett, mint ha a kabátokat eredeti árukon vásárolta volna meg? (7 pont) Megoldás: a) A vásárolt kabátok között biztosan lesz legalább 4 selejtes. (2 pont) Tehát annak a valószínűségét kell kiszámítani, hogy 4 vagy 5 selejtes kabát lesz a 15 között. (1 pont) Az egyes esetek valószínűségét a (valószínűség kombinatorikus kiszámítására k megismert összefüggés szerinti) p egyenletet kell megoldani. (1 pont) n 20 A 15 kabátot 15504 -féleképpen n lehet kiválasztani a 20 közül,(1 pont) 15 9 11 126 esetben lesz a kabátok között 4 selejtes, ennek valószínűsége 4 11 126 (1 pont) p4 0,008 . 15504 9 11 1386 esetben lesz a kabátok között 5 selejtes, ennek 5 10 1386 valószínűsége p5 (1 pont) 0,089 . 15504 Annak a valószínűsége, hogy legfeljebb 5 szövési hibás kabát lesz a 15 között, egyenlő a két valószínűség összegével: (1 pont) (1 pont) p p4 p5 1512 (1 pont) 0, 098 15504 b) Ha a megvásárolt kabátok között x db szövési hibás volt, akkor eredetileg 11000x 17000 15 x Ft-ot kellett volna fizetnie. (2 pont) A kiskereskedő 14000 15 210000 forintot fizetett, így 11000x 17000 15 x 210000
(1 pont) (1 pont)
255 6x 210 45 x 7,5 6 Legfeljebb 7 szövési hibás kabát volt a 15 között.
(1 pont) (1 pont) (1 pont) Összesen: 17 pont
