MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2015. május 5. EMELT SZINT I. 1) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) sin x cos2 x 1 b) x x 2x 1
(6 pont) (7 pont)
Megoldás: cos2 x 1 sin2 x helyettesítése. Nullára rendezve: sin2 x sin x 0 . Szorzattá alakítás után: sin x sin x 1 0 .
(1 pont) (1 pont) (1 pont)
sin x 0 pontosan akkor, ha x k , k . 3 l 2, l sin x 1 pontosan akkor, ha x 2 Ellenőrzés. b) Ha x 0 , akkor x x .
(1 pont)
a)
1 , 2 de ez x 0 miatt nem megoldás. Ha x 0 , akkor x x , Ekkor 0 2x 1 , ahonnan x
Ellenőrzés.
(1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont)
és az egyenlet 2x 2x 1. Mivel x 0 ezért 2x 2x 1 , azaz x
.
(1 pont)
1 4
(1 pont)
(1 pont) Összesen: 13 pont 2) Egy televíziókészülék termékleírásában szereplő „16:9-es típus” azt adja meg, hogy mennyi a téglalap alakú tv-képernyő két szomszédos oldalhosszának aránya, a „40 colos” jellemző pedig a képernyő átlójának a hosszát adja meg col-ban 1 col 2,54 cm . a) Számítsa ki a 40 colos, 16:9-es képernyő oldalainak hosszát! Válaszát cm-ben, egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! (6 pont) b) Két 16:9-es képernyő közül az elsőnek 69%-kal nagyobb a területe, mint a másodiknak. Hány százalékkal nagyobb az első képernyő átlója mint a másodiké? (5 pont)
Megoldás: a)
A képernyő oldalainak hosszát (cm-ben) jelölje 16x és 9x. 40 col = 101,6 cm 2 2 A Pitagorasz-tétel szerint: 16x 9x 101,62
(1 pont) (1 pont) (1 pont)
337x 2 10322,56 Ebből mivel x 0 x 5,535 (cm).
(1 pont) (1 pont)
A képernyő oldalainak hossza tehát 16x 88,6 cm és 9x 49,8 cm. (1 pont) b) Az első képernyő területe a második területének 1,69-szerese. (1 pont) A két (téglalap alakú) képernyő hasonló, ezért (1 pont) a területük aránya a hasonlóságuk arányának négyzetével egyenlő. (1 pont) A képernyők hasonlóságának (és így átlóik hosszának) aránya 1,69 1,3 . (1 pont) Az első képernyő átlója 30%-kal nagyobb, mint a másodiké (1 pont) Összesen: 11 pont 3) Egy kisvárosban hét nagyobb üzlet található. A tavalyi évben elért, millió forintra kerekített árbevételeikről tudjuk, hogy az átlaguk 120 millió Ft, és ez megegyezik a mediánjukkal. A hét adat egyetlen módusza 100 millió Ft. Két üzletben éppen átlagos, azaz 120 millió forintos a kerekített bevétel, a legnagyobb bevétel pedig 160 millió forint volt. a) Számítsa ki a kerekített bevételek szórását! (6 pont) A városban az egyik ruhakereskedéssel foglalkozó kisvállalkozás 80%-os haszonkulccsal dolgozik. Ez azt jelenti, hogy például egy 10 000 Ft-os beszerzési értékű terméket 18 000 Ft-ért árulnak az üzletükben. Amikor akciós időszak van, akkor a „rendes” eladási árból 50%-os árengedményt adnak minden eladott termékre. b) Mekkora volt az eladásból származó árbevételnek és az eladott áru beszerzési értékének a különbsége (vagyis az „árnyereség”) a tavalyi évben, ha összesen 54 millió Ft volt az éves árbevétel, és ebből 9 millió Ft-ot az akciós időszakban értek el? (4 pont) A kisvállalkozás üzletében az egyik fajta férfizakóból négyféle méretet árusítanak (S, M, L, XL). Nyitáskor egy rögzített állvány egyenes rúdjára mindegyik méretből 4-4 darabot helyeztek el (minden zakót külön vállfára akasztva, egymás mellett). A nap folyamán ezek közül megvettek 4 darab S-es, 3 darab M-es, és 2 darab L-es méretűt, a megmaradt zakók pedig összekeveredtek. c) Az üzlet zárásakor hányféle sorrendben lehetnek (balról jobbra nézve) a rúdra akasztva a megmaradt zakók, ha az azonos méretű zakókat nem különböztetjük meg egymástól? (3 pont)
Megoldás: a)
A kerekített bevételek összege 7 120 840 (millió Ft). (1 pont) A medián 120 millió forint, és két 120 millió forintos árbevétel volt, ezért legfeljebb három 120 millió forintnál kisebb bevétel lehet. (1 pont) Mivel a módusz 100 millió forint, ezért három 100 millió forintos árbevétel volt. (1 pont) A 160 millió Ft-os árbevétel figyelembevételével a hetedik árbevétel (1 pont) 840 3 100 2 120 160 140 millió forintnak adódik. A (kerekített) bevételek szórása:
3 100 120 2 120 120 140 120 160 120 (1 pont) 7 (1 pont) 21, 4 millió (Ft). b) A rendes eladási ár árengedmény nélkül 54 9 63 millió Ft lett volna. 2
2
2
2
(1 pont)
63 35 millió Ft, Tehát az eladott áru beszerzési értéke 1,8 az árnyereség pedig 54 35 19 millió Ft volt.
(2 pont) (1 pont)
c)
Megmaradt 1 darab M-es, 2 darab L-es és 4 darab XL-es zakó. (1 pont) 7! Ezek lehetséges sorrendjeinek száma (1 pont) 2! 4! =105. (1 pont) Összesen: 13 pont 4) Adott a derékszögű koordináta-rendszerben három pont: A 16; 10 ,
B 2; 4 , C 10; 2 . a) Számítsa ki az ABC háromszög B csúcsánál fekvő belső szögét! (6 pont) K pont egyenlő távolságra van A -tól, B -től, és C -től. b) Határozza meg K pont koordinátáit! (8 pont) Megoldás: a)
AB 324 36 360 AC 676 64 740 BC 64 4 68
(2 pont)
Koszinusztétellel: 740 360 68 2 360 68 cos 312 cos 0,9971 2 360 68 175, 6
(2 pont) (1 pont) (1 pont)
b) Az ABC háromszög két (tetszőlegesen választott) oldalfelező merőlegesének metszéspontját kell megkeresnünk (ez a háromszög körülírt körének középpontja). (1 pont) (1 pont) FAB 7; 7 és n f AB AB 18; 6 . Az AB szakasz felezőmerőlegesének egyenlete: 3x y 28 .
(1 pont)
FBC 6; 3 és n f BC BC 8; 2 .
(1 pont)
A BC szakasz felezőmerőlegesének egyenlete: 4x y 21 . (1 pont) A két egyenes egyenletéből alkotott egyenletrendszer megoldása: x 49 és (2 pont) y 175 . Tehát K 49; 175 .
(1 pont) Összesen: 14 pont
II.
5) Adott az f és g függvény: f : ; f x 2x 1 ;
g:
; g x x2 2.
a) Számítsa ki a 2 f g függvény zérushelyeit! (3 pont) b) Számítsa ki az f és g függvények grafikonja által közbezárt területet! (7 pont) g x c) Számítással igazolja, hogy a h : ; 0, 5 ; h x függvény f x szigorúan monoton növekedő! (6 pont) Megoldás: a)
2 f g x 2 2x 1 x 2 2 x 2 4x x x 4 0
(1 pont)
A 2f g függvény zérushelyei x1 0 és x 2 4 .
(1 pont)
egyenlet megoldásai adják az integrálás határait. A 2x 1 x 2 2 egyenlet megoldásai 1 , illetve 3. Mivel a 1; 3 zárt intervallumon f x g x
(1 pont)
(1 pont)
b) A kérdéses területet integrálással számítjuk ki. Az f x g x (1 pont) (a metszéspontok első
koordinátái által meghatározott intervallumon a g grafikonja egy „felfelé nyíló” parabolaív, amely „felett” van az f grafikonja), (1 pont) 3
ezért a kérdéses terület
f x g x dx .
(1 pont)
1 3
3
f x g x dx 2x 1 x
1
1
2
2 dx
3
x
2
2x 3 dx
(1 pont)
1
3
x3 5 32 x 2 3x 9 10, 67 . 3 3 3 1
(2 pont)
c)
A
h x
függvény
a
megadott
intervallumon
g x x 2 2 2x 2x 1 x 2 2 2 h x 2 f x 2x 1 2 x 1
2 x 0,5 3,5
differenciálható. (2 pont)
2
2x 1
2
(1 pont)
A tört számlálója és nevezője is pozitív (a h értelmezési tartományán), így a tört értéke is pozitív. (1 pont) Tehát a függvény valóban szigorúan monoton növekvő. (1 pont) Összesen: 16 pont 6) Szétgurult 20 darab tojás az asztalon. Közülük 16 tojás ép maradt, de 4 tojásnak alig észrevehetően megrepedt a héja. Bori ezt nem vette észre, így visszarakosgatja a tojásokat a két tojástartóba. Először a sárga tartóba tesz tízet, majd a fehérbe a többit. a) Mekkora annak a valószínűsége, hogy mind a 4 hibás tojás ugyanabba a tartóba kerül? (5 pont) Csenge sokszor vásárol tojásokat a sarki üzletben. Megfigyelése szerint a tojások közül átlagosan minden ötvenedik törött. (Ezt úgy tekintjük, hogy a tojások mindegyike 0,02 valószínűséggel törött.) b) Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy 10 tojást tartalmazó dobozban egynél több törött tojást talál Csenge? (5 pont) Egy csomagolóüzembe két termelő szállít tojásokat: az összes tojás 60%a származik az A , 40%-a a B termelőtől. Az A termelő árujának 60%-a első osztályú, 40%-a másodosztályú, a B termelő árujának 30%-a első osztályú és 70%-a másodosztályú. Az összes beszállított tojás közül véletlenszerűen kiválasztunk egyet, és azt első osztályúnak találjuk. c) Mekkora a valószínűsége, hogy az A termelő árujából való a kiválasztott tojás? (6 pont) Megoldás: a)
4 16 A 4 hibás és 6 ép tojás a sárga tojástartóba 8008 -féleképpen 4 6 kerülhet. (1 pont) 20 Az összes eset száma: 184756 (1 pont) 10 Annak a valószínűsége, hogy mind a 4 tojás a sárga dobozba kerül: 4 16 4 6 p 0,0433 . (1 pont) 20 10 Mivel a 4 hibás tojás a fehér tojástartóba is kerülhet, ezért a kérdéses valószínűség ennek kétszerese, (1 pont) azaz közelítőleg 0,087. (1 pont)
b) Annak a valószínűsége, hogy egy tojás ép: 0,98. (1 pont) Annak a valószínűsége, hogy Csenge nem talál törött tojást a dobozban: 0,9810 0,817 . (1 pont) Annak a valószínűsége, hogy Csenge egy darab törött tojást talál a dobozban: 10 9 (1 pont) 1 0,98 0,02 0,167 . Így a kérdéses valószínűség: p 1 0,9810 10 0,989 0,02 (1 pont) (1 pont) 0, 016 . c) Az A beszállítótól származó első osztályú tojások száma az összesnek 36%-a. (1 pont) A B beszállítótól származó első osztályú tojások száma az összesnek 12%-a. (1 pont) Az összes beszállított tojásnak a 48%-a első osztályú. (1 pont) 0,36 100% 75% -a származik az A beszállítótól. Az első osztályú tojások 0,48 (2 pont) A kérdezett valószínűség tehát 0,75. (1 pont) Összesen: 16 pont 7) Egy pénzintézet a tőle felvett H forint összegű hitel visszafizetésekor havi p % -os kamattal számol p 0 , ezért az adós havi törlesztőrészletét a
qn q 1 tn H qn 1
képlettel számítja ki (minden
p , az 100 fizetjük a
hónapban ekkora összeget kell visszafizetni). A képletben q 1
n pedig azt jelenti, hogy összesen hány hónapig törlesztőrészletet (ez a hitel futamideje). a) Fogyasztási cikkek vásárlására 1,6 millió forint hitelt vettünk fel a pénzintézettől; a havi kamat 2%. Összesen hány forintot fizetünk vissza, ha 72 hónap alatt törlesztjük a felvett hitelt? Válaszát ezer forintra kerekítve adja meg! (4 pont) b) Legkevesebb hány hónapos futamidőre vehetünk fel egy 2 millió forintos hitelt, ha legfeljebb 60 ezer forintot tudunk havonta törleszteni, és a havi kamat 2%-os? (8 pont) c) Számítsa ki a lim tn határértékét, ha q 1, 02 és H 2 000 000 n
(4 pont) Megoldás: a)
A havi törlesztés összege (Ft-ban): 1,0272 0,02 t72 1,6 106 42123 . (2 pont) 1,0272 1 A 72 hónap alatt összesen 72 t72 3032856 forintot fizetünk vissza, (1 pont) ami ezer forintra kerekítve 3 033 000 Ft. (1 pont)
b) Azt
a legkisebb n pozitív n 1,02 0,02 2 106 60000 . 1,02n 1
egész
számot
keressük,
amelyre (2 pont)
Mivel 1,02n 1 0 , ezért 0,02 1,02n 0,03 1,02n 1 .
(1 pont)
3 1,02n Az 1,02 alapú logaritmusfüggvény szigorúan monoton növekedő. ezért n log1,02 3 .
(1 pont) (1 pont) (1 pont)
lg 3 55,48 (1 pont) lg1,02 Tehát a törlesztőrészletek száma legalább 56 azaz legalább 56 hónapos futamidőt kell választanunk. (1 pont) n n q 1,02 40000 A megadott számokkal tn H q 1 n (1 pont) q 1 1,02n 1 1 Egyszerűsítés után: tn 40 000 (1 pont) 1 1 1,02n A logaritmus azonosságát használva: n
c)
n
1 1 lim 0, Mivel lim n n 1,02 n 1,02 1 40 000. ezért lim tn 40000 n 1 0
(1 pont) (1 pont) Összesen: 16 pont
8) a) Igazolja a következő állítást: ha egy négyszög szögei valamilyen sorrendben egy számtani sorozat egymást követő tagjai, akkor a négyszög húrnégyszög vagy trapéz! (6 pont) b) Fogalmazza meg az előző állítás megfordítását, és döntse el a megfordított állításról, hogy igaz vagy hamis! Válaszát indokolja! (3 pont) Egy geometriai építőkészletben csak olyan pálcikák vannak, amelyek hossza centiméterben mérve egész szám, és mindenféle lehetséges hosszúság előfordul 1 cm-től 12 cm-ig. (Mindegyik fajta pálcikából elegendően sok van a készletben.) c) Hány különböző módon választhatunk ki 4 pálcikát a készletből úgy, hogy belőlük egy 24 cm kerületű érintőnégyszöget lehessen építeni? (Két kiválasztást különbözőnek tekintünk, ha az egyik kiválasztás 4 pálcikája nem állítható párba a másik kiválasztás 4 pálcikájával úgy, hogy mind a 4 párban egyenlő hosszú legyen a két pálcika. Tudjuk továbbá, hogy ha a, b, c, d pozitív számok, és a c b d , akkor az a, b, c, d hosszúságú szakaszokból szerkeszthető négyszög.) (7 pont)
Megoldás: a)
Legyen a négyszög legkisebb szöge fok, a sorozat differenciája pedig d fok d 0 . Ekkor a négyszög szögei (valamilyen sorrendben) , d, 2d és (1 pont) 3d fok nagyságúak. A négyszög belső szögeinek összege 360 , ezért 4 6d 360 , (1 pont) vagyis 2 3d 180 . (1 pont) 2 3d d 2d , ami azt jelenti, hogy a négyszög két-két szögének
összege 180 . (1 pont) Ha a két szög szomszédos, akkor a négyszög trapéz, (1 pont) ha pedig szemközti, akkor húrnégyszög. Tehát az állítást igazoltuk. (1 pont) b) A megfordítás: Ha egy négyszög trapéz vagy húrnégyszög, akkor a szögei (valamilyen sorrendben) egy számtani sorozat szomszédos tagjai. (1 pont) A megfordítás hamis. (1 pont) Egy ellenpélda. Például: egy trapéz, amelynek szögei 50 , 70 , 110 és 130 nagyságúak. (1 pont) c) A négy kiválasztott pálcikából pontosan akkor készíthető érintőnégyszög, ha a két-két szemközti pálcika hosszának összege egyenlő. (1 pont) A készlet négy pálcikájából tehát pontosan akkor építhető 24 cm kerületű érintőnégyszög, ha a négyszögben egymással szemben elhelyezkedő két-két oldal (centiméterben mért) hossza az 1; 11 , 2; 10 , 3; 9 , 4; 8 , 5; 7 , 6; 6 számpárok valamelyike. (2 pont) Annyiféleképpen választható ki négy megfelelő pálcika a készletből, ahányféleképpen a hat számpárból kettő (sorrendre való tekintet nélkül) kiválasztható úgy, hogy egy számpárt kétszer is választhatunk. (1 pont) Ez a szám 6 különböző objektum másodosztályú ismétléses kombinációinak számával egyezik meg. (1 pont) 6 2 1 7 Az összes különböző lehetőségek száma tehát (1 pont) 2 2 =21. (1 pont) Összesen: 16 pont 9) a) Egy kocka és egy gömb felszíne egyenlő. Bizonyítsa be, hogy a gömb térfogata nagyobb, mint a kockáé! (6 pont) Két fémkocka összeolvasztásával egy nagyobb kockát készítünk. Az egyik beolvasztott kocka egy élének hossza p, a másiké pedig q p 0, q 0 . (Feltesszük, hogy az összeolvasztással kapott kocka térfogata egyenlő a két összeolvasztott kocka térfogatának összegével.) b) Igazolja, hogy az összeolvasztással kapott kocka felszíne 6 3 p3 g3 . 2
(2 pont)
c) Bizonyítsa be, hogy az összeolvasztással kapott kocka felszíne kisebb, mint a két összeolvasztott kocka felszínének összege! (8 pont)
Megoldás: a)
Ha a két test felszíne egyaránt A, akkor V
2 kocka
A3 3 , 6
(2 pont)
A3 (1 pont) 36 Mivel 36 63 , (1 pont) ezért a gömb térfogata valóban nagyobb a kocka térfogatánál. (1 pont) 3 3 b) Az összeolvasztással kapott kocka térfogata p q , ezért élének hossza 2 Vgömb
3
p3 q 3 ,
felszíne tehát 6 c)
(1 pont)
3
p3 q 3
, ami valóban 6 2
3
p
3
q 3 -nel egyenlő. (1 pont) 2
A bizonyítandó állítás: 6 3 p 3 q 3 6 p 2 q 2 2
Mindkét oldalt 6-tal osztva és köbre emelve (az monotonitása miatt): p 3 q
3 2
p2 q
2 3
.
(1 pont) x3
függvény szigorú (1 pont)
Elvégezve a hatványozásokat: p 6 2 p 3q 3 q 6 p 6 3 p 4q 2 3 p 2q 4 q 6 . (2 pont) Rendezve és a pozitív p 2q 2 szorzattal osztva: 0 3 p 2 3q 2 2 pq . (1 pont) 0 2 p 2 2q 2 p q , 2
(1 pont)
ez pedig mindig igaz (hiszen a jobb oldalon két pozitív és egy nemnegatív szám összege áll). (1 pont) Mivel minden átalakítás ekvivalens volt, ezért a bizonyítandó állítás is igaz. (1 pont) Összesen: 16 pont
