MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 4. EMELT SZINT I

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2010. május 4. EMELT SZINT I. 1) Adott f és g függvény.    f : D f  \ k  ; k   x  tgx  ctgx   sin 2x 2   a) Igazolja, hogy az így definiált f függvény konstans! g : Dg   7; 7 x x2  6 x b) Számítsa ki g függvény zérushelyeit! c) Adja meg g függvény értékkészletét!

(3 pont) (3 pont) (5 pont)

Megoldás: a)

Az értelmezési tartományon minden x esetén  sin x cos x  f  x    tgx  ctgx   sin 2x      sin 2x   cos x sin x  sin2 x  cos2 x   2sin x cos x  sin x  cos x 2 2  7  x  0 x  6x  x  x  6  b) g  x    2 , ha  7   x  0  x  6x  x  x  6  ezért a g függvénynek három zérushelye van: -6; 0; 6 c) A g  x  kifejezést átalakíthatjuk: 2 2  0  x   7 x  6x   x  3   9 , ha g x    2 2  7   x  0  x  6x   x  3   9 innen következik, hogy a legkisebb függvényérték g  3  g  3  9

(1 pont) (1 pont) (1 pont) (2 pont) (1 pont)

(1 pont)

(1 pont)

a legnagyobb függvényérték g  7   g  7   7

(1 pont)

A g (folytonos) függvény értékkészlete: Rg   9; 7

(2 pont) Összesen: 12 pont

2) Kilenc számkártya fekszik az asztalon.

a) Rakja négy csoportba a kilenc számkártyát úgy, hogy egyikben se legyen együtt egy szám és egy nála kisebb osztója! Adjon meg egy lehetséges csoportosítást! (4 pont) b) Berci körbe rakta a kilenc számkártyát egy nagy papírra, és ha két szám között legalább kettő volt a különbség, akkor a két kártyát összekötötte egy vonallal. Összesen hány vonalat rajzolt meg ily módon Berci? (4 pont)

Csaba az első hat kártya felhasználásával (1, 2, 3, 4, 5, 6) két háromjegyű számot készített. Hívjunk egy ilyen számpárt duónak. (Például egy lehetséges duó: „415; 362”) A hat számból több ilyen duót lehet képezni Két duót egyenlőnek tekintünk, ha ugyanaz a két különböző háromjegyű szám alkotja. Például a „415; 362” és a „362; 415” duó egyenlők, de a „362; 145” már egy másik duó. c) Hány különböző duót lehet a hat számkártyából elkészíteni? (5 pont) Megoldás: a)

Az 1, a 2, a 4 és a 8 külön csoportba kell, hogy kerüljön (1 pont) Az 1-es mellett nem lehet más szám (1 pont) Egy lehetséges beosztás: (1), (2,3), (4,5,6,7), (8,9) (1 pont) egy másik: (1), (2,3,5), (4,6,7), (8,9) (1 pont) b) Berci minden számot összekötött minden számmal (1 pont) kivéve a szomszédos számokat: 1-2, 2-3, 3-4,…8-9 (Egy 9 csúcsú teljes gráf éleiből hagyunk egy 8-at) (1 pont) 9 (1 pont)  8   2 Ez éppen megegyezik egy 9 csúcsú teljes gráf éleire vonatkozó képletével n  n 1 9  8 ( ). (1 pont)  8  28 vonalat húzott Berci 2 2 Szintén jó megközelítés, ha a feladatot egy kilencszögnek tekintjük, mely sokszög összes átlójára, plusz egy élére vagyunk kíváncsiak! 6 c) Az egyik hármast kiválaszthatjuk   -féle módon, ezzel a második hármas 3 meghatározott (1 pont) minden hármasból 3! -féle számot képezhetünk (1 pont) 6   Összesen    3! 3!   720  duót képezhetünk (1 pont) 3 Így minden esetet kétszer számoltunk (1 pont) tehát 360-féle duó van (1 pont) Egy másik megközelítéssel tekinthetjük a két duót egy darab hatjegyű számnak is, melyet 6!-féleképpen tudunk sorba rendezni. Mivel ekkor minden duó kétszer szerepel, pusztán el kell osztanunk kettővel! Összesen: 13 pont

3) Egy mértani sorozat első három tagjának összege 91. A hatodik, hetedik és a nyolcadik tag összege 2912. Hány tizenhárom-jegyű tagja van a sorozatnak? (13 pont) Megoldás: Legyen a sorozat első tagja a, hányadosa q. a  aq  aq 2  91 aq 5  aq 6  aq 7  2912 q 5 a  aq  aq 2   2912

(1 pont) (1 pont) (1 pont)

2912 (1 pont)   32 91 Ebből q  2 (1 pont) Visszahelyettesítve az első egyenletbe: 7a  91 , ahonnan a  13 , ezek szerint a mértani sorozat: a  13, q  2, an  13  2n 1 (1 pont) q5 

A kérdés: hány n-re igaz, hogy 1012  13  2n 1  1013 Az lg x függvényszigorú monoton nő

(2 pont) (1 pont)

12  lg13  n  1 lg 2  13

(1 pont)

37,16  n  40,48 Ennek egész megoldása a 38, a 39 és a 40. A sorozat 3 tagja 13 jegyű

(1 pont) (1 pont) (1 pont) Összesen: 13 pont

4) Egy könyvkiadó minden negyedévben összesíti, hogy három üzletében melyik szépirodalmi kiadványból fogyott a legtöbb. A legutóbbi összesítéskor mindhárom üzletben ugyanaz a három szerző volt a legnépszerűbb: Arany János, Márai Sándor és József Attila. Az alábbi kördiagramok szemléltetik, hogy az üzletekben milyen arányban adták el ezeknek a szerzőknek a műveit. A kördiagramok az első üzletből 408, a másodikból 432, a harmadikból 216 eladott könyv eloszlását

szemléltetik. a) A kördiagramok adatai alapján töltse ki az alábbi táblázatot! Melyik szerző műveiből adták el a vizsgált időszakban a legtöbb könyvet? (5 pont) 1. üzlet 2. üzlet 3. üzlet Összesített forgalom Arany János Márai Sándor József Attila Összesen

408

432

216

b) Készítsen olyan oszlopdiagramot a táblázat alapján, amely a vizsgált időszakban a szerzők szerinti összesített forgalmat szemlélteti! (3 pont) A könyvkiadó a három üzletében minden eladott könyvhöz ad egy sorsjegyet. Ezek a sorsjegyek egy közös sorsoláson vesznek részt negyedévenként. A vizsgált időszakban azok a sorsjegyek vesznek részt a sorsoláson, amelyeket a fenti három szerző műveinek vásárlói kaptak. Két darab 50 ezer forintos könyvutalványt sorsolnak ki köztük. c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a vizsgált időszak sorsolásán mind a két nyertes sorsjegyet Márai Sándor egy-egy könyvéhez adták, és mind a két könyvet a 2. üzletben vásárolták? Válaszát három tizedesjegy pontossággal adja meg! (5 pont)

Megoldás: a)

A kördiagramok alapján: 1. üzlet

Arany János 119 Márai Sándor 119 József Attila 170 Összesen 408 helyes oszloponként 1-1 pont A legtöbb példányt József Attila b) Eladott könyvek:

c)

2. üzlet 90 127 216 432

3. üzlet 72 117 27 216

műveiből adták el.

Összesített forgalom 281 362 413 (4 pont) (1 pont)

Jó adatokat tüntet fel (1 pont) Arányos a diagram. Célszerűen választ egységet (1 pont) Rendezett az ábra. (1 pont) A vizsgált időszakban a sorsoláson résztvevő sorsjegyek száma: (1 pont) 408  432  216  1056 1056  Ezek közül 2 nyerő sorsjegyet összesen   -féleképpen lehet kisorsolni  2  (1 pont) 126  A 2. üzletben 126 Márai-könyvhöz adtak sorsjegyet, ezek közül   2  féleképpen lehet 2 nyerőt kisorolni (1 pont) 126    2   A keresett valószínűség: , (1 pont) 1056     2  7875 ennek értéke p  (1 pont)  0, 014 557040 Összesen: 13 pont

II. 5) Egy áruházban egy mosóport négyféle kiszerelésben árusítanak. Az első kiszerelés 50%-kal drágább a harmadiknál, és 20%-kal kevesebb mosópor van benne, mint a másodikban. A második 50%-kal több mosóport tartalmaz, mint a harmadik, és 25%-kal többe kerül, mint az első. a) Az első három kiszerelés közül melyikben a legalacsonyabb a mosópor egységára? (13 pont) A negyedik fajta kiszerelést úgy állították össze, hogy annak dobozán a feltüntetett egységár megegyezett az első három kiszerelés átlagos egységárával. b) Ha a legolcsóbb kiszerelésű dobozon 600 Ft egységárat tüntettek fel, akkor hány forint egységár szerepel a negyedik fajta dobozon? (3 pont) Megoldás: a)

(12 pont) 1. ár tömeg egységár = ár = tömeg

2. 1,25  1,5x 

1,5x

 1,875x

1,5  0,8y   1,2y 1,5x  1,2y

 1,25

1,5y

1,875x  1,5y x y

 1,25

x y

3. x y x y

Tehát a harmadik kiszerelés egységára a legalacsonyabb b) Ha a legolcsóbb kiszerelés egységára 600 Ft, a másik kettőé ennek a azaz 750-750 Ft 600  750  750 A három kiszerelés átlagos egységára:  700 3 A negyedik kiszerelésen 700 Ft egységár szerepel Összesen:

(1 pont) 125%-a, (1 pont) (1 pont) (1 pont) 16 pont

6) Legyen f  x   

4x 3 3x 2 2x    a , ahol a pozitív valós szám és x  a a a

.

a

a) Igazolja, hogy

 f  x  dx  a

3

a!

(6 pont)

0

a

b) Mely pozitív a számokra teljesül, hogy

 f  x  dx  0 ?

(4 pont)

0

c) Az x mely pozitív valós értéke lesz a g  x    x 3  x függvények lokális (helyi) minimuma? (6 pont) Megoldás: a)

Az f függvény integrálható. a

a

 4x 3 3x 2 2x   x4 x3 x2      a dx    a  a  a  ax   0  a a a   0 4 3 2 a a a     a2  a a a 3  a  a b) Megoldandó (az a   feltétel mellett) a a 3  a  0 egyenlőtlenség a  1  a  1  0  0

c)

(4 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont)

Mivel a  0 , így az első két tényező pozitív, ezért 1  a  0 (1 pont) Az a lehetséges értékeinek figyelembe vételével: 0  a  1 (1 pont) A nyílt intervallumon értelmezett  x   g függvény differenciálható.

g   x   3x  1

(1 pont)

A lehetséges szélsőértékhely keresése: 3x 2  1  0 1 A lehetséges szélsőértékhely: (benne x 3 tartományban) g   x   6x

(1 pont)

6  1  g   0  3  3 1 Tehát az x  lokális minimumhely. 3

van

az

értelmezési (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont)

Összesen: 16 pont

7) Az ABCD konvex négyszög oldalegyeneseinek egyenlete rendre: DA : 3x  4y  20  0 BC : 4x  3y  12  0

AB : 3x  5y  20  0 CD : 5x  3y  15  0

a) Igazolja, hogy a négyszög átlói az x és az y tengelyre illeszkednek, továbbá, hogy ennek a négyszögnek nincs derékszöge! (8 pont) b) Bizonyítsa be, hogy a négyszög húrnégyszög! (8 pont) Megoldás: a) az egyenes DA : 3x  4y  20  0 AB : 3x  5y  20  0

x tengelyen lévő pontja  20  ;0    3   20  ;0    3 

BC : 4x  3y  12  0 CD : 5x  3y  15  0

y tengelyen lévő pontja

 3;0   3;0 

 0; 5   0;4  0;4  0; 5 

 20  A DA és az AB egyenesek metszéspontja az x tengely A   ;0  pontja  3 

Az AB és a BC egyenesek metszéspontja az y tengely B   0;4 pontja A BC és a CD egyenesek metszéspontja az x tengely C   3;0  pontja A CD és a DA egyenesek metszéspontja az y tengely D   0; 5  pontja

(1 pont) (1 pont) (1 pont)

(1 pont) A csúcspontok alapján beláttuk, hogy az ABCD négyszög AC átlója az x, a BD átlója pedig az y tengelyre illeszkedik (1 pont) Felírjuk az oldalegyeneseket és egy-egy normálvektorukat (2 pont) az egyenes egy normálvektor DA : 3x  4y  20  0  3; 4 AB : 3x  5y  20  0

BC : 4x  3y  12  0 CD : 5x  3y  15  0

 3;5   4; 3 5;3

A normálvektorok között és ezért az egyenesek közt sincs két egymásra merőleges (skalárszorzatuk nem 0), ezért az ABCD négyszögnek nincs derékszöge (1 pont)

b)

Legyen   BCD és   DAB Vektorok skalárszorzatával CB  CD koszinuszát. cos   CB CD

fogjuk

kiszámítani

két

szemközti

szög

(1 pont)

ahol CB   3;4 és CD   3; 5 

(1 pont)

CB  CD  11 , CB  5 és CD  34

(1 pont)

cos   

cos  

11 5 34

AB  AD

 20   20  , ahol AB    ;4  és AD    ; 5   3   3  AB AD

(1 pont) (1 pont)

25 220 544 , AB  és CD  (1 pont) 3 3 9 11 (1 pont) cos   5 34 A  é az  szögek tehát kiegészítő szögek, az ABCD négyszög húrnégyszög (1 pont) Összesen: 16 pont AB  AD 

8) a) Peti levelet írt négy barátjának, Andrásnak, Bélának, Csabának és Daninak és mindenkinek egy-egy fényképet is akart küldeni a nyaralásról. A négy fénykép különböző volt, és Peti mindegyikük hátlapjára ráírta, kinek szánja. A fényképeket végül figyelmetlenül rakta a borítékba, bár mindenki kapott a levelében egy fényképet is. A. Hányféleképpen fordulhat elő, hogy csak Andris kapja azt a fényképet, amelyen a saját neve szerepel? (3 pont) B. Melyik esemény bekövetkezésének nagyobb a valószínűsége: - senki sem kapja azt a fényképet, amelyet Peti neki szánt vagy - pontosan egyikük kap olyan fényképet, amelyen a saját neve szerepel? (8 pont) b) Egy szabályos érme egyik oldalán 6-os, a másikon pedig 4-es számjegy látható. Az érmét négyszer egymás után feldobjuk, és a dobott számokat összeadjuk. Milyen értékeket kaphatunk összeg gyanánt? Az egyes összegek dobásának mekkora a valószínűsége? (5 pont) Megoldás: a)

Jelöljük a fényképekre írt neveket A,B,C,D-vel, a neveknek megfelelő borítékon lévő címzéseket a,b,c,d-vel. A. Andris kapott csak megfelelő fényképet. Ez csakis úgy lehetséges, ha az abcd sorrendben elhelyezett borítékokba az ACDB vagy ADBC sorrendben kerültek a képek. (2 pont) Tehát a kívánt elhelyezés kétféleképpen valósítható meg. (1 pont) B. Jelölte S azt az eseményt, hogy senki sem kapott nevével ellátott fényképet. Az S esemény pontosan akkor következik be, ha az abcd sorrendben elhelyezett borítékokba BADC, BCDA, BDAC, CADB, CDAB, CDBA, DABC, DCAB, DCBA sorrendben kerülhettek fényképek. Ez 9 kedvező eset (3 pont) Jelölje E azt az eseményt, hogy pontosan egyikük kapott nevével ellátott fényképet. AZ E esemény pontosan akkor következik be, ha az abcd sorrendben elhelyezett borítékokba ACDB, ADBC, BCAD, BDCA, CABD, CBDA, DACB, DBAC sorrendben kerülhettek a fényképek. Ez 8 kedvező eset (3 pont) A fényképeket Peti 24-féleképpen helyezhette volna el a borítékokba, ezen elhelyezéseknek azonos a valószínűsége. (1 pont) 9 8 (1 pont)  p S   p  E   24 24 b) A négy dobáshoz tartozó összegek lehetnek: 6  6  6  6  24  B 0  6  6  6  4  22 6  6  4  4  20 6  4  4  4  18 4  4  4  4  16

 B1   B2   B3   B4 

(1 pont)

Bármelyik dobásnál a 6-os és 4-es is

1 valószínűséggel következik be 2

(1 pont) 1 A Bk események valószínűségét a p  ; n  4 paraméterű binomiális eloszlás 2 írja le (1 pont) Ezért: 4 4  1  1 p  B0         16 4  2 

p  B1 

4

4  1  4      16 3  2  4

4  1  6 p  B2         16 2  2 

(2 pont)

4

p  B3 

4  1  4      16 1  2 

p  B4 

4  1  1      16 0  2 

4

Összesen: 16 pont

9) Egy 90 m2 területű trapéz alakú virágágyás párhuzamos oldalainak aránya AB : DC  3 : 2 . Az ágyást tavasszal és ősszel is évszaknak megfelelő virágokkal ültetik be. Mindkét alkalommal mindegyik fajta virágból átlagosan 50 virágtövet ültetnek négyzetméterenként. Tavasszal az átlókkal kijelölt négy háromszögre bontották a virágágyást. Az ABM háromszögbe sárga virágokat, a DMC háromszögbe fehéret, a maradék két részbe piros virágokat ültettek. a) A tavaszi párosításkor hány darab fehér, hány piros és hány sárga virágot ültettek? (9 pont)

Ősszel a másik ábra szerint tervezték meg a virágok elhelyezését. (Az E,F,G, és H pontok a trapéz oldalainak felezőpontjai.) Ekkor is fehér (f), piros (p) és sárga (s) virágokat ültettek a tervrajz alapján. b) Az őszi parkosításkor hány darab fehér, hány piros és hány sárga virágot ültettek? (7 pont) Válaszait az alábbi táblázatban tüntesse fel! fehér piros sárga tavasszal ősszel Megoldás: a)

A teljes beültetéshez 45  90  4500 db virágra van szükség. A különböző színű virágok darabszáma a megfelelő területek arányából számolható. Kiszámoljuk a megfelelő területeket. Jelölje az MCD háromszög területét t, az MBA háromszög területét T, az MBC háromszögét t1 és az MAD háromszögét t 2 . (1 pont) Az MBA és az MCD háromszögek hasonlóak, hiszen szögeik páronként 3 AM BM egyenlők. A hasonlóság aránya alapján:  (1 pont)  2 MC MD 2

3 Az MBA háromszög területe T    t (1 pont) 2 Az ADC háromszög területét a DM szakasz MA : MC  3 : 2 arányban osztja, 3 ezért t1  t (1 pont) 2 3 Ugyanígy t2  t (1 pont) 2 A trapéz területe: 90  t  2t1  T  t  3t  2,25t  6,25t (1 pont) t  14,4 m 2 

(1 pont)

A fehér virágok száma 14,4  50  720 a pirosaké 3  720  2160 a sárgáké pedig 1620

(1 pont) (1 pont)

b) Az EFGH négyszög paralelogramma, mert két szemközti oldala pl. EF és HG párhuzamosak az AC átlóval, és egyenlők az AC felével (1 pont) Az EFGH paralelogramma területe fele az ABCD trapéz területének, (2 pont) TEFGH  45 m 2 AB  DC m  (1 pont)  m  HF  m  2  HF   2 2  Egy paralelogrammát két átlója négy egyenlő területű háromszögre bontja, ezért (1 pont) 2250 a piros és sárga virágokból egyaránt (1 pont)  1125 tövet ültettek 2 A fehér virágokkal beültetett terület a trapéz területének a fele, tehát fehér virágból 45  50  2250 tövet ültettek (1 pont) fehér piros sárga tavasszal 720 2160 1620 ősszel 2250 1125 1125 Összesen: 16 pont TABCD 