MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. május 8. EMELT SZINT I. 1)
Egy 2011-ben készült statisztikai összehasonlításban az alábbiakat olvashatjuk: „Ha New York-ban az átlagfizetést és az átlagos árszínvonalat egyaránt 100%-nak vesszük, akkor Budapesten az átlagfizetés 23,6%, az átlagos árszínvonal pedig 70,9%. (Az árszínvonal számításához 122 áru és szolgáltatás árát hasonlították össze.)” Feltételezve, hogy az idézet megállapításai igazak, válaszoljon az alábbi kérdésekre! a) Ha Budapesten az átlagfizetés 150 ezer forint, akkor hány dollár ($) a havi átlagfizetés New York-ban, 190 forint/dollár ($) árfolyammal számolva? Válaszát egész dollárra kerekítve adja meg! (4 pont) b) Ha a New York-i havi átlagfizetésből egy bizonyos termékből 100 kgot vásárolhatunk New York-ban, akkor körülbelül hány kg-ot vásárolhatunk ugyanebből a termékből a budapesti havi átlagfizetésből Budapesten? (Feltehetjük, hogy a termék egységára 70,9%-a a termék New York-i egységárának.) (7 pont)
Megoldás: a)
első megoldás: A New York-i átlagfizetés
150000 ( 635 593) forint, 0,236
(2 pont)
150000 (1 pont) 0,236 190 (1 pont) 3345 $-nak felel meg. második megoldás röviden: 150000 150000 Ft megfelel 789,5 dollárnak. Ez 23,6%-a a New York-is 190 150000 átlagfizetésnek, amely így 3345 $ . 0,236 190 b) New Yorkban 3345$-ért 100 kg vehető, tehát 1kg ára 33,45$ (1 pont) Budapesten 1 kg árut ennek 70,9%-áért lehet vásárolni, azaz 33,45 0,709 23,72 $-ért. (2 pont) ami
Ez megfelel 33,45 0,709 190 4506 Ft-nak. A budapesti átlagfizetésből ennyi pénzért 33,3 kg terméket lehet vásárolni.
(1 pont)
150000 33,45 0,709 190
(1 pont)
(1 pont) Összesen: 11 pont
2) A főiskolások műveltségi vetélkedője a következő eredménnyel zárult. A 4 versenyen induló négy csapatból a győztes csapat pontszáma -szorosa 3 a második helyen végzett csapat pontszámának. A negyedik, harmadik és második helyezett pontjainak száma egy mértani sorozat három egymást követő tagja, és a negyedik helyezettnek 25 pontja van. A négy csapat között kiosztott pontszámok összege 139. a) Határozza meg az egyes csapatok által elért pontszámot! (8 pont) Mind a négy csapatnak öt-öt tagja van. A vetélkedő után az induló csapatok tagjai között három egyforma értékű könyvutalványt sorsolnak ki(mindenki legfeljebb egy utalványt nyerhet). b) Mekkora a valószínűsége annak, hogy az utalványokat három olyan főiskolás nyeri, akik mindhárman más-más csapat tagjai? (5 pont) Megoldás: a)
első megoldás:
4 (1 pont) x pontot ért el. 3 A második x , a negyedik 25 pontot ért el, így a mértani sorozat miatt a harmadik helyezett pontszáma 25x . (1 pont) 4 A szöveg szerint: x x 25x 25 139 (1 pont) 3 második helyezett x , az első
Rendezve
x -re másodfokú: 7
Két gyöke
x 6 és
x
x
2
15 x 342 0
57 , ebből a negatív gyök nem lehetséges 7
(1 pont) (1 pont)
így x 36 (1 pont) Tehát a 2. helyezett pontszáma 36, a harmadiké 30, az első helyezetté pedig 48. (1 pont) Ellenőrzés (1 pont) második megoldás: (Legyen q a mértani sorozat hányadosa.) A negyedik helyezett 25, a harmadik (1 pont) 25q , a második 25q 2 pontot ért el.
4 100q 2 2 Az első helyezett pontszáma 25q 75q (1 pont) 3 3 100q 2 25q 2 25q 25 139 Szöveg szerint (1 pont) 3 Rendezés után: 175q 2 75q 342 0 (1 pont) 6 57 Két megoldása: q és q (1 pont) 5 35 Ebből az utóbbi nem felel meg a szövegnek (1 pont) tehát a harmadik helyezett pontszáma 30, másodiké 36, az első helyezetté pedig 48. (1 pont) Ellenőrzés (1 pont)
20 b) Lehetséges (egyenlő valószínű) kimenetelek száma 1140 3 4 Kedvező kimenetelek száma: 53 500 3 500 A kérdezett valószínűség: 0, 439 1140 Összesen:
(2 pont) (2 pont) (1 pont) 13 pont
3) Egy forgáskúp nyílásszöge 90°, magassága 6 cm. a) Számítsa ki a kúp térfogatát (cm3-ben) és a felszínét (cm2-ben)! (4 pont) b) A kúp alaplapjával párhuzamos síkkal kettévágjuk a kúpot. Mekkora a keletkező csonkakúp térfogata (cm3-ben), ha a metsző sík átmegy a kúp beírt gömbének középpontján? (9 pont) Válaszát egészre kerekítve adja meg! Megoldás: a)
A kúp alapkörének sugara 6cm, alkotójának hossza 6 2 8,49 cm
(1 pont) (1 pont)
T m 62 6 72 226 (cm3) térfogata V 3 3 felszíne A r r a 6 6 6 2 36 1 2 273 cm2
(1 pont) (1 pont)
b) Jó ábra, tartalmazza a gömb sugarát (p), a 45°-os szöget és a síkmetszet sugarát (r) (2 pont) (1 pont) p 6 tg22,5 amiből p 2,49 cm (1 pont) A KCE egyenlőszárú derékszögű háromszögből r 6 p (1 pont) azaz r 3,51 cm (1 pont) A csonkakúp magassága (egyenlő a gömb sugarával) m 2,49 cm (1 pont) m 2 2,49 2 A csonkakúp térfogata V R Rr r 2 6 6 3,51 3,512 3 3 (1 pont) 3 (1 pont) 181 cm Összesen 13 pont
4) Legyen p valós paraméter. Tekintsük a valós számok értelmezett f függvényt, amelynek hozzárendelési 3 2 2 f x 3x p 3 x p x 6 .
halmazán szabálya
2
a) Számítsa ki a
f x dx
határozott integrált, ha p 3
(4 pont)
0
b) Határozza meg p értékét úgy, hogy az x 1 zérushelye legyen az f függvénynek! (3 pont) c) Határozza meg p értékét úgy, hogy az f függvény deriváltja az x 1 helyen pozitív legyen! (7 pont) Megoldás: a)
Ha p 3 , akkor f x 3x 3 9x 6 2
2
3x 0
(1 pont)
3
9x 6 dx 0,75x 4,5x 6x 4
2
(2 pont)
0
b)
6 3 p 3 p 2 6 0
c)
Rendezve: p 2 p 12 0 Ennek a megoldásából adódik, hogy p 3 vagy megadott függvénynek zérushelye az 1. Deriváltfüggvény: f x 9x 2 2 p 3 x p 2 x 1 -hez tartozó helyettesítési érték: p 2 2 p 15
p 2 p 15 0 egyenlőtlenség megoldható p 2 2 p 15 0 egyenlet megoldásai 3 és -5 2
(1 pont) (1 pont) (1 pont) p 4 esetén lesz a (1 pont) (2 pont) (1 pont) (1 pont)
(1 pont) mivel p 2 p 15 0 bal oldalának főegyütthatója pozitív (1 pont) ezért az egyenlőtlenség teljesül, ha p 5 vagy p 3 (1 pont) Összesen: 14 pont 2
II. 5) Két egyenes hasábot építünk, H1-et és H2-t. Az építéshez használt négyzetes oszlopok (négyzet alapú egyenes hasábok) egybevágok, magasságuk kétszer akkora, mint az alapélük. A H1 hasáb építésekor a szomszédos négyzetes oszlopokat az oldallapjukkal illesztjük össze, a H2 hasáb építésekor pedig a négyzet alaplapjukkal- az ábra szerint. AH1 a) A H1 és H2 egyenes hasábok felszínének hányadosa 0, 8 . Hány AH 2 négyzetes oszlopot használtunk az egyes hasábok építéséhez, ha H1et és H2-t ugyanannyi négyzetes oszlopból építettük fel? (8 pont) 3 n 2 b) Igazolja, hogy sorozat szigorú monoton növekvő és n 4n 1 korlátos! (8 pont) Megoldás: a)
Ha a jelöli a négyzetes oszlop alapélének hosszát, és k darabból készítjük a hasábokat, akkor H1 felszíne: (2 pont) AH1 2 2a 2 k a 2 2 k 2a 2 2a 2 3k 2 H2 felszíne: AH2 2a 2 4 k 2a 2 2a 2 4k 1 Az
AH1 AH 2
0,8 feltételből 3k 2 0,8 4k 1
Az egyenlet megoldása k 6 tehát 6-6 négyzetes oszlopot használtunk fel az építéshez an 1 3n 5 4n 1 b) an 4n 5 3n 2
12n 2 23n 5 5 1 2 2 12n 23n 10 12n 23n 10 A fenti hányados minden pozitív egész n esetén 1-nél kisebb a sorozat minden tagja pozitív ezért a sorozat szigorú monoton csökkenő Ebből következik, hogy a sorozat felülről korlátos Mivel a sorozat minden tagja pozitív, így alulról is korlátos tehát a sorozat korlátos. Összesen
(2 pont) (2 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) 16 pont
6) Egy középiskolai évfolyam kézilabda házibajnokságán az A, B, C, D, E és F osztály egy-egy csapattal vett részt. a) Hányféle sorrendben végezhettek az osztályok a bajnokságon, ha tudjuk, hogy holtverseny nem volt, és valamilyen sorrendben az A és a B osztály végzett az első két helyen, a D osztály pedig nem lett utolsó? (4 pont) b) Hányféle sorrendben végezhettek az osztályok a bajnokságon, ha tudjuk, hogy holtverseny nem volt, és az E osztály megelőzte az F osztályt? A bajnokságon mindenki mindenkivel egyszer játszott, a győzelemért 2, a döntetlenért 1, a vereségért 0 pont járt. Végül az osztályok sorrendje A, B, C, D, E, F lett, az elért pontszámaik pedig rendre 8, 7, 6, 5, 4 és 0. Tudjuk, hogy a mérkőzéseknek éppen a harmada végződött döntetlenre, és a második helyezett B osztály legyőzte a bajnok A osztályt. (4 pont) c) Mutassa meg, hogy a B és a D osztály közötti mérkőzés döntetlenre végződött! (8 pont) Megoldás: a)
Az A ,B sorrendje az első két helyen kétféleképp alakulhatott (1 pont) A D osztály a 3.,4. és 5. helyeken végezhetett, ez 3 lehetőség (1 pont) A C,E,F osztályok a fennmaradó három helyen 3!-féle sorrendben végezhettek (1 pont) A különböző lehetőségek száma tehát 2 3 3! 36 (1 pont) b) Az összes eset felében az E osztály megelőzi F-et, a másik felében pedig F előzi meg E-t. (2 pont) 6! A megfelelő esetek száma tehát (2 pont) 360 2 c) Az A csapat a B ellen veszített, a többi mértkőzését megnyerte (nincs döntetlenje) (1 pont) Az F-nek nincs egyetlen pontja, így ők nem érhettek el döntetlent (1 pont) A, B, C, D, E csapatok egymás ellen összesen 6 mérkőzést játszottak (1 pont) ebből 5 mérkőzés végződött döntetlenre (1 pont) A B csapat a C, D, E elleni 3 mérkőzésből 3 pontot szerzett, tehát vagy 1 győzelme 1 döntetlenje és 1 veresége, vagy 2 döntetlenje van (2 pont) Ha 1 győzelme és 1 veresége lenne B-nek, akkor a B, C, D, E csapatok egymás elleni 6 mérkőzéséből legfeljebb 4 végződhetett volna döntetlennel (1 pont) Ez nem lehetséges, tehát B minden mérkőzése, így a D elleni is döntetlennel zárult (1 pont) Összesen: 16 pont
7) Az y ax b egyenletű egyenes illeszkedik a 2; 6 pontra. Tudjuk, hogy a 0 . Jelölje az x tengely és az egyenes metszéspontját P, az y tengely és az egyenes metszéspontját pedig Q. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyre az OPQ háromszög területe a legkisebb, és számítsa ki a területét (O a koordináta-rendszer origóját jelöli)! (16 pont)
Megoldás: Mivel a 2;6 pont rajta van az egyenesen, ezért 6 2a b és b 6 2a Ezzel az egyenes egyenlete: y ax 6 2a
(1 pont) (1 pont)
6 Ez az egyenest a P 2 ;0 pontban, a
(1 pont)
az y tengelyt a Q 0;6 2a pontban metszi
(1 pont)
6 és 6 2a is pozitív a 1 6 A levágott háromszög területe: T a 2 6 2a 2 a Mivel a 0 , ezért 2
18 a Ennek a minimuma ott van, ahol a
Ebből: T a 12 2a
(1 pont) (1 pont) (1 pont)
T a a 0 függvény deriváltja nulla (1 pont)
18 a2 ez 0, ha a 3 vagy a 3 Mivel a 0 , ezért a 3 T a 2
(2 pont) (1 pont) (1 pont)
Ez valóban minimumhely, mert T 3 0
(1 pont)
Ha a 3 , akkor b 12 A keresett egyenes egyenlete: y 3x 12
(1 pont) (1 pont)
A legkisebb terület 24 egység
(1 pont) Összesen: 16 pont
8) Egy rendezvényre készülődve 50 poharat tesznek ki az asztalra. A poharak között 5 olyan van, amelyik hibás, mert csorba a széle. a) Az egyik felhasználó az asztalról elvesz 10 poharat, és ezekbe üdítőitalt tölt. Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy legfeljebb egy csorba szélű lesz a 10 pohár között! (5 pont) b) A poharakat előállító gyárban két gépsoron készülnek a poharak, amelyek külsőre mind egyformák. Az első gépsoron gyártott poharak 10%-a selejtes. Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy az első gépsoron gyártott poharak közül 15-öt véletlenszerűen, visszatevéssel kiválasztva közülük pontosan 2 lesz selejtes! (4 pont) c) A második gépsoron készült poharak 4%-a selejtes. Az összes pohár 60%-át az első gépsoron, 40%-át a második gépsoron gyártják, az elkészült poharakat összekeverik. Az elkészült poharak közül véletlenszerűen kiválasztunk egyet és azt tapasztaljuk, hogy selejtes. Mekkora annak a valószínűsége, hogy ez a pohár az első gépsoron készült? (7 pont) Megoldás: a)
50 Az egyenlően valószínű kimenetelek száma: 10 45 45 5 A kedvező kimenetelek száma: 10 9 1
(1 pont) (2 pont)
45 45 5 10 9 1 A kérdezett valószínűség (1 pont) 50 10 (1 pont) 0, 742 b) 0,9 annak a valószínűsége, hogy az első gépsoron készült (1 pont) 15 A kérdezett valószínűség 0,12 0,913 (2 pont) 2 (1 pont) 0,267 c) Jelölje A azt az eseményt, hogy az első gépsoron készült a pohár, B pedig azt az eseményt, hogy selejtes a pohár (1 pont) P AB P A B (1 pont) P B
P AB 0,6 0,1 0,06
(1 pont)
Ha összesen n pohár van, akkor 0,6 n 0,1 0,4 n 0,04 0,076n darab selejtes van köztük (2pont) 0,076n 0,076 Egy selejtes választásának valószínűsége P B (1 pont) n 0,06 0, 789 Tehát P A B (1 pont) 0,076 Összesen: 16 pont
9) a) Egy derékszögű háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást követő tagjai, a legrövidebb oldala 4 egység hosszú. Számítsa ki a háromszög másik két oldalának hosszát! (5 pont) b) Egy háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást követő tagjai, a legrövidebb oldala 4 egység hosszú. Tudjuk, hogy a háromszög nem szabályos. Igazolja, hogy a háromszögnek nincs 60°os szöge! (11 pont) Megoldás: a)
Ha d a számtani sorozat differenciája, akkor a háromszög oldalhosszai 4, (1 pont) 4 d , 4 2d (és 0 d ) A háromszög derékszögű, így 42 4 d 4 2d
(1 pont)
Négyzetre emelve, rendezve: 3d 8d 16 0 4 A gyökök d1 4 és d2 3
(1 pont)
2
2
2
(1 pont)
16 20 , 3 3 egység hosszúak (1 pont) b) Indirekt módon bizonyítunk. Tegyük fel, hogy van 60°-os szöge a háromszögnek. (1 pont) Mivel az oldalak páronként különböző hosszúságúak, és a nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van, (1 pont) ezért ha van 60°-os szöge, akkor az a 4 d hosszúságú oldallal szemben van (2 pont) Erre az oldalra felírva a koszinusztételt: 2 2 (2 pont) 4 d 42 4 2d 2 4 4 2d cos 60
A negatív gyök nem megoldás, a háromszög oldalai tehát 4,
Ebből 16 8d d 2 16 8d 4d 2 Ebből d 2 0 , tehát d 0 Ez viszont ellentmond annak, hogy a háromszög nem szabályos Az eredeti feltételezésünk tehát hamis, azaz a háromszögnek nincs 60°-os szöge. Összesen
(1 pont) (1 pont) (2 pont) valóban (1 pont) 16 pont
