P R Ó B A É R E T T S É G I
F E L A D A T S O R
:
M A T E M A T I K A ,
E M E L T
S Z I N T
E G Y E N E S
Ú T
A Z
E G Y E T E M R E
1. FELADATSOR
Felhasználható idő: 240 perc
I. rész 1.1.) Oldja meg grafikusan az alábbi egyenlőtlenséget!
x + 1 + 1 ≤ x 2 + 2x + 2
11 pont
1.2.) Mekkora legyen az x valós szám értéke, hogy az alábbi három mennyiség ebben a sorrendben egy számtani sorozat egymást követő elemei legyenek? lg sin x, lg sin 2 x , lg cos x
13 pont 1.3.) Egy autókereskedés-láncolat 40 boltjában kétféle autót árulnak: A-t és B-t. Egy alkalommal felmérést készítettek arról, hogy egy adott héten mely boltokban hány db autót adtak el az egyes fajtákból. E felmérést szemlélteti az alábbi táblázat
(Tehát pl. olyan üzletből, amelyik 2 db A-t és 1 db B-t adott el 1 volt, míg pl. olyan, amelyik 2 db B-t és A-ból egyet sem, 3 volt.)
DFT-BUDA PEST,
www.dft.hu,
[email protected];
(06-1)
473-0769
13
P R Ó B A É R E T T S É G I
F E L A D A T S O R
:
M A T E M A T I K A ,
E M E L T
S Z I N T
E G Y E N E S
Ú T
A Z
E G Y E T E M R E
a) Töltse ki az alábbi táblázatot, melyben a 40 üzletet az eladott autók száma szerint kell csoportosítani Eladott autók száma Üzletek száma
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
5 pont
b) Számítsa ki: átlagosan hány autót adtak el egy üzletben! Hány üzletben adtak el többet a mediánnál?
4 pont
c) Ha véletlenszerűen kiválasztunk két üzletet, mekkora annak a valószínűsége, hogy mindkét üzletben legfeljebb 5 autót adtak el a vizsgált időszakban
5 pont
1.4.) Egy kétjegyű számhoz hozzáadtuk a fordítottját. Így 2-vel többet kaptunk, mint ha a kétjegyű számból levontuk volna a fordítottját és a különbséget megszoroztuk volna 3mal. Melyik lehetett az eredeti kétjegyű szám?
13 pont
14
EGÉSZ
ÉVES
ÉS
I NTEZÍ V
ÉRETTSÉGI
ELÕKÉSZÍ TÕ
TA NFOLYAMOK
P R Ó B A É R E T T S É G I
F E L A D A T S O R
:
M A T E M A T I K A ,
E M E L T
S Z I N T
E G Y E N E S
Ú T
A Z
E G Y E T E M R E
II. rész
Az alábbi öt feladat közül tetszés szerint választott négyet kell csak megoldani 1.5.) Egy dél-németországi kisváros templomának bejárata fölött található az a félkör alakú boltív, melyet ábránkon szemléltettünk. Az R = 150 cm sugarú félkör AB átmérőjére illesztettek 4 db egyenlő sugarú, egymást érintő félkört alakú üvegablakot, majd két-két szomszédos félkört kívülről és az eredeti félkört belülről érintő k1 és k 2 kör alakú üvegablakokat helyeztek el.
a) Mekkora a k1 és k 2 üvegablakok sugara ?
10 pont b) A teljes boltív hány %-át borítja üveg?
6 pont
1.6.) Egy iskola 3 nyári tábort szervezett diákjainak. Egyet a Mátrába, egyet Balatonra, egyet pedig a Velencei tóra. Az iskola 284 diákja közül 64-en voltak a Mátrában, 40-en a Balatonon és 88-an mentek el a velencei tavi táborba. Akik pontosan két táborba mentek el háromszor annyian voltak, mint akik mindhárom táborba elmentek. a) Ha 147 olyan diák volt, aki egy táborozáson sem vett részt, akkor hányan voltak azok, akik pontosan egy táborozáson vettek részt?
5 pont
DFT-BUDA PEST,
www.dft.hu,
[email protected];
(06-1)
473-0769
15
P R Ó B A É R E T T S É G I
F E L A D A T S O R
:
M A T E M A T I K A ,
E M E L T
S Z I N T
E G Y E N E S
Ú T
A Z
E G Y E T E M R E
b) 9 olyan diák volt, akik csak a Mátrában és a Balatonnál voltak. Hányan voltak azok, akik csak a Velencei tónál táboroztak?
5 pont
c) Ha az összes táborozó diák közül véletlenszerűen kiválasztunk kettőt, mekkora annak a valószínűsége, hogy ők mindketten legalább két táborozáson részt vettek?
6 pont
1.7.) Egy toronyépület derékszögű trapéz alakú fémtető-szerkezetét látjuk az ábrán. Az anyagismeret birtokában a statikusok megállapították, hogy a „ferde” tető (CD) akkor lesz a legstabilabb, ha azt az CS tető D-hez közelebbi H harmadoló pontjában CD-re merőlegesen elhelyezett gerendával támasztják ki.
a) Mekkora legyen a gerenda g hossza?
10 pont
16
EGÉSZ
ÉVES
ÉS
I NTEZÍ V
ÉRETTSÉGI
ELÕKÉSZÍ TÕ
TA NFOLYAMOK
P R Ó B A É R E T T S É G I
F E L A D A T S O R
:
M A T E M A T I K A ,
E M E L T
S Z I N T
E G Y E N E S
Ú T
A Z
E G Y E T E M R E
b) Mekkora szögben látszik a g gerenda a B csúcsból?
6 pont
1.8.) Az f ( x) = 2(a + 1) x 3 − (2a + 1) x 2 + (a + 1) x − a 2 + 3a + 1 (a ≠ −1) függvénynek nincs szélsőértéke. a) Határozza meg az a valós paraméter értékét!
10 pont b) Van-e szélsőértéke a függvénynek, s ha igen, akkor hol, ha a = −2 ?
6 pont
1.9.) Adott két párhuzamos egyenes. Mindkettőn kijelöltünk 8-8 pontot. Ezután képeztük az összes olyan háromszöget, melynek csúcsai a kijelölt pontok közül valók, majd képeztük az összes olyan négyszöget, melynek csúcsai a kijelölt pontok közül valók. a) Miből van több: háromszögből vagy négyszögből?
6 pont
b) Ha mindkét egyenesen n db pontot jelölünk ki ( n ≥ 2) , akkor miből lesz több: háromszögből vagy négyszögből ?
10 pont
DFT-BUDA PEST,
www.dft.hu,
[email protected];
(06-1)
473-0769
17
