MATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 19. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2010. október 19. EMELT SZINT I. 1) a) Mely valós számok elégítik ki az alábbi egyenlőtlenséget? 3 3  x  1   x  1  8

(4 pont)

b) Az alábbi f és g függvényt is a  3; 6 intervallumon értelmezzük.

f x  

x  3 és g  x   0,5x  2,5 .

Ábrázolja közös koordináta-rendszerben az f és g függvényt a  3; 6 intervallumon! Igazolja számítással, hogy a két grafikon metszéspontjának mindkét koordinátája egész szám! (4 pont) c) Oldja meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! (6 pont) 0,5x  x  3  2,5 Megoldás: a)

Elvégezve a köbre emelést:  x 3  3x 2  3x  1   x 3  3x 2  3x  1  8

(2 pont)

összevonva és rendezve: x 2  1 a megoldáshalmaz tehát a 1;1 intervallum

(1 pont) (1 pont)

b)

c)

f függvény helyes ábrázolása (2 pont) g függvény helyes ábrázolása (1 pont) a metszéspont koordinátái (1;2) (1 pont) A megoldandó egyenlőtlenség ekvivalens a x  3  0,5x  2,5 egyenlőtlenséggel (1 pont) A bal oldal nem negatív (1 pont) a jobb oldal 5-nél nagyobb x-ekre negatív (1 pont) Az egyenlőtlenség megoldásait a  3;6 intervallumon a b) részben ábrázolt f és g függvényekről leolvashatjuk A megoldáshalmaz a  3;1 intervallum

(1 pont) (2 pont) Összesen: 14 pont

2) a) Hány olyan tízjegyű pozitív szám van, amelynek minden számjegye a (3 pont) 0; 8 halmaz eleme? b) Írja fel 45-nek azt a legkisebb pozitív többszörösét, amely csak a 0 és 8-as számjegyeket tartalmazza! (7 pont) Megoldás: a)

A legnagyobb helyi értékű szám csak a 8-as lehet (1 pont) A többi 9 helyi érték mindegyikénél két lehetőségünk van (1 pont) 9 Így 2  512 ilyen tízjegyű szám képezhető (1 pont) b) Egy szám akkor és csak akkor osztható 45-tel, ha 5-tel és 9-cel is osztható (2 pont) Mivel a keresett szám 5-tel osztható, ezért csak 0-ra végződhet (1 pont) Egy (pozitív egész) szám pontosan akkor osztható 9-cel, ha a számjegyek összege osztható 9-cel (1 pont) Csak 0 és 8 számjegyeket tartalmazó egész szám esetén ehhez legalább 9 darab 8-as számjegy kell (1 pont) A legkisebb (pozitív) többszöröshöz pontosan 9 darab 8-as számjegyre van szükség (1 pont) tehát a keresett szám 8888888880 (1 pont) Összesen: 10 pont 3) Az ABCDEFGH téglatest A csúcsból induló élei: AB  12 , AD  6 , AE  8 . Jelölje HG felezőpontját P.

a) Számítsa ki az ABCDP gúla felszínét! (10 pont) b) Mekkora szöget zár be az ABCDP gúla ABP lapjának síkja az ABCD lap síkjával? (3 pont) Megoldás: a)

Az alaplap területe: TABCD  12  6  72 cm2 Az AB él felezőpontja legyen M, a CD él felezőpontja pedig N. háromszög egyenlő szárú, a PM merőleges az AB szakaszra. háromszög az N csúcsban derékszögű. PM  10 cm (a befogók 6 és 8) AB  PM 12  10 Az ABP háromszög területe: TABP    60 cm2 2 2 DC  PN 12  8   48 cm2 A DCP háromszög területe: TDCP  2 2 DP  PC  10 cm A PBC és a PAD oldallapok egybevágó háromszögek és a két háromszög egybevágó a PBM háromszöggel

(1 pont) Az APB Az MNP (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont)

6  10  30 cm2 2 A gúla felszíne:  72  60  48  2  30  240 cm2 TPBC 

(1 pont) (1 pont)

b) Az MN szakasz és a PM szakasz is merőleges az AB élre, ezért a kérdezett szög a PMN (1 pont) A PMN háromszög N-nél derékszögű (1 pont) PN 8 4 ezért tgPMN  (1 pont)   , ahonnan PMN  53,1 MN 6 3 Összesen: 13 pont 4) Egy felmérés során megkérdeztek 640 családot a családban élő gyermekek számáról, illetve azok neméről. A felmérés eredményét az alábbi táblázat mutatja:

(Tehát pl. a gyermektelen családoknak a száma 160, és 15 olyan család volt a megkérdezettek közt, amelyben 1 fiú és 2 lány van.) a) Hány fiúgyermek van összesen a megkérdezett családokban? (3 pont) b) A felmérésben szereplő legalább kétgyermekes családokban mennyi a leggyakoribb leányszám? (5 pont) c) A családsegítő szolgálat a megkérdezett családok közül a legalább négy gyermeket nevelőket külön támogatja. Az alábbi táblázat kitöltésével készítsen gyakorisági táblázatot a külön támogatásban részesülő családokban lévő gyermekek számáról!

Hány családot és összesen hány gyermeket támogat a családsegítő szolgálat? (6 pont)

Megoldás: a)

A fiúk számát az oszlopokban lévő adatok alapján számoljuk ki 103  58  15  3  3  0  2  61  11  3  3 1  3 16  4  9  5  4 

(1 pont) (1 pont)

=442 fiú van összesen a megkérdezett családokban (1 pont) b) A lányok számát a táblázatból soronként számolhatjuk ki, de a gyermektelen és egygyermekes családok adatait (160, illetve 103 és 121) nem vesszük figyelembe. Nincs lány 61  8  5  74 családban (1 pont) 1 lány van 58  11  4  1  1  75 családban (1 pont) 2 lány van 54  15  3  2  2  2  78 családban (1 pont) 3 lány van 9  3  1  1  1  14 családban 4 lány van 6  3  1  1  1  12 családban (1 pont) 5 lány van 1  1  2 családban A legalább kétgyermekes családokban a leggyakoribb leányszám tehát a 2 (1 pont) c)

A gyakoriság helyes értelmezése A táblázatban van legalább 4 helyes gyakoriság Minden gyakoriság helyes A támogatott családok száma 40 A támogatott gyermekek száma: 21  4  8  5  5  6  4  7  2  8  =198 Összesen:

(1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) 14 pont

II. 5) Az x 2  2y egyenletű parabola az x 2  y 2  8 egyenletű körlapot két részre vágja. Mekkora a konvex rész területe? Számolása során ne használja a  közelítő értékét! (16 pont) Megoldás:

Az x 2  y 2  8 egyenletű kör középpontja és a parabola tengelypontja is az origó (O) (2 pont) A metszéspontok meghatározása:  2y  x 2  x 2  y 2  8  (2 pont) y 2  2y  8  0

y1  2 y2  4 amelyek közül az y  2 a feladatnak megfelelő (1 pont) A CD húr a körlapból egy olyan körszeletet vág le, amelynek a középponti  szöge   90  , mert (1 pont) 2 az OD és OC is egy-egy négyzet átlója (1 pont) 1 Tkörszelet  r 2    sin    2 így a területe: (2 pont) 1     8    sin   2  4 2 2 2 A parabolából a CD húr által levágott parabolaszelet területe: Tparabolaszelet  TABCD 

x2



x1 2

2

x2 x2 dx  4  2    2 2 2

x3   4  4   16  8     8         3  3  3  6  2 A konvex rész területe: 16 4 T  Tkörszelet  Tparabolaszelet  2  4   2  3 3

(5 pont)

(1 pont) Összesen: 16 pont

6) Megrajzoltuk az ABCDE szabályos sokszöget, és berajzoltuk minden átlóját. Az átlók metszéspontjait az ábra szerint betűztük meg: P, Q, R, S, T. a) Hány olyan háromszög látható az ábrán, amelyek mindhárom csúcsa a megjelölt 10 pont közül való, és mindhárom oldalegyenese az ABCDE ötszög oldalegyenesei és átlóegyenesei közül kerül ki? (8 pont) b) Tudjuk, hogy az ABCQ négyszög területe 120 cm2. Mekkora az ABCDE ötszög területe? Válaszát egész értékekre kerekítve adja meg! (4 pont) c) Tekintsük azt a tíz csúcsú gráfot, amelyet a megadott ábra szemléltet. Erről a gráfról fogalmaztunk meg két állítást. Állapítsa meg mindkét állításról, hogy igaz vagy hamis! Adjon rövid magyarázatot a válaszra! 1. állítás: Ennek a gráfnak 20 éle van. 2. állítás: Ebben a gráfban van olyan részgráf, amely nyolc élű kör. (4 pont) Megoldás: a)

A számba veendő háromszögek szögei: 36°, 36° és 108°, vagy 72°, 72° és 36°. (1 pont) Ezért kétféle lényegesen különböző háromszög van az ábrán. (1 pont) Az olyan háromszögekből, amelynek szögei 36°, 36°és 108°, két méret van: a leghosszabb oldal vagy az ABCDE ötszög oldala vagy oldala. (1 pont) Az ilyen háromszögek száma 10  5  15 (1 pont) Az olyan háromszögekből, amelynek a szögei 36°, 36°és 108°, három méret van: a legrövidebb oldal az ABCDE vagy a PQRST ötszög egy-egy oldala, illetve a csillagötszög egy-egy oldala (2 pont) Az ilyen háromszögek száma 5  5  10  20 (1 pont) Összesen 35 háromszög van az ábrán (1 pont) b) Az ABCQ négyszög rombusz, mert szemközti szögei egyenlők: 72°és 108°. Ha az ötszög (a rombusz) oldalát a-val jelöljük: a 2  sin108  120 a  11,232 cm  (1 pont)

c)

A szabályos ötszög területét 5 egybevágó középponti háromszög (ABO) a a m 5 2 területéből számíthatjuk: TABCDE  5   a  tg54 , ahol m   tg54 c 2 4 (1 pont) 5 120 (1 pont) TABCDE    tg54 4 sin108 TABCDE  217 cm2 (1 pont) 1. állítás IGAZ, (1 pont) mert a 10 pont mindegyikének 4 a fokszáma, a fokszámok összege 40, ami az élek számának kétszerese (1 pont) 2. állítás IGAZ (1 pont) például ABCDEQPTA egy nyolcpontú kör (1 pont) Összesen: 16 pont

7) Egy kozmetikumokat gyártó vállalkozás nagy tételben gyárt egyfajta krémet. A termelés havi mennyisége (x mennyisége) 100 és 700 kg közé esik, amelyet egy megállapodás alapján a gyártás hónapjában el is adnak egy nagykereskedőnek. A megállapodás azt is tartalmazza, hogy egy kilogramm krém eladási ára:  36  0, 03x  euró. a) Számítsa ki, hogy hány kilogramm krém eladása esetén lesz az eladásból származó havi bevétel a legnagyobb! Mekkora a legnagyobb havi bevétel? (6 pont) b) Adja meg a krémgyártással elérhető legnagyobb havi nyereséget! Hány kilogramm krém értékesítése esetén valósul ez meg? (nyereség = bevétel-kiadás) (10 pont) Megoldás: a)

Az eladásból származó havi bevétel: x  36  0,03x  euró Az

x

0,03x 2  36x

x   ,

maximummal

rendelkező

(1 pont) másodfokú

függvény (1 pont) A függvény zérushelyei 0 és 1200 (1 pont) ezért a függvény maximumhelye 600 (1 pont) Ez az érték a feltételek szerinti intervallumba tartozik (1 pont) A legnagyobb bevételt tehát 600 kg termék értékesítése esetén érik el, a legnagyobb bevétel 10 800 euró (1 pont) b) A havi nyereség a havi bevétel és a havi kiadás különbségével egyenlő. A havi nyereséget az x 0,03x 2  36x   0,0001x 3  30,12x  13000 100  x  700  függvény adja meg A nyereséget leíró függvény: x 0,0001x 3  0,03x 2  66,12x  13000

(1 pont)

100  x  700

(1 pont)

Ez a függvény deriválható, és deriváltja az x 0,0003x 2  0,06x  66,12 100  x  700 függvény

(1 pont)

A 0,0003x 2  0,06x  66,12  0 egyenletnek

x

2

 200x  220400  0

negatív  x1  580  és egy pozitív  x 2  380  valós gyöke van

egy

(1 pont)

A deriváltfüggvény a 100;380 intervallumon pozitív

(1 pont)

az 380;700 intervallumon negatív

(1 pont)

tehát a nyereségfüggvény 380-ig szigorúan nő, majd szigorúan csökken (1 pont) A vizsgált függvénynek tehát egy abszolút maximumhelye van és az a 380 (1 pont) A legnagyobb függvényérték 2306,4 (1 pont) A legnagyobb havi nyereség tehát 380 kg termék eladása esetén keletkezik, értéke 2306,4 euró (1 pont) Összesen: 16 pont

8) a) Két gyerek mindegyike 240 forintért vett kaparós sorsjegyet. Fémpénzzel fizettek (5; 10; 20; 50; 100 és 200 forintos érmékkel), és pontosan kiszámolták a fizetendő összeget. Hányféleképpen fizethetett Miki, ha ő 4 darab érmével fizetett, és hányféleképpen fizethetett Karcsi, ha ő 5 darab érmével fizetett. (A pénzérmék átadási sorrendjét nem vesszük figyelembe) (4 pont) A „bergengóc” lottóban kétszer húznak egy játéknapon. Bandi egy szelvénnyel játszik, tehát az adott játéknapon mindkét húzásnál nyerhet ugyanazzal a szelvénnyel. b) Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy adott játéknapon Bandinak legalább egy telitalálata lesz, ha p annak a valószínűsége ( 0 < p < 1 ), hogy egy szelvényen, egy húzás esetén telitalálata lesz? (4 pont) Megváltoztatták a játékszabályokat: minden játéknapon csak egyszer húznak (más játékszabály nem változott). Bandi most két (nem feltétlenül különbözően kitöltött) szelvénnyel játszik. c) Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy adott játéknapon Bandinak telitalálata legyen valamelyik szelvényen? (4 pont) d) A telitalálat szempontjából a b) és c)-ben leírt játékok közül melyik kedvezőbb Bandi számára? (4 pont) Megoldás: a) Miki kétféleképpen fizethetett: (2 pont) 240  200  20  10  10  100  100  20  20 Karcsi négyféleképpen fizethetett: (1 pont) 240  200  20  10  5  5  200  10  10  10  10 (1 pont) 240  100  100  20  10  10  100  50  50  20  20 b) Bandinak telitalálata háromféle esetben lehet: (1)az első húzásnál telitalálata van, a másodiknál is telitalálta van, ennek a valószínűsége p  p  p 2 (1 pont) (2)az első húzásnál telitalálata van, nincs másodiknál nincs telitalálata, ennek valószínűsége p  1  p   p  p 2 (1 pont) (3)az első húzásnál nincs telitalálata, a másodiknál telitalálata van, ennek valószínűsége: 1  p   p  p  p 2 (1 pont)

c)

Annak a valószínűsége tehát, hogy egy adott játéknapon Bandinak telitalálata legyen ez a három valószínűség összege: 2p  p 2 (ez nem negatív, hiszen (1 pont) 0  p  1) Két esetet kell vizsgálni annak alapján, hogy Bandi a két szelvényét azonosan vagy különbözően töltötte-e ki (1 pont) (1) Ha Bandi két egyforma szelvényt töltött ki, akkor a telitalálat esélye p (1 pont) (2) Ha Bandi a két szelvényt különbözően tölt ki, akkor a telitalálat esélye 2p (2 pont)

d) Ha Bandi két egyforma szelvényt tölt ki, akkor a kérdés az, hogy 2p  p 2 vagy p nagyobb (1 pont) 2 Mivel 0  p  1 , ezért 2 p  p  p  p 1  p   0 , tehát az első játékszabály kedvezőbb (1 pont) Ha Bandi két különböző szelvényt tölt ki, akkor a kérdés az, hogy 2p  p 2 vagy 2p nagyobb (1 pont) Mivel p 2  0 ezért 2 p  p 2  2 p , tehát a második játékszabály a kedvezőbb (1 pont) Összesen: 16 pont 9) Egy egyetem 10 580 hallgatójának tanulmányi lapjáról összesítették az angol és német nyelvvizsgák számát. Kiderült, hogy a német nyelvvizsgával nem rendelkezők 70%-ának, a német nyelvvizsgával rendelkezők 30%-ának nincs angol nyelvvizsgája. Az angol nyelvvizsgával nem rendelkezők 60%-ának nyelvvizsgája sincs. a) Ezek közül a hallgatók közül hányan rendelkeznek angol és hányan német nyelvvizsgával? (12 pont) b) A hallgatók hány százaléka rendelkezett angol és német nyelvvizsgák mindegyikével? (4 pont) Megoldás: a)

Szemléltessük a feltételeket ábrával, ahol a hallgatók közül x főnek nincs német nyelvvizsgája és 10580  x  főnek van német nyelvvizsgája,

nincs angol nyelvvizsgája van angol nyelvvizsgája

nincs német nyelvvizsgája (x fő)

van német nyelvvizsgája

nincs sem német, sem angol nyelvvizsgája nincs német, de van angol nyelvvizsgája

van német, de nincs angol nyelvvizsgája német és angol nyelvvizsgája is van

10580  x 

A feladat helyes értelmezése (komplementer halmazok) (1 pont) A feladat feltétele alapján az x fő 70%-ának, vagyis 0,7x főnek nincs sem német, sem angol nyelvvizsgája (1 pont) és a 10580  x  fő 30%-ának vagyis főnek van német, de nincs angol nyelvvizsgája Tehát nincs angol nyelvvizsgája 0,7x  0,3  10580  x  

(1 pont) (1 pont)

 3174  0,4x főnek

(1 pont)

Így

a

feladat

feltétele

szerint

a

 3174  0,4x 

fő

60%-ának,

vagyis

0,6   3174  0,4x  főnek nincs sem német, sem angol nyelvvizsgája

(1 pont)

0,7x  0,6  3174  0,4x 

(1 pont)

Innen x  4140 A német nyelvvizsgával rendelkezők száma: 10580  x   6440 fő

(2 pont) (1 pont)

Nincs angol nyelvvizsgája 3174  0,4x  4830 főnek Van angol nyelvvizsgája 10580  4830  5750 főnek

(1 pont) (1 pont)

b) A német vizsgával rendelkezők 6440 fő 30%-a, (vagyis 1932 fő) nem vizsgázott angolból (1 pont) vagyis a német nyelvvizsgával rendelkezők 70%-a angolból is vizsgázott, ezek száma 4508 fő (1 pont) 4508 (1 pont)  0,426 10580 A hallgatók 42,6%-ának van angolból és németből is vizsgája (1 pont) Összesen: 16 pont