MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2016. május 3. EMELT SZINT I. 1) Egy városi piacon a piros almát 5 kg-os csomagolásban árulják. A csomagokon olvasható felirat szerint egy-egy csomag tömege „5 kg ±10 dkg”. (Az almák nagy mérete miatt az 5 kg pontosan nem mérhető ki.) A minőség-ellenőrzés során véletlenszerűen kiválasztanak nyolc csomagot, és ezek tömegét méréssel ellenőrzik. Csak akkor engedélyezik az almák árusítását, ha egyik csomag tömege sem kevesebb 4 kg 90 dkg-nál, és a nyolc mérési adat 5 kg-tól mért átlagos abszolút eltérése nem haladja meg a 10 dkg-ot. A mérések eredménye a következő: mérés sorszáma mért tömeg (dkg)
1. 506
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 491 493 512 508 517 493 512
a) A mérési eredmények alapján engedélyezik-e az almák árusítását? (4 pont) b) Határozza meg a nyolc mérési eredmény átlagát és szórását! (3 pont) A piac egyik eladójához friss eper érkezett. Az eladó eredetileg azt tervezte, hogy az I. osztályú epret 800 Ft/kg, a II. osztályút 650 Ft/kg, a III. osztályút pedig 450 Ft/kg egységáron értékesíti. A piacon azonban túlkínálat volt eperből, ezért úgy döntött, hogy az összes epret egy kupacba önti össze, és akciós egységáron árulja. Az akciós eladási egységár kialakításakor úgy számolt, hogy ha az összes epret ezen az egységáron adja el, akkor a bevétele (körülbelül) 15%-kal lesz csak kevesebb, mint azt eredetileg tervezte. c) Mennyi legyen az akciós egységár, ha az összeöntött eper 35%-a I. 3 osztályú, része II. osztályú, a többi 33 kg pedig III. osztályú volt 8 eredetileg? Válaszát egész értékre kerekítve adja meg! (7 pont) Megoldás: a)
A mért tömegek között nincs 490 dkg-nál kisebb, tehát az első feltétel teljesül. (1 pont) Az 5 kg-tól való eltérések (dkg-ban) rendre 6, 9, 7, 12, 8, 17, 7, 12. (1 pont) 78 9,75 dkg. Az eltérések átlaga (1 pont) 8 Az árusítást engedélyezik. (1 pont)
4032 b) A mért adatok átlaga 8 szórása
504 dkg,
2 132 2 112 2 82 42 22 91 9, 54 8
(1 pont) (2 pont)
c)
7 3 11 Az eper 1 része III. osztályú. (1 pont) 20 8 40 Az eredetileg tervezett árakkal számolva az átlagos egységár kilogrammonként 3 11 (3 pont) 0,35 800 650 450 647,5 Ft lett volna. 8 40 A kereskedő bevétele akkor lesz az eredetileg tervezett bevétel 85%-a, ha az epret az eredeti átlagos egységár 85%-áért értékesíti. Az eredeti átlagos egységár 85%-a 550,375 Ft/kg. (2 pont) Az akciós egységár 550 Ft/kg legyen. (1 pont) Összesen: 11 pont
2) Egy dobozban 6 fehér és 4 piros golyó van. A 10 golyó közül véletlenszerűen kiválasztanak 5 golyót. Egy tanuló ezt állítja: „Annak a valószínűsége, hogy az 5 kihúzott golyó között 2 fehér lesz, megegyezik annak a valószínűségével, hogy 4 fehér lesz közöttük.” a) Mutassa meg, hogy ha a golyókat visszatevés nélkül húzzák ki, akkor a tanuló ki-jelentése igaz! (5 pont) b) A valószínűségek kiszámításával mutassa meg, hogy ha az 5 golyót visszatevéssel húzzák ki, akkor a tanuló kijelentése nem igaz!(5 pont) Megoldás: a)
10 Az összes eset száma 252 . 5
(1 pont)
6 4 Az (egyszerre) kihúzott 5 golyó között 2 fehér golyó különböző módon 2 3 fordulhat elő. (1 pont) 6 4 Az (egyszerre) kihúzott 5 golyó között 4 fehér golyó különböző módon 4 1 fordulhat elő. (1pont) 6 4 6 4 2 3 4 1 A két valószínűség: ,illetve . (1 pont) 10 10 5 5 5 0,238 , tehát a tanuló kijelentése igaz. Ez a két valószínűség egyenlő 12 b) A fehér golyó húzásának (állandó) valószínűsége 0,6, a piros golyóé 0,4.(1 pont) 5 2 fehér golyó húzásának a valószínűsége 0,62 0,43 (1 pont) 2
5 4 fehér golyó húzásának a valószínűsége 0,64 0,4 4
(1 pont)
A két valószínűség (három tizedesjegyre kerekítve) 0,230, illetve 0,259. (1 pont) A két valószínűség különbözik, a tanuló kijelentése ebben az esetben nem igaz. (1 pont) Összesen: 10 pont 3) a) Egy számtani sorozat differenciája 1,6. A sorozat első, harmadik és hetedik tagját (az adott sorrendben) tekinthetjük egy mértani sorozat első három tagjának is. Határozza meg ezt a három számot! (6 pont) Tekintsük a következő állítást: Ha az {an} számsorozat konvergens, akkor az {an} sorozat értékkészlete véges számhalmaz. (Véges halmaz: elemeinek száma megadható egy természetes számmal.) b) Döntse el, hogy az állítás igaz vagy hamis! Válaszát indokolja! (3 pont) c) Fogalmazza meg az állítás megfordítását, és döntse el a megfordított állításról, hogy igaz vagy hamis! Válaszát indokolja! (4 pont) Megoldás: a)
Ha a számtani sorozat első tagja a, akkor a 3. tagja a 3,2 . A 7. tag a 9,6 . (1 pont) A mértani sorozat tulajdonsága miatt a 3,2 a a 9,6 .
(1 pont)
a 2 6,4a 10,24 a 2 9,6a 3,2a 10,24 a 3,2 A három szám: 3,2; 6,4; 12,8. Ellenőrzés
(1 (1 (1 (1
2
b) Az állítás hamis. 1 Például az számsorozat n konvergens, az értékkészlete azonban végtelen szám-halmaz. c)
Megfordítás: Ha az
an
pont) pont) pont) pont)
(1 pont) (1 pont) (1 pont)
számsorozat értékkészlete véges számhalmaz,
akkor az an sorozat konvergens.
(1 pont)
A megfordított állítás hamis.
(1 pont)
n
(1 pont)
Például a
–1 sorozat
értékkészlete véges
1;1 , de a sorozat nem konvergens.
(1 pont) Összesen: 13 pont
4) a) A PQRS húrnégyszöget a PR és a QS átlók megrajzolásával négy háromszögre bontottuk. Igazolja, hogy ezek közül a két-két szemközti háromszög hasonló egymáshoz! (4 pont) Az ABCD húrnégyszög AB oldala a négyszög körülírt körének egyik átmérője. A négyszög BC oldala 3 cm, a CD oldala 5 cm hosszú, továbbá BCD 120 .
b) Számítsa ki a négyszög BD átlójának, AB oldalának és AD oldalának hosszát, valamint a négyszög többi szögét! (10 pont) Megoldás: a)
Az átlók metszéspontját jelölje E. A kerületi szögek tétele miatt (azonos PQS PRS és QPR QSR ívhez tartozó kerületi szögek).
S (2 pont)
A PEQ és az SER háromszögekben kétkét szög megegyezik (így a harmadik is), ezért ez a két háromszög hasonló. Ugyanígy bizonyíthatjuk a QER és a PES háromszögek hasonlóságát is. b) BCD háromszögben felírjuk koszinusztételt: BD 2 32 52 2 3 5 cos120 .
P
a
BD 7 cm (A húrnégyszögek tétele 180 120 60 -os,
miatt)
az
ABCD
(1pont) E R E (1 pont) E E E E (1 pont) Q E (1 pont) E négyszög E DAB szöge (1 pont)
90 ,
a Thalész-tétel miatt pedig ADB
(1 pont)
ezért az ADB háromszög egy szabályos háromszög fele.
(1 pont)
BD 7 4,04 cm 3 3 AB 2AD 8,08 cm
(2 pont)
AD
Szinusztétellel a sin CBD sin120 , sin CBD 5 7 CBD ABD
38,2 68,2
ADC
111,8
BCD
háromszögből:
5 sin120 0,6186 7
(1 pont)
(2 pont) Összesen: 14 pont II.
5) Oldja meg a 4; 6 egyenlőtlenséget! a)
5 x 3
b)
2x 3
c)
alaphalmazon
az
alábbi
egyenleteket,
illetve (3 pont)
x 10 1
2 cos2 x cos x 1 0
(6 pont) (7 pont)
Megoldás: a)
5 x 3 esetén x 8
(1 pont)
5 x 3 esetén x 2
(1 pont)
Ilyen elemei nincsenek az alaphalmaznak, megoldáshalmaza az üres halmaz. b) Négyzetre emelve: 2x 3 x 10 1 2 x 10
c)
ezért
az
eredeti
egyenlet (1 pont) (1 pont)
2 x 10 14 x
(1 pont)
Négyzetre emelve és rendezve: x 2 32x 156 0
(1 pont)
x1 6, x2 26
(1 pont)
Ellenőrzés
(1 pont)
26 hamis gyök, a helyes megoldás csak a 6
(1 pont)
A 2cos2 x cos x 1 0 (cosx-ben másodfokú) egyenlet teljesül, ha cos x 1 vagy cos x 0,5 . (2 pont) (A megadott egyenlőtlenség cosx-ben másodfokú tagjának együtthatója pozitív, ezért) 1 cos x 0,5 . (1 pont)
1 cos x minden x
esetén (így az alaphalmaz minden elemére is) igaz. (1 pont)
( 4;6 ;2 miatt) a koszinuszfüggvény a [4;6] alaphalmazon szigorúan monoton növekedő, és itt cos x 0,5 , ha x
(1 pont) 5 5,24 3
5 ezért az egyenlőtlenség megoldáshalmaza 4; 3
(1 pont) (1 pont) Összesen: 16 pont
6)
a) Legyen G egy nyolcpontú egyszerű gráf, amelynek összesen 9 éle van. Igazolja, hogy G csúcsai között biztosan van olyan, amelynek a fokszáma legalább 3. (4 pont) b) Az A, B, C, D, E, F, G, H pontok egy szabályos nyolcszög csúcsai. Megrajzoljuk a nyolcszög oldalait és átlóit. A megrajzolt szakaszok közül véletlenszerűen kiválasztunk négyet. Határozza meg annak a valószínűségét, hogy mind a négy kiválasztott szakasz az A csúcsból indul ki! (6 pont) c) Nyolc sakkozó részére egyéni bajnokságot szerveznek. Hányféleképpen készíthető el az első forduló párosítása, ha ebben a fordulóban mindenki egy mérkőzést játszik? (Két párosítást
különbözőnek tekintünk, ha az egyik tartalmaz olyan mérkőzést, amelyet a másik nem.) (6 pont) Megoldás: a)
Ha minden csúcs fokszáma legfeljebb 2 lenne, akkor G-nek összesen legfeljebb 8 éle lehetne. (2 pont) Mivel G-nek 9 éle van, ezért ellentmondásra jutottunk. (1 pont) A csúcsok között tehát van olyan, amelyiknek a fok-száma legalább 3. (Az állítást bizonyítottuk.) (1 pont) b) Egy szabályos nyolcszög oldalai és átlói számának összege 28. (1 pont) Egy csúcsból összesen 7 szakasz indul. (1 pont) Annak a valószínűsége, hogy az első, második, harmadik, majd negyedik 7 6 5 4 kiválasztott szakasz is az A csúcsból indul, rendre . , , , majd 28 27 26 25 (2 pont) 7 6 5 4 A kérdéses valószínűség ezek szorzata, tehát (1 pont) 28 27 26 25 1 (1 pont) 0, 0017 . 585 c)
Válasszunk ki tetszőlegesen egy sakkozót.
(1 pont)
Az ő ellenfelét (a többi sakkozó közül) 7-féleképpen választhatjuk ki.
(1 pont)
Folytatva ezt az eljárást a maradék hat sakkozó közül válasszunk ki tetszőlegesen egyet, az ő ellenfelét 5-féleképpen választhatjuk ki, majd a maradék négy sakkozó közül kiválasztva egyet, az ő ellenfelét 3-féleképpen választhatjuk ki. A negyedik párost az ezek után megmaradt két sakkozó alkotja (ez 1 lehetőség). (2 pont) (Ez az eljárás minden lehetőséget megad, és mind-egyiket pontosan egyszer, ezért) a lehetséges párosítások száma a fentiek szorzata, azaz (1 pont)
7 5 3 1 105
(1 pont) Összesen16 pont
7) Adott az f, a g és a h függvény: f : , f x 2x 1; g:
, g x 3x 2;
h:
, h x 12 x 2 .
a) Legyen a k összetett függvény belső függvénye az f és külső függvénye a h (vagyis k x h f x minden x valós szám esetén). Igazolja, hogy k x 11 2x 1 4x .
(3 pont)
b) Oldja meg az f g x g f x egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!
(7 pont) 4 x
c) Mekkora a h és az x (korlátos) terület?
függvények görbéi által közbezárt (6 pont)
Megoldás: a)
2
k x 12 2x 1
12 2
2x
(1 pont)
2 2x 1 12 4x 2x 1 1
(1 pont)
A zárójel felbontása után k x 11 2x 1 4x adódik, tehát igaz az állítás. (1 pont)
b) Megoldandó a 23x 2 1 3 2x 1 2 egyenlőtlenség a valós számok halmazán. (2 pont) 4 23x 1 3 2x 1
(1 pont)
2x 4 22x 3 0
(1 pont)
Mivel minden valós szám esetén 2x 0 , ezért az egyenlőtlenség ekvivalens a egyenlőtlenséggel. (1 pont) A 4-es alapú exponenciális/logaritmus függvény szigorúan monoton nő, ezért (1 pont)
x log 4 0, 75 1 log 4 3 0,2075 c)
(1 pont)
A két görbe közös pontjainak első koordinátáját a 12 x 2 4 egyenlet megoldásai adják: (1 pont) -4 és 4
(1 pont)
(Mivel a [–4; 4] intervallumon a h függvény grafikonja az x
4 függvény
4
grafikonja fölött helyezkedik el, ezért) a kérdezett terület:
16 x dx 2
4
(1 pont) 4
x3 16x 3 4
(1 pont)
64 64 128 128 64 64 3 3 3 3
(1 pont)
256 . 3
(1 pont) Összesen 16 pont
8) Egy kisüzemi meggymagozó-adagoló gép 0,01 valószínűséggel nem távolítja el a magot a meggyből, mielőtt a meggyszemet az üvegbe teszi. A magozógépen áthaladt szemek közül 120-120 darab kerül egy-egy üvegbe. a) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy egy kiválasztott üvegben legalább 2 darab magozatlan szem van! (5 pont) A termelés során keletkezett hulladékot nagy méretű konténerbe gyűjtik, melyet minden nap végén kiürítenek és kitisztítanak. A konténer egyenes hasáb alakú. A hasáb magassága 2 m, alaplapja húrtrapéz, melynek méretei az 1. ábrán láthatók. A konténert vízszintes felületen, az 1,8 m 2 m-es (tégla-lap alakú) lapjára állítva helyezik el (lásd a 2. ábrát). 3m
1m
1m 1,8 m
2. ábra
1. ábra
b) Számítsa ki a hasáb térfogatát! Határozza meg, hogy milyen magasan áll a konténerben a tisztításához beletöltött 2,7 m3 térfogatú folyadék! (11 pont) Megoldás: a)
0,99 annak a valószínűsége, hogy egy adott szem meggyből az automata eltávolítja a magot.
D
0,6 P
1,8
.
1
A komplementer esemény (0 vagy 1 mag kerül az üvegbe) valószínűsége 120 119 0,99120 0,01 0,99 . 1
.
m
m A A
Q 0,6
1,8
C
(1 1 pont) B (2 pont)
120 119 Ezért a kérdezett valószínűség: 1 0,99120 0,01 0,99 , 1
(1 pont)
ami körülbelül 0,34.
(1 pont)
b) (A hasáb alaplapja az ABCD húrtrapéz.) Az ábra jelöléseit használva, az APD derékszögű háromszögből Pitagorasztétellel:
m 12 0,62 0,8 (m).
(1 pont)
1,8 3 0,8 1,92 A hasáb alaplapjának (az ABCD trapéznak) a területe: 2 2 (m ), (1 pont) tehát a hasáb (a konténer) térfogata: (=⋅292,1) 3,84 m3.
(1 pont)
A tisztító folyadék x méter magasságban áll a konténerben. A folyadék egy olyan szimmetrikus trapéz alapú egyenes hasábot tölt meg, (1 pont)
2,7 1,35 amelynek a magassága 2 méter, az alaplapjának a területe pedig 2 (m2). (1 pont) Az (ábra szerinti) APD és ARS derékszögű háromszögek hasonlósága SR DP miatt AR AP azaz
y 0,6 3 . x 0,8 4
0,6 P
D S
y D
R
1,8
.
1,8
R D
1 A A
x
Q 0,6
.
.
U D
1,8
B
y
C V
D
D
1
(1 pont) (1pont)
SV 1,8 2y 1,8 1,5x , ezért (mivel az ABVS trapéz területe 1,35 m2) 1,8 1,8 1,5x (1 pont) x 1,35 2
Ebből 1,5x 2 3,6x 2,7 0 ,
(1 pont)
amelynek a gyökei 0,6 és –3.
(1 pont)
(A –3 nem felel meg, tehát) a tisztító folyadék 0,6 méter magasságban áll a konténerben. (1 pont) Összesen: 16 pont 9) A repülőgépek üzemanyag-fogyasztását számos tényező befolyásolja. Egy leegyszerűsített matematikai modell szerint (a vizsgálatba bevont repülőgépek esetében) az egy óra repülés alatt felhasznált üzemanyag 1 tömegét az f x x 2 1800x 950 000 összefüggés adja meg. 20 Ebben az összefüggésben x a repülési átlagsebesség km/h-ban x 0 , f x pedig a felhasznált üzemanyag tömege kg-ban. a) A modell alapján hány km/h átlagsebesség esetén lesz minimális az egy óra repülés alatt felhasznált üzemanyag tömege? Mekkora ez a tömeg? (5 pont) Egy repülőgép Londonból New Yorkba repül. A repülési távolság 5580 km.
b) Igazolja, hogy v km/h átlagsebesség esetén a repülőgép üzemanyagfelhasználása ezen a távolságon (a modell szerint) 265 050 000 kg lesz! v 0 (3 pont) 279v 502 200 v A vizsgálatba bevont, Londontól New Yorkig közlekedő repülőgépek v átlagsebességé-re teljesül, hogy 800 km/h v 1100 km/h. c) A megadott tartományban melyik átlagsebesség esetén a legnagyobb, és melyik esetén a legkisebb az egy útra jutó üzemanyagfelhasználás? (5 pont) Megoldás: a)
f x
1 2 x 900 810000 950000 20
(2 pont)
1 2 x 900 7000 20
(1 pont)
(Mivel x 900 0 , és egyenlőség pontosan akkor van, ha x 900 , ezért) az 2
óránkénti üzemanyag-fogyasztás 900 km/h átlagsebesség esetén minimális, (1 pont) és ez a minimum 7000 kg óránként. b) A repülési idő órában: t
5580 v
Az
út során elfogyasztott 5580 1 2 t f v v 1800v 950000 v 20 279v 502200
c)
A
(1 pont)
265050000 . v
(1 pont) üzemanyag
kg-ban: (1 pont) (1 pont)
pozitív
valós számok halmazán értelmezett 265050000 függvénynek ott lehet szélsőértéke, ahol a g v 279v 502200 v deriváltja 0. (1 pont) g ' v 279
265050000 v2
g ' v 0 , ha v 100 95 974, 68 mert v 0
(1 pont) (1 pont)
A deriváltfüggvény értékei v 100 95 esetén negatívak, v 100 95 esetén pedig pozitívak. Ezért a 100 95 a g függvénynek abszolút minimumhelye. (1 pont)
(A deriváltfüggvény előjele alapján tehát) a g függvény a 800;100 95 zárt intervallumon szigorúan csökkenő, a 100 95;1100 zárt intervallumon pedig szigorúan növekvő, ezért a g függvény [800; 1100] intervallumra való leszűkítése a maximumát vagy 800-nál vagy 1100-nál veszi fel. (1 pont) g 800 52 312,5
(1 pont)
g 1100 45 654,5
Tehát a modell szerint 800 km/h átlagsebesség esetén a legnagyobb, (1 pont)
és 100 95 975 km/h átlagsebesség esetén a legkisebb az egy útra jutó üzemanyag-felhasználás.
(1 pont) Összesen: 16 pont
