MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2005. május 28. KÖZÉPSZINT I. 1) Mely x valós számokra igaz, hogy x 7 ?
(2 pont)
Megoldás:
x1 7 x2 7
(1 pont) (1 pont) Összesen: 2 pont
2) Egy 40 000 Ft-os télikabátot a tavaszi árleszállításkor 10%-kal olcsóbban lehet megvenni. Mennyi a télikabát leszállított ára? (2 pont) Megoldás:
40000 0, 9 x x 36000
(1 pont) (1 pont) Összesen: 2 pont
3) Egy téglatest egy csúcsból kiinduló éleinek hossza 15 cm, 12 cm és 8 cm. Számítsa ki a téglatest felszínét! Írja le a számítás menetét! (3 pont) Megoldás:
A 2 15 12 15 8 8 12 792 Tehát a téglatest felszíne 792
cm2.
(2 pont) (1 pont) Összesen: 3 pont
4) Egy kör sugara 6 cm. Számítsa ki ebben a körben a 120°-os középponti szöghöz tartozó körcikk területét! (2 pont) Megoldás:
t
r 2 12 cm2 37,7 cm2 360
(2 pont) Összesen: 2 pont
5) Döntse el, hogy az alább felsoroltak közül melyik mondat a tagadása a következő állításnak! (2 pont) Minden érettségi feladat egyszerű. a) Minden érettségi feladat bonyolult. b) Van olyan érettségi feladat, ami nem egyszerű. c) Sok érettségi feladat bonyolult. d) Van olyan érettségi feladat, ami egyszerű. Megoldás: b) Van olyan érettségi feladat, ami nem egyszerű. (2 pont) Összesen: 2 pont
6) Egy 5 cm sugarú kör középpontjától 13 cm-re lévő pontból érintőt húzunk a körhöz. Mekkora az érintőszakasz hossza? Írja le a számítás menetét! (3 pont) Megoldás: Ábra felrajzolása:
(1 pont)
Az ABC háromszögben alkalmazzuk a Pitagorasz tételét: e 2 132 52 (1 pont) (1 pont) e 12 cm Összesen: 3 pont 7) Az ábrán egy
-4;4
intervallumon értelmezett függvény grafikonja
látható. Válassza ki, hogy melyik formula adja meg helyesen a függvény hozzárendelési szabályát! (2 pont) 1 a) x x 1 3 1 b) x x 1 3 c) x 3x 1 1 d) x x3 3 Megoldás: b) x
1 x 1 3
(2 pont) Összesen: 2 pont
8) Egy lakástextil üzlet egyik polcán 80 darab konyharuha van, amelyek közül 20 darab kockás. Ha véletlenszerűen kiemelünk egy konyharuhát, akkor mennyi annak a valószínűsége, hogy az kockás? (2 pont) Megoldás:
1 80 vagy vagy 0,25 vagy 25% 4 20
(2 pont) Összesen: 2 pont
9) Adja meg azoknak a 0° és 360° közötti amelyekre igaz az alábbi egyenlőség! 2 sin 2
szögeknek a nagyságát, (2 pont)
Megoldás: A számológépbe beírva 1 megoldást kapunk 1 45 Viszont van egy másik megoldás is 180 1 2 2 135
(1 pont) (1 pont) Összesen: 2 pont
10) Rajzoljon egy olyan öt csúcspontú gráfot, amelynek 4 éle van!
(2 pont)
Megoldás: Több megoldás is elképzelhető, például:
(2 pont) Összesen: 2 pont 11) Egy henger alakú fazék belsejének magassága 14 cm, belső alapkörének átmérője 20 cm. Meg lehet-e főzni benne egyszerre 5 liter levest? Válaszát indokolja! Belefér 5 liter leves? (4 pont) Megoldás: (2 pont) V r 2 m 102 14 (1 pont) V 4398 cm³ Tehát az 5 liter leves nem fér bele a fazékba, mivel a 4393 cm³ kevesebb, mint az 5000 cm³. (1 pont) Összesen: 4 pont 12) Adottak az a 4; 3 és b 2; 1 vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a b koordinátáit!
(2 pont) (2 pont)
Megoldás: a) b)
a 42 32 5 a b 4 2 ;3 1 2; 4
(2 pont) (2 pont) Összesen: 4 pont
II/A. 13) Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! x 1 2x a) 4 2 5 b) lg x 1 lg4 2
(5 pont) (7 pont)
Megoldás: a)
5 x 1 2 2x 2 5 4
(2 pont)
Tehát x 5 (2 pont) Visszahelyettesítéssel az eredeti egyenletbe megbizonyosodtunk róla, hogy az (1 pont) x 5 megoldás helyes b) Értelmezési tartomány: x 1 (1 pont) Logaritmus-azonosság alkalmazásával: lg4 x 1 2 (2 pont) A logaritmus definíció alapján: 4 x 1 1 x 26 Ellenőrzés, visszahelyettesítés
(2 pont) (1 pont) (1 pont) Összesen: 12 pont
14) a) Iktasson be a 6 és az 1623 közé két számot úgy, hogy azok a megadottakkal együtt egy számtani sorozat szomszédos tagjai legyenek! (5 pont) b) Számítsa ki a 6 és az 1623 közötti néggyel osztható számok összegét! (7 pont) Megoldás: a)
A sorozat tagjai: 6; 6 + d; 6 + 2d; 1623 6 + 3d = 1623 d = 539 Az első beiktatott szám: 545 A második beiktatott szám: 1084 b) A feltételeknek megfelelő számok: 8; 12; 16; …; 1620 Ezek a számok egy számtani sorozat egymást követő tagjai 1620 8 4 n 1 n 404 8 1620 Sn 404 2 Sn 328856
(1 (1 (1 (1 (1 (2 (1 (1
pont) pont) pont) pont) pont) pont) pont) pont)
(1 pont) (1 pont) (1 pont) Összesen: 12 pont
15) Egy sportuszoda 50 méteres medencéjében egy edzés végén úszóversenyt rendeztek. A versenyt figyelve az edző a következő grafikont rajzolta két tanítványának, Robinak és Jánosnak az úszásáról.
Olvassa le a grafikonról, hogy a) mennyi volt a legnagyobb távolság a két fiú között a verseny során (1 pont) b) mikor előzte meg János Robit (2 pont) c) melyikük volt gyorsabb a 35. másodpercben! (2 pont) A 4x100-as gyorsváltó házi versenyén a döntőbe a Delfinek, a Halak, a Vidrák és a Cápák csapata került. d) Hányféle sorrend lehetséges közöttük, ha azt biztosan tudjuk, hogy nem a Delfinek csapata lesz a negyedik? (3 pont) e) A verseny után kiderült, hogy az élen kettős holtverseny alakult ki, és a Delfinek valóban nem lettek az utolsók. Feltéve, hogy valakinek csak ezek az információk jutottak a tudomására, akkor ennek megfelelően hányféle eredménylistát állíthatott össze? (4 pont) Megoldás: a) b) c) d) e)
15 méter A 30. másodpercnél, vagy a 31. másodpercnél János A lehetséges sorrendek száma: 3 3 2 1 18 Két esetet kell megvizsgálni
(1 (2 (2 (3 (1
pont) pont) pont) pont) pont)
3 Ha a Delfinek holtversenyben az első helyen végeztek, akkor: a lehetséges 1 sorrendek száma (1 pont) 3 Ha a Delfinek nem lettek elsők, akkor a megoldás (1 pont) 2 A lehetséges sorrendek száma összesen 9 (1 pont) Összesen: 12 pont
II/B. 16) Adott a síkon az x 2 y 2 2x 2y 47 0 egyenletű kör. a) Állapítsa meg, hogy az A(7; 7) pont illeszkedik-e a körre! (2 pont) b) Határozza meg a kör középpontjának koordinátáit és a kör sugarát! (5 pont) c) Legyenek A(7; 7) és B (0; 0) egy egyenlő szárú háromszög alapjának végpontjai. A háromszög C csúcsa rajta van az 2 2 x y 2x 2y 47 0 egyenletű körön. Számítsa ki a C csúcs koordinátáit! (10 pont) Megoldás: a)
49 49 14 14 47 0 Tehát a pont nem illeszkedik a körre.
(1 pont) (1 pont)
b)
x 12 y 12 49 K 1;1
(3 pont)
c)
(1 pont) (1 pont) r 7 A háromszög harmadik csúcsa az alap felezőmerőlegesén van. (1 pont) Az AB oldal felezőpontja: F (3,5;3,5) (1 pont) Az AB oldal felezőmerőlegesének normálvektora n (7;7) (1 pont) A felezőmerőleges egyenlete x + y = 7 (1 pont) A háromszög harmadik csúcsát a kör és a felezőmerőleges metszéspontja x 12 y 12 49 adja: (1 pont) y 7x 2 x 5x 6 0 (2 pont) x1 6 x2 1 (1 pont) y1 1 y2 8 (1 pont) C1 6;1
C2 1; 8
(1 pont) Összesen: 17 pont
17) Egy teherautóval több zöldségboltba almát szállítottak. Az egyik üzletbe 60 kg jonatánt, 135 kg starkingot, 150 kg idaredet és 195 kg golden almát vittek. A jonatán és az idared alma kilóját egyaránt 120 Ft-ért, a starking és a golden kilóját 85 Ft-ért árulta a zöldséges. a) Hány százalékkal volt drágább a jonatán alma kilója a goldenéhez képest? (2 pont) b) Mennyi bevételhez jutott a zöldséges, ha a teljes mennyiséget eladta? (2 pont) c) A zöldségeshez kiszállított árukészlet alapján számítsa ki, hogy átlagosan mennyibe került nála 1 kg alma! (3 pont) d) Ábrázolja kördiagramon a zöldségeshez érkezett alma mennyiségének fajták szerinti megoszlását! (6 pont) A jonatán alma mérete kisebb, mint az idaredé, így abból átlagosan 25%kal több darab fér egy ládába, mint az idaredből. Rakodásnál mindkét fajtából kiborult egy-egy tele láda alma, és tartalmuk összekeveredett. e) A kiborult almákból véletlenszerűen kiválasztva egyet, mekkora a valószínűsége annak, hogy az jonatán lesz? (4 pont) Megoldás:
120 1,41 85 Kb. 41%-kal drágább a jonatán alma b) 60 120 150 120 195 85 135 85 53250 Tehát 53250 Forint bevételhez jutott a zöldséges. c) Az összes alma mennyisége 540 kg. 53250 Átlagos almaár: 98,6 540 Tehát átlagosan 98,6 Forintba került egy alma. d) Az egyes almafajták mennyiségéhez tartozó középponti szögek: 60 360 60kg: 40° 540 135 kg: 90° 150 kg: 100° 195 kg: 130° (2 pont) Kördiagram: (4 pont) a)
e)
(1 pont) (1 (1 (1 (1
pont) pont) pont) pont)
(1 pont) (1 pont)
A kiborult jonatán és idared almák darabszámának aránya: 1,24:1
(2 pont)
1,25 5 0, 56 2,25 9
(2 pont)
A keresett valószínűség:
Összesen: 17 pont
18) Egy zeneiskola minden tanulója szerepelt a tanév során szervezett három hangverseny, az őszi, a téli, a tavaszi koncert valamelyikén. 20an voltak, akik az őszi és a téli koncerten is, 23-an, akik a télin és a tavaszin is, és 18-an, akik az őszi és a tavaszi hangversenyen is szerepeltek. 10 olyan növendék volt, aki mindhárom hangversenyen fellépett. a) Írja be a halmazábrába a szövegben szereplő adatokat a megfelelő helyre! (4 pont)
A zeneiskolába 188 tanuló jár. Azok közül, akik csak egy hangversenyen léptek fel, kétszer annyian szerepeltek tavasszal, mint télen, de csak negyedannyian ősszel, mint tavasszal. b) Számítsa ki, hogy hány olyan tanuló volt, aki csak télen szerepelt! (8 pont) c) 32 tanuló jár az A osztályba, 28 pedig a B-be. Egy ünnepélyen a két osztályból véletlenszerűen kiválasztott 10 tanulóból álló csoport képviseli az iskolát. Mennyi annak a valószínűsége, hogy mind a két osztályból pontosan 5-5 tanuló kerül a kiválasztott csoportba? (5 pont) Megoldás:
a)
A 8; 10; 10; 13 számokat kell beírni a metszetekbe.
(4 pont)
b) Csak télen szerepelt: x tanuló Csak tavasszal szerepelt: 2x tanuló x Csak ősszel szerepelt: tanuló 2 x Az egyenlet: x 2x 10 10 13 8 188 2 Ebből x 42 Tehát 42 olyan tanuló van, aki csak télen szerepelt 32 c) Az A osztályból 5 tanulót -féleképpen választhatnak ki. 5
28 A B osztályból 5 tanulót -féleképpen választhatnak ki. 5 32 28 A kedvező esetek száma: 5 5
(1 pont) (1 pont) (2 pont) (2 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont)
60 Az összes esetek száma: 10
(1 pont)
32 28 5 5 A keresett valószínűség tehát: 0,26 60 10
(1 pont)
Összesen: 17 pont
