MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 3 1 1) Adja meg a ; nyílt intervallum két különböző elemét! 8 8
(2 pont)
Megoldás:
1 3 ; Például: M 10 5
(2 pont)
2) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer kezet fogott. Hány kézfogás történt? (2 pont) Megoldás: 21 kézfogás történt.
(2 pont)
3) Péter egy 100-nál nem nagyobb pozitív egész számra gondolt. Ezen kívül azt is megmondta Pálnak, hogy a gondolt szám 20-szal osztható. Mekkora valószínűséggel találja ki Pál elsőre a gondolt számot, ha jól tudja a matematikát? (2 pont) Megoldás:
20 1 kedvező esetek száma (2 pont) 100 5 összes eset 4) Ha fél kilogramm narancs 75 Ft-ba kerül, akkor hány kilogramm narancsot kapunk 300 Ft-ért? (2 pont)
P
Megoldás: 2 kilogrammot.
(2 pont)
x 2 5x 5) Adja meg a valós számok halmazán értelmezett az x másodfokú függvény zérushelyeit! Számítsa ki a függvény helyettesítési értékét az 1,2 helyen! (3 pont) Megoldás: Zérushelyek: 0 és 5. A helyettesítési érték 4, 56 .
(2 pont) (1 pont) Összesen: 3 pont
6) Az ABCD négyzet középpontja K, az AB oldal felezőpontja F. Legyen a KA és b KB . Fejezze ki az a és b vektorok segítségével a KF vektort! (2 pont) Megoldás:
KF
a b 2
(2 pont)
7) Adja meg az alábbi állítások igazságértékét (igaz vagy hamis), majd döntse el, hogy a b) és a c) jelű állítások közül melyik az a) jelű állítás megfordítása! (4 pont) a) Ha az ABCD négyszög téglalap, akkor átlói felezik egymást. b) Ha az ABCD négyszög átlói felezik egymást, akkor ez a négyszög téglalap. c) Ha az ABCD négyszög nem téglalap, akkor átlói nem felezik egymást. Megoldás: a) igaz b) hamis c) hamis Az a) megfordítása a b).
(1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) Összesen: 4 pont
8) Írja fel két egész szám hányadosaként a 2 értékét!
2 3
szám reciprokának (2 pont)
Megoldás:
1 2 reciproka: 2 3 2 3 3 375 A reciprok értéke: 8 1000 A 2
(1 pont)
(1 pont) Összesen: 4 pont
9) Mennyi az f x x 10 x veszi fel ezt az értéket?
függvény legnagyobb értéke, és hol (2 pont)
Megoldás: A legnagyobb érték: 10. Ezt az x 0 helyen veszi fel.
(1 pont) (1 pont) Összesen: 2 pont
10) Egy számtani sorozat első tagja –3, differenciája –17. Számítsa ki a sorozat 100-adik tagját! Számítását részletezze! (3 pont) Megoldás:
a1 3 d 17
a100 3 99 17 1686 A sorozat 100-adik tagja: –1686. 11) Egyszerűsítse az
(2 pont) (1 pont) Összesen: 3 pont
x8 algebrai törtet! Tudjuk, hogy x 8; 0 . (2 pont) x 2 8x
Megoldás: Az egyszerűsített tört:
1 x
(2 pont)
12) Egy fordítóiroda angol és német fordítást vállal. Az irodában 50 fordító dolgozik, akiknek 70%-a angol nyelven, 50%-a német nyelven fordít. Hány fordító dolgozik mindkét nyelven? Válaszát indokolja! (4 pont) Megoldás: Mindkét nyelven a dolgozók 20%-a fordít. A mindkét nyelven fordítók száma: 10.
(3 pont) (1 pont) Összesen: 4 pont
II/A. 13) Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket! a) lg x 15 lg 3x 5 lg 20 2
b) 25
x
3
5 5
x
(6 pont) (6 pont)
Megoldás: a)
5 3 A logaritmus azonosságának helyes alkalmazása. (A lg függvény kölcsönösen egyértelmű.) Értelmezési tartomány: x
x 152 20 3x 5
(1 pont) (1 pont) (1 pont)
x 2 30x 125 0 x1 25 és x2 5 Mindkét megoldás megfelel. b) x 0
(1 (1 (1 (1
52 x 513 x x 1 A négyzetgyök értéke nemnegatív szám, ezért nincs valós megoldás.
pont) pont) pont) pont)
(2 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) Összesen: 12 pont
14) Adott a koordináta-rendszerben az A 9; 8 középpontú, 10 egység sugarú kör. a) Számítsa ki az y 16 egyenletű egyenes és a kör közös pontjainak koordinátáit! (8 pont) b) Írja fel a kör P 1; 2 pontjában húzható érintőjének egyenletét! Adja meg ennek az érintőnek az iránytangensét (meredekségét)! (4 pont) Megoldás: a)
A kör egyenlete x 9 y 8 100 2
2
(2 pont)
Ebbe behelyettesítve az y 16 -ot:
x 92 36
(2 pont)
Az egyenlet megoldva: x 15 vagy x 3 A közös pontok: 15; 16 és 3; 16
(2 pont) (2 pont)
b) Az érintő normálvektora az AP vektor. AP 8;6 Az érintő egyenlete 4x 3y 10 4 Az érintő iránytangense 3
(1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) Összesen: 12 pont
15) Az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számjegyek felhasználásával ötjegyű számokat készítünk az összes lehetséges módon (egy számjegyet többször is felhasználhatunk). Ezek között hány olyan szám van, a) amely öt azonos számjegyből áll; b) amelyik páros; c) amelyik 4-gyel osztható?
(3 pont) (4 pont) (5 pont)
Megoldás: a) 6 ilyen szám van. b) Az utolsó számjegy páros szám (2, 4, vagy 6), az első 4 számjegy 64 1296 -féleképpen alakulhat. c)
(3 pont) (1 pont) (2 pont)
3 63 3888 -féle páros szám lehet. (1 pont) (A 4-gyel való oszthatósági szabály értelmében) a két utolsó helyen 12, 16, 24, 32, 36, 44, 52, 56, 64 állhat, (2 pont) 3 az első 3 számjegy pedig 6 216 -féleképpen alakulhat. (2 pont) Tehát 9 63 1944 féle 4-gyel osztható szám lehet.
(1 pont) Összesen: 12 pont
II/B. 16) Egy facölöp egyik végét csonka kúp alakúra, másik végét forgáskúp alakúra formálták. (Így egy forgástestet kaptunk.) A középső, forgáshenger alakú rész hossza 60 cm és átmérője 12 cm. A csonka kúp alakú rész magassága 4 cm, a csonka kúp fedőlapja pedig 8 cm átmérőjű. Az elkészült cölöp teljes hossza 80 cm. a) Hány m3 fára volt szükség 5000 darab cölöp gyártásához, ha a gyártáskor a felhasznált alapanyag 18%-a a hulladék? (Válaszát egész m3-re kerekítve adja meg!) (8 pont) Az elkészült cölöpök felületét vékony lakkréteggel vonják be. b) Hány m2 felületet kell belakkozni, ha 5000 cölöpöt gyártottak? (Válaszát egész m2-re kerekítve adja meg!) (9 pont) Megoldás: a)
Az adatok helyes értelmezése (pl. ábra).
3
A csonka kúp alakú rész térfogatának kiszámítása 318 cm
A henger alakú rész térfogatának kiszámítása 6786 cm3
A kúp alakú rész térfogatának kiszámítása 603 cm3 Egy cölöp térfogatának kiszámítása 7707 cm3 7707 Egy cölöp elkészítéséhez 9399 cm3 0,82
(1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (12 pont)
5000 cölöp elkészítéséhez 46995000 cm3 , azaz 47 m3 fára van szükség. (1 pont) 2 b) A csonka kúp fedőköre területének kiszámítása: 50 cm (1 pont) A csonka kúp alkotójának kiszámítása: 20 4,47 (1 pont) palást területének kiszámítása: 141 cm2 A hengerpalást területének kiszámítása: 2262 cm2 A kúp alkotójának kiszámítása: 292 17,09 a kúppalást területének kiszámítása: 322 cm2 1 cölöp felszíne 2775 cm2 5000 cölöp felszíne 13875000 cm2 , ami 1388 m2 .
(1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont) Összesen: 17 pont
17) A Kis család 700 000 Ft megtakarított pénzét éves lekötésű takarékban helyezte el az A Bankban, kamatos kamatra. A pénz két évig kamatozott, évi 6%-os kamatos kamattal. (A kamatláb tehát ebben a bankban 6% volt.) a) Legfeljebb mekkora összeget vehettek fel a két év elteltével, ha a kamatláb a két év során nem változott? (3 pont) A Nagy család a B Bankban 800 000 Ft-ot helyezett el, szintén két évre, kamatos kamatra. b) Hány százalékos volt a B Bankban az első év folyamán a kamatláb, ha a bank ezt a kamatlábat a második évre 3%-kal növelte, és így a második év végén a Nagy család 907 200 Ft-ot vehetett fel? (10 pont) c) A Nagy család a bankból felvett 907 200 Ft-ért különféle tartós fogyasztási cikkeket vásárolt. Hány forintot kellett volna fizetniük ugyanezekért a fogyasztási cikkekért két évvel korábban, ha a vásárolt termékek ára az eltelt két év során csak a 4%-os átlagos éves inflációnak megfelelően változott? (A 4%-os átlagos éves infláció szemléletesen azt jelenti, hogy az előző évben 100 Ft-ért vásárolt javakért idén 104 Ft-ot kell fizetni.) (4 pont) Megoldás: A felvehető összeg: 700000 1,062 ami 786520 Ft. b) (Az első évben x %-os volt a kamat.) Az első év végén a számlán lévő összeg: x 800000 1 . 100 A második év végén a felvehető összeg: x x 3 800000 1 1 907200 100 100 a)
c)
(2 pont) (1 pont)
(2 pont)
(2 pont)
x 2 203x 1040 0 x1 5 a másik gyök negatív (–208), nem felel meg. Az első évben 5%-os volt a kamat. A feladat megoldható mértani sorozat felhasználásával is. Ha a két évvel ezelőtti ár y forint, akkor egy év múlva 1,04 y , 2
két év múlva 1,04 y 907200 forint az ár. 907200 y 838757 1,042 Két évvel korábban 838757 Ft -ot kellett volna fizetniük.
(3 (1 (1 (1
pont) pont) pont) pont)
(1 pont) (1 pont) (1 pont)
(1 pont) Összesen: 17 pont
18) Egy szerencsejáték a következőképpen zajlik: A játékos befizet 7 forintot, ezután a játékvezető feldob egy szabályos dobókockát. A dobás eredményének ismeretében a játékos abbahagyhatja a játékot; ez esetben annyi Ft-ot kap, amennyi a dobott szám volt. Dönthet azonban úgy is, hogy nem kéri a dobott számnak megfelelő pénzt, hanem újabb 7 forintért még egy dobást kér. A játékvezető ekkor újra feldobja a kockát. A két dobás eredményének ismeretében annyi forintot fizet ki a játékosnak, amennyi az első és a második dobás eredményének szorzata. Ezzel a játék véget ér. Zsófi úgy dönt, hogy ha 3-nál kisebb az első dobás eredménye, akkor abbahagyja, különben pedig folytatja a játékot. a) Mennyi annak a valószínűsége, hogy Zsófi tovább játszik? (4 pont) b) Zsófi játékának megkezdése előtt számítsuk ki, mekkora valószínűséggel fizet majd neki a játékvezető pontosan 12 forintot? (6 pont) Barnabás úgy dönt, hogy mindenképpen két dobást kér majd. Áttekinti a két dobás utáni lehetséges egyenlegeket: a neki kifizetett és az általa befizetett pénz különbségét. c) Írja be a táblázat üres mezőibe a két dobás utáni egyenlegeket!(4 pont)
első dobás eredménye
második dobás eredménye 1 2 3 4 5 6 1
-13
2 3 4
10
5 6
d) Mekkora annak a valószínűsége, hogy Barnabás egy (két dobásból álló) játszmában nyer? (3 pont) Megoldás: a)
A kedvező esetek száma 4. (Zsófi akkor folytatja a játékot, ha a dobott szám 3, 4, 5 vagy 6.) (2 pont) Az összes eset száma 6. (1 pont) 4 2 A valószínűség: (1 pont) 6 3
b) Összesen 36 (egyenlően valószínű) lehetőség van. Egy játékos 12 forintot kap, ha a következő dobáspárok lépnek fel: 2;6 , 3;4 , 4;3 , 6;2 . Az első eset nem lehet, mert akkor Zsófi nem játszik tovább. Tehát a kedvező esetek száma 3. 3 1 A 12 forint kifizetésének valószínűsége: 36 12
(1 pont) (2 pont) (1 pont) (1 pont) (1 pont)
c)
első dobás eredménye
második dobás eredménye 1 2 3 4 5 6 1
-13
-12
-11
-10
-9
-8
2
-12
-10
-8
-6
-4
-2
3
-11
-8
-5
-2
1
4
4
-10
-6
-2
2
6
10
5
-9
-4
1
6
11
16
6
-8
-2
4
10
16
22 (4 pont)
Barnabás akkor nyer, ha egyenlege pozitív. 13 esetben pozitív az eredmény. 13 Barnabás valószínűséggel nyer. 36
(1 pont) (1 pont) (1 pont) Összesen: 17 pont
