U R IK U LU M
si
AS
21
Se
KEL
I-K
BUNGA: PERTUMBUHAN DAN PELURUHAN A.
BUNGA TUNGGAL
a.
Konsep Bunga Tunggal Perhitungan bunga tunggal digunakan pada permasalahan pinjaman ataupun investasi. Bunga tunggal bermakna perhitungan bunga pinjaman atau investasi yang dibuat selalu sama per periode pinjaman ataupun investasi, di mana besarnya dihitung sekali dari besar investasi atau pinjaman awalnya.
b.
Rumus Bunga Tunggal Formula untuk menghitung besaran investasi atau besar pengembalian pinjaman pada tahun ke-w (Mw), dengan besar investasi awal M dan besar persentese bunga p% pertahun adalah Mw = M(1 + wp)
CONTOH SOAL 1.
Jika Budi menabung uangnya sebesar Rp10.000.000,00 di bank dengan bunga tunggal yang ditawarkan sebesar 8% per tahun, maka tentukan total saldo tabungannya pada akhir tahun ke-6!
1
20
13
MATEMATIKA
XI
Pembahasan: M = Rp10.000.000 p = 8% /tahun w = 6 tahun Maka Mw = M(1+ wp) M6 = 10.000.000(1+ 6 × 0,08) M6 = 10.000.000(1,48) M6 = 14.800.000 2.
Pak Doni membutuhkan dana untuk merenovasi rumahnya. Beliau memutuskan untuk meminjam uang sebesar Rp100.000.000,00 ke bank dengan bunga tunggal 4% per tahun. Pak Doni berencana akan melunasi pinjamannya setelah tahun keempat. Tentukan besar total bunga pinjaman Pak Doni yang harus dibayar! Pembahasan: M = Rp100.000.000 p = 4%/tahun = 0,04/tahun w = 4 tahun sehingga Mw = M(1+ wp) M4 = 100.000.000(1+ 4 ⋅ 0 , 04 ) M4 = 100.000.000(116 , ) M4 = 116.000.000 maka bunganya adalah: B = 116.000.000 – 100.000.000 B = 16.000.000
3.
Pak Cecep meminjam uang kepada Koperasi Media Makmur sebesar Rp40.000.000. Besar persentase bunga pinjaman 5% per tahun dengan perhitungan bunga tunggal. Jika setelah n tahun Pak Cecep harus mengembalikan sebesar Rp52.000.000, maka nilai n adalah …. Pembahasan: M = 40.000.000 Mw = 52.000.000 p = 5%/tahun = 0,05/tahun
2
maka Mw = M(1+ wp) 52.000.000 = 40.000.000(1+ w ⋅ 0 , 05) 52.000.000 = 40.000..000 + 2.000.000 w 12.000.000 = 2.000.000 w maka w = 6 tahun
c.
Pembayaran Bunga Tunggal Per Periode Waktu Tertentu Pembayaran bunga investasi atau bunga pinjaman dengan sistem bunga tunggal dapat dilakukan dalam periode yang berbeda, misalnya pertiga bulanan, per semester atau periode lainnya. Cara mudahnya adalah selalu menyamakan antara satuan waktu persentase bunga dengan waktu yang terkait dengan modal akhir atau pinjaman akhirnya.
CONTOH SOAL 1.
Hana menabung uangnya sebesar Rp600.000,00 dengan bunga tunggal 5% per tahun yang dibayarkan setiap 6 bulan sekali. Berapakah saldo tabungan Hana jika dia mengambil uangnya setelah 48 bulan? Pembahasan: M = Rp600.000 Periode 6 bulan sekali maka p = 5%/tahun = 2,5%/6 bulan w = 48 bulan = 8 × 6 bulan maka Mw = M(1+ wp) 2, 5 M8 = 600.000 1+ 8 ⋅ 100 M8 = 600.000(1, 2) M8 = 720.000
2.
Berapakah total saldo yang diterima dalam waktu 30 bulan jika Adi menabung uangnya sebesar Rp800.000,00 dengan bunga 4% per tahun?
3
Pembahasan: M = Rp 800.000,00 p = 0 , 04 / tahun =
1 4 ⋅ / bulan 12 100
w = 30 bulan Mw = M(1+ wp) 1 4 M30 = 800.000 1+ 30 ⋅ ⋅ 12 100 ,) M30 = 800.000(11 M300 = 880.000 3.
Berapakah besar uang yang harus disimpan pada tabungan dengan bunga tunggal 6% per tahun agar saldonya menjadi Rp8.000.000,00 tujuh bulan kemudian? Pembahasan: Mw = Rp8.000.000,00 p = 6% / tahun =
1 6 ⋅ / bulan 12 100
w = 7 bulan Mw = M(1+ wp) 1 6 8.000.000 = M 1+ 7 ⋅ ⋅ 12 100 42 8.000.000 = M 1+ 1200 maka 200 M= ⋅ 8.000.000 207 M = 7.729.486
B.
BUNGA MAJEMUK
a.
Konsep Bunga Majemuk Bunga majemuk adalah perhitungan bunga pinjaman atau investasi, di mana perhitungan bunga tiap periode berbeda-beda. Besaran bunga periode selanjutnya dihitung dari jumlah simpanan atau pinjaman periode sebelumnya. Jika besar pinjaman atau investasi awal M, besar persentase bunga majemuk p (dalam persen), maka besar pinjaman atau investasi pada akhir periode tahun ke-w adalah
4
Mw = M(1 + p)w
CONTOH SOAL 1.
Suatu modal sebesar Rp1.000.000,00 diinvestasikan dengan bunga 8%. Tentukan besar modal di akhir tahun ketiga jika modal diinvestasikan dengan bunga majemuk! Pembahasan: M = Rp1.000.000 p = 8%/tahun = 0,08/tahun w = 3 tahun maka Mw = M(1+ p)w M3 = 1.000.000(1+ 0 , 08 )3 M3 = 1.000.000(1, 08 )3 M3 = 1.259.712
2.
Pak Agus menabung Rp2.000.000,00 di suatu bank dengan bunga tunggal sebesar 4% per tahun. Pak Budi juga menabung Rp2.000.000,00 di bank yang sama dengan bunga majemuk 4% per tahun. Setelah 5 tahun, tabungan siapakah yang lebih banyak? Pembahasan: Pak Agus M = Rp2.000.000 p = 0,04/tahun w = 5 tahun Mw = M(1+ wp)
M5 = 2.000.000 (1+ 5 ⋅ 0 , 04 ) M5 = 2.000.000(1, 2) M5 = 2.400.000
Pak Budi M = Rp2.000.000 p = 0,04/tahun w = 5 tahun
5
Maka Mw = M(1+ p)w M5 = 2.000.000(1+ 0 , 04 )5 M5 = 2.000.000(1, 04 )5 M5 = 2.433.305 Jadi, tabungan yang lebih banyak adalah milik Pak Budi.
b.
Pembayaran Bunga Per Periode Waktu Tertentu Pembayaran bunga majemuk dapat dilakukan dalam periode tertentu, bulanan, 4 bulanan, dan sebagainya. Caranya tidak jauh berbeda dengan cara perhitungan bunga tunggal dengan tetap mengacu pada formula Mw = M(1 + p)w
CONTOH SOAL 1.
Imam menginvestasikan uangnya sebesar Rp5.000.000 di suatu perusahaan dengan janji mendapatkan bunga 6% per tahun dengan perhitungan bunga majemuk. Jika pembayaran keuntungan dilakukan per caturwulan, maka uang Imam pada akhir bulan ke-20 adalah …. Pembahasan: M = Rp5.000.000 1 6 2 / 4 bulan = / 4 bulan p = 6% / tahun = ⋅ 3 100 100 w = 20 bulan = 5 × 4 bulan maka Mw = M(1+ p)w 2 M5 = 5.000.000 1+ 100 M5 = 5.000.000(1, 02)5
5
M5 = 5.520.404 , 016
6
2.
Rudi meminjam uang di bank sebesar Rp20.000.000 dengan perhitungan bunga majemuk 8% per 6 bulan. Besar bunga hutang yang harus dibayar Rudi pada akhir tahun ke-4 adalah .... Pembahasan: M = Rp20.000.000 p = 8% / 6 bulan =
8 / 6 bulan 100
w = 4 tahun = 48 bulan = maka Mw = M(1+ p)w M8 = 20.000.000(1+ 0 , 08 )8 M8 = 20.000.000(1, 08 )8 M8 ≈ 37.018.604 Maka bunga = Rp 17.018.604. 3.
Pak Ali menabung Rp1.000.000,00 di suatu bank dengan dibungakan secara majemuk sebesar 4% setiap 3 bulan. Pada saat yang sama, Pak Budi juga menabung Rp1.000.000,00 di bank yang sama dan dibungakan secara tunggal setiap tahun. Besar bunga yang akan diberikan kepada Pak Budi sehingga tabungan mereka sama besar di akhir tahun ke-5 adalah .... Pembahasan: Pak Ali M = Rp1.000.000 p = 4%/3 bulan = 12%/tahun w = 5 tahun maka M5 tahun = M(1+ p)w M5 = 1.000.000(1+ 0 ,12)5 M5 = 1.000.000(112 , )5 M5 = 1.762.341, 6832 Untuk Pak Budi M
= 1.762.341,6832
w
= 5 tahun
7
Maka M5 = M(1+ 5p) 1.762.341, 6832 = 1.000.000(1+ 5p) 1, 7623416832 = 1+ 5p 0 , 7623416832 = 5p Maka 0 , 7623416832 5 p = 0 ,1524683366 p=
p ≈ 0 ,15 p = 15% per tahun
4.
Putri meminjam uang di bank sebesar Rp25.000.000,00 untuk keperluan menikah dengan jangka waktu 5 tahun. Jika 3 tahun pertama bunganya adalah 8% per tahun dengan pembayaran per semester, sedangkan 2 tahun berikutnya bunganya menjadi 12% per tahun dibayarkan tiap 3 bulan. Total pinjaman Putri yang harus dibayarkan adalah …. Pembahasan: Sampai akhir tahun ke-3 atau 6 × 6 bulan, dengan bunga 4% per 6 bulan didapatkan M6 = M0 (1+ p)6 =25.000.000(1+ 0 , 04 )6 = Rp 31.632.975 Dua tahun terakhir atau 8 × 3 bulan dengan M0 = Rp31.632.975 dan bunga 3% per 3 bulan didapatkan M8 = M0 (1+ p)8 = 31.632.975(1+ 0 , 03)8 = Rp 40.071.706,32
C.
MASALAH PERTUMBUHAN Pertumbuhan jumlah suatu objek yang memiliki peningkatan tetap (dinyatakan dalam persentase) dapat kita temui dalam berbagai aspek kehidupan. Sebagai contoh ratarata peningkatan jumlah penduduk suatu negara adalah 1% dari tahun sebelumnya, menunjukkan terjadinya pertumbuhan penduduk suatu negara yang hampir tetap setiap
8
tahun. Contoh yang lain kenaikan jumlah produksi suatu perusahaan yang ditargetkan 10% melebihi tahun sebelumnya, menunjukkan target pertumbuhan produksi suatu perusahaan naik setiap tahun. Formula masalah pertumbuhan Nw = N0 (1 + p)w Formula untuk menghitung masalah pertumbuhan suatu objek, tidak berbeda dengan perhitungan bunga majemuk. Bila kondisi awal ada sebanyak dengan besar pertumbuhan p (dalam persen) dari tahun sebelumnya, maka banyaknya objek yang tumbuh pada akhir tahun ke-w adalah
CONTOH SOAL 1.
Banyak penduduk suatu kota setiap tahun meningkat sekitar 2% dari banyak penduduk tahun sebelumnya. Berdasarkan sensus penduduk pada tahun 2015, penduduk di kota tersebut sebanyak 100.000 orang. Hitung banyak penduduk pada tahun 2016 hingga tahun 2017! Pembahasan: Cara 1 N = 100.000 orang (tahun 2015) p = 2%/tahun maka Pada tahun 2016 N1 = No + NoP N1 = No (1+ p) N1 = 100.000(1+ 0 , 02) N1 = 100.000(1, 02) N1 = 102.000 Pada tahun 2017
9
N2 = N1 + N1P N2 = N1(1+ p) N2 = 102.000(1+ 0 , 02) N2 = 102.000(1, 02) N2 = 104.040 Cara 2 tahun 2016 ≡ tahun ke-1(2016 – 2015) N1 = No (1+ p)1 N1 = 100.000(1+ 0 , 02)1 N1 = 102.000 tahun 2017 ≡ tahun ke-2(2017 – 2015) N2 = No (1+ p)2 N2 = 100.000(1+ 0 , 02)2 N2 = 100.000(1, 0404 ) N2 = 104.040 2.
Pertumbuhan suatu bakteri dalam tubuh seorang anak terdeteksi meningkat 3% dari satu jam sebelumnya. Bila pada pukul 07:00 terdeteksi ada 100 bakteri, maka pada pukul 12:00 banyak bakteri akan sebanyak …. Pembahasan: No = 100 bakteri p = 3% = 0,03 Jam 12.00 adalah 5 jam setelah pukul 07.00 maka w = 5, sehingga N5 = No (1+ p)5 = 100(1+ 0 , 03)5 = 100(1, 03)5 ≈ 100(116 , ) ≈ 116
3.
Pada tahun 2005 jumlah produksi suatu produk berjumlah 200.000 buah. Pada tahun 2011 jumlah produksi dari produk yang sama meningkat menjadi 350.000 buah. Jika diasumsikan persentase pertumbuhan produksi selalu tetap, maka besar persentase pertumbuhannya adalah …. Pembahasan:
10
tahun 2005 ≡ tahun ke-0 No = 200.000 tahun 2011 ≡ tahun ke-6 No = 350.000 Dengan asumsi persentase pertumbuhan tetap maka N6 = No (1+ p)6 350.000 = 200.000(1+ p)6 1, 75 = (1+ p)6 Maka 1+ p = 6 1, 75 1+ p ≈ 1, 098 p = 0, 098 9, 8 p= 100 Jadi, pertumbuhannya adalah 9,8%. 4.
Kultur jaringan pada suatu uji laboratorium menunjukkan bahwa satu bakteri dapat membelah diri dalam waktu 2 jam. Diketahui bahwa pada awal kultur jaringan tersebut terdapat 1.000 bakteri. Banyak bakteri setelah 10 jam adalah …. Pembahasan: Pembelahan diri setiap 2 jam bermakna 1 bakteri berubah menjadi dua setiap 2 jam, atau besar pertumbuhannya 100% atau p = 1. Diketahui pada awalnya (jam ke-0) N0 = 1000 bakteri Maka setelah 10 jam atau periode ke-5 : N5 = No (1+ p)5 N5 = 1000(1+ 1)5 N5 = 32.000
11
D.
MASALAH PELURUHAN Peluruhan atau penurunan adalah suatu kondisi penurunan jumlah suatu objek dengan persentase penurunan yang tetap. Kondisi peluruhan atau penurunan dapat ditemui dalam berbagai masalah seperti masalah menurunnya omset penjualan, menurunnya jumlah bakteri jahat dalam tubuh setelah diberikan obat, dll. Masalah ini adalah kebalikan dari masalah pertumbuhan di mana formula untuk menghitung besar peluruhan adalah Nw = N0(1 – p)w dengan kondisi awal, Nw adalah banyak objek setelah meluruh selama satuan waktu w, dengan p adalah persentase peluruhannya.
CONTOH SOAL 1.
Suatu mobil dibeli dengan harga Rp100.000.000 pada tahun 2015. Jika diasumsikan harga mobil akan turun sebesar 2% dari tahun sebelumnya. Hitunglah harga mobil: a)
Pada tahun 2016!
b)
Pada tahun 2020!
Pembahasan: tahun 2015 ≡ tahun ke-0 No = Rp 100.000.000 p = 2% = 0 , 02 a)
2006 ≡ tahun ke-1 N1 = No − pNo N1 = No (1− p) N1 = 100.000.000(1− 0 , 02) 98 ) N1 = 100.000.000(0,9 N1 = 98.000.000
b)
tahun 2020 ≡ tahun ke-5 Sulit untuk dihitung satu persatu, maka gunakan formula Nw = N0 (1− p )
w
N5 = 100.000.000 (1− 0 , 02 )
5
N5 = 100.000.000 ( 0 , 98 )
5
N5 = 90.392.079 , 679999 N5 ≈ 90.400.000
12
Nw = N0 (1− p )
w
N5 = 100.000.000 (1− 0 , 02 )
5
N5 = 100.000.000 ( 0 , 98 )
5
N5 = 90.392.079 , 679999 N5 ≈ 90.400.000 2.
Pada pemeriksaan kedua, dokter mendiagnosa bahwa masih ada 800.000 bakteri yang menginfeksi telinga seorang bayi. Untuk mempercepat proses penyembuhan, dokter meningkatkan dosis penisilin yang dapat membunuh 10% bakteri setiap 6 jam. Tentukanlah a)
Banyak bakteri setelah 72 jam!
b)
Waktu ketika jumlah bakteri kurang dari 200.000!
Pembahasan: Kondisi awal No = 800.000 p = 10% = 0 ,1 a)
72 jam adalah periode ke-12 (12 × 6 jam) maka N6 = N0 (1− p )
6
N6 = 800.000 (1− 0 ,1) N6 = 800.000 ( 0 , 9 )
6
6
N6 = 425.152, 8 b)
Nw = No (1− p)w < 200.000 800.000(1− 0 ,1)w < 200.000 0 , 9 w < 0 , 25 0 ,9
log 0 , 9 w >0 , 9 log 0 , 25 w > 13,15 w = 14
Maka bakteri berjumlah kurang dari 200.000 setelah 6 × 14 jam atau 84 jam.
13
SOAL LATIHAN 1.
2.
3.
4.
Pak Dedi membutuhkan dana untuk merenovasi tokonya. Beliau memutuskan untuk meminjam uang sebesar Rp50.000.000,00 ke bank dengan bunga tunggal 4% per tahun. Pak Dedi berencana akan melunasi pinjamannya setelah tahun keempat. Tentukan besar total bunga pinjaman Pak Dedi yang harus dibayar! A.
Rp32.000.000,-
B.
Rp35.000.000,-
C.
Rp36.000.000,-
D.
Rp37.000.000,-
E.
Rp38.000.000,-
Pak Charli meminjam uang kepada Koperasi Maju Jaya sebesar Rp24.000.000. Besar persentase bunga pinjaman 6% per tahun dengan perhitungan bunga tunggal. Jika setelah n tahun Pak Charli harus mengembalikan sebesar Rp29.760.000, maka nilai n adalah …. A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
E.
6
Hani menabung uangnya sebesar Rp1.800.000,00 dengan bunga tunggal 12 % per tahun yang dibayarkan setiap 4 bulan sekali. Berapakah saldo tabungan Hani jika dia mengambil uangnya setelah 36 bulan? A.
Rp2.280.000,-
B.
Rp2.286.000,-
C.
Rp2.290.000,-
D.
Rp2.292.000,-
E.
Rp2.296.000,-
Suatu modal sebesar Rp2.000.000,00 diinvestasikan dengan bunga 5%. Tentukan besar modal di akhir tahun keempat jika modal diinvestasikan dengan bunga majemuk!
14
5.
6.
7.
8.
A.
Rp2.019.717,-
B.
Rp2.139.717,-
C.
Rp2.329.717,-
D.
Rp2.336.717,-
E.
Rp2.339.717,-
Pak Budi menabung Rp25.000.000,00 di Bank “Sukses” dengan bunga majemuk 5% per tahun. Di akhir tahun ke-5 besar bunga yang diterima oleh Pak Budi adalah …. A.
Rp6.407.039,-
B.
Rp6.607.039,-
C.
Rp6.907.039,-
D.
Rp6.908.039,-
E.
Rp6.997.039,-
Tentukan total bunga yang harus dibayarkan jika meminjam uang sebesar Rp10.000.000,00 dengan bunga majemuk 4% per semester selama 30 bulan! A.
Rp14.166.529,-
B.
Rp13.166.529,-
C.
Rp12.166.529,-
D.
Rp12.066.529,-
E.
Rp11.166.529,-
Banyak penduduk suatu kota setiap tahun meningkat sekitar 5% dari banyak penduduk tahun sebelumnya. Berdasarkan sensus penduduk pada tahun 2010, penduduk di kota tersebut sebanyak 200.000 orang. Banyak penduduk pada tahun 2014 adalah …. A.
240,101 jiwa
B.
241,101 jiwa
C.
242,101 jiwa
D.
243,101 jiwa
E.
244,101 jiwa
Pertumbuhan suatu bakteri dalam tubuh seorang anak terdeteksi meningkat 2,5% dari satu jam sebelumnya. Bila pada pukul 12:00 terdeteksi ada 60 bakteri, maka pada pukul 17:00 banyak bakteri akan sebanyak ….
15
9.
10.
A.
66 bakteri
B.
68 bakteri
C.
70 bakteri
D.
72 bakteri
E.
74 bakteri
Suatu mobil dibeli dengan harga Rp84.000.000 pada tahun 2015. Jika diasumsikan harga mobil akan turun sebesar 5% dari tahun sebelumnya. Harga mobil pada tahun 2021 diperkirakan .... A.
Rp60.747.719,-
B.
Rp61.747.719,-
C.
Rp62.747.719,-
D.
Rp63.747.719,-
E.
Rp64.747.719,-
Pada pemeriksaan kedua, dokter mendiagnosa bahwa masih ada 100.000 bakteri yang menginfeksi telinga seorang bayi. Untuk mempercepat proses penyembuhan, dokter meningkatkan dosis penisilin yang dapat membunuh 8% bakteri setiap 4 jam. Banyak bakteri setelah 20 jam adalah …. A.
72.908
B.
70.908
C.
65.908
D.
64.908
E.
63.908
16
KUNCI JAWABAN LATIHAN SOAL
1.
D
6.
C
2.
C
7.
D
3.
B
8.
B
4.
E
9.
B
5.
C
10. C
17
