MATEMATIKA BISNIS OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si
GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM
BAB 1 BARISAN DAN DERET A. BARISAN Barisan bilangan adalah susunan bilangan yang diurutkan menurut aturan tertentu.Bentuk umum barisan bilangan a1, a2, a3, …,an. Setiap unsur pada barisan bilanan disebut suku. Suku ke-n dari suatu barisan ditulis dengan simbol Un ( n merupakan bilangan asli ). Untuk suku pertama dinyatakan dengan simbol a atau U1. Berdasarkan banyaknya suku, barisan dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu : 1. Barisan berhingga, jika banyaknya suku-suku tertentu jumlahnya. 2. Barisan tak berhingga, jika banyaknya suku-suku tak berhinga jumlahnya.
1. Barisan Aritmetka. Barisan atitmetika adalah suatu barisan bilangan dimana setiap dua suku berurutan memiliki selisih yang tetap yang disebut beda ( b ). Secara umum jika suku ke-n suatu barisan arimetika adalah Un, maka berlaku : b = Un – Un – 1 Jika suku pertama dari barisan aritmetika ( U1 ) dinotasikan dengan a dan beda dinotasikan dengan b, maka suku-suku pada barisan aritmetika tersebut dapat ditulis sebagai berikut : U1 = a U2 = a + b U3 = ( a + b ) + b = a + 2b U4 = ( a + 2b ) + b = a + 3b …. Un = a + ( n – 1).b Keterangan : Un = Suku ke-n, a = Suku pertama, b = Beda
2.
Barisan Geometri
Barisan geometri adalah suatu barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dengan cara mengalikan suku didepannya dengan bilangan tetap yang disebut rasio yang dinotasikan dengan r. Jika suatu barisan geometri U 1, U2, U3, …, Un maka rasio dapat dituliskan : r = Un /Un-1 Apabila suku pertama barisan geometri dinyatakan dengan notasi a, dan rasio dinyatakan dengan notasi r, maka : U1 = a U2 = ar U3 = arr = ( ar2 ) U4 = a ( r2 ) r = ar3 … Un = arn-1 Keterangan : Un = Suku ke-n, a = Suku pertama, r = rasio
B. DERET Deret adalah barisan bilangan yang disusun urut sedemikian rupa secara teratur menurut aturan tertentu. Barisan bilangan tersebut dinamakan suku-suku dari deret tersebut. Deret kalau kita perhatikan banyaknya suku yang berjejer, dapat kita bedakan menjadi 2 (dua) 1. Deret berhingga 2. Deret tak berhingga Deret berhingga adalah deret yang sama suku-sukunya mempunyai batas atau tertentu.
Sedangkan deret tak berhingga adalah deret yang mana suku-sukunya tak terbatas atau tak tertentu. Sedangkan deret tak berhingga adalah deret yang mana suku sukunya tak terbatas atau tak tertentu. Macam-macam Deret: Deret dapat dibagi atas 3 (tiga) bagian, yaitu: 1. Deret Arithmatika 2. Deret Geometri 3. Deret Harmonis
Deret Arithmatika Deret arithmatika adalah barisan bilangan yang pengurutannya dengan menjumlahkan aturan tetap dan disusun urut menurut suku-sukunya. Bentuk umum Deret Arithmatika adalah sebagai berikut : Kalau kita perhatikan maka dapatlah kita simpulkan bahwa : 1. Deret arithmatika disebut naik, apabila jumlah suku-suku berikutnya adalah bertambah besar karena beda (b) > 0 2. Deret arithmatika disebut turun, apabila jumlah suku-suku berikutnya adalah menurun menjadi lebih kecil karena beda (b) < 0. Jumlah semua suku-suku deret arithmatika adalah dengan menjumlahkan semua suku-suku yang ada. Jumlah semua suku-sukunya, diberi notasi dengan Dn. Contoh soal 1. Deret : 10 ,8,6,4,2, ………, D10 Diketahui : a =10 b = 8-10 = -2 sehingga diperoleh : Dn = ½ . n {2a + (n-1) b}
atau Dn = ½ . n {a + Un}
D10 = ½ . 10 {2.10 + (10-1) -2} D10 = 5 {20 + (9) -2}
D10 = 5 (20-13) D10 = 5 (2) D10 = 10 Itu adalah merupakan contoh soal dalam bentuk kuantitatif, disamping ada soal kuantitatif kita juga mengenal bentuk contoh soal dalam bentuk kuantitatif. Dimana contoh soal kualitatif ini terlebih dahulu harus kita formulasikan dalam bentuk kuantitatif. Adapun bentuk contoh soal kualitatif adalah sebagai berikut : Soal : Harga sebuah barang di pasar besar terendah Rp. 6000,- Barang yang akan dibeli adalah sebanyak jumlah keluarga dari pak Sopan yaitu sepuluh orang. Diperkirakan akan mendapat perbedaan pembelian barang dengan harga Rp. 4000,- Rencana pak Sopan, pembagian barang-barang ini adalah merupakan hadiah, yang akan dibagikan berdasarkan umur masing-masing keluargannya jika yang kecil mendapat harga terendah dan yang besar mendapat harga tertinggi, berapakah yang tertua mendapatkan harga barang tersebut dan berpakah jumlah keseluruhan uang yang akan dikeluarkan pak Sopan. Diketahui : Harga Rp. 6000,- adalah harga terendah dan akan diberikan kepada yang berumur terendah, ini adalah sama dengan a (suku awal). Perbedaan harga barang adalah Rp. 4000,- ini adalah merupakan b (beda). Jumlah keluarga pak Sopan seluruhnya adalah 10 orang ini adalah n (banyak suku). Sehingga diperoleh : a = 6.000 b = 4.000 n = 10 Dengan diketahuinya a, b, dan n, maka dapat dicari pembagian yang terua dan jumlah uang yang akan dikeluarkan pak Sopan, dengan memakai bentuk rumus Un dan Dn yaitu : a. Un = a + (n-1) b
U10 = 6.000 – (10-1) 4.000 U10 = 6.000 + (9) 4.000 U10 = 6.000 + 36.000 U10 = 42.000] Jadi umurnya yang tertua akan mendapatkan barang seharga Rp. 42.000,-
b. Dn = ½ n{2a + (n-1) b} D10 = ½ 10 {2(6000) + (10-1) 4.000} D10 = 5 {12.000 + (9) 4.000} D10 = 5 {12.000 + 46.000} D10 = 5 {48.000} D10 = 240.000 Jadi jumlah uang keseluruhannya yang akan dikeluarkan pak Sopan adalah sebesar Rp. 240.000,-
Deret Geometri Deret geometri adalah barisan bilangan yang disusun urut sedemikian rupa, sehingga bilangan yang berikutnya merupakan hasil pengganda bilangan sebelumnya. Bentuk umum Deret Geometri adalah sebagai berikut : U1 = a
suku awal
U2 = a . r
suku awal dikali pengganda
U3 = a. r2
suku awal dikali pengganda pangkat 2
Un = a. rn – 1 suku ke-n adalah suku awal dikali pengganda pangkat n-1 Sehingga diperoleh suatu rumus Un = a. rn-1
dimana : Un = suku ke-n a = suku awal r = rasio n = banyak rumus,
l = konstanta
rasio atau r kita peroleh dari :
u2 u1
r=
atau
r=
un u n -1
Dari contoh soal tersebut diatas dapat disimpulkan bahwa pengganda Deret Geometri selalu bernilai positif atau lebih besar dari nol. Jumlah semua suku-suku deret geometri adalah dengan menjumlahkan semua suku-suku yang diketahui. Jumlah semua suku-sukunya diberi notasi dengan Dn.
a 1 rn Dn 1 r
; jika r < 1
atau
a rn 1 , jika r > 1 Dn r 1
Dimana : Dn = jumlah semua n suku pertama a
=
suku awal
r
=
rasio
n
=
banyak suku
l
=
konstanta
contaoh soal 1. Deret : 1, 3, 9, 27, …….., D8 = ? Diketahui : a = 1 r=
3 =3 1
3. Deret Harmonis Deret harmonis adalah deret yang kebalikan suku-sukunya membentuk sebuah deret aritmatika atau dengan kata lain deret harmonis adalah deret dimana penyebutnya
adalah
merupakan
deret
pembilangnya adalah angka konstanta satu. Bentuk umum Deret Harmonis adalah : U1 =
1 a
aritmatika,
sedangkan
sebagai
U2 =
1 ab
U3 =
1 a 2b
Un =
1 a (n 1) b
Dimana : U1 =
suku pertama
U2 =
suku kedua
U3 =
suku ketiga
Un =
suku ke-n
a
=
suku awal untuk deret aritmatika
b
=
beda untuk deret aritmatika
n
=
banyak suku
Jumlah Semua Penyebut Suku-suku Deret Harmonis Jumlah semua penyebut suku-suku deret harmonis adalah dengan menjumlahkan semua penyebut suku-sukunya. Jumlah semua penyebut suku-sukunya siberi notasi Dn. Dengan rumus: Dn =
1 1/2 n {2a (n - 1) b}
Dimana : Dn =
Jumlah n suku pertama deret harmonis
n
=
banyak suku
a
=
suku awal deret aritmatika
b
=
beda deret aritmatika
contoh soal : 1. Deret ¼, 1/7, 1/10, ……, D10 = ?
Diketahui : a = 4 b = 7-4 = 3 n = 10 Sehingga diperoleh Dn =
1 1/2 n {2a (n - 1) b}
D10 =
1 1/2(10) {2(4) - (10 - 1) 3
D10 =
1 5 {8 27}
D10 =
1 5 (35)
D10 =
1 175
Jadi jumlah penyebut suku-suku deret harmonis adalah
1 175
BAB 2 MATEMATIKA KEUANGAN
2.1 Teori Nilai Uang adalah salah satu penerapan deret ukur (Geometri) yang paling konvensional di bidang ekonomi. Pada prinsipnya teori ini adalah untuk menghitung bunga uang, baik bunga biasa, bunga majemuk maupun untuk menghitung Annuity. 2.2 Bunga Tunggal Bunga Tunggal adalah bunga yang dikeluarkan pada modal yang tiap tahunnya, biasanya bunga dihitung pada akhir tahun, yaitu per 31 Desember …… Bentuk umum nilai uang yang akan datang F = P (1 + i . n) F = nilai uang yang akan datang P = nilai uang sekarang i = tingkat bunga n = lamanya uang dibungakan (dalam tahunan) Bentuk Umum Nilai Uang sekarang dari bunga biasa adalah : P=
F 1 i.n
2.3 Bunga Majemuk Bunga majemuk adalah bunga yang dihitung pada modal yang berubahubah (bertambah) tiap tahunnya, bertambah menurut besarnya tingkat bunga yang berlaku. a. Bentuk umum Nilai Uang yang akan datang dari bunga majemuk adalah : F = P (1 + i) n Dimana F
= Nilai uang yang akan datang (future)
P
= Nilai uang sekarang (present)
i
= Tingkat bunga (interest)
n
= lamanya uang dibungakan (dalam tahunan)
l
= konstanta
Jika pembayaran bunga lebih dari satu kali dalam setahun melainkan m kali, maka nilai masa datangnya adalah:
i F P1 m Keterangan:
mn
jika bunga dibayarkan tahunan maka m = 1 jika bunga dibayarkan harian maka m = 365 jika bunga dibayarkan bulanan maka m = 12 jika bunga dibayarkan persemester maka m = 2 jika bunga dibayarkan perkuartal maka m = 4 jika bunga dibayarkan percatur wulan maka m = 3
Secara umum ada 3 metode perhitungan bunga tabungan yaitu: berdasarkan saldo terendah, saldo rata-rata dan saldo harian. Beberapa bank menerapkan jumlah hari dalam 1 tahun 365 hari, namun ada pula yang menerapkan jumlah hari bunga 360 hari. 2.4 Anuity adalah jumlah uang yang dibayarkan atau yang diterima secara berturut-turut setiap periode pembayaran atau penerimaan. Sifat-sifat Anuity : 1. Jumlah pembayarannya sama setiap periodenya (Equal Payment’s). 2. Panjangnya periode antara angsuran sama (equal periode between payments). 3. Pembayaran pada akhir periode (ending payments periods)
Bentuk umum nilai uang yang akan datang dari Anuity adalah A=F
i (l i) n - 1
Dimana A = Anuity F
= Nilai uang yang akan datang
2.4
i
= tingkat bunga
n
= lamanya angsuran
l
= konstanta
Untuk mencari nilai uang yang akan datang dari Anuity dapat juga dipergunakan rumus :
(1 i)n - 1 i
F=A
Bentuk umum nilai uang sekarang dari Anuity adalah : A=P
i (l 1)n (l i)n - 1
A = Anuity
2.5
P
= Nilai uang sekarang
i
= tingkat bunga
n
= lamanya Anuity (angsuran)
l
= konstanta
Untuk mencari nilai uang sekarang dari Anuity dapat juga dipergunakan rumus : P=A
(l i)n 1 i (l i)n
