Modul ke:
MATEMATIKA BISNIS DERET
Fakultas
Ekonomi Bisnis Program Studi
Manajemen
http://www.mercubuana.ac.id
Muhammad Kahfi, MSM
Konsep • Barisan (sequence) adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. • Deret (series) adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan. • Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan.
Sistem Bilangan Bilangan
Nyata
Irrasional
Negatif
Khayal
Rasional
Bulat
Pecahan
Nol
Positif
Sistem Deret Deret
Aritmatika
Geometri
Terhingga
Tak Terhingga
Konvergen
Divergen
Sistem Deret Deret
Aritmatika
Geometri
Terhingga
Tak Terhingga
Konvergen
Divergen
Definisi Barisan Aritmatika • Definisi Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang selisih setiap dua suku berturutan selalu merupakan bilangan tetap (konstan). • Bilangan yang tetap tersebut disebut beda dan dilambangkan dengan b. • Perhatikan juga barisan-barisan bilangan berikut ini. a. 1, 4, 7, 10, 13, ... b. 2, 8, 14, 20, ... Barisan Aritmetika c. 30, 25, 20, 15, ...
Contoh a. 1, 4, 7, 10, 13, ... +3 +3 +3
+3
Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 3. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 3 atau b =3.
b. 2, 8, 14, 20, ... +6
+6
+6
Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 6. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 6 atau b = 6.
Contoh c. 30, 25, 20, 15, ... -5
-5
-5
Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah –5. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya –5 atau b = –5. Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut. Jika Un adalah suku ke-n dari suatu barisan aritmetika maka berlaku b = Un – Un – 1. Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika dengan suku pertama (U ) dilambangkan dengan a dan beda dengan b dapat ditentukan seperti berikut:
Rumus Barisan Aritmatika U1 U2 U3 U4 U5
=a = U1 + b = a + b = U2 + b = (a + b) + b = a + 2b = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b
. . .
Un = Un-1 + b = a + (n – 1)b Jadi, rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah Keterangan: Un = a + (n – 1)b Un
= suku ke-n
a b n
= suku pertama = beda = banyak suku
Contoh 1 Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan –3, 2, 7, 12, .... Jawab: –3, 2, 7, 12, … Suku pertama adalah a = –3 dan bedanya b = 2 – (–3) = 5. Dengan menyubstitusikan a dan b, diperoleh : Un = –3 + (n – 1)5. Suku ke-8 : U8 = –3 + (8 – 1)5 = 32. Suku ke-20 : U20 = –3 + (20 – 1)5 = 92.
Contoh 2 Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40. Tentukan banyak suku barisan tersebut. Jawab: Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40. Dari barisan tersebut, diperoleh a = –2, b = 1 – (–2) = 3,dan Un = 40. Rumus suku ke-n adalah Un = a + (n – 1)b sehingga; 40 = –2 + (n – 1)3 40 = 3n – 5 3n = 45 Karena 3n = 45, diperoleh n = 15. Jadi, banyaknya suku dari barisan di atas adalah 15.
Definisi Deret Aritmatika • Definisi Deret aritmetika adalah jumlah n suku pertama barisan aritmetika. Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan dinotasikan D. • Misalkan U1, U2, U3, ..., Un
Dn = U1 + U2 + U3 + ... + Un dengan Un = a + (n – 1)b.
merupakan sukusuku dari suatu barisan aritmetika. disebut deret aritmetika,
Contoh 1 Diketahui suatu barisan aritmetika 2, 5, 8, 11, 14. Tentukan jumlah kelima suku barisan tersebut. Jawab: Jumlah kelima suku 2, 5, 8, 11, 14 dapat dituliskansebagai berikut. D5 = 2 + 5 + 8 + 11 + 14 D5 = 14 + 11 + 8 + 5 + 2 2D5 = 16 + 16 + 16 + 16 + 16 2D5 = 5 x 16 = 80 D5 = 40 Jadi, jumlah kelima suku barisan tersebut adalah 40.
Rumus Deret Aritmatika Menentukan rumus umum untuk D sebagai berikut. Diketahui rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetika adalah Dn = U1 + U2 + U3 + …+Un-2 + Un-1 + Un. Dapat dinyatakan bahwa besar setiap suku adalah b kurang dari suku berikutnya. Un-1 = Un – b Un-2 = Un-1 – b = Un – 2b Un-3 = Un-2 – b = Un – 3b Demikian seterusnya sehingga Dn dapat dituliskan Dn= a + (a + b ) + (a + 2b ) + …+ (Un-2b) + (Un-b) + Un…(1)
Rumus Deret Aritmatika Persamaan 1 dapat ditulis dengan urutan terbalik sebagai berikut: Dn= Un+ (Un – b)+(Un – 2b)+ ... +(a+2b)+(a+b)+a …(2) Jumlahkan Persamaan (1) dan (2) didapatkan Dn = a + (a + b ) + (a + 2b ) + … + (Un-2b) + (Un-b) + Un Dn = Un + (Un – b) + (Un – 2b)+ ... + (a+2b) + (a+b) + a 2Dn = (a + Un ) + (a + Un ) + (a + Un) + ... + (a + Un) + (a + Un) + (a + Un)
n suku Dengan demikian, n(a + Un ) 2Dn = Un ) Dn = (1/2) n(a + = (1/2) n(a + (a + (n – 1)b)) Dn = (1/2) n(2a
+ (n – 1)b)
Contoh 2 Carilah jumlah 100 suku pertama dari deret 2 + 4 + 6 + 8 +.... Jawab: Diketahui bahwa a = 2, b = 4 – 2 = 2, dan n = 100. Dn
1 = n (2a + (n – 1)b) 2
D100
1 = x 100 {2(2) + (100 – 1)2} 2
= 50 {4 + 198} = 50 (202) = 10.100 Jadi, jumlah 100 suku pertama dari deret tersebut adalah 10.100.
Contoh 3 Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100. Jawab: Bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 3, 6, 9, 12, ..., 99 sehingga diperoleh : a = 3, b = 3, dan Un = 99. Terlebih dahulu kita cari n sebagai berikut ; Un = a + (n – 1)b 99 = 3 + (n – 1)3 3n = 99 n = 33 1 Jumlah dari deret tersebut adalah: Dn = n (a + U ) 2 1 D33 = x 33(3 + 99) = 1.683 2 Jadi, jumlah bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 1.683
Sistem Deret Deret
Aritmatika
Geometri
Terhingga
Tak Terhingga
Konvergen
Divergen
Definisi Barisan Geometri • Definisi Barisan Geometri adalah susunan bilangan yang dibentuk menurut urutan tertentu, di mana susunan bilangan di antara dua suku yang berurutan mempunyai rasio yang tetap • Bilangan yang tetap tersebut disebut Rasio dan dilambangkan dengan r. • Jika a1 adalah suku pertama dan r adalah rasio yang tetap, maka suku ke 2 dan seterusnya adalah : a2 = a1r a3 = a2r = a1r2 a4 = a3r = a1r3
an = a1r(n-1)
Contoh Î 3, 9, 27, 81, ... x3 x3
x3
Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya dikali 3. Dapat dikatakan bahwa Rasionya 3 atau r=3 Î Carilah suku ke delapan dari barisan geometri di mana suku pertama adalah 16 dan rasionya adalah 2 Jawab: Diketahui : a1 = 16 , r = 2, n=8 Ditanyakan S8 = …? S8 = a1r8-1= a1r7 = 16(2)7 = 2048 Î Carilah suku ke-11 dalam satu barisan geometri dimana suku ke-4 adalah 24 dan suku ke-9 adalah 768 Jawab: 3072
Definisi Deret Geometri • Definisi Deret Geometri adalah jumlah n suku pertama barisan geometri. Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan dinotasikan D. • Misalkan a1, a2, a3, ..., an
merupakan sukusuku dari suatu barisan geometri.
Dn = a1 + a1r + a1r2 + a1r3 + ... + a1rn-1 disebut deret geometri
Rumus Deret Geometri Menentukan rumus umum untuk D sebagai berikut. Diketahui rumus umum suku ke-n dari barisan geometri adalah Dn = a1 + a1r + a1r2 + a1r3 + ... + a1rn-1 ... (1), Kalikan persamaan 1 dengan r, sehingga : rDn = a1r + a1r2 + a1r3 + a1r4 + ... + a1rn ... (2) Dn – rDn = a1 + a1rn Dn (1– r) = a1 + a1rn = a1 (1 – rn)
Dn = a1 (1 – rn) (1-r)
Î untuk r < 1. Tapi jika r > 1, maka : Dn = a1 (rn – 1)
Dan untuk r = 1, Dn = a1 + a1 + ... + a1
Dn = na1
(r – 1)
Contoh 1 Carilah jumlah 8 suku pertama dari deret 3 + 6 + 12 + 24 +.... Jawab: Diketahui bahwa a1 = 3, r = 6/3 = 2, dan n = 8 Dn = a1 (rn – 1) (r – 1) Maka : D8 = 3 (28 – 1) = 765 (2-1)
Terima Kasih Muhammad Kahfi, MSM
