Viera Kolbaská
matematika S l o v e n s k é
p e d a g o g i c k é
9
1. rész
az alapiskola 9. osztálya és a nyolcosztályos gimnázium 4. osztálya számára
n a k l a d a t e ľ s t v o
Slovenské pedagogické nakladateľstvo
Szerző – Autorka © RNDr. Viera Kolbaská, 2012 Szakmai tanácsadó – Odborný garant: prof. RNDr. Beloslav Riečan, DrSc. Lektorok – Lektori: PaedDr. Dagmar Andová; RNDr. Marcel Tkáč Illustrations © Bystrík Vančo, 2012 Translation © RNDr. Horváth Géza, 2013 A magyar fordítást lektorálta – Maďarský preklad lektorovala: S. Havas Éva Grafický dizajn a obálka © Ing. Urbán Zsolt
Jóváhagyta a Szlovák Köztársaság Oktatási, Tudományos, Kutatási és Sportminisztériuma 2012. október 31-én 2012-15889/49049:4-919 szám alatt mint a matematika-tankönyv elsö részét az alapiskola 9. osztálya és a nyolcosztályos gimnázium 4. osztálya számára. A jóváhagyási szám 5 évig érvényes. Első kiadás, 2013 Schválilo Ministerstvo školstva, vedy, výskumu a športu Slovenskej republiky pod č. 2012-15889/49049:4-919 zo dňa 31. októbra 2012 ako prvú časť učebnice matematiky pre 9. ročník základnej školy a 4. ročník gymnázia s osemročným štúdiom. Schvaľovacia doložka má platnosť 5 rokov. Prvé vydanie, 2013
Všetky práva vyhradené. Toto dielo ani žiadnu jeho časť nemožno reprodukovať bez súhlasu majiteľa práv.
ISBN 978-80-10-02356-1
Tartalom Bevezető .............................................................................................................................. /4 1. Hatványok, gyökök, a nagy számok írása ................................................................... /5 1.1. Négyzetre emelés, köbre emelés ........................................................................ /5 1.2. Természetes kitevőjű hatványok ........................................................................ /13 Számolás természetes kitevőjű hatványokkal (kiegészítő tananyag) ................ /19 1.3. A 10 hatványai és a mértékegységek előtagjai közti összefüggés .................... /23 1.4. A számok normálalakja ...................................................................................... /27 1.5. Műveletek nagy és kis számokkal, kerekítés és becslés ................................... /33 1.6. Négyzetgyök és köbgyök ................................................................................... /38 2. Pitagorasz tétele ........................................................................................................... /45 2.1. Pitagorasz tétele és a derékszögű háromszög .................................................. /45 2.2. Pitagorasz tételének gyakorlati alkalmazása ..................................................... /62 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása ............................................ /66 3.1. Elsőfokú egyenletek megoldása azonos átalakítások segítségével .................. /66 3.2. Egyszerű elsőfokú egyenlőtlenségek ................................................................ /75 3.3. Egyszerű egyenletek a nevezőben szereplő ismeretlennel ............................... /89 3.4. Az ismeretlen kifejezése a képletből .................................................................. /97 3.5. Elsőfokú egyenlettel vagy egyenlőtlenséggel megoldható szöveges feladatok .......................................................................... /102 4. Szimmetria a síkban ................................................................................................... /116 4.1. A tengelyes tükrözés, a szimmetriatengely. Az alakzatok tengelyes tükörképének megszerkesztése ................................ /116 4.2. A középpontos tükrözés, a tükrözés középpontja. Az alakzatok középpontos tükörképének megszerkesztése ........................... /122 Eredmények ..................................................................................................................... /128 Módszertani megjegyzések a pedagógusok részére .................................................. /142
3
Bevezető Kedves Kilencedikes! Az új kilencedikes tankönyv első részét tartod kezedben. Az a célunk, hogy ismételd át az eddig tanult tananyagot, és bővítsd ki újabb ismeretekkel, amelyekre a felvételi vizsga és egyéb vizsgák alkalmával szükséged lesz. Ezért a tankönyv megjegyzéseiben találkozhatsz különféle megoldásmódokkal, a korábbi ismeretekre és készségekre vonatkozó utalásokkal, valamint azok felhasználásával az új témakörökben. Olyan „dolgokkal” is találkozhatsz, amelyeknek egyesek szerint semmi köze sincs a matematikához. Bekerültek a tankönyvbe, mert minden mindennel összefügg. Reméljük, hogy a hagyományostól eltérő képregény-illusztrációk színesebbé teszik, közelebb hozzák korosztályodhoz a száraz matematikai szakszöveget. A matematikai feladatok megoldása fejleszti a gondolkodást. Felfrissíti az emlékezetet, és képessé tesz arra, hogy helyesen becsüljük meg a probléma megoldásának eredményét. A szövegértést is gyakorolhatod, és azt is, miképp lehet kiválasztani, csoportosítani és hasznosítani a szükséges információkat. A mindennapi életben épp erre lesz szükséged, amikor információkkal fogsz dolgozni vagy különböző tudományágakban problémákat kell majd megoldanod. Hogy épül fel ez a tankönyv? Első része négy fő fejezetből áll. Minden alfejezet • olyan szöveggel vagy feladattal kezdődik, amelynek a címe: Idézzük fel! Ennek a sárga téglalapba írt résznek az a feladata, hogy emlékeztessen rá: mit kellene tudnod a korábbi évekből (hogyan számoltál az előző évfolyamokban).
Idézzük fel!
• ezt a részt különféle feladatok követik: – a megoldott feladatok szövegét sárga téglalapban, kék sorszámmal láthatod; – ezt követi a feladatok megoldása; – a megoldatlan feladatokat (amelyek a tananyag begyakorlására szolgálnak) sárga téglalapban piros sorszámmal találod; – az igényesebb feladatokat – az igényességétől függően – a feladat sorszáma mellett álló egy vagy két csillag jelzi;
1. 1. megoldás 2. 2.*
– a számológép piktogramja azt jelzi, hogy a feladat megoldásához zsebszámológépet javasolunk, – a gondolkodtató feladatokat csak azoknak szántuk, akik különösen érdeklődnek a matematika iránt; – a projektfeladatokat rendszerint otthon kell megoldanod, nem kötelezőek, arra szolgálnak, hogy különféle (nemcsak matematikai jellegű) információkat szerezzél. • a fontos tudnivalók egy paragrafusjellel ellátott kék téglalapban olvashatók;
Gondolkodtató feladat Projektfeladat
§
• a segítség olyan információkat tartalmaz, amely segíthet a feladatok megoldásában;
Segítség
• a tudáspróba gyakorlásra és önértékelésre alkalmas feladatsort tartalmaz;
Tudáspróba
• különféle érdekességekkel is találkozhatsz a tankönyvben – ezeket a zöld mezőbe írt Tudod-e? cím jelzi;
Tudod-e…?
• az átvett tananyag összefoglalására a témakör végén található Jegyezd meg! cím utal;
Jegyezd meg!
• ha javasoljuk az internet használatát, azt a következő piktogram jelzi: • a tankönyvben többnyire két tizedesjegyre kerekített értékekkel dolgozunk. A kerekítéssel a korábbi évfolyamokban már találkoztál. Reméljük, hogy ebből a tankönyvből könnyen tudsz majd tanulni. A szerző
4
1. Hatványok, gyökök, a nagy számok írása 1.1. Négyzetre emelés, köbre emelés Idézzük fel! Ki tudjuk számítani a négyzet és a téglalap kerületét és területét, a téglatest és a kocka térfogatát és felszínét. Mi közük van a hatványokhoz? Oldd meg ezt a két feladatot, és rögtön megérted!
1. 2.
Számítsd ki az a = 6 cm oldalú négyzet területét! Számítsd ki az a = 5 cm élű kocka felszínét és térfogatát!
1. megoldás
2. megoldás
Az első feladatot egyesek így, mások pedig így oldották meg:
A második feladatot egyesek így,
a = 6 cm
mások pedig így oldották meg:
a = 5 cm a = 5 cm
a = 6 cm a = 5 cm
T terület T=a·a T = 6 cm · 6 cm T = 36 cm2
F felszín
T = a2 T = 62 cm2 T = 36 cm2
F=6·a·a F = 6 ∙ 5 cm· 5 cm F = 150 cm2
F = 6 ∙ a2 F = 6 ∙ 52 cm2 F = 150 cm2
V térfogat V=a·a·a V = 5 cm ∙ 5 cm ∙ 5 cm V = 125 cm3
V = a3 V = 53 cm3 V = 125 cm3
Milyen új ismerettel találkozhattunk itt? a · a = a2 2 Az a az a szám második hatványa. Így olvassuk: „ a a négyzeten”. Azt mondjuk, hogy az a számot négyzetre emeljük.
§
Hogy számítjuk ki egy szám négyzetét és köbét? Ugyanúgy, mint ahogy a négyzet területének vagy a kocka felszínének és térfogatának kiszámításakor láthattuk. Projektfeladat
Keress olyan képleteket, amelyek második vagy harmadik hatványt tartalmaznak! Írd le, mit számíthatunk ki velük!
Milyen új ismerettel találkozhattunk itt? a · a · a = a3 Az a3 az a szám harmadik hatványa. Így olvassuk: „a a köbön”. Azt mondjuk, hogy az a számot köbre emeljük.
5
§
Az alábbi feladatok segítségével begyakoroljuk a tanultakat.
3.
6.
Számítsd ki a négyzet területét, ha oldala: a) a = 12 cm b) b = 0,4 dm c) c = 32 mm Dolgozz a hatványt tartalmazó képlettel!
Számítsd ki a kocka térfogatát és felszínét, ha éle: a) a = 10 cm b) b = 0,8 dm c) c = 15 mm Dolgozz a hatványt tartalmazó képlettel!
3. megoldás
6. megoldás
a) T = 122 cm2 = 144 cm2
a) V = 103 cm3 = 1000 cm3 A négyzet területe 144 cm2.
12 ∙ 12 2
F = 6 ∙ 102 cm2 = 600 cm2
2
b) T = 0,4 dm = 0,16 dm 0,4 ∙ 0,4
10 ∙ 10 ∙ 10 6 ∙ 10 ∙ 10 A kocka térfogata 1000 cm3, felszíne pedig 600 cm2.
2
A négyzet területe 0,16 dm2.
c) T = 322 mm2 = 1024 mm2 A négyzet területe 1024 mm2. 32 ∙ 32
b) V = 0,83 dm3 = 0,512 dm3 F = 6 ∙ 0,82 dm2 = 3,84 dm2 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 6 ∙ 0,8 ∙ 0,8 A kocka térfogata 0,512 dm3, felszíne pedig 3,84 dm2. c) V = 153 mm3 = 3375 mm3
4.
Számítsd ki a négyzet területét, ha oldala: a) k = 11 cm b) l = 0,53 dm c) m = 302 mm Dolgozz a hatványt tartalmazó képlettel!
5.*
Az osztályban, a mosdó körül, ki kell cserélni néhány csempét egy olyan négyzet alakú területen, amelynek oldala 0,60 m hosszú. Mekkora területen kell a csempét kicserélni? Az eredményt add meg cm2-ben! Hány darab 2 dm oldalú, négyzet alakú csempére lesz szükség?
F = 6 ∙ 152 mm2 = 1350 mm2
15 ∙ 15 ∙ 15 6 ∙ 15 ∙ 15 A kocka térfogata 3375 mm3, felszíne pedig 1350 mm2.
7.
Számítsd ki a kocka térfogatát és felszínét, ha élének hossza: a) e = 9 cm b) f = 0,12 dm c) g = 25 mm Dolgozz a hatványt tartalmazó képlettel!
8.*
5. megoldás A mértékegység átalakítása: 0,60 m = 60 cm A kijavítandó terület T = 602 cm2 = 3600 cm2 A mértékegységek átváltása: 2 dm = 20 cm A csempék száma: 60 cm : 20 cm = 3; 3 ∙ 3 = 9. 3600 cm2-nyi területen kell a csempéket kicserélni, ehhez 9 csempére lesz szükség.
Medencénk szabályos négyoldalú egyenes hasáb alakú. Alapélének hossza 10 m, mélysége pedig 1,5 m. Javításakor ki kellett belőle szivattyúznunk a vizet. Hány liter vizet szivattyúztunk ki a medencéből? Hány m2 csempét kellett megrendelnünk a medence fenekének újracsempézéséhez?
8. megoldás
Tudod-e…?
h = 1,5 m = m
Az emberek már 4000 éve ismerik a csempét. Gyönyörű, csempékkel kirakott képeket találtak az ókori egyiptomi piramisokban, Babilon romjai közt és az ókori görög házakban is. A csempe Közel-Keletről származik. Egész épülethomlokzatokat is borítottak vele.
a = 10 m a = 10 m
Az alaplap négyzet alakú. Az eredményt literben kell megadnunk, ezért az élhosszúságokat dm-ben adjuk meg. A mértékegységek átalakítása: a = 10 m = 100 dm, h = m = 1,5 m = 15 dm A kiszivattyúzott vízmennyiség: V = a2 ∙ m (dm3) = 1002 ∙ 15 (dm3) = 150 000 dm3 = = 150 000 l.
Tudod-e…? A térkövezés is több mint 2500 éves múltra tekint vissza. Főleg utakat raktak ki kővel – ezek közül azok a leghíresebbek, amelyeket a rómaiak építettek… Birodalmuk területén több ezer kilométernyi utat építettek.
A medence alja négyzet alakú: T = 102 m2 = 100 m2. A medencéből 150 000 liter vizet szivattyúztunk ki, és a javításhoz 100 m2 csempére lesz szükségünk. 6
Az előző feladatokat négyzetre emeléssel vagy köbre emeléssel oldottuk meg. Lássunk most néhány olyan feladatot, melyben nem területet, felszínt vagy térfogatot számítunk ki.
9.
Számítsd ki az alábbi számok négyzetét szorzással: a) 1 , 162, 2012, 30142 b) (– 1)2, (– 16)2, (– 201)2, (– 3014)2 2
9. megoldás a) 12 = 1 ∙ 1 = 1 162 = 16 ∙ 16 = 256 2012 = 201 ∙ 201 = 40 401 30142 = 3014 ∙ 3014 = 9 084 196
b) (– 1)2 = (– 1) ∙ (– 1) = 1 (– 16)2 = (– 16) ∙ (– 16) = 256 (– 201)2 = (– 201) ∙ (– 201) = 40 401 (– 3014)2 = (– 3014) ∙ (– 3014) = 9 084 196
A 9. feladat megoldásából látható, hogy: Az ellentett számok négyzetei egyenlők: a2 = (– a)2. Az a és a – a kölcsönösen ellentett számok.
10.
11.
Számítsd ki az alábbi számok négyzetét szorzással: 2
2
2
§
Számítsd ki az alábbi számok négyzetét szorzással:
2
a) 0,1 , (– 0,1) , 3,5 , (– 3,5)
a) 212, 4,72, 0,912,
b) b) (– 45)2, (– 1,8)2,
10. megoldás a) 0,12 = 0,1 ∙ 0,1 = 0,01 (– 0,1)2 = (– 0,1) ∙ (– 0,1) = 0,01 3,52 = 3,5 ∙ 3,5 = 12,25 (– 3,5)2 = (– 3,5) ∙ (– 3,5) = 12,25
Tudod-e…? Néhány szám négyzetre emelésekor különös számokat kapunk:
b)
12 112 1112 11112
= = = =
1 121 12321 1234321
92 992 9992 99992
= = = =
81 9801 998001 99980001
Azokat a számokat, amelyek számjegyeit fordított sorrendben írva az eredeti számot kapjuk vissza, palindrom számoknak nevezzük. Školská encyklopédia matematiky, Pavlič Gregor, Príroda, 2001
Mennyi 0 1 , 0 2 , 0 3 ...? Mennyi 2 1 , 3 1 , 4 1 ...? Négyzetre emeléskor sokat segíthet az alábbi táblázat. Másold át a füzetedbe, töltsd ki, és tanuld meg fejből! A második sorba az első sorban levő számok négyzeteit írd! a a2
1
2
3
4
5 25
6
7
8
9
10
11
12
13
14
144 169
15
16
17
18
19
20 400
7
12.
Számítsd ki az alábbi számok köbét szorzással: a) 13, 123, 3503, 12003 b) (– 1)3, (– 12)3, (– 350)3, (– 1200)3
12. megoldás a) 13 = 1 ∙ 1 ∙ 1 = 1 123 = 12 ∙ 12 ∙ 12 = 1728 3503 = 350 ∙ 350 ∙ 350 = 42 875 000 12003 = 1200 ∙ 1200 ∙ 1200 = 1 728 000 000
b) (– 1)3 = (– 1) ∙ (– 1) ∙ (– 1) = – 1 (– 12)3 = (– 12) ∙ (– 12) ∙ (– 12) = – 1728 (– 350)3 = (– 350) ∙ (– 350) ∙ (– 350) = – 42 875 000 (– 1200)3 = (– 1200) ∙ (– 1200) ∙ (– 1200) = – 1 728 000 000
Mit gondolsz , van a köbre emelésnek valamilyen szabálya? Egyébként valaki azt mondta a hatványról, hogy „A hatvány olyasvalami, ami képes hatni”. Mit szólsz hozzá?
13.
Tudod-e…?
Számítsd ki az alábbi számok köbét szorzással:
A hármat bűvös számnak tartják…
3b
b)
a) 0,13 = 0,1 ∙ 0,1 ∙ 0,1 = 0,001 (– 0,1)3 = (– 0,1) ∙ (– 0,1) ∙ (– 0,1) = – 0,001 1,43 = 1,4 ∙ 1,4 ∙ 1,4 = 2,744 (– 1,4)3 = (– 1,4) ∙ (– 1,4) ∙ (– 1,4) = – 2,744
g al szö úcs, gvon rom cs sá há al, 3 agas m ld 3 o ög, 3 z ős
13. megoldás
els
am a3 áso pár dik atla leg n pr na ím gy ob szám bp é rím s szá m
a) 0,13, (– 0,1)3, 1,43, (– 1,4)3
a kémiában a lítium atomszáma 3
b)
Neked mit mond a 3-as szám?
Köbre emeléskor nagy hasznát veheted az alábbi táblázatnak. Másolt át a füzetedbe! Írd a második sorba az első sorban levő számok köbét (harmadik hatványát)! a a3
1
2
3
8
27
4
5
6
7
8
9
10
512
14.
Számítsd ki az alábbi számok köbét szorzással:
a)
113, 0,73, 1,23,
12
13
14
15
16
17
18
19
20 8000
b)
8
11
15.
17.* Számítsd ki a kifejezések értékét:
Hasonlítsd össze a <, >, = jelek segítségével az alábbi hatványokat:
a) 63, 142 2
a) 23 + (– 3)2 + (– 2)2 + 33 b) (– 5)2 + (– 1)3 – 42 – 12 c) 0,23 + (– 0,4)2 + (– 0,3)3 + 0,13 d) (– 1,2)3 – (– 1,3)2 + (– 0,5)3 – 1,012
d) 3
b) 11 , (– 5,1)
c) 3,23, (– 6,4)2
e)
e)
f)
15. megoldás A feladatot többféleképpen is megoldhatjuk. Mi úgy fogjuk megoldani, hogy kiszámítjuk a hatványok értékét, és ezeket hasonlítjuk össze. Javasolj más megoldást osztálytársaidnak! 3
2
14 = 14 ∙ 14 = 196 a) 6 = 6 ∙ 6 ∙ 6 = 216 216 > 196 63 > 142 Tehát: 63 > 142. b) 112 = 121 (– 5,1)3 = – 132,651 121 > – 132,651 112 > (– 5,1)3 Tehát: 112 > (– 5,1)3. c) 3,23 = 32,768 (– 6,4)2 = 40,96 32,768 < 40,96 3,23 < (– 6,4)2 Tehát: 3,23 < (– 6,4)2. d) >
>
Tehát:
Először a hatványozást végezzük el, majd a kapott értékeket összeadjuk vagy kivonjuk egymásból. 23 + (– 3)2 + (– 2)2 + 33
a)
=8 + 9 + 2
4 + 27 = 48 A kifejezés értéke 48.
b) (– 5) + (– 1) – 42 – 12 =
3
= 25 + (– 1) – 16 – 1 = = 25 – 18 =7 A kifejezés értéke 7. 3 2 3 c) 0,2 + (– 0,4) + (– 0,3) + 0,13 = = 0,008 + 0,16 + (– 0,027) + 0,001 = = 0,008 + 0,16 – 0,027 + 0,001 = = 0,008 + 0,16 + 0,001 – 0,027 = = 0,169 – 0,027 = 0,142 A kifejezés értéke 0,142.
.
Elevenítsük fel a törtek összehasonlítását! Az egyenlő nevezőjű törteket a számlálójuk alapján hasonlítjuk össze: Összehasonlítás:
17. megoldás
d) (– 1,2)3 – (– 1,3)2 + (– 0,5)3 – 1,012 =
.
= – 1,728 – 1,69 + (– 0,125) – 1,020 1 = = – 1,728 – 1,69 – 0,125 – 1,020 1 = = – 4,563 1 A kifejezés értéke – 4,563 1.
A különböző nevezőjű törteket először közös nevezőre hozzuk, majd a számlálójuk alapján hasonlítjuk össze.
e) A közös nevező a 3, 6, 12 legkisebb közös többszöröse, tehát 12. Ezért
és
A törteket közös nevezőre hozzuk, majd összeadjuk.
.
A kifejezés értéke Innen:
, vagyis
.
.
=
f) e)
negatív tört pozitív tört
Mivel bármely pozitív szám nagyobb bármely negatív számnál, ezért:
A vegyes számokat törtekre alakítjuk, majd hatványozzuk:
=
=
A törteket közös nevezőre hozzuk, majd kivonjuk egymásból: =
16.
Hasonlítsd össze a <, >, = jelek segítségével az alábbi hatványokat:
a) 0,33; 0,092
c) 5,13; (– 7,1)2
b) 172, (– 21)3
d)
Az áltörtet vegyes számra alakítjuk: – 2733 : 200 = – 13 m. 133 A kifejezés értéke 9
.
Gondolkodtató feladat
A hatványról tanultakból és az előző feladatok eredményeiből kiindulva fogalmazz meg egy összefüggést az alábbi hatványműveletekről:
– (– 4)2, – (+ 4)2, – (– 4)3, – (+ 4)3
18.* Számítsd ki az alábbi kifejezések értékét:
Projektfeladat
Mennyi a nulla négyzete és köbe? Ki állapította ezt meg először a műveiben?
a) 33 + (– 2)2 + (– 3)2 + 23 b) (– 1)2 + (– 1)3 – 12 + 13 c) 0,43 + (– 0,2)2 + (– 0,4)3 + 0,22
Tudod-e…? Az ókori rómaiak a nullát nullae-nek, azaz semminek nevezték.
d)
19.
Másold a füzetedbe a táblázatokat, és számítsd ki az adott számok négyzetét és köbét! a
a) –4
–3
–2
2
3
4
a2 a3
a2 a3
a
b) – 0,4
– 0,3
– 0,2
a
c)
0,2
0,3
0,4
2
a a3
20.
a) A táblázatban levő számok közül írd ki azokat, amelyeket már ismered mint valamilyen racionális szám négyzetét! 144 0,25
b) A táblázatban levő számok közül írd ki azokat, amelyeket már ismered mint valamilyen racionális szám köbét!
72 1000
64 –1
6400
0,9
0 100
0,125
0,27
21.** Számítsd ki a táblázatban feltüntetett kifejezések értékét! 21. a
a2 + 2 · a
a3 + 3 · a
a3 – a2
a3 + a2
3 –2
22.** 22. a)
Írj a ♪ és a ? helyébe olyan számokat, hogy igaz legyen az egyenlőség! ♪
= 0,25
= (? : 0,25)2
b)
10
c) –(– 2)3 = (?)3
d)
♪
=
Tudáspróba Minden feladatban csak egy helyes választ találsz. Ha bekarikázod a helyes válasz betűjelét, akkor ezeket összeolvasva megkapod az alábbi mondás hiányzó szavait: „…. BARÁTSÁG LÉTEZIK.” 1. A –9 négyzete: O – 81 2. A –4 köbe: N – 12 3. A (– 5)2 hatvány értéke: A 25 4. A (– 6)3 hatvány értéke: U – 18
C 81
R 18
S – 18
O 64
P 16
S – 64
B 10
C – 25
D – 10
K – 216
Z 18
X 216
Á
E
Í
Ó
I
G
K
L
G 0,009
H 0,000 6
C 0,001 6
I 0,64
5.
6.
7. A (– 0,03)2 hatvány értéke: Y 0,000 9 F 0,09 2 8. A 0,8 hatvány értéke: A 0,006 4 B 0,16 9. Az
M 10. A
és a (– 0,8)3 hatványokra igaz, hogy: < (– 0,8)3
> (– 0,8)3
G
A
= (– 0,8)3
P
A
< 2,73
P
(– 0,8)3
és a 2,73 hatványokra igaz, hogy: > 2,73
M
11. A –10 négyzete: T – 20
Tudod-e…?
≥ 2,73
N
M – 100
G 20
Z 100
2
Vannak érdekes összecsengések. Például: 41 = 1681.
1681-ben tartották a soproni országgyűlést, ahol a protestáns hívők több engedményt is kaptak, melyeket a késmárki Thököly gróf harcolt ki számukra. Ezek alapján a garamszegiek (Hronsek) is felépíthették a templomukat. A templomot a város falain kívül kellett felépíteni, és:
1. csak faanyagból épülhetett, 2. vasszegek felhasználása nélkül, 3. főbejárata nem nézhetett a falu vagy a város felé, 4. nem lehetett tornya, 5. egy év alatt el kellett készülnie. Győződj meg az információk valódiságáról, és próbálj meg néhány hatványhoz hozzárendelni egy történelmi eseményt!
11
= 2,73
Jegyezd meg! Négyzetre emelés
Köbre emelés
Két egyenlő tényező szorzatát az adott szám négyzetének (második hatványának) nevezzük. Például: 62 = 6 ∙ 6 = 36
Három egyenlő tényező szorzatát az adott szám köbének (harmadik hatványának) nevezzük. Például: 63 = 6 ∙ 6 ∙ 6 = 216
0,82 = 0,8 ∙ 0,8 = 0,64
0,83 = 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 = 0,512
Bármely pozitív és bármely negatív szám négyzete pozitív szám. Például: 32 = 3 ∙ 3 = 9 (– 3)2 = (– 3) ∙ (– 3) = 9
Bármely pozitív szám köbe pozitív szám. Például: 33 = 3 ∙ 3 ∙ 3 = 27 Bármely negatív szám köbe negatív szám. Például: (– 3)3 = (– 3) ∙ (– 3) ∙ (– 3) = – 27
Általában: (– a)2 = a2
Általában: (– a)3 = – a3, ha a ≠ 0
a és – a kölcsönösen ellentett számok
További összefüggések: 03 = 0 13 = 1, (– 1)3 = – 1
További összefüggések: 02 = 0 12 = 1, (– 1)2 = 1
12
1.2. Természetes kitevőjű hatványok Idézzük fel! Ismerjük a négyzetre emelést és a köbre emelést: a2 = a · a Így számítottuk ki: a=2 22 = 2 · 2 a = –2 (– 2)2 = (– 2) · (– 2)
a3 = a · a · a 23 = 2 · 2 · 2 (– 2)3 = (– 2) · (– 2) · (– 2)
Mi az a, és mit mondhatunk a 2, 3 számokról? Gondolkodj el rajta!
Egyszer egy bölcs azt kérte az uralkodójától, hogy szolgálataiért egy sakktábla első mezőjére mindössze két pénzérmét tegyen, és minden következőre kétszer annyit, mint az előzőre. Az uralkodó megállapította, hogy ezt a jutalmat nem képes kifizetni, pedig a legkisebb pénzérmékről volt szó. Mintha ma egycentesekből indulnánk ki. Figyeljük meg, hogy miképp alakulna a jutalom mennyisége, ha a tábla első mezőjére 2 egycentest tennénk: Látható, hogy már a nyolcadik mezőre is hatalmas pénzmennyiségnek kellene kerülnie. 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 256 A természetes kitevőjű hatványok fogalmának bevezetését az tette indokolttá, hogy az egyenlő tényezők szorzatát egyszerűbben le lehessen írni. A sakktáblán keletkező szorzatokat így lehet egyszerűbben leírni: 2 = 21 2 · 2 = 22 2 · 2 · 2 = 23 2 · 2 · 2 · 2 = 24 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 26 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 27 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 28 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 29 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 210
A 2 ezekben a hatványokban a hatvány alapja. Az 1, 2, 3, …, 10 számokat hatványkitevőnek (exponensnek) nevezzük. Így olvassuk: 25 ... kettő az ötödiken 27 ... kettő a hetediken 1 210... kettő a tizediken és a 2 kettő az elsőn De két kitevőt a magyar nyelvben különlegesen olvasunk: 22 ... kettő a négyzeten 23 ... kettő a köbön Ha megfigyeljük a 2-es tényezőkből álló szorzatokat, megállapíthatjuk, hogy mi a kitevő jelentése.
1.
Írd fel a következő szorzatokat hatványalakban! 3·3·3·3 4·4·4·4·4 5·5·5·5·5·5·5
7·7·7·7·7·7·7·7·7 2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·2 1·1·1·1·1·1·1·1·1·1·1·1·1·1·1·1
1. megoldás 3·3·3·3
4·4·4·4·4
Ez 4 hármas. Így írjuk le: 34. Így olvassuk: három a negyediken.
Ez 5 négyes. Így írjuk le: 45. Így olvassuk: négy az ötödiken.
7·7·7·7·7·7·7·7·7
2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·2
Ez 9 hetes. Így írjuk le: 79. Így olvassuk: hét a kilencediken.
5·5·5·5·5·5·5 Ez 7 ötös. Így írjuk le: 57. Így olvassuk: öt a hetediken.
1·1·1·1·1·1·1·1·1·1·1·1·1·1·1·1
Ez 11 kettes. Így írjuk le: 211. Így olvassuk: kettő a tizenegyediken.
Ez 16 egyes. Így írjuk le: 116. Így olvassuk: egy a tizenhatodikon. 13
2.
Írd fel a következő szorzatokat hatványalakban! Hogy olvassuk ezeket a hatványokat?
a) 0,3 · 0,3 · 0,3 b) (– 1,4) · (– 1,4) · (– 1,4) · (– 1,4) · (– 1,4) c)
53
d)
5·5·5·5
e) 0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0
2. megoldás a) 0,33 b) (– 1,4)5
Így olvassuk: 0,3 a harmadikon. Így olvassuk: –1,4 az ötödiken.
c)
Így olvassuk: egy ketted a kilencediken.
d)
Így olvassuk:
e) 06
Így olvassuk: nulla a hatodikon.
a hetediken.
Helyes ez? Segíts
ég
Az n te rm n ∈ N a észetes szám , amit lakban íru olvassu k: n ele nk és így me számok halmaz a természete s ának. Termés ze 1, 2, 3, tes számok: 4, 5…
A természetes kitevőjű hatvány egy olyan an kifejezés, amelyben az a tetszőleges valós szám a hatvány alapja, az n tetszőleges természetes szám pedig a hatvány kitevője. Így olvassuk: „a az n-ediken”.
§
A hatványok értékét többnyire zsebszámológéppel vagy táblázat segítségével állapítjuk meg.
3.
Írd fel a következő szorzatokat hatványalakban! Hogy olvassuk ezeket a hatványokat?
a) 15 · 15 · 15 · 15
c)
b) (– 0,7) · (– 0,7) · (– 0,7) · (– 0,7) · (– 0,7)
d)
4.
Másold a táblázatot a füzetedbe, majd a szorzatokat írd fel hatványalakban, és számítsd ki az értéküket!
szorzat
hatvány
6·6·6·6·6
hatványérték
4. megoldás hatvány 6
(– 0,4) · (– 0,4) · (– 0,4)
5
hatványérték 7776
3
– 0,064
6
(– 0,4)
(– 10) · (– 10) · (– 10) · (– 10) · (– 10) · (– 10)
(– 10)
1 000 000
(– 1) · (– 1) · (– 1) · (– 1) · (– 1) · (– 1) · (– 1)
(– 1)7
–1
14
5.
Másold a táblázatot a füzetedbe, majd a szorzatokat írd fel hatványalakban, és számítsd ki az értéküket!
szorzat
hatvány hatványérték
(– 2) · (– 2) · (– 2) · (– 2) 0,3 · 0,3 · 0,3 · 0,3 · 0,3
8
8
2
(– 2)
(– 100) · (– 100) · (– 100)
(– 1) · (– 1) · (– 1) · (– 1) · (– 1) · (– 1) (– 1,2) · (– 1,2) · (– 1,2)
.
6.
.
.
.
Helyes ez?
.
Másold a táblázatot a füzetedbe, majd a hatványalakban írt számot írd fel szorzatként, és számítsd ki a hatvány értékét!
6. megoldás a)
a) hatvány 2
szorzat
hatványérték
8
0,54
b)
hatványérték 256
0,5 ∙ 0,5 ∙ 0,5 ∙ 0,5
0,062 5
b)
hatvány
szorzat
hatványérték
8
(– 2)
szorzat hatványérték (–2)∙(–2)∙(–2)∙(–2)∙(–2)∙(–2)∙(–2)∙(–2) 256 (– 0,5) ∙ (– 0,5) ∙ (– 0,5) ∙ (– 0,5)
(– 0,5)4
.
7.
szorzat 2∙2∙2∙2∙2∙2∙2∙2
Másold a táblázatot a füzetedbe, majd a hatványalakban írt számot írd fel szorzatként, és számítsd ki a hatvány értékét!
a)
.
.
.
0,062 5
.
7. megoldás a)
hatvány 37
szorzat
hatványérték
1,23
b) hatvány (– 3)7 (– 1,2)3
szorzat 3∙3∙3∙3∙3∙3∙3
hatványérték 2 187
1,2 ∙ 1,2 ∙ 1,2
1,728
b) szorzat
hatványérték
szorzat hatványérték (–3) ∙ (–3) ∙ (–3) ∙ (–3) ∙ (–3) ∙ (–3) ∙ (–3) – 2187 (– 1,2) ∙ (– 1,2 ) ∙ (– 1,2)
15
– 1,728
Mit mondhatunk a pozitív és a negatív számok hatványairól? Tudjuk, hogy: Két ellentett szám páros kitevőjű hatványa egyenlő.
(– 2)4 = 24 (– 3)5 = – 35 (– a)2k = a2k, ahol a 2k páros számot jelent, ha k ∈ N, a > 0.
A pozitív és a negatív számok páros kitevőjű hatványa mindig pozitív szám.
(– a)2k – 1 = – a 2k – 1, ahol a 2k – 1 páratlan számot jelent, ha k ∈ N, a > 0.
A negatív szám páratlan kitevőjű hatványa negatív szám.
Tudod-e…?
Tudod-e…?
Mezopotámiában már a Kr. e. 3. évezredben sok feladatot táblázattal oldottak meg. Táblázataik a számok második és harmadik hatványait is tartalmazták.
Egy felnőtt ember agyának (latinul encephalon) a tömege körülbelül 10 1400 gramm. Körülbelül 1,2 . 10 10 . neuronból és 5 10 támasztósejtből áll. Az agy az egész testünk működését irányítja, és egyetlen számítógép sem veheti fel vele a versenyt.
Dejiny prírodných vied, Jaroslav Folta és Luboš Nový, Smena,1981
8.
Írd le, hogy pozitív vagy negatív eredményt kapunk-e a hatványozás után!
a) (– 15)2
c) (– 0,03)14
e)
g)* (3,5 – 7,8)5
b) (– 6)11
d) (– 0,27)9
f)
h)*
8. megoldás a) (– 15)2
A kitevő páros szám (2), ezért a hatvány értéke pozitív.
(– 15)2 > 0
b) (– 6)11
A kitevő páratlan szám (11), az alap negatív (–6), tehát a havány értéke negatív.
(– 6)11 < 0
c) (– 0,03)14
A kitevő páros szám (14), tehát a hatvány értéke pozitív.
(– 0,03)14 > 0
d) (– 0,27)9
A kitevő páratlan (9), a hatvány alapja pedig negatív szám (–0,27), ezért a hatvány értéke negatív.
(– 0,27)9 < 0
e)
A kitevő páratlan (3), a hatvány alapja pedig negatív szám ezért a hatvány értéke negatív.
f)
A kitevő páratlan (17), a hatvány alapja pedig negatív szám ezért a hatvány értéke negatív.
,
<0
,
g)* (3,5 – 7,8)5
Kiszámítjuk a zárójelben levő különbség értékét: 3,5 – 7,8 = – 4,3. Ebből (3,5 – 7,8)5 = (– 4,3)5. A kitevő páratlan (5), a hatvány alapja pedig negatív szám (– 4,3), tehát a hatvány értéke negatív.
h)*
A kitevő páros szám (8), tehát a hatvány értéke pozitív.
16
<0
(3,5 – 7,8)5 < 0
>0
§ § §
9.
Írd a számok közé a <, > jelek közül a megfelelőt!
a) 2,73
... 0
c)
... 0
b) (– 0,6)4 ... 0
d)
... 0
Tudod-e…? A 20. század ötvenes éveiben a Kassa (Košice) melletti Bárca (Barca) községben, amely ma már a város része, olyan számolókockákat találtak, amelyek állítólag a Kr. e. 14. századból származnak. Keress az interneten információkat a számolókockákról!
A Zichy-család kastélya Bárcán. Fotó: Tizo1
10.
Írd a számok közé a <, >, = jelek közül a megfelelőt!
a) 34 ... (– 3)4
c)
b) (– 1,9)15 ... – 1,915
d)
11.
...
...
Számítsd ki a hatványkifejezéseket tartalmazó műveleteket!
a) (– 6)3 + (– 4)2
c)
14. a) Az alábbi feladatok eredményei az 1, – 64, 32, 64, – 32, – 1 számok közül kerülnek ki:
45 : (– 2)4 = b) (– 0,03)2 + (– 0,1)4
12.
d)
Számítsd ki a hatványkifejezéseket tartalmazó műveleteket!
a) (– 2)5 – (– 3)2
c)
(– 3)4 : (– 9)2 =
Párosítsd össze az eredményeket a feladatokkal! = és a (– 0,75 + 0,25)3 =
b) A
feladatok eredményeit az alábbi hatványok között találod: 0,253
b) (– 0,01)2 – (– 0,1)4
83 : (– 4)2 =
0,53
(– 0,5)3
(– 0,25)3
d) Párosítsd össze az eredményeket a feladatokkal!
13.
Számítsd ki a hatványkifejezéseket tartalmazó műveleteket, majd rendezd az eredményeket növekvő sorrendbe!
(– 2)4 · (– 3)3
c) A
törtek mindegyike az
alábbi feladatok valamelyikének eredménye: =
(– 0,02)2 · (– 0,1)4
2
(– 1) –
=
– 14 =
Párosítsd össze az eredményeket a feladatokkal!
Gondolkodtató feladat
Alkoss néhány feladatot az alábbi hatványok felhasználásával!
(– 1)2, (– 2)4, (– 3)3, (– 4)2
Számítsátok ki közösen ezeket a feladatokat!
17
Tudáspróba Minden feladatban csak egy helyes választ találsz. 1. A – 8 negyedik hatványa:
B negatív szám
C0
D – 84
B negatív szám
C0
D 75
B1
C –6
D6
A 1024
B – 20
C 20
D – 1024
A
B
C
D 64
A
B
C
D
A pozitív szám 2. A – 7 ötödik hatványa:
A pozitív szám 3. A (– 1)6 hatvány értéke:
A –1 4. A (– 4)5 hatvány értéke:
5.
6.
7. Az adott hatványok értékei közül melyik a legnagyobb?
A (– 1)5
B (– 2)3
C 14
D 22
C 0,052
D (– 0,01)6
8. Az adott hatványok értékei közül melyik a legkisebb?
A (– 0,2)5 9. A
A 10. A
A
B 0,31
és a (– 0,5)7 hatványokról elmondható:
< (– 0,5)7
> (– 0,5)7
B
C
= (– 0,5)7
C
= 1,34
és a 1,34 hatványokról elmondható:
< 1,34
> 1,34
B
Jegyezd meg! A természetes kitevőjű an hatvány n darab a tényező szorzata. Például: a4 = a ∙ a ∙ a ∙ a 4-tényezős szorzat a5 = a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a 5-tényezős szorzat a a hatvány alapja Az a egy tetszőleges valós szám, amit a kívánt hatványra emelünk. n a hatványkitevő (exponens) Az n természetes szám (1, 2, 3, 4, 5...). Az n azt mutatja, hogy hány egyenlő tényezőt kell összeszoroznunk. Ha a kitevő páros, akkor (– a)2k = a2k, ahol k ∈ N, a > 0. Ha a kitevő páratlan, akkor (– a)2k – 1 = – a 2k – 1, ahol k ∈ N, a > 0. További összefüggések: 1n = 1, 0n = 0 (n ∈ N ). 18
Számolás természetes kitevőjű hatványokkal Ha tudjuk, mi a természetes kitevőjű hatvány, nem árt, ha számolni is tudunk vele.
Összeadhatók? Kivonhatók egymásból? Összeszorozhatók? Eloszthatók egymással?
Idézzük fel! 15. Számítsd ki a következő kifejezés értékét:
39
31
3
33
2
7
35
2
4
3
37
2
1
8
7
1
9
6
8
3
15. megoldás Így számolunk: Először kiszámítjuk szorzással az összes hatvány értékét:
Majd összeadjuk az eredményeket:
2
(– 4) = (– 4) · (– 4) = 16
(– 2)4 = (– 2) · (– 2) · (– 2) · (– 2) = 16
A kifejezés értéke De így is számolhatunk: Hasznosítjuk a negatív számok páros és páratlan p kitevőjű j hatványairól y tanultakat. (– 4)2
– (– 2)4 –
=
Más megoldás is létezik. Biztosan magadtól is rájössz , ha áttanulmányozod ezt a fejezetet .
Ezt követően ugyanúgy adhatjuk össze a kapott értékeket, mint az előző módszernél:
16.
Ha a 15. feladat nehéznek tűnt, számítsd ki az alábbi kifejezés értékét!
16. megoldás Kiszámítjuk a hatványok értékét, megszorozzuk a törteket, egyszerűsítünk, majd összeadjuk a szorzatokat. 43 = 4 ∙ 4 ∙ 4 = 64 (– 9)2 = (– 9) ∙ (– 9) = 81 • •
A törteket a szorzás elvégzése előtt is egyszerűsíthetjük. Oldd meg a feladatot a törtek egyszerűsítésével!
A kifejezés értéke 86. 19
.
17.
Számítsd ki a
kifejezés értékét!
17. megoldás Ezt a feladatot is úgy oldjuk meg, hogy először elvégezzük a hatványozást. 53 = 5 ∙ 5 ∙ 5 = 125 Aztán elvégezzük a szorzást, majd az összeadást. = 250 + 500 = 750 Más módon is megoldhatjuk a feladatot. Figyeld meg, hogyan! 2 · 53 + 4 · 53 = (2 + 4) · 53 = 6 · 53 = 6 · 125 = 750 A kifejezés értéke 750.
Az egyenlő alapú és kitevőjű hatványokat össze lehet adni és ki lehet vonni egymásból.
Algebrai hatványok összeadása 18.
Add össze az alábbi hatványokat! c) 0,5 · y9 + 1,5 · x2 + 2,5 · y9 + 3,5 · x2
a)
b) 2 · x2 + 3 · x3 + 4 · x2 + x3
Az egyenlő alapú és kitevőjű hatványokat összeadjuk.
d)
18. megoldás Összeadjuk az egyenlő alapú és kitevőjű hatványok előtt álló számokat.
2 · b2 + 5 · b2 = (2 + 5) · b2 = 7 · b2
a) b) 2 · x2 + 3 · x3 + 4 · x2 + x3 = 2 · x2 + 4 · x2 + 3 · x3 + x3 = = (2 + 4) · x2 + (3 + 1) · x3 = 6 · x2 + 4 · x3 c) = (0,5 + 2,5) · y9 + (1,5 + 3,5) · x2 = 3 · y9 + 5 · x2 A törteket külön is összeadhatjuk.
=
d)
Kiemeljük, majd összeadjuk az egyenlő alapú és kitevőjű hatványok előtt álló számokat.
=
=
Hatványok kivonása 19. Vond ki egymásból az alábbi hatványokat! a) 5 · 34 – 2 · 34 3
b) 2 · a – 5 · a
3
Az egyenlő alapú és kitevőjű hatványokat kivonhatjuk egymásból.
c) 10,8 · y9 – 1,2 · y9 2
7
2
7
d) 6 · x – 0,8 · x – 4 · x – 0,2 · x
4 · 32 – 2 · 32 = 32 + 32 + 32 + 32 – 32– 32 = = 32 + 32 = 2 · 32 4 · 32 – 2 · 32 = (4 – 2) · 32 = 2 · 32
19. megoldás Az egyenlő alapú és kitevőjű hatványok előtt álló számokat kivonjuk egymásból. a) 5 · 34 – 2 · 34 = (5 – 2) · 34 = 3 · 34 = 35 b) 2 · a3 – 5 · a3 = (2 – 5) · a3 = – 3 · a3 c) 10,8 · y9 – 1,2 · y9 = (10,8 – 1,2) · y9 = 9,6 · y9 d) 6 · x2– 0,8 · x7 – 4 · x2 – 0,2 · x7 = = (6 – 4) · x2 + (– 0,8 – 0,2) · x7 = 2 · x2 + (– 1) · x7 = = 2 · x2 – x7 20
Kiemeljük, majd kivonjuk egymásból az egyenlő alapú és kitevőjű hatványok előtt álló számokat.
§
Hatványok szorzása 20.
Szorozd össze az alábbi hatványokat! a) 42 · 41 c) (2 · x9) · (4 · x6) b) a7 · a4
d)
20. megoldás A közös alapot leírjuk, a kitevőket pedig összeadjuk. a) 42 · 41 = 42 + 1 = 43 b) a7 · a4 = a7 + 4 = a11 c) (2 · x9) · (4 · x6) = (2 · 4) · x9 + 6 = 8 · x15 =
d)
A törtek szorzásánál az ún. keresztszabályt alkalmaztuk.
Az egyenlő alapú hatványokat összeszorozhatjuk. 32 · 33 = (3 · 3) · (3 · 3 · 3) = 243 = 35 a3 · a4 = (a · a · a) · (a · a · a · a) = a7 (5 · b2) · (3 · b4) = (5 · 3) · b2 · b4 = = 15 · (b · b) · (b · b · b · b) = 15 · b6 Az egyenlő alapú hatványok szorzásakor a kitevőket összeadjuk: ar · as = ar + s Ha a hatványokat más számokkal is szorozzuk, akkor azokat külön szorozzuk össze.
Hatványok osztása 21.
Oszd el az alábbi hatványokat! a) 53 : 51 c) (12 · x9) : (4 · x6) b) a8 : a5
Az egyenlő alapú hatványokat eloszthatjuk egymással. 35 : 33 = 243 : 27 = 9 = 32
d)
21. megoldás A közös alapot leírjuk, a kitevőket pedig kivonjuk egymásból. a) 53 : 51 = 53 – 1 = 52 b) a8 : a5 = a8 – 5 = a3 c) (12 · x9) : (4 · x6) = (12 : 4) · x9 – 6 = 3 · x3 =
d) =
. y5 – 3 =
A vegyes számot törtre alakítottuk, majd elosztottuk egymással. Ez azt jelenti, hogy az első törtet megszoroztuk a második tört reciprok (fordított) értékével.
(24 · b6) : (6 · b4) =
= = 4 · b2
Az egyenlő alapú hatványok osztásakor a kitevőket kivonjuk egymásból: ar : as = ar – s Ha a hatványok előtt más számok is állnak, azokat külön elosztjuk egymással.
Hatványok hatványozása 22.
Hatványokat hatványozhatunk.
Hatványozd az alábbi hatványokat! a) (72)3 c) (3 · b3)4 b) (a5)3
d)
22. megoldás Az alapot leírjuk, a kitevőket pedig összeszorozzuk. a) (72)3 = 72 · 3 = 76 b) (a5)3 = a5 · 3 = a15 c) (3 · b3)4 = 34 · b3 · 4 = 34 · b12 d)
=
· x3 · 4 · y2 · 4 =
(33)2 = (27)2 = 729 = 36 (a4)3 = a4 · a4 · a4 = a4 + 4 + 4 = . . = a3 4 = a4 3 = a12 3 2 (2 · a ) = (2 · a3) · (2 · a3) = . . = (2 · 2) · a3 + 3 = 4 · a2 3 = 4 · a3 2= 4 · a6 Hatvány hatványozásakor a kitevőket összeszorozzuk: . (ar )s = ar s
· x12 · y8 21
Vegyes műveletek hatványokkal 23.* Hozd a hatványokat közös alapra, majd számítsd ki! a) 73 · 49 b) 56 : 125
c) 34 · 96 d) 210 : 162
Egy bö lcs Nem m egyszer ezt Ezért indenki lát, mondta: aki n figye a mag lmesen olvas éz. y segíts d égedre arázatokat, el lehetne ka megold ásakor feladatok !
Segí
tség
16 = 4 . 16 = 2 . 4 = 4 2 2 .2 . 2=
24
Melyik tananyag jut eszedbe a hatványokról? … Ez az algebrai kifejezésekről szóló tananyag.
24.
Hozd egyszerűbb alakra az alábbi kifejezéseket! a) (– 5a2 + 2a3) · (– 3a2) b) (– 15b2 + 6b4) : (– 3b2)
Segíts
ég
A disztr ibutív tö rvény: (a + b) ·c=a· c +b·c (a + b) :c= + ;c≠0
24. megoldás A műveletek disztributív tulajdonságát és a hatványokról tanultakat alkalmazzuk: a) (– 5a2 + 2a3) · (– 3a2) = (– 5a2) · (– 3a2) + (2a3) · (– 3a2) = = 15a4 – 6a5 b) (– 15b2 + 6b4) : (– 3b2) = (– 15b2) : (– 3b2) + (6b4) : (– 3b2) = = 5 – 2b2
Megegyezés
Az algebrai kifejezésekben a 3 ∙ x szorzatot 3x alakban írjuk. Ugyanígy: – 3 ∙ a2 = – 3a2
25.**
Hozd egyszerűbb alakra! a) (– 3a + 4a2) · (– 2a4) + (3a + 2a4) · a3 b) (0,5b6 + 0,5b) · b2 – b3 · (0,4b5 + 0,2b4) c) (25c5 + 5c4) : (– 5c3) + (9c2 + 3c4) : (3c2) d) (1,5d 7 + 2,5d 5) : (0,5d 4) – (0,4d 5 – 0,2d 3) : d 3 e) (2e4)3 3
f)
Jegyezd meg! Egyenlő alapú és kitevőjű hatványokat úgy adunk össze vagy vonunk ki egymásból, hogy összeadjuk vagy kivonjuk az egyenlő alapú és kitevőjű hatványok előtt álló számokat. Például: 3x4 + 10x4 = 13x4 5,8y2 – 3,5y2 = 2,3y2 Az egyenlő alapú hatványokat úgy szorozzuk össze, hogy a közös alapot a kitevők összegére emeljük. ar · as = ar + s, az r, s kitevők természetes számok, például: x2 . x5 = x7 Az egyenlő alapú hatványokat úgy osztjuk el egymással, hogy a közös alapot a kitevők különbségére emeljük. ar : as = ar – s, az r, s kitevők természetes számok és az a ≠ 0, például: y5 : y3 = y2, y ≠ 0 Hatványok hatványozásakor az alapot a kitevők szorzatára emeljük. . (ar )s = ar s, az r, s kitevők természetes számok, például: (z5)2 = z10
22
1.3. A 10 hatványai és a mértékegységek előtagjai közti összefüggés Sokszor emlegetjük a hatványokat. Vajon miért? Hatványokra szükség van a síkidomok területének, a kocka felszínének, térfogatának kiszámításához, de a henger és a kúp felszínének és térfogatának kiszámításához is. És ez még csak a matematika. Hol van még a többi tudományág? A fizika, a kémia, a biológia? Állapítsd meg, hol fordulnak elő még hatványok! Ez a következő projektfeladatod. Külön fejezetet érdemelnek a 10 hatványai. Még mielőtt mást is mondanánk róluk, felidézünk néhány olyan feladatot, amelyekben hatványokkal kellett számolni.
Tudod-e…? A számok helyiértékes írását először az ókori egyiptomiak alkalmazták. A 10-et a sarokcsont alakjával, a 100-at egy felemelt kötéllel, az 1000-et lótuszvirággal, a 10 000-et fölemelt ujjal, a 100 000-et békával szemléltették. Školská encyklopédia matematiky, Príroda, 2001
Idézzük fel! 1. Írd fel a 243; 3725; 2,136; 10,59 számok tízes számrendszerbeli kif fejtéssét!! kifejtését! 1. megoldás Eddig így írtuk le: 243 = 2 ∙ 100 + 4 ∙ 10 + 3 ∙ 1 3725 = 3 ∙ 1000 + 7 ∙ 100 + 2 ∙ 10 + 5 ∙ 1
Most hatványok segítségével fogjuk leírni, tehát így: 243 = 2 ∙ 102 + 4 ∙ 101 + 3 ∙ 100 3725 = 3 ∙ 103 + 7 ∙ 102 + 2 ∙ 101 + 5 ∙ 100
2,136 = 2 ∙ 1 + 1 ∙
2,136 = 2 ∙ 100 + 1 ∙ 10– 1 + 3 ∙ 10– 2 + 6 ∙ 10– 3
+3∙
+6∙
10,59 = 1 ∙ 10 + 0 ∙ 1 + 5 ∙ 0,1 + 9 ∙ 0,01
10,59 = 1 ∙ 101 + 0 ∙ 100 + 5 ∙ 10– 1 + 9 ∙ 10– 2
Nem beszéltünk még a 0 kitevőről.
Nem beszéltünk a 10 negatív kitevőjű hatványairól.
Miért 1 a 0 kitevőjű hatványok értéke? Végezzük el pl. a következő osztást:
Ez az ismeret nem tartozik a kötelező tananyaghoz. De mindig jobb többet tudni, mint kevesebbet.
53 : 53 = 53 – 3 = 50 53 : 53
50 = 1 Megegyezés 3
3
5 : 5 = 125 : 125 = 1
A 10 negatív hatványainak tulajdonságai:
Megegyezés
Bármely nullától különböző szám nulladik hatványa 1. 30 = 1
0,560 = 1
=1
(– 7)0 = 1
Megjegyzés
A tízes számrendszert tízes alapú helyiértékes rendszernek is nevezhetjük.
0,1 =
= 10– 1
0,01 =
= 10– 2
0,001 =
= 10– 3
0,000 1 =
= 10– 4
Megjegyzés
Egy szám 10 hatványaival történő felírását a szám tízes számrendszerbeli kifejtésének is nevezhetjük.
23
2. n
Írd fel a táblázatban olvasható számokat a 10 hatványaként! Az így felírt számok megkönnyíthetik a következő feladatok megoldását. 1
10
100 1000
10 000 100 000
1 000 000
10 000 000
100 000 000
1 000 000 000
10n
3.
Írd fel a 12, 347, 3560, 56 709, 102 568 számokat tízes számrendszerbeli helyiértékes felbontásban a 10 hatványaival!
3. megoldás 12 = 1 ∙ 101 + 2 ∙ 100 347 = 3 ∙ 102 + 4 ∙ 101 + 7 ∙ 100 3560 = 3 ∙ 103 + 5 ∙ 102 + 6 ∙ 101 + 0 ∙ 100 56 709 = 5 ∙ 104 + 6 ∙ 103 + 7 ∙ 102 + 0 ∙ 101 + 9 ∙ 100 102 568 = 1 ∙ 105 + 0 ∙ 104 + 2 ∙ 103 + 5 ∙ 102 + 6 ∙ 101 + 8 ∙ 100
4.
5.
hogy Azt mondják, rzatot zo s a nullatényez ős írni. le sem kell om, Én inkább leír át b hi b hogy keveseb . el kövessek
Írd fel az 1 002 304, 60 985 321, 132 465 021, 9 780 325 405 számokat tízes számrendszerbeli helyiértékes felbontásban a 10 hatványaival!
Írd fel a 3,5; 0,23; 42,025; 305,123 05 számokat tízes számrendszerbeli helyiértékes felbontásban a 10 hatványai nélkül és a 10 hatványaival!
5. megoldás Felbontás hatványok nélkül: 3,5 = 3 · 1 + 5 · 0,1 0,23 = 0 · 1 + 2 · 0,1 + 3 · 0,01 42,025 = 4 · 10 + 2 · 1 + 0 · 0,1 + 2 · 0,01 + 5 · 0,001 305,123 05 = 3 · 100 + 0 · 10 + 5 · 1 + 1 · 0,1 + 2 · 0,01 + 3 · 0,001 + 0 · 0,000 1 + 5 · 0,000 01 Felbontás hatványokkal:
6.
7.
3,5 = 3 · 100 + 5 · 10– 1 0,23 = 0 · 100 + 2 · 10– 1 + 3 · 10– 2 42,025 = 4 · 101 + 2 · 100 + 0 · 10– 1 + 2 · 10– 2 + 5 · 10– 3 305,123 05 = 3 · 102 + 0 · 101 + 5 · 100 + 1 · 10– 1 + 2 · 10– 2 + 3 · 10– 3 + 0 · 10– 4 + 5 · 10– 5
Írd fel a 6,731; 105,3; 652,34; 0,231 056 számokat tízes számrendszerbeli helyiértékes felbontásban a 10 hatványai nélkül és a 10 hatványaival!
Írj a j helyébe alkalmas számjegyeket, hogy igaz legyen az egyenlőség!! A j-ok helyébe különböző számjegyek kerülhetnek.
a) 2j = j · 101 + 6 · 100 5j7 = j · 102 + 4 · 101 + j · 100 8509 = j · 103 + j · 102 + 0 · 10j + 9 · j0 36 026 = j · 104 + 6 · 10j + j · 102 + 2 · j1 + 6 · 10j b) 0,2 = j · 100 + 2 · 10j 5,7j = j · 100 + j · 10– 1 + 4 · 10– 2 20,921 = j · 101 + j · 100 + 9 · 10j + 2 · 10j + j · 10– 3 328,36 = j · 102 + j · 101 + j · 10j + 3 · 10j + j · 10– 2 24
Mit kellene tudnunk a 10 hatványairól? A Mértékegységek Nemzetközi Rendszerében (SI) alkalmazzuk a 10 hatványait. Egyezményes nevük, jelölésük van… Egy részüket az alábbi táblázatban olvashatod. SI-rendszerbeli előtagok n
előtag
jele
jelentése
6
10
mega-
M
millió
103
kilo-
k
ezer
102
hekto-
h
10
1
deka-
10
0
–1 –2 –3 –6 –9
10
10
10 10
10 10
hányszoros
eredete
1 000 000
példa
görög – nagy
MeV – megaelektronvolt
1 000
gör. – ezer
kg – kilogramm
száz
100
gör. – száz
hPa – hektopascal
da
tíz
10
gör. – tíz
dag – dekagramm
–
–
egy
1
deci-
d
tized
0,1
lat. decimus – tizedik dB – decibel
centi-
c
század
0,01
lat. centum – száz
cm – centiméter
milli-
m
ezred
0,001
lat. mille – ezer
mm – milliméter
mikro-
μ
milliomod
0,000 001
gör. – kicsi
μA – mikroamper
nano-
n
milliárdad
0,000 000 001
gör. – törpe
nT – nanotesla
m – méter
Az SI-rendszerben például a kilo előtag azt jelzi, hogy az alapegység ezerszerese, tehát a kilométer 1000 métert, a kilowatt ezer wattot jelent. Ezzel szemben a milli azt jjelzi, hogy e zi el zi,, ho ogy az a aalapegység la ape p gyysé ségg ez eezredrésze, reedr d és észe zee, ttehát e át a milliméter eh m mil illi limé mééte terr a méter ezrede, a milliamper az amper ezrede. Projektfeladat
Dolgozz ki egy olyan projektet, amelyben felhasználod a táblázatban felsorolt előtagokat. A többi tantárgy – mint a fizika, a kémia, a biológia és a földrajz – bőségesen szolgálhat példákkal.
Az alábbi feladatokban ismételd át a mértékegységek átváltását! Az előtagok jelentését leolvashatod a fenti táblázatból.
8.
11.
9.
12.
10.
13.
Fejezd ki az alábbi mennyiségeket a zárójelben megadott mértékegységgel! a) 2,3 km (m), 0,5 km (dm), 0,025 km (cm) b) 4,29 m (dm), 0,8 m (cm), 0,05 m (mm) c) 6,8 dm (cm), 0,8 dm (mm) Fejezd ki az alábbi mennyiségeket a zárójelben megadott mértékegységgel! a) 2,3 km2 (m2), 0,5 km2 (dm2), 0,025 km2 (cm2) b) 4,29 m2 (dm2), 0,8 m2 (cm2), 0,05 m2 (mm2) c) 6,8 dm2 (cm2), 0,8 dm2 (mm2) d) 0,8 ha (a), 1,2 ha (m2) e) 45 a (m2) Fejezd ki az alábbi mennyiségeket a zárójelben megadott mértékegységgel a) 4,29 m3 (dm3), 0,8 m3 (cm3), 0,05 m3 (mm3) b) 6,8 dm3 (cm3), 0,8 dm3 (mm3) c) 0,5 hl (l), 2,5 hl (dl), 0,09 hl (cl) d) 4,1 l (dl), 0,60 l (ml), 0,003 l (cl)
Fejezd ki az alábbi mennyiségeket a zárójelben megadott mértékegységgel! a) 420 m (km), 2 050 dm (km), 310 256 cm (km) b) 260 dm (m), 10 260 cm (m), 36 560 mm (m) c) 560 cm (dm), 3075 mm (dm)
Fejezd ki az alábbi mennyiségeket a zárójelben megadott mértékegységgel! a) 36 580 m2 (km2), 389 560 cm2 (km2), 4 500 200 dm2 (km2), b) 30 250 dm2 (m2), 106 520 cm2 (m2), 560 000 mm2 (m2) c) 3298 cm2 (dm2), 6280 mm2 (dm2) d) 125 a (ha), 650 250 m2 (ha) e) 562 m2 (a)
Fejezd ki az alábbi mennyiségeket a zárójelben megadott mértékegységgel! a) 5620 dm3 (m3), 952 cm3 (m3), 7450 mm3 (m3) b) 10 253 cm3 (dm3), 650 280 mm3 (dm3) c) 450 l (hl), 56 000 dl (hl), 4 580 000 cl (hl), 350 cl (dl) d) 320 dl (l), 4120 cl (l), 10 250 ml (l), 3520 ml (dl)
25
Megjegyzés
Emlékszel még a mértékegységek átalakítására? Ha nagyobb mértékegységet alakítunk kisebbre, akkor a mérőszámot 10-zel, 100-zal, 1000-rel … kell megszoroznunk. nagyobbat kisebbre 0,5 dm-t cm-re 0,5 szer 10 0,5 ∙ 10 = 5 0,5 dm = 5 cm Ha kisebb mértékegységet alakítunk nagyobbra, akkor a mérőszámot 10-zel, 100-zal, 1000-rel … kell elosztanunk. kisebbet nagyobbra 420 mm-t dm-re 420 osztva 100 420 : 100 = 4,20 420 mm = 4,2 dm
14. a)
Ha az alábbi különböző egységekben adott számkártyákat a rajtuk olvasható mennyiségek szerint csökkenő sorrendbe rendezed, akkor a betűjeleikből egy-egy értelmes szót kapsz. 0,652 dm
526 mm
0,000 625 km
5,62 dm
256 cm
T
I
A
F
R
0,000 356 a
56,3 dm2
35 600 cm2
53 600 mm2
3,65 m2
Ő
R
Ö
Z
K
5,87 dm3
8750 cm3
0,007 58 hl
5,78 l
0,785 m3
E
Z
Ü
T
F
2,65 m G b)
c)
15.
Döntsd el, hogy az állítás igaz vagy hamis!
a) Egy méter több, mint 50 cm. Egy km kevesebb, mint 1500 m. 10 dm több, mint 1000 cm. 1000 mm kevesebb, mint 100 dm.
Igaz – Hamis Igaz – Hamis Igaz – Hamis Igaz – Hamis
b) 100 m2 több, mint 100 dm2. Egy cm2 kevesebb, mint 1 m2. 10 000 dm2 ugyanannyi, mint 10 m2. 100 000 mm2 több, mint 100 cm2.
Igaz – Hamis Igaz – Hamis Igaz – Hamis Igaz – Hamis
c) Egy liter több, mint 1 dm3. 100 hl annyi, mint 10 dm3. 1 000 000 cm3 kevesebb, mint 1 liter. Egy m3 több, mint 10 liter.
Igaz – Hamis Igaz – Hamis Igaz – Hamis Igaz – Hamis
26
1.4. A számok normálalakja Ebben a fejezetben minden feladatot zsebszámológép nélkül számítunk ki.
Idézzük fel! 1. Számítsd ki az alábbi feladatokat! Jó bemelegítés lesz ez a további számításokhoz. 2 150 000 + 3 425 000 = 5 890 000 – 2 560 000 = 7 891 000 . 500 = 12 150 000 : 5000 =
1. megoldás 2 150 000 3 425 000 5 575 000
5 890 000 – 2 560 000 3 330 000
7 891 000 . 500 3 945 500 000
12 150 000 : 5000 = 2430 – 10 000 2 150 0 – 2 000 0 150 00 – 150 00 00 –0 0
2.
Tudod-e, hogy Nullák nélkül is számolhatunk. 2 150 000 3 425 000 Most visszaírjuk a nullákat: 5 575 000 Nullák nélkül is számolhatunk. 5 89 0 000 – 2 56 0 000 Most visszaírjuk a nullákat: 3 330 000 Nullák nélkül is számolhatunk. 7 891 000 . 5 00 Most visszaírjuk a nullákat: 3 945 500 000 Úgy is számolhatunk, hogy ugyanannyi nullát törlünk mindkét számból.
... valamikor ezeket a számokat „nagy számoknak” nevezték? Például azokat is, amelyek az alábbi táblázatban a szomszédos országok népességét tartalmazzák 2011-ből. Forrás: Wikipédia Ország
Népesség
Magyarország
10 019 000
Lengyelország
38 116 000
Ukrajna
46 490 000
Ausztria
8 402 000
Csehország
10 507 000
A statisztikusok sorba rendeznék, oszlopdiagramot készítenének az adatokból, kiszámítanák a százalékarányukat, és kördiagramot szerkesztenének. Hogy nevezzük azt a tudományágat, amely az egyes térségek népességével foglalkozik? demográfia? etnográfia? ökonómia? Állapítsd meg, hogy mit ír erről az Idegen szavak k szótára.
12 150 000 : 5000 = 2430
Életünk a víztől függ. Add össze a táblázatban feltüntetett szlovákiai folyók hosszát! A folyó neve
Hossza méterben
Nyitra (Nitra)
196 700
Vág (Váh)
403 000
Garam (Hron)
298 000
Hernád (Hornád)
193 000
Ipoly (Ipoly)
232 500
Duna (Dunaj)
172 000
A Garam Barsváradnál (Tekovský Hrádok). fotó: Gcenkei
És a vízierőművek? A halgazdálkodás, a hajózás, a pihenés…?
Szerinted mire használható a kiszámított adat? 27
Ha nagy számokkal számolunk, másfajta segítséget is kaphatunk. Például a 10 hatványaitól. Segítség
1
10 = 10 2 100 = 10 3 1000 = 10 4 10 10 000 =
3.
Írd fel a 100 000-et, az 1 000 000-t, a 10 000 000-t és a 100 000 000-t 10 hatványaként! Segítségül veheted az előző részben található táblázatot! Hol találkozunk leggyakrabban a 10 hatványaival írt számokkal? A fizikában… A földrajzban… A csillagászatban…
… 1983 ban a tudósok megegyeztek, hogy a fénysebesség pontosan 299 792 458 méter másodpercenként, azaz körülbelül 3 . 108 méter másodpercenként. … A Földünk a Naprendszer egyik bolygója, amelynek központja egy csillag: a Nap, amely a Tejútrendszer (Galaxis) középpontjától 33 000 fényévnyire van. … Egy fényév 9 460 730 472 580 800 méternek felel meg, ami körülbelül 9,460 7 . 1015 méter.
A Föld térfogata 1 083 210 000 000 km3. Ez körülbelül 1,083 21 . 1012 km3.
A Föld felszíne 510,1 millió km2, ami 5,101 . 108 km2. Ebből 149 millió km2 a szárazföld, ami 1,49 . 108 km2. A vízfelszín 361 millió km2, ami 3,61 . 108 km2.
50 = 5 . 101 300 = 3 . 102 2 000 = 2 . 103 50 000 000 = 5 . 107
A 10 hatványaival (normálalakban) így írjuk le a nagy számokat:
150 = 1,5 . 102 2 300 = 2,3 . 103 372 000 = 3,72 . 105 41 200 000 = 4,12 . 107
Miből áll a normálalak? A 10, 100, 1000, 10 000… számok 10-es alapú hatványának és egy számnak a szorzatából.
A normálalak felírásakor hasonlóan járunk el, mint a számok helyiértékes felbontásakor vagy a mértékegységek átalakításakor. 50 = 5 . 101 150 = 1,50 . 100 = 1,5 . 102 2 300 = 3 . 10 2 300 = 2,3 . 1000 = 2,3 . 103 2 000 = 2 . 103 372 000 = 3,72 . 100 000 = 3,72 . 105 7 50 000 000 = 5 . 10 41 200 000 = 4,12 . 10 000 000 = 4,12 . 107 A számok normálalakjában a 10 hatványa előtt mindig 1-nek vagy 1-nél nagyobb, de 10-nél kisebb számnak kell állnia. Megegyezés
A nagy számokat így írjuk le normálalakban: a . 10n, ahol 1 ≤ a < 10, n∈N. 28
4.
Írd fel az alábbi számokat normálalakban: a) 400, 6000, 30 000, 500 000, 9 000 000 b) 360, 7800, 62 000, 890 000, 7 200 000 c) 3160, 72 500, 163 000, 8 910 000, 25 200 000 A feladatot szóban is megoldhatod.
n, azo és van l e z gg lkoz szefü téke és o d Gon yen ös lyi ér özt! il he k y m ámok álalak g o h sz rm a a no
4. megoldás a) 4 ∙ 102, 6 ∙ 103, 3 ∙ 104, 5 ∙ 105, 9 ∙ 106 b) 3,6 · 102, 7,8 ∙ 103, 6,2 ∙ 104, 8,9 ∙ 105, 7,2 ∙ 106 c) 3,16 ∙ 103, 7,25 ∙ 104, 1,63 ∙ 105, 8,91 ∙ 106, 2,52 ∙ 107
5.
Írd fel az alábbi számokat normálalakban: a) 500, 7000, 20 000, 600 000, 3 000 000 c) 6130, 52 700, 361 000, 1 980 000, 35 300 000, 571 000 000 b) 230, 8700, 72 000, 980 000, 2 700 000 d) 80 800, 50 000, 580 000, 15 000 000, 40 000 000, 600 000 000
Tudod-e…? Az előző feladatok egyikében a vízről és a szlovákiai folyókról beszéltünk. Mit tudunk a vízről? A víz drágább az aranynál. A víz – ital. Vízienergia – hajóközlekedés. Tavak, víztárolók – üdülés. Zárógátak – villanyáram-termelés. Liptovská Mara, fotó: Pudelek
Lássuk, milyen adatokat szerezhetünk a szlovákiai víztárolókról!
6.
Segítség
A táblázatban néhány szlovákiai víztároló vízfelületének területét láthatjuk a legmagasabb vízállás mellett. Alakítsd át ezeket a területeket m2-ekre, majd írd le ezt a számot normálalakban!
Víztároló
Liptovská Mara
Ružín
Nitrianske Rudno
Domaša
Zemplínska šírava
Terület
21,6 km2
600 ha
0,96 km2
1422 ha
3350 ha
7. » »
»
» »
Írd le normálalakban az állatok világából vett adatokat! A legnagyobb szárazföldi állat az elefánt. Tömege az 5500 kilogrammot is elérheti. A Föld legnagyobb élőlénye a kék bálna. Tömege akár 150 000 kg is lehet. Ez körülbelül 1800 ember tömegének felel meg. A legnagyobb hal a cetcápa, mely sekély vizekben planktonnal táplálkozik. Tömege kb. 40 000 kg. A zsiráf a legmagasabb állat. 550 cm magas. Az anakonda a leghosszabb kígyók közé tartozik. 1000 cm hosszúságúra is megnőhet. Forrás: www.dennikrelax.sk.
2
00 m 0 a = 10 0 0 1 = a h 1 2 m 2 1 a = 2100 0 000 m 0 0 1 = 1 km
6. megoldás 21,6 km2 = 21 600 000 m2 = 2,16 ∙ 107 m2 600 ha = 60 000 a = = 6 000 000 m2 = 6 ∙ 106 m2 0,96 km2 = 960 000 m2 = 9,6 ∙ 105 m2 1422 ha = 142 200 a = = 14 220 000 m2 = 1,422 ∙ 107 m2 3350 ha = 335 000 a = = 33 500 000 m2 = 3,35 ∙ 107 m2
7. megoldás 5500 kg = 5,5 ∙ 103 kg 150 000 kg = 1,5 ∙ 105 kg 1800 = 1,8 ∙ 103 40 000 kg = 4 ∙ 104 kg 550 cm = 5,5 ∙ 102 cm 1000 cm = 1 ∙ 103 cm 29
8.
» » » » »
A szomszédos országok fővárosainak népességét (az adatok 2011-ből származnak) normálalakban írtuk fel. Írd fel hatványok nélkül!
Varsó Kijev Budapest Bécs Prága
6
1,70 ∙ 10 2,71 ∙ 106 1,69 ∙ 106 1,66 ∙ 106 1,18 ∙ 106
lakos lakos lakos lakos lakos
An a fo épessé rmá gada ban tok tets nekem ebben zene jobb an k.
Forrás: internet
8. megoldás 1,70 ∙ 106 = 1,70 ∙ 1 000 000 = 1 700 000 2,71 ∙ 106 = 2,71 ∙ 1 000 000 = 2 710 000 1,69 ∙ 106 = 1,69 ∙ 1 000 000 = 1 690 000 1,66 ∙ 106 = 1,66 ∙ 1 000 000 = 1 660 000 1,18 ∙ 106 = 1,18 ∙ 1 000 000 = 1 180 000
szorzást -rel való 0 0 0 1 l, a ttuk meg. 100-z sával oldo ellyel tá A 10-zel, a g z o m nyi h essző a tizedesv a tizedesvesszőt an számr n a kerek o a k v s a ll u n y Szorzá n bbra, ahá visszük jo 00 ban. = 1 700 0
Segítség
0 000 = 1,700 000 1,7 · 1 00
9.
Írd fel az alábbi számokat hatvány nélkül! a) 7 ∙ 104; 3 ∙ 105; 5 ∙ 101; 2 ∙ 1010 b) 5,6 ∙ 101; 3,7 ∙ 104; 0,3 ∙ 105; 9,1 ∙ 106 c) 4,15 ∙ 107; 1,13 ∙ 1012; 2,18 ∙ 1010; 8,23 ∙ 1011 d) 1,135 ∙ 107; 1,153 ∙ 1012; 2,718 ∙ 1010; 8,253 ∙ 1011
9. megoldás
Projektfeladat
a) 7 ∙ 104 = 7 ∙ 10 000 = 70 000 3 ∙ 105 = 3 ∙ 100 000 = 300 000 5 ∙ 101 = 5 ∙ 10 = 50 2 ∙ 1010 = 2 ∙ 10 000 000 000 = 20 000 000 000 b) 5,6 ∙ 101 = 5,6 ∙ 10 = 56 3,7 ∙ 104 = 3,7 ∙ 10 000 = 37 000 0,3 ∙ 105 = 0,3 ∙ 100 000 = 30 000 9,1 ∙ 106 = 9,1 ∙ 1 000 000 = 9 100 000 c) 4,15 ∙ 107 = 4,15 ∙ 10 000 000 = 41 500 000 1,13 ∙ 1012 = 1,13 ∙ 1 000 000 000 000 = = 1 130 000 000 000 10 2,18 ∙ 10 = 2,18 ∙ 10 000 000 000 = = 21 800 000 000 8,23 ∙ 1011 = 8,23 ∙ 100 000 000 000 = = 823 000 000 000 7 d) 1,135 ∙ 10 = 1,135 ∙ 10 000 000 = 11 350 000 1,153 ∙ 1012 = 1,153 ∙ 1 000 000 000 000 = = 1 153 000 000 000 2,718 ∙ 1010 = 2,718 ∙ 10 000 000 000 = = 27 180 000 000 8,253 ∙ 1011 = 8,253 ∙ 100 000 000 000 = = 825 300 000 000
10. a) b) c) d)
n, ezért 6 nulla va n a -b 0 0 0 6 hellyel Az 1 000 z 1,7-ben a t ő z s s e v a tizedes bbra. visszük jo
Írd fel az alábbi számokat hatvány nélkül! 9 ∙ 106; 4 ∙ 107; 1 ∙ 1012; 8 ∙ 100 6,5 ∙ 101; 7,3 ∙ 104; 0,8 ∙ 105; 1,9 ∙ 106 5,14 ∙ 107; 3,23 ∙ 1012; 2,81 ∙ 1010; 3,28 ∙ 1011 3,153 ∙ 107; 0,215 378 ∙ 1012; 25,817 ∙ 1010; 325,523 ∙ 1011 30
Keresd meg Szlovákia (Slovensko) tíz legmagasabb hegycsúcsának adatait! Először írd fel hatvány nélkül, majd normálalakban! Rendezd az adatokat csökkenő sorrendbe, majd írj mindegyikről egy rövid jellemzést!
11.
Számítsd ki az alábbi kifejezések értékét! a) 5 · 102 + 3 · 103 + 9 · 101 b) 5,1 · 103 – 2,3 · 102 – 8,5 · 101 c) 7,12 · 102 + 1,92 · 103 – 2,78 · 101 d) 6,02 · 103 – 3,2 · 103 + 2,005 · 103
11. megoldás a) 5 · 102 + 3 · 103 + 9 · 101 = = 5 · 100 + 3 · 1000 + 9 · 10 = = 500 + 3000 + 90 = 3590 b) 5,1 · 103 – 2,3 · 102 – 8,5 · 101 = = 5,1 · 1000 – 2,3 · 100 – 8,5 · 10 = = 5100 – 230 – 85 = 4785 c) 7,12 · 102 + 1,92 · 103 – 2,78 · 101 = = 7,12 · 100 + 1,92 · 1000 – 2,78 · 10 = = 712 + 1920 – 27,8 = 2604,2 d) 6,02 · 103 – 3,2 · 103 + 2,005 · 103 = = 6,02 · 1000 – 3,2 · 1000 + 2,005 · 1000 = = 6020 – 3200 + 2005 = = 4825
12.
Számítsd ki anélkül, hogy kiszámítanád a hatványok értékét! a) 9 · 102 + 7 · 103 + 3 · 101 d) 16,2 · 103 – 3,201 · 103 + 2,05 · 103 b) 6,3 · 103 – 1,5 · 102 – 3,5 · 101 e) 1,25 · 105 + 0,356 21 · 104 – 3,056 · 102 2 3 1 c) 9,17 · 10 + 0,29 · 10 – 0,08 · 10 f) 0,369 45 · 103 – 3,694 5 · 104 + 36,945 · 101
13.** Adott az
A = (1,6 ∙ 103 – 2,04 ∙ 105) ∙ 102
kifejezés. Alkoss egy B és egy C kifejezést úgy, hogy teljesüljön a B < A < C egyenlőtlenség, és mindkét kifejezés tartalmazzon legalább két a ∙ 10n alakú tagot, ahol 1≤ a < 10 és n ∈ N!
14.**
Adott az A = (– 9,086 ∙ 104 + 7,041 ∙ 103) : 102 kifejezés. Alkoss egy B és egy C kifejezést úgy, hogy teljesüljön az A = B = C egyenlőség, és mindkét kifejezés tartalmazzon legalább két a ∙ 10n alakú tagot, ahol 1≤ a < 10 és n ∈ N!
Tudáspróba Minden feladatban csak egy helyes választ találsz. 1. A 30 200 normálalakja:
A 3,02 ∙ 104
B 3,2 ∙ 102
C 3,02 ∙ 102
D 3,2 ∙ 104
B 1,2 ∙ 107
C 1,002 ∙ 107
D 1,2 ∙ 104
B 900
C 9,0
D 1,9
B 53 000
C 5003
D 5300
B 13 020
C 132 000
D 1320
B 1 ∙ 105
C 1 ∙ 106
D 103
B 3,5 ∙ 103 m2
C 3,5 ∙ 106 m
D 3,5 ∙ 103 m
B 7,8 ∙ 106 m
C 7,8 ∙ 102 m
D 7,8 ∙ 104 m
C 4032
D 4320
C 4445
D 4895
2. A 10 020 000 normálalakja:
A 1,002 ∙ 104 3. A 9 ∙ 102 értéke:
A 90 3
4. Az 5,03 ∙ 10 értéke:
A 5030 4
5. Az 1,302 ∙ 10 értéke:
A 1 302 000 6. A milliót így írjuk:
A 107 7. A 3,5 km2 annyi, mint:
A 3,5 ∙ 106 m2 8. A 7800 km annyi, mint::
A 7,8 ∙ 103 m
9. A 4 ∙ 103 + 3 ∙ 102 + 2 ∙ 101 kifejezés értéke:
A 4310
B 4302 3
2
1
10. Az 5,5 ∙ 10 – 5,5 ∙ 10 – 5,5 ∙ 10 kifejezés értéke
A 48 950
B 44
Tudod-e…? Milyen fontos a 10-es szám?
A 10-es szám a tízes számrendszer alapja, amely a leggyakrabban használt számrendszer a hétköznapi életben.
Püthagorasz, az ógörög bölcs és matematikus a 10-es számot a tökéletesség csúcsának tekintette. A 10 ugyanis a – szerinte ugyancsak nagyon fontos – 1, 2, 3 és 4 összege. Az 1-et egy konkrét pontnak tekintette. A 2-t egyenesnek tekintette, mert van kezdete és vége. A 3-at a síkkal hozta összefüggésbe (mert 3 pont meghatároz egy síkot), mert van kezdete, vége, és ott van még a köztük elhelyezkedő „tér”. A 4-et a térrel azonosította, ahol a negyedik dimenzió az idő jelenti. Forrás: internet
31
Egy kis többlet a kis számokról Ezeket a számokat korábban „kis” számoknak neveztük. A fizika-, kémia-, biológia-tankönyvekben, valamint az enciklopédiákban találkozhatunk velük. Többnyire valamilyen konstans (állandó) értékeket jelentenek. A mindennapi életben ritkábban találkozunk velük, mint a „n „nagy számokkal”. „nag ag gy sz szám ámok okka kall .
Idézzük fel! 15. Először számítsd ki ezeket a feladatokat, így könnyebben megérted az új tananyagot! 0,000 567 + 0,000 126 = 0,005 678 – 0,003 246 = 0,000 567 . 0,003 = 0,006 309 : 0,003 =
Ha kivonunk vagy osztunk, hasznos lehet az ellenőrzés. Ezt most rád bízzuk.
15. megoldás 0,000 567 0,000 126 0,000 693
0,005 678 – 0,003 246 0,002 432
0,000 567 . 0,003 0,000 001 701
0,006 309 : 0,003 = /. 1000 6,309 : 3 = 2,103
-e” k tjuk számo a h agy is „Elh at a k kor? lehet llák ása lasz a nu kivon yik vá y nem? z eg vag k a : igen a s C elyes h
Projektfeladat
Megegyezés
Állapítsd meg, mit ír az internet a kis számokról vagy a konstansokról! Hogyan kell velük számolni?
A kis számokat így írjuk le normálalakban: , n∈N. a . 10– n, ahol 1 ≤ a < 10, 10– n =
Tudod-e…? Ha a kis számokat emlegetjük, akkor erről legtöbbünknek – a legkisebb részecske, – a legkisebb elem, – a legkisebb állat, – a legkisebb bolygó stb. jut eszünkbe. Sok éven át az atomot tekintették a legkisebb részecskének. Ernest Rutherford és Niels Bohr bebizonyította, hogy az atom nem oszthatatlan. Az alábbi táblázat az atom elemi részecskéinek tömegét tartalmazza. elemi részecske
felfedező (év)
tömeg
elektron
Joseph John Thomson (1897)
9,109 1 · 10
proton neutron
Ernest Rutherford (1918) James Chadwick (1932)
– 31
kg
– 27
kg
– 27
kg
1,672 9 · 10 1,674 9 · 10
Jegyezd meg! A nagy számok normálalakja: a ∙ 10n, ahol 1≤ a < 10 és n ∈ N. Például: 1 000 000 = 1 ∙ 106 1 000 000 000 = 1 ∙ 109 6 7 000 000 = 7 ∙ 10 7 000 000 000 = 7 ∙ 109 6 8 200 000 = 8,2 · 10 8 200 000 000 = 8,2 · 109 3 125 000 = 3,125 · 106 3 125 000 000 = 3,125 · 109 A normálalakú számot valós számmá alakíthatjuk. Például: 1 ∙ 109 = 1 000 000 000 1 ∙ 104 = 10 000 6 5 ∙ 10 = 5 000 000 6 ∙ 108 = 600 000 000 7,3 ∙ 105 = 730 000 4,3 ∙ 1010 = 43 000 000 000 6 9,031 ∙ 10 = 9 031 000 2,103 ∙ 103 = 2103
32
Forrás: internet
1.5. Műveletek nagy és kis számokkal, kerekítés és becslés Idézzük fel! Az előző fejezetben nagy és kis számokról beszéltünk. Ismételjük át a 10 hatványait, amelyek segítségével felírtuk a normálalakjukat! tized ... 0,1 = 10– 1 101 = 10 ... tíz 2 század ... 0,01 = 10– 2 10 = 100 ... száz ezred ... 0,001 = 10– 3 103 = 1 000 ...ezer 4 tízezred ... 0,000 1 = 10– 4 10 = 10 000 ... tízezer 5 10 = 100 000 ... százezer százezred ... 0,000 01 = 10– 5 106 = 1 000 000 ... millió milliomod ... 0,000 001 = 10– 6 Most a kis és nagy számok kerekítéséről lesz szó, és arról, hogy a kerekítés segítségével hogyan kell megbecsülni a helyes eredményt. Ilyen szavakat használunk majd: becslés, körülbelül, megközelítőleg… Mikor érdemes becslést és mikor kerekítést alkalmazni? Erre a kérdésre az alábbi feladatok megoldásai adnak választ. Képzeld el, hogy a boltban a pénztár előtt állsz, és hamarosan fizetned kell. Mennyi pénzt kell előkészítened, ha két 35 centes joghurtot, három 6 centes kiflit és két 74 centes nápolyit vásárolsz? Meg tudod-e becsülni a szöveg elolvasása után, számolás nélkül, hogy hány eurót kell előkészítened? Ha igen, akkor jó érzéked van a becsléshez.
Segítség
íteni? ell kerek pe van. Hogyan k rozó szere tá a h g e m ek tízesekre! Az 5-ösn z 1236-ot a k ü s ít k Kere 240 k. 1236 1 kerekítün rt fölfelé é z e , 5 > 6 asokra! 53-at száz 2 4 a k ü s Kerekít 300 ítünk. 4253 4 elé kerek lf fö rt é z e 5 = 5, zresekre! 3254-et e a k ü s ít k Kere 000 kítünk. 3254 3 lefelé kere rt é z e , 5 2<
Az alábbi feladatokat oldd meg zsebszámológép alkalmazása nélkül!
1.
Becsüld meg az összeget, majd add össze a számokat! Hasonlítsd össze becslésedet az összeadás eredményével! a) 125 369 567 + 1 758 369 b) 0,236 586 + 1,369 258 125
1. megoldás a) 125 369 567 + 1 758 369 = Hogyan lehet becslésünk a lehető legpontosabb? A becslés különböző pontosságú lehet. Az eredményt megbecsülhetjük egyesekre, tízesekre, százasokra, ezresekre… vagy tizedekre, századokra, ezredekre… Ezúttal milliókra kerekítünk, mert a második összeadandó első számjegyének helyi értéke millió. Ezért az összeadandókat milliókra kerekítjük, majd ezeket az értékeket fejben összeadjuk.
A kerekített összeg: 125 000 000 + 2 000 000 = 127 000 000 A 125-öt és a 2-t adjuk csak össze, a nullákat hozzáírjuk.
125 369 567 125 000 000
A becsült és a pontos eredmény közti különbség:
3<5
lefelé kerekítünk
1 758 369 2 000 000 7>5
fölfelé kerekítünk
A pontos összeg: 125 369 567 1 758 369 127 127 936
127 127 936 – 127 000 000 127 936
A nagyobb számból kivonjuk a kisebbet.
Döntsd el, hogy ez sok-e vagy kevés! folytatás
33
1. megoldás – folytatás b) 0,236 586 + 1,369 258 125 = A becslést tized pontossággal végezzük el, mert a kisebbik szám első értékes számjegye a tizedek helyén áll. Ezért az összeadandókat tizedekre kerekítjük, majd ezeket az értékeket fejben összeadjuk. 0,236 586 0,200 000 = 0,2 3<5
lefelé kerekítünk
1,369 258 125 1,400 000 000 = 1,4 6>5
2.
fölfelé kerekítünk
Becsüld meg az összeget, majd végezd el az öszszeadást! Hasonlítsd össze a becslést a tényleges eredménnyel!
A becsült és a pontos eredmény közti különbség: 1,605 844 125 A nagyobb számból – 1,600 000 000 kivonjuk a kisebbet. 0,005 844 125
4.
Becsüld meg a különbséget, majd végezd el a kivonást! Hasonlítsd össze a becslést a tényleges eredménnyel!
a) 3 000 236 987 – 236 258 269 b) 5 102 003 698 – 1 000 236 102 c) 0,259 369 – 0,000 269 d) 2,236 258 369 – 2,126 458 126 e) 0,000 269 247 – 0,000 000 247
Becsüld meg a különbséget, majd végezd el a kivonást! Mennyivel tér el a becslés a tényleges eredménytől? Hasonlítsd össze saját eredményedet osztálytársaid eredményeivel! 46 896 321 – 40 526 302
3. megoldás 46 896 321 – 40 526 302 = Mindkét számban ugyanaz a számjegy áll a tízmilliós helyi értéken: a 4. Ezért a becslést milliós pontossággal végezzük el. 46 896 321 47 000 000 8>5 fölfelé kerekítünk 40 526 302 41 000 000 5=5
A pontos összeg: 0,236 586 000 1,369 258 125 1,605 844 125
Döntsd el, hogy ez sok-e vagy kevés!
a) 12 369 258 + 321 569 485 b) 569 458 158 + 26 352 786 c) 1,567 321 + 0,326 97 d) 2,369 564 398 + 0,025 973
3.
A kerekített számok összege: e:: 0,2 + 1,4 = 1,6
Projektfeladat
Állapítsd meg, hogy mely munkakörökben érdemes becslést alkalmazni! Mondj legalább egy példát!
Az alábbi feladatokban az eredeti számok szorzását és osztását zsebszámológéppel is elvégezheted.
5.
Becsüld meg a szorzatot, majd végezd el a szorzást! Mennyivel tér el a becslés a tényleges eredménytől? Hasonlítsd össze saját eredményedet osztálytársaid eredményeivel! a) 786 ∙ 350 b) 0,27 ∙ 2,81
5. megoldás a) 786 ∙ 350 = Mindkét tényezőben a legnagyobb helyi érték százas: 786 ∙ 350. Százasokra kerekítünk. 786 800
fölfelé kerekítünk
A kerekített számokat kivonjuk egymásból. 47 000 000 – 41 000 000 = 6 000 000 A 47-ből fejben kivonjuk a 41-et, majd visszaírjuk a nullákat. A tényleges különbség: 46 896 321 – 40 526 302 6 370 019 A becslés és a tényleges eredmény közti különbség: 6 370 019 – 6 000 000 370 019 A tízmilliókhoz képest ez elhanyagolható eltérés. 34
8>5
fölfelé kerekítünk
350 400 5=5
fölfelé kerekítünk
Összeszorozzuk a kerekített értékeket: 800 ∙ 400 = 320 000 (A 8-at és 4-et fejben szorozzuk össze, majd hozzáírjuk a nullákat.) A tényleges szorzatot zsebszámológéppel számítjuk ki: 786 ∙ 350 = 275 100 A becslés és a tényleges eredmény közti különbség: 320 000 – 275 100 44 900 folytatás
5. megoldás
7.
folytatása
Százasokat szoroztunk össze, a becsült és a tényleges eredmény tízezresekben tér el egymástól. Alkalmasabb lenne a tényezőket is, majd a becslés után kapott szorzatot is tízesekre kerekíteni. Nézzük, hogy alakul így az eredmény. Kerekítsük a számokat tízesekre! 786 790 6>5
fölfelé kerekítünk
350 350
Becsüld meg a hányadost, majd végezd el az osztást! Hasonlítsd össze a becslést a tényleges eredménnyel, majd hasonlítsd össze az eredményedet osztálytársaid eredményével! 964 258 : 320 =
7. megoldás 964 258 : 320 = Az osztandót és az osztót így alakítjuk át: 964 258 900 000 320 300
0<5 lefelé kerekítünk Amikor így kerekítjük a számokat, szorzatukat többnyire zsebszámológéppel számítjuk ki. Vagyis ilyen esetben a becslés nem sokat segít. Ezért mindig mérlegelni kell, mikor érdemes becslést alkalmazni, mikor hasznos a becslés és mikor nem.
A kerekített értékeket elosztjuk egymással: 900 000 : 300 = 3000
b) 0,27 ∙ 2,81 = Az első tényező a kisebb, és első értékes számjegye a tizedek helyén áll. Ezért mindkét számot tizedekre kerekítjük, és a kapott számokat fejben összeszorozzuk. 0,27 0,3
Ez sok vagy kevés? Úgy tűnik, ez elég pontos.
7>5
fölfelé kerekítünk
2,81 2,8 1<5
lefelé kerekítünk
A kerekített számokat fejben összeszorozzuk: 2,8 ∙ 0,3 = 0,84 A tényleges szorzatot zsebszámológéppel számítjuk ki: 0,27 ∙ 2,81 = 0,758 7 A becslés és a tényleges eredmény közti különbség: 0,840 0 – 0,758 7 0,081 3 Ismét föltehetjük a kérdést: Érdemes volt kiszámítani a hozzávetőleges értékeket, majd ma j aazo jd zokk kkal al sszá zámo moln lni? i? azokkal számolni?
Most zsebszámológéppel elvégezzük az osztást. 964 258 : 320 = 3 013,306 25 A becslés és a tényleges eredmény közti különbség: 3 013,306 25 – 3000 = 13,306 25
8.
Becsüld meg a hányadost, majd végezd el az osztást! Hasonlítsd össze a becslést a tényleges eredménnyel! a) 256 : 36 b) 3961 : 48 c) 36,25 : 7,9 d) 0,002 567 : 0,000 87 e) 0,000 000 357 : 0,000 000 058
Tudod-e…? Nagy számokkal mindenekelőtt a csilagászatban találkozunk. A Föld méretét Eratoszthenész „fokméréssel” határozta meg. Megmérte, hogy hány fokkal tér el a napsugarak beesési szöge Alexandriában és Sziénében. Ebből és a két város távolságából kiszámította, hogy a délkör hossza 252 000 sztadion. Méréséhez gnomónt használt, amivel meg tudta határozni a Nap delelési magasságát. Mivel a sztadion vidékenként más-más hosszússágot jelentett (az egyiptomi 157,7 m, a görrög olimpiai sztadion 177,6 m, a ión sztadion 210 m), ezért nem tudhatjuk, hogy d a kapott eredmény pontosan milyen távvolságnak felel meg. Feltételezzük, hogy aaz egyiptomi sztadiont használta. Ebben aaz esetben a délkör hossza 39 690 km.
Ráktérítő Rá
6.
Becsüld meg a szorzatokat, majd végezd el a szorzást! Hasonlítsd össze a becslést a tényleges eredménnyel!
a) 325 ∙ 12 c) 4,56 ∙ 0,97
Egyenlítő Baktérítő
b) 4 510 ∙ 19 d) 35,9 ∙ 2,8 35
Alexandria Sziéné
9.
NÉPESSÉG A Szlovák Statisztikai Hivatal jelentéséből: „2011. május 21-én, tehát a népszámlálás meghatározó pillanatában a Szlovák Köztársaságnak (Slovenská republika) 5 397 036 állandó lakosa volt. A tíz évvel korábbi népszámlálással összehasonlítva, a Szlovák Köztársaság népessége 17 581 fővel nőtt. A 2001–2011 közti népességnövekedés a szlovákiai népszámlálások történetében az eddigi legalacsonyabb volt. Az állandó lakosok száma állandóan növekszik, de egyre alacsonyabb ütemben.” A 2011. május 21-i népességszámnak körülbelül hány százalékát teszi ki a növekedés? Az eredményt add meg törttel!
9. megoldás A törtet ilyen alakban írhatjuk fel: a tört számlálója – népességnövekedés
a tört nevezője – az állandó lakosok száma Azt mondjuk, hogy ennek a törtnek kicsi a kifejezőereje. Ezért (amennyiben lehetséges) törzsalakra hozzuk, vagy úgy egyszerűsítjük, hogy a mennyiségeket érthetőbben, szemléletesebben fejezze ki.
A tizedestörtet ezredekre (az első értékes jegyre) kerekítjük. A törtet így is egyszerűbb alakra hozhatjuk:
A 306,98… értéket egész számra, tehát 307-re kerekítjük. Melyik a jobb eredmény? Van-e valamilyen összefüggés az eredmények közt? Hasonlítsd össze a
és az
törtet!
Az első törtet olyan törtté alakítjuk, amelynek a számlálója 1: Összehasonlítva: Jelentős-e ez a különbség? Mit fejeznek ki ezek a törtek? A
azt fejezi ki, hogy 2001-hez viszonyítva, 2011-ben – 1000 lakosra számítva – 3-mal több lakos volt.
A 2011. május 21-i népességszám-emelkedés körülbelül
volt.
A lakosság természetes szaporulatát általában százalékban adjuk meg. Fejezzük ki százalékban a következő feladat megoldását! A növekedést elosztjuk az állandó népességgel: A tizedestörtet előre meghatározott feltételek szerint kerekítjük. Mivel ilyen feltételt előzetesen nem állapítottunk meg, tízezredekre kerekítünk: A százaléklábat 100-zal való szorzás után kapjuk meg: 0,003 3 ∙ 100 = 0,33. Az állandó lakosság 2011. május 21-én megállapított népességszaporulata körülbelül 0,33% volt. 36
10.
ISKOLÁINK A 2010–2011-es tanévben 148 733 középiskolásból 55 499-en gimnáziumba, 93 234-en pedig szakközépiskolába jártak. Fejezd ki törttel, hogy az említett tanévben a diákoknak körülbelül hányad része tanult tovább gimnáziumban és hányad része szakközépiskolákban!
11.
KÖZTÁRSASÁGIELNÖK-VÁLASZTÁS 2009-BEN (második forduló) A Szlovák Köztársaság köztársasági elnökjelöltjeire leadott érvényes szavazatok száma: Kereszt- és vezetéknév Ivan Gašparovič
A leadott szavazatok száma
Megjegyzés
1 234 787
Az SZK (SR) megválasztott köztársasági elnöke
Iveta Radičová Összesen:
988 808 2 223 595
Forrás: http://portal.statistics.sk/showdoc.do?docid=67
Fejezd ki törttel, hogy a szavazatoknak körülbelül hányad részét szerezte meg Iveta Radičová a köztársaságielnökválasztás során 2009-ben!
12.
GÉPKOCSIELADÁS 2011-ben Szlovákiában
2012. január 16-i hír, szerző: Ladislav Holop.
2011-ben Szlovákiában 73 938 M1 és N1 kategóriájú gépkocsit adtak el. Ez 2987-tel több, mint tavaly, de 16 470-nel kevesebb, mint 2009ben. 2011-ben a márkák sorrendje is megváltozott. A Škoda, Renault, VW sorrend már a múlté. A Renault jelentősen meggyengült, nemcsak a VW előzte meg, hanem a Peugeot és a Kia is. A kis autók közül a Fiat végzett az első helyen 24,48%-os részesedéssel. 2011-ben Szlovákiában Škoda Fabia gépkocsiból adtak el a legtöbbet. 12 hónap alatt 2515-en vásárolták a hatchback-, 2455-en pedig a kombi-változatot. A Szlovákiában, 2011-ben eladott gépkocsitípusok sorrendje: 1. Škoda Fabia
4973 db
2. Škoda Octavia
4483 db
3. Kia Sportage
1904 db
4. Škoda Octavia Tour
1742 db
5. Suzuki SX4
1684 db
5. Kia cee´d
1627 db
7. VW Polo
1562 db
8. VW Golf
1525 db
9. Dacia Duster
1200 db
10. Hyundai i30
1019 db
http://zavolantom.autovia.sk/2012/01/16/predaje-2011-poradie-znaciek-aut-na-slovensku/
a) Fejezd ki törttel, hogy a tíz legkeresettebb autótípus hányad részét tette ki Szlovákiában a Škoda Octavia és hányad részét a VW Golf! b) Az eladott autóknak hányad része volt KIA márkájú?
37
1.6. Négyzetgyök és köbgyök Idézzük fel!
a–b
A számtani műveletek inverze (fordított ill. ellentett művelete).
a + b
2 · 0,5
3–4
2
a
1.
x
összeadás – kivonás kivonás – összeadás szorzás – osztás osztás – szorzás
3
0,5 : 2
3+4
A hatványozás inverz művelete (bizonyos feltételek mellett) a gyökvonás. Hatványozás
hatvány
négyzetre emelés, köbre emelés, hatványozás természetes kitevőre
Gyökvonás
négyzetgyök, köbgyök, negyedik gyök…
négyzetgyökvonás, köbgyökvonás
A városszéli, négyzet alakú díszkert területe 100 m2. Milyen hosszú az oldala?
a
a
1. megoldás A kert oldala valójában egy 100 m2 területű négyzet oldala. A feladatot kétféleképpen is kiszámíthatjuk: így is: és így is: Ha a négyzet oldalának nagysága a, területe pedig T, akkor a területét kiszámíthatjuk: szorzással T = a ∙ a T = 100 m2 a ∙ a = 100 m2 Melyik az a szám, amely önmagával szorozva 100-at ad? 10 ∙ 10 = 100 A négyzet oldala 10 m.
hatványozással T = a2 T = 100 m2 a2 = 100 m2 Mely szám négyzete 100? 102 = 100 A négyzet oldala 10 m.
A feladatot négyzetgyökvonással is megoldhatjuk: T = a2 a2 = 100 a= a = 10, mert 102 = 10 · 10 = 100 A négyzet alakú kert oldalhosszúsága 10 m.
Igaz ez is: (– 10)2 = 100. De itt a > 0, mert a a négyzet oldalhosszúsága.
Ha telket, kertet vagy nyaralót akarunk vásárolni, akkor annak területét négyzetméterben vagy árban tüntetik fel. 38
2.
Mekkora a park 12,56 m2 területű, kör alakú virágágyásának a sugara? Számolj a π 3,14 értékkel!
Válaszd ki az A–D lehetőségek közül a helyeset! A 3,14 m B4m C2m D 6,28 m
2. megoldás A feladatot kétféleképpen is kiszámíthatjuk így is: Ha a kör sugara r, területe pedig T, akkor a területét kiszámíthatjuk:
és így is:
T=π∙r∙r hatványozással T = π ∙ r2 T = 3,14 ∙ r ∙ r T = 3,14 ∙ r2 12,56 = 3,14 ∙ r ∙ r 12,56 = 3,14 ∙ r2 12,56 : 3,14 = r ∙ r 12,56 : 3,14 = r2 4= r∙r 4 = r2 Melyik az a szám, amely önmagával szorozva 4-et ad? Mely szám négyzete egyenlő 4-gyel? 2∙2 =4 22 = 4 A kör alakú virágágyás sugara 2 m. A kör alakú virágágyás sugara 2 m. A helyes felelet a C. A feladatot gyökvonással is meg tudjuk oldani: T = π ∙ r2 T = 3,14 ∙ r2 12,56 : 3,14 = r2 r2 = 4 Igaz ez is: szorzással
r= r = 2,
mert
22 = 4
(– 2)2 = 4. De itt r > 0, mert r a kör sugarának hossza.
A fenti feladatok megoldása során a négyzetre emelésről tanultakat alkalmaztuk: Egy számot négyzetre emelni annyit jelent, mint megszorozni önmagával. Egyúttal azt is megmutattuk, hogy mit jelent négyzetgyököt vonni.
3 3.
Határozd meg a 49 cm2 területű négyzet oldalának hosszát! .
Ha a négyzet oldalát a-val jelöljük, akkor: T = a2 49 = a2 a a= a
Ezt a feladatot bizonyára sokan fejben is meg tudnák oldani.
4.
Határozd meg a 28,26 mm2 területű kör sugarát!
5. megoldás
3. megoldás
a = 7, mert 72 = 49 A négyzet oldalának hossza 7 cm.
5.
Határozd meg a négyzet oldalának hosszát, ha területe: a) 144 dm2 b) 625 mm2 c) 121 m2 d) 2500 cm2 e) 4900 m2
Ha a kör sugara r, akkor: T = π ∙ r2 28,26 = 3,14 ∙ r2 28,26 : 3,14 = r2 9 = r2 r= r = 3, mert A kör sugara 3 mm.
6.
K r S
32 = 9
Határozd meg a kör sugarát, ha területe:
a) 3,14 m2 b) 25,12 dm2 c) 314 cm2 d) 20,24 mm2 e) 78,5 m2 39
Egy nemnegatív (pozitív vagy nulla) a szám négyzetgyöke egy olyan nemnegatív b szám, amelynek a négyzete az a számmal egyenlő. Matematikai szimbólumokkal: Ha a ≥ 0, b ≥ 0, akkor a = b akkor és csak akkor, ha b2 = a. gyökjel
gyökalap
a négyzetgyökvonás eredménye
Egy szám négyzetgyökét így is írhatjuk: Ez a két jelölés ugyanazt jelenti: Ezeket a négyzetgyökértékeket érdemes megjegyezni: 0, mert 02 = 0 · 0 = 0 1, mert 12 = 1 · 1 = 1 , mert 102 = 100 2, mert 22 = 4 5, mert 52 = 25 4, mert 42 = 16 9, mert 92 = 81
§
Igaz ez is: 2 (– 1 ) = 1 2 (– 2) = 4 2 (– 4) = 16
Tudod-e…? A Kr. e. 3. évezredben a mezopotámiai matematikusok feladatmegoldásaik során olyan táblázatokat használtak, amelyek a számok négyzetét, köbét, négyzetgyökét és köbgyökét tartalmazták. A gyökvonást az ún. regula falsi (hibás számítás) módszerével végezték el. Először megbecsülték a gyökvonás eredményét, majd négyzetre emeléssel megállapították, hogy ez milyen mértékben tér el a gyökalaptól. Ezzel a módszerrel 5 tizedesnyi pontossággal meg tudták határozni a 2 négyzetgyökét: .
7.
9.
Vonj négyzetgyököt!
a)
c)
b)
Vonj négyzetgyököt!
a) b)
7. megoldás mert 1102 = 12 100
,
c) Javasolj egy szabályt a fenti feladatok kiszámítására!
mert 92 = 81 és 102 = 100
,
mert ,
Gondolkodtató feladat
Fogalmazz meg olyan feladatokat, amelyekben a négyzetgyökértékeket zsebszámológép használata nélkül is meg lehet határozni! Add fel az osztálytársaidnak, mintha te lennél a tanáruk!
mert 52 = 25 a 42 = 16 mert
8.
10.
Számítsd ki az alábbi kifejezés értékét:
10. megoldás
Vonj négyzetgyököt!
Először a négyzetgyökvonást végezzük el, majd az így kapott értékeket összevonjuk.
a) b) c)
= 4 + 11 – 2 – 1 =
d)
= 15 – 3 A kifejezés értéke 12. 40
= 12
11.
13.
Számítsd ki az alábbi kifejezések értékét:
Az A–D kifejezések közül melyiknek a legnagyobb az értéke?
a) b) c)
A=
C=
B=
D=
d)
14.
Murphy könyveiben a piramisokról is olvashatunk. Eredetileg nem gúlák lettek volna. Amikor az építész bemutatta a fáraónak a terveit, a fáraó azt mondta: „A piramis magassága tetszik, de a költségvetés nem.” Így lett a piramis gúla alakú, mert ez olcsóbb volt. Ha az alábbi négyzetgyökértékeket csökkenő sorrendbe állítod, akkor a megfelelő betűkből megkapod a választ az alábbi kérdésre: Murphy szerint milyen alakúnak kellett volna eredetileg lennie a piramisnak?
e)
12.
Az A–D kifejezések közül melyiknek a legnagyobb az értéke?
A=
C=
B=
D=
12. megoldás Először kiszámítjuk, majd összehasonlítjuk a négyzetgyökök értékét: A=
B
A
Á
S
H
C=
B=
D=
7 < 10 < 11 < 12 ⇒ B < D < C < A Az A kifejezés a legnagyobb (A = 12).
A négyzetgyök értékét általában zsebszámológéppel számítjuk ki. Mivel a zsebszámológépeknek számos fajtája van, ezért érdemes alaposan áttanulmányozni a hozzájuk kapott kézikönyvet.
15.
Vonj négyzetgyököt zsebszámológéppel! Az eredményt kerekítsd két tizedesjegyre! Előtte becsüld meg az eredményt! c)
b)
a)
15. megoldás a) A
a
között áll. Mivel
és a
A becsült eredmény 7,2. b) A
értéke a
és a
A becsült eredmény 0,5. c) A
értéke a
és a
A becsült eredmény 3,5.
= 7 és
= 8, ezért a
értéke 7 és 8 között lesz.
Zsebszámológéppel: között van. Mivel
és
, ezért a
értéke a 0 és az 1 között lesz.
Zsebszámológéppel: között áll. Mivel
és
, ezért a
értéke 3 és 4 között lesz.
Zsebszámológéppel:
Miért jó az eredményt megbecsülni? Ha zsebszámológéppel dolgozunk, előfordulhat, hogy tévesen ütjük be a számot vagy a műveleti jelet. Ha előzőleg megbecsültük a várható eredményt, kisebb a valószínűsége, hogy elhiszszük a hibás eredményt, amelyet a zsebszámológép ad meg. 41
16.
18.
Vonj négyzetgyököt zsebszámológéppel! Az eredményt kerekítsd két tizedesjegyre! Előtte becsüld meg az eredményt!
egyenlőség!
a)
18. megoldás
b)
A feladatot úgy oldjuk meg, hogy kiszámítjuk a bal oldalon álló kifejezés, majd a jobb oldali kifejezés értékét. Ha a két kifejezés értéke egyenlő, akkor igaz az egyenlőség.
c)* Miért érdemes megbecsülni az eredményt? Ha zsebszámológéppel dolgozol, előfordulhat, hogy egy számot vagy egy műveleti jelet tévesen ütsz be. Ha megbecsülöd az eredményt, akkor a zsebszámológép „nem csaphat be” olyan könnyen.
17.
Állapítsd meg, hogy igaz-e a
Bal oldal: Jobb oldal: 30 = 30, tehát az egyenlőség igaz. Gondolkodtató feladat
Válaszd ki az Igaz és a Hamis feleletek közül a megfelelőt!
Határozd meg, hogy igaz-e:
a) A négyzetgyök értéke mindig pozitív vagy nulla. Igaz – Hamis b) Bármely számnak van négyzetgyöke. Igaz – Hamis c) Az 1 négyzetgyöke nulla. Igaz – Hamis d) A négyzetgyökvonás a szorzás inverz művelete. Igaz – Hamis e) A –100 négyzetgyöke –10. Igaz – Hamis
19.
Állapítsd meg, hogy az alábbi egyenlőtlenségek közül melyek igazak!
a) b) c)
A négyzetgyökvonáson kívül más gyökvonás is létezik. Foglalkozzunk még a köbgyökkel! A következő feladat és valószínűleg a köbgyökvonás is már ismerős számodra. Az alábbi feladatokat oldd meg zsebszámológép nélkül! Victor Vasarely festménye
20.
Milyen hosszú lehet a 8 dm3 térfogatú játékkocka éle?
20. megoldás A feladatot kétféleképpen is kiszámíthatjuk így is: Ha a kocka éle a, térfogata pedig V, akkor a térfogatát kiszámíthatjuk:
és így is:
V = a3 V = 8 dm3 a3 = 8 dm3 Mely szám köbe egyenlő 8-cal? 23 = 8 ⇒ a = 2 dm A játékkocka éle 2 dm.
V=a∙a∙a V = 8 dm3 a ∙ a ∙ a = 8 dm3 Melyik az a három egyenlő szám, amelyek szorzata 8? 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8 ⇒ a = 2 dm A játékkocka éle 2 dm.
hatványozással
szorzással
A feladatot köbgyökvonással is kiszámíthatjuk: V = a3
V = 8 dm3
a3 = 8 dm3 42
a=
dm
a = 2 dm,
mert
23 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8 dm
A 20. feladat megoldása során a köbre emelésből indultunk ki, ugyanakkor a köbgyökvonást is alkalmaztuk. Három egyenlő szám szorzatát az adott szám köbének nevezzük. Most bevezetjük a köbgyök fogalmát – kizárólag a nemnegatív számokra értelmezve. A nemnegatív a szám köbgyöke egy olyan nemnegatív b szám, melynek köbe az a szám. Matematikai szimbólumokkal: a = b akkor és csak akkor, ha b3 = a, ahol a ≥ 0, b ≥ 0. gyökjel
gyökalap
§
a köbgyökvonás eredménye
Ezeket a köbgyökértékeket érdemes megjegyezni: →
103 = 1000
→
→
43 = 64
→
Projektfeladat
b) V = 0,027 dm3
c) V =
m3
Határozd meg köbre emeléssel vagy szorzással az alábbi köbgyökértékeket! b)
a)
53 = 125
→
Alkalmazd a köbgyökvonást!
22.
(0,2)3 = 0,008
23 = 8
Határozd meg a kocka élének hosszát, ha térfogata:
a) V = 729 cm3
0,13 = 0,001
→
→
21.
→
c)
Foglald össze a négyzetgyökről és a köbgyökről tanultakat! Hasonlítsd össze definícióikat és tulajdonságaikat! Készíts számítógépes bemutatót osztálytársaiddal a gyökvonásról!
24.
Határozd meg zsebszámológéppel az alábbi köbgyökértékeket! Az eredményeket kerekítsd két tizedesjegyre!
a)
22. megoldás
b) = 0,5,
a) mert 53 = 125
c)*
25.
mert 1003 = 1 000 000
Rendezd növekvő sorrendbe a <, = jelek segítségével az alábbi négyzetgyök- és köbgyökértékeket!
vagy b)
,
mert 0,63 = 0,216
c)
,
mert 0,43 = 0,064
23.
25. megoldás Egyenként elvégezzük a gyökvonást, majd növekvő sorrendbe rendezzük az eredményeket.
Határozd meg köbre emeléssel vagy szorzással az alábbi köbgyökértékeket!
a) b)
Mivel 0,5 < 1,75 < 5 < 8,
c)
ezért
. 43
26.
Hasonlítsd össze a <, >, = jelek segítségével az alábbi négyzetgyök- és köbgyökértékeket!
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Tudáspróba Minden feladatban csak egy helyes választ találsz. A helyes eredmények betűjelét összeolvasva egy értelmes szót kapsz. 1. A 144 négyzetgyöke: A – 72 B 12 C – 11 D 72
6. A 0,027 köbgyöke: P 0,9 S 0,3
2. A 0,64 négyzetgyöke: O 0,08 P – 8,0 R 0,8 S 0,4
7. A
értéke:
3. A
A
B
C
D
R 0,03 T 0,009
értéke:
I
J 0,14
K
L 0,6 értéke:
8. A
A C
B D
9. Az alábbi egyenlőtlenségekből is csak egy igaz. 4. A
értéke:
P
R
S
T
V
W
Z
10. Az alábbi mondatokból csak egy igaz: A Negatív számból nem lehet négyzetgyököt vonni. B Egy szám négyzetgyöke és köbgyöke egyenlő. C 0-ból nem lehet négyzetgyököt vonni. D Az 1 köbgyöke 0,3.
5. A 64 köbgyöke:
H2 J –2
U
I 4 K –4
Jegyezd meg! Négyzetgyök Ha a ≥ 0, b ≥ 0 akkor ha b2 = a. Például:
akkor és csak akkor,
, , ,
Köbgyök
mert
92 = 81
mert
0,52 = 0,25
Ha a ≥ 0, b ≥ 0 akkor ha b3 = a. Például:
,
mert , ,
mert
b≠0
b≠0
44
akkor és csak akkor,
mert mert
23 = 8 0,53 = 0,125
2. Pitagorasz tétele 2.1. Pitagorasz tétele és a derékszögű háromszög Pitagorasz tételére szinte mindenki emlékszik, aki iskolába járt. Kérdezd meg szüleidet, mit tudnak Püthagoraszról! Háromszögekről és a geometriáról fognak beszélni.
Idézzük fel!
bernek m e z a k a t d azért a Az stenek hogy ne zaklassa´o´ket két kezet, ósággal. Püthagorasz m nden apr
Biztosan meg tudod oldani a következő két feladatot:
1.
Szerkeszd meg az ABC háromszöget, ha adott: a = 4 cm, b = 3 cm és c = 5 cm! Mérd meg a háromszög belső szögeit, és határozd meg, milyen háromszögről van szó!
1. megoldás Elemzés:
2.
Számítsd ki a négyzetek területét!
Vázlat:
|AB | = c = 5 cm |BC| = a = 4 cm |AC| = b = 3 cm
T2
T1
b = 3 cm a = 4 cm
Megszerkesztjük az AB 5 cm-es szakaszt. A k1(B, 4 cm) és a k2(A, 3 cm) körívek metszeteként meghatározzuk a C pont helyzetét. A C pont a két körív metszéspontja, amit a ∩ (metszet) jellel így írhatunk le: . A szerkesztés lépései: 1. AB; |AB | = 5 cm 2. k1; k1(B, 4 cm) 3. k2; k2(A, 3 cm) 4. C; 5. ABCΔ
k2
C
T3
k1
A Megvitatás: A feladatnak ebben a síkrészben két megoldása van. A méréssel nyert szögméretek:
c = 5 cm
2. megoldás B
|ABC | = 37°, |BAC | = 53°, |BCA | = 90°. A 90°-os BCA szög derékszög, tehát az ABC háromszög derékszögű. Megjegyzés
Szögméréskor számolnunk kell a szerkesztés esetleges pontatlanságával. A rajzok a tankönyvben többnyire kicsinyítve jelennek meg.
Az a oldalú négyzet területe: T = a · a vagy T = a2 A négyzetek területe: T2 = b2 = 32 = 9 T1 = a2 = 42 = 16 T1 = 16 cm2 T2 = 9 cm2 2 2 T3 = c = 5 = 25 T3 = 25 cm2 Mi az érdekes ezekben a négyzetekben? A két kisebb négyzet területének összege megegyezik a legnagyobb négyzet területével: T1 + T2 = T3 45
Megszerkesztettük a 3 cm, 4 cm, 5 cm oldalú háromszöget. Kiszámítottuk a 3 cm, 4 cm, 5 cm oldalú négyzetek területét. Hogyan függ össze az előző feladatok megoldása Pitagorasz tételével? Készítsünk ábrát a megszerkesztett háromszögből és a négyzetekből.
l a de Idézzük fe eit: osszabb özti, legh k zés m e e v z e s n l g e e m ögg a deréksz átfogó – ldal; a deréko b oldalai, b e id v rö ög a háromsz befogók – zög szárai. s
a befogók fölé rajzolt négyzetek 16 cm2
C
lainak
szög olda
három rékszögű
Segítség
átfo
9 cm2
gó
·
a = 4 cm
befogó
b = 3 cm
A
B
c = 5 cm
·
befogó
Pitagorasz tétele Ha egy derékszögű háromszögnek c az átfogója, a, b pedig a két befogója, akkor c2 = a2 + b2. Ezt a képletet az alábbiakban Pitagorasz-összefüggésnek fogjuk nevezni.
25 cm2
A derékszögű háromszög átfogójára rajzolt négyzet területe egyenlő a befogók fölé rajzolt négyzetek területösszegével.
§
az átfogó fölé rajzolt négyzet
Tudod-e…? Nézd meg jól ezt az ábrát! A négyzetrácsban háromszögek és négyzetek láthatók. A piros háromszögről és a zöld négyzetekről elmondható, hogy az AB oldalú négyzet összeállítható az AC és a BC oldalú négyzetekből.
C .
3 4
4
B
1 2
Mivel a négyzeteket alkotó háromszögek derékszögűek, az ABC háromszögre teljesül Pitagorasz tétele.
A 3
1 2
Figyeljétek meg ezeket az ábrákat!
B
a
bb22 b
c
b
A
.
B
C
c2 C
a
a
2 aa2
D
b
A D
Balra egy a, b befogójú és c átfogójú derékszögű háromszög, jobbra pedig két egybevágó, a + b oldalhosszúságú négyzet látható. Mindkét négyzet tartalmaz négy-négy egybevágó derékszögű háromszöget (A, B, C, D), de ezek a két négyzetben más-más helyzetben vannak. Az első négyzetben fennmarad egy a és egy b oldalú négyzet, amelyek területe a2 és b2. A másik négyzetben fennmarad egy c oldalú négyzet, amelynek területe c2. Mivel mindkét nagy négyzet területe ugyanazzal a területtel (az A, B, C, D háromszögek területével) csökkent, a megmaradt részeknek is ugyanakkora a területe, azaz a2 + b2 = c2. Minden derékszögű háromszögre teljesül a Pitagorasz-összefüggés. 46
A Pitagorasz-tétel megfordítása Ha egy háromszög a, b, c oldalaira fennáll a c2 = a2 + b2 Pitagorasz-összefüggés, akkor ez a háromszög derékszögű. Ennek a derékszögű háromszögnek a c az átfogója, az a és a b pedig a befogói.
3.
§
Szerkeszd meg az ABC háromszöget, melynek ¼szöge 90°-os, oldalainak hossza pedig: a = 8 cm, b = 15 cm!
Mérd meg a c oldal hosszát, és győződj meg róla, hogy teljesül-e a c2 = a2 + b2 Pitagorasz-összefüggés!
3. megoldás Elemzés: |ACB| = ¼ = 90° |BC| = a = 8 cm |AC| = b = 15 cm Megszerkesztjük az |AC| = b = 15 cm-es szakaszt. Majd megszerkesztjük az |ACX| = ¼ = 90°-os szöget. A B pontot a k(C, 8 cm) körívvel szerkesztjük meg.
Vázlat:
C
·
A szerkesztés lépései: 1. AC; |AC| = 15 cm 2. ACX; |ACX| = 90° 3. k; k(C, 8 cm) 4. B; 5. ABCΔ
k A
B
Megvitatás: A feladatnak ebben a síkrészben egy megoldása van. A lemért c oldal hossza 17 cm. A háromszög derékszögű, derékszöge a C csúcsnál van. A c oldal az átfogó (a derékszöggel szemközt fekvő, leghosszabb oldal), az a és a b a két befogó. A Pitagorasz-összefüggés: c2 = a2 + b2. Behelyettesítjük a háromszög oldalhosszúságait: c2 = 172 = 289 a2 + b2 = 82 + 152 = 64 + 225 = 289
Ez egy igaz egyenlőség.
X
Megjegyzés
Ha az ABCΔ egyik belső szöge derékszög, akkor a háromszög derékszögű. Pytagorova rovnosť preň platí. Megjegyzés
Az oldalhosszúságok mérésekor számolnunk kell a szerkesztés pontatlanságával. Az eltérés olykor 1-2 mm is lehet.
Meggyőződtünk róla, hogy az ABC háromszögre teljesül a Pitagorasz-összefüggés.
47
4.
5.
Szerkeszd meg a KLM háromszöget, ha adott |KL| = 5 cm, |KM| = 12 cm és |LKM| = 90°. Mérd meg az LM oldal hosszát, majd győződj meg arról, hogy teljesül-e erre a háromszögre a Pitagorasz-összefüggés!
Mérd meg a háromszög többi oldalát, és állapítsd meg, hogy derékszögű-e a DEF háromszög!
4. megoldás
5. megoldás
Elemzés: Vázlat: |LKM| = 90° |KL| = m = 5 cm |KM| = l =12 cm Szerkesszük meg a |KL| = 5 cm szakaszt. Majd szerkesszük meg az |LKX| = 90°-os szöget. Az M pontot a k(K, 12 cm) körívvel szerkesztjük meg.
Elemzés: |DFE| = 60° |DF| = e = 6,5 cm me = 2,8 cm
M
A szerkesztés menete: 1. DF; |DF| = 6,5 cm 2. DFX; |DFX| = 60° 3. p; p || DF, |p, DF| = 2,8 cm 4. E; 5. DEFΔ
k
L K · Megvitatás: A feladatnak ebben a síkrészben egy megoldása van. Az LM szakasz lemért hossza 13 cm. A háromszög derékszögű, derékszöge a K csúcsnál van. Az LM oldal az átfogó (a derékszöggel szemközti, leghosszabb oldal), a KL és a KM a két befogó. A Pitagorasz-összefüggés:
|LM|2 = |KM|2 + |KL|2. Behelyettesítjük a háromszög oldalainak hosszúságát, és megállapítjuk, hogy igaz-e az egyenlőség:
|LM|2 = 132 = 169 |KM|2 + |KL|2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169
Vázlat:
Megszerkesztjük a |DF| = 6,5 cm szakaszt. Megszerkesztjük a 60°-os DFX szöget. Az E pont rajta van a DF szakasztól 2,8 cm-re levő p párhuzamoson.
X A szerkesztés menete: 1. KL; |KL| = 5 cm 2. LKX; |LKX| = 90° 3. k; k(K, 12 cm) 4. M; 5. KLMΔ
Szerkeszd meg a DEF háromszöget, ha adott:
|DF| = 6,5 cm, me = 2,8 cm (az e oldalhoz tartozó magasság), |DFE| = 60°.
Az egyenlőség igaz.
Meggyőződtünk róla, hogy a KLM háromszögre teljesül a Pitagorasz-összefüggés.
X E
p
. D F Megvitatás: A feladatnak ebben a síkrészben egy megoldása van. A DE oldal lemért hossza 5,6 cm, az FE oldalé 3,3 cm. A leghosszabb oldalt tekintjük az átfogónak, a fennmaradó két oldal a befogó. A Pitagorasz-összefüggés:
|DF|2 = |DE|2 + |FE|2. A háromszög oldalhosszúságainak behelyettesítésével megállapítjuk, hogy igaz egyenlőséget kapunk-e. |DF|2 = 6,52 = 42,25 |DE|2 + |FE|2 = 5,62 + 3,32 = 31,36 + 10,89 = 42,25 Az egyenlőség igaz. Meggyőződtünk róla, hogy a DEF háromszögre teljesül a Pitagorasz-összefüggés.
Tudod-e…? Az ókori Egyiptomban az óriási épületek, főleg a templomok alapozásakor először kikövezték az alapterületet, majd ebbe a kövezetbe vonalakat véstek. Az alaprajzot meghatározó téglalap négy csúcsát ünnepélyesen tűzték ki, ami olykor hónapokig is eltartott. Aki eltért a meghatározó téglalaptól, azt halállal is büntethették.
Következtetés: Pitagorasz tételének megfordítása értelmében a DEFΔ derékszögű. Megjegyzés
Milyen következtetésre jutsz, ha az oldalak helyett a háromszög szögeit méred meg?
48
6.
7.
Szerkeszd meg a PRQ háromszöget, ha adott: |PR| = 7 cm, mq = 4 cm (a háromszög q oldalához tartozó magasság), |PRQ| = 45°. Mérd meg a háromszög többi oldalát is, és állapítsd meg, hogy teljesül-e a Pitagorasz-összefüggés!
Szerkeszd meg az ABC háromszöget, ha adott: c = 5 cm, a = 4 cm, sc = 3 cm (a c oldalhoz tartozó súlyvonal). Mérd meg a fennmaradó oldal hosszát, és állapítsd meg, hogy teljesül-e a Pitagorasz-összefüggés!
6. megoldás
7. megoldás
Elemzés: |PR| = q = 7 cm mq = 4 cm |PRQ| = 45°
Vázlat:
Elemzés: |AB| = c = 5 cm |BC| = a = 4 cm sc = 3 cm
Vázlat:
Segítség
onala zög súlyv A hároms akasz, amely sz egy olyan spontot úc s c ik az egy özépti oldal k z ö k a szem ze. l köti öss pontjáva
Megszerkesztjük a |PR| = 7 cm-es szakaszt, majd megszerkesztjük a 45°-os PRX szöget. A Q pont rajta van a PR szakasszal párhuzamos p egyenesen, amely a PR-től 4 cm-re fekszik, mivel mq = 4 cm. A szerkesztés lépései: 1. PR; |PR| = 7 cm 2. PRX; |PRX| = 45° 3. p; p || PR, |p,PR| = 4 cm 4. Q; X 5. PRQΔ Q
p
P R Megvitatás: A feladatnak ebben a síkrészben egy megoldása van. Az oldalak lemérésével megállapítjuk, hogy a RQ oldal hossza 5,5 cm, a PQ oldalé pedig 5 cm. A leghosszabb oldalt fogjuk átfogónak tekinteni, a rövidebbek lesznek a befogók. A Pitagorasz-összefüggés: |PR|2 = |PQ|2 + |RQ|2. A háromszög oldalhosszúságainak behelyettesítésével megállapítjuk, hogy igaz egyenlőséget kapunk-e. |PR|2 = 72 = 49 |PQ|2 + |RQ|2 = 52+ 5,52 = 25 + 30,25 = 55,25 49 ≠ 55,25
Az egyenlőség hamis.
Megállapítottuk, hogy a PQR háromszögre nem teljesül a Pitagorasz-összefüggés.
Megszerkesztjük az |AB| = 5 cm szakaszt. A c oldalhoz tartozó súlyvonal egyik végpontja a C, a másik pedig az O, amely az AB szakasz középpontja. Ezért a C pontot a k1(O, 3 cm) és k2(B, 4 cm) körívek metszeteként kapjuk meg. A szerkesztés lépései: 1. AB; |AB| = 5 cm 2. O; O ∈ AB,|AO| = |OB| 3. k1; k1(O, 3 cm) 4. k2; k2(B, 4 cm) 5. C; 6. ABCΔ
C
k1
k2
A B O Megvitatás: A feladatnak ebben a síkrészben egy megoldása van. Az AC oldal lemért hossza 4 cm. De a BC oldal is 4 cm. Megállapítjuk, hogy teljesül-e erre a háromszögre a Pitagorasz-összefüggés. A leghosszabb oldalt tekintjük az átfogónak, a fennmaradó két oldal pedig a befogó. A Pitagorasz-összefüggés: |AB|2 = |AC|2 + |BC|2. A háromszög oldalhosszúságainak behelyettesítésével megállapítjuk, hogy igaz egyenlőséget kapunk-e. |AB|2 = 52 = 25 |AC|2 + |BC|2 = 42 + 42 = 16 + 16 = 32 25 ≠ 32 Az egyenlőség hamis. Megállapítottuk, hogy a ABC háromszögre nem teljesül a Pitagorasz-összefüggés. Gondolkodtató feladat
Állapítsd meg, hogy létezik-e egyenlő szárú derékszögű háromszög!
49
8.
10.
8. megoldás
10. megoldás
Szerkeszd meg az ABC háromszöget, ha adott: b = 5 cm, |BAC| = 30° és sb = 3 cm (a b oldalhoz tartozó súlyvonal). Mérd meg a háromszög többi oldalát is, és állapítsd meg, teljesül-e a Pitagorasz-összefüggés!
Elemzés: |AC| = b = 5 cm |BAC| = 30° sb = 3 cm
Vázlat:
A Pitagorasz-tétel megfordításából indulunk ki. a) KLMΔ, |KL| = 3367 mm, |LM| = 34,56 dm, |KM| = 482,5 cm Az oldalhosszúságok különböző mértékegységekben szerepelnek, ezért minden hosszúságot mm-ben fejezünk ki. Így minden mérőszám természetes szám lesz – ezekkel könnyebb lesz számolni.
Fölvesszük az |AC| = 5 cm szakaszt. A B pont a b oldalhoz tartozó súlyvonal egyik végpontja, és illeszkedik a CAX szög AX szögszárára is. A B pontot a k(O; 3 cm) körív segítségével szerkesztjük meg. A szerkesztés lépései: 1. AC; |AC| = 5 cm 2. CAX; |CAX| = 30° 3. O; O∈ AC, |AO| = |OC| 4. k; k(O, 3 cm) 5. B; 6. ABCΔ
B X Megvitatás: A feladatnak ebben a síkrészben egy megoldása van. Az AB szakasz lemért hossza 5 cm, a CB szakaszé pedig 2,5 cm. Győződj meg róla számítással, hogy erre a háromszögre nem teljesül a Pitagorasz-összefüggés!
Tudod-e…?
1
8 9 11
b) XYZΔ, x = 17, y = 14, z = 11 A leghosszabb oldal (x) lesz az átfogó, a másik kettő (az y és a z) a befogó. A Pitagorasz-összefüggés: x2 = y2 + z2 A háromszög oldalhosszúságainak behelyettesítésével megállapítjuk, hogy igaz egyenlőséget kapunk-e.
6 5
Következtetés: Az XYZ háromszög nem derékszögű.
7
10
Következtetés: A Pitagorasz-tétel megfordítása értelmében a KLM háromszög derékszögű.
x2 = 172 = 289 y2 + z2 = 142 + 112 = 196 + 121 = 317 289 ≠ 317 Az egyenlőség hamis.
·
2
3
4
Szerkeszd meg az adott háromszögeket! Mérd meg a többi oldal hosszát is, és állapítsd meg, hogy a háromszögre teljesül-e a Pitagorasz-összefüggés!
a) ABCΔ, |AB| = 4 cm, |BC| = 7 cm, |BAC| = 70° b) ABCΔ, a = 4 cm, b = 6 cm, sb = 5 cm c) ABCΔ, c = 6 cm, |ABC| = 30°, mc = 4 cm 50
Felírjuk a Pitagorasz-összefüggést, majd megállapítjuk, hogy igaz egyenlőséget kapunk-e. A leghosszabb oldal (KM) lesz az átfogó, a rövidebbek (az LM és a KL) a befogók.
= 23 280 625 23 280 625 = 23 280 625 Igaz egyenlőséget kaptunk.
k
O
Nemcsak Egyiptomban, hanem Indiában is figyelemre méltó épületeket emeltek már az ókorban. A derékszöget így tűzték ki: Egy kifeszített spárgára 13 csomót kötöttek egymástól egyenlő távolságra, (például 50 cm-re). A spárga 1. és 13. csomóját egy adott 12 pontban rögzítették, majd a 4. és 8. csomóban kifeszítették (lásd az ábrát). 13 Az 148 háromszög derékszögű.
|KL | = 3367 mm |LM | = 3456 mm |KM| = 4825 mm
|KM|2 = 48252 = 23 280 625 |KL|2 + |LM|2 = 33672 + 34562 = 11 336 689 + 11 943 936 =
C
A
9.
Állapítsd meg, hogy az adott háromszögek derékszögűek-e! a) KLMΔ, |KL| = 3367 mm, |LM| = 34,56 dm, |KM| = 482,5 cm b) XYZΔ, x = 17, y = 14, z = 11
11.
Döntsd el, hogy az alábbi háromszögek derékszögűek-e!
a) ABCΔ, a = 8 cm, b = 15 cm, c = 17 cm b) DEFΔ, d = 1,2 dm, e = 1,3 dm, f = 0,5 dm c) PRSΔ, |PR| = 5 m, |RS| = 12 m, |PS| = 13 m d) MNOΔ, |MN| = 0,12 m, |NO| = 13 dm, |MO| = 50 mm
12.
Az alábbi három háromszög közül csak az egyik derékszögű. Melyik? a) XYZΔ, x = 15 cm, y = 12 cm, z = 11 cm b) KLMΔ, |KL| = 6 dm, |LM| = 10 dm, |KM| = 8 dm c) DEFΔ, d = 130 mm, e = 215 mm, f = 100 mm
12. megoldás
14. megoldás A háromszögek derékszögűek, tehát az ismeretlen oldal kiszámításához felhasználhatjuk Pitagorasz tételét. Először megállapítjuk, hogy az oldalak közül melyik az átfogó és melyek a befogók. a) · 12
Ebben a feladatban bátran alkalmazhatjuk a becslés (intuíció – megérzés) módszerét, amelyre sok hasonló feladat megoldása révén tehetünk szert. Tegyük fel, hogy a b) feladatban adott háromszög a megoldás. A Pitagorasz-tétel megfordítását alkalmazva győződünk meg arról, hogy sejtésünk igaz-e. Az LM oldalt tekintjük átfogónak, a KL és KM oldalakat pedig befogóknak. Írjuk fel a Pitagorasz-összefüggést! |LM|2 = |KL|2 + |KM|2. A háromszög oldalhosszúságainak behelyettesítésével megállapítjuk, hogy igaz egyenlőséget kapunk-e. |LM|2 = 102 = 100 |KL|2 + |KM|2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100 100 = 100 Az egyenlőség igaz. Megállapítottuk, hogy a Pitagorasz-tétel megfordítása értelmében a KLMΔ derékszögű. A megoldás a b) feladat háromszöge. Miért zártuk ki már az elején az a) és a c) lehetőséget? Mert becsléssel is láthatjuk, hogy az a) esetben 152 ≠ 122 + + 112, vagyis 225 ≠ 265. Hasonlóan a c) esetben fejben kiszámítható, hogy 1302 + 1002, kevesebb, mint 2152.
15
x Az átfogó a derékszöggel szemközt fekszik – ez az x oldal. A háromszög átfogójának hosszát kell kiszámítanunk. A befogók hossza 12 és 15 egység. Írjuk fel a Pitagorasz-összefüggést:
Azt a számot keressük, amelynek a négyzete 369 – ezért négyzetgyököt vonunk.
Két tizedesjegyre kifejezve: x = 19,20.
Az x átfogó hossza 19,20 hosszegység. b)
1,8
Az átfogó a derékszöggel szemben fekszik. Ennek hossza 2,6 hosszegység. Az egyik befogó hossza 1,8 hosszegység, a másiké x. A másik befogó hosszát kell kiszámítanunk.
2,6
Az alábbi három háromszög közül csak az egyik derékszögű. Melyik? a) ABCΔ, a = 13 cm, b = 11 cm, c = 7 cm b) PRSΔ, |PR| = 5 dm, |RS| = 40 cm, |PS| = 0,3 m c) DEFΔ, d = 1,7 cm, e = 15 mm, f = 4 cm
14. a)
Számítsd ki az ábrán látható derékszögű háromszögek x-szel jelölt oldalának hosszát! Az eredményt fejezd ki két tizedesjegyre! b) · 12
15 1,8
2,6
·
13.
x Írjuk fel a Pitagorasz-összefüggést: 2,62 = 1,82 + x2 6,76 = 3,24 + x2 x2 = 6,76 – 3,24 Azt a számot keressük, amelynek x2 = 3,52 négyzete 3,52 – ezért négyzetgyököt vonunk.
x = 1,876 1...
Két tizedesjegyre kifejezve: x = 1,87.
x
·
A befogó hossza 1,87 hosszegység. x Megjegyzés a 14. feladathoz
Két tizedesjegyre dolgozni nem ugyanaz, mint az eredményt két tizedesjegyre kerekíteni. x = 19,209 37 két tizedesjegyre kifejezve: x = 19,20 (a harmadik tizedesjegytől kezdve minden számjegyet elhagyunk) x = 19,209 37 két tizedesjegyre kerekítve x 19,21 (századokra kerekítünk)
Gondolkodtató feladat
Némely feladat kiszámításához sok idő kell. Egy filozófus szerint: „Az idő a gondolkodás egyik módja.” Állapítsd meg, ki mondta ezt! Érdekes megállapításra juthatsz.
51
16. megoldás – folytatás
15.
Számítsd ki az ábrán látható derékszögű háromszögek x oldalának hosszát! Az eredményt fejezd ki két tizedesjegyre! 2 a) b)
·
45
Írjuk fel a Pitagorasz-összefüggést:
23
·
4
x
x c)
d) 26
|MN|2 = |NO|2 + |MO|2 342 = 142 + |MO|2 1156 = 196 + |MO|2 |MO|2 = 1156 – 196 |MO|2 = 960 Azt a számot keressük, amelynek |MO| =
5,6
|MO| = 30,983 8...
x 2,1
x
Két tizedesjegyre kifejezve: r = 30,98.
·
·
négyzete 960 – ezért négyzetgyököt vonunk.
Az MO oldal hossza 30,98 cm.
12
16.
Számítsd ki a derékszögű háromszögek hiányzó oldalainak hosszát: a) PRSΔ, |PR| = 6 m, |RS| = 12 m, |PRS| = 90° b) MNOΔ, |MN| = 34 cm, |NO| = 1,4 dm, |MON| = 90° Az eredményt fejezd ki két tizedesjegyre!
16. megoldás A háromszögek derékszögűek, ezért ismeretlen oldalaik kiszámításához felhasználhatjuk Pitagorasz tételét. a) PRSΔ, |PR| = 6 m, |RS| = 12 m, |PRS| = 90° Az átfogó a derékszöggel szemben fekvő PS oldal. S A két befogó a PR és az RS.
r=?
p = 12 m
Írjuk fel a Pitagorasz-összefüggést:
|PS|2 = |PR|2 + |RS|2 · r2 = 62 + 122 P 2 R s = 6 m r = 36 + 144 2 Azt a számot keressük, amelynek r = 180 négyzete 180 – ezért négyzetgyököt vonunk.
r = r = 13,416 4... Két tizedesjegyre kifejezve: r = 13,41.
17.
Számítsd ki a derékszögű háromszögek hiányzó oldalainak hosszát: a) ABCΔ, a = 8 cm, b = 15 cm, |ABC| = 90° b) DEFΔ, d = 1,2 dm, e = 1,3 dm, |DEF| = 90° c) KLMΔ, |KL| = 100 mm, |LM| = 60 mm, |KML| = 90° d) XYZΔ, x = 1,4 m, y = 28 dm, |XZY| = 90° Az eredményt fejezd ki két tizedesjegyre!
18.** Írd le, milyen képlettel számítható ki: a) az ABC háromszög átfogójának hossza, ha a B csúcsban van a derékszög; b) az ABC háromszög befogóinak hossza, ha az A csúcsban van a derékszög!
19.*
Az alábbi összefüggések közül csak az egyik igaz. Ha az ABCΔ derékszöge az A csúcsban van, akkor az átfogóját az alábbi összefüggéssel lehet kiszámítani:
A c=
b) MNOΔ, |MN| = 34 cm, |NO| = 1,4 dm, |MON| = 90° ·
n=?
O m = 1,4 dm = 14 cm
o = 34 cm N M Az átfogó a derékszöggel szemben fekvő MN oldal, |MN| = 34 cm. Az egyik befogó az 1,4 dm hosszúságú NO, a másik az MO oldal. Az MO befogó hosszát kell kiszámítanunk.
52
C b=
20.*
Az alábbi összefüggések közül csak az egyik igaz. Ha az ABCΔ derékszöge a B csúcsban van, akkor a másik befogóját az alábbi összefüggéssel lehet kiszámítani: A c=
A PS oldal hossza 13,41 hosszegység.
B a=
B a=
C b=
Pitagorasz tétele és a háromszögek Pitagorasz tételét talán a háromszögekkel kapcsolatos számításokban alkalmazzuk a leggyakrabban. Bármely általános háromszög a magasságával feldarabolható két derékszögű háromszögre.
22.
Számítsd ki az egyenlő szárú háromszög magasságát, amelynek: a) alapja 106 mm; b) alapja 0,23 dm; c)* alapja a Az eredményt fejezd ki két tizedesjegyre!
21.
Számítsd ki az egyenlő szárú háromszög magasságának hosszát, ha szárainak hossza 6 cm! Az eredményt fejezd ki két tizedesjegyre!
23.
Számítsd ki az egyenlő szárú háromszög alaphoz tartozó magasságát, ha az alap hossza 6 cm, a száraké pedig 5 cm!
21. megoldás A megoldás elején vázlatrajzot készítünk az egyenlő szárú ABC háromszögről. Mivel a háromszög mc magasságvonala merőleges az AB oldalra, a keletkező AKC háromszög derékszögű, ahol a K pont az AB oldal középpontja. Tehát alkalmazható Pitagorasz tétele.
23. megoldás A megoldás elején vázlatrajzot készítünk. Az AB alapú, egyenlő szárú ABC háromszög vázlatrajzában megrajzoljuk az alaphoz tartozó magasságot. C
C 5 cm
5 cm 6 cm
6 cm
m mc
· A 3 cm
·
A
B
K
3 cm
3 cm
Az mc magasság (KC szakasz) az egyenlő szárú háromszöget két derékszögű háromszögre darabolja. A háromszögek egyikét külön lerajzoljuk, majd megkeressük az átfogóját és a befogóit. C
6 cm
mc · A
3 cm
K
Az átfogó az AC szakasz, a két befogó pedig az AK és a KC szakasz. Az mc magasság a derékszögű háromszög KC befogója. Írjuk fel a Pitagorasz-összefüggést: |AC|2 = |AK|2 + |KC|2 62 = 32 + mc2 36 = 9 + mc2 mc2 = 36 + 9 mc2 = 27 mc = mc = 5,196 1... Két tizedesjegyre kifejezve: mc = 5,19. Az egyenlő szárú ABC háromszög magassága 5,19 cm.
K
3 cm
B
Az m magasság, vagyis a KC szakasz két derékszögű háromszögre darabolja az egyenlő szárú háromszöget. A K pont az AB oldal felezőpontja. 5 cm A háromszögek egyikét újra lerajzoljuk, majd megkeressük az átfogóját és a befogóit. A megoldáshoz Pitagorasz 3 cm A tételét alkalmazzuk.
C
m
· K
Az átfogó az AC szakasz, a két befogó pedig az AK és a KC szakasz. Az m magasság a derékszögű háromszög KC befogója. Írjuk fel a Pitagorasz-összefüggést: |AC|2 = |AK|2 + |KC|2 52 = 32 + m2 25 = 9 + m2 m2 = 25 – 9 m2 = 16 m = m = 4 Az egyenlő szárú ABC háromszög magasságának hossza 4 cm.
24.
Számítsd ki az egyenlő szárú háromszög magasságát, ha a) alapja 23 mm, szárainak hossza pedig 35 mm; b) alapja 0,7 dm, szárainak hossza pedig 9 cm; c)* alapja a, a szárainak hossza pedig b. Az eredményt fejezd ki két tizedesjegyre! 53
Pitagorasz tétele és a paralelogrammák A paralelogrammákra vonatkozó feladatokban is gyakran alkalmazzuk Pitagorasz tételét. Hogy oldjuk meg ezeket a feladatokat? A paralelogrammákat – amennyiben lehetséges – derékszögű háromszögekre daraboljuk.
25.
27.
25. megoldás
27. megoldás
Számítsd ki az 5 cm oldalú négyzet átlóinak hosszát! Az eredményt fejezd ki két tizedesjegyre!
Vázlatot készítünk a négyzetről: megjelöljük a csúcsait, oldalait és az egyik átlóját. Megnézzük, keletkezett-e valahol derékszögű háromszög. Mivel a négyzet oldalai merőlegesek egymásra, a keletkező ABC háromszög derékszögű, amelyre alkalmazható Pitagorasz tétele. D
Milyen hosszú annak a négyzetnek az oldala, amelynek átlója 7 cm hosszú? Az eredményt fejezd ki két tizedesjegyre!
Vázlatot készítünk a négyzetről: megjelöljük a csúcsait és az oldalait. Kijelöljük az e átlót. A négyzet oldalai merőlegesek egymásra, így derékszögű háromszög keletkezik, amelyre alkalmazható Pitagorasz tétele. D
C
C az ABCD négyzet átlója
e = 7 cm a
az ABCD négyzet átlója
e
a = 5 cm
· A
· A
B
a = 5 cm
B
a
A négyzetben kijelöljük a derékszögű ABC háromszöget. C
A négyzetben kijelöljük a derékszögű ABC háromszöget. Ajánlatos külön megrajzolni: C
e a
·
e a
A
·
a
B
Ennek a háromszögnek az e = AC átló az átfogója, a két befogója az AB és a BC. Írjuk fel a Pitagorasz-összefüggést: |AC|2 = |AB|2 + |BC|2 e2 = 52 + 52 e2 = 50 e = e = 7,071 06... Két tizedesjegyre kifejezve: e = 7,07. A négyzet e átlójának hossza 7,07 cm.
Ennek a háromszögnek az e = AC átló az átfogója, két befogója az AB és a BC. Írjuk fel a Pitagorasz-összefüggést: |AC|2 = |AB|2 + |BC|2 72 = a2 + a2 72 = 2 · a2 a2 = 49 : 2 a2 = 24,5 a = a = 4,949 7... Két tizedesjegyre kifejezve: a = 4,94. A négyzet oldalának hossza 4,94 cm.
26.
28.
A
a
B
Számítsd ki a négyzet átlójának hosszát, ha oldalának hossza: a) 7,2 dm b) 56 mm c)* a Az eredményt fejezd ki két tizedesjegyre! 54
Milyen hosszú annak a négyzetnek az oldala, amely átlójának hossza: a) 4,8 dm b) 32 mm c)* e Az eredményt fejezd ki két tizedesjegyre!
29.
31.
Számítsd ki a 4 cm és 3 cm oldalhosszúságú téglalap átlójának hosszát!
Számítsd ki a téglalap másik oldalának hosszát, ha a téglalap átlójának hossza 6,5 cm, az egyik oldala pedig 4,5 cm! Az eredményt fejezd ki két tizedesjegyre!
29. megoldás
31. megoldás
Felvázoljuk a téglalapot, megjelöljük az oldalait, a csúcsait és az átlóját. Ebben az esetben is derékszögű háromszöget keresünk. Mivel a téglalap oldalai merőlegesek egymásra, egy átló a téglalapot két derékszögű háromszögre bontja. Ezek egyike az ABC háromszög, amelyre alkalmazható Pitagorasz tétele. D
Vázlatrajzot készítünk a téglalapról. A téglalap oldalai merőlegesek egymásra, az átló a téglalapot két derékszögű háromszögre osztja. Ezek egyike az ABCΔ, amelyre alkalmazható Pitagorasz tétele. D
C
C b e = 6,5 cm
b = 3 cm e
az ABCD téglalap átlója
az ABCD téglalap átlója
·
· a = 4 cm A B A téglalapban kijelöljük a derékszögű ABC háromszöget. C
e
A
B
a = 4,5 cm
A téglalapban kijelöljük a derékszögű ABC háromszöget. C
e = 6,5 cm
b = 3 cm
b
· a = 4 cm
A B Ennek a háromszögnek az átfogója az e = AC átló, befogói a téglalap AB és BC oldalai. Írjuk fel a Pitagorasz-összefüggést: |AC|2 = |AB|2 + |BC|2 e2 = 42 + 32 e2 = 25 e = e = 5 A téglalap e átlójának hossza 5 cm.
30.
Számítsd ki a téglalap átlójának hosszát, ha oldalainak hossza: a) 2,8 dm és 3,6 dm b) 53 mm és 26 mm c)* a és (a + 3) Az eredményt fejezd ki két tizedesjegyre!
· A
a = 4,5 cm
Ennek a háromszögnek az átfogója az e = AC átló, befogói a téglalap AB és BC oldalai. Az AB oldal hosszát tekintjük 4,5 cm-nek, tehát a BC oldal hosszát kell kiszámítanunk. Írjuk fel a Pitagorasz-összefüggést: |AC|2 = |AB|2 + |BC|2 6,52 = 4,52 + b2 42,25 = 20,25 + b2 b2 = 42,25 – 20,25 b2 = 22 b = b = 4,690 4... Két tizedesjegyre kifejezve: b = 4,69. A téglalap másik oldalának hossza 4,69 cm.
32. Projektfeladat
Pitagorasz tételének felhasználása a következő feladatban is jelen van. Oldd meg, és keress olyan gyakorlati eseteket, amelyet Pitagorasz tételével lehet megoldani! Az ABCD téglalap AB és BD oldalának aránya 4 : 3. A téglalap köré írt kör átmérője 10 cm. Számítsd ki a téglalap oldalainak hosszát!
B
Számítsd ki a téglalap másik oldalának hosszát, ha: a) átlójának hossza 35 mm, az egyik oldaláé pedig 28 dm b) átlójának hossza 91 mm, az egyik oldaláé pedig 68 dm c)* átlójának hossza e, az egyik oldaláé pedig (e – 2) Az eredményt fejezd ki két tizedesjegyre! 55
Pitagorasz tétele és a trapéz A trapézról szóló feladatokban is gyakran felhasználjuk Pitagorasz tételét. A trapéz magasságának meghúzásával derékszögű háromszög keletkezik.
33.
35.
33. megoldás
35. megoldás
Milyen hosszú annak az egyenlő szárú PRST trapéznak a magassága, amely alapjainak hossza p = 2 dm, s = 12 cm, száraié pedig r = t = 9 cm? Az eredményt fejezd ki két tizedesjegyre!
Számítsd ki az egyenlő szárú PRST trapéz szárainak hosszát, ha adott a két alap: p = 1,8 dm, s = 1,1 dm és a trapéz magassága: m = 5 cm. Az eredményt fejezd ki két tizedesjegyre!
Vázlatot készítünk, amelyben megjelöljük a trapéz magasságát. Mivel a trapéz magassága merőleges az alapra, a PT0T háromszög derékszögű, amelyre alaklmazható Pitagorasz tétele. s = 12 cm S T
m
s = 1,1 dm =11 cm
T
S
t
r = 9 cm
t = 9 cm
r m = 5 cm ·
a trapéz magassága
·
P
A trapéz vázlatrajzában meghúzzuk az egyik magasságot. Kijelöljük a derékszögű PT0 T háromszöget, és alaklmazzuk Pitagorasz tételét.
P
R p = 1,8 dm = 18 cm
R
T0
T0
p = 2 dm = 20 cm
Megkeressük az átfogót és a befogókat. A PT0 T háromszög átfogója a PT szakasz, az egyik befogó a PT0 szakasz, a másik a trapéz keresett magassága (tehát a T0T szakasz). Először kiszámítjuk a PT0 szakasz hosszát: T |PT0| = (20 – 12) : 2 |PT0| = 8 : 2 t = 9 cm |PT0| = 4 cm
A PT0 T háromszög átfogója a PT szakasz, az egyik befogó a PT0 szakasz, a másik a trapéz keresett magassága (tehát a T0 T szakasz). Először kiszámítjuk a PT0 szakasz hosszát: |PT0| = (18 – 11) : 2 T |PT0| = 7 : 2 |PT0| = 3,5 cm t m = 5 cm
m
·
P 3,5 cm T0
·
P 4 cm T0 Pitagorasz tétele szerint: |PT|2 = |PT0|2 + |T0T | 2 92 = 42 + m2 81 = 16 + m2 m2 = 81 – 16 m2 = 65 m = m = 8,062 2... Két tizedesjegyre kifejezve: m = 8,06. A trapéz magassága 8,06 cm.
Pitagorasz tétele szerint: |PT|2 = |PT0|2 + |T0T | 2 t2 = 3,52 + 52 t2 = 12,25 + 25 t2 = 37,25 t = t = 6,103 2...
34.
36.
Számítsd ki az egyenlő szárú trapéz magasságát, ha adott a két alapja és a két szára: a) ABCD , a = 8 cm, c = 2 cm, b = d = 5 cm b) EFGH , e = 12 cm, g = 9 cm, f = h = 4 cm c) OPRS , o = 65 mm, r = 2,5 cm, p = s = 3,5 cm Az eredményt fejezd ki két tizedesjegyre! 56
Két tizedesjegyre kifejezve: t = 6,10. A trapéz szárainak hossza 6,10 cm. Számítsd ki az egyenlő szárú trapéz szárainak hosszát, ha adott a trapézok két alapja és magassága: a) ABCD , a = 8 cm, c = 2 cm, m = 4 cm b) EFGH , e = 15 cm, g = 10 cm, m = 3 cm c) OPRS , o = 5 cm, r = 25 mm, m = 15 mm Az eredményt fejezd ki két tizedesjegyre!
Pitagorasz tétele és a kör A körre vonatkozó feladatokban is gyakran szükség van Pitagorasz tételére. Itt is keletkezhet derékszögű háromszög.
37.
Milyen hosszú a 3,14 dm sugarú körhöz tartozó húr, amely 12 cm-re van a kör középpontjától?
Segítség
an a egy oly A kör húrj ly a körame szakasz, öti pontját k vonal két össze.
Az eredményt kerekítsd két tizedesjegyre!
37. megoldás Készítsünk vázlatot egy O középpontú, r sugarú körről, benne egy AB húrral! Mivel a húr merőleges az OC szakaszra (a kör sugarára), derékszögű háromszög keletkezik, amelyre alkalmazható Pitagorasz tétele. Az AB húr távolsága a kör O középpontjától |OB0| = 12 cm. B
r
Segítség
érője A kör átm erese. tsz é k a sugár jelöljük. arát r-rel g u löljük. A kör s t d-vel je jé ő r é tm A kör á d = 2 ∙ r.
38.
Milyen hosszú a kör húrja, ha a) a kör sugara 6 cm, a húr távolsága a kör középpontjától 4 cm; b) a kör sugara 1,28 dm, a húr távolsága a kör középpontjától 10 cm; c) a kör sugara 15 cm, a húr távolsága a kör középpontjától 2,5 cm; d) a kör sugara 7 dm, a húr távolsága a kör közép pontjától 32 mm? Az eredményt kerekítsd két tizedesjegyre!
·
O
B0
C
r
39. k
Számítsd ki a kör átmérőjének hosszát, ha az 57 mm hosszú AB húrja 2 cm-re van a kör középpontjától!
Az eredményt kerekítsd két tizedesjegyre! A A keletkezett OB0 B háromszög derékszögű. B
r = 3,14 dm = 31,4 cm
39. megoldás Vázlatot készítünk az O középpontú, r sugarú körről, benne az AB húrral. A húr merőleges a középpontjába húzott sugárra, ezért egy derékszögű háromszög keletkezik, amelyre alakalmazható Pitagorasz tétele.
=x
B
· O 12 cm B0
Az OB0B háromszög átfogója az OB szakasz – a kör sugara. Az egyik befogó a BB0 szakasz – a húr fele (ezt kell kiszámítanunk – x-szel jelöljük) a másik pedig az OB0 szakasz – a húr távolsága a kör középpontjától. Pitagorasz tétele alapján: |OB|2 = |OB0|2 + |BB0|2 31,42 = 122 + x2 985,96 = 144 + x2 x2 = 985,96 – 144 x2 = 841,96 x = x = 29,016 5... Az x a húr fele, ezért: |AB| = 2 · x = 2 · 29,016 5... = = 58,033... Két tizedesjegyre kerekítve: |AB| 58,03. A kör húrja körülbelül 58,03 cm hosszú.
r
O
· 2 cm = = 20 mm
B0 k
A A keletkezett OB0B háromszög derékszögű. B r
O
· 20 mm
= 57 : 2 = 28,5
B0 folytatás
57
39. megoldás – folytatás
40.
A háromszög átfogója az OB szakasz, vagyis a kör r sugara, amiből majd a d = 2 ∙ r összefüggés alapján kiszámítjuk a kör átmérőjét. Az egyik befogó a BB0 szakasz – a húr fele, a másik az OB0 szakasz – a húr távolsága a kör középpontjától. Pitagorasz tételét alkalmazva: |OB|2 = |OB0|2 + |BB0|2 r2 = 202 + 28,52 r2 = 400 + 812,25 r2 = 1212,25 r = r = 34,817 3... A kör átmérője: d = 2 ∙ r = 2 ∙ 34,817 3... = 69,634 76... Két tizedesjegyre kerekítünk: d 69,63 mm. A kör átmérője körülbelül 69,63 mm.
Számítsd ki a kör sugarának hosszát, ha
a) a húr hossza 8 cm, távolsága a kör középpontjától 3 cm; b) a húr hossza 3,8 dm, távolsága a kör középpontjától 1,5 dm; c) a húr hossza 26 cm, távolsága a kör középpontjától 1,2 dm; d) a húr hossza 6,2 cm, távolsága a kör középpontjától 3.1 cm. Az eredményt kerekítsd két tizedesjegyre!
Tudod-e, hogy… a geometria, matematika, aritmetika szavak görög eredetűek? Arkhimédész volt az egyik legnagyobb ókori görög matematikus, fizikus, tervező és hadmérnök.
Pitagorasz tétele és a mértani testek Az alábbiakban bemutatunk néhány olyan feladatot, amely gyakran szerepel a tankönyvekben.
41.
Számítsd ki a 10 cm élű kocka lapátlójának hosszát!
Az eredményt fejezd ki két tizedesjegyre!
41. megoldás Megoldásunk elején szemléltetjük a kockát. Mivel a kocka lapjai négyzetek, a lapátló valójában egy négyzet átlója, amely a négyzetet két derékszögű háromszögre darabolja, tehát alkalmazhatjuk Pitagorasz tételét.
D
C
a = 10 cm
A kocka lapátlója az ABCD négyzet e átlója
e
·
A
Pitagorasz tételét alkalmazva:
|AC|2 = |AB|2 + |BC|2 e2 = 102 + 102 e2 = 100 + 100 e2 = 200 e = e = 14,142 1... Két tizedesjegyre kifejezve: e = 14,14. A kocka lapátlójának hossza 14,14 cm.
a = 10 cm
B
a = 10 cm
A négyzetben kijelöljük az ABC háromszöget. C e
10 cm
42.
Számítsd ki a kocka lapátlójának hosszát, ha a kocka éle: a) 2,7 dm b) 35 mm c)* a Az eredményt fejezd ki két tizedesjegyre!
·
A
10 cm
B Gondolkodtató feladat
Ennek a háromszögnek az átfogója az e = AC átló, két befogója pedig a négyzet AB és BC oldala. 58
Fejezd ki a kocka éléből a kocka testátlójának hosszát!
43.
Számítsd ki a szabályos négyoldalú hasáb (négyzetes oszlop) testátlóinak hosszát, ha a hasáb alapéle 5 cm, magassága pedig 7 cm!
45.
Az eredményt fejezd ki két tizedesjegyre!
Számítsd ki a téglatest testátlójának hosszát, ha éleinek hossza: a) 5 cm, 4 cm és 3 cm b) 6,2 dm, 30 cmés 0,25 m Az eredményt fejezd ki két tizedesjegyre!
43. megoldás
45. megoldás
Szemléltetjük a hasábot. Alapja négyzet, négy oldallapja négy egybevágó téglalap. Ezért elég kiszámítani egyetlen lapátló hosszát. H
G F
E
Szemléltetjük a téglatestet. Megjelöljük a csúcsait, feltüntetjük az ismert élhosszúságokat és a kiszámítandó testátlót. Mivel a téglatest mindhárom éle különböző, a lapjai is különböző méretű téglalapok. Téglalapokról lévén szó, ebben a feladatban is alkalmazhatjuk Pitagorasz tételét. a) H G
7 cm
a hasáb oldallapátlója az ABFE téglalap e átlója
e
D
3 cm
E
F D
C
C
4 cm
5 cm
·
A
5 cm
5 cm
A
B
B
A téglalapban kijelölt derékszögű ABF háromszög átfogója nem más, mint az e = AF átló. A két befogó a téglalap AB és BF oldala. Pitagorasz tételét alkalmazva:
|AF|2 = |AB|2 + |BF|2
Szemléltettük a téglatestet az élméreteivel. Most kijelöljük a BH testátlót, amely egy derékszögű háromszög egyik oldala. H
G
E
e2 = 52 + 72 e2 = 25 + 49 e2 = 74 e = e = 8,602 3...
F D
Két tizedesjegyre kifejezve: e = 8,60. A hasáb oldallapátlójának hossza 8,60 cm.
.
C
B
A Megjegyzés
Az AG, EC és FD szakasz is testátló.
44.
Számítsd ki a szabályos négyoldalú hasáb oldallapátlóinak hosszát, ha a hasáb a) alapéle 1,2 dm, magassága 39 cm; b) alapéle 60 mm, magassága 4 cm; c)* alapéle a, magassága b; d) alapéle a, magassága (a + 3). Az eredményt fejezd ki két tizedesjegyre!
b
a
a
A BDH háromszögben a D pont a derékszög csúcsa, a BH testátló a derékszögű háromszög átfogója, a BD és a DH a befogói. Írjuk fel a Pitagorasz-összefüggést!
|BH|2 = |BD|2 + |DH|2 |BH|2 = |BD|2 + 32 A BD befogó hosszát nem ismerjük, de tudjuk, hogy a BD a téglalap alakú alaplap átlója. Az átló ezt a téglalapot két derékszögű háromszögre osztja. A derékszögű BAD háromszög derékszöge az A csúcsnál van, a BD szakasz az átfogója, az AD és AB pedig a befogói. folytatás
59
45. megoldás – folytatás Alkalmazzuk Pitagorasz tételét a BAD háromszögre: A |BD|2 = |AB|2 + |AD|2 D összefüggést behelyettesítjük a |BH|2 = |BD|2 + 32 . összefüggésbe. A B Ebből:
|BH|2 = |AB|2 + |AD|2 + 32 |BH|2 = 52 + 42 + 32 |BH|2 = 25 + 16 + 9 |BH|2 = 50 |BH| = |BH| = 7,071 0...
Alkalmazzuk Pitagorasz tételét az ABC háromszögre: Az |AC|2 = |AB|2 + |BC|2 C összefüggést behelyettesítjük az |EC|2 = |AC|2 + 252 összefüggésbe. . A B Ebből: 2 2 2 2 |EC| = |AB| + |BC| + 25 |EC|2 = 622 + 302 + 252 |EC|2 = 3844 + 900 + 625 |EC|2 = 5369 |EC| = |EC| = 73,273 4...
Két tizedesjegyre kifejezve: |BH| = 7,07 cm. A téglatest testátlója 7,07 cm hosszú.
Két tizedesjegyre kifejezve: |EC| = 73,27 cm. A téglatest testátlója 73,27 cm hosszú.
b) Szemléltetjük a téglatestet, feltüntetjük az élméreteit. Az élek hosszát közös mértékegységben (cm-ben) fejezzük ki.
46.
H E
G 0,25 m = 25 cm
F D
C 30 cm
A
6,2 dm = 62 cm
B
Kijelöljük a téglatestben az EC testátlót mint egy derékszögű háromszög egyik oldalát. H E
G F
D
C
. A
B
A CAE háromszög derékszöge az A csúcsban van, az EC testátló a háromszög átfogója, az AC és az AE pedig a két befogója. Alkalmazzuk Pitagorasz tételét a CAE háromszögre:
|EC|2 = |AC|2 + |AE|2 |EC|2 = |AC|2 + 252 Az AC befogó hosszát nem ismerjük. Tudjuk azonban, hogy az AC a téglatest lapátlója, amely a téglalapot két derékszögű háromszögre osztja. Az ABC derékszögű háromszög derékszöge a B csúcsnál van, az AC az átfogója, a BC és az AB a befogója. 60
Számítsd ki a téglatest testátlójának hosszát, ha éleinek hossza: a) 15 cm, 12 cm és 11 cm b) 3,7 dm, 52 cm és 0,36 m c) 5 dm, 7 cm és 45 mm d) 6,7 cm, 2 dm és 135 mm Az eredményt fejezd ki két tizedesjegyre!
Tudáspróba Minden feladatban csak egy helyes választ találsz. 1. Jelöld meg az igaz állítást. A A 12 cm, 13 cm, 5 cm oldalú háromszög derékszögű.
B Az 5 cm, 4 cm, 3 cm oldalú háromszög nem derékszögű. C Az
,
, 1 oldalú háromszög derékszögű.
D Nem létezik egyenlő szárú derékszögű háromszög. 2. Ha az ABC háromszög derékszöge a B csúcsban van, akkor a c oldal:
M befogó
N átfogó
O súlyvonal
3. Ha a KLM háromszög derékszöge a K csúcsban van, akkor a Pitagorasz-összefüggés:
E |KL|2 = |LM|2 + |KM|2
É |LM|2 = |KL|2 + |KM|2
F |KM|2 = |KL|2 + |LM|2
4. Ha a PQR háromszög derékszöge az R csúcsban van, valamint |PR| = 8 cm és |PQ| = 10 cm, akkor a harmadik oldalt az alábbi összefüggéssel lehet kiszámítani:
P
R
S
T
5. Ezzel az összefüggéssel számítjuk ki a 20 cm oldalú négyzet e átlójának hosszát:
C
D
E
É
6. A 4 cm és 3 cm oldalú téglalap f átlóját az alábbi összefüggéssel számíthatjuk ki:
S f2=
R f=
T f2=
U f=
Ha jól oldottad meg a fenti feladatokat, akkor a helyes válaszok betűjeleinek összeolvasásával megkapod a választ arra a kérdésre, hogy: Mi a leggyakoribb MŰVELET A GEOMETRIÁBAN? Természetesen…
Jegyezd meg! A derékszögű háromszög olyan háromszög, amelynek egyik belső szöge derékszög (90°). A derékszöggel szemközti, leghosszabb oldalt átfogónak nevezzük. A derékszög két szárán fekvő két rövidebb oldal a befogó. Minden derékszögű háromszögre teljesül Pitagorasz tétele: A derékszögű háromszög átfogója fölé emelt négyzet területe egyenlő a két befogóra emelt négyzetek területeinek összegével. A derékszögű ABC háromszögre felírható a Pitagorasz-összefüggés, ha a derékszög csúcsa a C pontban van: c2 = a2 + b2
vagy
2
b
|AB|2 = |AC|2 + |BC|2.
2
a
C ·
B
A 2
c
Az a és b befogók hosszát az alábbi összefüggésekkel lehet kiszámítani: A Pitagorasz-tétel megfordítása: Ha egy háromszögre teljesül a c2 = a2 + b2 vagy |AB|2 = |BC|2 + |AC|2 egyenlőség, akkor ez a háromszög derékszögű.
61
2.2. Pitagorasz tételének gyakorlati alkalmazása
Tudod-e…? A szimbólum-ábécében a négyzet a Föld jelképe.
Idézzük fel! Oldd meg az alábbi feladatot! Alkalmazd az előző fejezetben tanultakat!
1. a)
Írd fel a Pitagorasz-összefüggést az alábbi derékszögű háromszögekre, amelyek egy négyzet, téglalap vagy trapéz részei! A csúcsokat és az oldalakat jelöld meg úgy, hogy az összefüggéseket a lehető legegyszerűbben fel lehessen írni! b) c)
·
·
·
1. megoldás Hogy a megoldást a lehető legegyszerűbben le lehessen írni, mindhárom háromszögben jelöljük a csúcsokat A, B, C betűkkel, az oldalakat pedig a, b, c-vel! A derékszög csúcsa legyen C. a) B b) c) B B c
c
a
·
·
b
A
c
a
a
·
C
b A C A b C Az ABC háromszög c oldala az átfogó, az a és a b a befogó. Ilyen jelölés mellett mindhárom háromszögre így írható fel a Pitagorasz-összefüggés: c2 = a2 + b2
2.
·
Írd fel a Pitagorasz-összefüggést az alábbi derékszögű háromszögekre, amelyek egy négyzet, téglalap vagy trapéz részei! A csúcsokat és az oldalakat jelöld meg úgy, hogy az összefüggéseket a lehető legegyszerűbben le lehessen írni! a) b) c)
·
62
·
3.*
Írd fel a Pitagorasz-összefüggést azokra a derékszögű háromszögekre, amelyet egy-egy kockába írtunk, ha a) a kocka éle a; b) a kocka éle b!
b a
4.
Számítsd ki a táblázatból hiányzó adatokat, ha az a és a b az ABC háromszög egy-egy befogója, a c pedig az átfogója. Az eredményt fejezd ki két tizedesjegyre! a)
b)
c)
a
15 cm
?
0,28 m
b
?
2,5 dm
0,73 m
c
21 cm
8,7 dm
?
4. megoldás
·
A feladatot Pitagorasz tételének alkalmazásával oldjuk meg. Minden esetben a c-t átfogónak, az a-t és a b-t befogónak tekintjük. C a) a = 15 cm c2 = a2 + b2 2 2 2 c = 21 cm 21 = 15 + b b=? 441 = 225 + b2 a b b2 = 441 – 225 2 b = 216 b = c A B b = 14,696 9... Két tizedesjegyre kifejezve: b = 14,69 cm. c2 = a2 + b2 8,72 = a2 + 2,52 75,69 = a2 + 6,25 a2 = 75,69 – 6,25 a2 = 69,44 a = a = 8,333 0... Két tizedesjegyre kifejezve: a = 8,33 dm.
b) b = 2,5 dm c = 8,7 dm a=?
c2 = a2 + b2 c2 = 0,282 + 0,732 c2 = 0,078 4 + 0,532 9 c2 = 0,611 3 c = c = 0,781 8... Két tizedesjegyre kifejezve: c = 0,78 m.
c) a = 0,28 m b = 0,73 m c=?
5.
Számítsd ki a táblázatból hiányzó adatokat, ha az a és a b az ABC háromszög egy-egy befogója, a c pedig az átfogója. a
2,5 dm
42 mm
?
3m
25 cm
?
b
3,6 dm
?
74 cm
?
250 mm
56 cm
c
?
96 mm
128 cm
72 dm
?
9,2 m
63
6.* Hogyan aránylik az ABC háromszög magassága a DEF háromszög magasságához, ha az ABC háromszög alapja 8 cm, szára 5 cm, a DEF háromszög alapja 6 cm, szára pedig 5 cm?
6. megoldás Hogyan oldjuk meg a feladatot? Elkészítjük mindkét háromszög vázlatát. Kiszámítjuk mindkét magasságot, majd felírjuk ezek arányát. Az ABC háromszög magasságának kiszámítása: C A magasságvonal a háromszöget két egybevágó derékszögű háromszögre bontja. Az O pont az AB 5 cm szakasz középpontja. 5 cm a háromszög m Az AOC háromszög átfogója az AC szakasz, befomagassága gói pedig az AO és az OC szakaszok. Az ABC há· romszög m magassága azonos az AOC derékszögű A B O 4 cm 4 cm háromszög OC befogójával. Pitagorasz tételét alkalmazva: |AC|2 = |AO|2 + |OC|2 Megjegyzés 52 = 42 + m2 Az előző fejezetben foglalkoztunk az egyenlő szárú há25 = 16 + m2 romszögek magasságának kiszámításával, ezért arányukat azonnal fel tudnánk írni. m2 = 25 – 16 2 Ennek ellenére megadjuk a teljes megoldást. m = 9 m = F m = 3 Az ABC háromszög magassága 3 cm. A DEF háromszög magasságát ugyanígy számítjuk ki:
|DF|2 = |DO|2 + |OF|2
5 cm
5 cm
a háromszög 52 = 32 + m2 m magassága 2 25 = 9 + m m2 = 25 – 9 · m2 = 16 D E 3 cm 3 cm O m = m = 4 A DEF háromszög magassága 4 cm. A kapott magasságokat az adott sorrendben arányba állítjuk. A magasságok aránya 3 : 4. Gondolkodtató feladat
Mekkora az ABC háromszög c átfogójához tartozó magassága, ha a háromszög területe 48 cm2, az egyik befogó hossza pedig a = 12 cm? Projektfeladat
Állapítsd meg, hogy mely európai országokban szokás ősszel sárkányt ereszteni! Milyen versenysárkány-típusok léteznek, és hazánkban hol szoktak sárkányeregető versenyt rendezni?
7.**
Tudod-e…? Több városcímer is ábrázolja Szent György küzdelmét a sárkánnyal. Állapítsd meg, hogy az itt látható címer mely szlovákiai városé!
AZ ŐSZ ÉS A SÁRKÁNY Sok országban még ma is él egy régi szokás: a sárkányeresztés. A sárkányoknak különböző alakjuk van, és nemegyszer sárkányeresztő versenyeket is rendeznek. a) A mi iskolánk is rendez ilyen versenyt. Tavaly az volt a részvétel feltétele, hogy a sárkányt két síkidomból kellett összeállítani: két egyenlő szárú háromszögből úgy, hogy a sárkánytest hossza 150 cm és 180 cm között legyen. A sárkány többi méretét a tanulók aszerint választották meg, ahogy a díszítés megkívánta. Az ábrán az egyik sárkány rajza látható. Hossza 150 cm, legnagyobb szélessége 60 cm. Az egyenlő szárú háromszögek alapja a sárkányt 3 : 7 arányban osztja 2 részre. A bírák számára a sárkány rajzát az összes oldal hosszának feltüntetésével kellett leadni. Mely hosszúságokat kellett a versenyzőknek kiszámítaniuk? Írd le ezeket az értékeket! b) A versenysárkány kötele 25 m hosszú. A versenybíró a versenyzőtől 10 m-re áll, és a sárkány épp a feje fölött lebeg. Milyen magasan van a sárkány? 64
8.**
A PARK ÉS A KÖRNYEZETVÉDŐK Városunkban lebontottak egy régi épületet. A környezetvédők azt javasolják, hogy a bontás helyén létesítsenek egy 180 m széles és 200 m hosszú téglalap alakú parkot. A park alaprajza az oldalai mentén és az átlóiban vezető gyalogutakkal az ábrán láthatók. Az utak a parkot négy részre osztanák, amelyekbe a kicsiknek játszóteret, a nagyobb gyerekeknek labdajátékokra alkalmas pályát, egy kisebb hangversenypódiumot és padokat terveztek a pihenni vágyó idősebbek részére. Egy cukrászda is lehetne itt. A parképítés költségvetésének kidolgozásához szükség volt az összes rész területére. Hány méter a járdák teljes hossza? Mekkora az egyes részek területe? A gyalogutak szélességét elhanyagoljuk.
Az átlókba azért terveztek gyalogutakat, hogy gyorsabban át lehessen jutni a park egyik sarkából az átellenesbe. A B
Hány méterrel rövidíted meg az utad, ha nem az A, hanem a B útvonalon haladsz végig?
9.
ELVESZÍTETTÜK A KAPUKULCSOT Házunkat egy 2,20 m magas kőkerítés veszi körül. Csak egy utcaajtó és egy eltolható kapu van rajta. Ha valaki elveszíti a kulcsot, át kell másznia a kerítésen. Mivel ez egyszer megesett velünk, egy létrát kellett a szomszédból kölcsönkérnünk. Elég hosszú volt (3 m), ezért a kerítéstől jó távol kellett felállítanunk, hogy a legfelső foka épp a fal tetejéig érjen. A kerítéstől mekkora távolságra helyeztük el a létra alját?
9. megoldás Vázlatot készítünk. Mivel a kerítést függőlegesen, tehát a vízszintes terepre merőlegesen emelték, ezért a kerítés, a kerítéshez támasztott létra és a vízszintes terep egy derékszögű háromszöget (ABC) alkot. Átfogója (AB) a létra, egyik befogója a létra aljának távolsága a kőkerítéstől a vízszintes terepen (AC), másik befogója pedig a kerítés (BC). B Alkalmazzuk Pitagorasz tételét: |AB|2 = |AC|2 + |BC|2 32 = |AC|2 + 2,22 9 = |AC|2 + 4,84 |AC|2 = 9 – 4,84 |AC|2 = 4,16 · |AC| = A C |AC| = 2,039 6... Az eredményt két tizedesjegyre kerekítjük. A létra alja kb. 2,04 m-re van a kőfaltól.
10.
Milyen hosszúnak kellene lennie a 9. feladatban szereplő létrának, hogy az alja a 2,20 m magasságú kőfaltól csak 1,5 m-re legyen?
11.
4m
GÖRDESZKARÁMPA A sporttelepen rámpát építettek a gördeszkások számára. Keresztmetszetének egyik eleme egy derékszögű háromszög. Milyen magas a rámpa?
2,5 m
Projektfeladat
Állapítsd meg, hogy milyen rámpatípusok kaphatók kerékpárosok és gördeszkások részére! Írd le, hogy milyen síkidomokat alkalmaznak a formájuk kialakításához! Tervezz te is egy saját rámpát! Határozd meg a méreteit, és becsüld meg, hány euróba kerülne az anyagráfordítás!
7,5 m
65
3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása 3.1. Elsőfokú egyenletek megoldása azonos átalakítások segítségével Idézzük fel! 1. Állapítsd meg, hogy igaz-e!
3 ∙ (– 2 + 4) + 5 = 5 ∙ 3 – 22.
1. megoldás Így számoltunk:
Így is számolhatunk:
3 ∙ (– 2 + 4) + 5 = 5 ∙ 3 – 22 3 ∙ 2 + 5 = 15 – 4 6 + 5 = 11 11 = 11
3 ∙ (– 2 + 4) + 5 = 5 ∙ 3 – 22 bal oldal
jobb oldal
B = 3 ∙ (– 2 + 4) + 5 = 3 ∙ 2 + 5 = 6 + 5 = = 11 B = J = 11 J = 5 ∙ 3 – 22 = 15 – 4 = = 11
Mindkét megoldásból látható, hogy az egyenlőség igaz. Gondold végig, hogy mi a különbség a két megoldás közt!
2.
Milyen szám írható a négyzet helyébe, hogy a 2 ∙ + 1 = – 12 + 3
egyenlőség igaz legyen?
2. megoldás Így számoltunk: Kiszámítottuk a – 12 + 3 = – 9 kifejezés értékét. – 9-et kaptunk. Ezt követően olyan számot kerestünk (többnyire becsléssel, találgatással), amelyet a négyzet helyébe írva a 2 ∙ + 1 kifejezés értéke – 9 lesz. Legyen ez a szám a – 5! A – 5-öt behelyettesítve kapjuk, hogy 2 ∙ (– 5) + 1 = – 10 + 1 = – 9 A négyzet helyébe a – 5-öt kell beírni.
Így is számolhatunk: A négyzetet egy x ismeretlennel helyettesítjük: 2 ∙ x + 1 = – 12 + 3. Ezt a felírást egyenletnek nevezzük, amelyet az ellentett műveletek módszerével oldunk meg: 2 ∙ x + 1 = –9 2 ∙ x = –9 – 1 2 ∙ x = – 10 x = – 10 : 2 x = –5 Az x ismeretlen értéke – 5.
A keresett egyenlőség: 2 ∙ – 5 + 1 = – 12 + 3. Fejszámolással meggyőződünk róla, hogy igaz egyenEllenőrizzük a megoldást: az x ismeretlenbe behelyettelőséget kaptunk-e. sítjük a – 5-öt. B = 2 ∙ (– 5) + 1 = – 10 + 1 = – 9 B=J J = – 12 + 3 = – 9 Mi az e a külö Mib az e gyenlős nbség egymást en különbözik gyen ég é ól a fent lő s két mód i megoldás közt tlensé ja? g ?
66
Az egyenleteket az ellentett műveletek elve alapján így oldjuk meg: x+1=5
Látható, hogy x = 4.
összeg x–3=9
Látható, hogy x = 12.
x=9+3 összeg
Látható, hogy x = 8.
szorzat x : 10 = 9
x=5–1 különbség
különbség 2 ∙ x = 16
Az egyenleteket különböző módon oldhatjuk meg. Talán már ti is tanultátok valamelyiket. Ehelyett így is írhatjuk: x+1=5 x+1=5 /–1 x=5–1 x=4 x=4
x = 16 : 2 hányados
Látható, hogy x = 90.
hányados
x = 9 ∙ 10 szorzat
Látható, hogy x = 100. hányados
x–3=9 x=9+3 x = 12
x–3=9 x = 12
/+3
2 ∙ x = 16 x = 16 : 2 x=8
2 ∙ x = 16 x=8
/:2
x : 10 = 9 x = 9 ∙ 10 x = 90
x : 10 = 9 x = 90
/ ∙ 10
x = 20 ∙ 5
/∙5 x = 20 ∙ 5 x = 100
szorzat
Projektfeladat
Az egyenlőség fogalmát nemcsak a matematika ismeri. Az emberi jogok nyilatkozata többször emlegeti az egyenlőség fogalmát, mint a matematikusok. Mit tudsz róla?
x = 100
Az egyenletmegoldás egyes lépéseiben azonos (ekvivalens) átalakításokat alkalmaztunk. Az azonos átalakítás megváltoztatja az egyenletet, de nem változtatja meg az egyenlet gyökét. A 3. feladatban ezt egy kicsit másképp is megmutatjuk.
3.
Oldd meg az alábbi x-ismeretlenes egyenleteket: a) x – 12 = – 3 b) x + 8 = 1
c) 6 ∙ x = – 18
d)
3. megoldás a) x – 12 = – 3 x – 12 + 12 = – 3 + 12 x=9
/ + 12
jelentése: A + 12 azonos átalakítás Az egyenlet mindkét oldalához hozzáadhatjuk ugyanazt a tetszőleges számot. b)
x+8=1 x + 8 – 8 = 1– 8 x = –7
6 ∙ x = – 18 /:6 (6 ∙ x) : 6 = – 18 : 6 x = –3 jelentése: A : 6 azonos átalakítás Az egyenlet mindkét oldalát eloszthatjuk ugyanazzal a 0-tól különböző tetszőleges számmal. Egy másfajta megoldás: 6 ∙ x = – 18 /:6 c)
/–8 x = –3 d)
A – 8 azonos átalakítás jelentése: Az egyenlet mindkét oldalából kivonhatjuk ugyanazt a tetszőleges számot.
/∙7
·7=9·7 x = 63 jelentése: A ∙ 7 azonos átalakítás Az egyenlet mindkét oldalát megszorozhatjuk ugyanazzal a 0-tól különböző tetszőleges számmal.
A fenti egyenletek x ismeretlene kizárólag első hatványon szerepel. Azt az egyenletet, amelyben az ismeretlen nincs a nevezőben, gyökjel alatt, illetve abszolútértékjelek között, x-ismeretlenes elsőfokú egyenletnek nevezzük. Segítség
zést + b kifeje Az a ∙ x lsőfokú zós e x-válto ek kifejezésn (lineáris) . nevezzük
Az x-ismeretlenes a ∙ x + b = c alakú egyenlőséget, ahol a, b és c valós számok, a ≠ 0, x-ismeretlenes elsőfokú egyenletnek nevezzük. Az elsőfokú egyenlet (megoldása) gyöke: az a tetszőleges x szám, amelyre igaz az a ∙ x + b = c egyenlőség. 67
§
4.
Számítsd ki az egyenlet gyökét, majd végezz ellenőrzést!
a) 4 ∙ x – 12 = 16
b)
4. megoldás a) 4 ∙ x – 12 = 16 4 ∙ x = 28 x=7
6. megoldás – folytatás b) 9 + 4 ∙ x – 3 = – 1 + 5 4∙x+6=4 /–6 4 ∙ x = –2 /:4 x = – 0,5 Ellenőrzés: B = 9 + 4 ∙ (– 0,5) – 3 = 9 – 2 – 3 = 4
/ + 12 /:4
B=J J = –1 + 5 = 4 Az egyenlet gyöke: – 0,5.
Elvégezzük az ellenőrzést. Az x ismeretlenbe behelyettesítjük a 7-et: B = 4 ∙ 7 – 12 = 28 – 12 = 16 B=J J = 16 A 4 ∙ x – 12 = 16 egyenlet gyöke 7.
en enletekb és az egy n k: e n b k tu e a s é ozh A kifejez al is találk d d ó m s á ír az alábbi 5 ∙ x = 5x 3x –3 ∙ x = –
Segítség
b)
c) Elvégezzük az ellenőrzést. Az x ismeretlenbe behelyettesítjük a –8-at:
A törteket közös nevezőre hozzuk. A közös nevező 6.
B= B=J J =–5 A
egyenlet gyöke –8.
5.
Számítsd ki az egyenlet gyökét, majd végezz ellenőrzést! a) 3 ∙ x – 8 = 7 b) 7 ∙ x + 3 = – 18 c)
A megoldásnak többféle módja van. Íme, egy további mód:
d)
Meg tudnád-e oldani fejben is ezeket a feladatokat?
Néhány sor után a megoldás menete megegyezik.
6.
Oldd meg az elsőfokú egyenleteket! Végezz ellenőrzést! a) 5 ∙ x + 7 = – 3 + 15 b) 9 + 4 ∙ x – 3 = – 1 + 5 c)
d) – 3,2 + 0,6 ∙ x = – 1 – 0,2 Ellenőrzés:
6. megoldás Az azonos átalakítások alkalmazása előtt rendezzük az egyenletet. (A kifejezéseket mindkét oldalon egyszerűbb alakra hozzuk.) a) 5 ∙ x + 7 = – 3 + 15 5 ∙ x + 7 = 12 /–7 5∙x=5 /:5 x=1 Ellenőrzés: B = 5 ∙ 1 + 7 = 5 + 7 = 12 B=J J = – 3 + 15 = 12 Az egyenlet gyöke: 1. 68
B=
B=J J=
Az egyenlet gyöke:
.
folytatás
6. megoldás – folytatás Az egyenletet bővítéssel úgy is átalakíthatjuk, hogy először eltávolítjuk a tizedestörteket, vagyis az egyenlet mindkét oldalát szorozzuk 10-zel: – 3,2 + 0,6 ∙ x = – 1 – 0,2 – 3,2 + 0,6 ∙ x = – 1,2 / ∙ 10 – 32 + 6 ∙ x = – 12 / + 32 6 ∙ x = 20 /:6
d) – 3,2 + 0,6 ∙ x = – 1 – 0,2 – 3,2 + 0,6 ∙ x = – 1,2 / + 3,2 0,6 ∙ x = 2 / : 0,6
Ellenőrzés: B=
ám vagy olykor törtsz et ek rt tö es d A tize írjuk. alakjában is vegyes szám ot! d t az írásmó d. Idézzük fel ez suk: nulla egész hét tize as lv o y íg t -e A 0,7
Segítség
B=J J = – 1 – 0,2 = – 1,2 Az egyenlet gyöke:
ad. egész két száz y eg : k su as y olv Az 1,02-ot íg
.
7.
Oldd meg az egyenletet! Végezz ellenőrzést! a) 6 ∙ x + 3 = – 14 + 5 b) 2,5 + 2 ∙ x – 0,5 = 2 – 3,5
Megjegyzés
Az előző feladatokban ellenőrzéssel győződtünk meg az egyenletek megoldásának helyességéről. Ha a megoldás során kizárólag azonos átalakításokat alkalmaztunk, akkor nincs szükség ellenőrzésre. (Az azonos átalakítások nem változtatják meg az egyenlet gyökét.)
c) 4,2 – 0,5 ∙ x = – 7,5 – 0,2 d)
Eddig csak olyan egyenletekkel foglalkoztunk, amelyek jobb oldalán csak számok vagy számkifejezések voltak. Most olyan egyenletekkel folytatjuk, amelyek jobb oldalán is változót tartalmazó kifejezés áll.
8. a) b) c) d)
Oldd meg az egyenletet! Végezz ellenőrzést! 2 · (x + 3) = 1 – 4x 5x – 4 = 3 · (x – 1) – 3 · (0,2x + 1) = 2 – (1,6x + 1) 5 · (1,2 + x) – 4 · (0,5x – 1) = 0
8. megoldás Először eltávolítjuk a zárójeleket, majd – szükség szerint – rendezzük az egyenlet mindkét oldalát. Végül azonos átalakításokkal kiszámítjuk az ismeretlen értékét. a) 2 · (x + 3) = 1 – 4x 2x + 6 = 1 – 4x / –6 2x = – 5 – 4x / + 4x 6x = – 5/ : 6
dokat látoldási mó azokat g e m ő z ö Különb melyekkel ugyan hattunk, a ököket kaptuk. a gy
Tudod-e…?
Ellenőrzés: B= B=J J = Az egyenlet gyöke:
rhetik és már isme k te le ü z ö módot: Sokan k zt az írás e is k tá z alkalma = 1 – 4x 2 · (x + 3) 1 – 4x 2x + 6 = 1–6 2x + 4x = 6x = – 5
Segítség
.
A számjegyeknek, számoknak és mértani formáknak különféle jelképes értelmet szokás tulajdonítani. Clare Gibson: Abeceda symbolov (Szimbólumábécé) (Slovart, s. r. o., Bratislava, 2009) című könyve alapján csillagunkhoz, a Naphoz az 1-es szám kapcsolható.
folytatás
69
8. megoldás – folytatás
9.
Oldd meg az egyenletet! Végezz ellenőrzést! a) 7 · (x – 2) = – 4 – 3x b) 6x – 5 = 4 · (x – 1) c) – 2 · (1,5x + 1) = 1 – (x + 1) d) 0,5 · (3 + x) – 0,2 · (0,5x – 5) = 0
b) 5x – 4 = 3 · (x – 1) 5x – 4 = 3x – 3 /+4 5x = 3x + 1 / – 3x 2x = 1 /:2 x = 0,5 Ellenőrzés: B = 5 · 0,5 – 4 = 2,5 – 4 = – 1,5 J = 3 · (0,5 – 1) = 3 · (– 0,5) = – 1,5 Az egyenlet gyöke: 0,5.
10. B=J
Oldd meg az egyenletet! Végezz ellenőrzést! a) 5x · (1 – x) – 3 = x · (2 – 5x) b)* (x – 1) · (x + 3) = x · (2 + x)
10. megoldás
c) – 3 · (0,2x + 1) = 2 – (1,6x + 1) – 0,6x – 3 = 2 – 1,6x – 1 /+3 – 0,6x = – 1,6x + 4 /+ 1,6x 1x = 4 x=4 Ellenőrzés: Segítség : d el, hogy B = – 3 · (0,2 · 4 + 1) = Ne felejts 1∙x=x = – 3 · (0,8 + 1) = –x (– 1) ∙ x = = – 3 · 1,8 = – 5,4 J = 2 – (1,6 · 4 + 1) = B=J = 2 – (6,4 + 1) = = 2 – 7,4 = – 5,4 Az egyenlet gyöke: 4. d) 5 · (1,2 + x) – 4 · (0,5x – 1) = 0 6 + 5x – 2x + 4 = 0 3x + 10 = 0 3x = – 10
Először eltávolítjuk a zárójeleket, majd – szükség szerint – rendezzük az egyenlet mindkét oldalát. Végül azonos átalakításokkal kiszámítjuk az ismeretlen értékét. a) 5x · (1 – x) – 3 = x · (2 – 5x) 5x – 5x2 – 3 = 2x – 5x2 / + 5x2 5x – 3 = 2x /+3 5x = 2x + 3 / – 2x 3x = 3 /:3 x=1 Ellenőrzés: B = 5 · 1 · (1 – 1) – 3 = 5 · 0 – 3 = 0 – 3 = – 3 B=J J = 1 · (2 – 5 · 1) = 1 · (2 – 5) = 1 · (– 3) = – 3 Az egyenlet gyöke 1. b)*
/– 10 /:3
Ellenőrzés:
(x – 1) · (x + 3) = x · (2 + x) x2 + 3x – x – 3 = 2x + x2 x2 + 2x – 3 = 2x + x2 2x – 3 = 2x 2x = 2x + 3 0≠3
/ – x2 /+3 / – 2x
Az egyenlet rendezése során egy egyenlőtlenséget (0 ≠ 3) kaptunk, ezért az egyenletnek nincs megoldása – nincs gyöke.
B
11.* Oldd meg az egyenletet, és végezz ellenőrzést! a) 2x · (3 – x) + 5 = x · (1 – 2x) b) (x + 2) · (x + 1) = x · (x – 7) c) (x – 5) · (x + 5) = (x – 10) · x d) (1 – x) · (1 + x) = (4 – x) · x
B=J J=0 Az egyenlet gyöke:
.
Megjegyzés
Törtekkel néha nehézkes a számolás, és az ellenőrzést sok esetben nehezebb elvégezni, mint az egyenletet megoldani. A törtekkel sokan sokféleképpen számolnak. Te is azt a módszert válaszd, amely a leginkább megfelel neked!
70
Tudod-e…? A ószlávok ugyanúgy, mint a rómaiak, a számok leírásához betűket használtak. Nem nagyokat, mint a rómaiak, hanem kis betűket. 1 az 2 védi 3 glagóľ 4 dobró 5 esľ
6 zeló 7 zemlja 8 íže 9 fitá
A 10 000 olyan nagynak tűnt, hogy tma (=sötétség) lett a neve.
12.
Számítsd ki az egyenlet gyökét, és végezz ellenőrzést!
12. megoldás – folytatás
a) b)* c)*
(x – 1) 0=0
12. megoldás Először közös nevezőre hozzuk a törteket, majd – szükség szerint – rendezzük mindkét oldalt. Végül az azonos átalakítások segítségével kiszámítjuk az egyenlet gyökét. A közös nevező: 4.
A megoldás során egy igaz egyenlőséget (0 = 0) kaptunk. Ez azt jelenti, hogy az egyenletnek bármely szám megoldása lehet, vagyis az egyenletnek végtelen sok megoldása van. Megjegyzés
Ezt a következtetést már korábban is levonhattuk volna: x–1=x–1 x=x
13. Ellenőrzés:
Számítsd ki az egyenlet gyökét, és végezz ellenőrzést!
a)
d)*
J =
b)
e)*
Az egyenlet gyöke: – 4.
c)
f)*
B= B=J
A közös nevező: 10.
– (5x + 15) = – 5x – 15
14.
Az u ismeretlen milyen értéke mellett lesz a két kifejezés egyenlő?
14. megoldás Ha a két kifejezést egyenlővé tesszük, akkor az alábbi egyenletet kapjuk:
Ellenőrzés: B
B=J J Az egyenlet gyöke: – 6.
A két kifejezés akkor egyenlő, ha
.
A megoldás helyességét úgy ellenőrizzük, hogy megállapítjuk, vajon ugyanazt az eredményt kapjuk-e, ha az értéket mindkét kifejezésbe behelyettesítjük. folytatás
71
14. megoldás – folytatás
16. megoldás – folytatás A közös nevező: 6.
A kifejezés akkor egyenlő, ha y = – 0,2. Az ellenőrzést végezd el önállóan! A két kifejezés akkor egyenlő, ha u = – 1.
17.
Az ellenőrzést végezd el önállóan!
15.
A w ismeretlen milyen értéke mellett lesz a két adott kifejezés egyenlő?
18. 16.
Az m milyen értéke mellett lesz a kifejezés értéke 0?
A felsorolt számok közül melyik a 2 · (x + 5) = x – 4 egyenlet megoldása?
A–5 Az y milyen értéke mellett lesz a kifejezés értéke 0?
16. megoldás A kifejezést 0-val egyenlővé téve ismét egyenletet kapunk. a)
A kifejezés akkor egyenlő nullával, ha y = – 2. Az ellenőrzést végezd el önállóan! Megjegyzés
A 3,5 · (2y + 4) = 0 egyenlet megoldásakor a következő tételből is kiindulhattunk volna: Egy szorzat akkor egyenlő nullával, ha legalább az egyik tényezője nulla. Mivel 3,5 ≠ 0, elég lett volna az alábbi egyenletet megoldani: 2y + 4 = 0 y = –2
B1
C – 14
D –9
18. megoldás Ilyen feladatok megoldásakor gyakran alkalmazzuk a tippelést (becslést). Válasszuk a D esetet, amikor az egyenlet gyöke – 9! A – 9-et behelyettesítjük az egyenlet bal oldalába, majd a jobb oldalába: B = 2 · (x + 5) = 2 · (– 9 + 5) = 2 · (– 4) = – 8 J = x – 4 = – 9 – 4 = – 13 Mivel – 8 ≠ – 13, azaz B ≠ J, a – 9 (D) nem gyöke az egyenletnek. Válasszuk a C esetet, tehát tekintsük a – 14-et az egyenlet gyökének! A – 14-et behelyettesítjük az egyenlet bal oldalába, majd a jobb oldalába: B = 2 · (x + 5 ) = 2 · (– 14 + 5) = 2 · (– 9) = – 18 B=J J = x – 4 = – 14 – 4 = – 18 Mivel B = J, a – 14 az egyenlet megoldása, a C válasz a helyes.
Gondolkodtató feladat
a) A p milyen értéke mellett nem lesz a (2p – 1) · x + 4 = 12 x-változós egyenletnek megoldása? b) A q milyen értéke mellett lesz a q · x – 1 = 2· x – 2 + 1 x-változós egyenletnek végtelen sok megoldása?
72
Tudáspróba Minden feladatban csak egy helyes választ találsz. 1. Az
A 8 2. A
A 0,5
egyenlet megoldása:
B 2
C 4
D –8
C 0,2
D – 0,2
C 5
D 4
C 0
D 2
C –4
D 10
C 4,5
D 2
egyenlet megoldása:
B – 0,5
3. A 2 · (x – 3) – 1 = x – 2 egyenlet megoldása:
A 3
B 2
4. A 3x – 4 · (x + 1) = 1 – 6x egyenlet megoldása:
A 1 5. Az
A 11 6. Az
A 3
B 5 egyenlet megoldása:
B 4 egyenlet megoldása:
B 1,2
7. Az alábbi számok közül melyik megoldása az
A 10
egyenletnek?
B 15
8. Az alábbi számok közül melyik megoldása az
A 8
B 12
9. A 0,3 · (b – 2,5),
A 2,5
C 16
D 14
egyenletnek?
C 7,5
D 6
kifejezések akkor egyenlők, ha b értéke:
B 1
C – 0,25
D 2,75
10. Az 1,16 · p + 0,08 – 0,16 · (p – 2) kifejezés akkor egyenlő 0-val, ha p értéke:
A 0,40
B 4
C –4
D – 0,40 egyenlet gyökével?
11.* Az alábbi egyenletek közül melyiknek a gyöke egyezik meg az
A 12. A
A 2-nél kisebb
B
C
D
C 5-nél nagyobb
D negatív szám
egyenlet gyöke:
B 2-nél nagyobb
13. Az alábbi egyenletek közül melyiknek nagyobb a gyöke 10-nél?
A
B
C
D
C
D
14. Az alábbi egyenletek közül melyiknek nincs megoldása?
A
B
73
Jegyezd meg! Az a ∙ x + b = c egyenletet elsőfokú, x-ismeretlenes egyenletnek nevezzük, ahol a, b és c valós számok. Ha a ≠ 0, az elsőfokú egyenlet gyöke (megoldása) egy olyan tetszőleges x szám, amelyre a ∙ x + b = c. Ha a = 0, c = 0 és b ≠ 0, akkor az a . x + b = c egyenletnek nincs megoldása. Ha a = 0, b = 0 és c = 0 akkor az a . x + b = c egyenletnek végtelen sok megoldása van.
Az egyenletek azonos átalakításai: Az egyenlet mindkét oldalához hozzáadhatjuk ugyanazt a számot vagy algebrai kifejezést. Az egyenlet mindkét oldalából kivonhatjuk ugyanazt a számot vagy algebrai kifejezést. Az egyenlet mindkét oldalát eloszthatjuk ugyanazzal a – nullától különböző – számmal. Ha az egyenlet mindkét oldalát megszorozhatjuk ugyanazzal a – nullától különböző – számmal.
74
3.2. Egyszerű elsőfokú egyenlőtlenségek Szinte naponta összehasonlítunk valamit valamivel. Magasabb vagyok, mint… Ez nehezebb vagy könnyebb? Többe kerül vagy kevesebbe? Ez hosszabb, mint… A matematikában az összehasonlítást az egyenlőtlenségjelek és az egyenlőségjel segítségével végezzük el.
>
>
>
Gondolkodtató feladat
Keress a matematikán kívül olyan tantárgyakat, amelyekben szükség van az egyenlőtlenségjelek alkalmazására!
tség
ségjel lőtlen n k e y g E lvassu Így o l e J bb nagyo > b yenlő kiseb gy eg a v < b b ő nagyo agy egyenl ≥ v b b kise ő ≤ gyenl nem e ≠ lő egyen =
Segí
Idézzük fel! 1. Rendezd növekvő sorrendbe az alábbi kifejezések értékeit!
1. megoldás Így számolunk,
… de számolhatunk így is:
A legkisebb érték <
–7
A legnagyobb érték –5
<
–4
<
7
A rendezéshez (az értékek sorba állításához) olykor számegyenest használunk. –7
–5
–4
el
őségj
yenl ek, eg
0
7
Tudod-e…? Utazáskor is gyakran összehasonlítgatunk: • leggyorsabb vonat ↔ legrövidebb idő • legnagyobb távolság ↔ legolcsóbb közlekedés • leghosszabb autópálya ↔ legmagasabb autópályadíj • Az világ leggyorsabb vonata Kínában közlekedik. Rövidítése CRH2. Vonattípustól függően 250–350 km/h sebességet ér el. A THSR vonat óránként 335 km-t megtéve száguld Tajvan nyugati partvidékén. 2007-től Kaoshiung és Taipei között közlekedik. Gyorsvonatok közlekednek Kóreában is. A Korean Train eXpress sebessége az óránkénti 350 km-t is eléri.
75
2.
Hasonlítsd össze a (– 5)3 és a (– 4)2 hatványokat a <, >, = jelek segítségével!
2. megoldás Így számolunk: Megállapítjuk, hogy a hatvány értéke pozitív-e vagy negatív, és ez alapján döntjük el, hogy melyik a nagyobb érték. A kitevő páratlan szám. (– 5)3 A hatványalap negatív szám. A (– 5)3 hatvány értéke negatív szám.
Így is számolhatunk: A hatvány értékét szorzással számítjuk ki, majd összehasonlítjuk a szorzatokat. (– 5)3 = (– 5) ∙ (– 5) ∙ (– 5) = – 125 (– 4)2 = (– 4) ∙ (– 4) = 16 – 125 < 16 Tehát (– 5)3 < (– 4)2.
A kitevő páros szám. (– 4)2 A hatványalap negatív szám. 2
A (– 4) hatvány értéke pozitív szám. Bármely pozitív szám nagyobb egy negatív számnál, ezért (– 5)3 < (– 4)2.
3.
Hasonlítsd össze az alábbi kifejezéseket a <, >, = jelek segítségével! a) 7 . (– 3 + 1) és 7 . (– 3 ) + 1 b) 0,25 + 0,32 : 0,8 és (0,25 + 0,32) : 0,8 c)
és
e)
és 2,75
f)
és
4. megoldás – folytatás
d) B=
– 4,2 = – 4,2 J =
d)
és
Tehát:
.
4.
Írd a négyzetek helyébe a megfelelő egyenlőségvagy egyenlőtlenségjelet! a) 5 · (– 2 + 1) 5 · (– 2) + 1 b) 2,5 : 0,5 – 0,5 (2,5 – 0,5) : 0,5 c) 1 – (– 1)4 1 + (– 1)3 d)
5.
Írd a négyzetek helyébe a megfelelő egyenlőségvagy egyenlőtlenségjelet! a) – 1 · (3 – 5) (– 1) · (– 5) + 3 b) 0,36 · 10 – 0,25 · 10 10 · (0,36 – 0,25)
c)
4. megoldás A feladatot úgy oldjuk meg, hogy először kiszámítjuk a kifejezések értékét, és ezeket összehasonlítjuk. a) 5 · (– 2 + 1) 5 · (– 2) + 1 B = 5 · (– 2 + 1) = 5 · (– 1) = – 5 –5 > –9 J = 5 · (– 2) + 1 = – 10 + 1 = – 9 Tehát: 5 · (– 2 + 1) > 5 · (– 2) + 1. b) 2,5 : 0,5 – 0,5 (2,5 – 0,5) : 0,5 B = 2,5 : 0,5 – 0,5 = 5 – 0,5 = 4,5 J = (2,5 – 0,5) : 0,5 = 2 : 0,5 = 4 Tehát: 2,5 : 0,5 – 0,5 > (2,5 – 0,5) : 0,5 c) 1 – (– 1)4 1 + (– 1)3 B = 1 – (– 1)4 = 1 – 1 = 0 0=0 J = 1 + (– 1)3 = 1 – 1 = 0 Tehát: 1 – (– 1)4 = 1 + (– 1)3. 76
4,5 > 4
d)
6.
Mely pozitív egész számokat helyettesítheted a négyzet helyébe, hogy igaz legyen az egyenlőtlenség? 5 · 3 + < 30 – 8
6. megoldás Így számolunk: Kiszámítjuk az 5 ∙ 3 = 15 és a 30 – 8 = 22 értékeket, amiből a 15 + < 22 egyenlőtlenséget kapjuk, majd olyan számot keresünk (többnyire találgatással, becsléssel), amelyet a négyzet helyébe írva, 22-nél kisebb értéket kapunk. A keresett számnak pozitívnak kell lennie. A 6 eleget tesz a feltételeknek, hiszen 15 + 6 = 21 21 < 22 A 6 beírható a négyzetbe. Így az 5, 4, 3, 2, 1 számok is a feladat megoldásai. A megoldás helyességéről fejszámolással győződünk meg. A 7-et behelyettesítve láthatjuk, hogy erre az értékre nem teljesül az egyenlőtlenség
Így is számolhatunk: A négyzet helyébe x-et írunk. 5 ∙ 3 + x < 30 – 8 Az egyenlőtlenség bal oldalán elvégezzük a szorzást, jobb oldalán pedig a kivonást: 15 + x < 22 Az egyenlőtlenséget az ellentett műveletek alkalmazásával oldjuk meg. 15 + x < 22 x < 22 – 15 x<7 Föltesszük a kérdést: Melyek azok a pozitív egész számok, amelyek kisebbek, mint 7? A 7-nél kisebb pozitív számok: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Az ellenőrzést például az x = 1 értékre végezzük el. B = 5 ∙ 3 + 1 = 15 + 1 = 16 B<J J = 30 – 8 = 22
Ha a négyzet helyébe 1-et, 2-t, 3-at, 4-et, 5-öt vagy 6-ot írunk, akkor igaz egyenlőtlenséget kapunk. Mi a különbség a két levezetés közt?
7.
Mely pozitív egész számokat helyettesítheted a négyzet helyébe, hogy igaz legyen az egyenlőtlenség?
a) 4 ∙ 3 + < 42 – 8
b) – 18 : 3 > – 5 + 6
c) + 2 ∙ (– 3) < – 1 – 3
d) – 12 : 4 > 6 – 1
8.
Milyen a) pozitív egész számokat helyettesíthetsz az x helyébe, hogy igaz legyen az x + 4 < 10 b) negatív egész számokat helyettesíthetsz az x helyébe, hogy igaz legyen az x – 3 > – 7 c) pozitív egész számokat helyettesíthetsz az x helyébe, hogy igaz legyen az 2 ∙ x < 10 d) negatív egész számokat helyettesíthetsz az x helyébe, hogy igaz legyen az > –1 Oldd meg számegyenessel!
egyenlőtlenség? egyenlőtlenség? egyenlőtlenség? egyenlőtlenség?
8. megoldás x + 4 < 10 x < 10 – 4 x<6 6-nál kisebb pozitív egész számokat keresünk. Számegyenes nélkül is tudjuk, hogy az 1, 2, 3, 4, 5 számok adják a megoldást. a)
–7 –6 –5
–4 –3 –2 –1
0
1
2
3
4
5
6
7
6-nál kisebb pozitív egész számok. b)
x–3>–7 x > –7 + 3 x > –4
–4-nél nagyobb negatív egész számokat keresünk.
Számegyenes nélkül is tudjuk, hogy a –1, –2, –3 számok adják a megoldást –7 –6 –5
–4 –3 –2 –1
0
1
2
3
4
–4-nél nagyobb negatív egész számok.
5
6
7
folytatás
77
8. megoldás – folytatás 2 ∙ x < 10 x < 10 : 2 x<5 5-nél kisebb pozitív egész számokat keresünk. Számegyenes nélkül is tudjuk, hogy az 1, 2, 3, 4 számok adják a megoldást. c)
–7 –6 –5
–4 –3 –2 –1
0
1
2
3
4
5
6
7
6
7
5-nél kisebb pozitív egész számok. x > –1 6 x > –1 ∙ 6 x > –6 – 6-nál nagyobb negatív egész számokat keresünk. Számegyenes nélkül is tudjuk, hogy az – 5, – 4, – 3, – 2, – 1 számok adják a megoldást. d)
–7 –6 –5
–4 –3 –2 –1
0
1
2
3
4
5
– 6-nál nagyobb negatív egész számok.
9.
Milyen a) pozitív egész számokat helyettesíthetsz az x helyébe, hogy igaz legyen az x + 12 < 15 b) negatív egész számokat helyettesíthetsz az x helyébe, hogy igaz legyen az x – 8 > – 10 c) pozitív egész számokat helyettesíthetsz az x helyébe, hogy igaz legyen az 4 ∙ x < 20 d) negatív egész számokat helyettesíthetsz az x helyébe, hogy igaz legyen az > –2
egyenlőtlenség? egyenlőtlenség? egyenlőtlenség? egyenlőtlenség?
a·x+b>c a∙x+b
§
Az elsőfokú egyenlőtlenségeket is – néhány kivételtől eltekintve – ugyanazokkal az azonos átalakításokkal oldjuk meg, mint az elsőfokú egyenleteket. Az egyenlőtlenség mindkét oldalához hozzáadhatjuk ugyanazt a számot vagy algebrai kifejezést. Az egyenlőtlenség mindkét oldalából kivonhatjuk ugyanazt a számot vagy algebrai kifejezést. Az egyenlőtlenség mindkét oldalát eloszthatjuk ugyanazzal a nullától különböző számmal vagy algebrai kifejezéssel. Az egyenlőtlenség mindkét oldalát megszorozhatjuk ugyanazzal a nullától különböző számmal vagy algebrai kifejezéssel. Foglaljuk össze! Eddig így írtuk: Ezentúl így fogjuk írni: x + 3 < –2 x + 3 < –2 / –3 x < –2 – 3 x < –5 x < –5 x – 8 > – 10 x > – 10 + 8 x > –2
x – 8 > – 10 x > –2
/+8
4 ∙ x < 20 x < 20 : 4 x<5 x > –2 5 x > –2 ∙ 5 x > – 10
4 ∙ x < 20 x<5
/:4
78
x > –2 5 x > – 10
/∙5
Megjegyzés
Hogy mi történik az egyenlőtlenséggel, ha mindkét oldalát negatív számmal szorozzuk vagy osztjuk, arról később lesz szó.
10.
Oldd meg az alábbi x-változós egyenlőtlenségeket azonos átalakítások segítségével a valós számok tartományában. a) 2 · x + 4 < 8 b) 3 · x – 2 > x + 4 c) d)
10. megoldás
x<2 A megoldás minden olyan valós szám, amely eleget tesz az x < 2 egyenlőtlenségnek. A számegyenesen a 2-nél kisebb számok halmazát kell kijelölnünk. Mivel végtelen sok valós szám van, ezért a megoldás a számegyenes egy része, amelyet a számegyenesen a 2-től balra jelölünk ki, tehát a kijelölt rész a 2-nél kisebb számokat fogja tartalmazni, pl.:
...
A 2-eshez üres karika kerül, mert a 2 nincs benne a megoldáshalmazban.
–7 –6 –5
–4 –3 –2 –1
0
1
2
3
4
5
6
7
Az egyenlőtlenség megoldása az összes 2-nél kisebb valós szám. Az egyenlőtlenség megoldásának helyességéről úgy győződünk meg, hogy a megoldáshalmaz néhány elemét behelyettesítjük az eredeti egyenlőtlenség mindkét oldalába, majd a kapott eredményeket összehasonlítjuk. Az ellenőrzéshez olyan számokat választunk a megoldáshalmazból, amellyekkel könnyű lesz számolni. Válasszuk a 0-t! B=2·0+4=0+4=4 J =8 Mivel 4 < 8, ezért B < J. Válasszuk a – 2-t! B = 2 · (– 2) + 4 = – 4 + 4 = 0 J =8 Mivel 0 < 8, ezért B < J.
x>3 A számegyenesen kijelöljük a 3-nál nagyobb számok halmazát. A 3-nál nagyobb számok a számegyenesen a 3-tól jobbra helyezkednek el. Ilyenek pl.:
... A 3-ashoz üres karika kerül, mert a 3 nincs benne a megoldáshalmazban.
–7 –6 –5
–4 –3 –2 –1
0
1
2
3
4
5
6
7
Az egyenlőtlenség megoldása az összes 3-nál nagyobb valós szám. Az ellenőrzéshez kiválasztunk a megoldáshalmazból egy alkalmas számot, amellyel egyszerű lesz a számítás, pl. a 4-et. B = 3 · 4 – 2 = 12 – 2 = 10 J = 4+4=8 Mivel 10 > 8, ezért B > J.
A megoldás helyességéről győződj meg további számok, pl. az 5, 8, 10 behelyettesítésével! folytatás
79
10. megoldás – folytatás
x < –4 A számegyenesen kijelöljük a – 4-nél kisebb számok halmazát. A – 4-nél kisebb számok a számegyenesen a – 4-től balra helyezkednek el. Ilyenek pl.: A – 4-hez üres karika kerül, mert a – 4 nincs benne a megoldáshalmazban.
–7 –6 –5
–4 –3 –2 –1
0
1
2
3
4
5
...
6
7
Az egyenlőtlenség megoldása az összes – 4-nél kisebb valós szám. Az ellenőrzéshez kiválasztunk a megoldáshalmazból egy alkalmas számot, pl. a – 6-ot. A megoldás helyességéről győződj meg további három szám, pl. a –8, –10, –20 behelyettesítésével!
B= J =1 Mivel 0 < 1, ezért B < J.
x > –5 A számegyenesen kijelöljük a – 5-nél nagyobb számok halmazát. A – 5-nél nagyobb számok a számegyenesen a – 5-től jobbra helyezkednek el. Ilyenek pl.: A –5-höz üres karika kerül, mert a –5 nincs benne a megoldáshalmazban.
–7 –6 –5
–4 –3 –2 –1
0
1
2
3
4
5
6
...
7
Az egyenlőtlenség megoldása az összes – 5-nél nagyobb valós szám. Az ellenőrzéshez legmegfelelőbb, ha a 0-t választjuk. B=
– 1 = 0 – 1 = –1
J =–2
A megoldás helyességéről győződj meg további számok, pl. a –4, 5, 25 behelyettesítésével!
Mivel – 1 > – 2, ezért B < J.
11.
Oldd meg a valós számok tartományában azonos átalakítások segítségével az alábbi x-ismeretlenes egyenlőtlenségeket! A megoldáshalmazt szemléltesd számegyenesen is!
a) 5 · x + 1 < 11
b) 7 · x – 10 > 3 · x + 2
Tudod-e…?
c)
d)
Projektfeladat
… hogy a
nagyobb > kisebb < jeleket szigorú egyenlőtlenségjeleknek nevezzük? Ha az egyenlőtlenség ilyen jeleket tartalmaz, akkor szigorú egyenlőtlenségnek nevezzük.
80
Olykor az „útirány” kijelölésére is egyenlőtlenségjeleket használunk. Keress az interneten egyenlőtlenségjeleket tartalmazó alkalmazásokat!
12.
Oldd meg a valós számok tartományában azonos átalakítások segítségével az alábbi x-ismeretlenes egyenlőtlenségeket! A megoldáshalmazt szemléltesd számegyenesen is! b)
a)
tlenséegyenlő gjuk ú k o f ő Az els azni fo is alkalm dot: l é n k e g ó bb írásm a rövide ég
Segíts
12. megoldás
A számegyenesen kijelöljük a 4-nél kisebb vagy a 4-gyel egyenlő számok halmazát. A 4-nél kisebb számok a számegyenesen a 4-től balra helyezkednek el. Ilyenek pl.:
...
A 4-eshez teli karika kerül, mert a 4 is benne van a megoldáshalmazban.
–7 –6 –5
–4 –3 –2 –1
0
1
2
3
4
5
6
7
Az egyenlőtlenség megoldása az összes 4-nél kisebb vagy 4-gyel egyenlő valós szám. Az ellenőrzéshez két számot választunk: az egyik a 4 (ennél egyenlőséget kell kapnunk), a másik a 3 (a 4-nél kisebbbb számok halmazának legnagyobb eleme). B (4) = 2 · 4 – 3 = 8 – 3 = 5 J (4) = 4 + 1 = 5 Mivel 5 = 5, azaz B(4) = J(4), ami megfelel a B ≤ J feltételnek. B (3) = 2 · 3 – 3 = 6 – 3 = 3 J (3) = 3 + 1 = 4 Mivel 3 < 4, azaz B(3) < J(4), ami megfelel a B ≤ J feltételnek.
A megoldás helyességéről győződj meg további három szám, pl. a 0, helyettesítésével!
A számegyenesen kijelöljük a – 1-nél nagyobb vagy a – 1-gyel egyenlő számok halmazát. A – 1-nél nagyobb számok a számegyenesen a – 1-től jobbra helyezkednek el. Ilyenek pl.: A –1-hez teli karika kerül, mert a –1 is benne van a megoldáshalmazban.
–7 –6 –5
–4 –3 –2 –1
0
1
2
3
4
5
6
, –1 be-
; ...
7
Az egyenlőtlenség megoldása az összes –1-nél nagyobb vagy –1-gyel egyenlő valós szám. AAz ellenőrzéshez két számot választunk: az egyik a –1 (ennél egyenlőséget kell kapnunk), a másik a 0 (a –1-nél nagyobb számok halmazának legkisebb eleme). B (– 1) =
J (– 1) = – 0,6
Mivel – 0,6 = – 0,6, azaz B( –1) = J( –1), ami megfelel a B ≥ J feltételnek. B (0) =
J (0) = – 0,6
A megoldás helyességéről győződj meg további három szám, pl. a z 1, 5, 10 behelyettesítésével!
Mivel – 0,2 > – 0,6, azaz B(0) > J(0), ami megfelel a B ≥ J feltételnek. 81
13.
Oldd meg azonos átalakítások segítségével a valós számok tartományában az alábbi egyenlőtlenségeket! A megoldáshalmazt szemléltesd számegyenesen is! a) 4x – 2 ≤ 3x – 5 b) 9x + 0,3 ≥ 2x + 7,3 c) d)
14.
Oldd meg azonos átalakítások segítségével a valós számok tartományában az alábbi egyenlőtlenségeket! A megoldáshalmazt szemléltesd számegyenesen is!
14. megoldás Először eltávolítjuk a zárójeleket, majd rendezzük az egyenlőtlenség bal és jobb oldalát. Végül azonos átalakítások alkalmazásával megoldjuk az egyenlőtlenséget, és a megoldáshalmazt számegyenesen szemléltetjük. Segítség ük fel! Eleveníts a) 2 · (1 – x) ≤ 7 – x x = –x + 1x = – 1 x 2 – = x 2 – 2x ≤ 7 – x /– 2 – 2x + –1 – 2x ≤ 5 – x /+x –2 + 1 = –x ≤ 5 / . (– 1) x ≥ –5 Negatív számmal való szorzás után az egyenlőtlenségjelet megfordítottuk. Miért? Figyeld meg az egyenlőtlenség megoldását más módszerrel: 2 · (1 – x) ≤ 7 – x 2 – 2x ≤ 7 – x / +2x 2≤7+x / –7 –5 ≤ x Mi lesz az x ≥ – 5 és mi a – 5 ≤ x egyenlőtlenségek megoldása? Mindkét esetben arra a kérdésre kell felelnünk, hogy melyek azok a számok, amelyek kisebbek – 5-nél vagy egyenlők – 5-tel? Tehát ennek a két egyenlőtlenségnek ugyanaz a megoldása. A számegyenesen ezért azokat a számokat jelöljük ki, amelyek nagyobbak – 5-nél vagy egyenlők – 5-tel.
–7 –6 –5
–4 –3 –2 –1
0
1
2
3
4
5
6
7
Az egyenlőtlenség megoldása minden – 5-nél nagyobb vagy – 5-tel egyenlő valós szám. Az ellenőrzéshez kiválasztunk két számot: a – 5-öt (ekkor egyenlőséget kapunk), és a – 4 -et (ez a megoldáshalmaz – 5-nél nagyobb elemei közül a legkisebb egész szám). B(– 5) = J(– 5) = Mivel 12 = 12, azaz B(– 5) = J(– 5), ami megfelel a B ≤ J feltételnek. B(– 4) = J(– 4) = Mivel 10 < 11, azaz B(– 4) < J(– 4), ami megfelel a B ≤ J feltételnek. b) – 3 · (2x + 4) > – 8 – (x – 1) – 6x – 12 > – 8 –x + 1 – 6x – 12 > –x – 7 /+ 12 – 6x > –x + 5 /+ x – 5x > + 5 / : (– 5) x < –1
A megoldás helyességéről győződj meg további három szám, pl. a z – 1, 0, 1 behelyettesítésével! Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát elosztjuk egy negatív számmal, akkor az egyenlőtlenségjel megfordul.
A számegyenesen szemléltetjük a – 1-nél kisebb számokat.
–7 –6 –5
–4 –3 –2 –1
0
1
2
3
4
5
6
7
A megoldás: minden – 1-nél kisebb valós szám. Az ellenőrzéshez pl. a – 2-t választjuk, mert ez a megoldáshalmazban található egész számokból a legnagyobb. B= J = Mivel 0 > – 5, ezért B > J. 82
15.
Oldd meg azonos átalakítások segítségével a valós számok tartományában az alábbi egyenlőtlenségeket! A megoldáshalmazt szemléltesd számegyenesen is!
a)
b)
c)
d)
16.
Oldd meg azonos átalakítások segítségével a valós számok tartományában az alábbi egyenlőtlenségeket! A megoldáshalmazt szemléltesd számegyenesen is!
16. megoldás Először közös nevezőre hozzuk a törteket, majd rendezzük az egyenlőtlenség mindkét oldalát, végül azonos átalakítások segítségével megoldjuk az egyenlőtlenséget, és a megoldáshalmazt számegyenesen szemléltetjük. A közös nevező 8.
Megjegyzés
A törtekkel másképp is dolgozhatunk. Ezt az egyenlőtlenséget így is megoldhatjuk: / ∙ 8 közös nevező
Ettől a lépéstől kezdve a két levezetés megegyezik.
A számegyenesen kijelöljük az
–7 –6 –5
-nál nagyobb vagy az
–4 –3 –2 –1
-dal egyenlő számok halmazát.
0
1
2
3
Az egyenlőtlenség megoldása minden olyan valós szám, amely nagyobb
4
5
6
-nál vagy egyenlő
7
-dal.
Az ellenőrzéshez kiválasztunk két számot: az
-ot (ekkor egyenlőséget kapunk),
és az 1-et (ez a megoldáshalmaz egész értékei közt a legkisebb). B
=
J
=
Mivel
, azaz B
=J
, ami megfelel a B ≥ J feltételnek.
B(1) A megoldás helyességéről győződj meg további három szám behelyettesítésével! A számokat a megoldáshalmazból válasszátok ki tetszőlegesen.
J(1) Mivel
, azaz B(1) < J(1), ami megfelel a B ≤ J feltételnek.
folytatás
83
16. megoldás – folytatás A közös nevező: 10.
Ha a tört előtt mínusz van, a számláló minden tagjának megváltozik az előjele. (Lásd a kifejezésekről szóló fejezetet!) Negatív számmal osztottunk, ezért az egyenlőtlenségjel megfordul.
/ : (– 3) x>3
A számegyenesen kijelöljük a 3-nál nagyobb vagy a 3-mal egyenlő számok halmazát. Mivel a 3 nem megoldása az egyenlőtlenségnek, a 3-hoz üres karika kerül. –7 –6 –5
–4 –3 –2 –1
0
1
2
3
4
5
6
7
Az egyenlőtlenség megoldása minden 3-nál nagyobb valós szám. Ellenőrzésképpen behelyettesítjük a 4-et, a legkisebb egész értéket a megoldáshalmazból. B
A megoldás helyességéről győződj meg további három szám behelyettesítésével! A számokat a megoldáshalmazból válasszátok ki tetszőlegesen.
J Mivel
17.
, ezért B < J. Oldd meg azonos átalakítások segítségével a valós számok tartományában az alábbi egyenlőtlenségeket! A megoldáshalmazt szemléltesd számegyenesen is! b)*
a)*
c)**
d)**
18.* a) Az a-nak milyen negatív egész értékei mellett lesz a b) A b-nek milyen pozitív egész értékei mellett lesz az
kifejezés értéke 7-nél nagyobb? kifejezés értéke 7-nél kisebb?
18. megoldás a) Ha a kifejezés értékének 7-nél nagyobbnak kell lennie, akkor tulajdonképpen a séget kell megoldanunk. A bal oldalon eltávolítjuk a zárójelet.
egyenlőtlenSegítség
4a + 20 – 3a > 7 a + 20 > 7 / – 20 a > – 13
atjuk
ot így írh
szám A vegyes fel törttel:
4 · (a + 5) – 3a > 7
Az a-nak – 13-nál nagyobb negatív egész számnak kell lennie, tehát a megoldáshalmazt a következő számok alkotják: – 12, – 11, – 10, – 9, – 8, – 7, – 6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1. kifejezés értéke akkor lesz nagyobb 7-nél a negatív egész számok tartományában, ha az Vagyis a a értéke: – 12, – 11, – 10, – 9, – 8, – 7, – 6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1. A megoldás helyességéről önállóan kell meggyőződnöd. folytatás
84
18. megoldás – folytatás b) Ha a kifejezés értékének 7-nél kisebbnek kell lennie, akkor tulajdonképpen az kell megoldanunk.
0
1
2
egyenlőtlenséget
3
4
Mivel a b-nek 3,4-nél kisebb pozitív egész számnak kell lennie, az 1, 2, 3 számok alkotják a megoldáshalmazt. Vagyis a
kifejezésnek akkor lesz 7-nél kisebb az értéke, ha a b értéke 1, 2 vagy 3.
A megoldás helyességéről győződj meg önállóan!
19. a) A b mely pozitív egész értékeire lesz az b) A b mely pozitív egész értékeire lesz a c) A c mely negatív egész értékeire lesz a
kifejezés értéke nagyobb 6-nál? kifejezés értéke kisebb 1-nél? kifejezés értéke nagyobb 6-nál?
d) A c mely negatív egész értékeire lesz az
kifejezés értéke kisebb 1-nél?
20. a) Az y mely értékeire lesz a b) A z mely értékeire lesz a c) Az m mely értékeire lesz a d) Az n mely értékeire lesz a
kifejezés értéke kisebb 0-nál? kifejezés értéke kisebb 0-nál? kifejezés értéke kisebb 0-nál? kifejezés értéke kisebb 0-nál?
21.
Az A–D esetek melyikében szerepelnek csupán olyan számok, amelyek a megoldásai? A – 14, – 15, – 16 B – 3, – 4, – 14 C – 9, – 11, – 14
egyenlőtlenség D – 9, – 8, – 7
21. megoldás Ezt a feladatot megoldhatjuk becsléssel vagy próbálgatással – kísérletezéssel, de megoldhatjuk az egyenlőtlenséget az azonos átalakítások alkalmazásával is. Az alábbiakban a próbálgatást választjuk. Három esetben is előfordul a –14, válasszuk ki ezek közül az egyiket! Ha a –14 nem lesz a kiválasztott egyenlőtlenség megoldáshalmazának eleme, akkor sem az A, sem a B, sem a C esetben felsorolt számok nem lehetnek a megoldáshalmaz elemei. Ebben az esetben a D lenne a megoldás. Feltételezzük, hogy a –14, –15, –16 számok mindegyike eleme az egyenlőtlenség megoldáshalmazának – ez az A eset.
Mivel – 18 = – 18, a – 14 megoldása az egyenlőtlenségnek.
Az egyenlőtlenség igaz, a –15 is megoldása az egyenlőtlenségnek.
Az egyenlőtlenség igaz, a –16 is megoldása az egyenlőtlenségnek. Az A esetben felsorolt számok mindegyike megoldása az adott egyenlőtlenségnek. 85
22.
Az A–D esetek melyikében szerepelnek csupán olyan számok, amelyek a ség megoldásai? A 2, 3, 4 B 0, 1, 2 C – 1, 0, 1
egyenlőtlenD 4, 5, 6
23.* Oldd meg az alábbi elsőfokú egyenlőtlenségeket a valós számok tartományában, majd a megoldáshalmazt szemléltesd számegyenesen! a)
b)
23. megoldás Először eltávolítjuk a zárójeleket, majd rendezzük az egyenlőtlenség bal és jobb oldalát. Végül azonos átalakítások alkalmazásával megoldjuk az egyenlőtlenséget, és a megoldáshalmazt számegyenesen szemléltetjük. Az egyenlőtlenség mindkét oldalához hozzáadjuk a kifejezést.
0 < 29 A egyenlőtlenség azonos átalakításaival egy igaz egyenlőtlenséget (0 < 29) kaptunk. Ezért kijelenthetjük, hogy az egyenlőtlenség megoldása az összes valós szám. Számegyenesen szemléltetve:
–7 –6 –5
–4 –3 –2 –1
0
1
2
3
4
5
6
7
Az ellenőrzést végezd el önállóan! A közös nevező: 3.
0 ≤ –5 rendezése során egy hamis egyenlőtlenséget (0 ≤ – 5) kaptunk.
Az
Ezért kijelenthetjük, hogy az egyenlőtlenségnek nincs megoldása.
24.* Oldd meg az alábbi elsőfokú egyenlőtlenségeket a valós számok tartományában, majd a megoldáshalmazt szemléltesd számegyenesen! b)
a)
25.*
Mely pozitív egész számok megoldásai az
egyenlőtlenségnek?
25. megoldás Először eltávolítjuk a zárójeleket, majd rendezzük az egyenlőtlenség bal és jobb oldalát. Végül azonos átalakítások alkalmazásával megoldjuk az egyenlőtlenséget.
Az egyenlőtlenség mindkét oldalához hozzáadjuk a kifejezést.
folytatás
86
25. megoldás – folytatás A közös nevező: 6.
/·6
/ : (– 8) 0
Az
1
2
3
4
5
egyenlőtlenség megoldáshalmazát olyan pozitív x számok alkotják, amelyekre
Mivel bármely pozitív szám nagyobb, mint
6
7
.
, ezért a megoldáshalmaz az összes pozitív egész szám, tehát az 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7… számok. Mivel ezekből végtelen sok van, ezért csak az első számokból írunk le néhányat, majd pontokat írunk.
26.* Mely negatív egész számok megoldásai a
egyenlőtlenségnek?
Gondolkodtató feladat
Írd le, hogy függ az a∙x+b>0 a∙x+b<0 a∙x+b≤ 0 a ∙ x + b≥ 0 egyenlőtlenségek megoldása az a-tól és a b-től!
Tudáspróba Minden feladatban csak egy helyes választ találsz. 1. Az alábbi számok egyike az 5x – 12 < 3 egyenlőtlenség megoldása. Keresd meg, melyik!
A 3
B 3,2
C
D
2. Az alábbi számok egyike a 2x + 3 > – 5 egyenlőtlenség megoldása. Keresd meg, melyik!
A
B – 5,2
C –4
D – 4,3
3. Az alábbi számok egyike az 5x + 2 ≤ 3 + 4x egyenlőtlenség megoldása. Keresd meg, melyik!
A 1,5
B 1
C
D 2
4. A 2 · (x – 3) ≤ 0 egyenlőtlenség megoldáshalmazának eleme:
A 3,1
B 5,8
C
D
5. A – 4 · (x + 1) ≥ 1 – 6x egyenlőtlenség megoldáshalmazának eleme:
A 2
B
6. Ha x egy negatív egész szám, akkor az
A 5
B 1,6
C 0,3
D
egyenlőtlenség megoldása:
C 1
D 2
87
7. Ha x egy negatív egész szám, akkor az
A 5
egyenlőtlenség megoldása:
B –4
C –6
D –5 egyenlőtlenség megoldásai?
8. Az A–D esetek melyikében szerepelnek csupán olyan számok, amelyek az
A 6, 7, 8
B 18, 19, 20
C 15, 16, 17
D 11, 16, 21
9. Az A–D esetek melyikében szerepelnek csupán olyan számok, amelyek az
A 2, 1, 0
B 3, 4, 5
10. Mely b értékre lesz a
A 0,5 11. A
C 1, 2, 3
akkor nagyobb az
12. Az
A
D 2, 3, 4
kifejezés értéke nagyobb 0-nál?
B 0,4
A x<0
egyenlőtlenség megoldásai?
C 0,3
D 0,6
kifejezésnél, ha:
B x > 0,4
C x>2
D x > –4
egyenlőtlenségnek ugyanaz a megoldása, mint az alábbi egyenlőtlenségek egyikének:
B
C
D
13. Melyik az az x érték, amely egyidejűleg megoldása az x + 3 < 0 és az x + 6 ≥ 0 egyenlőtlenségnek is?
A –3
B –5
C 0
14. Melyik az az x érték, amely egyidejűleg megoldása az
A 0
B 1
D 4 és az
egyenlőtlenségnek is?
C 2
D 5
Jegyezd meg! a·x+b>c a∙x+b
Az egyenlőtlenség megoldásai megoldáshalmazt alkotnak, amit számegyenesen szemléltetünk. Az elsőfokú egyenlőtlenségeket azonos átalakításokkal oldjuk meg: Az egyenlőtlenség mindkét oldalához hozzáadhatjuk ugyanazt a számot vagy algebrai kifejezést. Az egyenlőtlenség mindkét oldalából kivonhatjuk ugyanazt a számot vagy algebrai kifejezést. Az egyenlőtlenség mindkét oldalát eloszthatjuk ugyanazzal a pozitív számmal. Az egyenlőtlenség mindkét oldalát megszorozhatjuk ugyanazzal a pozitív számmal. Ha az egyenlőtlenség oldalait megszorozzuk vagy elosztjuk ugyanazzal a negatív számmal, akkor az egyenlőtlenségjel az ellenkezőjére fordul.
88
3.3. Egyszerű egyenletek a nevezőben szereplő ismeretlennel 1
számok ismeretlen
0,5
...
... x, y, z ...
ismeretlent tartalmazó kifejezés
x – 2 ...
Idézzük fel! Tanultunk az elsőfokú egyenletekről. Tanultunk a nevezőről – a számlálóval és a törtvonallal együtt alkotják a törtet.
=
tört
100 100
ismeretlent tartalmazó kifejezés
+ 50
+ 20
+ 20
10
= 100 + 100 + 100 + 100
egyenlet
8 8
Mit mondhatunk azokról az egyenletekről, amelyekben az ismeretlen a nevezőben szerepel? A következő részben bemutatjuk néhány megoldási lehetőségüket. Az első feladatot minden bizonnyal meg tudod oldani. Ha nem képlettel, akkor józan ésszel.
1.
Gyuri új kerékpárt és hozzávalókat vásárolt. Még a szavatossági időben szeretné alaposan kipróbálni. Egy 120 km-es útvonalat választott, amelyet 4,8 óra alatt tett meg. A további kerékpárutainak tervezéséhez tudni szeretné, milyen átlagsebességgel haladt. Számítsd ki!
1. megoldás Oldjuk meg a feladatot (kissé leegyszerűsítve) egy fizikaórán tanult képlet segítségével! képlettel számíthatjuk ki, ahol s az út kilométerben (km), t az idő órában (h). A sebességet a Ebből: s = 120 km, t = 4,8 h, v = ? km/h Projektfeladat Mely szlovákiai városok vannak egymástól megközelítőleg 120 km-re? Keress legalább 5 pár ilyen várost, és hasonlítsd össze a városokat népességük szerint!
Gyuri 25 km/h átlagsebességgel haladt.
2.
Gyuri elment az új kerékpárjával egy barátjához a 31,5 km-re fekvő településre. Meddig tartott az út, ha 21 km/h átlagsebességgel haladt?
2. megoldás A sebesség
képletéből indulunk ki, ahol v = 21 km/h, s = 31,5 km, t = x h (az idő ismeretlen, tehát x, x ≠ 0):
Egy olyan egyenlet keletkezett, amely x ismeretlenje a nevezőbe került. Ennek az értékét kell kiszámítanunk. Mivel a tört valójában osztás, az x ismeretlen osztó, ezért az egyenlet mindkét oldalát meg kell szoroznunk x-szel.
Mivel t = x h, Gyuri 1,5 óra alatt ért a barátjához. A feladatban a
egyenletet oldottuk meg, melyben az ismeretlen a nevezőben található.
Az ellenőrzést elvégezve kapjuk, hogy: B = 21,
J=
= 21 Mivel 21 = 21, B = J, az egyenlet megoldása 1,5. 89
Tudod-e…? Kassa–Tátra (Tatry)–Kassa Kerékpárverseny (K–T–K) 1924-ben a Kassai Atlétikai Klub (KAC) kezdeményezésére megszületett a ma már világhírű kassai maraton, a kerékpáregylet, amelyet abban az időben Fekete József vezetett, sem szeretett volna tétlen maradni. Ekkor született meg a Magas-Tátra (Vysoké Tatry) szerelmesének a fejében a Kassáról a Magas-Tátrába és onnan vissza, Kassára vezető kerékpárverseny megszervezésének gondolata. Sajnos, a K–T–K versenyek első szervezőinek nem sikerült ehhez hivatalos keretet biztosítaniuk. A gondolat és a remény azonban tovább élt, és a kerékpározás megszállottjainak köszönhetően 1928 egy hűvös októberi reggelén 14 mindenre elszánt kerékpáros állt rajthoz a kassai Andrássy Kávéház előtt. Az első szakasz végén, a Csorba-tónál (Štrbské pleso) – 6 °C várta a versenyzőket. Az első évfolyam győztese Vlasto Ružička lett a kassai KAC-ból. Forrás: http://www.k-t-k.sk/sk/history.php
.
Az előző feladat megoldása során olyan egyenletet kaptunk, amelyben az x ismeretlen a nevezőbe került Hogyan oldjuk meg ezt az egyenletet? A
= f alakú egyenletet (d, e, f valós számok), amelyben az x ismeretlen a nevezőben szerepel, úgy oldjuk meg,
hogy azonos átalakításokkal ax + b = c alakú elsőfokú egyenletté alakítjuk, ahol az a, b, c valós számok. tört nevezője nem lehet nulla, vagyis x ≠ – e.
A megoldhatóság feltétele: a
Projektfeladat
Oldjunk meg néhány egyenletet! Megoldásuknál alkalmazhatjuk a korábban tanult módszereket. Idézzük fel az egyenletek azonos (ekvivalens) átalakításait!
A fizika-, kémia- vagy biológiaórán számolt feladatok közül válaszd ki azokat, amelyeket olyan egyenlettel kell megoldani, amelyben az ismeretlen a nevezőben szerepel! Keresésed eredményét hasonlítsd össze az osztálytársaidéval! Az internetről is meríthetsz információkat.
Fejezd be az alábbi mondatokat: Ha az egyenlet mindkét oldalához hozzáadjuk… Ha az egyenlet mindkét oldalából kivonjuk… Ha az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk… Ha az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk…
3.
Úgy gondolom, hogy ezekbe a mondatokba ezt kell beírni: „ugyanazt a számot vagy kifejezést”, „ugyanazzal a számmal vagy kifejezéssel”. Mit szólsz hozzá? Gondolkodj el ezen!
Oldd meg az egyenleteket, és végezz ellenőrzést!
a)
b)
c)
d)
3. megoldás A
törtre ki kell kötnünk, hogy
nevezője nem lehet nulla, azaz
Elvégezzük az ellenőrzést: B=7
x ≠ 0.
B=J
J = Az egyenlet gyöke eleget tesz az x-szel szemben támasztott feltételnek, mert 4 ≠ 0. Az egyenlet gyöke 4. 90
folytatás
3. megoldás – folytatás A
törtre ki kell kötnünk, hogy
nevezője nem lehet nulla, azaz: 2x ≠ 0 / : 2 x≠0
Elvégezzük az ellenőrzést: B = –3
B=J
J = Az egyenlet gyöke eleget tesz az x-szel szemben támasztott feltételnek, mert – 3 ≠ 0. Az egyenlet gyöke – 3. Az
törtre ki kell kötnünk, hogy
nevezője nem lehet nulla, azaz x ≠ 0.
Elvégezzük az ellenőrzést: B=
B=J
J =1 Az egyenlet gyöke eleget tesz az x-szel szemben támasztott feltételnek, mert 5 ≠ 0. Az egyenlet gyöke 5. A
törtre ki kell kötnünk, hogy
nevezője nem lehet nulla, azaz x ≠ 0.
Elvégezzük az ellenőrzést: B= B=J J =7 ≠ 0. Az egyenlet gyöke
Az egyenlet gyöke eleget tesz az x-szel szemben támasztott feltételnek, mert
4.
Oldd meg az egyenleteket, és végezz ellenőrzést!
a)
5.
b)
c)
d)
Számítsd ki az egyenletek gyökét, majd végezz ellenőrzést!
a)
b)
c)
d)
5. megoldás Először megoldjuk az egyenletet, elvégezzük az ellenőrzést, és meghatározzuk a nevezőben szereplő ismeretlenre vonatkozó feltételt. A biztonság kedvéért figyelmeztetlek! 3 · x = 3x 3 · (x – 1) = 3x – 3 folytatás
91
.
5. megoldás –
folytatás
Ellenőrzés: B=3 B=J J = A
törtre ki kell kötnünk,
hogy nevezője nem lehet nulla: Mivel 4 ≠ 1, az egyenlet gyöke 4.
x–1≠0 x≠1
/+1 Az áltörtet felírjuk vegyes számmal. Ehhez a számlálót elosztjuk a nevezővel. maradék 4
Ellenőrzés: A tört alakú gyökkel végezzük el. B
Ellenőrzés: B = –2
B=J
J = B=J A
törtre ki kell kötnünk,
hogy nevezője nem lehet nulla: Mivel 7 ≠ 3, az egyenlet gyöke 7.
J =7 3–x≠0 3≠x
/+x
A
törtre ki kell kötnünk,
hogy nevezője nem lehet nulla:
≠ – 1, az egyenlet gyöke
Mivel
6.
/–1
.
Számítsd ki az egyenletek gyökét, majd végezz ellenőrzést! b)
a)
Felmerülhet benned a kérdés: Miért „tűnik el” a tört? Megmutatjuk részletesen a tört eltávolítását:
x+1≠0 x ≠ –1
c)
d)
7.* Oldd meg az egyenleteket, majd végezz ellenőrzést! a)
b)
7. megoldás A bal oldalon nem végeztük el a szorzást. Nem volt rá szükség, mert a kifejezések kiegyszerűsödtek.
Ellenőrzés: B= J =4 B=J A
törtre ki kell kötnünk,
x + 2 ≠ 0 / –2 x ≠ –2 Mivel – 0,75 ≠ – 2, az egyenlet gyöke – 0,75.
hogy nevezője nem lehet nulla:
92
folytatás
7. megoldás –
9.
folytatás
Ellenőrzés: B=
Milyen feltételnek kell teljesülnie az egyenlet gyökére?
a)
b)
c)
d)
B=J J = A
9. megoldás
törtre ki kell kötnünk,
hogy nevezője nem lehet nulla:
2x – 1 ≠ 0 2x ≠ 1 x ≠ 0,5
/+1
Mivel 6,5 ≠ 0,5, az egyenlet gyöke 6,5.
Az egyenletekben az ismeretlen a nevezőben szerepel, ezért ki kell kötnünk, hogy a nevező értéke nem lehet nulla. a)
A vegyes számot törtre alakítjuk.
A
tört nevezője x + 4.
x+4≠0 /–4 x ≠ –4 A megoldás feltétele, hogy x ≠ – 4. Ez azt jelenti, hogy az egyenlet gyöke nem lehet – 4. Ezért:
b)
Az
tört nevezője 3 – 6x. 3 – 6x ≠ 0 / – 3 – 6x ≠ – 3 / : (– 6) x ≠ 0,5
Ezért:
A megoldás feltétele, hogy x ≠ 0,5. Ez azt jelenti, hogy az egyenlet gyöke nem lehet 0,5. c)
A
tört nevezője 3x + 1. 3x + 1 ≠ 0 / – 1 3x ≠ – 1 / : 3
Ezért:
Ellenőrzés: B=
x≠ A megoldás feltétele, hogy x ≠
J =
.
Ez azt jelenti, hogy az egyenlet gyöke nem lehet d) B=J A
x + 1 ≠ 0 / –1 x ≠ –1 A megoldás feltétele, hogy x ≠ – 1. Ez azt jelenti, hogy az egyenlet gyöke nem lehet – 1.
törtre ki kell kötnünk, hogy nevezője
10.
, az egyenlet gyöke
.
8.* Oldd meg az egyenleteket, és végezz ellenőrzést! a)
tört nevezője x + 1.
Ezért:
nem lehet nulla:
Mivel
A
b)
Milyen feltételnek kell teljesülnie az egyenlet gyökére?
a)
b)
c)
d)
e)
f)*
g)*
h)**
93
.
11.
13.
Az A–D lehetőségek közül melyik az egyenlet gyöke?
A –5
B –3
Az A–D lehetőségek közül melyik a érték esetékifejezés értéke nulla?
ben lesz a
C5
D3
11. megoldás
A a = 0,5
Ba=1
Ca=5
D a = –4
13. megoldás
Ezt a feladattípust tippeléssel oldjuk meg. Válasszuk a B lehetőséget, tehát legyen az egyenlet gyöke – 3! Behelyettesítünk az egyenlet bal oldalába, majd jobb oldalába, mintha ellenőrzést végeznénk.
A megoldást ezúttal nem tippeléssel oldjuk meg. Felírjuk az egyenletet, és az azonos átalakítások segítségével megoldjuk.
B= J =2 ≠ 2, B ≠ J, tehát a – 3 (a B) nem gyöke az egyenletnek. Válasszuk most gyöknek az 5-öt, tehát a C esetet! Behelyettesítünk az egyenlet bal oldalába, majd jobb oldalába, mintha ellenőrzést végeznénk. B= J =2 2 = 2, B = J, tehát az 5 (a C) az egyenlet gyöke.
A
törtre ki kell kötnünk,
a–5≠0 /+5 a≠ 5 Mivel 0,5 ≠ 5, ezért a feladat megoldása: a = 0,5, tehát az A lehetőség.
hogy nevezője nem lehet nulla:
14.* Az A–D lehetőségek közül melyik a érték esetében lesz a
12.
Aa=0
Az A–D lehetőségek közül melyik az
B3
Ba=4
C a = 0,8
D a = 1,25
15.* Az A–D lehetőségek közül melyik b érték ese-
egyenlet gyöke? A –3
kifejezés értéke nulla?
C – 1,5
D 1,5
tében lesz a
kifejezés értéke a legkisebb
pozitív egész szám? Ab=3
B b = –4
Cb=4
D b = 0,75
15. megoldás A feladatot egyenlettel oldjuk meg. A legkisebb pozitív egész szám az 1.
A
törtre ki kell kötnünk,
b–1≠0 /+1 b≠ 1 Mivel – 4 ≠ 1, a feladat megoldása a B eset, tehát b = – 4. hogy nevezője nem lehet nulla:
A matematikai feladatok megoldása közben és más tantárgyak tanulásával kapcsolatban is sok pedagógus hangoztatja, hogy „… az ismétlés a tudás anyja…” Történelemtanárunk pedig azt szokta mondani, hogy „… már a régi rómaiak is azt mondták…” Mire vonatkoznak ezek a mondatok? Beszélgessetek el a témáról! Az információk felkutatásához használd az internetet, lapozd fel az enciklopédiákat! 94
Ha pozitív és negatív számokkal kell dolgoznod, gondolj a számegyenesre!
17.** Oldd meg az egyenletet, és végezz ellenőrzést!
16.* Az A–D lehetőségek közül melyik c érték eseté-
Ne feledkezz meg a kikötésről!
kifejezés értéke a legnagyobb
ben lesz a
negatív egész szám? Ac=
Bc=
Cc=
Dc=
a)
b)
c)
d)
Gondolkodtató feladat
Mit mondhatunk az alábbi egyenletek gyökeiről?
Nehéznek találod ezek megoldását? Egy bölcs szerint: „Semmi sem nehéz, csak akarni kell.” Mi még hozzátesszük: „… gondolkodni és figyelmesen olvasni…”
Tudáspróba Az egyenletekkel kapcsolatos fogalmak más tananyagokban is felbukkannak. Ha helyesen oldod meg a tesztet, választ kapsz az alábbi találós kérdésre: A FÁNAK VAN, AZ EGYENLETNEK NINCS. MI AZ? Vigyázz, a betűket összekevertük! Rakd őket megfelelő sorrendbe! Minden feladatban csak egy helyes választ találsz. 1. A
egyenlet gyöke:
Y 2 2. Az
V
F 5
H –3
G 8
N
O
egyenlet megoldható, ha:
L
M
4. Az alábbi lehetőségek közül melyik az
C –5
gyöke?
D – 0,4
5. A d mely értéke mellett egyenlő a
J d=3 6. A
Z 3
egyenlet gyöke:
E 2 3. A
W
E – 2,5 kifejezés értéke az
P – 5,5 értékével?
K d = –3
L d = 13
M d = –9
É van megoldása, ha x ≠ 0.
F a gyöke x = 0.
G a gyöke x = – 2.
egyenletnek
E nincs megoldása.
95
Jegyezd meg! A
= f alakú egyenletet (d, e, f valós számok), amelyben az x ismeretlen a nevezőben szerepel, úgy oldjuk meg,
hogy azonos átalakításokkal ax + b = c alakú elsőfokú egyenletté alakítjuk (a, b, c valós számok). tört nevezője nem lehet nulla, vagyis x ≠ – e.
A megoldhatóság feltétele: a
Különböző egyenletek különféle ismeretleneket tartalmazhatnak: x-et, t-t, y-t, a-t… Például: a megoldhatóság feltétele a megoldhatóság feltétele t ≠ 0; a megoldhatóság feltétele a ≠ 0.
96
;
3.4. Az ismeretlen kifejezése a képletből
Idézzük fel! Mi a képlet? Mi az ismeretlen? Tanultunk már róluk algebra-, geometria-, fizikaórán. Beszélhetünk ismert személyiségekről, ismert bolygókról, ismert városokról… Ugyanakkor elmondhatjuk, hogy őt nem ismerem, őt még nem láttam, ez számomra ismeretlen… És – természetesen – az ismeretlen embereket, dolgokat, városokat, országokat meg szeretnénk ismerni. A kép alkotója René Magritte
Ebben a fejezetben sok ismert matematikai feladattal fogunk foglalkozni, amelyekben az ismeretlent – a keresett adatot – egy-egy képletből fogjuk kifejezni.
1.
A SZOMSZÉD KERTJE A szomszéd kertje téglalap alakú. Területe 4,05 a, hossza 18 m. Milyen széles a kert?
1. megoldás A feladatot így is megoldhatjuk: Először vázlatrajzot készítünk. Felírjuk a képletet. Behelyettesítünk a képletbe, majd kiszámítjuk a szükséges adatot. sz = ? m
A feladatot másképp is megoldhatjuk: Felírjuk a szükséges képletet: T = h · sz Ebből kifejezzük az ismeretlen adatot, ez esetben a kert sz szélességét. Azonos átalakításokat alkalmazva oldjuk meg az egyenletet: sz
h = 18 m
h≠0
sz
T = 4,05 a = 405 m2 h = 18 m sz = ? m
Felírjuk a szélességre vonatkozó képletet:
T = h · sz 405 = 18 · sz 22,5 = sz sz = 22,5
majd behelyettesítjük az ismert adatokat, és kiszámítjuk a szélességet:
/ : 18
A szomszéd kertjének szélessége 22,5 m.
sz =
sz A szomszéd kertjének szélessége 22,5 m. 97
Egy képletből kifejezni az ismeretlent annyit jelent, mint a keresett adatot (ismeretlent) felírni az ismert adatok segítségével. sz=
ismeretlen adat
ismert adatok
Az ismeretlent a képletből az egyenlet azonos átalakításait alkalmazva fejezzük ki. Az ellenőrzést úgy végezzük el, hogy az eredeti képletbe behelyettesítjük az adott és a kiszámított értékeket. Olvasd el ezeket a feladatokat, amelyeket a tanulók 1935-ben oldottak meg! A feladatok a Meroveda a rysovanie pre školy občianske című, valószínűleg 1935-ben megjelent tankönyv második kötetéből valók, szerzőjük Karol Buzek. „A téglalap alakú játszótér hossza 58 m, szélessége 39 m. Drótkerítéssel szeretnék bekeríteni. A drótot karókhoz erősítik, és ötször kerítik vele körbe a játszóteret. Hány méter drótot rendeljenek?” „A prágai Károly tér téglalap alakú. Hossza 520 m, szélessége 160 m. Hány perc alatt járhatjuk körbe, ha egy perc alatt 80 m-t teszünk meg?” „A négyszög alakú kertet léckerítéssel akarják körülvenni. A kert oldalainak hossza 65 m, 78 m, 40 m és 32 m. A karókat egymástól 6 m-re kell leütni, a lécek tengelyeinek egymástól 15 cm-re kell lenniük. Hány karóra és hány szál deszkára lesz szükség, ha egy deszkából 3 lécet lehet levágni?”
2.
Az alábbi feladatok megoldásához fejezd ki az ismeretlent a képletből! a) A négyzet kerülete 12,8 cm. Milyen hosszú az oldala? b) A téglalap kerülete 36,32 cm, egyik oldala pedig 2 cm hosszú. Milyen hosszú a másik oldala? c) A szabályos háromszög kerülete 16,74 cm. Milyen hosszú az oldala? d) Az egyenlő szárú trapéz kerülete 18,6 dm, alapjainak hosszúsága 7 dm és 5 dm. Milyen hosszúk a szárai?
2. megoldás a) Nevezzük a négyzetet ABCD-nek, és oldalát jelöljük a-val! a k = 12,8 cm a = ? cm a
a
a
b) Nevezzük a téglalapot ABCD-nek, oldalait jelöljük a-val és b-vel! k = 36,32 cm, a = 2 cm, b = ? cm Felírjuk a téglalap kerületképletét: k = 2 · (a + b) Kifejezzük az ismeretlen mennyiséget: b a b b
Felírjuk a négyzet kerületképletét:
b
b
k=4·a Kifejezzük az ismeretlen mennyiséget: a
b
a
Behelyettesítjük a mérőszámokat:
a A téglalap másik oldalának hossza 16,16 cm.
a
Ha az a, b oldalú téglalap kerületképletét k = 2 · a + 2 · b alakban írjuk fel, akkor a levezetés így alakul:
Behelyettesítjük a mérőszámokat:
A négyzet oldalának hossza 3,2 cm. folytatás
98
2. megoldás – folytatás c) Nevezzük a szabályos háromszöget ABC-nek, oldalát a-nak! k = 16,74 mm a a a = ? mm
d) Nevezzük az egyenlő szárú trapézt ABCD-nek, alapjait jelöljük a-val és c-vel, szárait pedig b = d-vel! c k = 18,6 dm a = 7 dm b b c = 5 dm b = d = ? dm a
a
Felírjuk a szabályos háromszög kerületképletét: k=3·a Kifejezzük az ismeretlen mennyiséget: a a
Felírjuk az egyenlő szárú trapéz kerületképletét: k = a + b + c + d (az általános trapézra) k = a + c + 2 · b (az egyenlő szárú trapézra, amelynek b és d a két szára). Kifejezzük az ismeretlen mennyiséget: b b
a
b
b
Behelyettesítjük a mérőszámokat:
Behelyettesítjük a mérőszámokat:
A szabályos háromszög oldalának hossza 5,58 cm.
Az egyenlő szárú trapéz szárainak hossza 3,3 dm.
Az a)–d) feladatok ellenőrzését végezd el önállóan!
3. a) b) c) d)
Az alábbi feladatok megoldásához fejezd ki az ismeretlent a képletből! A négyzet kerülete 12,56 cm. Milyen hosszú az oldala? A téglalap kerülete 150 cm, egyik oldala pedig 30 cm hosszú. Milyen hosszú a másik oldala? A szabályos háromszög kerülete 64,2 cm. Milyen hosszú az oldala? Az egyenlő szárú trapéz kerülete 52,6 dm, alapjainak hosszúsága 10 dm és 16 dm. Milyen hosszúak a szárai?
4. a) A négyzet területe 64 cm2. Milyen hosszú az oldala? b) A téglalap területe 60 cm2, és egyik oldalának hossza 12 cm. Számítsd ki a másik oldal hosszát! c) A derékszögű háromszög területe 24 dm2. Egyik befogójának hossza 6 dm. Milyen hosszú a másik befogója? d) A rombusz területe 3,2 m2, magassága 0,8 m. Milyen hosszú az oldala?
4. megoldás a) Jelöljük a négyzetet ABCD-vel, oldalát pedig a-val! a = ? cm T = 64 cm2, Felírjuk a négyzet területképletét: T = a2 Kifejezzük az ismeretlen mennyiséget: T = a2 négyzetgyököt vonunk a
a
c) Nevezzük a derékszögű háromszöget ABC-nek, a és b oldala legyen a befogója, c pedig az átfogója! T = 24 dm2 a = 6 dm b c b = ? dm Felírjuk a derékszögű . háromszög területképletét: a
Behelyettesítjük a mérőszámokat: A négyzet oldalának hossza 8 cm. b) Nevezzük a téglalapot ABCD-nek, oldalait jelöljük a-val és b-vel! a = 12 cm, b = ? cm T = 60 cm2, Felírjuk a téglalap területképletét: T = a · b Kifejezzük az ismeretlen mennyiséget: T=a·b /:a b
b
Behelyettesítjük a mérőszámokat: A téglalap másik oldalának hossza 5 cm.
Kifejezzük az ismeretlen mennyiséget: b b b
b
Behelyettesítjük a mérőszámokat: A derékszögű háromszög másik befogójának hossza 8 dm. 99
folytatás
4. megoldás – folytatás d) Jelöljük a rombuszt ABCD-vel, az oldalát a-val, a magasságát pedig ma-val! T = 3,2 m2 ma = 0,8 m ma a a=?m
a
a
Behelyettesítjük a mérőszámokat:
.
A rombusz területképlete: T = a · ma
Kifejezzük az ismeretlen mennyiséget: a
a
A rombusz oldalának hossza 4 m.
5.
Az alábbi feladatok megoldásához fejezd ki az ismeretlent a képletből! a) A négyzet területe 144 cm2. Milyen hosszú az oldala? b) A téglalap területe 192 cm2. Egyik oldalának hossza 16 cm. Milyen hosszú a másik oldala? c)* A derékszögű háromszög területe 56 dm2. Egyik befogójának hossza 8 dm. Milyen hosszú a másik befogója és az átfogója? d) A rombusz területe 1,62 m2, magassága 0,9 m. Milyen hosszú az oldala?
6.
Fejezd ki az alábbi képletekből az ismeretlent, majd számítsd ki az értékét! Végezz ellenőrzést!
a) Egyenlő szárú ABCD trapéz: k = a + c + 2 · b, a = ? b) ABCD trapéz:
k = 35 cm, c = 12 cm, b = 5 cm T = 56,5 cm2, a = 10 cm, m = 4 cm
,c=?
6. megoldás c
a) Adott az egyenlő szárú ABCD trapéz, amelynek a és c az alapja, b = d a két szára. Az egyenlő szárú trapéz kerületképletéből kifejezzük az a ismeretlent: k=a+c+2·b k–c–2·b=a
c
/–c – 2 · b /:2
Az ismeretlen: a = k – c – 2 · b. Behelyettesítjük az adott mérőszámokat: a=k–c–2·b a = 35 – 12 – 2 · 5 = 35 – 12 – 10 = 13 a = 13 cm Ellenőrzés: Az egyenlő szárú trapéz kerületképletébe behelyettesítjük a mérőszámokat: k=a+c+2·b k = 13 + 12 + 2 · 5 k = 35 cm, ami megegyezik az adott értékkel.
c
a = 13 cm c = 12 cm b = 5 cm
c Az ismeretlen: c
.
Behelyettesítjük a mérőszámokat a kapott képletbe:
c = 18,25 cm Ellenőrzés: A trapéz területképletébe behelyettesítjük az adott mérőszámokat: a = 10 cm m = 4 cm c = 18,25 cm
T= Tehát az a ismeretlen kiszámítására alkalmazhatjuk az a = k – c – 2 · b képletet. b) Adott az ABCD trapéz, amelynek a és c az alapja, b és d pedig a két szára. Fejezzük ki a c ismeretlent a trapéz területképletéből: c
100
T= T = 56,5 cm2, ami megegyezik az adott értékkel. Tehát a c oldal kiszámításához alkalmazhatjuk a c
képletet.
7.
Fejezd ki az alábbi képletekből az ismeretlent, majd számítsd ki az ismeretlen értékét! Végezz ellenőrzést!
a) k = 3 · a, a = ?, k = 129 dm c) k = a + c + 2 · b, b = ?, k = 35 cm, c = 2 cm, a = 5 cm , b = ?, a = 5 cm, T = 125 cm2
e)
b) k = 2 · (a + b), b = ?, k = 48 m, a = 12 m d) T = a · ma, a = ?, ma = 7 mm, T = 101,5 mm2 , a = ?, T = 56,5 cm2, c = 10 cm, m = 4 cm
f)
8.
Válaszolj a kérdésekre! a) Mekkora a k = 28,26 cm kerületű kör r sugara? b) Mekkora a k = 3,14 dm kerületű kör d átmérője? Fejezd ki az ismeretlent a képletből! Számolj a π 3,14 értékkel!
9.
Számítsd ki a) a T = 28,26 dm2 területű kör r sugarának hosszát! b) a T = 3,14 cm2 területű kör d átmérőjének hosszát! Fejezd ki az ismeretlent a képletből! Számolj a π 3,14 értékkel!
Tudáspróba Minden feladatban csak egy helyes választ találsz. 1.
A téglalap k = 2 · (a + b) kerületképletéből az a oldal hosszát az alábbi képlet fejezi ki:
A 2.
A háromszög
A 5.
C c=k–a–b
D c=a+b–k
B
C a=T–b
D a=b–T
területképletéből a b oldal hosszát az alábbi képlet fejezi ki:
B
C
D
B
C
D
Az a, b, c élű hasáb V térfogatképletéből a b él hosszát az alábbi képlet fejezi ki:
A 7.
B c=a–b–k
A trapéz T területképletéből, ahol az alapokat a és c, a két szárat pedig b és d jelöli, az m magasság hosszát az alábbi képlet fejezi ki:
A 6.
D
A téglalap T = a · b területképletéből az a oldal hosszát az alábbi képlet fejezi ki:
A 4.
C
A háromszög k = a + b + c kerületképletéből a c oldal hosszát az alábbi képlet fejezi ki:
A c=k+a+b 3.
B
B b=V·a·c
C b=V–a–c
D b = V : (a · c)
A kör k = π · d kerületképletéből, ahol d kör átmérője az r sugár hosszát az alábbi képlet fejezi ki:
A
B r = k : (2π)
C
D 101
3.5. Elsőfokú egyenlettel vagy egyenlőtlenséggel megoldható szöveges feladatok Milyen szöveges feladatokat oldottunk meg eddig? Milyen feladatokkal „melegítettünk be” az óra elején?
3.
Egy számot harmadára csökkentve 123-at kapunk. Melyik ez a szám?
3. megoldás 1.
Egy számot 17-tel növelve 77-et kapunk. Melyik ez a szám?
De így is szoktunk számolni: Az ismeretlen mennyiséget x-szel jelöljük. Felírjuk az egyenletet, majd megoldjuk:
1. megoldás Így számoltunk: 77 – 17 = 60 A keresett szám a 60. De így is szoktunk számolni: Az ismeretlen mennyiséget x-szel jelöljük. Felírjuk az egyenletet, majd megoldjuk: x + 17 = 77 x = 77 – 17 x = 60
Ennyivel kell növelni. +
Egy számot 15-tel csökkentve 65-öt kapunk. Melyik ez a szám?
2. megoldás Így számoltunk: 65 + 15 = 80 A keresett szám a 80.
Hányadrészére kell csökkenteni? :
Ellenőrzés: 369 : 3 = 123 A keresett szám a 369.
4.
Egy szám kétszerese 46. Melyik ez a szám?
Így számoltunk: 46 : 2 = 23 A keresett szám a 23. De így is szoktunk számolni: Az ismeretlen mennyiséget x-szel jelöljük. Felírjuk az egyenletet, majd megoldjuk: 2 · x = 46 x = 46 : 2 x = 23
De így is szoktunk számolni: Az ismeretlen mennyiséget x-szel jelöljük. Felírjuk az egyenletet, majd megoldjuk: x – 15 = 65 x = 65 + 15 x = 80
x : 3 = 123 x = 123 · 3 x = 369
4. megoldás
Ellenőrzés: 60 + 17 = 77 A keresett szám a 60.
2.
Így számoltunk: 123 · 3 = 369 A keresett szám a 369.
Ennyivel kell csökkenteni. –
Ellenőrzés: 80 – 15 = 65 A keresett szám a 80. 102
Hányszorosára kell növelni? ·
Ellenőrzés: 2 · 23 = 46. A keresett szám a 23.
Az első módszer egyszerűbb, a második általánosabb.
5. a) b) c) d)
Oldd meg tetszőleges módszerrel az alábbi feladatokat: Egy számot 5-tel növelve kétszer akkora számot kapok, mint az eredeti volt. Melyik ez a szám? Egy számot 10-zel csökkentve az eredeti szám felét kapom. Melyik ez a szám? Egy számot 36-tal növelve négyszer akkora számot kapok, mint az eredeti volt. Mi volt az eredeti szám? Egy szám 8-cal csökkentve ugyanannyi, mintha ennek a számnak a negyedét 4-gyel növelnénk. Mi volt az eredeti szám?
5. megoldás Az ismeretlen számot x-szel jelöljük. Felírjuk és megoldjuk az egyenletet. a) A keresett szám 5-tel növelve: x + 5 Az eredeti szám kétszerese: 2 · x x+5=2·x / –x 5=x x=5 Az ellenőrzést a feladat szövege alapján (nem pedig az egyenletbe való behelyettesítéssel) végezzük el. A keresett szám 5-tel növelve: 5 + 5 = 10. Az eredeti szám kétszerese: 2 · 5 = 10. A két érték egyenlő: 10 = 10, tehát a keresett szám az 5.
c) A keresett szám 36-tal növelve: x + 36 A keresett szám négyszerese: 4 · x x + 36 = 4 · x /–x 36 = 3x /:3 12 = x x = 12 Ellenőrzés: A keresett szám 36-tal növelve: 12 + 36 = 48. A keresett szám négyszerese: 4 · 12 = 48. A két érték egyenlő: 48 = 48, tehát a keresett szám a 12. x –8 2 x A keresett szám negyede 4-gyel növelve: +4 4
d) A keresett szám fele 8-cal kisebbítve:
b) A keresett szám 10-zel csökkentve: x – 10 x A keresett szám fele: 2 x – 10 = /∙2 2x – 20 = x
A közös nevező 4.
/ + 20 – x
x = 20
Ellenőrzés: A keresett szám 10-zel csökkentve: 20 – 10 = 10. A keresett szám fele: 20 : 2 = 10. A két érték egyenlő: 10 = 10, tehát a keresett szám a 20.
Ellenőrzés: A keresett szám fele 8-cal kisebbítve: 48 : 2 – 8 = 24 – 8 = 16. A keresett szám negyede 4-gyel növelve: 48 : 4 + 4 = 12 + 4 = 16. A két érték egyenlő: 16 = 16, tehát a keresett szám a 48.
Egyenlettel összetettebb szöveges feladatokat szoktunk megoldani. A szöveges feladatok egyenlettel történő megoldásának lépései: 1. matematikai eszközökkel kifejezzük az ismert és az ismeretlen (kiszámítandó) mennyiségeket; 2. ha nincs kifejezetten meghatározva, hogy milyen módszerrel dolgozzunk, akkor olyan módszert választunk, amellyel a lehető legegyszerűbb módon találjuk meg a keresett mennyiséget. (A módszer lehet hármasszabály, egyenlet, egyenlőtlenség, következtetés…); 3. a keresett érték meghatározása után ellenőrizzük az eredményt; 4. feleletet írunk.
103
§
6.
BEVÁSÁRLÁS a) Három barátnő: Dóri, Évi és Zsuzsi elment tanszereket vásárolni. Dóri 6 euróval többet kapott a szüleitől, mint Évi, Zsuzsi pedig 12 euróval kevesebbet, mint Dóri. Összesen 84 eurót kaptak. Melyikük kapott legtöbbet? Mennyit? b) Dóri hátizsákot, Évi körzőkészletet, Zsuzsi pedig rajzeszközöket vásárolt. Dóri a hátizsákért kétszer annyit fizetett, mint Évi a körzőkészletért, Zsuzsi pedig a rajzeszközeiért 3,60 euróval kevesebbet, mint Évi. Együtt fizettek, mert minden 25 eurónál nagyobb vásárlásért a bolt egy három tollból álló készletet adott ajándékba. Összesen 36,80 eurót fizettek. Mennyit kellett a lányoknak a vásárlásukért külön-külön fizetniük?
6. megoldás a) Kiszámítjuk, hány eurót kaptak a lányok külön-külön. A feladatot egy x-ismeretlenes egyenlettel oldjuk meg. Évi ............................. x Dóri ........................... x + 6 összesen 84 € Zsuzsi ........................ (x + 6) – 12 Felírjuk az egyenletet: x + (x + 6) + (x + 6) – 12 = 84 3x = 84 /:3 x = 28 Ellenőrzés: Évi .................... 28 eurót kapott Dóri .................. 28 + 6 = 34 eurót kapott Zsuzsi ............... 34 – 12 = 22 eurót kapott Összesen 28 + 34 + 22 = 84 eurót kapott.
b) Kiszámítjuk, hány eurót fizettek a lányok különkülön a vásárlásukért. A feladatot most is x-ismeretlenes egyenlettel oldjuk meg. Évi ............................ x Dóri ........................... 2 · x összesen 36,80 € Zsuzsi ........................ x – 3,60 Felírjuk az egyenletet: x + 2 · x + (x – 3,60) = 36,80 4x – 3,60 = 36,80 / + 3,60 4x = 40,40 /:4 x = 10,10 Ellenőrzés: Évi .................... 10,10 eurót fizetett Dóri .................. 10,10 . 2 = 20,20 eurót fizetett Zsuzsi ............... 10,10 – 3,60 = 6,50 eurót fizetett Összesen 10,10 + 20,20 + 6,50 = 36,80 eurót fizettek.
Évi 28 eurót, Dóri 34 eurót, Zsuzsi 22 eurót kapott. Dóri kapott legtöbbet, 34 €-t.
Évi 10,10 eurót, Dóri 20,20 eurót, Zsuzsi 6,50 eurót fizetett. Ha külön-külön fizettek volna, akkor egyikük sem kapott volna ajándékba tollkészletet.
7.
REJTVÉNYFEJTŐK KLUBJA A rejtvényeket majdnem mindenki kedveli. Ezért iskolánkban megalakult a rejtvényfejtők klubja. A klubdélutánra minden tag elkészít egy-egy találós kérdést. Az összejövetel végeztével az takarítja ki a klubhelyiséget, aki nem fejti meg a találós kérdést. Hogy telik az idő? – ez volt az egyik találkozó rejtvénytémája. Íme, néhány elhangzott kérdés: • Hány éves most édesanyám, aki négyszer annyi idős, mint én, és 5 évvel ezelőtt ráadásul hétszer annyi idős volt, mint én? • A fiú most 30 évvel fiatalabb, mint az apja. 7 évvel ezelőtt az apa hétszer olyan idős volt, mint a fia. Hány éves most a fiú? • Az apa 38 éves, lánya 12, fia pedig 14. Hány év múlva lesz az apa annyi idős, mint a gyerekei együttvéve?
7. megoldás Táblázatot készítünk, és annak adataiból felírjuk, majd megoldjuk az egyenletet. most
5 évvel ezelőtt
lány
x
x–5
anya
4∙x
4∙x–5
5 évvel ezelőtt az anya hétszer annyi idős volt, mint a lánya. Ezt egyenlettel így írhatjuk fel:
Ellenőrzés: A lány életkora 5 évvel ezelőtt: 10 – 5 = 5 Az anya életkora 5 évvel ezelőtt: 4 ∙ 10 – 5 = 35 Az anya életkora hétszer annyi, mint a lányáé: 35 : 5 = 7 Az anya ma 40 éves, a lánya pedig 10. A többi találós kérdést fejtsd meg önállóan!
104
8.
EGY KIS MOZGÁS a) Milyen hosszú utat teszek meg gyalog 15 perc alatt 4,5 km/h átlagsebességgel? b) Milyen átlagsebességgel halad Jakab, ha kerékpárjával 18 km-t tesz meg 20 perc alatt? Sebességét add meg km/h-ban! c) Mennyivel kell az apának növelnie a sebességét, hogy a szokásosnál 12 perccel hamarabb érkezzen a nyaralóba? A nyaraló 72 km-re van. Ezt az utat autóval 1,2 óra alatt szokta megtenni.
8. megoldás a) A sebességet méter/percben fejezzük ki. 60 perc alatt 4500 m-t teszek meg 1 perc alatt 4500 : 60 = 75 m-t teszek meg 15 perc alatt 75 · 15 = 1125 m-t teszek meg. b) Jakab 20 perc alatt 18 km-t tesz meg kerékpárjával 1 perc alatt 18 : 20 = 0,9 km-t tesz meg 60 perc alatt 0,9 · 60 = 54 km-t tesz meg Jakab 54 km/h átlagsebességgel haladva tesz meg 18 km-t 20 perc alatt.
9.
SEBESSÉG ÉS EGYENLET Mennyi idő múlva ér utol a barátnőm, aki 30 perccel később indult el ugyanazon az úton, amelyen én 6 km/h sebességgel haladok? Barátnőm, mivel siet, 8 km/h sebességgel halad.
9. megoldás A feladatot egyenlettel oldjuk meg. Ismét az ismert fizikai képletből indulunk ki, amelyből ezúttal az utat fejezzük ki: s = v · t. Ha ki akarjuk számítani barátnőm idejét, ehhez ismernünk kell a saját időmet, a megtett utamat és a sebességemet. A saját időm ismeretlen, ezért ezt jelöljük x-szel! Barátnőm késett, ezért az ő ideje fél órával kevesebb volt: x – 0,5. x óra alatt 6 km/h sebességgel haladva 6 · x km-t teszek meg. Barátnőm x – 0,5 óra alatt 8 km/h sebességgel haladva 8 · (x – 0,5) km-t tesz meg. A két út megegyezik. Ezt egyenlettel így írhatjuk fel: 6 · x = 8 · (x – 0,5). Segítség
d el, hogy Ne felejts vonatkozó ra a mozgás indig az m k feladato l ebességrő s a időről, . k a ln l szó és az útró
c) Az ismert fizikai képlet segítségével (v – sebesség, s – út, t – idő) kiszámítjuk az autó eredeti sebességét. Segítség
perc 1 óra = 60 m 0 0 0 1 1 km = Használd zabályt! a hármass
Az autó eredeti sebessége 60 km/h. Az új sebesség: A 12 percet órában fejezzük ki: 12 : 60 = 0,2 12 perc annyi, mint 0,2 óra
Az új sebesség 72 km/h. A sebességek különbsége: 72 – 60 = 12. Ha az apa a szokásosnál 12 perccel korábban szeretne a nyaralóhoz érni, akkor a sebességét 12 km/h-val kellene növelnie.
Ellenőrzés: 2 óra alatt 6 · 2 = 12 km-t teszek meg. Barátnőm 1,5 óra alatt (hiszen 30 perccel, azaz fél órával később indult, mint én) 8 · 1,5 = 12 km-t tett meg. A két út egyenlő, tehát a megoldás helyes. A barátnőm 1,5 óra múlva ér utol engem. Sokan szeretik a táblázatokat. A 9. feladat megoldása táblázattal így nézne ki:
én barátnőm
t idő
v sebesség
út: s = v · t
x
6 km/h
6·x
x – 0,5
8 km/h
8 · (x – 0,5)
105
10.
Jani és Peti a nyaralóba készül. Együtt akartak indulni kerékpáron 6:30-kor Janiék háza elöl. Peti nem jött meg, ezért Jani 7:00 órakor elindult egyedül a házuk elől 40 km/h sebességgel. Peti, aki elaludt, 7:30-kor ért Janiék háza elé. Mikor éri utol Peti Janit, ha Janiék házától 48 km/h sebességgel haladt?
11.
UTAK ÉS EGYENLETEK A városból B városba utazhatunk 140 km/h átlagsebességgel közlekedő gyorsvonattal, de 60 km/h átlagsebességgel közlekedő személyvonattal is. Mennyi idő múlva találkozik a két vonat, ha a két városból ugyanabban az időpontban indulnak el egymással szemben, és ezen az útszakaszon nem állnak meg sehol? A két város egymástól 96 km-re van.
11. megoldás Ha azt akarjuk kiszámítani, hogy mikor találkoznak, akkor a megtett útból kell kiindulni. Ha találkozniuk kell, akkor egymással szemben kell haladniuk. A találkozásig megtett útjaik összege a városok távolsága, tehát 96 km. Az út a vonat sebességének és a találkozásig eltelt időnek a szorzata (az s = v · t képlet szerint). A vonatok találkozásáig eltelt időt nem ismerjük, ezért ezt választjuk az egyenlet ismeretlenének, és x-szel jelöljük. Mivel a vonatok ugyanabban az időpontban indultak, a találkozás pillanatáig a két vonat menetideje megegyezik. A gyorsvonat útja 140 · x (km) A személyvonat útja 60 · x (km) A szerelvények egymással szemben haladnak, megtett útjaik összege a két város távolsága, amit ezzel az egyenlettel lehet kifejezni: 140 · x + 60 · x = 96
A megoldás: x = 0,48 óra, tehát 0,48 · 60 perc = 28,8 perc. Ellenőrzés: A gyorsvonat által megtett út: 140 · 0,48 = 67,2 km. A személyvonat útja: 60 · 0,48 = 28,8 km A két vonat megtett útjának összege: 67,2 + 28,8 = 96 km, ami megfelel az A és B város közti távolságnak. A megoldás helyes, tehát a két vonat 0,48 óra, azaz 28,8 perc múlva találkozik. Ezt a feladatot is meg lehet oldani táblázattal: gyorsvonat személyvonat
t idő x x
v sebesség 140 km/h 60 km/h a teljes út:
út: s = v · t 140 · x 60 · x 96
12.
UTAK ÉS EGYENLETEK Egy zsolnai és egy kassai partneriskola cserelátogatást szervezett. Úgy tervezték, hogy a kassai tanulók Zsolnára (Žilina), a zsolnaiak pedig Kassára látogatnak. Autóbusszal utaztak. Megegyeztek, hogy ugyanazon az útvonalon haladnak majd, hogy útközben találkozhassanak. Zsolnáról 7:00 órakor indultak Kassára, Kassáról Zsolnára viszont csak 8:30-kor. Kassától mekkora távolságra és hány órakor találkoztak? A zsolnaiak autóbusza 84 km/h, a kassaiaké 95 km/h átlagsebességgel haladt. Kassa és Zsolna távolsága megközelítőleg 269,2 km.
12. megoldás Most is az utat kell kiszámítanunk. Látható, hogy a két autóbusz által megtett út összege a Kassa és Zsolna közti távolsággal egyenlő, tehát 269,2 km. Jelöljük a Zsolnáról induló autóbusz útját a találkozásig x-szel! A Kassáról induló autóbusz 1,5 órával kevesebb időt tölt el az úton a találkozásig, hiszen csak 8:30-kor indult (a zsolnai viszont 7:00-kor). Oldjuk meg táblázattal! Zsolnáról Kassáról
t idő x x – 1,5
v sebesség 84 km/h 95 km/h a teljes út: 106
út: s = v · t 84 · x 95 · (x – 1,5) 269,2
folytatás
12. megoldás – folytatás Az utak összegéből kapjuk az egyenletet: 84 · x + 95 · (x – 1,5) = 269,2. Az egyenlet megoldása: x = 2,3 óra tehát 2 óra 18 perc (0,3 · 60 perc). Kiszámítottuk, hogy mennyi idő múlva találkoztak. Meg kell állapítanunk, hogy hány órakor találkoztak. Mivel a Zsolnáról induló autóbusz menetidejét számítottuk ki, a 2 óra 18 percet a zsolnai autóbusz indulási időpontjához kell hozzáadnunk: 7 óra 0 perc + 2 óra 18 perc = 9 óra 18 perc
Tudod-e…? „Az erdő a Föld tüdeje” – szokás mondani. Ezért mindenhová, ahová csak lehetséges, igyekszünk parkokat telepíteni, megfiatalítani az elöregedett erdőt, a beteg fákat pedig egészségesekkel pótolni…
Az ellenőrzés során egyúttal azt is kiszámítjuk, hogy Kassától mekkora távolságra találkoztak: A Zsolnáról induló autóbusz útja: 84 · 2,3 = 193,2 km. A Kassáról induló autóbusz útja: 95 · (2,3 – 1,5) = 95 · 0,8 = 76 km. A két út összege: 193,2 + 76 = 269,2 km, ami megfelel a Kassa–Zsolna távolságnak. Ez azt jelenti, hogy helyes a megoldás. Az autóbuszok 9:18-kor találkoztak Kassától 76 km-re.
13.
VÁROSI PARK A kilencedikesek facsemetéket ültettek a városi parkban. Tudták, hogy 4 óra alatt elkészülnek vele. De a nyolcadikosok is szerettek volna fát ültetni, akik viszont egyedül 5 óra alatt végeztek volna. Hány óra alatt végezték el a munkát együtt?
13. megoldás A közös munkavégzésre vonatkozó feladatokban többnyire azt kell kiszámítanunk, hogy a munkának hányad részét végzik el 1 óra alatt. A kilencedikesek 1 óra alatt a fák -ét ültették volna el, a nyolcadikosok az -ét ültették el. Együtt dolgozva egy óra alatt a fák
+
-ét ültették el. Ha együtt x óra alatt végzik el a munkát, akkor x óra alatt
ültetnek ki, és ezzel „elvégzik az egész munkát”, ami 1 egész munka. Tehát az egyenletet így írhatjuk fel:
.
Eltávolítjuk a zárójelet, a törteket közös nevezőre hozzuk.
A megoldás: Ellenőrzés: A kilencedikesek sok
óra alatt az
óra alatt a fák részét. Együtt
óra.
részét ültetik ki, a nyolcadikoóra alatt elvégzik a munka
részét, ami 1 egész, tehát az összes fát elültetik. Együtt
óra alatt ültették ki a fákat a városi parkban. 107
fát
14.
VADGESZTENYE Az ötödikesek és a hatodikosok minden évben gesztenyét gyűjtenek a parkban A vadgesztenye állati táplálék, de gyógyászati célokat is szolgál, és különféle dísztárgyakat is készítenek belőle. A tanulók öt- és háromkilós zsákokba gyűjtötték a gesztenyét: az ötödikesek háromkilósba, a hatodikos ötkilósba. Amikor befejezték a gyűjtést, megállapították, hogy összesen 30 zsákjuk van, és 120 kg gesztenyét gyűjtöttek. Hány ötödikes és hány hatodikos vett részt a gyűjtésben, ha minden tanuló pontosan egy zsáknyi gesztenyét gyűjtött?
Tudod-e…?
14. megoldás A zsákok száma megegyezik a tanulók számával. Ha x darab ötkilós zsák volt, akkor x hatodikos vett részt a gyűjtésben. A háromkilós zsákok száma 30 – x, tehát az ötödikesek száma is 30 – x. Az ötkilósokban 5 · x gesztenye van. A háromkilósokban 3 · (30 – x) kg gesztenye van. Összesen 120 kg gesztenyét gyűjtöttek, tehát az egyenlet: 5 · x + 3 · (30 – x) = 120
Ellenőrzés: Az ötkilós zsákokban 5 · 15 = 75 kg gesztenye volt. A háromkilós zsákokban 3 · (30 – 15) = 45 kg gesztenye volt. Az összes zsákban (75 + 45) kg = 120 kg gesztenye volt. Ez megfelel a feladat feltételeinek. A hatodikosok száma x, tehát 15. Az ötödikesek száma 30 – x = 30 – 15, azaz 15.
15.
TERMÉSZETVÉDŐK A hetedikesek szombatonként az erdőt takarítják. Egy természetvédő csapatot is létrehoztak. Rendszerint a turistaösvények mentén haladnak. A leghosszabb a kék ösvény. Március első szombatján ennek az ösvénynek a harmadát, a második szombaton pedig a megmaradt rész háromnegyedét sikerült kitisztítaniuk. Hány km-es szakaszt hagytak a harmadik hétre, ha a kék ösvény teljes hoszsza 12,6 km?
15. megoldás Az első szombaton a 12,6 km hosszú ösvény egyharmadát tisztították ki. Ez
km, amit így is kiszámíthatunk 12,6 : 3 = 4,2 km
Maradt még 12,6 – 4,2 = 8,4 km. A második szombaton a 8,4 km háromnegyedét tisztították ki, azaz km, amit így is kiszámíthatunk: (8,4 : 4) ∙ 3 = 6,3 km Maradt még 12,6 – 4,2 – 6,3 = 2,1 km. A természetvédő csapatnak tehát március harmadik szombatján a turistaösvény 2,1 km-ét kellett még kitakarítania. 108
A gesztenyefélék (Aesculus) családjába 12 fa- és bokorfaj tartozik. Angliában, Észak-Amerikában, Kínában és Görögországban különös tiszteletnek örvend. Franciaországban szentképeket szoktak rá akasztani. Nagy mennyiségben tartalmaz B- és C-vitamint, valamint ásványi anyagokat: káliumot, magnéziumot, foszfort és vasat.
16.
KÖZÖS MUNKAVÉGZÉS – EMBEREK ÉS ESZKÖZÖK Ede házát magas palánk veszi körül. Tele van firkákkal. Elhatározta, hogy az egészet átfesti. Egyedül 5 munkanap alatt tudná a munkát elvégezni. (1 munkanap 8 órából áll.) A fiának egyszer már sikerült a mázolást 3 nap alatt elvégeznie. Hány óráig fog tartani a munka, ha közösen fognak hozzá a mázoláshoz?
16. megoldás Hasonló feladattal már találkoztunk. Foglaljuk táblázatba, hogy a munkának hányad részét végzi el a fiú és hányad részét az apja! egyedül elvégzi
1 nap alatt elvégzi
x nap alatt elvégzi
fiú
3 nap alatt
a munka
-részét
a munka
részét
Ede
5 nap alatt
a munka
-részét
a munka
részét
x nap alatt közösen elvégzik a munka részét
egyenlet megoldását rád bízzuk.
Az
Ha helyesen dolgoztál, akkor azt kaptad, hogy Ellenőrzés:
.
A fiú
nap alatt elvégzi a munka
részét.
Ede
nap alatt elvégzi a munka
részét.
Együtt
nap alatt elvégzik a munka
részét,
tehát az egész munkát. A feladat megoldása helyes. A napokban kapott eredményt órákra alakítjuk: nap =
nap =
h = 15 h. Közösen 15 óra alatt végzik el a munkát.
17.
KÖZÖS MUNKAVÉGZÉS a) Edéék kertjében van egy medence is. Két gumicsövön keresztül szokták megtölteni. A vastagabbal 6 óra alatt, a vékonyabbal 10 óra alatt tudják a medencét feltölteni. Ede minél hamarabb fürödni szeretett volna, ezért a két csövet egyszerre használta a feltöltéshez. Mennyi idő alatt sikerül így a medencét feltöltenie? b) Janka hozzáfogott, hogy kifesse a szobáját. Egyedül 5 óra alatt tudná kifesteni. Amikor már 3 órája festett, csatlakozott hozzá a barátnője, ezért 1,5 óra alatt befejezték a munkát. Meddig tartana Janka barátnőjének egyedül kifesteni a szobát? Gyorsabb lenne-e, mint Janka?
18.
TESTVÉRIES OSZTOZKODÁS Rudi elköltözött egy másik városba. Úgy döntött, hogy a jékorongozókat ábrázoló kártyagyűjteményét szétosztja barátai közt. Egyiküknek odaadta a harmadát, másikuknak pedig a maradék felét. Maradt még 12 kártyája. Hány kártyát osztott szét?
18. megoldás A feladatot egyenlettel oldjuk meg. A kártyák számát jelöljük x-szel! Az 1. barátjának adta a harmadát:
Megmaradt még a kétharmada.
darabot. A 2. barátjának adott: Maradt 12 kártyája. Összesen x darab kártyája volt, tehát a feladatot az
egyenlettel oldhatjuk meg. folytatás
109
18. megoldás – folytatás Ellenőrzés: Az 1. barátjának adott: A 2. barátjának adott:
darabot. darabot.
Összesen 12 + 12 + 12 = 36. A megoldás helyes. Janinak 36 kártyája volt.
19.
OSZTOZKODÁS BARÁTNŐK KÖZÖTT Dóri szétosztotta a pénzt, amelyet régi játékok eladásából kaptak az iskolai börzén. Hogy igazságos legyen, a pénz felét Jankának, a maradék negyedét pedig Tányának adta, magának 9 eurót hagyott meg. Mekkora összeget osztott szét Dóri?
20.
MIT ÉRDEMES VENNI? A kerékpár-szaküzletben kétféle városi kerékpárt árulnak. Egy hét alatt 12 darabot adtak el belőle összesen 2940 euró értékben. Az olcsóbb darabja 210, a drágábbé 350 euróba került. A raktárosnak azt mondták, hogy abból rendeljen, amelyikből több fogyott. Segíts neki kiszámítani, hogy melyikből kell rendelnie!
20. megoldás A feladatot egyenlettel oldjuk meg, amelyet az alábbi táblázat segítségével írunk fel. A befejezést rád bízzuk. kerékpártípus
ennyit adtak el
darabonkénti ár
bevétel az eladott darabokból
1. típus
x
210 €
210 · x
2. típus
12 – x
350 €
350 · (12 – x)
összesen
2940
Ebből ezt az egyenletet írhatjuk fel: 210 · x + 350 · (12 – x) = 2940 A megoldás: x = 9. Az olcsóbb típusból 9, a drágább típusúból 3 darabot adtak el. Az olcsóbb kerékpárból kell rendelni.
Tudod-e…? Karl Friedrich Drais von Sauerbronnt tartják a kerékpár feltalálójának. A kerékpárt akkor drezinának nevezték. 1813-ban egy négykerekű, 1817-ben pedig kétkerekű járművet szerkesztett fából, és kormánya is volt. Csak úgy lehetett vele közlekedni, hogy váltott lábbal el kellett rugaszkodni a földtől. 1885-ben jelent meg a valóban alacsony és biztonságos kerékpár. Megtervezői, William Sutton és John Starley (mindketten agolok) Rover Safetynek nevezték el. Nézd meg az interneten, hogyan néztek ki ezek a kerékpárok! Megéri! Forrás: internet
21.
NÉVNAP Tomi a névnapjára készült. Úgy döntött, hogy osztálytársainak kétféle kis csokoládészeletet vásárol: mogyorós csokit a lányoknak (darabját 30 centért), nugátszeletet a fiúknak (darabját 35 centért). A 20 csokoládéért összesen 6,60 eurót fizetett. Hány darab mogyorós csokit és hány darab nugátszeletet vásárolt Tomi?
110
A szöveges feladat valószínűleg onnan kapta a nevét, hogy sok benne a szöveg. Ugyanakkor azt szokták mondani, hogy „Beszélni ezüst, hallgatni arany”.
Szlo város va vákiában sok s (Bojnice) n. Ide sorolható zép állatkert is a vármúzeum Bajmóc Tervezzü jével és a gyógy ával, az nk egy k fürdőjéve ebbe a vözös kirándulástl. árosba!
Állapítsd meg, miért nevezik ezeket a feladatokat szövegeseknek! Tudakold meg a választ az osztálytársaidtól is!
22.
KIRÁNDULÁS Komáromból (Komárno) 23 tanuló készül a bajmóci kirándulásra. Velük tart az osztályfőnökük és két szülő is, akik magukkal viszik két, 5 évnél fiatalabb ikergyermeküket. A tanulók most azt számolják, mennyibe fog kerülni a kirándulás.
• A tanulók egyik csoportja megállapította, hogy amennyiben 20-nál többen lesznek, egy felnőtt belépése ingyenes lesz. Ezenkívül családi jegyet is vehetnek két felnőtt (férfi és nő) és egy gyermek részére 11 euróért. Most már csak az a kérdés, hogy „Hány euróba kerül egy belépő?” • A tanulók egy másik csoportja megállapította, hogy sem autóbusszal, sem vonattal nem tudnak közvetlenül Bajmócra jutni, ezért egyszerűbb lesz a szállítást egy közlekedési magánvállalattal intézni. A legrövidebb távolság Komárom és Bajmóc közt 145 km. A kirándulásról és a várlátogatásról a tanulók egy fotóalbumot szeretnének készíteni az osztályfőnökük részére. Ezért a kirándulás költségeihez hozzá kell adni 2 fényképezőgép használatát. Az útiköltség kiszámításakor a kilométerköltségeken kívül számolni kell a parkolás és az állás költségeivel, valamint az autópályadíjjal. Minden a konkrét részletektől függ, ezért a végleges költségben előre meg kell egyezni. Az árjegyzék, amelyet a tanulók megkaptak, csak két adatot tartalmazott: az út kilométerenként 0,45 €-ba, az állás pedig óránként 7 €-ba kerül. Más költséget a cég nem fog felszámolni. Kiszámítható-e ezek után az útiköltség?
Belépőjegyek a kiállításra – éjjeli megtekintés Felnőttek ................................................................ 6,70 € Gyermekek 18 éves korig csak júliusban és augusztusban .............................. 5,00 € Felárak a belépti díjhoz Fényképezőgép-használatért ................................... 2,00 € Videokamera használatáért ..................................... 5,00 € Idegen nyelvű idegenvezetésért az angol és a német nyelven kívül csoportonként ... 13,30 € Belépőjegyek a kiállításra – nappali megtekintés Felnőttek – személyenként ...................................... 5,70 € Gyermekek 6–15 éves korig .................................... 2,90 € Gyermekek 3–6 éves korig ...................................... 0,70 €
Vigyázat! A kilencedikesek 14 vagy 15 évesek. Meg kell határozni, hány órát fognak Bajmócon tölteni. A javaslat: 3 órát. Végezetül: Hány órásra kell tervezniük a kirándulást, ha 80 km/h átlagsebességgel ggel haladnak?
22. megoldás Belépők: Tanulók: Felnőttek és gyerekek
23 · 2,90 = ................. 66,70 € 1 felnőtt ..................... ingyen 2 felnőtt és 1 gyerek . 11,00 € 1 gyerek ...................... 0,70 € .................... 2 · 2,00 = 4,00 €
2 fényképezőgép: Közlekedés: Útiköltség: ...... 145 · 2 · 0,45 = 130,50 € Állásköltség: ................. 3 · 7,00 = 21,00 € Összesen: ............................... 233,90 € A kirándulás 233,90 euróba fog kerülni. Az egész kirándulás megközelítőleg 7 óráig fog tartani, mert: (145 · 2) : 80 + 3 = 6,625 A 6,625 órát 7 órára kerekítjük.
111
23.
KORCSOLYÁZÁS A korcsolyázás – mozgás, sport és relaxáció. Ezért két jó barát, Gyuri és Endre korcsolyát vásárolt. Gyuri 50 eurót kapott a szüleitől. Barátja, Endre, 40 euróval többet. Gyurinak a boltban egy 45 eurós korcsolya nyerte meg a tetszését. Endrének olyan korcsolya tetszett, amely a felével többe került, mint Gyurié. a) Hány euróba került Endre korcsolyája? Ha a fiúk együtt vennék meg a két pár korcsolyát, akkor 10%-os kedvezményben részesülnének. Ha Gyuri egyedül veszi meg a korcsolyát, akkor csak 5%-os kedvezményre jogosult, Endre viszont 10%-osra. b) Mi az előnyösebb a fiúk számára: ha közösen vásárolnak, és közben a megtakarítást egyenlően elosztják egymás közt, vagy ha külön-külön vásárolnak? Az elárusító a korcsolyához kesztyűt is kínált. Ha megveszik, mindkettejüknek 5%-os kedvezményt ad. c) Elég pénze lenne-e a két fiúnak a kesztyű megvételére is, ha külön-külön vennék meg a korcsolyát? A kesztyű ára kedvezmény nélkül 8,70 euró.
23. megoldás a) Gyuri korcsolyája 45 euróba került. Endre korcsolyája a felével többe, azaz 45 + 45 : 2 = 45 + 22,5 = 67,50 euróbaa került. b) A fiúknak a korcsolyákért összesen 45 + 67,5 = 112,50 eurót kellett fizetniük. k. Kedvezmény: 100% .... 112,50 euró 1% .... 112,50 : 100 = 1,125 10% .... 1,125 ∙ 10 = 11,25 A kedvezmény 11,25 euró lenne. Ennek fele, tehát külön-külön 11,25 : 2 = 5,625 euró kedvezményt kapnak. Gyuri 100% ... 45 euró 1% ... 45 : 100 = 0,45 euró 5% ... 0,45 ∙ 5 = 2,25 euró Gyuri 2,25 eurót takarítana meg. Endre 100% ... 67,50 euró 1% ... 67,50 : 100 = 0,675 euró 10% ... 0,675 ∙ 10 = 6,75 euró Endre 6,75 eurót takarítana meg. Mivel a közös vásárlásból származó kedvezmény fele csak 5,625 euró lenne, Endre számára nem lenne előnyös a közös vásárlás. c) Kesztyű 100% ... 8,70 euró 1% ... 8,70 : 100 = 0,087 95% ... 0,087 ∙ 95 = 8,265 euró Ha Gyuri egyedül venné meg a korcsolyát, nem maradna pénze a kesztyűre, mert 50 – 42,75 = 7,25 euró < 8,265 euró. Azt, hogy mi lenne a helyzet Endre esetében, számítsd ki önállóan. 112
könnyen meg Ezt a feladatot legtöbb lehetett oldani. A lehetett el ” en számítást „fejb végezni.
Tudáspróba Minden feladatban csak egy helyes választ találsz. 1.
Ha egy számot 30-cal növelünk, akkor az eredetinél négyszer akkora számot kapunk. Az eredeti szám:
A 6 2.
B 40 B 3,75
B 42
C 10,8 eurót
D 13,5 eurót
B 45 km/h
C 90 km/h
D 50 km/h
C 9 km-t
D 45 km-t
Tánya és Márti fogadtak, hogy görkorcsolyán mennek iskolába. Tányának a 2700 m-es út 18 percig tartott, Márta a 3600 m-es utat ugyanúgy 18 perc alatt tette meg. Hány km/h-val volt kisebb Tánya sebessége Mártáénál?
B 9 km/h-val
C 12 km/h-val
D 0,3 km/h-val
Róbert kölcsönadta Ádámnak megtakarított pénzének háromnegyedét, azaz 48 eurót. Róbertnek maradt még:
A 12 eurója 9.
B 3,66 eurót
B 3,5 km-t
A 3 km/h-val 8.
D 72
4,5 km/h sebességgel haladva hány km-t teszek meg 20 perc alatt?
A 1,5 km-t 7.
C 12
Mekkora sebességgel teszünk meg korcsolyán 10 perc alatt 15 km-t?
A 150 km/h 6.
D 22,5
Ferinek kártyás mobiltelefonja van: 27 euróért 300 percig beszélhet. Barátjának kölcsönadta a mobiltelefonját – azzal a kikötéssel, hogy a lebeszélt perceket kifizeti. Barátja szerdán 12 percig, csütörtökön 6 percig, pénteken 15 percig beszélt Feri telefonján. Hány eurót fog ezért a barátja fizetni?
A 2,97 eurót 5.
C 45
Erikának 126 €-ja van, Renátának csak harmadannyi, Hannának pedig 12 €-val kevesebb, mint Renátának. Hány €-ja van Hannának?
A 30 4.
D 5
Ha egy számot 15-tel csökkentünk, akkor az eredetinél háromszor kisebb számot kapunk. Az eredeti szám:
A 7,5 3.
C 10
B 64 eurója
C 16 eurója
D 24 eurója
A kereskedő bevételének egyötödét a penztárban hagyta, a másik rész felét pedig bevitte a bankba. Ami megmaradt, áruvásárlásra költötte. Ha 1200 euró volt a bevétel, akkor hány eurója maradt?
A 240 euró
B 480 euró
C 720 euró
D 600 euró
10. 24,60 euróm van. A születésnapi ünnepségemre kétféle süteményt szeretnék vásárolni. A képviselőfánk darabja 1,80 euró, a dobosszeleté 0,60 euró. Minden vendégnek mindkét szeletből szeretnék adni. Hány vendéget hívhatok meg?
A 10-et 11. Ha az
A 12
B 11-et
C 12-t
D 13-at
C 3
D0
C 40,80 €
D 34 €
tört értéke 0, akkor az n értéke:
B 15
12. Ha a zsebpénzem 20%-a 6,80 €, akkor a zsebpénzem:
A 68 €
B 13,60 €
13. Ha ma kétszer annyi éves vagyok, mint a a nővérem 4 évvel ezelőtt, akkor hány éves vagyok most?
A 4
B 8
C 12
D 16
14. Az egyik kertész 4 óra alatt kaszálná le a kertet, a másik 3 óra alatt. Meddig tartana a munka, ha együtt dolgoznának?
A 12 h
B
h
C 7h
D
h
15. A medencét az egyik csapon keresztül 3,5 h alatt, a másikon keresztül 6,3 h alatt lehet feltölteni. Hány óra alatt töltenék meg a medencét, ha mindkét csapot megnyitnák?
A 4,9
B 2,25
C 1,4
D 2,80 113
Szöveges feladatok megoldása egyenlőtlenséggel 24.
KIRÁNDULÁS Gyuri 10-nél több, de 15-nél kevesebb napig volt szüleivel kirándulni. Barátja, Tomi, 16 napnál kevesebbet volt szüleivel kirándulni. Dénes 8-nál több, de 12-nél kevesebb napot volt a szüleivel kirándulni. Végezetül tudjuk, hogy mindhárman ugyanannyi ideig voltak szüleikkel kirándulni. Meg tudod-e ebből mondani, hogy hány napig?
24. megoldás Soroljuk fel mindhármuk lehetőségeit. Gyuri 11, 12, 13 vagy 14 napig kirándulhatott. Tomi 16 napnál kevesebbre mehetett kirándulni, tehát 15, 14, 13, 12, 11, 10, … napra. Dénes 9, 10 vagy 11 napig lehetett a kiránduláson. A fenti adatok alapján mindhárman 11 napig voltak kirándulni. A feladatot számegyenesen is szemléltethetjük. Gyuri: 8
9
10
11
12
13
14
15
16
Tomi (a megoldásnak csak egy részét szemléltettük): 8
9
10
11
12
13
14
15
16
Dénes: 8
9
10
11
12
13
14
15
16
25.* a) Sorold fel az összes 12-nél kisebb, de 7-nél nagyobb természetes számot! Írd fel az egyenlőtlenséget! b) Sorold fel az összes olyan egész számot, amely nagyobb vagy egyenlő, mint – 6, de kisebb vagy egyenlő, mint 2! Írd fel az egyenlőtlenséget! c) Sorold fel az összes olyan egész számot, amely nagyobb –7,2-nél, de kisebb +4,6-nél! Írd fel az egyenlőtlenséget! d) Sorold fel az összes, 2,5-nél nagyobb, de 5,2-nél kisebb egész számot! Írd fel az egyenlőtlenséget!
25. megoldás Először felírjuk a megoldáshalmazt alkotó számokat, majd felírjuk az egyenlőtlenséget. A megoldás során egyenlőtlenségjelekkel és x ismeretlennel fogunk dolgozni. a) A feladatot úgy módosítjuk, hogy bal oldalra kerüljön a kisebb, a jobb oldalra a nagyobb szám, majd megkeressük az összes olyan természetes számot, amely nagyobb 7-nél, de kisebb 12-nél. Ezek: a 8, 9, 10 és 11. Tehát: 7 < 8, 9, 10, 11 < 12 7< x < 12 A keresett egyenlőtlenség: 7 < x < 12 , ahol x természetes szám. b) A – 6 és a 2 között (beleértve az ezzel egyenlőket is) a következő egész számokat találjuk: – 6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2. Tehát: – 6 ≤ – 6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2 ≤ 2 –6 ≤ x ≤2 A keresett egyenlőtlenség: – 6 ≤ x ≤ 2, ahol x egész szám. c) A – 7,2 és a +4,6 közötti egész számok: – 7, – 6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, +1, +2, +3, +4. Tehát: – 7,2 < – 7, – 6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4 < +4,6 – 7,2 < x < +4,6 A keresett egyenlőtlenség: – 7,2 < x < +4,6, ahol x egész szám. d) Ilyen számok nem léteznek. Két egyenlőtlenséget kapunk: 5,2 < x és az x < 2,5. 114
26.
a) Sorold fel az összes kettővel osztható, 12-nél kisebb számot! b) Sorold fel az összes hárommal osztható, 10-nél nagyobb, de 20-nál kisebb számot! c) Hány 40-nél kisebb 4-gyel osztható természetes szám van?
26. megoldás Először az egyenlőtlenségnek megfelelően felsoroljuk a számokat, majd az oszthatóság jelei alapján kiválasztjuk a megfelelőket. a) A megoldás: 10, 8, 6, 4, 2. b) A megoldás: 12, 15, 18. c) A feltételnek a 36, 32, 28, 24, 20, 16, 12, 8, 4 számok felelnek meg, azaz 9 szám. A feladatokat számegyenessel is megoldhattuk volna. Számegyenessel oldd meg önállóan!
27.
a) Legkevesebb hány euróból vehetek 15 darab 20 centes kiflit? b) Legkevesebb hány kéteurósra lesz szükségem, ha ki akarok fizetni 6 joghurtot, amelynek darabja 1,20 €-ba kerül? c) Legalább hány öteurósra lesz szükségem, hogy meg tudjak venni 8 csokoládét, amelynek darabja 2,05 €?
27. megoldás A feladatok egyszerű következtetéssel is megoldhatók. Ezúttal oldjuk meg egyenlőtlenséggel! a) Olyan egyenlőtlenséget írunk fel, amelyben az x az eurók számát jelöli. x ≥ 15 · 0,20 x≥3 Legalább 3 euróra lesz szükségem. b) Olyan egyenlőtlenséget írunk fel, amelyben az x a kéteurósok számát jelöli. A darabszám csak természetes szám lehet. 2 · x ≥ 6 · 1,20 x ≥ 3,60 Legalább 4 kéteurósra lesz szükségem. c) Olyan egyenlőtlenséget írunk fel, amelyben az x az öteurósok számát jelöli. A darabszám csak természetes szám lehet. 5 · x ≥ 8 · 2,05 x ≥ 3,28 Legalább 4 öteurósra lesz szükségem.
Tudáspróba Minden feladatban csak egy helyes választ találsz. 1.
Melyik az a természetes szám, amely nagyobb 8,5-nél, de kisebb 9,5-nél?
A 8 2.
D8
B 11
C 10
D9
B 5
C 7
D 13
B 10 €
C 5€
D 15 €
Legalább hány eurósra lesz szükségem 10 darab 0,45 eurós zsemlye megvételéhez?
A 5-re 7.
C 5
Fülöpnek kevesebb pénze van, mint Daninak, Daninak viszont 10 €-nál kevesebb pénze van. Fülöpnek több pénze van, mint Gyurinak, akinek 5 €-nál több pénze van. Mennyi pénze lehet Fülöpnek?
A 7€ 6.
B 7
. Melyik ez a szám?
Hannának 8 tolla van, Dórinak kevesebb, de több, mint Jankának. Jankának 5 tolla van. Hány tolla lehet Hannának?
A 8 5.
D 9
Egy 3-mal osztható természetes szám kisebb 12-nél. Az alábbiak közül melyik ez a szám?
A 12 4.
C 7,5
Egy természetes szám kisebb vagy egyenlő, mint 6,2, de nagyobb, mint
A 6 3.
B 8,5
B 3-ra
C 4-re
D 6-ra
Hány kéteurósra lesz szükségem, ha 15 darab 25 centes kiflit szeretnék vásárolni?
A 3-ra
B 4-re
C 5-re
D 2-re 115
4. Szimmetria a síkban 4.1. A tengelyes tükrözés, a szimmetriatengely. Az alakzatok tengelyes tükörképének megszerkesztése
Az épületek, házak, boltok, garázsok, a körülöttünk előforduló tárgyak mértani alakzatok. Az épületek téglatestek vagy kockák, a háztetők gúlák vagy kúpok, az épületek helyiségeinek falai négyzetek, téglalapok, trapézok, a számítógép képernyője téglalap, a számítógép-asztal lapja is téglalap, az abrosz, az ágynemű, a pokróc mind egy-egy négyzet vagy téglalap… Fejtsd meg, milyen mértani alakzatokról van szó az alábbi mondatokban! » Minden házon van, ezen járnak be. » Nélküle az autó meg sem mozdulna. » Egyenes, mint az autópálya. » Légvonalban köt össze két várost. » A kés hegyén van.
Nyírj ki néhány szép alakzatot üzenetek írásához! Végy egy darab papírt, hajtsd ketté, és nyírj ki belőle egy tetszőleges alakzatot! A papír kettéhajtásával egy szabályos – szimmetrikus alakzat keletkezik. Íme, néhány egyszerű minta. A szaggatott vonal a kettéhajtás helyét mutatja.
Ezekről az alakzatokról elmondhatjuk, hogy tengelyesen szimmetrikusak. A szaggatott vonal (a papír kettéhajtásának helye) a kinyírt alakzatok szimmetriatengelye (vagy tükörtengelye). Léteznek tengelyesen tükrös szavak is. Például a DOB szó tengelyesen szimmetrikus.
DOB
A TAT szó is tengelyesen szimmetrikus.
TAT 116
Egy tengelyesen szimmetrikus alakzat két egybevágó részből áll. Ezeket egy egyenes (a szimmetriatengely) választja el egymástól. Ha az alakzatot kinyírjuk, és a részeket a szimmetriatengely mentén egymásra helyezzük, a két résznek fednie kell egymást. A szimmetriatengelyt t-vel jelöljük. Ha több szimmetriatengelye van, akkor ezek jelölése: t1, t2, t3... Gondolkodtató feladat
Írd fel az ábécé összes olyan nyomtatott nagybetűjét, amely tengelyesen szimmetrikus! Alkoss legalább négy olyan szót, amely nyomtatott nagybetűkkel leírva tengelyesen szimmetrikus! Gondolkodtató feladat
Karneváli díszítést készítünk az osztályunkban – ehhez girlandokat gyártunk papírból. Tégy javaslatot ezek előállításának módjára!
O M K RH
1.
SZIMMETRIATENGELYEKET KERESÜNK Állapítsd meg, hogy az alábbi alakzatok közül melyek a tengelyesen szimmetrikusak!
téglalap
szabályos háromszög
négyzet
paralelogramma
1. megoldás Ha egy alakzat tengelyesen szimmetrikus, akkor kell, hogy legyen szimmetriatengelye. Szimmetriatengelyeket keresünk – azt kutatjuk, hogy az alakzatot fel lehet-e darabolni két egyenlő részre. t2 t3
t1
téglalap
• • • •
t2
t4
t2
t1
t1
szabályos háromszög
t3 e
négyzet
paralelogramma
A téglalap tengelyesen szimmetrikus, két szimmetriatengelye van. A szabályos háromszög tengelyesen szimmetrikus, három szimmetriatengelye van. A négyzet tengelyesen szimmetrikus alakzat, négy szimmetriatengelye van. A paralelogramma nem tengelyesen szimmetrikus alakzat. Feldarabolható 2 egyforma paralelogrammára, de a részek az e egyenes mentén egymásra hajtva nem fedik egymást. 117
2.
TENGELYESEN SZIMMETRIKUS ALAKZATOK Határozd meg, hogy a következő alakzatok közül melyek a tengelyesen szimmetrikusak: szakasz, egyenes, félegyenes, egyenlő szárú háromszög, derékszögű háromszög, rombusz, egyenlő szárú trapéz, derékszögű trapéz, körlap, körvonal! Írd le, hány szimmetriatengelyük van!
jzold le Először ra kat, és o t az alakza válaszolj! án csak azut
2. megoldás A feladatot úgy is megoldhatjuk, hogy az alakzatokat egy rajzlapra rajzoljuk, majd a kinyírhatókat kinyírjuk, és megpróbáljuk kettéhajtani úgy, hogy a fél alakzatok fedjék egymást. Tengelyesen szimmetrikus: a szakasz, az egyenes, az egyenlő szárú háromszög, a rombusz, az egyenlő szárú trapéz, a körlap és a körvonal. • A szakasznak két szimmetriatengelye van. • A rombusznak két szimmetriatengelye van. • Az egyenesnek végtelen sok szimmetriatengelye van. • Az egyenlő szárú trapéznak egy szimmetriatengelye • Az egyenlő szárú háromszögnek egy szimmetriavan. tengelye van. • A körnek végtelen sok szimmetriatengelye van. A feladatot egyszerű következtetéssel is meg tudjuk oldani, ha pontosan ismerjük az alakzat tulajdonságait. t1
. O A
C
O2
D
C
B
t5 t4
t2 D
C
t2
A
3.
t2
.
. O
A
A
. O
B t
B t1
t3
O1
t1
B
O
t1
Állapítsd meg, hogy az alábbi virágszerű ábrák tengelyesen szimmetrikusak-e! Ha igen, rajzold meg a szimmetriatengelyeiket! Projektfeladat
A 3. ábrán látható rajzok mandalák. Keressetek hasonló tengelyesen szimmetrikus ábrákat!
4.
Az alábbi figurákat fiatalabb tanulók készítették papírból. Állapítsd meg, hogy ezek közül melyek a tengelyesen szimmetrikusak!
4. megoldás A feladatot egyszerű következtetéssel is meg tudjuk oldani, ha felsoroljuk, milyen alakzatokból tevődnek össze ezek a figurák, majd meghatározzuk az adott alakzatot és tulajdonságait. Mindhárom ábra tengelyesen szimmetrikus. 118
5.
ALAKZATOKKAL JÁTSZUNK a) Alkoss négy egyenlő szárú háromszögből egy tengelyesen szimmetrikus alakzatot! Próbálj minél több megoldást találni! b) Van egy 4 cm oldalú négyzeted és négy 4 cm oldalú szabályos háromszöged. Alkoss ezekből minél több tengelyesen szimmetrikus alakzatot! Hogyan kell tengelyesen szimmetrikus alakzatot szerkeszteni? Egy alakzat tengelyesen szimmetrikus a t egyenes szerint, ha minden A pontjának A‘ tükörképe is pontja az alakzatnak.
6.
KIEGÉSZÍTŐ Másold át az alábbi háromszögeket a füzetedbe, majd egészítsd ki egy ugyanilyen háromszöggel úgy, hogy tengelyesen szimmetrikus alakzat keletkezzék! a)
b)
c)
6. megoldás Ez egy könnyű feladat. A háromszögek oldalait körzővel és vonalzóval megmérve megszerkesztjük a háromszögeket, majd hozzárajzoljuk ugyanazt a háromszöget. Több megoldás is létezik. Íme, néhány ezek közül: a) b) c)
7.
Szerkessz a füzetedbe a) egy négyzetet és egy téglalapot, úgy, hogy egyik oldaluk közös legyen, majd az így kapott alakzatot egészítsd ki tengelyesen szimmetrikus alakzattá! b) egy egyenlő szárú és egy szabályos háromszöget, majd az így kapott alakzatot egészítsd ki tengelyesen szimmetrikus alakzattá!
8.
CSILLAG Szerkeszd meg a tengelyesen szimmetrikus csillag hiányzó részét!
8. megoldás A t szimmetriatengely segítségével, derékszögű háromszögvonalzót és körzőt t használva megszerkesztjük az ábrát. A csillag meglévő csúcsait A, B, C, D, E, F betűkkel jelöljük. Megkeressük a szimmetriatengely másik oldalán ezeknek A A´ a pontoknak a szimmetrikus párjait, és A´, B´, C´, D´, E´, F´ betűkkel jelőljük őket. Az adott pontokból merőlegeseket szerkesztünk a szimmetriatengelyre, majd körívek segítségével, úgy jelöljük ki a keresett pontokat, hogy ugyanakkora távolságra legyenek a szimmetriatengelytől, . B´ B C mint az eredeti pontok. A körív középpontja a szimmetriatengelyre húzott merőlegesek talppontjában van. . Az A, B, C, D, E, F pontok megnevezése: eredeti vagy ős. D D´ Az A´, B´, C´, D´, E´, F´ pontok megnevezése: kép. F F´ A B, B´, C, C´, D, D´ a E, E´ pontpárokat összetartozó pontpároknak nevezzük a t szimmetriatengely szerint, vagy egyszerűen tengelyesen szimmet. rikus pontpároknak. A t tengelyen fekvő pontok, tehát az A, A´ és az F, F´ E´ pontokat a t tengely szerinti invariáns (önmaguknak megfelelő) pontoknak E nevezzük. 119
C´
9.
Egészítsd ki az alakzatokat tengelyesen szimmetrikus alakzatokká!
Segítség
atok g az alakz Jelöld me egyél föl egy sv csúcsait, é ngelyt! iate szimmetr
10.
MEGSZERKESZTJÜK AZ 1. HÁROMSZÖGET Szerkeszd meg az ABC háromszög képét az AB egyenes szerinti tükrözésben, ha a = 4 cm, b = 3 cm és c = 5 cm!
10. megoldás Vonalzó és körző segítségével megszerkesztjük az ABC háromszöget. Felvesszük az AB szimmetriatengelyt, és megjelöljük a háromszög A, B, C csúcsait. Az A és B pont invariáns pont, tehát A ≡ A´, B ≡ B´. A C´ pontot úgy szerkesztjük meg, hogy a C pontból merőlegest szerkesztünk a szimmetriatengelyre, és a körzőt a merőleges A ≡ A´ talppontjába szúrva a C pontig terjedő távolságot átvisszük a merőleges másik oldalára.
C b a
.
c
B ≡ B´ C´
11.
Szerkeszd meg a) az ABC háromszög tetszőleges képét a BC egyenes szerinti tükrözésben! b) az ABC háromszög tetszőleges képét az AC egyenes szerinti tükrözésben!
12.
MEGSZERKESZTJÜK A 2. HÁROMSZÖGET Adott egy ABC háromszög és a háromszög oldalait nem metsző t szimmetriatengely. Szerkeszd meg az ABC háromszög A´ B´ C´ képét a t egyenes szerinti tükrözésben!
12. megoldás A tengelyes tükrözésben az A´ pont az A pont képe, a B´ a B ponté, a C´ pedig a C ponté. Az ABC háromszög A´ B´ C´ képe az ABC háromszög minden pontjának tükörképét tartalmazza, és ezeken a pontokon kívül kívü kí vüll semmilyen semm se mmil ilye yenn más más po pont ntot ot nnem em tar ttartalmaz. arta talm lmaz az. kon pontot k3
C
t
k3
.
C´
k2 k1
B
A
13.
k2
.
.
B´
k1
A´
Szerkeszd meg a) az ABC háromszög tükörképét a t egyenes szerinti tükrözésben, ha a t egyenes nem metszi a háromszög oldalait! b) az ABC háromszög tükörképét a t egyenes szerinti tükrözésben, ha a t egyenes a háromszög két oldalát metszi!
14.
Melyek azok az arab számjegyek, amelyek tengelyesen szimmetrikusak? 120
15.
FEJTÖRŐ Keresd meg a táblázat felső sorába írt pontok t tengely szerinti szimmetrikus képének betűjelét! A megoldás az alábbi mondat befejezése: Eredeti és kép – ez a kultúra és a művészet…
an feladatokb Az alábbi szimmetriáról a tengelyesltakat kell tanu od. felhasználn t
Á
C B
T
K
G H
M
R
F Y
D
P Q
A
eredeti
B
C
F
K
P
Q
kép Projektfeladat
Alkoss számítógépen érdekes tengelyesen szimmetrikus alakzatot!
16. 17. 18. 19.* a)
e)
Szerkeszd meg az 5 cm oldalú ABCD négyzet szimmetrikus képét az X és Y pontokon áthaladó t egyenes szerint, ha X ∈ AB és Y ∈ BC! Szerkeszd meg a 4 cm és 3 cm oldalú KLMN téglalap szimmetrikus képét a t = KM egyenes szerint!
Adott egy egyenlő szárú ABCD trapéz, amelyben a = 6 cm, b = 4 cm és m = 3 cm. Szerkeszd meg a trapéz szimmetrikus képét a t = AC egyenes szerint! Keresd meg az összetartozó tengelyesen szimmetrikus alakzatpárokhoz a megfelelő szimmetriatengelyeket, majd jelöld meg, hogy melyik az ős, és melyik a kép! b) c) d)
f)
g)
121
4.2. A középpontos tükrözés, a tükrözés középpontja. Az alakzatok középpontos tükörképének megszerkesztése
S N Z
Az előző oldalakon a tengelyes tükrözéssel foglalkoztunk. Most bemutatjuk a középpontos tükrözést. Középpontosan szimmetrikus például az S és a Z betű, sőt az N betű is. Középpontosan szimmetrikus alakzat például a szakasz, a négyzet és a téglalap is.
A
O
A´
Miért? B´ Mert van szimmetria-középpontjuk. Jelöljük O-val!
A´
X´
K´ O
Mit tudunk róla?
X
|AO| = |OA´|, |BO| = |OB´|, |KO| = |OK´|, |XO| = |OX´|
A
és az A, A´, B, B´, K, K´, X, X´ pontok mindegyike az adott alakzathoz tartozik. Az A, B, K, X pontokat őspontoknak, az A´, B´, K´, X´ pontokat pedig képpontoknak nevezzük. Az alakzat középpontosan szimmetrikus az O pont szerint, ha minden A pontjának az A´ képe is pontja az alakzatnak.
A hároms zögn is lehet ek szimmetri középpontjaa?
122 122
K B
X´
B´
A´ X´ K
K´ A
O X B
A szabályos háromszög is a középpontosan szimmetrikus alakzatok közé tartozik?
Az alábbi alakzatok középpontosan szimmetrikusak, de láthatjuk, hogy a középpontosan szimmetrikus alakzatok közt lehetnek tengelyesen szimmetrikusak is.
1.
2.
Az arab és a római számjegyek közül melyek a középpontosan szimmetrikusak? A nyomtatott nagybetűk közül melyek a középpontosan szimmetrikusak?
Szerkessz középpontosan szimmetrikus alakzatokat! Jelöld meg a szimmetria-középpontjukat!
3.
JÁTSSZUNK A FORMÁKKAL! a) Alkoss négy szabályos háromszögből minél több középpontosan szimmetrikus alakzatot! b) Van egy 3 cm oldalú négyzeted és négy 3 cm oldalú szabályos háromszöged. Alkoss belőlük minél több középpontosan szimmetrikus alakzatot!
Hogyan szerkesztjük meg egy alakzat középpontos tükörképét? 4.
Adott egy AB szakasz, és rajta kívül egy O pont. Szerkeszd meg az AB szakasz O pont szerinti tükörképét!
4. megoldás Fölvesszük az AB szakaszt, és rajta kívül az O pontot. Fektessünk egyeneseket a szakasz A, B végpontjaiból az O ponton keresztül, majd körzővel vigyük át az AO és BO távolságokat az egyenes O ponton túli részére! B A´ O A B´
és Milyen az ABzok s ka za s ’ A’B zete? kölcsönös hely és ók ág Egybev . párhuzamosak
5.
Szerkessz a) egy 4 cm hosszúságú szakaszt, majd szerkeszd meg az O pont szerinti tükörképét, ha az O pont a szakaszon kívül fekszik! b) egy 5 cm hosszúságú szakaszt, majd szerkeszd meg az O pont szerinti tükörképét, ha az O pont a szakaszon fekszik! c) egy 6 cm hosszúságú szakaszt, majd szerkeszd meg az O pont szerinti tükörképét, ha az O pont a szakasz felezőpontja! 123
6.
MEGSZERKESZTJÜK A 3. HÁROMSZÖGET Adott egy ABC háromszög és rajta kívül egy O pont. Szerkeszd meg az ABC háromszög O pont szerinti A´ B´ C´ tükörképét!
6. megoldás Megszerkesztjük az ABCΔ-et és a rajta kívül fekvő O pontot. Egymás után megszerkesztjük az A, B, C pontok O pont szerinti A´, B´, C´ tükörképeit. B´ Az ABC háromszög szimmetrikus képe az A´ B´ C´ háromszög. A´ |AO| = |OA´| C |BO| = |OB´| |CO| = |OC´| O C´ A
B
7.
Szerkeszd meg a) az ABC háromszög O pont szerinti tükörképét, ha az O pont azonos a B csúcsponttal! b) az ABC háromszög O pont szerinti tükörképét, ha az O pont a háromszögön belül fekszik! c) az ABC háromszög O pont szerinti tükörképét, ha az O pont a háromszögön kívül fekszik!
8.
EGY KIS SZÓRAKOZÁS Keresd meg a táblázat felső sorába írt pontok O pont szerinti szimmetrikus képének betűjelét! A
K M
C
R
H
B O
F
U
J eredeti
B
C
G
H
kép
G
Ó D J
Projektfeladat
A táblázatban kapott szóról állapítsd meg az interneten, hogy mi köze a matematikához!
Szimmetria és számolás Az alábbi számlépcső a tengelyes szimmetria jó példája. Balról jobbra, vízszintesen kell kitölteni. A középső, vastagabb vonal a tizedesvessző helye. Minden négyzetbe egy számjegynek kell kerülnie. 1. 0,5 + 0,6 = 2. 31,4 + 0,83 = 3. 104,39 + 92,301 = 4. 2 153,402 1 + 901,048 2 = 1. 2. 3. 4. 124
9.
10.
11.
Szerkeszd meg a 4 cm oldalú ABCD négyzet tükörképét az O ∈ BC szerinti tükrözésben, ha az O pont a BC átló középpontja! Szerkeszd meg a 4 cm és 3 cm oldalú KLMN téglalap tükörképét az O pont szerinti tükrözésben, ha az O pont az átlók metszéspontja! Adott az egyenlő szárú ABCD trapéz, amelyben |AB| = 6 cm, |CD| = 4 cm és amagassága m = 3 cm. Szerkeszd meg a trapéz tükörképét az O ≡ C pont szerinti tükrözésben!
12.* Keresd meg az összetartozó középpontosan szimmetrikus alakzatpárokhoz a megfelelő szimmetria-középpontokat! a)
b)
e)
13.**
c)
d)
f)
g)
Szerkeszd meg az ABCD rombuszt, amelyben a = 3 cm, |DAB | = 40°! Szerkeszd meg az ABCD rombusz A´ B´ C´ D´ tükörképét az O ≡ C pont szerinti tükrözésben, majd szerkeszd meg az A´ B´ C´ D´ rombusz t ≡ A´ B´ egyenes szerinti tükörképét! Mit mondhatunk a három alakzatról?
Jegyezd meg! A tengelyes tükrözést egyértelműen meghatározza az az egyenes, amelyet a tükrözés tengelyének nevezünk és amit általában t-vel jelölünk. A tengelyes tükrözés távolságtartó. Azt az alakzatot, amelynek a tengelyes tükörképét meg kell szerkesztenünk, ősnek vagy eredetinek nevezzük. A tengelyes tükrözésben megszerkesztett alakzatot képnek nevezzük. Egy alakzat tengelyesen szimmetrikus a t egyenes szerint, ha bármely X pontjának – ősének – X‘ tükörképét is tartalmazza. A tükrözés tengelyén fekvő pontok invariáns pontok (az ős és a kép egybeesik). A középpontos tükrözést egyértelműen meghatározza a tükrözés középpontja, amelyet általában O-val jelölünk. A középpontos tükrözés távolságtartó. Azt az alakzatot, amelynek a középpontos tükörképét meg kell szerkesztenünk, ősnek vagy eredetinek nevezzük. A középpontos tükrözésben megszerkesztett alakzatot képnek nevezzük. Egy alakzat középpontosan szimmetrikus az O pont szerint, ha bármely X pontjának – ősének – X‘ tükörképét is tartalmazza.
125
Tudáspróba – ismétlés Tankönyvünk 1. részének végén olyan feladatokat közlünk, amelyeket az előző fejezetekben kellett megoldanod. Ezek közül 7 feleletválasztásos, 7 pedig olyan, amelyre rövid választ kell adnod, mint a Tesztelés 9 tudásszintfelmérés során. 1. Az alábbi kifejezések közül melyik értéke kisebb, mint 100,001? A 6,3 . 103 + 5 . 101 – 5,9 . 102 – 0,08 . 100 B 0,25 . 104 – 0,3 . 103 + 1,2 . 100 – 6,1 . 102 C 6 . 102 – 0,32 . 103 + 0,01 . 101 – 0,01 . 104 D 4,5 . 102 – 0,23 . 103 – 0,015 . 104 + 3 . 101 2. Legyen x egy valós szám! Melyik számegyenes szemlélteti az 5x – 3 ≤ 2 . (x + 8) + 5 egyenlőtlenség megoldáshalmazát?
A 8
B 8
C 8
D 8 3. A 2 · (3x – 4) – 3x = x – (3x – 2) egyenlet megoldása:
A páros szám C tizedestört
B nagyobb vagy egyenlő mint 2 D negatív szám egyenlet gyöke megegyezik az alábbi egyenletek egyikének gyökével.
4. A Melyikkel?
A
B
C
D
5. A
egyenlet gyökéről elmondható, hogy:
A x = 6, x ≠ 2
B x = 6, x ≠ 0,5
C x = 6, x ≠ 0,5
D x = 6, x ≠ 2
6. A VILÁGŰR Az ISS nemzetközi űrállomás 92 perc alatt kerüli meg a Földet. Kb. hányszor kerüli meg a Földet egy nap alatt? Az eredményt kerekítsd két tizedesjegyre!
A 17,35
B 16,18
C 15,65
D 14,32
7. A SEBESSÉG ÉS AZ ISKOLA Gyuri és nővére ugyanazon az útvonalon jár iskolába. Sokszor görkorcsolyával mennek. Gyuri általában 8 km/h, nővére pedig 12 km/h átlagsebességgel halad. Házuk az iskolától 2400 m-re van. Hány perccel érkezik később az iskolába Gyuri, mint a nővére, ha együtt indulnak?
A 4 perccel
B 18 perccel 126
C 12 perccel
D 6 perccel
8. A SEBESSÉG ÉS A KERT Fülöp a kerti kis medencét egyedül 4 óra alatt tisztítaná ki. Ha segít neki a nővére, akkor 3 óra alatt végeznének. Hány óra alatt tisztítaná ki a medencét Fülöp nővére egyedül?
9. A KERT Az ábrán egy egyenlő szárú trapéz alakú kert alaprajza látható, amelyen kijelölték a szemközti oldalakat öszszekötő járdákat is. A járdákat, amelyek szélességét 1 méterre tervezték, ki szeretnék kövezni. Számítsd ki, mekkora területet kell kővel burkolni! Az eredményt kerekítsd két tizedesjegyre! 20 m 15 m
15 m
40 m
10. Szerkeszd meg az ABC háromszöget, amelyben c = 4,5 cm, sc |ABC| = 60°. Mérd meg mm-pontossággal az a oldal hosszát!
= 3 cm (a c oldalhoz tartozó súlyvonal) és
11. Számítsd ki a derékszögű ABCD trapéz BC szárának hosszát, ha |AB| = 12,5 cm, |CD| = 3,5 cm és |AD| = 6 cm. Az eredményt kerekítsd két tizedesjegyre!
12. A telek negyedét a családi ház foglalja el, a fennmaradó rész egyharmadát pedig a konyhakert tölti ki. A többit, azaz 35 m2-t kövezet borítja. Mekkora az egész telek területe? Az eredményt kerekítsd két tizedesjegyre, és add meg m2-ben!
13. Helyettesítsd be a
képletbe a T = 12,3, a = 12, b = 35, c = 0,16, m = 0,5 értékeket,
és számítsd ki az d ismeretlen értékét!
14. HÁROM JÁTÉKOS VITATKOZOTT Egyikük azt mondta: – Ha neked több mint 99 tallérod van, nekem meg 101-nél kevesebb, akkor ugyanannyi pénzünk van. A második azt mondta: – Ha neked 101-nél kevesebb tallérod van, és a harmadiknak kevesebb tallérja van, mint neked, de több, mint nekem, akkor mindhármunknak ugyanannyi pénze van. A harmadik megkérdezte: – Hány tallérunk van hármunknak? Felelj a kérdésére!
127
Eredme´nyek 1. Hatványok, gyökök, nagy számok írása 1.1. Négyzetre emelés, köbre emelés 4. a) 121 cm2 7. a) V = 729 cm3, F = 486 cm2 11. a) 441; 22,09; 0,828 1;
b) 0,280 9 dm2
c) 91 204 mm2
b) V = 0,001 728 dm3, F = 0,086 4 dm2
c) V = 15 625 mm3, F = 3750 mm2
b) 2025; 3,24;
;
14. a) 1331; 0,343; 1,728;
b) – 0,064; –24,389;
16. a) 0,33 > 0,092
b) 172 > (–21)3
c) 5,13 > (–7,1)2
d)
18.* a) 48
b) 0
c) 0,08
d)
;
19. a
a) –4
–3
–2
2
3
4
a
2
16
9
4
4
9
16
a
3
– 64
– 27
–8
8
27
64
0,2
0,3
0,4
a
b) – 0,4
– 0,2
0,16
0,09
0,04
0,04
0,09
0,16
3
– 0,064
– 0,027
– 0,008
0,008
0,027
0,064
a a
– 0,3
2
a
c)
a2 a3
20. a) 144 = 122; 0,25 = 0,52;
; 6400 = 802
b) 64 = 43;
; 0 = 03; –1 = (–1)3; 0,125 = 0,53
21.* a 3
15
36
18
36
3
–2
0
– 14
– 12
–4
–2
128
22.* a)
c) – (– 2)3 = 23
b)
d)
Tudáspróba Csak egy igaz barátság létezik. 1 C 2 S 3 A 4 K 5 E 6 G 7 Y 8 I 9 G 10 A 11 Z
1.2. Természetes kitevőjű hatványok 3. a) 154
b) (– 0,7)5
c)
d)
b) (– 0,6)4 > 0
c)
d)
10. a) 34 = (– 3)4
b) (– 1,9)15 = –1,915
c)
d)
11. a) – 200
b) 0,001
c)
d)
12. a)
b) 0
c)
d)
hatvány
5.
(–2)
hatványérték
4
16
5
0,002 43
0,3
3
(–100)
–1 000 000
(–1)6
1 3
–1,728
(–1,2)
11
9. a) 2,73 > 0
– 41
13. (– 2)4 · (– 3)3 = – 432
(– 0,02)2 · (– 0,1)4 = 0,000 000 04
14. a)
b)
c)
Tudáspróba 1 A 2 B 3 B 4 D 5 C 6 B 7 D 8 A 9 A 10 B
Számolás természetes kitevőjű hatványokkal – kiegészítő tananyag 23.* a) 25.**a) d)
75 = 16 807
b) 53 = 125
c) 316 = 43 046 721
b)
c)
d)
f)
e) 129
1.3. A 10 hatványai és a mértékegységek közti összefüggés 2. 1 10
4.
0
10
100
1
2
10
1000
10
10 000 100 000 1 000 000
3
4
10
10
5
10
6
10 000 000
100 000 000
7
10
10
1 000 000 000
8
109
10
1 002 304 = 60 985 321 = 132 456 021 = 9 780 325 405 =
6.
6,731 = 6,731 = 105,3 = 1 · 100 + 0 · 10 + 5 · 1 + 3 · 0,1 105,3 = 1 · 102 + 0 · 101 + 5 · 100 + 3 · 10–1 652,34 = 652,34 = 0,231 056 = 0,231 056 =
7.
a)
26 =
0,2 = 0 · 100 + 2 · 10–1
b)
5,74 = 5 · 100 + 7 · 10–1 + 4 · 10–2
547 = 8509 =
20,921 = 2 · 101 + 0 · 100 + 9 · 10–1 + 2 · 10–2 + 1 · 10–3
36 026 =
328,36 = 3 · 102 + 2 · 101 + 8 · 100 + 3 · 10–1 + 6 · 10–2
8. a) 2,3 km = 2300 m
b) 4,29 m = 42,9 dm 0,8 m = 80 cm 0,05 m = 50 mm
0,5 km = 5000 dm 0,025 km = 2500 cm
9. a) 2,3 km2 = 2 300 000 m2
b) 4,29 m2 = 429 dm2 0,5 km = 50 000 000 dm 0,8 m2 = 8000 cm2 0,025 km2 = 250 000 000 cm2 0,05 m2 = 50 000 mm2 2
2
c) 6,8 dm2 = 680 cm2 0,8 dm2 = 8000 mm2
e) 45 a = 4 500 m2
d) 0,8 ha = 80 a 1,2 ha = 12 000 m2
10. a)
c) 6,8 dm = 68 cm 0,8 dm = 80 mm
4,29 m3 = 4 290 dm3 0,8 m3 = 800 000 cm3 0,05 m3 = 50 000 000 mm3
11. a) 420 m = 0,42 km 2050 dm = 0,205 km 310 256 cm = 3,102 56 km
b) 6,8 dm3 = 6800 cm3 0,8 dm3 = 800 000 mm3
c) 0,5 hl = 50 l 2,5 hl = 2500 dl 0,09 hl = 900 cl
b) 260 dm = 26 m 10 260 cm = 102,6 m 36 560 mm = 36,56 m
c) 560 cm = 56 dm 3 075 mm = 30,75 dm
12. a) 36 580 m2 = 0,036 58 km2 2
2
389 560 cm = 0,038 956 0 km 4 500 200 dm2 = 0,045 002 km2 c) 3298 cm2 = 32,98 dm2 6280 mm2 = 0,628 dm2
d) 125 a = 1,25 ha 650 250 m2 = 65,025 ha
13. a) 5620 dm3 = 5,62 m3
d) 4,1 l = 41 dl 0,60 l = 600 ml 0,003 l = 0,3 cl
b) 30 250 dm2 = 302,5 m2 106 520 cm2 =10,652 m2 560 000 mm2 = 0,56 m2 e) 562 m2 = 5,62 a
b) 10 253 cm3 = 10,253 dm3 c) 450 l = 4,5 hl d) 320 dl = 32 l 3 3 952 cm = 0,000 952 m 650 280 mm = 0,650 28 dm 56 000 dl = 56 hl 4120 cl = 41,2 l 7450 mm3 = 0,000 007 45 m3 4 580 000 cl = 458 hl 10 250 ml = 10,25 350 cl = 35 dl 3520 ml = 35,2 dl 3
3
130
14. a) 2,65 m = = 2650 mm
256 cm = = 2560 mm
0,000 625 km = = 625 mm
5,62 dm = = 562 mm
526 mm
0,652 dm = = 65,2 mm
G
R
A
F
I
T
b) 3,65 m2 = = 3 650 000 mm2
35 600 cm2 = = 3 560 000 mm2
56,3 dm2 = = 563 000 mm2
53 600 mm2
0,000 356 a = = 35 600 mm2
K
Ö
R
Z
Ő
0,785 m3 = 785 000 cm3
8 750 cm3
5,87 dm3 = 5 870 cm3
5,78 l = 5 780 cm3
0,007 58 hl = 758 cm3
F
Ü
Z
E
T
c)
15. a)
Egy méter több, mint 50 cm. Egy km kevesebb, mint 1500 m. 10 dm több, mint 1000 cm. 1000 mm kevesebb, mint 100 dm.
Igaz Igaz Hamis Igaz
b) 100 m2 több, mint 100 dm2. Egy cm2 kevesebb, mint 1 m2. 10 000 dm2 ugyanannyi, mint 10 m2. 100 000 mm2 több, mint 100 cm2.
Igaz Igaz Hamis Igaz
c) Egy liter több, mint 1 dm3. 100 hl annyi, mint 10 dm3. 1 000 000 cm3 kevesebb, mint 1 liter. Egy m3 több, mint 10 liter.
Hamis Hamis Hamis Igaz
1.4. A számok normálalakja 2. 3. 5.
1 495 200 m = 1495,2 km 100 000 = 105, 1 000 000 = 106, 10 000 000 = 107, 100 000 000 = 108 a) b) c) d)
10.
a) 9 000 000; 40 000 000; 1 000 000 000 000; 8 b) 65; 73 000; 80 000; 1 900 000 c) 51 400 000; 3 230 000 000 000; 28 100 000 000; 328 000 000 000 d) 31 530 000; 215 378 000 000; 258 170 000 000; 32 552 300 000 000
12.
a) 7930 b) 6115 c) 1206,2
d) 15 049 e) 128 256,5 f) –36 206,1
13.** B (– 1,6 · 105 – 2,04 · 107) · 102 < A (1,6 · 103 – 2,04 · 105) · 102 < C (0,1 · 101) · (1,012 ·107) 14.** A (– 9,086 · 104 + 7,041 · 103) : 102 = B (– 0,908 6 · 105 + 0,704 1 · 104) : 102 = C (– 9,086 · 102 + 7,041 · 101) : 100 Tudáspróba 1 A 2 C 3 B 4 A 5 B 6 C 7 A 8 B 9 D 10 D
131
1.5. Műveletek nagy és kis számokkal, kerekítés és becslés 2.
a) Pontosan: 333 938 743. Becslés: milliókra 334 000 000. Különbség: 61 257 b) Pontosan: 595 810 944. Becslés: milliókra 595 000 000. Különbség: 810 944 c) Pontosan: 1,894 291. Becslés: tízezredekre 1,9. Különbség: 0,005 709 d) Pontosan: 2,395 537 398. Becslés: századokra 2,40. Különbség: 0,004 462 602
4.
a) Pontosan: 2 763 978 718. Becslés: 2 800 000 000. Különbség: 36 021 282 b) Pontosan: 4 101 767 596. Becslés: 4 000 000 000. Különbség: 101 767 596 c) Pontosan: 0,259 1. Becslés: 0,259 1. Különbség: 0 d) Pontosan: 0,109 800 243. Becslés: 0,1. Különbség: 0,009 800 243 e) Pontosan: 0,000 269. Becslés: 0,000 269. Különbség: 0
6.
a) Pontosan: 3 900. Becslés: tízesekre 3300. Különbség: 600 b) Pontosan: 85 690. Becslés: tízesekre 90 200. Különbség: 4510 c) Pontosan: 4,423 2. Becslés: egészekre 5. Különbség: 0,576 8 d) Pontosan: 100,52. Becslés: egészekre 108. Különbség: 7,48
8.
a) Pontosan:
. Becslés: tízesekre 6,5. Különbség:
b) Pontosan:
. Becslés: tízesekre 79,2. Különbség:
c) Pontosan:4,588 6 ... Becslés: egészekre 4. Különbség: 0,588 6... d) Pontosan: 2,950 57... Becslés: tízezredekre 2,888 88... Különbség: 0,061 69 e) Pontosan: 6,155 17... Becslés: 6. Különbség: 0,155 17...
10.
Gimnáziumokban:
vagy vagy
Szakközépiskolákban:
11.
I. Radičová:
12.
a) Škoda Octavia:
VW Golf:
b) KIA:
1.6. Négyzetgyök és köbgyök 4. 6.
a) 12 dm
b) 25 mm
c) 11 m
a) 1 m d) körülbelül 2,54 mm
b) 2,83 dm (két tizedesjegyre) e) 5 m
8.
a) 6, 8, 13, 14, 30, 50, 400
9.
a) 0; 1; 10; 100; 1 000
b) 0,1; 0,01; 0,001 c)
a) 4
b) –0,1
11. 13. 14.
d) 50 cm
e) 70 m
c) 10 cm
b) 0,3; 0,2; 0,5; 0,8; 0,11; 0,15
d) 0,4; 0,2; 1;
c)
c) –0,28
d)
e)
A = 0,3
= 0,7 H
= 0,6
= 0,5
A
= 0,4
S
Á
17. 19.
a) Igaz
b) Hamis
c) Hamis
a) Igaz
b) Hamis
c) Hamis
21. 23.
a) 9 cm
b) 0,3 dm
c)
a) 1; 100; 0,01; 0
B d) Hamis
m
b) 0,9; 0,5; 0,07; 0,03 132
= 0,2
c)
e) Hamis
26.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Tudáspróba 1 B 2 R 3 A 4 T 5 I 6 S 7 L 8 A 9 V 10 A
2. Pitagorasz tétele 2.1. Pitagorasz tétele és a derékszögű háromszög 9.
a) A szerkesztés lépései: 1. AB; |AB| = 4 cm 2. BAX; | BAX | = 70° 3. k; k(B, 7 cm) 4. C; 5. ABCΔ Az AC oldal hossza mérés alapján 7 cm. Pitagorasz tétele erre a háromszögre nem igaz.
b) A szerkesztés lépései: 1. AC; |AC| = 6 cm 2. O; |OC| = |AO|, O ∈ AC 3. k1; k1(C, 4 cm) 4. k2; k2(O, 5 cm) 5. B; B ∈ (k1 ∩ k2) 6. ABCΔ Az AB oldal hossza mérés alapján 4,5 cm. Pitagorasz tétele erre a háromszögre nem igaz.
c) A szerkesztés lépései: 1. AB; |AB| = 6 cm 2. ABX; |ABX | = 30° 3. p; p || AB, |p, AB| = 4 cm 4. C; 5. ABCΔ Mérés alapján a BC oldal hossza 6 cm, az AC oldalé pedig 4 cm. Pitagorasz tétele erre a háromszögre nem igaz.
11.
a) Derékszögű: 172 = 82 + 152. b) Derékszögű: 1,32 = 1,22 + 0,52. c) Nem derékszögű: 132 = 122 + 52. d) Nem derékszögű: 13002 ≠ 1202 + 502.
13. 15. 17.
b) PRSΔ a) x 38,67
b) x 4,47
c) x 28,63
d) x 5,19
a) c 12,68
b) f = 0,5 dm
c) |KM|= 80 mm
d) z 31,30 dm
18.**
a)
19.*
B
20.*
B
b)
,
Pitagorasz tétele és a háromszögek
22.
a) m 91,80 mm
b) m 0,19 dm
c)* m
24.
a) m 33,05 mm
b) m 8,29 cm
c)* m
Pitagorasz tétele és a paralelogrammák
26. 28.
a) e 10,18 dm
b) e 79,19 mm
c)*
a) a 3,39 dm
b) a 22,62 mm
c)*
30. 32.
a) e 4,56 dm
b) e 59,03 mm
c)*
a) b = 21 dm
b) b 60,47 mm
c)* 133
Pitagorasz tétele és a trapéz
34. 36.
a) m = 4 cm
b) m 3,7 cm
c) m 28,72 mm
a) A szár hossza 6 cm.
b) A szár hossza kb. 3,9 cm.
c) A szár hossza kb. 19,52 mm.
Pitagorasz tétele és a kör
38.
a) A húr hossza kb. 8,94 cm. c) A húr hossza kb. 14,14 cm.
40.
a) r = 5 cm
b) A húr hossza kb. 15,97 cm. d) A húr hossza kb. 28,35 mm.
b) r 2,42 dm
c) r 17,69 cm
d) r 4,38 cm
Pitagorasz tétele és a mértani testek
42. 44. 46.
a) e 3,81 dm
b) e 49,49 mm
c)*
a) e 40,80 cm
b) e 72,11 mm
c)*
d)
a) f 22,13 cm
b) f 73,27 cm
c) f 506,87 mm
d) f 250,42 mm
Tudáspróba 1A 2M 3É 4R 5É 6S Mi a leggyakoribb művelet a geometriában? Természetesen A MÉRÉS.
2.2. Pitagorasz tételének gyakorlati alkalmazása 2.
, e a négyzet átlója, a pedig az oldala , e a téglalap átlója, a és b a téglalap oldalai
a) b) c) m2
3.* a) b)
, ahol m a trapéz magassága, a és c a trapéz alapjai és d a trapéz szára. , e a kocka lapátlójának hossza, a a kocka éle , f a kocka testátlója, b a kocka éle
5. a
2,5 dm
42 mm
104,44 cm
3m
25 cm
918,29 cm
b
3,6 dm
86,32 mm
74 cm
65,45 dm
250 mm
56 cm
c
4,38 dm
96 mm
128 cm
72 dm
353,55 mm
9,2 m
7.** a) |AO| = 45 cm,
|OD| = 105 cm, |BO| = |OC| = 30 cm,
|AB| = |AC| 54,08 cm
C
|BD| = |CD| 109,20 cm A
b) m 22,91 m
O
D
B
8.**
A park járdáinak hossza kb. 1298 m. Az egyes részek területe egyformán 9000 m2. A B járdát használva az utat csaknem 111 m-rel rövidítjük le.
10.
Körülbelül 2,66 m.
11.
Körülbelül 3,12 m.
134
3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása 3.1. Elsőfokú egyenletek megoldása azonos átalakítások segítségével 5. a) x = 5 7. a) x = –2 9. a) x = 1 11.* a) x = –1
b) x = –3
c) x = 16
d) x = – 9
b) x = – 1,75
c) x = 23,8
d) x =
b) x = 0,5
c) x = – 1
d) x = 6,25
b) x = –0,2
c) x = 2,5
d) x = 0,25
13.
b) x =
c) x = 0,5
d)* x = – 4,25
a) x = – 15,5
e)* tetszőleges (valós) szám
f)* tetszőleges (valós) szám
15.
a)
b) w = 1
c) w = 3
d)
17.
a)
b) m = 0,7
c) m = 7
d) m = – 1,5
Tudáspróba 1 A 2 B 3 C 4 A 5 A 6 B 7 C 8 D 9 B 10 D 11* D 12 B 13 C 14 A
3.2. Egyszerű elsőfokú egyenlőtlenségek 3.
5.
7.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
a)
b)
c)
d)
a) 1, 2, 3, ... , 20, 21
b) 8, 9, 10, 11, ...
c) 1
d) 9, 10, 11, 12, ...
9. 11. 13. 15.
a) 1, 2
b) – 1
c) 1, 2, 3, 4
d) – 9, – 8, – 7, – 6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1
a) x < 2
b) x > 3
c) x < –25
d) x > 6
a) x ≤ – 3
b) x ≥ 1
c) x ≥ – 4
d) x ≤ 9
a) – 6 ≤ x
b) x ≥ 2
c) – 3 < x
d) 3 > x
17.
a)* x ≤ 2
b)* x ≥ 0,5
c)**
d)** x < – 42
19.
a) b > – 0,4, ha b pozitív egész szám
b)
c) c > – 2, ha c = – 1
d) c > – 2,5, ha a c értéke –2 vagy –1
, ha b = 1
20. a) ha y < – 2 b) ha z < – 2,8 c) ha m < – 1,7 d) ha n < – 1,5 22. D 24.* a) 3 ≥ –2, minden valós számra b) 0 ≤ 0, minden valós számra 26.* x < – 2, a megoldás az összes negatív egész szám, kivéve a –2-t és a –1-et, tehát a –3, –4, Tudáspróba 1 C 2 A 3 B 4 C 5 B 6 C 7 B 8 A 9 A 10 D 11 B 12 D 13 B 14 C
3.3. Egyszerű egyenletek a nevezőben szereplő ismeretlennel 4.
x≠0 a) x = 8
b) x = –3
c) x = 4
d) x = – 1,2 135
–5...
6.
a) x = 5, x ≠ 3
8.* a) x = 0, x ≠ 10. a) x ≠ – 6 b) x ≠ 4 12. D 14.* C 16.* D 17.** a) x = 18, x ≠ 0
b) x = 7, x ≠ 5
c) x = –3, x ≠ – 6
d) x =
, x ≠ –7
, x ≠ 2,5
b) x = c) x ≠
d) x ≠ 0,5
e) x ≠
b) x = –5, x ≠ 0
f)* x ≠ 2,5
g)* x ≠ – 1
c) x = 3, x ≠ 1
h)** x ≠
d) x = –3,5, x ≠ –2
Tudáspróba 1V 2E 3L 4E 5L 6E A fának van, az egyenletnek nincs. Mi az? LEVELE
3.4. Az ismeretlen kifejezése a képletből 3.
5.
a)
, a = 3,14 cm
b)
c)
, a = 21,4 mm
d)
a)
, a = 12 cm
b)
a)
, b = d = 13,3 dm , b = 12 cm
, b = 14 dm, c 16,12 dm
c)*
7.
, b = 45 cm
, a = 43 dm
d)
, a = 1,8 m
b)
, b = 12 m
c)
, b = 14 cm
, b = 50 cm
f)
, a = 18,25 cm
d)
, a = 14,5 mm
e)
8.
a)
, r = 4,5 cm
b)
9.
a)
, r = 3 dm
b)
, d = 1 dm , d = 2 cm
Tudáspróba 1B 2C 3A 4B 5B 6D 7B
3.5. Elsőfokú egyenlettel vagy egyenlőtlenséggel megoldható szöveges feladatok 7. 10.
Az első rejtvény: a fiú 12 éves (az apja 42)
17.
a) Az egyenlet:
19.
Az egyenlet:
21.
8 leány és 12 fiú
Az egyenlet:
A harmadik rejtvény: 12 év múlva
, 2,5 óra múlva ,
óra múlva
b) Az egyenlet:
, 24 eurót.
Tudáspróba 1 C 2 D 3 A 4 A 5 C 6 A 7 A 8 C 9 B 10 A 11 C 12 D 13 A 14 B 15 B
Tudáspróba 1D 2A 3D 4C 5A 6A 7D 136
, 15 óra alatt
4. Szimmetria a síkban 4.1. A tengelyes tükrözés, a szimmetriatengely. Az alakzatok tengelyes tükörképének megszerkesztése 3. A t egyenes a tükrözés tengelye
t1
nem szimmetrikus
t
t2 t3 t4 t5 t6
5.
Néhány megoldás: a) t1
t1
b)
t4
t2
t2 t3
7.
Néhány megoldás: a)
b) t
9.
t
Néhány megoldás: t
t
t
t t
t
MEGSZERKESZTJÜK AZ 1. HÁROMSZÖGET
11.
a)
b)
t
B´
C ≡ C´ k
k
t
. C ≡ C´
k .
A
A´ A ≡ A´
k
B ≡ B´ 137
B
MEGSZERKESZTJÜK A 2. HÁROMSZÖGET
13.
a)
b)
k1
k1
B
k2 C
B´
.
.
k2
B´ k3
A´
k1
.
.
t
k2 k3 .
C
k3
A
.
A
k1
C´
k3
k2 C´
A´
B
t
15. FEJTÖRŐ eredeti
B
C
F
K
P
Q
kép
T
Á
R
G
Y
A
16.
17.
k3
D
C
k2
t
k2
L´
.
t
k4
N
C´ k3
B´
M ≡ M´
k1
Y
.
.
k4
X k1 A
.
B
.
L
k2 D´
A´
N´ k1
B´
k3
t k1
k2
.
C ≡ C´ k2
D .
k1
18.
k2
K ≡ K´
D´
k3 A ≡ A´
B 138
b)
C
c) B´
d)
C
A´ B t B´
A
t .
B´ C´
A t . A´
.
C
A´
C´
D B . B´
D´
C´
B
e)
. O1
A D
g) t1
B ≡ B´
k1
C
D´
f) t1
B A´ t
A C´
.
a)
.
19.*
k2
k1
k2
k2 k1
t2
O1
O´1 ≡ O2
O´1 ≡ O2
O1 ≡ O2
A ≡ A´
A ≡ A´
4.2. A középpontos tükrözés, a tükrözés középpontja. Az alakzatok középpontos tükörképének megszerkesztése 2. A´
O
A
A´
A´ O O
A´
A O
A A
3.
a)
b)
B´
A
O B
139
A´
5.
k2
a)
A´
b) k2
k2
A
B´
k1
B
A´
O
B´ k1
O
B
k1
k1
c)
A ≡ B´
k2
A
k
k
B ≡ A´
O
MEGSZERKESZTJÜK A 3. HÁROMSZÖGET
7.
a)
b)
k2
B´
k1
C
C
k3 k2
k1 A´
A´ O
B ≡ O ≡ B´
k1 A B
k2
A k1
k2 k3
C´
k2 B´ A´
c)
k1
k3 C O
A B
k1
C´ k3
k2
8. eredeti
B
C
G
H
J
kép
F
Ó
R
U
M
9.
k
C ≡ B´
D
k A´
O k
k B ≡ C´
A 140
D´
C´
k1
10.
11.
k2
B´
A´
k N ≡ L´
M ≡ K´ k D O
k
k L ≡ N´ k1
K ≡ M´
C ≡ O ≡ C´
k3
k3
D´
k2 B
A
12.*
a) C
b)
c) D
d) C
C D
A
B
A
A´
B´
O B´
B
B O
A´
A´
O
A B´
középpontosan nem szimmetrikusak
C´
C´
D´
D´ C´
e)
C
A
f)
B´
A
g)
B´
k´ O
A´
B
A´
C´
B
k´
O
k
k
középpontosan nem szimmetrikusak C´´
13.**
D´´
B´ ≡ B´´
D
A
D´
C ≡ O ≡ C´
k
A´ ≡ A´´
B
Tudáspróba – ismétlés 1D 2B 3B 4A 5C 6C 7D
8.
12 h
9.
22,36 m2
10.
3,4 mm
11.
10,82 cm
12.
70 m2
13.
d 0,48
141
14.
300
Módszertani megjegyzések a pedagógusok részére Tisztelt Kolléga! Matematika az alapiskola 9. osztálya és a nyolcosztályos gimnázium 4. osztálya számára című tankönyv írásának, tartalmi és formai szempontjainak kialakításakor azt az alapgondolatot tartottuk szem előtt, hogy a könyv a tananyagot folyamatában mutassa be a fogalomalkotástól az összefüggések feltárásán keresztül a matematikatudomány törvényszerűségeinek felfedezéséig. Azt az alapelvet követtük, hogy a tanulóknak ne kész ismereteket nyújtsunk, inkább arra ösztönözzük őket, hogy a meglévő ismereteik alapján szerezzék meg az újakat, az Állami Művelődési Program által előirányzott kompetenciákat.
A
A tankönyvjavaslat elkészítésekor a tanulók életkori sajátosságait figyelembe véve: 1. a feladatok szövegében előnyben részesítettük a tanulók közvetlen megszólítását (a tegezést) – a tankönyv a tanuló tansegédeszköze; 2. a tankönyvi szöveget – a tananyagot az új ismeretek elsajátításának folyamata (alkotó káosz) szerint bontottuk elemeire; 3. különféle grafikus elemekkel segítettük az átmenetet az egyes, egymásra épülő részek közt; 4. minden témakör elején felhívtuk a figyelmet azokra az ismeretekre, amelyeket a tanulóknak már ismerniük kell; 5. feleletválasztásos feladatsorokkal tettük lehetővé a gyors visszacsatolást; 6. a projektfeladatokat csoportmunkára szántuk; 7. a tanulók motivációja végett a tankönyvi szövegben színben és formában is megkülönböztettük egymástól a történelmi szövegeket, a más tudományágakból vagy tantárgyakból vett érdekességeket, az ismeretek fejlesztését szolgáló gondolkodtató és gyakorlati feladatokat. Azokat a fejlesztési követelményeket (kompetenciákat), amelyeket a tanulónak a matematika tanulása során el kell sajátítania, a tanterv Matematika és az információk kezelése elnevezésű része tartalmazza – különös tekintettel az IKT felhasználására. A tankönyvben a problémákat, gyakorlatokat és példákat egységesen feladatoknak nevezzük. A megoldott és a megoldatlan feladatok szerepe az átvett tananyag ismertetése, gyakoroltatása vagy megszilárdítása. Az Állami Művelődési Program kulcskövetelményeinek elsajátítását szolgálják azok a matematikán túlmutató szöveges feladatok, amelyek megoldása kedvet adhat a hagyományos feladatok megoldásához is (és egyúttal teljesíteni igyekeznek a kerettanterv határterületi témaköreinek – pl. a globális, környezeti, regionális és multikulturális nevelés – céljait).
142
Az egyes fejezetcímek általában megegyeznek az Állami Művelődési Programban használt megnevezésekkel. Ezzel főleg a kezdő pedagógusoknak szeretnénk segíteni, hogy könnyebben tájékozódjanak a tankönyvben, és megkönnyítsük az évközi tervezést (a tanmenet-készítést). A tankönyv 1. részében az alábbi fejezetek kaptak helyet: Hatványozás és gyökvonás. Ebben a fejezetben először a négyzetre emeléssel és a köbre emeléssel, majd a természetes kitevőjű hatványokkal foglalkozunk. Kiegészítő tananyagként a természetes kitevőjű hatványok műveletei következnek. Azt követi a 10 hatványairól szóló rész, a kis és nagy számokkal végzett műveletek, valamint a számok normálalakja, majd a négyzetgyökvonás és a köbgyökvonás. A hatványozás és gyökvonás gyakorlati alkalmazása végett a második fejezet Pitagorasz tételével foglalkozik. A Pitagorasz-tétel levezetését háromszög-szerkesztési feladatokkal kötöttük össze, hogy a tanulók átismételjék a háromszög alapelemeit, és hogy lehetőségük legyen derékszögű háromszöget szerkeszteni. A tanulók feladata, hogy megmérjék az egyes oldalak hosszát, és meggyőződjenek arról: derékszögű-e az adott háromszög. Ezekkel a feladatokkal szeretnénk fejleszteni a tanulók bizonyítási készségét. A Pitagorasz-tételről szóló fejezetrészben gyakorlati feladatok is találhatók. A tanulók feladata, hogy kiszámítsák pl. a háromszög magasságát, a négyszögek átlójának hosszát, a trapéz magasságát, a kör húrjának hosszát, a kocka és a téglatest lapátlójának, valamint testátlójának hosszát. Ezeket a számításokat annyira fontosnak tartjuk a tanulók középiskolára való felkészítésében, hogy a gyakorlati feladatok fejezetéből áthelyeztük ebbe a fejezetbe. A második alfejezet a Pitagorasz-tétel gyakorlati alkalmazásáról szól. Tartalmilag az alapiskola felső tagozatos tanulóinak lehetséges tapasztalataira épít. A harmadik fejezet az x-ismeretlenes elsőfokú egyenlettel és egyenlőtlenséggel foglalkozik. Ezért az összes feladatban az egyenletekben és az egyenlőtlenségekben x az ismeretlen. Más ismeretlent azokban a képletekről szóló feladatokban választottunk, ahol a tanuló keresi a kifejezések értékét. Ezzel vezettük be az ismeretlen képletből való kifejezéséről szóló fejezetrészt. Az elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek megoldására többféle levezetést is javasoltunk, mint ahogy iskolánként is más-más módszert részesítenek előnyben. Tudatában vagyunk annak, hogy a pedagógus és a tanuló is azt fogja ebből választani, ami neki a legmegfelelőbb. A nevezőben ismeretlent tartalmazó egyszerű egyenletek megoldását az ismeretlen képletből való
kifejezésének alkalmazásaként vezettük be. Tekintettel a tanulóknak – a kerettantervben meghatározott – fejlesztési követelményeire, nem vezettük be a törtkifejezés fogalmát, ehelyett a törtet mint az egész részét értelmeztük, amely osztással keletkezik. A pedagóguson múlik, hogy kiegészítő tananyagként bevezeti-e a törtkifejezés fogalmát, és hogy ezt az egyenlettípust kiegészíti-e más, összetettebb egyenletekkel. A tanulók által megoldandó szöveges feladatok közt találunk egyszerűbbeket, és bonyolultabb szövegöszszefüggést (kontextust) tartalmazókat. Ezért többféle megoldási módot alkalmazunk. Figyelembe vettük a szöveges feladatok megoldása során fölmerült korábbi tapasztalatokat, és több lehetséges megoldási stratégiát is kínálunk. Az utolsó fejezet A szimmetria a síkban. Azért soroltuk az első félév tananyagához, hogy a lehető legegyenletesebben forduljon elő benne az aritmetika, az algebra és a geometria. Egyszerű, igénytelen formában dolgoztuk fel, az egyszerű mértani alakzatok szerkesztéséhez csupán szerkesztési alapismeretekre van szükség. Az egyes fejezeteket úgy állítottuk össze, hogy a tanuló lássa a helyes megoldást, és amennyiben lehetséges, egyszerre többet is. Ha a tanuló rosszul oldja meg a feladatot, a pedagógus feladata, hogy figyelmeztesse, és segítsen neki megtalálni a helyes utat. A megoldott feladat után rendszerint a tananyag gyakorlását szolgáló, hasonló típusú megoldatlan feladatok következnek. Ebből a feladattípusból igyekeztünk besorolni a lehető legtöbbet. Némely megoldott feladathoz segítséget is adtunk. Ezek azokat a készségeket, képességeket közlik, amelyekkel a tanulónak a korábbi tanulmányai alapján rendelkeznie kell. Néhány feladat szövegében kiemeltük a megoldáshoz szükséges fontos adatokat. Ezzel a tanulási zavarokkal küzdő tanulóknak szeretnénk segíteni, akiknek ez segíthet a megértésben. A feladatokat nehézségi sorrendbe állítottuk. A könynyebb feladatokat követik az igényesebbek. Többségében olyan nyitott feladatokról van szó, amelyekkel
a tanulók az országos kompetenciamérés alkalmával is találkozhatnak. A gondolkodtató és a projektfeladatokat azzal a céllal soroltuk be, hogy támogassuk a tanulók kutatási igényét olyan tudományterületeken is, amelyekhez a matematikának lehet, de nem biztos hogy van köze. Ezért ezeknek a feladatoknak az eredményeit nem közöljük, de esetenként utalunk rájuk a témakör végén, a Jegyezd meg! cím alatt. A pedagógusoknak azt javasoljuk, hogy azokat a feladatokat oldassák meg a tanulókkal, amelyek megfelelnek a megszerzett képességeiknek. Továbbá javasoljuk, hogy a megoldás stratégiáját is a tanulók képességeinek és készségeinek megfelelően válasszák meg. Viszonylag kevés a tankönyvben a figyelemfelkeltő szöveg és a történelmi utalás. Ezek kiválasztása is a kerettanterv határterületi témaköreinek megjelenítését szolgálta. Néhány fejezetet Tudáspróba zár, amely feleletválasztásos feladatokat tartalmaz. Arra szolgál, hogy segítsen a tanulónak a témakör összefoglalásában. Ezért kevés és egyszerű feladatok alkotják. Egyúttal segíthetik a tanulók felvételi vizsgára és különféle képességfelmérésre való felkészülését. Egyes fejezetek végén rövid megjegyzés található arról, mit kellene a tanulónak a témakör végén tudnia. A Jegyezd meg! című összefoglalót a tanuló az önálló tanulás során is hasznosíthatja. A tankönyv második része a következő fejezeteket tartalmazza majd: • Az összefüggések grafikus szemléltetése • Háromszögek hasonlósága • Statisztika • Néhány további mértani test térfogata és felszíne Reméljük, hogy ez a tankönyv segítségükre lesz, és megkönnyíti felkészülésüket a tanítási órára.
A szerző
143
Sorszám
A tanuló neve
Viera Kolbaská
matematika
Tanév
9
az alapiskola 9. osztálya és a nyolcosztályos gimnázium 4. osztálya számára
1. rész pre 9. ročník základnej školy a 4. ročník gymnázia s osemročným štúdiom s vyučovacím jazykom maďarským
1. časť
Zodpovedná redaktorka Judita Hollá Technická redaktorka Ivana Bronišová Výtvarná redaktorka Mgr. Ľubica Suchalová Vyšlo vo vydavateľstve Slovenské pedagogické nakladateľstvo – Mladé letá, s. r. o., Sasinkova 5, 811 08 Bratislava Vytlačil Polygraf print, spol. s r. o., Prešov
ISBN 978-80-10-02356-1
A tankönyv állapota a tanév elején a tanév végén
