Matematické metody v oceňování finančních derivátů

MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta

Matematické metody v oceňování finančních derivátů Bakalářská práce

Brno 2006

Lukáš Horáček

Poděkovění: Za odborné rady a pomoc děkuji svému vedoucímu bakalářské práce, panu RNDr. Martinu Kolářovi, Ph.D. Panu Mgr. Markovi Šustovi, Ph.D., MBA děkuji za poskytnutí materiálů o programu Powersim Studio 2005.

Prohlášení: Prohlašuji, že jsem celou bakalářskou práci vypracoval samostatně za použití uvedené literatury. .............

Obsah 1 Základní charakteristika druhů finančních derivátů 1.1 Co to jsou finanční deriváty . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Historie finančních derivátů . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Příčiny vzniku derivátů, riziko a motivace . . . . . . 1.4 Forwardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Forward rate agreement . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Oceňování FRA . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Srovnání futures a forwardů . . . . . . . . . . 1.6 Opce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Call opce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 Put opce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Swapy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 Úrokový swap . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.2 Dluhový swap . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.3 Devizový swap . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.4 Ostatní typy swapů . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

2 Teorie oceňování finančních derivátů 2.1 Základní teorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Brownův pohyb . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Brownův most . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Itôovo lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Itôovo lemma pro vektorové náhodné proměnné 2.2 Black-Scholesův model . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Odvození Black-Scholesovy rovnice . . . . . . . 2.2.2 Odvození Black-Scholesova modelu evropské call

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . opce

. . . . . . . . . . . . . . . .

7 7 7 8 11 12 12 13 14 16 17 17 19 19 20 20 20

. . . . . . . .

21 21 21 23 25 26 27 27 28

3 Využití programu Powersim při operacích s finančními deriváty 31 3.1 O programu Powersim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4

OBSAH 3.2 3.3 3.4

Simulace modelu . Simulace Simulace

5 v programu Powersim . . . . . . . . . . . . . strategie hedging . . . strategie spekulace . .

Použitá literatura

s . . .

využitím Black-Scholesova . . . . . . . . . . . . . . . . 33 . . . . . . . . . . . . . . . . 36 . . . . . . . . . . . . . . . . 37 40

Úvod Zatímco v moderním světě je trh s finančními deriváty velmi rozvinutý a subjekty na trhu je hojně využívají jako nástroj pro řízení rizika nebo možnost spekulativního výdělku, v České republice obchod s finančními deriváty funguje jen velmi krátce a jeho větší rozvoj nás teprve čeká. Cílem této bakalářské práce je poskytnout náhled na finanční deriváty ze dvou stran – ekonomické a matematické. První kapitola se zabývá definicí derivátů, jejich stručnou historií, motivací pro obchodování s nimi a popisem jednotlivých druhů finančních derivátů – forwardů, futures, opcí a swapů. Druhá kapitola se věnuje základní matematické problematice, která se využívá při oceňování finančních derivátů, a odvození Black-Scholesovy rovnice a Black-Scholesova modelu pro evropskou opci. Odvozený Black-Scholeův model evropské call opce je ve třetí kapitole aplikován do dynamické struktury simulace opčního trhu v programu Powersim Studio 2005, kde ilustruje strategii hedging, spekulaci a trh podkladového aktiva závislý na jednání držitele opcí. Brno, květen 2006 Lukáš Horáček

6

Kapitola 1 Základní charakteristika druhů finančních derivátů 1.1

Co to jsou finanční deriváty

Finanční derivát je termínový kontrakt (pevný termínový kontrakt nebo opční termínový kontrakt) sjednávaný na určité podkladové aktivum. V tomto kontraktu se v současnosti uzavřou podmínky o nákupu nebo prodeji určitého podkladového aktiva a v budoucnu je obchod za těchto podmínek realizován. Finanční deriváty mohou být obchodovány na burzách nebo na mimoburzovních trzích (OTC – over-the-counter).

1.2

Historie finančních derivátů

Deriváty mají dlouhou a bohatou historii. Uzavírání termínových a opčních obchodů na určitá podkladová aktiva bylo běžným jevem zřejmě už od počátku historie lidstva. První doložené zmínky však pochází z Japonska, kde se roku 1730 obchodovaly standardizované forwardové kontrakty s rýží. Tyto kontrakty se velmi podobaly dnešním komoditním futuritním kontraktům (futures). První moderní trh s futures pak vznikl v roce 1848 v Chicagu. Díky technickému pokroku v zemědělství dosahovali farmáři růstu produkce obilí, které se pak v centru okolního kraje – Chicagu – snažili prodat za výhodnou cenu. Obchodovali s dealery, kteří následně obilí distribuovali do celé země. V roce 1848 zde vznikl trh, kde farmáři uzavírali s dealery kontrakty futures na dodávky obilí. Farmáři si tak zajišťovali odbyt úrody a futures tak plnily funkci zajištění (hedging). Další příklad využití derivátů je z roku 1863, kdy bankéři v Londýně, 7

1. Základní charakteristika druhů finančních derivátů

8

kteří získávali finanční prostředky pro Konfederaci amerických států, získali půjčku, jejíž úrok byl vázán na budoucí cenu bavlny. Širší využití získaly opční obchody především v souvislosti s obchodem s pšenicí v USA, kde pomáhaly farmářům vyrovnávat sezónní výkyvy ceny pšenice. Obchody s opcemi na cenné papíry se začaly rozvíjet začátkem minulého století, ale až do začátku 70-tých let byla likvidita těchto obchodů velmi nízká a to hlavně díky tomu, že prakticky neexistovala možnost uzavření pozice. Tato situace přetrvávala až do roku 1973, kdy byla v Chicagu založena opční burza Chicago Board Options Exchange, na které byly standardizovány jednotlivé kontrakty a zůstal prakticky jen jeden problém – dohodnout se na ceně opčního obchodu. Do 70-tých let dvacátého století se obchod s deriváty soustředil především na mimoburzovní nestandardizované, takzvané vanilkové deriváty (plain vanilla). V 70-tých letech pak nastává prudký nárůst počtu obchodů s deriváty a druhů podkladových aktiv, na která se deriváty vydávaly. V USA se například začaly vydávat futures na pokladniční poukázky (1974), obligace garantované hypotékou (1975), burzovní indexy (1982) nebo na obligace (1987); opce se pak vydávaly například na dlouhodobé vládní obligace (1981), swapy (1985), obligace (1987) nebo na horní hranici úrokové sazby (1988). V dnešní době je trh s finančními deriváty velmi rozvinutý a objevují se stále nové druhy derivátů (například warranty).

1.3

Příčiny vzniku derivátů, riziko a motivace

Deriváty vznikly z praktické potřeby mít v rukou nástroj k řízení rizika. Přestože mohou vést k výrazným ztrátám, mají řadu výhod: • Dokáží snížit riziko z potenciální ztráty. • Mají schopnost zajistit vlastníka vůči změnám cen na trhu — ať už komodit, úrokových měr, cenných papírů nebo měn a to při nízkých nákladech. Například ropné rafinerie se mohou zajišťovat komoditními deriváty proti kolísání cen ropy a nadnárodní společnosti pomocí měnových forwardů, futures a opcí zajišťují měnové riziko.


9

• Umožňují efektivněji řídit portfolia aktiv a pasiv. Například dlužníci mohou efektivněji řídit poměr mezi dluhem s pevnou úrokovou mírou a dluhem s plovoucí úrokovou mírou. Díky těmto výhodám vedou deriváty ke zlepšení bezpečnosti, stability a ziskovosti a tím i k růstu domácích ekonomik. Navíc jsou doplňkem finančních trhů, dokáží diverzifikovat a segmentovat rizika a přispívají k celkové větší informovanosti subjektů na trhu. Jak už jsme si řekli, deriváty jako takové vznikly především z nutnosti omezit riziko. Jakého druhu však toto riziko může být? Rizika na derivátových trzích jsou stejná jako na jiných tradičních trzích, a to: • úvěrové – ztráty plynoucí ze situace, kdy smluvní partner nedodrží podmínky podle smlouvy (například protože zkrachuje). • tržní – ztráty plynoucí ze změn na trhu (úrokové, měnové, komoditní, akciové). • právní – ztráty plynoucí z nedokonalosti a neúplnosti legislativního systému. • operační – ztráty plynoucí ze špatné organizace, plánování, rozhodování a lidských chyb. • systémové – ztráty plynoucí z propojení trhů a přenášení šoků z jednoho trhu na druhý.

Motivace pro obchodování s deriváty je následující: • Zajišťování (hedging) Princip zajišťování spočívá v tom, že při uzavření pevného termínového kontraktu oba účastníci ví, kolik v době expirace tohoto kontraktu kdo obdrží. Proto obě strany mohou rozvíjet svoje obchodní strategie do vzdálenější budoucnosti. Také si zajišťují odbyt v budoucnosti, což byla historicky jedna z prvních příčin vzniku forwardů (viz historie). Navíc, pokud se firma bojí určitého rizika, může si koupit derivát, který bude s tímto rizikem spekulovat. Potom, pokud dojde k tomuto riziku, vyrovná ztrátu z rizika výnos z derivátu, spekulujícího s tímto rizikem.


10

• Spekulace (trading) Derivátový trh se často přirovnává k hazardní hře s nulovým celkovým ziskem. Smluvní strany totiž spolu bojují na poli informovanosti a zisk jednoho přináší ztrátu druhému. Proto je obchod s deriváty sázkou na budoucí změny cen a kurzů podkladových aktiv. Vítězí lépe informovaný subjekt či subjekt s větším štěstím (například útok na World Trade Center v roce 2001, který způsobil dočasný pád indexu Dow Jones New Yorkské burzy, byl ziskem pro ty, kteří spekulovali s poklesem Dow Jonesova indexu - put opce na DJI). • Arbitráž Je založena na využití cenových diferencí, které vznikají buď z hlediska teritoriálního (na různých trzích mohou vznikat různé ceny) a časového (rozdíl cen na termínovaném trhu a na příslušném trhu spotovém).


1.4

11

Forwardy

Forward je nestandardizovaný termínový kontrakt, ve kterém smluvní strany uzavřou v současném okamžiku podmínky obchodu (druh podkladového aktiva, cena, množství, doba expirace kontraktu) a jsou vypořádány v přesně určeném termínu v budoucnosti. Obě strany jsou povinny podmínky splnit (na rozdíl od opcí). Účastníky jsou kupující a prodávající. Princip forwardu spočívá v tom, že v době expirace je prodejce (stojící v tzv. short position) povinen dodat kupujícímu (long position) podkladové aktivum ve sjednané výši a za sjednanou cenu. Do doby expirace jej nemusí prodávající vlastnit, stačí, když jej koupí nejpozději v den expirace forwardového kontraktu na spotovém trhu. Rozdíl mezi sjednanou cenou podkladového aktiva v kontraktu a spotovou cenou je ziskem pro prodávajícího a ztrátou pro kupujícího, rozdíl mezi spotovou cenou a sjednanou forwardovou cenou je pak ziskem kupujícího (může získané podkladové aktivum prodat na spotovém trhu za vyšší cenu, než za jakou jej koupil) a ztrátou prodávajícího. Lépe to shrnuje Obr. 1.1, zachycující v grafu zisk a ztrátu obou zúčastněných stran. Na vodorovné ose je spotová cena podkladového aktiva, utvořená ke dni expirace forwardového kontraktu, PREF je sjednaná referenční forwardová cena, za kterou bude podkladové aktivum prodáno.

Obrázek 1.1: Zisk/ztráta z forwardového kontraktu.


1.4.1

12

Forward rate agreement

Nejrozšířenějším druhem forwardového kontraktu mezi finančními institucemi je v posledních dvou desetiletích dohoda o forwardové úrokové míře - forward rate agreement (FRA). Tento druh kontraktu, který vznikl roku 1984 ve Švýcarsku, ukládá jednomu účastníku platit druhému pevně stanovenou úrokovou míru rF RA z podléhající hodnoty a druhý platí prvnímu spotovou úrokovou míru (tzv. referenční sazbu) rREF . Nejčastěji využívané referenční sazby jsou: LIBOR (London InterBank Offered Rate), EURIBOR (The Euro InterBank Offered Rate), FIBOR (Frankfurt/M. InterBank Offered Rate), LUXIBOR (Luxemburg InterBank Offered Rate), NIBOR (New York InterBank Offered Rate) nebo PRIBOR (Prague InterBank Offered Rate). Obě smluvní strany platí úroky, které se odvíjejí z výše předem sjednaného základu - podléhající hodnoty (C). Tato částka dále v kontraktu nefiguruje, účastníci se mezi sebou vypořádávají jen na úrovni rozdílu mezi referenční úrokovou mírou a sjednanou forwardovou mírou. Posledním důležitým prvkem je pak doba úročení (tF RA ), obvykle uváděná ve dnech.

1.4.2

Oceňování FRA

Chceme-li vyjádřit, kolik nám FRA kontrakt vynese, musíme rozlišit pozici prodávajícího a kupujícího FRA. Výše plnění z FRA z pohledu kupujícího v době expirace se dá vyjádřit vzorcem: (rREF − rF RA ) · tF RA · C (1.1) 360 · 100 Protože je však zvykem provádět platbu již na počátku FRA období, musíme vzorec ještě odúročit (podle aktuální referenční sazby): U RT 2 =

U RT 1 =

(rREF − rF RA ) · tF RA · C · 360 · 100 1+

1 rREF ·tF RA 360·100

(1.2)

Převedením na společný zlomek pak získáme: U RT 1 =

(rREF − rF RA ) · tF RA · C 36000 + rREF · tF RA

(1.3)


1.5

13

Futures

Futures kontrakt je pevná termínová standardizovaná dohoda mezi dvěma partnery uzavíraná prostřednictvím burzy, která jim dává právo a současně i povinnost koupit resp. prodat ke stanovenému datu v budoucnosti předem sjednané množství podkladového aktiva za předem sjednanou cenu. Množství podkladového aktiva, na které je futures kontrakt uzavírán, jeho kvalita i doba trvání kontraktu je standardizovaná příslušnou burzou. V dnešní době jsou futures obvykle vypisovány na 1, 3, 6, 9 nebo 12 měsíců. Podkladovým aktivem pro futures jsou nejčastěji úrokové sazby, měnové sazby volně směnitelných deviz, komodity a akciové indexy. Kupující drží pozici long a tedy v době expirace futures kontraktu musí koupit za předem sjednanou cenu podkladové aktivum, zatímco prodávající futures je v pozici short a musí podkladové aktivum za dohodnutých podmínek prodat. Je-li podkladovým aktivem například hodnota akcie, potom při jejím růstu nad sjednanou cenu vypořádáním futures získává kupující (získá akcie za nižší cenu, než je na spotovém trhu a pokud je na něm prodá, dosáhne zisk), zatímco prodávající ztrácí. Všechny operace jsou prováděny prostřednictvím clearingového centra. To zprostředkovává veškeré prodeje a nákupy kontraktů futures (páruje kupce a prodejce futures, kteří obchodují s futures se stejnými podmínkami – doba trvání, doba expirace, podkladové aktivum, jeho množství a kvalita), zabezpečuje úvěrové riziko vybíráním dostatečně velkého depozita (margin) a provádí denní vypořádání (marking-to-market). Účastníci futures kontraktu si u clearingového centra vedou účet, na který přichází zisk z futures, případně ze kterého se hradí ztráty. Minimální výši účtu (margin) stanovuje clearingové centrum. Clearingové centrum zaznamenává denní pohyb ceny podkladového aktiva a podle jeho vývoje pak připisuje denní zisky a ztráty oběma účastníkům futures kontraktu. Příklad: Mějme futures kontrakt na balík sta akcií s realizační cenou 400 USD za jednu akcii a na 6 měsíců s počátkem 1.6.2006. Hodnota jedné akcie je ke dni 1.6.2006 rovna 400 USD a druhý den vzroste na 400,62 USD, potom kupující futures vykáže zisk 0,62 USD na akcii a prodávající ztrátu ve stejné výši. Futures se sjednává na předem stanovené množství (obvykle 100 kusů), takže zisk (resp. ztráta) se ještě vynásobí počtem kusů akcií, na které se futures vztahuje. Pokud by tento balík činil 100 kusů, potom kupující futures vykáže zisk 62 USD a prodávající ztrátu. 3.6.2006 klesne cena akcie na 399,81 USD. Kupující utrpí ztrátu ve výši roz-


14

Obrázek 1.2: Futures na index – ze dne 17.5.2006 dílu oproti předchozímu dni, tedy 0,81 USD/akcie a tedy 81 USD celkově. Clearingové centrum tyto peníze přesune na účet prodávajícího. Denní vyrovnání probíhá pro účastníky do doby expirace futures (buď se kontrakt fyzicky vyrovná – dodá se podkladové aktivum - nebo se vyrovná peněžně) nebo do okamžiku, kdy svoji pozici na trhu futures uzavřou. Uzavření pozice znamená, že účastník futures kontraktu otevře futures kontrakt s totožnými podmínkami, jen v opačné pozici. Tím je pro clearingové centrum čistá pozice účastníka nulová a kontrakt s ním končí. Nahradí jej jiný zájemce o držení jeho předchozí pozice.

1.5.1

Srovnání futures a forwardů

Ve své podstatě je futures kontrakt speciálním druhem kontraktu forwardového. Oproti běžně chápanému pojetí forwardu se futures liší: • na rozdíl od forwardu se obchoduje na burze. • má standardizované podmínky (množství podkladového aktiva, kvalita, doba trvání, doba expirace). • zárukou uskutečnění kontraktu je clearingové centrum. Díky němu je u futures výrazně nižší úvěrové riziko, než u forwardu.


15

• díky obchodování na burze je dostupnější, díky možnosti uzavřít pozici se pak může snadněji s futures spekulovat. • forwardy končí dodávkou podkladového aktiva, zatímco futures kontrakt je ve většině případů uzavřen dříve či vyrovnán peněžně. • futures jsou regulovány státem, forwardy nikoliv. • náklady spojené s vedením clearingového centra jsou jednou z příčin rozdílné ceny kontraktů forward a futures.


1.6

16

Opce

Finanční opce je smlouva mezi dvěma partnery, která se uzavírá prostřednictvím burzy. Kupující získává právo a prodávající povinnost koupit (prodat) k určitému datu nebo kdykoliv do doby expirace dopředu sjednané množství podkladového aktiva za dopředu dohodnutou cenu. Podkladová aktiva, na která bývají opce upsány, bývají nejčastěji dluhopisy a jiné dlužné cenné papíry, úrokové míry, cizí měny, indexy, futures a komodity. Evropská opce je opce, která může být uplatněna pouze v den expirace. Americká opce je opce, která může být uplatněna kdykoliv od upsání opce do doby její expirace. Je tedy méně rizikovější než evropská opce. Call opce dává kupujícímu (long pozice) právo (nikoliv však povinnost) koupit v určitém termínu dopředu dohodnuté množství podkladového aktiva. Prodávající opce (short pozice) má potom povinnost prodat kupujícímu opce podkladové aktivum. Za tuto povinnost dostává od kupujícího opce opční prémii. Put opce dává kupujícímu (long pozice) právo (nikoliv však povinnost) prodat v určitém termínu dopředu dohodnuté množství podkladového aktiva. Prodávající opce (short pozice) má potom povinnost koupit kupujícímu opce podkladové aktivum. Za tuto povinnost dostává od kupujícího opce opční prémii. Opční prémie je tržní cena, za kterou se opce prodává. Skládá se z vnitřní hodnoty a časové hodnoty opce. Vnitřní hodnota opce je zisk při okamžitém využití opce. Je to tedy rozdíl mezi realizační hodnotou opce a spotovou hodnotou podkladového aktiva na promptním trhu.

Obrázek 1.3: Závislost časové hodnoty opce na čase. Časová hodnota opce vyjadřuje vliv času zbývajícího do expirace opce na možný zisk plynoucí z možnosti změny na promptním trhu. Čím blíže bude mít opce ke své době expirace, tím menší bude její časová hodnota, protože se zmenšuje možnost, že se podmínky na trhu změní pro kupce opce příznivě.


1.6.1

17

Call opce

Investor v pozici long call má právo koupit za tzv. realizační cenu (RC) dopředu dohodnuté množství podkladového aktiva. Prodejci opce však musí zaplatit opční prémii (C). Investor v long call pozici může mít maximální ztrátu ve výši opční prémie (při nevýhodném vývoji situace na spotovém trhu využije svoje právo a to že koupit může, ale také nemusí), zatímco stoupající hodnotou podkladového aktiva na spotovém trhu může dosáhnout neomezeného zisku. Investor v pozici short call má povinnost v případě uplatnění opce prodat druhé straně podkladové aktivum v předem dohodnutém množství za realizační cenu. Inkasuje za to opční prémii. Investor v short call může mít maximální zisk ve výši opční prémie (v pří-

(a) Pozice long call

(b) Pozice short call

Obrázek 1.4: Zisk/ztráta z call opce. padě, že hodnota podkladového aktiva je pod hodnotou realizační ceny), naopak může v opačném vývoji na spotovém trhu dosáhnout neomezené ztráty.

1.6.2

Put opce

Investor v pozici long put má právo prodat dopředu dohodnuté množství podkladového aktiva za realizační cenu. Prodejci opce však musí zaplatit opční prémii. Investor v long put může mít maximální ztrátu ve výši opční prémie (při nevýhodném vývoji situace na spotovém trhu využije svoje právo - a to že prodat může, ale také nemusí), zatímco klesající hodnotou podkladového aktiva na spotovém trhu může dosáhnout zisku až RC - C.


18

Investor v pozici short put má povinnost v případě uplatnění opce koupit od druhé strany podkladové aktivum v předem dohodnutém množství za realizační cenu. Inkasuje za to opční prémii. Investor v short put může mít

(a) Pozice long put

(b) Pozice short put

Obrázek 1.5: Zisk/ztráta z put opce. maximální zisk ve výši opční prémie (v případě, že hodnota podkladového aktiva je nad hodnotou realizační ceny), naopak může v opačném vývoji na spotovém trhu dosáhnout ztráty až do hodnoty RC - C.


1.7

19

Swapy

Swap je smlouva, kterou se dvě strany zavazují vyměnit si mezi sebou aktiva nebo finanční toky spojené s určitými operacemi.

1.7.1

Úrokový swap

Úrokový swap je smlouva, kterou se dvě strany zavazují vzájemně si převést finanční toky odpovídající úrokům za dva přijaté úvěry (skutečné nebo teoretické) poskytnuté ve stejné měně. Je sjednáván přímo mezi dvěma stranami a není předmětem kotace. Nejvýznamnější banky však nejpoužívanější úrokové swapy kotují. Úrokový swap je nejrozšířenější ze swapů. Úrokový swap má z hlediska čistých finančních toků stejné důsledky jako dvě úvěrové operace mezi smluvními stranami, ovšem s tou výhodou, že se pracuje pouze s úrokem a nikoliv s jeho jistinou. Smluvní strany tedy nemají v hodnotě jistiny žádný závazek či pohledávku. Úrokový swap lze také dohodnout na dvě pohyblivé úrokové sazby (jedna může být např. odvozena z finančního trhu a druhá z trhu obligací). Pokud je jedna z úrokových sazeb pevná, lze se dohodnout, že ji subjekt splatí předem a druhý subjekt pak platí vždy ve výroční den uzavření swapu podle aktuální pohyblivé úrokové míry. Částce takovéto platby předem se říká vyrovnávací částka swapu. To je sice podobné úvěru na určitou dobu (např. 5 let), ovšem druhá strana nesplácí částku vyrovnávací částky, ale provádí platby závislé na aktuální úrokové sazbě. Hlavním způsobem využití úrokového swapu je zajištění a ochrana dříve přijatého úvěru. Další oblastí použití úrokových swapů je situace, kdy je jeden typ sazby preferován před jinou. Například pokud trh preferuje pevnou sazbu, protože se očekává pokles sazeb. Potom podnik, který chce např. vydat emisi obligací s pevnou úrokovou sazbou, může využít úrokového swapu. Vzhledem k poptávce např. zjistí, že musí nabídnout: - úrok 3% vydá-li obligace s pevnou úrokovou sazbou - úrok LIBOR + 0,75%, vydá-li je s pohyblivou úrokovou sazbou Pokud se podniku podaří uzavřít swap LIBOR/2% bude pro něj výhodné vydat obligace s pohyblivou úrokovou sazbou a okamžitě uzavřít swap. Roční náklady na přijatý úvěr pak budou 2,75% tj. o 0,25% nižší, než při pevné úrokové sazbě.


1.7.2

20

Dluhový swap

Dluhový swap je smlouva, kterou se dvě strany zavazují, že si vzájemně převedou finanční toky odpovídající placení úroků a splácení jistiny ze dvou přijatých úvěrů, poskytnutých ve dvou rozdílných zúčtovacích jednotkách (obvykle ve dvou měnách). Rozdíl oproti úrokovému swapu je ten, že oba úvěry nemají stejnou jistinu a výměna tedy vyžaduje splacení příslušných jistin. Dluhové swapy se mohou vztahovat, stejně jako úrokové, na dvě pevné sazby nebo jednu pevnou a jednu pohyblivou. Mohou také obsahovat vyrovnávací částku za zaplacení úroků nebo jejich části předem. Stejně jako úrokové swapy jsou také sjednávány přímo mezi stranami. Hlavní využití mají dluhové swapy při krytí kursového rizika měny, vzniklého přijetím úvěru v cizích měnách.

1.7.3

Devizový swap

Devizový swap je dvojí operace výměny deviz uzavřená zároveň mezi dvěma smluvními stranami, přičemž jedna operace je uzavřena jako okamžitá a druhá jako termínová. Rozdíl mezi termínovým a okamžitým kursem jedné měny vůči druhé se nazývá prémie, je-li kladný a diskont, je-li záporný.

1.7.4

Ostatní typy swapů

• Swap úroky/akcie nebo úroky/index (equity swaps), který spočívá ve výměně vývoje kursu určité akcie nebo hodnoty indexu za úrokovou sazbu. Cílem je krýt odpovídající riziko. • Swap úroky/dividendy, který spočívá ve výměně toků dividend z daného akciového portfolia za pevnou nebo pohyblivou úrokovou sazbu. Tento typ swapů se používá především v rámci operací indexové správy portfolia. • Swap pohledávek, který spočívá ve výměně dvou pohledávek. Transakce tohoto typu se provádějí především s pohledávkami západních bank s rozvojovými zeměmi. • Swap pohledávek za aktiva (debt/equity swaps) nebo za suroviny (debt/commodity swaps), který spočívá v přeměně pohledávky za rozvojovou zemi na aktiva nebo na suroviny.

Kapitola 2 Teorie oceňování finančních derivátů 2.1

Základní teorie

2.1.1

Brownův pohyb

Brownův pohyb {X(t), t ≥ 0} je t-parametrický systém náhodných veličin, kde: • všechny přírůstky X(t + dt) − X(t) mají normalní rozdělení se střední hodnotou µdt a rozptylem σ 2 dt • Pro každé rozdělení 0 < t1 < t2 < ... < tn jsou přírůstky X(t2 ) − X(t1 ), X(t3 ) − X(t2 ), ..., X(tn ) − X(tn−1 ) nezávislé náhodné proměnné s příslušnými parametry (viz. výše). • X(0) = 0 a vzorky cest X(t) jsou spojité v proměnné t ≥ 0. Brownův pohyb, kde µ = 0 a σ 2 = 1 se nazývá Wienerův proces, tedy: E(w(t)) = 0

var(w(t)) = t.

Pro distribuční funkci rozdělení pravděpodobnosti Wienerova procesu je: Z x 1 2 e−ϑ /2t dϑ P (w(t) < x) = √ 2πt −∞ Analyzujeme-li Brownův pohyb {X(t), t ≥ 0} s parametry µ a σ podle jeho přírůstků dX(t) = X(t + dt) − X(t), pak pro rozptyl a střední hodnotu

21

2. Teorie oceňování finančních derivátů

22

musí platit E(dX(t)) = µdt a var(dX(t)) = σdt = σvar(dw(t)). Brownův pohyb pro přírůstky dX(t) píšeme ve tvaru totálního diferenciálu dX(t) = µdt + σdw(t),

(2.1)

kde {w(t), t ≥ 0} je Wienerův proces. Rovnice 2.1 je speciální případ stochastické diferenciální rovnice, která má tvar: dX(t) = µ(t, x)dt + σ(t, x)dw(t). Nechť {X(t), t ≥ 0} je Brownův pohyb s parametry µ, σ a y0 ∈ R, potom systém náhodných proměnných {Y (t), t ≥ 0} Y (t) = y0 eX(t) , t ≥ 0 nazýváme geometrický Brownův pohyb.

Obrázek 2.1: Ukázka Brownova pohybu

Střední hodnotu a rozptyl vypočítáme z rozdělení pravděpodobnosti Wienerova procesu: E(Y (t)) = y0 eµt+

σ2 t 2

2

2

var(Y (t)) = y02 e2µt+σ t (eσ t − 1).


23

Pokud y0 = 1, potom pro distribuční funkci G(y, t) = P (Y (t) < y) geometrického Brownova pohybu Y (t) platí: G(y, t) = 0, y ≤ 0. Pro y > 0 platí: −µt + ln y ). G(y, t) = P (Y (t) < y) = P (Z(t) < σ y . Přírůstek dZ(t) = dw(t), Z(t) je náhodná proměnná a Z(t) = −µt+ln σ tedy Z(t) = Z(0) + w(t) = w(t), z čehož plyne, že Z(0) = 0 a Z(t) je Wienerův proces. S využitím distribuční funkce Wienerova procesu dostaneme pro distribuční funkci G(y, t) náhodné proměnné Y (t) vztah G(y, t) = 0 pro y ≥ 0 a pro y > 0: Z −µt+ln y σ 1 2 e−ϑ /2t dϑ. G(y, t) = √ 2πt −∞

Střední hodnotu E(Y (t)) získáme integrováním yg(y, t), kde g(y, t) je ∂ G(y, t): ∂y

Z

∞

E(Y (t)) =

Z yg(y, t)dy =

−∞

Pro ϑ =

∞

0

−µt+ln √ y σ t

eµt E(Y (t)) = √ 2π

1 yg(y, t)dy = √ 2πt

Z

∞

ye−

(−µt+ln y)2 2σ 2 t

0

1 dy σy

pak dostaneme:

Z

∞

√ 2 − ϑ2 +σ tϑ

e −∞

σ2

eµt+ 2 t dϑ = √ 2π

Z

∞ −

e

√ (ϑ2 −σ t)2 2

dϑ = eµt+

σ2 t 2

−∞

Obdobně získáme i vztah pro rozptyl. Náhodná proměnná {Y (t), t ≥ 0} je lognormálně rozdělená se střední σ2 t

2

2

hodnotou E(Y (t)) = y0 eµt+ 2 a rozptylem var(Y (t)) = y02 e2µt+σ t (eσ t − 1). Wienerův proces označíme pomocí {w(t), t ≥ 0} a jeho přírůstky za krátký časový úsek dt budeme značit dw (dw(t) = w(t + dt) − w(t)). Přírůstky jsou podle definice Wienerova procesu vzájemně nezávislé v čase t, E(dw(t)) √ =0 a var(dw(t)) = dt. Přírůstky dw se tedy mohou psát jako dw = Φ dt, kde Φ ≈ N (0, 1).

2.1.2

Brownův most

Brownův most je speciální případ Brownova pohybu, kdy se parametr t pohybuje v mezích 0 ≤ t ≤ 1 a platí: X(1) = 0. Brownův most je tedy stochastický podmíněný proces {X(t), 0 ≤ t ≤ 1|X(1) = 0}.


24

Obrázek 2.2: Ilustrace Brownova mostu Jeho průběh nám zachycuje Obr. 2.2. Chceme-li vypočítat kovarianci Brownova mostu, potom vyjdeme ze vzorce pro podmíněnou hustotu podmíněného rozdělení náhodné veličiny X(a), kde a < t: 2

2

fa|t (X|0) =

fa (x)ft−a (0 − x) = ft (0) x2 1 −x2 − t−a ) a

= Ce 2 (

1

0−x x √ 1 e− 2a √ 1 e− 2(t−a) 2πa 2π(t−a) 2

0 √ 1 e− 2t 2πt −(xt)2

=

t(x−0)2

= Ce 2 ( at(t−a) ) = Ce− 2a(t−a) ) .

Protože náhodná veličina X má rozdělení N (µ, σ 2 ), pokud má hustotu: f (x) = √

(x−µ)2 1 e− 2σ2 2πσ

pak střední hodnota (X(a)|X(1) = 0) je: E(X(a)|X(1) = 0) = 0; a < 1 a rozptyl je: var(X(a)|X(1) = 0) =

a(t − a) . t


25

Kovarianci potom získáme pro a ≤ t ≤ 1 cov[(X(a), X(t))|X(1) = 0] = E[X(a)X(t)|X(1) = 0] = = E[E[X(a)X(t)|X(t), X(1) = 0]|X(1) = 0] = E[X(t)E[X(a)|X(t)], X(1) = 0] = a a a = E[X(t) X(t)|X(1) = 0] = E[X(t)2 |X(1) = 0] = t(1 − t) = a(1 − t). t t t

2.1.3

Itôovo lemma

Základem analýzy stochastických diferenciálních rovnic je takzvané Itôovo lemma. Můžeme díky němu sestavit stochastickou diferenciální rovnici f (x, t), kde x je řešením zadané stochastické rovnice a f je hladká funkce dvou proměnných. Lemma 2.1 (Itôovo lemma) Nechť f (x, t) je hladká funkce dvou proměnných, proměnná x je řešením stochastické diferenciální rovnice dx = µ(x, t)dt + σ(x, t)dw, kde w je Wienerův proces. Potom vztahem ∂f ∂f dx + + df = ∂x ∂t

první diferenciál funkce f je daný 1 2 ∂2f σ (x, t) 2 dt, 2 ∂x

díky čemuž vyhovuje stochastické diferenciální rovnici ∂f ∂f 1 2 ∂2f ∂f df = + µ(x, t) + σ (x, t) 2 dt + σ(x, t) dw. ∂t ∂x 2 ∂x ∂x Důkaz provedeme rozvinutím funkce f (x, t) do Taylorovy řady druhého stupně. ∂f ∂f 1 ∂2f ∂2f ∂2f 2 2 df = dt + dx + (dx) + 2 dxdt + 2 (dt) + c.v.r. ∂t ∂x 2 ∂x2 ∂x∂t ∂t √ Protože dw = Φ dt; Φ ≈ N (0, 1), platí: √ (dx)2 = σ 2 (dw)2 + 2µσdwdt + µ2 (dt)2 ≈ σ 2 dt + O( dt3 ) + O((dt)2 ). Rozvoj přírůstků diferenciálu df podle přírůstků dt a dx se dá napsat ve tvaru: ∂f ∂f 1 2 ∂2f df = dx + + σ (x, t) 2 dt. ∂x ∂t 2 ∂x


2.1.4

26

Itôovo lemma pro vektorové náhodné proměnné

Hladkou funkci f = f (~x, t) : Rn × R → R, kde ~x = (x1 , x2 , ..., xn )T , můžeme podle Itôova lemmatu rozšířit ze skalárního argumentu na vektorový podobným způsobem. Předpokládáme, že proměnné xj , kde j = 1, ..., n, vyhovují soustavě stochastických diferenciálních rovnic dxj = µ(~x, t)dt +

n X

σjk (~x, t)dwk ,

j=1

w ~ = (w1 , w2 , ..., wn )T je vektor Wienerových procesů s navzájem nezávislými přírůstky: E(dwi dwj ) = 0, i 6= j;

E((dwj )2 ) = dt.

Rovnice procesů xj můžeme zapsat vektorově: d~x = ~µ(~x, t)dt + K(~x, t)dw, ~ K je matice n × n: K(~x, t) = (σij (~x, t))i,j=1,...,n Pro přírůstek df funkce f (~x, t) nyní napíšeme rozvoj Taylorova polynomu druhého stupně. 1 ∂2f ∂f ∂f 2 T 2 dt + ∇x f d~x + (d~x) ∇x f d~x + 2∇x d~xdt + 2 (dt) + c.v.r. df = ∂t 2 ∂t ∂t ∇x f (∇2x f ) je gradient (Hessova matice) funkce f vzhledem k proměnné x1 , x2 , ..., xn . Členy d~xdt a (dt)2 jsou proti dt zanedbatelné. Důležitý je tedy P 2f výraz (d~x)T ∇2x f dx = ni,j=1 ∂x∂i ∂x dxi dxj . Pro i 6= j jsou přírůstky dwi a dwj j nezávislé a tedy platí: dxi dxj = ! n n X X p p σik σjk dt+O( (dt)3 )+O((dt)2 ). = σik σjl dwi dwj +O( (dt)3 )+O((dt)2 ) ≈ k=1

k,l=1

Rozvoj diferenciálu df podle dt, d~x můžeme přepsat jako: 1 ∂f 2 + K : ∇x f K dt + ∇x f d~x df = ∂t 2 kde výraz K : ∇2x f K je: K:

∇2x f K

n X

n ∂2f X = σik σjk . ∂xi ∂xj k=1 i,j=1


2.2

27

Black-Scholesův model

Hledáním modelu, který by popisoval vývoj ceny finančního derivátu podkladového aktiva pomocí funkce ceny podkladového aktiva a doby do expirace, se dostáváme k stochastické diferenciální rovnici dS = µSdt + σSdw, kde S je cena podkladového aktiva, která se mění v čase t, dS je změna ceny podkladového aktiva v časovém úseku, µ je trend vývoje hodnoty podkladového aktiva, σ je volatilita a dw je diferenciál Wienerova procesu. Pokud je V hodnota derivátu na podkladové aktivum, tedy V je závislé na S a t, pak podle Itôova lemmatu: ∂V 1 2 2 ∂2V ∂V ∂V + µS + σ S dt + σS dw. (2.2) dV = 2 ∂t ∂S 2 ∂S ∂S

2.2.1

Odvození Black-Scholesovy rovnice

Odvození Black-Scholesovy rovnice vychází z teorie tvorby portfolia, kde nejsou počáteční, ani dodatečné investice a případné změny ve struktuře portfolia se financují prodejem nebo koupí části portfolia. Uvažujme, že máme portfolio složené z N kusů akcií o hodnotě S, M kusů opcí na tyto akcie o hodnotě V a D bezrizikových dluhopisů, které nevyplácí kupóny. Tyto proměnné jsou funkcemi času t. Potom předpoklad nulových dodatečných investic znamená, že hodnota změny počtu akcií, opcí a dluhopisů musí být celkově nulová, tedy: S · dN + V · dM + δD = 0 v čase t ∈ [0, T ], navíc musí díky nulovým počátečním investicím platit: S · N + V · M + D = 0,

(2.3)

rovněž pro t ∈ [0, T ]. Hodnota bezrizikového dluhopisu je D(t) = D(0)ert , r > 0. Celková změna hodnoty dluhopisů je pak dD = rDdt + δD. Diferencováním rovnice 2.3 a dosazením předešlých vztahů získáme: 0 = d(SN + V M + D) = SdN + V dM + δD + N dS + M dV + rDdt = N (dS − rSdt) M Protože V vyhovuje stochastické diferenciální rovnici 2.3 a S rovnici dS = µSdt+σSdw, můžeme dosadit do předchozí rovnice a po úpravách dostaneme: ∂V ∂V 1 2 2 ∂2V N N ∂V N dw = 0. + µS + σ S − rV + µS − rS dt+σS + ∂t ∂S 2 ∂S 2 M M ∂S M = N dS + M dV − r(SN + V M )dt = dV − rV dt +


28

Jediný rizikový člen je nyní dw, protože jde o Wienerův náhodný proces. N = − ∂V , náhodný člen vypadne a získáme parciální rovnici Položíme-li M ∂S ∂V ∂t

2

+ 21 σ 2 S 2 ∂∂SV2 + rS ∂V − rV dt = 0. a tedy: ∂S

∂V ∂2V 1 ∂V + σ 2 S 2 2 + rS − rV = 0 ∂t 2 ∂S ∂S

(2.4)

Tato rovnice se nazývá Black-Scholesova rovnice oceňování ceny derivátů akcií. Pokud ovšem bude akcie spojitě vyplácet dividendy s roční úrokovou mírou rD ≥ 0, potom budeme postupem času získávat dividendový podíl rD Sdt a současně hodnota akcií bude tímto klesat. Musíme proto změnit vyhovující stochastickou rovnici na dS = (µ − rD )Sdt + σSdw a současně příjem z dividend ovlivní rovnici dluhopisů dD = rDdt + δD + rD SN dt. Dále dostaneme rovnici: dV − rV dt +

N (dS − (r − rD )Sdt) = 0 M

Stejným postupem, jako výše, pak získáme Black-Scholesovu rovnici se započítanou mírou dividend rD . ∂V 1 ∂2V ∂V + σ 2 S 2 2 + (r − rD )S − rV = 0. ∂t 2 ∂S ∂S

2.2.2

(2.5)

Odvození Black-Scholesova modelu evropské call opce

V době expirace ztrácí opce svou časovou hodnotu a vypořádá se v případě call opce za podmínek V0 (S) = max (S − X, 0), případně u put opce: V0 (S) = max (X − S, 0). Následuje posloupnost kroků, kdy se budeme snažit transformovat rovnici 2.5 na základní tvar ut − uxx = 0, (x, t) ∈ (−∞, ∞) × [0, T ]. Nejdříve transformujeme čas pomocí proměnné ζ = T − t, která bude vyjadřovat dobu zbývající do expirace opce. Tedy V (S, t) = W (S, T − t) = W (S, ζ). Protože dt = −dζ, můžeme rovnici napsat jako: 1 ∂2W ∂W ∂W − σ2S 2 − (r − r )S − rW = 0 D ∂ζ 2 ∂S 2 ∂S W (S, 0) = V0 (S),

S > 0,

ζ ∈ [0, T ].

(2.6)


29

Nyní provedeme substituci S = ex , kde x = ln S. Dostaneme tak funkci Z(x, ζ) = W (ex , ζ), a tedy W (S, ζ) = Z(ln S, ζ). Po několikanásobném derivování této složené funkce dostaneme: ∂W ∂Z =S , ∂x ∂S

2 2 ∂2Z ∂W ∂Z 2∂ W 2∂ W = S . = S + S + 2 2 2 ∂x ∂S ∂S ∂S ∂x

Tedy můžeme rovnici 2.6 zapsat jako: 2 ∂Z 1 2 ∂ 2 Z ∂Z σ − σ − r + rD + rZ = 0 +( 2 ∂ζ 2 ∂x 2 ∂x Z(x, 0) = V0 (ex ),

x ∈ (−∞, ∞),

ζ ∈ [0, T ].

Nyní provedeme exponenciální transformaci u(x, ζ) = eγx+κζ Z(x, ζ), tedy Z(x, ζ) = e−γx−κζ u(x, ζ). Platí: ∂Z ∂u −γx−κζ =e − γu , ∂x ∂x 2 ∂2Z ∂u ∂ u −γx−κζ 2 =e − 2γ +γ u , ∂x2 ∂x2 ∂x ∂Z ∂u −γx−κζ =e − κu . ∂ζ ∂ζ u je tedy řešením parciální diferenciální rovnice: ∂u σ 2 ∂ 2 u ∂u − +α + βu = 0, 2 ∂ζ 2∂x ∂x u(x, 0) = eγx V0 (ex ). α, β jsou definovány jako: α = γσ 2 +

σ2 − r + rD , 2

β = (1 + γ)r − κ − γrD −

γ 2 σ 2 + γσ 2 . 2

Aby α = 0 ∧ β = 0, musí být γ, κ rovny: γ=

r − rD 1 − , σ2 2

κ=

r + rD σ 2 (r − rD )2 + + . 2 8 2σ 2

(2.7)

Díky tomu můžeme rovnici funkce u napsat jako: ∂u σ 2 ∂ 2 u − =0 ∂ζ 2∂x2

(2.8)

2. Teorie oceňování finančních derivátů u(x, 0) = eγx V0 (ex ),

x ∈ (−∞, ∞),

30

ζ ∈ [0, T ].

tedy ve tvaru základní parabolické parciální diferenciální rovnice. Tato rovnice má na základě řešení parabolických parciálních diferenciálních rovnic řešení u(x, ζ), které pomocí Greenovy funkce ve tvaru integrálu a počáteční podmínky můžeme napsat jako: Z ∞ (x−s)2 1 − e 2σ2 ζ u(s, 0)ds. u(x, ζ) = p 2 2σ πζ −∞ Díky zpětným transformacím u 7→ Z 7→ W 7→ V dojdeme ke tvaru: V (S, T − ζ) = e−κζ e−γ ln S u(ln S, ζ) Po dosazení: e−κζ V (S, T − ζ) = p S −γ 2 2σ πζ

Z

∞

−

e

(ln S−s)2 2σ 2 ζ

eγs V0 (es )ds.

(2.9)

−∞

Protože pro evropskou call opci platí V0 (S) = max (S − X, 0), můžeme předešlou rovnici upravit: Z ∞ (ln S−s)2 e−κζ −γ 1 − e 2σ2 ζ eγs (es − X)ds. V (S, T − ζ) = p S √ π ln X 2σ 2 ζ Zavedením substituce y = s − ln S získáme: Z ∞ 2 e−κζ 1 − y √ V (S, T − ζ) = p e 2σ2 ζ (Se(1+γ)y − Xeγy )dy. 2σ 2 ζ π − ln XS

(2.10)

Nyní tento vzorec upravíme tak, abychom byli schopni provádět jeho výpočet pomocí známých funkcí s hodnotami v tabulkách. Po úpravách s využitím kumulativní distribuční funkce N (x) a zbytkové funkce erf(x) normálního rozdělení, dostaneme tvar: Vcall (S, t) = Se−rD (T −t) N (d1 ) − Xe−r(T −t) N (d2 ), σ2

(2.11)

√ )(T − t) + ln XS 2 √ , d2 = d1 − σ T − t σ T −t . Tento model se nazývá Black- Scholesův model pro ocenění hodnoty evropské call opce. Black- Scholesův model pro ocenění hodnoty evropské put opce bychom pak odvodili obdobně jako call opci a došli bychom ke vzorci d1 =

(r − rD +

−rD (T −t)N (−d1 ).

Vput (S, t) = Xe−r(T −t)N (−d2 )−Se

kde výrazy d1 a d2 jsou stejné jako u modelu call opce. Využitím těchto modelů se budeme zabývat v následující kapitole.

Kapitola 3 Využití programu Powersim při operacích s finančními deriváty 3.1

O programu Powersim

Software Powersim Studio 2005 je program, který poskytuje nástroje systémové dynamiky a modelování dynamických systémů. Využití nachází v nejrůznějších odvětvích, přes simulace podnikových struktur, přes energetiku, matematické a ekonomické modely, studie pro mobilní operátory, psychologii, řízení dopravy či například strukturu města.

Obrázek 3.1: Příklad modelu v Powersim Studio 2005. Powersim Studio 2005 využívá dynamických vazeb, kdy vstup vytvářející 31

3. Využití programu Powersim při operacích s finančními deriváty

32

výstup je tímto výstupem ovlivněn a nastává tak smyčka, která je charakteristická pro všechny simulace v tomto programu. Následují základní prvky simulace v programu Powersim:

(a) Základní symboly

(b) Vazba mezi symboly

Obrázek 3.2: Základní symboly a vazba mezi nimi.

Obrázek 3.3: Přítok a odtok akumulace. Akumulace je uzlem, kde se hodnoty zadržují. Je možné udělat akumulaci přítok, potom v každém kroku se bude o hodnotu přítoku akumulace zvětšovat, nebo odtok, který bude v každém kroku o svou hodnotu hodnotu akumulace snižovat. Dalším druhem uzlu je proměnná, která může mít v každém kroku jinou hodnotu a konstanta, která po celou simulaci udržuje původní hodnotu. Mezi jednotlivými uzly pak mohou být vazby, které symbolizují orientované spojnice uzlů. Každý uzel má vlastní definici. Powersim Studio zná základní matematické funkce a výrazy, používané v informatice(IF, OR, Random, Normal).


3.2

33

Simulace v programu Powersim s využitím Black-Scholesova modelu

Převedení Black-Scholesova modelu ve tvaru: C = S · N (d1 ) − X · E −r·(T −t) · N (d2 ) kde parametry d1 a d2 jsou: 2

ln XS + (r + σ2 )(T − t) √ d1 = σ T −t √

2

ln XS + (r − σ2 )(T − t) √ d2 = d1 − σ T − t = σ T −t do programu Powersim provedeme rozepsáním všech akumulací, proměnných a konstant a následným stanovením vztahů mezi nimi. Viz. Obr. 3.4. • S je spotová cena podkladového aktiva na promptním trhu; pro nás akumulace, která se bude v čase náhodně měnit. Na počátku definujeme její hodnotu pomocí konstanty Počáteční hodnota PA. • Změna na trhu je procentní změna tržní hodnoty podkladového aktiva, kam vstupuje faktor náhody. Procento změny se generuje z normálního rozdělení N (0, 1); přítok akumulace S. • X je realizační cena opce; konstanta. • r je spojitá úroková míra p.a.; akumulace. • Změna r je přítok akumulace r, postavený na stejném principu, jako Změna na trhu. • sigma je konstanta, označující míru volatility na trhu podkladového aktiva; máme ji na hodnotě 0,2. • T je doba trvání opce, tedy konstanta (v našem případě 360 dní). • T-t je potom doba, která zbývá do doby expirace opce. Získáme ji jednoduchým odtokem z akumulace doby trvání opce. • NT je normovaný čas, daný vztahem N T = 0 T − t0 /T .

T −t T

tedy do definice píšeme


34

Obrázek 3.4: Black-Scholesův model v programu Powersim. • D1 je proměnná, kterou definujeme: (LN (S/X) + (r + (sigma∧ 2)/2) ∗ N T )/(sigma ∗ SQRT (N T )) • D2 potom: D1 − sigma ∗ SQRT (N T ) Protože program Powersim neumí sám spočítat hodnotu normovaného normálního rozdělení N (D1) a N (D2), bylo třeba distribuční funkci normálRx t2 ního rozdělení N (x) = √12π −∞ e− 2 dt nahradit algoritmem aproximace: x2 1 N (x) = 1 − √ e− 2 (0, 4361836 · k − 0, 1201676 · k 2 + 0, 9372980 · k 3 ) 2π

kde

1 1 + 0, 33267 · x Chyba, která aproximací vzniká, není větší než v řádech deseti tisícin, proto ji můžeme vzhledem k ostatním náhodným proměnným, které se mění k=


35

s velkým rozptylem, zanedbat. Pro větší přesnost je možné využít ještě lepší aproximaci: x2 1 N (x) = 1 − √ e− 2 (0, 319381530 · k − 0, 356563782 · k 2 + 2π

+1, 781477937 · k 3 − 1, 821255978 · k 4 + 1.330274429 · k 5 ) kde

1 1 + 0, 2316419 · x Nyní můžeme vypočítat normované hodnoty N (D1) a N (D2) a k nim příslušné koeficienty k1 a k2. Posledním krokem je nyní završení Black-Scholesova modelu definicí k=

S ∗ (N D1) − X ∗ E ∧ (−r ∗ N T ) ∗ (N D2). Hodnoty, které nyní budou vystupovat z proměnné Black-Scholesův mo-

Obrázek 3.5: Náhodný Black-Scholesův model v čase. del, jsou teoreticky správné hodnoty call opce v čase t. Vývoj ceny má v čase klesající tendenci, protože se snižuje časová hodnota opce (viz. Obr. 3.5).


3.3

36

Simulace strategie hedging

Strategií hedging neboli zajištěním sleduje subjekt na trhu pojistku pro své závazky či pohledávky. Předpokládejme nyní firmu, která je v pozici short ve forwardovém kontraktu a musí k datu 1.1.2007 dodat subjektu v pozici long tisíc akcií za cenu 1000,- CZK/kus, které zatím nevlastní. Cena akcií je pohyblivá a proto se subjekt v pozici short obává, že s jejich případným růstem nad 1000,CZK/kus se ocitne ve ztrátě, pokusí se uzavřít call opci na tytéž akcie. Uzavře 10 call opcí na 100 akcií v pozici long, a tedy hodnota těchto opcí roste s růstem hodnoty akcií. Pokud se subjektu podaří uzavřít call opci s expirační hodnotou například 990 CZK/akcie (za opční prémii 138,71 CZK/opce), potom v případě růstu akcií ke dni expirace vyrovná výnos z opcí ztrátu z forwardu. Zavedeme

Obrázek 3.6: Dodatek k základnímu modelu. tedy novou proměnnou Zisk, kterou definujeme jako 1000 ∗ (1000 − S) + (’Black-Scholesův model’) ∗ 1000 − 10∗’Opční prémie’. Vidíme, že pokud například hodnota akcie bude dne 1.1.2007 rovna 1053,94 CZK/kus, pak subjekt dosáhne ve forwardu ztrátu 1000 · 53, 94 CZK, ovšem z opce profituje 10·100·63.94 CZK, tedy celkem je v zisku 10000 CZK. Nesmíme ještě zapomenout započítat opční prémii, za kterou subjekt opce získal. Tedy 10 · 138, 71. Celkem tedy subjekt dosáhl zisku 8612,90 CZK. Podívejme se nyní na průběžný zisk v čase t. Má klesající tendenci, která je daná časovou hodnotou opce. Pokud zvolíme novou proměnnou Zisk bez časové hodnoty a definujeme ji jako: 1000 ∗ (1000 − S) + (S − 990) ∗ 1000 − 10∗’Opční prémie’, potom získáme konstantní funkci y=8612,90. Viz. Obrázek 3.8.


37

Obrázek 3.7: Vývoj trhu S a hodnoty jedné call opce.

Obrázek 3.8: Průběžný zisk a Zisk bez časové hodnoty opcí.

3.4

Simulace strategie spekulace

Ne každý ovšem potřebuje zajišťovat své pohledávky či závazky. Většinou je na trhu skupina obchodníků, kteří sem přichází spekulovat. Zkusme nyní simulovat chování a výsledky obchodníka-spekulanta při stejném průběhu trhu akcií a ceny opcí (obr.3.7). Vezměme podobný příklad se stejnými hodnotami, ovšem s dynamickým chováním obchodníka. Ten bude nyní sledovat cenu podkladového aktiva, tedy v našem případě akcie, a v případě, že začne hodnota akcie klesat a tedy činit průběžnou ztrátu, bude se obchodník snažit zbavit se části opcí na tyto akcie, zatímco pokud bude již několikátým dnem hodnota akcie růst, potom se bude obchodník snažit dokoupit další opce. Akceptujeme-li možnost nákupu části opcí, potom můžeme nákup motivovat vztahem: IF(’den5’<=S;Opce*((S/’den-5’)-1);0;0) a odtok akumulace Opce neboli dodatečný prodej opcí: IF(’den-5’<=S;0;Opce*((’den-5’/S)-1);0). Vznikne nám tak dynamické chování obchodníka, který porovnává současnou tržní cenu a cenu


38

před pěti dny a podle tohoto vývoje pak buď přikupuje nebo odprodává část držených opcí.

Obrázek 3.9: Dodatečná struktura simulace pro spekulaci. Obchodník tedy postupně dokoupí ještě další dvě opce a celkově dosahuje zisku 21981,48 CZK (obr.3.10).

Obrázek 3.10: Průběžný počet opcí a Zisk. Námi zvolený obchodník přisuzuje změnám na trhu akcií střední hodnotu významnosti a jeho aktivita na trhu je pro trh samotný zanedbatelná. Co se však stane, pokud subjekt obchoduje s významnou částí objemu celkového


39

obchodu? Trh se na něm stane z části závislý a pokud například dominantní subjekt začne opce odprodávat ve významném množství, může způsobit paniku mezi ostatními investory a celý trh může začít klesat. V případě nákupu naopak trh získává stabilitu a posiluje. Provázání aktivity subjektu se samotným trhem můžeme udělat jednoduchou strukturou, která závisí na dodatečném nákupu opcí (následuje růstová tendence trhu) a dodatečném odprodeji opcí (následuje klesající tendence trhu). Zároveň mimo tuto strukturu vytvoříme strukturu na subjektu nezávislou, abychom mohli oba průběhy vývoje trhu porovnat.

Obrázek 3.11: Srovnání závislého a nezávislého trhu. Zatímco v prvním čtvrtletí subjekt trh ovlivňuje neznatelně či jej mírně ”táhne” nahoru, od propadu trhu ve druhém čtvrtletí, které způsobí následný odprodej části opcí subjektu a tím následně další propad trhu, je trh tlumen projevy subjektu a již nedosáhne nezávislé hladiny. Dodejme, že vliv subjektu na trh se pohybuje v rozmezí plus minus 0-2%.

Použitá literatura [1] Ambrož L.: Oceňování opcí. Praha: C.H.Beck, 2002 [2] Baxter M., Rennie A.: Financial Calculus: An introduction to derivate pricing. Cambridge: Cambridge University Press, 1996 [3] Black F., Scholes M.: The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy, Vol.81, 1973 [4] Blaha Z.S., Jindřichovská I.: Opce, swapy a futures - deriváty finančního trhu. Praha: Management Press, 1994 [5] Delattre M.: Nové finanční nástroje. Praha: HZ Editio spol. s.r.o., 2000 [6] Dvořák P.: Finanční deriváty. Praha: VŠE, 1996 [7] Jílek J.: Kapitálový a derivátový trh. Praha: Bankovní institut, a.s., 1998 [8] Jílek J.: Termínové a opční obchody. Praha: Grada Publishing, 1995 [9] Kunderová P.: Základy pravděpodobnosti a matematické statistiky. Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, 2004 [10] Rektorys K.: Matematika 43 : obyčejné a parciální diferenciální rovnice s okrajovými podmínkami. Praha: ČVUT, 1997 [11] Sekerka B.: Cenné papíry a kapitálový trh. Praha: Profess, 1996 [12] Ševčovič D.: Analytické a numerické metódy oceňovania finančných derivátov. Bratislava: Univerzita Komenského Bratislava, 2001 [13] Škarášek J.: Matematika II B : Fourierovy řady, obyčejné a parciální diferenciální rovnice. Praha: SNTL-Nakladatelství technické literatury, 1979 [14]http://www.colosseum.cz, dne 18.5.2006

40

Matematické metody v oceňování finančních derivátů

Recommend Documents