ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ
METODY POUŽITÉ V PROGRAMU PRO PARAMETRICKÝ VÝPOČET PRŮHYBŮ SPOJITÉ ŽELEZOBETONOVÉ DESKY
KATEDRA BETONOVÝCH A ZDĚNÝCH KONSTRUKCÍ
ING. TOMÁŠ KLIER ING. VOJTĚCH KOLÍNSKÝ
PRAHA 2010
Obsah: 1.
Úvod .................................................................................................................................. 3 1.1. Princip působení železobetonových konstrukcí ....................................................... 3 1.2. Materiálové charakteristiky...................................................................................... 4
2.
Metody použité v programu pruhyby.exe.......................................................................... 5 2.1. „Přesný“ výpočet...................................................................................................... 5 2.2. Zjednodušený postup „přesného“ výpočtu............................................................... 8 2.3. Přibližná metoda dle MC CEB FIP 1990 ................................................................. 9 2.4. Přibližný postup dle návrhu MC fib 2010.............................................................. 11
3.
Použité podklady ............................................................................................................. 14
2
1.
Úvod
1.1. Princip působení železobetonových konstrukcí Posouzením mezních stavů použitelnosti se prokazují vlastnosti konstrukce z hlediska uživatele objektů. Jedním z hlavních cílů posuzování konstrukcí dle mezních stavů použitelnosti je zabránění nadměrným deformacím konstrukce.
Výpočty deformací železobetonových prvků jsou značně složité vzhledem ke značně fyzikálně nelineárnímu chování tohoto kompozitního materiálu, ke kterému dochází vlivem různých pracovních diagramů jednotlivých materiálů, tj. oceli a betonu. Při postupném zatěžování konstrukce mohou jednotlivé průřezy postupně procházet třemi stádii. Stádium I nastává v prvků do okamžiku vzniku trhliny v tažené části betonu. Chování průřezu je uvažováno jako lineární a tuhost konstantní. Při vzniku trhliny přechází průřez do stádia II. Rozvojem trhliny dochází k posunu neutrální osy a změnám tuhosti průřezu. Ve chvíli kdy se již trhlina v tažené oblasti neprohlubuje a při dalším zvětšování zatížení dochází k postupnému plastizování betonu v tlačené oblasti hovoříme o stadiu III. Z toho vyplývá, že průběh tuhosti konstrukce je ovlivněn průběhem vnitřních sil v konstrukci. Bohužel i výpočet průběhu vnitřních sil může být současně ovlivněn průběhem tuhosti. Tyto skutečnosti vnáší do přesného výpočtu deformací železobetonových konstrukcí výraznou náročnost. Náročnost těchto výpočtů motivovala k vývoji zjednodušených metod odhadu deformace některých typů konstrukcí. Vzhledem k nutnosti provádět výpočty průhybů parametricky je efekt přerozdělení vnitřních sil v závislosti na tuhosti konstrukce v programu pruhyby.exe zanedbán, vnitřní síly jsou vypočteny pro plný betonový průřez a na základě mezního stavu únosnosti je navržena ohybová výztuž. Pro takto namodelovanou konstrukci jsou pomocí jednotlivých metod vypočteny průhyby.
3
1.2. Materiálové charakteristiky Výpočet deformací se svou podstatou týká mezních stavů použitelnosti. Jako tahová pevnost krajních vláken betonového průřezu elementu, který se nachází ve stádiu I, je uvažována střední pevnost betonu v tahu fctm . Pokud se nachází element ve stádiu II, pak je jeho pevnost betonu v tahu zanedbána (fctm = 0,0 MPa). Modul pružnosti betonu resp. ocelové výztuže je uvažován hodnotou Ec,eff resp. Es . Účinky smršťování betonu jsou uvažovány náhradní vynucenou deformací. Konkrétně se jedná se o předepsanou křivost, která je vypočtena v jednotlivých částech konstrukce. Křivost je dána vzorcem:
ρ = ε cs ⋅ α ⋅
Ss , I id
kde ε cs je poměrné přetvoření betonu vyvolané smršťováním,
α = E s / E c ,eff , Ss statický moment průřezové plochy výztuže k těžišti průřezu, Iid moment setrvačnosti celého průřezu. Vliv dotvarování na celkové deformace jsou vypočteny použitím efektivního modulu pružnosti betonu (který mimojiné ovlivňuje součinitel α)
E c ,eff =
E cm . 1 + ϕ (t 0 , ∞ )
4
2.
Metody použité v programu pruhyby.exe
2.1. „Přesný“ výpočet Tato metoda je v programu použita jako referenční, slouží pro porovnání použitelnosti ostatních jednodušších metod a pro volbu správné tloušťky konstrukce. Výpočet je proveden včetně trhlin, dotvarování a smršťování pomocí numerické metody MKP, s podrobným dělením konstrukce na malé prvky. Slovo „přesný“ je u referenční metody v uvozovkách, protože přesnost daného výpočtu není stoprocentní. Pro porovnání různých metod a sledování vlivu jednotlivých parametrů je však tato přesnost zcela dostačující. Přesnějšího výsledku by bylo možné dosáhnout nelineárním iteračním výpočtem (sledováním přerozdělení vnitřních sil v závislosti na tuhosti konstrukce) za uvažování skutečného vzniku a rozvoje trhlin pomocí lomové mechaniky (např. software ATENA). Takový výpočet by ovšem vzhledem k časové náročnosti ovšem nebylo možné provádět parametricky. Nevýhodou referenčního výpočtu při praktickém použití je jeho velká pracnost, výpočet je v podstatě nemožné realizovat bez speciálního výpočetního softwaru. Předpokladem výpočtu je totiž to, že se pro různé sestavy zatížení mění tuhost jednotlivých konečných prvků konstrukce. Tuhost v každém prvku se vypočte podle interpolace mezi tuhostí ideálního (neporušeného) průřezu a průřezu zcela porušeného trhlinou v závislosti na poměru skutečně působícího ohybového momentu a momentu na mezi vzniku trhlin. Odvození jednotlivých vzorců použitých ve výpočtu je patrné z [4].
Postup výpočtu: 1.
Rozdělení konstrukce na konečný počet prvků.
2.
Ve všech uzlech konstrukce spočítat moment setrvačnosti ideálního průřezu bez trhliny.
[
I I = I c + Ac ⋅ (a gi − a c ) + α ⋅ As1 ⋅ (a gi − d ) + As 2 ⋅ (a gi − d 2 ) 2
2
2
],
kde a g ,i je vzdálenost těžiště ideálního průřezu od horního okraje:
a g ,i =
∑ A ⋅a ∑A i
i
i
=
Ac ⋅ ac + α ⋅ ( As1 ⋅ d + As 2 ⋅ d 2 ) . Ac + α ⋅ ( As1 + As 2 )
5
Ac
plocha betonové části průřezu
Ic
moment setrvačnosti betonové části průřezu k jeho těžišťové ose
ac
vzdálenost těžiště betonové části průřezu od horních vláken
As1
plocha dolní výztuže
As2
plocha horní výztuže
d
vzdálenost od horních vláken k těžišti spodní výztuže
d2
vzdálenost od horních vláken k těžišti horní výztuže
3.
Výpočet vnitřních sil na konstrukci před vznikem trhlin.
4.
V oblastech, kde je působící moment (Md) větší než moment na mezi vzniku trhliny (Mcr), spočítat moment setrvačnosti ideálního průřezu s trhlinou. Pro obdélníkový průřez namáhaný prostým ohybem platí pro výpočet modulu setrvačnosti tento vztah:
I II =
[
1 2 2 ⋅ b ⋅ x 3 + α ⋅ As1 ⋅ ( x − d ) + As 2 ⋅ (x − d 2 ) 3 kde x
x= b
]
,
je výška tlačené oblasti betonu:
2 ⋅ b As1 ⋅ d + As 2 ⋅ d 2 ⋅ ( As1 + As 2 ) ⋅ − 1 + 1 + ⋅ b α As1 + As 2
α
,
šířka průřezu .
Moment na mezi vzniku trhlin lze vypočítat takto: M cr = Wid ⋅ f ctm . Předpoklad polohy trhliny musí odpovídat působícímu ohybovému momentu (nad podporou vznikne trhlina nahoře, v poli dole).
5.
Na základě poměru momentu na mezi vzniku trhlin (Mcr) a působícího ohybového momentu (Md) vypočítat parametr hloubky trhlin pro každý uzel, kde je překonán moment na mezi vzniku trhlin. M ζ = 1 − β cr Md β
2
součinitel vlivu typu zatížení:
β = 1,0 pro krátkodobé jednorázové zatížení, β = 0,5 pro dlouhodobé nebo opakované zatížení, Mcr momentové zatížení při vzniku trhliny, 6
Md 6.
návrhové momentové zatížení .
Pomocí tohoto parametru vypočítat moment setrvačnosti v těch uzlech, kde dojde ke vzniku trhliny jako interpolaci mezi plným nepotrhaným průřezem a průřezem zcela poškozeným trhlinou.
I eff = ζ ⋅ I II + (1 − ζ ) ⋅ I I 7.
Vypočítat průhyb pro konstrukci s uvažováním výsledných momentů setrvačnosti v každém uzlu.
8.
Připočíst průhyb od smrštění (viz kapitola 1.2.). Při jeho výpočtu uvažovat úpravu průřezových charakteristik (statický moment a moment setrvačnosti) v oblasti trhlin (viz bod 4 tohoto postupu).
7
2.2. Zjednodušený postup „přesného“ výpočtu V této kapitole je popsán postup, který zásadním způsobem sníží výpočetní náročnost „přesného“ výpočtu. Základní princip výpočtu zůstává beze změn, jen je zmenšeno množství prvků, ve kterých se počítá tuhost konstrukce. Jsou vybrány ty části konstrukce, kde je předpoklad největšího namáhání (podpory, středy polí). Z logiky výpočtu vyplývá, že metoda udává nezávisle na tloušťce konstrukce konzervativnější výsledky než „přesný“ výpočet. Tento výpočet je možné provádět ručně nebo ve standardních výpočetních softwarech na principu MKP (úpravou tuhosti modelu v různých částech konstrukce – například úpravou hodnoty modulu pružnosti E).
Postup výpočtu: 1.
Postup je ekvivalentní „přesnému výpočtu“ až na to, že neurčujeme průřezové charakteristiky ve všech uzlech, ale výpočet provedeme jen v krajních podporách a nejvíce namáhaných uzlech (uprostřed polí a v mezilehlých podporách).
2.
Takto vypočítané průřezové charakteristiky použijeme na celé úseky konstrukce. V našem případě bude tedy použijeme pro tuhost (a při výpočtu smrštění i pro statický moment) první třetiny prvního pole tuhost v krajní podpoře, pro druhou třetinu prvního pole tuhost ve středu prvního pole, pro poslední třetinu prvního pole a první třetinu druhého pole tuhost v mezilehlé podpoře atd.
3.
Vypočítáme průhyb včetně průhybu od smrštění.
8
2.3. Přibližná metoda dle MC CEB FIP 1990 Zjednodušená metoda je převzata z kapitoly 7.5.2.2 Model Code CEB-FIP 1990. Metoda je navržena pro ohýbaný nosník. Největší výhodou této metody je její jednoduchost a tedy možnost ručního výpočtu. Z výsledků programu pruhyby.exe plyne, že tato metoda dává v rozumných tloušťkách konstrukce (v tloušťkách, kdy je průhyb akceptovatelný) konzervativnější výsledky než přesný výpočet (a je tedy použitelná). Naopak pro velmi štíhlé prvky už nemusí být dostatečně výstižná.
Postup výpočtu: 1.
Výpočet průběhu pružných deformací (ac) a vnitřních sil (Md) na konstrukci. Chování materiálu se uvažuje lineární. Tuhost průřezu je stanovena betonovou
částí průřezu (výztuž je zanedbávána).
2.
Určení vzorce pro výpočet celkových deformací (a).
a)
a = (1 + ϕ ) ⋅ a c pokud M d < M cr = Wc ⋅ f ctm
b)
h a = ⋅ η ⋅ (1 − 20 ρ cm ) ⋅ a c pokud M d ≥ M cr , d
3
kde Md je ohybový moment v polovině rozpětí v případě oboustranně podepřené části nosníku resp. v místě vetknutí v případě konzolové
části nosníku, Mcr moment na mezi vzniku trhlin v polovině rozpětí
ϕ součinitel dotvarování, h
výška průřezu,
d
účinná výška průřezu,
η součinitel vlivu trhlin a dotvarování (viz tabulka), ρ cm
průměrný stupeň vyztužení v tlačenou výztuží.
ρ tm [%]
0,15
0,20
0,30
0,50
0,75
1,00
1,50
η
10,0
8,0
6,0
4,0
3,0
2,5
2,0
kde ρ tm je průměrný stupeň vyztužení v taženou výztuží.
9
Střední stupeň vyztužení je definován jako vážený průměr:
ρ m =ρ a ⋅
la l l + ρ 0 ⋅ 0 + ρ b ⋅ b , kde indexy a resp. b označují zóny záporných l l l
momentů u podpor a index 0 označuje zónu kladného momentu.
10
2.4. Přibližný postup dle návrhu MC fib 2010 Zjednodušená metoda je převzata z kapitoly 7.6.5.2.2 Model Code fib 2010. Metoda je navržena pro ohýbaný resp. tažený nosník. Možnosti jejího využití odpovídají přibližné metodě dle MC CEB FIP 1990. Detailnější rozdíly není možné generalizovat, jsou patrné z výstupů programu pruhyby.exe.
Postup výpočtu: 1.
Rozdělit konstrukci na prvky (jednotlivá pole spojitého nosníku).
2.
Spočítat moment setrvačnosti ideálního průřezu bez trhliny (uprostřed každého pole):
[
I I = I c + Ac ⋅ (a gi − a c ) + α ⋅ As1 ⋅ (a gi − d ) + As 2 ⋅ (a gi − d 2 ) 2
2
2
],
kde a g ,i je vzdálenost těžiště ideálního průřezu od horního okraje:
a g ,i =
∑ A ⋅a ∑A i
i
=
i
kde As1 resp. As2
Ac ⋅ ac + α ⋅ ( As1 ⋅ d + As 2 ⋅ d 2 ) , Ac + α ⋅ ( As1 + As 2 ) hodnota tažené resp. tlačené výztuže v polovině
rozpětí příslušného pole nosníku.
3.
Spočítat moment setrvačnosti průřezu porušeného trhlinou, pro obdélníkový průřez platí:
[
]
I II = α ⋅ As1 ⋅ (d − x) ⋅ (d − x / 3) + As 2 ⋅ ( x − d 2 ) ⋅ ( x / 3 − d 2 ) ,
kde x
x=
je výška tlačené oblasti železobetonového průřezu:
0,18 + 1,80 ⋅ α ⋅ ρ tm ⋅ d , kde: ρ cm d 2 1+ ⋅ ρ tm d
ρtm = ρ h , A
l lA l + ρ d ,0 0 + ρ h, B B je stupeň vyztužení taženou resp. l l l
ρcm = ρ d , A
l lA l + ρ h , 0 0 + ρ d , B B tlačenou výztuží. l l l
11
Koeficienty váženého průměru průřezové plochy výztuže jsou:
4.
lA /l
l0 /l
- krajní pole spojitého nosníku
0,25
0,75
- oboustranně vetknutý nosník
0,20
0,60
0,20
- vnitřní pole spojitého nosníku
0,15
0,70
0,15
lB /l
Určit momenty setrvačnosti jednotlivých polí, ve kterých dochází k překročení momentu na mezi vzniku trhlin (Mcr) ohybovým momentem od nejméně příznivého uspořádání zatížení v rámci II. MS v rámci celého prvku (Mext). I eff =
I I · I II , ζ ·I I + (1 − ζ )·I II
kde
ζ
je součinitel vyjadřující stupeň tvorby trhlin 2
M ζ = 1 − β cr M ext
5.
.
Výpočet průhybů ag od krátkodobého zatížení. Při výpočtu jsou uvažovány tuhosti jednotlivých polí konstrukce hodnotami Ieff .
6.
Výpočet průhybů a od dlouhodobého zatížení ovlivněné dotvarováním betonu. a = (1 + ϕ ) a g
pokud
M ext < M cr ,
a = a g + aϕ + a sh
pokud
M ext ≥ M cr ,
kde ϕ
je součinitel dotvarování,
ag
okamžitý průhyb od zatížení,
aϕ
přírůstek průhyb způsobený dotvarováním: aϕ = a g ⋅
a sh
x 0,84 ⋅ ϕ − 0,20 ⋅ , d 1 + 12 ⋅ α ⋅ ρ cm
přírůstek průhyb způsobený smršťováním: a sh =
ε sh d
⋅
1 l2 ⋅ ks ⋅ kde: 1 + 12 ⋅ α ⋅ ρ cm 8
l
rozpětí příslušného pole,
a sh
přetvoření od smršťování,
12
ks
součinitel způsobu podepření:
ks - konzola
4,0
- prostý nosník
1,0
- krajní pole spojitého nosníku
0,7
- vnitřní pole spojitého nosníku
0,5
13
3.
Použité podklady
[1]
Beeby A.W., Naryanan R.S.: Designers’ Guide to EN 1992-1-1 and EN 1992-1-2 Eurocode 2, Thomas Telford, London 2005
[2]
CEB-FIP Modelcode 1990, Thomas Telford, London 1998
[3]
ČSN EN 1992-1-1 Navrhování betonových konstrukcí – Obecná pravidla a pravidla pro pozemní stavby, ČNI, Praha 2006
[4]
Procházka J. a kolektiv: Navrhování betonových konstrukcí 1, ČBS Servis, Praha 2009
[5]
návrh pro Modelcode fib 2010 (červen 2010)
14
