Matematická analýza L. Pick a J. Spurný 25. května 2010
Obsah 1 Matematická analýza 1a 1 Výroky, důkazové techniky a množiny . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Výroková a predikátová logika . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Základní typy důkazů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Množiny a množinové operace . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Zobrazení a funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Reálná a komplexní čísla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Reálná čísla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Komplexní čísla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Mohutnosti množin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Limity posloupností reálných čísel . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Vlastní limita posloupnosti . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Nevlastní limita posloupnosti . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Monotónní posloupnosti a hlubší věty o posloupnostech 5 Řady reálných čísel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Kritéria konvergence řad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Reálné funkce jedné reálné proměnné . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Základní definice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Věty o limitách. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Funkce spojité na intervalu . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Derivace reálné funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Elementární funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Konvexní a konkávní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Průběh funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 5 5 7 7 9 11 11 13 14 15 15 15 17 19 22 22 24 26 26 28 30 31 34 36 37
4
Kapitola 1
Matematická analýza 1a 1
Výroky, důkazové techniky a množiny
1.1
Výroková a predikátová logika
Definice 1.1. Logika je věda o formální správnosti výroků. Výrok je dobře zformulované tvrzení, o kterém má smysl říci, zda je pravdivé nebo není. Příklady. • Obloha je modrá. (Je výrok.) • Nový Bydžov je hlavní město Kanady. (Je výrok.) • Ahoj! (Není výrok.) • Kéž by už byl konec hodiny! (Není výrok.) • 2π je iracionální číslo. (Neví se, ale je to výrok.) Definice 1.2. Definujeme následující logické spojky a operace: • konjunkce A&B: platí oba výroky A i B zároveň; • disjunkce A ∨ B: platí alespoň jeden z výroků A a B; • implikace A =⇒ B: platí-li výrok A, pak také platí výrok B (říkáme, že A je postačující podmínka pro B a B je nutná podmínka pro A); • ekvivalence A ⇐⇒ B: výrok A platí právě tehdy, když platí výrok B (říkáme, že A je nutná a postačující podmínka pro B); • negace ¬A: výrok A neplatí. Poznámky. (1) Logická spojka nebo (disjunkce) není vylučující, tj. disjunkce zůstává v platnosti i když platí oba výroky A a B. (2) Je-li premisa implikace A nepravdivá, pak implikace platí vždy bez ohledu na platnost důsledku B (jinými slovy, z nepravdivého výroku plyne cokoli). Definice 1.3. Výroková funkce V (x1 , . . . , xn ) (též výroková forma nebo predikát) je výraz, z něhož vznikne výrok poté, co do něj dosadíme prvky z daných množin A1 , . . . , An za proměnné x1 , . . . , xn . Příklad. Výroková funkce V (x): x < 3. Pak platí V (2), ale neplatí V (5). Definice 1.4. Kvantifikátory: • velký (též všeobecný), značíme ∀, čteme „pro každéÿ; • malý (též existenční), značíme ∃, čteme „existujeÿ. 5
Příklad. Obecný zápis ∀x∈M
∃y∈N
∀ a, b ∈ I :
V (x, y, a, b)
čteme „pro každé x ∈ M existuje y ∈ N takové, že pro každé a, b ∈ I platí výrok V (x, y, a, b)ÿ Úmluva 1.5. Zápis ∀x ∈ M : V (x) znamená ∀x ∈ M =⇒ V (x) a zápis ∃x ∈ M : V (x) znamená ¬ (∀x ∈ M : ¬V (x)). Poznámka. Výrok • ∀x ∈ M, A(x) : B(x) znamená ∀x ∈ M : A(x) =⇒ B(x); • ∃x ∈ M, A(x) : B(x) znamená ∃x ∈ M : A(x)&B(x); • ∀x ∈ M ∀y ∈ N : V (x, y) znamená ∀x ∈ M (∀y ∈ N : V (x, y)); • ∀x ∈ M ∃y ∈ N : V (x, y) znamená ∀x ∈ M (∃y ∈ N : V (x, y)). Poznámka 1.6. Kvantifikátory stejného typu lze libovolně přehazovat, například ∀x ∀y : V (x, y)
⇐⇒
∀y ∀x : V (x, y)
⇐⇒
∀x, y : V (x, y).
Na druhé straně ale kvantifikátory různého typu není možno volně přehazovat, aniž by se změnil smysl výroku. Výrok ∃x ∀y :
V (x, y)
sice implikuje výrok ∀y ∃ x : V (x, y), ale opačná implikace obecně neplatí. Například výrok ∀y ∈ N ∃x ∈ N : x > y platí, ale ∃y ∈ N ∀x ∈ N : x > y nikoli. Poznámka. Platí: ¬(∀x ∈ M : V (x))
⇐⇒
∃x ∈ M : ¬V (x);
¬(∃x ∈ M : V (x))
⇐⇒
∀x ∈ M : ¬V (x);
¬(∀x ∈ M, A(x) : B(x))
⇐⇒
∃x ∈ M : A(x)&¬B(x).
Cvičení. Nechť M je množina osob přítomných v posluchárně a nechť W (x, y) znamená: osoba x zná příjmení osoby y. Zkoumejte platnost výroků ∀x ∈ M ∃y ∈ M : W (x, y); ∀y ∈ M ∃x ∈ M : W (x, y); ∃x ∈ M ∀y ∈ M : W (x, y); ∃y ∈ M ∀x ∈ M : W (x, y). Příklad. Platí ¬ (∀x ∈ R ∃y ∈ R ∀z ∈ R : (z > y =⇒ z > x))
⇐⇒
(∃x ∈ R ∀y ∈ R ∃z ∈ R : (z > y & z ≤ x)) .
Definice 1.7. Zápis ∃ ! x ∈ M : V (x) čteme „existuje právě jedno x ∈ M , pro které platí výrok V (x)ÿ. Příklad: ∀x ≥ 0 ∃ ! y ≥ 0 : y 2 = x. Problém 1.8. Znegujte výrok: Každý si rád dá jedno pivo, ale ne vždy a ne v každé hospodě. 6
1.2
Základní typy důkazů
• Důkaz přímo: Při důkazu výroku ∀x ∈ M : V (x) postupujeme takto: 1. krok: zvolíme x ∈ M pevné, ale libovolné. 2. krok: postupnými dedukcemi vyvozujeme V (x); zatímco při důkazu výroku ∃ x ∈ M : V (x) máme dvě možnosti: buď najdeme nějaké x0 ∈ M , pro které platí V (x) nebo takové x0 ∈ M nenajdeme, ale dokážeme, že alespoň jedno musí existovat. • Důkaz nepřímo: Místo ∀x ∈ M : V (x) dokážeme ¬V (x) ⇒ x 6∈ M . Podobně místo A ⇒ B dokážeme ¬B ⇒ ¬A. • Důkaz sporem: Chceme dokázat a =⇒ b. Předpokládáme a&¬b a najdeme výrok v tak, že (a&¬b) =⇒ (v&¬v). • Důkaz rozborem případů. • Důkaz matematickou indukcí: Při důkazu tvrzení ∀n ∈ N : V (n) dokážeme nejprve V (1) a potom ∀n ∈ N : [V (n) ⇒ V (n + 1)]. Příklady. • Dokažte přímo, nepřímo a sporem následující tvrzení: je-li n ∈ N a n2 je liché, pak také n je liché. • Dokažte indukcí, že každé n ∈ N lze zapsat buď ve tvaru 2k nebo va tvaru 2k − 1 pro nějaké k ∈ N. • Dokažte sporem, že neexistuje žádné racionální číslo x, splňující x2 = 2. Příklady. • Existují dvě iracionální čísla x, y taková, že xy ∈ Q. • Existují dvě osoby v této posluchárně, které mají narozeniny ve stejném týdnu. • Existují dvě ženy v Praze, které mají stejný počet vlasů. Problém 1.9. Ukažte, že počet všech podmnožin množiny {1, . . . , n} je 2n .
1.3
Množiny a množinové operace
Pracujeme v tzv. Zermelo-Frankelově teorii množin dané systémem axiomů. Detaily této teorie sahají hluboko za rámec této přednášky a nebudou zde uvedeny. S objekty teorie množin pracujeme intuitivním (naivním) způsobem. Značení 1.10. Budeme používat standardní množinové operace a standardní značení: jsou-li A a B dvě množiny, pak značíme • A ⊂ B nebo A ⊆ B znamená, že množina A je podmnožinou množiny B, tj. [x ∈ A ⇒ x ∈ B]); • A = B (A rovná se B), pokud mají stejné prvky; • prázdnou množinou nazveme množinu neobsahující žádný prvek a značíme ji ∅; T • A ∩ B = {x; x ∈ A & x ∈ B} je průnik množin A a B, obecněji, i∈I Ai = {x; ∀i ∈ I : x ∈ Ai }; S • A ∪ B = {x; x ∈ A ∨ x ∈ B} je sjednocení množin A a B, obecněji, i∈I Ai = {x; ∃i ∈ I : x ∈ Ai }; • jestliže A ∩ B = ∅, řeknem že jsou disjunktní; • A \ B = {x ∈ A; x ∈ / B} je rozdíl A a B; • je-li V (x) výroková forma a A množina, pak B = {x ∈ A : V (x)} značí množinu těch prvků x z A splňujících V (x). 7
Věta 1.11 (de Morganova pravidla). Nechť I, X, Ai pro i ∈ I jsou množiny. Pak [ \ \ [ X\ Ai = X \ Ai a X\ Ai = X \ Ai i∈I
i∈I
i∈I
i∈I
S
S Důkaz. / Ai . Tedy x ∈ / Ai pro ∀i ∈ I. Odtud x ∈ X \ Ai pro ∀i ∈ I. Konečně T Nechť x ∈ X \ Ai , tj x ∈ XTa x ∈ x∈ XS\ Ai . Obráceně nechť x ∈ X \ Ai , pak x ∈ X \ Ai pro ∀i ∈ I. Tedy x ∈ X a x ∈ / Ai pro ∀i ∈ I, tedy x ∈ X \ Ai . T T S Nechť x ∈ X \ Ai , tj x ∈ X a x ∈ / Ai . Tedy x ∈ / Aj pro nějaké j ∈ I. Odtud x ∈ X \ Aj . Tedy x ∈ X \ Ai . S T ObráceněT nechť x ∈ X \ Ai , pak x ∈ X \ Aj pro nějaké j ∈ I. tedy x ∈ X a x ∈ / Aj . Též x ∈ / Ai . Tedy x ∈ X \ Ai . Definice 1.12. Nechť A1 , . . . , An jsou množiny. • Jejich kartézským součinem rozumíme množinu A1 × · · · × An = {[a1 , . . . , an ]; ∀i ∈ {1, . . . , n} : ai ∈ Ai }, tedy množinu uspořádaných n-tic [a1 , . . . , an ]. • Binární relací R mezi množinami A a B rozumíme libovolnou podmnožinu kartézského součinu A × B. Obecně značíme buď aRb nebo [a, b] ∈ R a hovoříme o relaci mezi A a B nebo také o relaci z A do B. Příklad. Nerovnost mezi reálnými čísly „≤ÿ tvoří binární relaci na [0, 1]. Tuto relaci lze také graficky znázornit pomocí horního trojúhelníku ve čtverci [0, 1]2 . Poznámka. Jakákoli výroková funkce V (x, y) na A × B vytváří binární relaci M = {[x, y] ⊂ A × B, V (x, y)} a naopak. Definice 1.13. Nechť A a B jsou dvě množiny a nechť M ⊂ A × B je binární relace. Pak relaci M −1 ⊂ B × A definovanou předpisem [x, y] ∈ M −1 ⇐⇒ [y, x] ∈ M nazýváme inverzní relací k relaci M . Příklad. Inverzní relací k relaci ≤ na [0, 1]2 je relace ≥. Definice 1.14. Nechť A je množina a nechť M ⊂ A × A je binární relace. Řekneme, že M je • reflexivní, jestliže ∀x ∈ M : [x, x] ∈ M , • symetrická, jestliže [x, y] ∈ M ⇒ [y, x] ∈ M , • transitivní, jestliže ([x, y] ∈ M &[y, z] ∈ M ) ⇒ [x, z] ∈ M , • antisymetrická, jestliže [x, y] ∈ M ⇒ [y, x] 6∈ M , • slabě antisymetrická, jestliže ([x, y] ∈ M &[y, x] ∈ M ) ⇒ x = y. Definice 1.15. Nechť A je množina a nechť M ⊂ A × A je binární relace. Řekneme, že M je • ekvivalence, jestliže je reflexivní, symetrická a transitivní; • částečné uspořádání (někdy jen uspořádání), jestliže je reflexivní, slabě antisymetrická a transitivní; • lineární uspořádání, jestliže je to částečné uspořádání a splňuje, že pro každé dva prvky x, y ∈ A nastává buď [x, y] ∈ M nebo [y, x] ∈ M . Příklady. • Nechť A je libovolná neprázdná množina. Pak relace rovnost (=) je ekvivalence na A × A. • Nechť p ∈ N. Pak relace kongruence modulo p, definovaná předpisem m ≡ n (mod p)
⇐⇒
|m − n| je dělitelné číslem p,
je ekvivalence na N × N. • Relace menší nebo rovno než (≤) je lineární uspořádání na R. 8
• Nechť A je množina všech funkcí z intervalu [0, 1] do R a nechť ≤ je relace definovaná předpisem f ≤ g ⇐⇒ ∀x ∈ [0, 1] : f (x) ≤ g(x). pak ≤ tvoří na množině A × A částečné uspořádání, které není lineární. • Je-li X množina a 2X značí množinu všech jejích podmnožin, pak relace R = {[A, B] ∈ 2X × 2X ; A ⊂ B} je částečné uspořádání na 2X , které obecně není lineární. Problém 1.16. Rozhodněte o platnosti věty: Nechť A, B ⊂ R jsou neprázdné a nechť platí podmínka ∀β > 0 ∃x ∈ A ∀y ∈ B : |x − y| > β. Pak B není omezená.
1.4
Zobrazení a funkce
Definice 1.17. Binární relaci F ⊂ A × B nazýváme zobrazením neboli funkcí množiny A do množiny B, jestliže platí ∀x ∈ A ∀y1 , y2 ∈ B : ([x, y1 ] ∈ F & [x, y2 ] ∈ F =⇒ y1 = y2 ). Množinu {x ∈ A; ∃y ∈ B : [x, y] ∈ F } nazýváme definičním oborem zobrazení (funkce) F a značíme D(F ) (nebo Dom(F )). Množinu {y ∈ B; ∃x ∈ A : [x, y] ∈ F } nazýváme oborem hodnot a značíme H(F ) (nebo Rng(F )). Poznámka. Zobrazení není totéž co předpis, neboť různé předpisy mohou definovat stejné zobrazení. Například zobrazení f : R → R a g : R → R, definované pomocí předpisů p f (x) := x2 + 2x + 1, g(x) := |x + 1|, x ∈ R, splňují f = g. Definice 1.18. Nechť A a B jsou dvě množiny a nechť f : A → B je zobrazení. Pak grafem zobrazení f nazýváme množinu Gf := {z ∈ A × B; ∃ x ∈ A : [x, f (x)] = z} = {[x, f (x)]; x ∈ A} . Poznámky. • Graf zobrazení f : A → B je binární relací na A × B. • Mezi grafem a zobrazením rozlišujeme, ačkoli se vzájemně jednoznačně určují. V jiných matematických oborech než v analýze se občas tyto pojmy ztotožňují. • Výrok f (x) = y znamená totéž jako výrok [x, y] ∈ Gf . • Binární relace M ⊂ A × B je grafem nějakého zobrazení právě tehdy, jestliže pro každé x ∈ A existuje nejvýše jedno y ∈ B takové, že [x, y] ∈ M . Cvičení. Nechť A = [0, 1], B = [0, 2]. Rozhodněte, která z následujících relací je grafem nějakého zobrazení: M1 := [x, y] ∈ A × B; x2 + y 2 = 1 ; M2 := {[x, y] ∈ A × B; y − x = 0} ; M3 := [x, y] ∈ A × B; x2 + (y − 1)2 = 1 . Definice 1.19. Nechť A a B jsou dvě množiny a nechť f : A → B je zobrazení. 9
• Nechť M ⊂ A. Pak množinu f (M ) := {y ∈ B; ∃ x ∈ M : f (x) = y} nazýváme obrazem množiny M při zobrazení f . • Nechť P je libovolná množina. Pak množinu f −1 (P ) := {x ∈ A; f (x) ∈ P } nazýváme vzorem množiny P při zobrazení f . Definice 1.20. Nechť A a B jsou dvě množiny a nechť f : A → B je zobrazení. (1) Řekneme, že f je prosté (injektivní), jestliže ∀x, y ∈ A : [f (x) = f (y) ⇒ x = y]. (2) Řekneme, že f je na (surjektivní), jestliže ∀y ∈ B ∃ x ∈ A : f (x) = y. (3) Řekneme, že f je bijekce (vzájemně jednoznačné), jestliže je zároveň prosté a na. Poznámka. Abychom mohli říci, zda nějaké zobrazení je na, musí být přesně zadána koncová množina B (takže (2) a (3) můžeme chápat jako vlastnosti zobrazení f a množiny B). Definice 1.21. • Nechť A a B jsou dvě množiny, nechť f : A → B je zobrazení a nechť C ⊂ A. Pak zobrazení g : C → B, definované předpisem g(x) = f (x), x ∈ C, nazýváme restrikcí (zúžením nebo parcializací) zobrazení f na množinu C. • Nechť A, B, C jsou tři množiny a nechť f : A → B, g : B → C jsou dvě zobrazení. Pak zobrazení g ◦ f : A → C, definované předpisem (g ◦ f )(x) := g(f (x)), x ∈ A, nazýváme složeným zobrazením (složením zobrazení f a g), přičemž g nazýváme vnějším zobrazením a f nazýváme vnitřním zobrazením. Poznámka. Skládání zobrazení je asociativní operace, ale není komutativní (cvičení). Definice 1.22. Nechť A a B jsou dvě množiny a nechť f : A → B je prosté. Pak zobrazení f −1 : f (A) → A, definované předpisem f −1 (y) = x ⇐⇒ y = f (x), x ∈ A, y ∈ f (A), nazýváme inverzním zobrazením k zobrazení f . Poznámky. • K neprostému zobrazení nelze definovat inverzní zobrazení (lze definovat inverzní binární relaci, ta ale nebude zobrazením). Příkladem je funkce y = x2 pro x ∈ R a y ∈ [0, ∞). • Ve smyslu binárních relací platí G−1 f = Gf −1 . Příklady. • Inverzním zobrazením k zobrazení f : x 7→ log x, x ∈ (0, ∞), je zobrazení f −1 : y 7→ exp y, y ∈ R. • Zobrazení f : x 7→ sin x, není prosté na množině R a tedy nelze definovat zobrazení k němu inverzní. Lze však toto zobrazení zúžit na množinu [− π2 , π2 ]. Tato restrikce již prostá je a lze definovat inverzní zobrazení f −1 : y 7→ arcsin y, y ∈ [−1, 1]. Příklad. Nechť A a B jsou dvě množiny a nechť f : A → B je zobrazení. Pak • f je prosté právě tehdy, když rovnice f (x) = y má pro každé y ∈ B nejvýše jedno řešení; • f je na právě tehdy, když rovnice f (x) = y má pro každé y ∈ B alespoň jedno řešení; • f je bijekce právě tehdy, když rovnice f (x) = y má pro každé y ∈ B právě jedno řešení. Problém 1.23. Nechť f : A → C a g : A → B splňují g(A) = B. Najděte nutnou a postačující podmínku pro existenci zobrazení h : B → C splňující f = h ◦ g. 10
2
Reálná a komplexní čísla
2.1
Reálná čísla
Intuitivně budeme zacházet s množinami N, Z, Q. Axiomaticky si zavedeme R. Množinu reálných čísel R lze popsat jako množinu, na níž jsou definovány operace sčítání a násobení, které budeme značit obvyklým způsobem, a relace uspořádání (≤), přičemž jsou splněny následující tři skupiny vlastností. I. Vlastnosti sčítání a násobení a jejich vzájemný vztah II. Vztah uspořádání a operací sčítání a násobení III. Axiom suprema I. Vlastnosti sčítání a násobení a jejich vzájemný vztah • ∀x, y, z ∈ R : x + (y + z) = (x + y) + z (asociativita sčítání), • ∀x, y ∈ R : x + y = y + x (komutativita sčítání), • ∃w ∈ R ∀x ∈ R : w + x = x (prvek w je určen jednoznačně, značíme ho 0 a říkáme mu nulový prvek), • ∀x ∈ R ∃z ∈ R : x + z = 0 (z je tzv. opačné číslo k číslu x, je určeno jednoznačně a značíme ho −x), • ∀x, y, z ∈ R : x · (y · z) = (x · y) · z (asociativita násobení), • ∀x, y ∈ R : x · y = y · x (komutativita násobení), • ∃v ∈ R \ {0} ∀x ∈ R : v · x = x (prvek v je určen jednoznačně, značíme ho 1 a říkáme mu jednotkový prvek), • ∀x ∈ R \ {0} ∃y ∈ R : x · y = 1 (prvek y je určen jednoznačně a značíme ho x−1 nebo
1 x ),
• ∀x, y, z ∈ R : (x + y) · z = x · z + y · z (distributivita). II. Vztah uspořádání a operací sčítání a násobení • ∀x, y, z ∈ R : (x ≤ y & y ≤ z) =⇒ x ≤ z (tranzitivita), • ∀x, y ∈ R : (x ≤ y & y ≤ x) =⇒ x = y (slabá antisymetrie), • ∀x ∈ R : x ≤ x (reflexivita), • ∀x, y ∈ R : x ≤ y ∨ y ≤ x, • ∀x, y, z ∈ R : x ≤ y =⇒ x + z ≤ y + z, • ∀x, y ∈ R : (0 ≤ x & 0 ≤ y) =⇒ 0 ≤ x · y. Značení 2.1. • Označení x ≥ y znamená totéž co y ≤ x. Symbolem x < y budeme značit situaci, kdy x ≤ y, ale x 6= y (tzv. ostrá nerovnost). • Reálná čísla, pro něž x > 0 (resp. x < 0), budeme nazývat kladnými (resp. zápornými). • Reálná čísla, pro něž x ≥ 0 (resp. x ≤ 0), budeme nazývat nezápornými (resp. nekladnými). Definice 2.2. • Řekneme, že množina M ⊂ R je omezená zdola, jestliže existuje číslo a ∈ R takové, že pro každé x ∈ M platí x ≥ a. Takové číslo a se nazývá dolní závorou množiny M . • Analogicky definujeme pojmy množina omezená shora a horní závora. • Řekneme, že množina M ⊂ R je omezená, je-li omezená shora i zdola. Definice 2.3. Nechť M ⊂ R. Číslo s ∈ R splňující • ∀x ∈ M : x ≤ s, • ∀s0 ∈ R, s0 < s ∃x ∈ M : x > s0 , 11
nazýváme supremem množiny M . Poznámka. Nechť M ⊂ R. Má-li množina M supremum, je toto určeno jednoznačně a značíme jej sup M . Definice 2.4. Nechť M ⊂ R. Řekneme, že a je největší prvek (maximum) množiny M , jestliže a ∈ M a a je horní závorou množiny M . Analogicky definujeme nejmenší prvek (minimum) M . Maximum a minimum jsou určeny jednoznačně (pokud existují) a značíme je max M a min M . III. Axiom suprema • Každá neprázdná shora omezená podmnožina R má supremum. Věta 2.5 (Existence a jednoznačnost R). Existuje čtveřice (R, +, ·, ≤) splňující podmínky I–III, přičemž je těmito ˜ ⊕, , ≤∗ ) splňuje mutatis mutandis podpodmínkami určena jednoznačně v následujícím smyslu. Pokud čtveřice (R, ˜ mínky I–III, pak existuje bijekce ϕ : R → R taková, že pro každé x, y ∈ R platí • ϕ(x + y) = ϕ(x) ⊕ ϕ(y), • ϕ(x · y) = ϕ(x) ϕ(y), • x ≤ y =⇒ ϕ(x) ≤∗ ϕ(y). Definice 2.6. Nechť M ⊂ R. Číslo i ∈ R splňující • ∀x ∈ M : x ≥ i, • ∀i0 ∈ R, i0 > i ∃x ∈ M : x < i0 , nazýváme infimem množiny M . Poznámka. Nechť M ⊂ R. Má-li množina M infimum, je toto určeno jednoznačně a značíme jej inf M . Definice 2.7. Nechť −∞ ≤ a < b ≤ ∞. Pak otevřeným intervalem (a, b) nazýváme množinu (a, b) := {x ∈ R, a < x < b} . Obdobně definujeme uzavřený interval [a, b] a polouzavřené intervaly [a, b) a (a, b] předpisem • [a, b] := {x ∈ R; a ≤ x ≤ b} pro −∞ < a < b < ∞, • [a, b) := {x ∈ R; a ≤ x < b} pro −∞ < a < b ≤ ∞, • (a, b] := {x ∈ R; a < x ≤ b} pro −∞ ≤ a < b < ∞. Ve všech případech nazýváme bod a počátečním bodem a bod b koncovým bodem intervalu. Poznámky. • V definici intervalu vždy předpokládáme, že počáteční bod je ostře menší než koncový bod. Takže množinu [a, a] = {a} nepovažujeme za interval. Literatura není v tomto bodě jednotná, v některých pramenech se tato množina považuje za interval, který se někdy označuje termínem degenerovaný. • Počáteční nebo koncový bod nemusí být prvkem intervalu. Může být prvkem intervalu tehdy, jestliže to není jedno z nekonečen. Věta 2.8 (Existence infima). Nechť M ⊂ R je neprázdná zdola omezená množina. Pak existuje infimum množiny M . Důkaz. Definujme množinu −M = {x ∈ R; −x ∈ M }. Potom −M je neprázdná shora omezená, dle axiomu existuje s = sup(−M ). Číslo −z splňuje vlastnosti infima M a inf M = −z. Věta 2.9 (Existence celé části). Pro každé r ∈ R existuje právě jedno číslo k ∈ Z takové, že k ≤ r < k + 1. Důkaz. Nechť [x] = max(Z ∩ (−∞, z]). Každá neprázdná shora omezená podmožina Z má maximum. Nyní nechť [u] = k a [x] = l a l 6= k. BÚNO k > l, k − l ∈ Z. Dál l − k < 1 a 0 < l − k < 1 spor. Věta 2.10 (Archimédova vlastnost R). Ke každému x ∈ R existuje n ∈ N splňující x < n. 12
Důkaz. Nechť ∃x ∈ R ∀n ∈ N : n ≤ x. Pak N je neprazdná, shora omezená, tedy ∃ sup N = m. Dle vlastnosti suprema ∃n ∈ N : m − 12 < n < m. Tedy m < n + 12 < n + 1. Přirozená čísla jsou nejmnenší induktivní množinou, tedy n ∈ N ⇒ S(n) ∈ N, spor s první vlastností suprema. Věta 2.11 (Hustota Q). Nechť a, b ∈ R, a < b. Pak existuje q ∈ Q takové, že a < q < b. 1 Důkaz. Dle Archimedovy vlastnosti ∃n ∈ N : b−a < n. Tedy ∃m ∈ R : m n ∈ (a, b). Tedy g = q2√ −q1 ∈ (R \ Q) ∩ (a, b). hustota R \ Q. Zvolme a < q1 < q2 < b, potom zjevně q1 + 2
m n.
Obdobně se ukáže
Věta 2.12 (Existence n-té odmocniny). Pro každé n ∈ N a x ∈ R, x ≥ 0, existuje právě jedno y ∈ R, y ≥ 0, splňující y n = x. Důkaz. Definujme množiny M1 , M2 . M1 = {k ∈ [0, ∞); k n ≤ x} n
M2 = {k ∈ [0, ∞); k ≥ x}
a
y1 = sup M1 ,
a
y2 = sup M2 .
Ukažme, že y1n ≤ x a y2n ≥ x. Nechť y1n > x. Dle Archimedovy vlastnosti ∃m ∈ N tak, že m > suprema plyne ∃k ∈ M1 : y1 −
1 m
< k < y1 . Tedy y1 < k +
1 m.
ny1n−1 y1n −x .
Z vlastnosti
Odtud
1 n−1 ny n−1 (y1 + . . . + y1n−1 ) = 1 < y1n − x. m m Tedy y1n − x < y1n − x spor, tedy platí y1n ≤ x. Oddobně se ukáže y2 ≥ x. Ukažme, že y1 = y2 . Kdyby y1 < y2 , tak ∃q ∈ (y1 , y2 ), q ∈ / M1 , q ∈ / M2 . Protože však M1 ∪ M2 = [0, ∞) spor. y1n − x ≤ y1n − k n = (y1 − k)(y1n−1 + . . . + k n−1 ) <
Definice 2.13. Pro reálné číslo x ∈ R definujeme absolutní hodnotu |x| := max {x, −x} Poznámka. Absolutní hodnota splňuje takzvanou trojúhelníkovou nerovnost: ∀ x, y, z ∈ R : |x − y| ≤ |x − z| + |z − y|. Problém 2.14. Nechť A ⊂ R je omezená a neprázdná. Pak platí sup A − inf A = sup{x − y; x, y ∈ A}.
2.2
Komplexní čísla
Definice 2.15. Množinu komplexních čísel C definujeme jako množinu všech uspořádaných dvojic (a, b), kde a, b ∈ R, přičemž pro komplexní čísla x = (a, b), y = (c, d) definujeme operace sčítání a násobení takto • x + y = (a + c, b + d), • x · y = (ac − bd, ad + bc). Dále definujeme 0 = (0, 0), 1 = (1, 0) (sic!) a i = (0, 1). Nechť x = (a, b) ∈ C. • Prvek a nazýváme reálnou částí x, prvek b nazýváme imaginární částí x. √ • Absolutní hodnotou komplexního čísla x rozumíme a2 + b2 . • Komplexně sdruženým číslem k x rozumíme číslo x = (a, −b); symbol −x značí číslo (−a, −b) a symbol 1/x značí pro x 6= 0 (jednoznačně určené) číslo splňující x · x1 = 1. Poznámka. Absolutní hodnota splňuje takzvanou trojúhelníkovou nerovnost: ∀ x, y, z ∈ C : |x − y| ≤ |x − z| + |z − y|. Problém 2.16. Nechť An ⊂ C, n ∈ N, jsou množiny. Pak platí {z ∈ C; {n ∈ N; z ∈ / An } je konečná} = {z ∈ C; {n ∈ N; z ∈ An } není konečná} =
∞ \ ∞ [ n=1 k=n ∞ [ ∞ \ n=1 k=n
13
Ak , Ak .
3
Mohutnosti množin
Definice 3.1. • Říkáme, že množiny A, B mají stejnou mohutnost, jestliže existuje bijekce A na B. • Říkáme, že množina A má mohutnost menší nebo rovnou mohutnosti množiny B, jestliže existuje prosté zobrazení A do B. Definice 3.2. Nechť X je množina, množinu 2X = exp X = {A; A ⊂ X} nazýváme potenční množinou množiny X (nebo potencí množiny X). Věta 3.3 (Cantor–Bernstein). Nechť A, B jsou množiny takové, že A má mohutnost menší nebo rovnu než B a B má mohutnost menší nebo rovnu než A. Pak mají stejnou mohutnost. Definice. Uspořádání (X, ≤) je úplný svaz, jestliže každá podmnožina X má supremum i infimum. Lemma. Buď (X, ≤) uplný svaz a f : X → X buď neklesající funkce, tj. taková, že pro každé a, b ∈ X platí a ≤ b ⇒ f (a) ≤ f (b). Potom existuje pevný bod funkce f , tj. existuje b ∈ X tak, že f (b) = b. Důkaz. Množina Y = {a ∈ X; a ≤ f (a)} je neprázdná, neboť obsahuje inf X. Buď b = sup Y . Je b ≤ f (b) jelikož f (b) majorizuje Y . Tedy f (b) ≤ f (f (b)) a f (b) ∈ Y , tudíž f (b) ≤ b, odkud plyne b = f (b). Důkaz. Buď dle definice f prosté zobrazení A do B a g prosté zobrazení B do A. Zobrazení h : 2X → 2X definujme předpisem h(U ) = A \ g[B \ f [U ]]. Zřejmě je h neklesající funkce v úplném svazu (2X , ⊆), buď tedy V ∈ 2X jeho pevný bod. Tedy X \ V = g[B \ f [V ]. Zobrazení H : A → B definujme takto: ( f (a), pro a ∈ V, H(a) = −1 g (a), pro a ∈ A \ V. Potom H je zobrazení prosté a na. Věta 3.4 (Cantor). Nechť X je množina. Pak neexistuje zobrazení ϕ : X → exp X, které je na. Důkaz. Jistě je X subvalentní 2X . Buď zobrazení ϕ : X → 2X , které je na. Pak buď Y = {a ∈ X; a ∈ / ϕ(a)}. Pak ∃b ∈ X : Y = ϕ(b) a b ∈ ϕ(b) ⇔ b ∈ / ϕ(b). Definice 3.5. Řekneme, že množina X je nekonečná, jestliže má stejnou mohutnost jak nějaká její vlastní podmnožina. V opačném případě říkáme, že X je konečná. Řekneme, že množina X je spočetná, jestliže je konečná nebo má stejnou mohutnost jako N. Nekonečná množina, která není spočetná, se zove nespočetná. Příklady. Tato fakta nebudou na přednášce dokazována: • Je-li A neprázdná množina, je A konečná právě tehdy, když existuje n ∈ N tak, že A má stejnou mohutnost jako {1, . . . , n}. • Množiny N a N × N jsou spočetné. Jakákoli nekonečná podmnožina N je také spočetná. • Množina racionálních čísel Q je spočetná. • Množiny R, (0, 1), exp N jsou nespočetné. Navíc mají všechny tyto tři množiny stejnou mohutnost. Problém 3.6. Nechť f : N → N. Rozhodněte o platnosti následujících tvrzení: • Je-li f (N) konečná, není f prosté; • Je-li f (N) nekonečná, je f prosté; • Je-li N \ f (N) = ∅, je f prosté; • Je-li f prosté, je N \ f (N) = ∅.
14
4
Limity posloupností reálných čísel
4.1
Úvod
Definice 4.1. Posloupností reálných čísel nazýváme jakékoli zobrazení z množiny N do množiny R. Posloupnost ∞ obvykle značíme symbolem {an }, případně {an }n=1 nebo {an }n∈N . Pro každé konkrétní n ∈ N nazýváme reálné číslo an n-tým členem posloupnosti {an }. Příklady. • an =
n n−1 ,
n ∈ N \ {1};
• Fibonacciho posloupnost 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . je dána rekurentním předpisem a1 = 1,
∀ n ∈ N, n ≥ 3 : an = an−2 + an−1 .
a2 = 1,
• Look and say sequence: 1, 11, 21, 1211, 111221, . . . Definice 4.2. Nechť {an } je posloupnost reálných čísel. Říkáme, že {an } je omezená, jestliže je množina {an ; n ∈ N} je omezená v R. Říkáme, že {an } je neklesající, jestliže ∀ n ∈ N : an ≤ an+1 . Analogicky definujeme posloupnost zdola omezenou, shora omezenou, nerostoucí, klesající, rostoucí a monotónní.
4.2
Vlastní limita posloupnosti
Definice 4.3. Nechť {an } je posloupnost reálných čísel a A ∈ R. Řekneme, že A je vlastní limitou posloupnosti {an }, jestliže ∀ ε > 0 ∃ n0 ∈ N ∀n ≥ n0 , n ∈ N : |an − A| < ε. Značíme limn→∞ an = A, lim an = A nebo an → A. Poznámka. Pro posloupnost {an } jsou následující výroky ekvivalentní: (i) lim an = A, (ii) ∀ ε > 0
∃ n0 ∈ N
∀n > n0 , n ∈ N :
|an − A| < ε,
(iii) ∀ ε > 0
∃ n0 ∈ N
∀n ≥ n0 , n ∈ N :
|an − A| ≤ ε,
(iv) ∃ε0 > 0 ∀ ε ∈ (0, ε0 ) ∃ n0 ∈ N (v) ∀ ε > 0 :
∀n ≥ n0 , n ∈ N :
|an − A| < ε,
{n ∈ N; an 6∈ (A − ε, A + ε)} je konečná.
Následující tvrzení ukazuje důležitý a užitečný fakt, že v definici limity můžeme |an − A| < ε nahradit například |an − A| < 2ε nebo |an − A| < Kε, kde K je nějaká konstanta. Tvrzení 4.4. Nechť K > 0, nechť {an } je posloupnost, nechť A ∈ R a platí ∀ε>0
∃ n0 ∈ N
∀n ≥ n0 , n ∈ N :
|an − A| < Kε.
Potom lim an = A.
n→∞
Důkaz. Implikace „⇒ÿ se ověří snadno volbou K = 1. Opačně pro zadané ε > 0 zvolme ε0 = n0 : |an − A| < Kε0 = ε.
ε K.
Pak ∃ n0 ∈ N ∀n ≥
Definice 4.5. Jestliže existuje A ∈ R tak, že limn→∞ an = A, pak říkáme, že posloupnost {an } má vlastní limitu nebo že konverguje (je konvergentní). V opačném případě říkáme, že posloupnost diverguje. Poznámka. Není-li posloupnost definována pro konečně mnoho indexů n ∈ N, při vyšetřování limity ji dodefinujeme jakkoliv a zkoumáme existenci limity pro tuto novou posloupnost. Příklady. 15
(1) limn→∞ (2) limn→∞ (3) limn→∞
1 n
= 0; √ √ n + 1 − n = 0; √ n n = 1;
(4) vlastní limita {(−1)n } a {2n } neexistuje. Věta 4.6 (O jednoznačnosti limity posloupnosti). Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Důkaz. Nechť limn→∞ an = A a limn→∞ an = B, BÚNO A < B. Zvolme B−A = ε. Pak ∃ n1 , n1 ∈ N ∀n ≥ n1 : 2 |an − A| < ε & ∀n ≥ n2 : |an − B| < ε. Potom pro n ≥ max{n1 , n2 } platí an < a + ε = b − ε < an , spor. Věta 4.7 (O omezenosti konvergentní posloupnosti). Každá konvergentní posloupnost je omezená. Důkaz. Nechť limn→∞ an = A. Pro ε = 1 najdeme n0 tak, že pro ∀n ≥ n0 platí an ∈ (A − 1, A + 1). Zvolme C = max{|a1 |, . . . , |an0 −1 |, |A + 1|, |A − 1|}. Pak |an | ≤ C. Definice 4.8. Nechť {an }n∈N je posloupnost reálných čísel. Řekneme, že posloupnost {bk }k∈N je vybraná z posloupnosti {an }n∈N neboli, že posloupnost {bk }k∈N je podposloupnost posloupnosti {an }n∈N , jestliže existuje rostoucí posloupnost přirozených čísel {nk } taková, že bk = ank pro všechna k ∈ N. Věta 4.9 (O limitě vybrané posloupnosti). Nechť {an }n∈N je posloupnost reálných čísel a nechť limn→∞ an = A. Nechť posloupnost {bk }k∈N je vybraná z posloupnosti {an }n∈N . Pak limk→∞ bk = A. Důkaz. Nechť {nk }k∈N je posloupnost indexů, že bk = ank . Pro dané ε > 0 existuje n0 ∈ N, že pro n ≥ n0 platí |an − A| < ε. Najděme k0 , že nk0 ≥ n0 , pak k ≥ k0 dostaneme nk ≥ nk0 a |bk − A| = |ank − A| < ε. Věta 4.10 (Aritmetika limit). Nechť {an }n∈N a {bn }n∈N jsou dvě posloupnosti reálných čísel a nechť limn→∞ an = A ∈ R a limn→∞ bn = B ∈ R. Pak platí: (a) limn→∞ (an + bn ) = A + B, (b) limn→∞ (an · bn ) = A · B, (c) je-li B 6= 0, pak limn→∞
an bn
=
A B.
Důkaz. Pro dané ε > 0 ∃ n1 , n1 ∈ N ∀n ≥ n1 : |an − A| < ε & ∀n ≥ n2 : |bn − B| < ε. Zvolme navíc C > 0, že ∀n ∈ N |an | ≤ C. (a) Pro n ≥ max{n1 , n2 } máme |(an + bn ) − (A + B)| ≤ |an − A| + |bn − B| < 2ε. (b) Zvolme ε0 > 0 tak, že ε0 (C + |B|) < ε. Pak pro ε0 najdeme n1 a n2 jako výše. Pro n ≥ max n1 , n2 platí |an bn −AB| = |an bn −an B+an B−AB| ≤ |an (bn −B)|+|B(an −A)| ≤ |an ||bn −B|+|B||an −A| ≤ Cε0 +|A|ε0 < . 1 B pro B 6= 0. Zvolme |B| |B| − |B| 2 , B + 2 ), tedy |bn | ≥ 2 pro pro n ≥ max{n1 , n2 } a b 6= 0 máme
(c) Stačí dokázat, že limn→∞ n1 ∈ N, že bn ∈ (B pro ∀n ≥ n2 . Nyní
1 bn
=
2 ε0 > 0 tak, že ε0 |B| 2 < ε pro dané ε > 0. Pak najdeme
∀n ≥ n1 . Nyní najdeme n2 ∈ N, že bn ∈ (B − ε0 , B + ε0 )
0 1 − 1 = B − bn < 2ε < ε. bn B bn B |B||B|
Cvičení. • Dokažte, že platí implikace limn→∞ an = A
⇒
limn→∞ |an | = |A|.
• Platí opačná implikace? • Platí opačná implikace ve speciálním případě, kdy A = 0? Věta 4.11 (O limitě a uspořádání). Nechť {an }n∈N a {bn }n∈N jsou dvě posloupnosti reálných čísel a nechť limn→∞ an = A ∈ R a limn→∞ bn = B ∈ R. (a) Jestliže A < B, potom ∃ n0 ∈ N
∀ n ≥ n0 : an < bn . 16
(b) Jestliže ∃ n0 ∈ N
∀ n ≥ n0 : an ≥ bn ,
pak A ≥ B. Důkaz. (a) Zvolme ε = B−A a ∃ n1 , n1 ∈ N ∀n ≥ n1 : |an − A| < ε & ∀n ≥ n2 : |bn − B| < ε. Pak pro n ≥ max{n1 , n2 } 4 máme an < a + ε < b − ε < bn . (b) Nechť A < B, pak dle (a) ∃ n0 ∈ N ∀n ≥ n0 : an < bn , spor.
Poznámka. Z nerovnosti ∃ n0 ∈ N ∀ n ≥ n0 : an > bn obecně neplyne A > B. Příkladem jsou posloupnosti {an } = { n1 }n∈N a {bn } = 0, 0, 0, . . ., pro které platí ∀ n ∈ N : an > bn , ale limn→∞ an = limn→∞ bn = 0. Věta 4.12 (O dvou policajtech). Nechť {an }n∈N , {bn }n∈N a {cn }n∈N jsou tři posloupnosti reálných čísel, splňující (i) ∃ n0 ∈ N
∀n ∈ N, n ≥ n0 : an ≤ cn ≤ bn ,
(ii) limn→∞ an = lim bn = A ∈ R. Pak lim cn = A. Důkaz. Pro dané ε > 0 ∃ n1 , n1 ∈ N ∀n ≥ n1 : |an − A| < ε & ∀n ≥ n2 : |bn − A| < ε. Pak pro n ≥ max{n0 , n1 , n2 } platí A − ε < an ≤ cn ≤ bn < A + ε, tj, cn ∈ (A − ε, A + ε). Příklad. Nechť a ∈ R, a > 0. Pak lim
n→∞
√ n
a = 1.
Věta 4.13 (O limitě součinu omezené a mizející posloupnosti). Nechť {an }n∈N a {bn }n∈N jsou dvě posloupnosti reálných čísel, nechť limn→∞ an = 0 a {bn } je omezená. Pak lim (an · bn ) = 0.
n→∞
Důkaz. Buď C > 0, |bn | ≤ C pro ∀n ∈ N. Pro dané ε > 0 najděme n0 tak, že |an − 0| < |an bn − 0| = |an ||bn | < ε.
4.3
Nevlastní limita posloupnosti
Definice 4.14. Řekneme, že posloupnost {an } má limitu +∞, jestliže ∀K∈R
∃ n0 ∈ N
∀n ≥ n0 , n ∈ N :
an ≥ K.
Obdobně řekneme, že posloupnost {an } má limitu −∞, jestliže ∀K∈R
∃ n0 ∈ N
∀n ≥ n0 , n ∈ N :
an ≤ K.
Jestliže má posloupnost limitu +∞ nebo −∞, pak říkáme, že má nevlastní limitu. Příklady. lim n2 = +∞,
n→∞
lim −(n + 1)n = −∞.
n→∞
17
ε C
pro n ≥ n0 . Potom
Poznámka. Všechny možné situace jsou znázorněny na následujícím diagramu: neexistuje vlastní existuje nevlastní
limita posloupnosti
(
+∞ −∞
Definice 4.15. Množinu R∗ := R ∪ {+∞, −∞} nazýváme rozšířenou reálnou osou. Na množině R∗ je definováno uspořádání předpisem ∀a∈R:
−∞ < a < +∞,
absolutní hodnota předpisem | ± ∞| = +∞ a operace + a · předpisy ∀ a ∈ R∗ \ {+∞} :
− ∞ + a = −∞,
∀ a ∈ R∗ \ {−∞} :
∞ + a = ∞,
∀ a ∈ R∗ , a > 0 :
a · (±∞) = ±∞,
∗
a · (±∞) = ∓∞, a = 0. ±∞
∀a∈R , a<0: ∀a∈R: Následující výrazy nejsou definovány: −∞ + ∞,
0 · (±∞) ,
±∞ , ±∞
cokoli . 0
Nyní se budeme zabývat platností vět v této kapitole v případě, že připustíme nevlastní limity. Poznámka 4.16. Věty 4.6, 4.9, 4.11 a 4.12 platí v nezměněné podobě, jestliže připustíme nevlastní limity. Věta 4.7 zřejmě neplatí, neboť je-li limn→∞ an = ∞ nebo limn→∞ an = −∞, pak posloupnost {an } není omezená. Větu 4.10 pro rozšířenou reálnou osu uvedeme zvlášť. Věta 4.17 (Aritmetika limit pro nevlastní limity). Nechť {an }n∈N a {bn }n∈N jsou dvě posloupnosti reálných čísel a nechť limn→∞ an = A ∈ R∗ a limn→∞ bn = B ∈ R∗ . Pak platí: (a) limn→∞ (an + bn ) = A + B, pokud je výraz A + B definován; (b) limn→∞ (an · bn ) = A · B, pokud je výraz A · B definován; (c) je-li B 6= 0, pak limn→∞
an bn
=
A B,
pokud je výraz
A B
definován.
Důkaz. (a) Nechť limn→∞ an = ∞, limn→∞ bn = B ∈ R. Pro libovolné K najdeme n1 , že pro ∀n ≥ n1 je bn ∈ (B−K, B+K) a n2 tak, že pro ∀n ≥ n2 je an > 2K − B. Pak pro n ≥ max{n1 , n2 } platí an + bn > 2K − B + B − K = K. (b) Nechť limn→∞ an = ∞, limn→∞ bn = −∞. Pro libovolné K < 0 najdeme n1 (resp. n2 ), že pro ∀n ≥ n1 (resp. n2 ) je an > 1 (resp. bn < K). Pro n ≥ max{n1 , n2 } platí an bn < an K < K. (c) Nechť limn→∞ an = A ∈ R, limn→∞ bn = ∞. Zvolme pro dané ε > 0 n1 ∈ N (resp. n2 ∈ N), že pro n ≥ n1 (resp. n ≥ n2 ) platí an ∈ (A − 1, A + 1) (resp. bn > |A+1| ε ). Pak pro n ≥ max{n1 , n2 } platí an an |A + 1| bn − 0 = bn < |A+1| ≤ ε ε
.
18
Příklady. Předpoklad definovanosti výrazů na pravé straně ve Větě 4.17 nelze vynechat, jak ilustrují následující příklady. • Nechť K ∈ R je libovolné reálné číslo, nechť an = n a bn = n + K. Pak lim an = ∞,
n→∞
lim bn = ∞ a
n→∞
lim (an − bn ) = K.
n→∞
To ale není možno vyvodit z Věty 4.17, neboť limn→∞ an − limn→∞ bn = ∞ − ∞, což není definovaný pojem. • Nechť an =
(−1)n n .
Pak limn→∞ an = 0, ale limn→∞
1 an
neexistuje ani nevlastní.
Rozšířená reálná osa nám umožní rozšířit pojem suprema a infima pro neomezené množiny a také pro prázdnou množinu. Definice 4.18. • Nechť A ⊂ R je shora neomezená. Pak klademe sup A := +∞. • Nechť A ⊂ R je zdola neomezená. Pak klademe inf A := −∞. • Nechť A = ∅. Pak klademe sup A := −∞ a inf A := +∞. Poznámka. Prázdná množina je jediná množina, jejíž supremum je menší než infimum. Věta 4.19 (O limitě podílu kladné a mizející posloupnost). Nechť {an }n∈N a {bn }n∈N jsou dvě posloupnosti reálných čísel, nechť limn→∞ an = A ∈ R∗ , A > 0, a nechť limn→∞ bn = 0. Nechť ∃ n0 ∈ N
∀ n ≥ n0 , n ∈ N :
Pak lim
n→∞
Důkaz. Dle věty 4.17 stačí ukázat limn→∞ Pro n ≥ max{n0 , n1 } platí b1n > K.
4.4
1 bn
bn > 0.
an = +∞. bn
= ∞. Pro dané K > 0 najdeme n1 ∈ N, že pro ∀n ≥ n1 je |bn | <
1 K.
Monotónní posloupnosti a hlubší věty o posloupnostech
Věta 4.20 (O limitě monotónní posloupnosti). Každá monotónní posloupnost má limitu. Důkaz. Nechť {an }n∈N je neklesající, položme a = sup{an ; n ∈ N}. Ukažme, že limn→∞ an = a. (a) a ∈ R. Pro každé ε > 0 najdeme n0 ∈ N tak, že an0 > a − ε a pro n ≥ n0 máme a − ε < an0 ≤ an ≤ a. (b) a = ∞. Dáno K ∈ R, najdeme n0 ∈ N tak, že an0 > K. Pak pro n ≥ n0 platí K < an0 ≤ an . Obdobně se ukáže pro {an }n∈N nerostoucí. Poznámka. Je-li posloupnost neklesající (nerostoucí) a navíc shora (zdola) omezená, pak má vlastní limitu. Je-li posloupnost neklesající (nerostoucí) a navíc shora (zdola) neomezená, pak má limitu +∞ (−∞). Definice 4.21. Nechť {an }n∈N je posloupnost reálných čísel. Pak definujeme ( limn→∞ sup{ak ; k ≥ n}, jestliže je an shora omezená lim sup an := ∞, jestliže je an shora neomezená. Tuto hodnotu nazýváme limes superior posloupnosti {an }n∈N . Obdobně definujeme limes inferior posloupnosti {an }n∈N předpisem ( limn→∞ inf{ak ; k ≥ n}, jestliže je an zdola omezená lim inf an := −∞, jestliže je an zdola neomezená. Poznámka. 19
• Je-li {an } omezená, pak posloupnost bn = sup{ak ; k ≥ n}, n ∈ N, je zřejmě nerostoucí a podobně posloupnost cn = inf{ak ; k ≥ n} je neklesající. Z Věty 4.20 tedy vyplývá, že obě mají limitu. Navíc cn ≤ an ≤ bn ,
n ∈ N.
Tedy lim inf an ≤ lim sup an . • Rovnost lim inf an ≤ lim sup an platí i pro obecné posloupnosti. • Je-li lim sup an = ∞, pak {an } je shora neomezená. Poznámka. Limes superior a limes inferior jsou dobře definované hodnoty a platí lim sup an ∈ R∗ ,
lim inf an ∈ R∗ .
Na rozdíl od limity, která nemusí existovat, tyto dvě hodnoty existují pro libovolnou posloupnost reálných čísel. Cvičení. Nechť an = (−1)n , n ∈ N. Pak lim sup an = 1 a lim inf an = −1. Věta 4.22 (O vztahu limity, limes superior a limes inferior). Nechť {an }n∈N je posloupnost reálných čísel a A ∈ R∗ . Potom lim an = A právě tehdy, když lim sup an = lim inf an = A. Důkaz. Nechť bn = sup{ak ; k ≥ n} a cn = inf{ak ; k ≥ n}, n ∈ N. Ukažme implikaci (ii)⇒(i). (a) A = ∞. Pak {an } je zdola omezená a platí cn ≤ an , tedy limn→∞ an = ∞ z věty 4.12. (b) A = −∞. Pak {an } je shora omezená a platí an ≤ bn , tedy limn→∞ an = −∞ z věty 4.12. (c) A ∈ R. Pak {an } je omezená a platí cn ≤ an ≤ bn , tedy limn→∞ an = A z věty 4.12. Implikace (i)⇒(ii) (a) A = ∞. Pak {an } není shora omezená, tedy lim sup an = ∞. Pro K > 0 najdeme n0 tak, že an > K pro ∀n ≥ n0 . Pak cn = inf{ak ; k > n} ≥ K pro n ≥ n0 . Tedy lim inf an = ∞. (b) A = −∞. Analogicky. (c) A ∈ R. Dáno ε > 0, zvolme n0 ∈ N tak, že an ∈ (A−ε, A+ε) pro ∀n ≥ n0 . Pak platí A−ε ≤ cn ≤ an ≤ bn ≤ A+ε a lim inf an = lim sup an = A.
Poznámka 4.23. Nechť {an }n∈N a {bn }n∈N jsou dvě posloupnosti reálných čísel. Potom lim inf an + lim inf bn ≤ lim inf(an + bn ) ≤ lim sup(an + bn ) ≤ lim sup an + lim sup bn , pokud mají výrazy smysl. Definice 4.24. Nechť {an }n∈N je posloupnost reálných čísel. Pak A ∈ R∗ nazveme hromadnou hodnotou posloupnosti {an }, jestliže existuje vybraná posloupnost {ank }k∈N taková, že limk→∞ ank = A. Množinu všech hromadných hodnot značíme H({an }). Věta 4.25 (O vztahu limes superior, limes inferior a hromadných hodnot). Nechť {an }n∈N je posloupnost reálných čísel. Potom H({an }) 6= ∅, lim sup an = max H({an }) a lim inf an = min H({an }) (maximum a minimum se uvažuje v R∗ ). Důkaz. (a) {an } je shora neomezená, pak lim sup an = ∞ ∈ H({an }). (b) {an } je zdola neomezená, pak lim inf an = ∞ ∈ H({an }). (c) {an } je shora omezená, pak lim sup an ∈ H({an }). 20
(d) {an } je zdola omezená, pak lim inf an ∈ H({an }). (e) momentálně se mi to nechce celé psát. . .
Cvičení. • Je-li lim an = A, pak H({an }) = {A}. • Pro an = (−1)n je H({an }) = {−1, 1}. • Pro an = sin n je H({an }) = [−1, 1] (možná bude na prosemináři). Věta 4.26 (Bolzanova–Weierstrassova). Z každé omezené posloupnosti lze vybrat konvergentní podposloupnost. Důkaz. Platí −∞ < lim inf an ≤ lim sup an < ∞. Protože lim sup an ∈ H({an }) dle věty 4.25 jsme hotovi. Věta 4.27 (Bolzanova–Cauchyova podmínka). Posloupnost {an } má vlastní limitu právě když splňuje Bolzanovu– Cauchyovu podmínku, tj. ∀ε>0
∃ n0 ∈ N
∀ m, n ∈ N, n ≥ n0 , m ≥ n0 :
|an − am | < ε.
Důkaz. „⇒ÿ Buď limn→∞ an = A ∈ R. Pro dané ε zvolmen0 ∈ N tak, že |an − A| < ∀m, n ≥ n0 platí |an − am | = |an − A + A − am | ≤ |an − A| + |am − A| ≤ ε. „⇐ÿ Ať {an } splňuje BC podmínku.
ε 2
pro ∀n ≥ n0 . Pak pro
(a) {an } je omezená. Najdeme n0 ∈ N, že pro ∀m, n ≥ n0 platí |an − am | < 1, pak C = max{|a1 |, . . . , |an0 |, |an0 | + 1} splňuje |an | ≤ C pro n ∈ N. (b) Ať {ank } je podposloupnost konvergující k A ∈ R (Bolzanova–Wierstrassova. (c) limn→∞ an = A. Dáno ε > 0, hledáme n0 ∈ N, že |an − A| < ε pro ∀n ≥ n0 . • Najdeme n1 ∈ N, že |an − am | < ε pro ∀n, m ≥ n1 . • Najdeme k1 ∈ N, že |ank − a| < ε pto ∀k ≥ k1 . • Najdeme k2 ≥ k2 , že nk2 ≥ n1 . Pak pro n ≥ n0 = nk2 platí |an − A| = |an − ank2 + ank2 − A| ≤ |an − ank2 | + |ank2 − A| < ε + ε = 2ε.
Problémy 4.28. • Rozhodněte o platnosti tvrzení: Je-li {an } konvergentní, pak existuje max{an ; n ∈ N} nebo min{an ; n ∈ N}. • Nechť {an } je posloupnost kladných čísel konvergující k 0. Dokažte, že existuje vybraná klesající podposloupnost. • Nechť dvě ze tří posloupností {an }, {bn } a {an + bn } konvergují. Ukažte, že i zbývající konverguje. • Sestrojte posloupnost kladných čísel {an } tak, že lim an = 0 a posloupnost {an+k }∞ n=1 není monotónní pro každé k ∈ N. • Nechť lim an = a, a ∈ R∗ a f : N → N je prosté. Ukažte, že lim af (n) = a. • Sestrojte konvergentní posloupnost {an } tak, že pro každé ε ∈ (0, ∞) existuje k ∈ N splňující |a2 − a1 | + |a3 − a2 | + · · · + |ak − ak−1 | > ε. • Najděte kladná čísla an,k , n, k ∈ N, tak, že lim an,k = 0,
k ∈ N,
lim an,k = 1,
n ∈ N.
n→∞ k→∞
21
5
Řady reálných čísel
5.1
Úvod
Definice 5.1. Nechť {an }n∈N je posloupnost reálných čísel. Číslo sm = a1 + a2 + · · · + am P∞ P∞ nazýváme m-tým částečným součtem řady n=1 an . Součtem nekonečné řady n=1 an nazýváme P∞limitu posloupnosti {sm }m∈N , pokud tato limita existuje. Tuto limitu (tj. součet řady) budeme značit symbolem n=1 an . Píšeme ∞ X
an = lim sm . m→∞
n=1
P∞ Jestliže existuje limm→∞ sm vlastní (tj. jestliže má řada n=1 an konečný součet), pak říkáme, že řada konverguje, neboli je konvergentní. Jestliže limita neexistuje nebo existuje, ale je nevlastní, pak říkáme, že řada diverguje, neboli je divergentní. Cvičení 5.2. P∞ • Řada n=1 (−1)n diverguje, neboť posloupnost částečných součtů splňuje s1 = −1,
s2 = 0,
s3 = −1,
...,
a tedy limm→∞ sm neexistuje. P∞ • Řada n=1 q n−1 konverguje právě když |q| < 1. • Řada
P∞
1 n=1 n2
konverguje a jejím součtem je číslo
π2 6 .
P∞ • Řadu n=1 n1 nazýváme harmonickou řadou. Harmonická řada diverguje, neboť pro každé m ∈ N jest sm = 1 , a tedy 1 + 12 + 31 + · · · + m s2m − sm =
1 1 1 1 1 + + ··· + ≥m = , m+1 m+2 2m 2m 2
m ∈ N,
takže posloupnost částečných součtů harmonické řady nesplňuje Bolzanovu–Cauchyovu podmínku, a tedy podle Věty 4.27 nemá vlastní limitu.
Poznámka. P Konvergence řady nezávisí na konečně mnoha členech. Přesněji, následující podmínky jsou ekvivalentní pro řadu an : P∞ (i) n=1 an konverguje; P∞ (ii) existuje k ∈ N, že n=k an konverguje; P∞ (iii) pro každé k ∈ N řada n=k an konverguje. P∞ Věta 5.3 (Nutná podmínka konvergence). Je-li n=1 an konvergentní, pak limn→∞ an = 0. Poznámka. Nutná podmínka z Věty 5.3 sama o sobě není postačující pro konvergenci řady. Protipříkladem je harmonická řada, případně další řady jako například ∞ X 1 √ , n n=1
∞ X
1 log n n=2
a podobně. Tyto řady sice divergují, ale limita obecného členu an je ve všech případech rovna nule. Věta 5.4 (Linearita množiny konvergentních řad). 22
(a) Nechť α ∈ R \ {0}. Potom ∞ X
an
∞ X
⇔
konverguje
n=1
Pokud
P∞
n=1
α · an
konverguje.
n=1
an konverguje a α ∈ R, pak
P∞
n=1
αan = α
P∞
n=1
an .
P∞ P∞ P∞ P∞ (b) Nechť an a n=1 bn konvergují. Pak konverguje také řada n=1 (an + bn ) a platí n=1 (an + bn ) = P∞ řady Pn=1 ∞ n=1 an + n=1 bn . P∞ Poznámka 5.5. Nechť n=1 an je řada s nezápornými členy. Pak je buď konvergentní nebo má součet +∞. To plyne ihned z toho, že pro řadu s nezápornými členy je posloupnost částečných součtů neklesající. P∞ P∞ Věta 5.6 (Srovnávací kritérium pro konvergenci řad). Nechť n=1 an a n=1 bn jsou dvě řady s nezápornými členy. Nechť existuje n0 ∈ N takové, že pro všechna n ∈ N, n ≥ n0 platí an ≤ bn . Potom P∞ P∞ (a) n=1 bn konverguje, pak n=1 an konverguje, (b)
P∞
n=1
an diverguje, pak
P∞
n=1 bn
diverguje.
Věta 5.7 (Limitní srovnávací kritérium pro konvergenci řad). Nechť členy. Nechť an lim = K ∈ R∗ . bn
P∞
n=1
an a
P∞
n=1 bn
jsou dvě řady s nezápornými
(a) Jestliže K ∈ (0, ∞), pak ∞ X
an
⇔
konverguje
n=1
∞ X
bn
konverguje.
an
konverguje.
bn
konverguje.
n=1
(b) Jestliže K = 0, pak ∞ X
bn
⇒
konverguje
∞ X n=1
n=1
(c) Jestliže K = ∞, pak ∞ X
an
⇒
konverguje
n=1
∞ X n=1
P∞ Definice 5.8. Nechť {an }n∈N je posloupnost čísel a nechť řadaP n=1 |an | konverguje. Pak říkáme, že řada P∞ Preálných ∞ ∞ an konverguje absolutně. Jestliže řada n=1 an konverguje a řada n=1 |an | nekonverguje, pak říkáme, že řada Pn=1 ∞ n=1 an konverguje neabsolutně. Příklad 5.9. • Řada
P∞
(−1)n n
konverguje neabsolutně.
• Řada
P∞
(−1)n n2
konverguje absolutně.
n=1
n=1
Věta 5.10 (Bolzanova–Cauchyova podmínka pro řady). Řada ∀ε>0
∃ n0 ∈ N
P∞
n=1
an konverguje právě tehdy, když
∀ m, n ∈ N, m ≥ n ≥ n0 :
m X a k < ε. k=n
Věta 5.11 (Vztah absolutní konvergence a konvergence). Absolutně konvergentní řada je konvergentní. P P Problém 5.12. Dokažte, že an je absolutně konvergentní právě tehdy, když je řada an bn absolutně konvergentní pro každou omezenou posloupnost {bn }. 23
5.2
Kritéria konvergence řad
Věta 5.13 (Cauchyovo odmocninové kritérium). Nechť
P∞
n=1
an je řada.
(a) Jestliže platí ∃ q ∈ (0, 1) pak
∃ n0 ∈ N
∀ n ∈ N, n ≥ n0 :
p n
|an | ≤ q,
P∞
an konverguje absolutně; p P∞ (b) jestliže lim sup n |an | < 1, pak n=1 an konverguje absolutně; p P∞ (c) jestliže lim n |an | < 1, pak n=1 an konverguje absolutně; p P∞ (d) jestliže lim sup n |an | > 1, pak {an } nekonverguje k 0, a proto n=1 an diverguje; p P∞ (e) jestliže limn→∞ n |an | > 1, pak {an } nekonverguje k 0, a tedy n=1 an diverguje. p P∞ je harmonická Poznámka. Je-li limn→∞ n |an | = 1, pak o konvergenci řady n=1 an nelze rozhodnout. Příkladem p P∞ 1 řada a řada n=1 n2 ; první z nich diverguje a druhá konverguje, avšak obě splňují limn→∞ n |an | = 1. P∞ Věta 5.14 (d’Alembertovo podílové kritérium). Nechť n=1 an je řada. n=1
(a) Jestliže platí ∃ q ∈ (0, 1) pak
P∞
n=1
∃ n0 ∈ N
∀ n ∈ N, n ≥ n0 :
|an+1 | ≤ q, |an |
an konverguje absolutně;
| (b) jestliže lim sup |a|an+1 < 1, pak n|
P∞
n=1
P∞
an konverguje absolutně;
(c) jestliže limn→∞
|an+1 | |an |
< 1, pak
(d) jestliže limn→∞
|an+1 | |an |
> 1, pak {an } nekonverguje k 0, a tedy
n=1
an konverguje absolutně; P∞
n=1
an diverguje.
Poznámky. • Je-li limn→∞ Větě 5.13).
an+1 an
= 1, pak o konvergenci řady
• Je-li pouze lim supn→∞
an+1 an
P∞
> 1, pak o konvergenci 1+
která konverguje, ale lim supn→∞
an+1 an
∞ X
an
P∞
n=1
P∞
1 n=1 nα
an nelze rozhodnout; příkladem je řada
= 2. P∞
n=1
∃ n0 ∈ N
∀ n ≥ n0 :
konverguje
⇔
an je řada s nezápornými členy. Nechť an+1 ≤ an . ∞ X
n=1
Věta 5.16 (Konvergence řad
an nelze rozhodnout (protipříklady jako v poznámce po
1 1 1 1 + + + + ..., 4 2 16 8
Věta 5.15 (Cauchyovo kondenzační kritérium). Nechť
Potom
n=1
n=1
a
P∞
1 n=1 n(log n)α ).
(a) Řada ∞ X 1 α n n=1
konverguje právě tehdy, když α > 1. 24
2n a2n
konverguje.
(b) Řada ∞ X
1 n(log n)α n=2 konverguje právě tehdy, když α > 1. Poznámka. Obecnou mocninu a logaritmus definujeme později. P∞ Věta 5.17 (Raabeovo kritérium). . Nechť n=1 an je řada s kladnými členy. P∞ n (a) Jestliže limn→∞ n aan+1 − 1 > 1, pak n=1 an konverguje; (b) Jestliže limn→∞ n
an an+1
Poznámka. Je-li limn→∞ n
P∞ − 1 < 1, pak n=1 an diverguje. an an+1
P∞ − 1 = 1, pak o konvergenci řady n=1 an nelze rozhodnout (protipříklady jako
v poznámce po Větě 5.13). Věta 5.18 (Leibnizovo kritérium). Nechť {bn }n∈N je nerostoucí posloupnost nezáporných čísel. Pak řada P ∞ n n=1 (−1) bn konverguje právě když limn→∞ bn = 0. P Problém 5.19. an je konvergentní řada kladných čísel. Najděte posloupnost {bn } kladných čísel tak, že P Nechť an lim bn = 0 a bn konverguje.
25
6
Reálné funkce jedné reálné proměnné
6.1
Základní definice
Definice 6.1. Reálnou funkcí jedné reálné proměnné rozumíme zobrazení f : M → R, kde M ⊂ R. • Řekneme, že funkce f : M → R je rostoucí
jestliže
∀ x, y ∈ M, x > y :
f (x) > f (y),
klesající
jestliže
∀ x, y ∈ M, x > y :
f (x) < f (y),
nerostoucí neklesající
jestliže jestliže
∀ x, y ∈ M, x > y : ∀ x, y ∈ M, x > y :
f (x) ≤ f (y), f (x) ≥ f (y).
• Řekneme, že funkce f : M → R je sudá
jestliže
∀x∈M :
−x ∈ M & f (x) = f (−x),
lichá
jestliže
∀x∈M :
−x ∈ M & f (x) = −f (−x),
periodická s periodou p > 0
jestliže
∀x∈M :
x − p ∈ M, x + p ∈ M &
f (x) = f (x + p) = f (x − p). • Řekneme, že funkce f : M → R je shora omezená
jestliže
∃K∈R
∀x∈M :
f (x) ≤ K,
zdola omezená
jestliže
∃K∈R
∀x∈M :
f (x) ≥ K,
omezená
jestliže
∃K∈R
∀x∈M :
|f (x)| ≤ K.
Definice 6.2. Nechť a ∈ R a δ > 0. Pak definujeme
pravé prstencové (redukované) okolí bodu a
P δ (a) := (a − δ, a + δ) \ {a}, 1 P δ (∞) := ( , +∞), δ 1 δ P (−∞) := (−∞, − ), δ δ P+ (a) := (a, a + δ),
levé prstencové (redukované) okolí bodu a
δ P− (a) := (a − δ, a),
okolí bodu a
U δ (a) := (a − δ, a + δ),
okolí bodu + ∞
U δ (+∞) := P δ (+∞),
okolí bodu − ∞
U δ (−∞) := P δ (−∞),
pravé okolí bodu a
δ U+ (a) := [a, a + δ),
levé okolí bodu a
δ U+ (a) := (a − δ, a].
prstencové (redukované) okolí bodu a prstencové (redukované) okolí bodu + ∞ prstencové (redukované) okolí bodu − ∞
Poznámka. Každé okolí bodu +∞ je automaticky levé a prstencové. Obdobně, každé okolí bodu −∞ je automaticky pravé a prstencové. Definice 6.3. Nechť f : M → R, M ⊂ R. Řekneme, že f má v bodě a ∈ R∗ limitu rovnou A ∈ R∗ , jestliže platí ∀ε>0
∃δ>0
∀x ∈ P δ (a) :
f (x) ∈ U ε (A).
V takovém případě píšeme lim f (x) = A.
x→a
Poznámky. • Z definice limity implicitně vyplývá, že f musí být definovaná alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu a. 26
• Reformulace limx→a f (x) = A je ekvivalentní s výrokem ∀ ε > 0 ∃ δ : f (P δ (a)) ⊂ U ε (A). • Bod a nemusí být prvkem M , ale nějaké jeho prstencové okolí musí být podmnožinou M . Například je-li funkce f definovaná na (0, 1) ∪ (1, 2), pak má smysl definovat její limitu v bodě a = 1 ∈ / M. • Bod a může také být roven ∞ nebo −∞; v takovém případě je nezbytné, aby byla funkce f definovaná na nějakém okolí tohoto bodu. • V bodě a může a nemusí být funkce f definovaná. Je-li v něm definovaná, pak hodnota limity v tomto bodě na této konkrétní hodnotě nezáleží. • Mohou nastat tyto situace: Všechny možné situace jsou znázorněny na následujícím diagramu: neexistuje vlastní A ∈ R ( existuje +∞ nevlastní A = −∞
lim f (x)
x→a
Limita může být definována buď ve vlastním bodě a ∈ R nebo v nevlastním bodě (a = ±∞). • Je-li a ∈ R a A ∈ R, pak lim f (x) = A
x→a
⇔
∀ε>0
∃δ>0
∀x ∈ (a − δ, a + δ) \ {a} : f (x) ∈ (A − ε, A + ε).
Je-li a ∈ R a A = ∞, pak lim f (x) = A
x→a
⇔
∀K∈R
∃δ>0
∀x ∈ (a − δ, a + δ) \ {a} : f (x) > K.
Definice 6.4. Nechť f : M → R, M ⊂ R, a ∈ R∗ \ {∞}. Řekneme, že f má v bodě a limitu zprava rovnou A ∈ R∗ , jestliže platí δ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ P+ (a) : f (x) ∈ U ε (A). V takovém případě píšeme lim f (x) = A.
x→a+
Analogicky definujeme limitu zleva. Poznámka. Je-li a ∈ R a A ∈ R∗ , pak lim f (x) = A
x→a
⇔
lim f (x) = A
x→a+
&
lim f (x) = A.
x→a−
Příklady. • Nechť f (x) = x, x ∈ R. Pak pro každé a ∈ R jest limx→a f (x) = a. • Nechť f je konstantní funkce na jistém prstencovém okolí bodu a ∈ R∗ , tj. ∃δ>0
∃c ∈ R
∀x ∈ P δ (a) :
f (x) = c.
Pak limx→a f (x) = c. • Nechť funkce sign je definována předpisem −1 sign x = 0 1
pokud x < 0, pokud x = 0, pokud x > 0.
Pak limx→0 sign x neexistuje neboť limx→0+ sign x = 1 a limx→0− sign x = −1. 27
• Dirichletova funkce je definovaná předpisem ( 1 D(x) = 0
pokud x ∈ Q, pokud x ∈ / Q.
Tato funkce nemá v žádném bodě a ∈ R limitu (ani jednostrannou). • Riemannova funkce je definovaná předpisem ( 1 pokud x ∈ Q, x = pq , p ∈ Z, q ∈ N, p, q nesoudělná, R(x) = q 0 pokud x ∈ / Q. Tato funkce má v každém bodě x ∈ R limitu rovnou 0. • Platí
sin x = 1, x→0 x lim
ex − 1 = 1. x→0 x lim
(Důkaz bude později.)
Definice 6.5. Nechť f : M → R, M ⊂ R, a ∈ M . Řekneme, že f je spojitá v bodě a, jestliže lim f (x) = f (a).
x→a
Poznámka. Funkce f je spojitá v bodě a právě když platí ∀ε>0
∀x ∈ U δ (a) :
∃δ>0
f (x) ∈ U ε (f (a)).
Povšimněte si důležitého rozdílu oproti definici limity: okolí bodu a není prstencové. Promyslete si tento fakt. Definice 6.6. Nechť f : M → R, M ⊂ R, a ∈ M . Řekneme, že f je spojitá zprava v bodě a, jestliže lim f (x) = f (a).
x→a+
Obdobně řekneme, že f je spojitá zleva v bodě a, jestliže lim f (x) = f (a).
x→a−
6.2
Věty o limitách.
Věta 6.7 (Heineova). Nechť a ∈ R∗ , A ∈ R∗ a nechť funkce f : M → R, M ⊂ R, je definována na nějakém prstencovém okolí bodu a. Potom jsou následující dva výroky ekvivalentní: (i) lim f (x) = A;
x→a
(ii) Pro každou posloupnost {xn }n∈N , splňující xn ∈ M , ∀n ∈ N : xn 6= a a limn→∞ xn = a platí limn→∞ f (xn ) = A. Důsledek 6.8 (Heineova věta pro spojitost). Nechť a ∈ R a nechť funkce f : M → R, M ⊂ R, je definována na nějakém okolí bodu a. Pak f je spojitá v bodě a právě tehdy, když pro každou posloupnost {xn }n∈N , splňující xn ∈ M a limn→∞ xn = a, platí limn→∞ f (xn ) = f (a). Poznámka. Předcházející věty 6.7 a 6.8 platí i pro jednostranné limity. Příklad. lim sin
x→0+
1 x
neexistuje.
Věta 6.9 (O jednoznačnosti limity funkce). Každá funkce má v kterémkoli bodě nejvýše jednu limitu. Věta 6.10 (O vztahu limity a omezenosti funkce). Nechť funkce f má v bodě a vlastní limitu. Potom existuje δ > 0 takové, že funkce f je na P δ (a) omezená. 28
Věta 6.11 (O aritmetice limit). Nechť a ∈ R∗ , limx→a f (x) = A ∈ R∗ a limx→a g(x) = B ∈ R∗ . Pak (a) limx→a (f (x) + g(x)) = A + B, pokud je výraz A + B definován; (b) limx→a f (x)g(x) = AB, pokud je výraz AB definován; (c) limx→a
f (x) g(x)
=
A B,
pokud je výraz
A B
definován.
Důsledek 6.12. Jsou-li funkce f, g spojité v bodě a ∈ R, pak také funkce f + g a f g jsou spojité v bodě a. Je-li navíc g(a) 6= 0, pak také funkce fg je spojitá v bodě a. Poznámka. Věta 6.11 a Důsledek 6.12 platí i v jednostranných variantách. Definice 6.13. Nechť n ∈ N a a0 , a1 , . . . an ∈ R, an 6= 0. Potom funkci P (x) := an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ,
x ∈ R,
nazýváme polynomem stupně n. Příklad. Funkce f (x) = x je spojitá v každém bodě a ∈ R. Odtud a z předcházejícího důsledku plyne, že každý polynom je spojitý na celém R. Věta 6.14 (O limitě a uspořádání). (a) Nechť a ∈ R∗ , limx→a f (x) > limx→a g(x). Pak existuje δ > 0 takové, že ∀ x ∈ P δ (a) :
f (x) > g(x).
∀ x ∈ P δ (a) :
f (x) ≤ g(x).
(b) Nechť existuje δ > 0 takové, že Nechť existují limx→a f (x) a limx→a g(x). Pak lim f (x) ≤ lim g(x).
x→a
x→a
(c) (dva policajti pro funkce) Nechť existuje δ > 0 takové, že ∀ x ∈ P δ (a) :
f (x) ≤ g(x) ≤ h(x).
Nechť lim f (x) = lim h(x) = A ∈ R∗ .
x→a
x→a
Pak lim g(x) = A.
x→a
(d) (jeden policajt pro funkce) Nechť existuje δ > 0 takové, že ∀ x ∈ P δ (a) :
f (x) ≤ g(x).
Nechť lim f (x) = ∞.
x→a
Pak lim g(x) = ∞.
x→a
Příklad. limx→0 x · D(x) = 0. Věta 6.15 (O limitě složené funkce). Nechť a ∈ R∗ a nechť funkce f a g splňují lim g(x) = A ∈ R∗ ,
x→a
lim f (y) = B ∈ R∗ .
y→A
Je-li navíc splněna alespoň jedna z podmínek (P1) f je spojitá v A; 29
(P2) ∃ δ > 0
∀ x ∈ P δ (a) :
g(x) 6= A;
pak limx→a f (g(x)) = B. Poznámka. Předcházející věty mají i své jednostranné varianty. Věta 6.16 (O limitě monotónní funkce). Nechť f je monotónní na intervalu (a, b), a, b ∈ R∗ . Potom existují limx→a+ f (x) i limx→b− f (x). Problém 6.17. Nechť y ∈ R. Rozhodněte, zda pro každou dvojici a, b ∈ R existují funkce f, g : R → R tak, že lim f (x) + g(x) = a,
x→y
6.3
lim f (x)g(x) = b.
x→y
Funkce spojité na intervalu
Definice 6.18. Nechť I ⊂ R je interval libovolného typu. Nechť a ∈ I. Řekneme, že a je vnitřním bodem intervalu I, jestliže není krajním bodem intervalu. Množinu všech vnitřních bodů intervalu I značíme Int I. Poznámka. Je-li I otevřený interval, pak je automaticky každý jeho bod vnitřním bodem. Definice 6.19. Nechť I ⊂ R je interval a f je funkce. Řekneme, že f je spojitá na intervalu I, jestliže je spojitá zprava v každém bodě z I, který není koncovým bodem I a spojitá zleva v každém bodě z I, který není počátečním bodem I. Věta 6.20 (Skládání spojitých funkcí). Nechť I, J jsou intervaly, f : I → J a g : J → R jsou spojité funkce. Pak g ◦ f : I → R je spojitá. Věta 6.21 S (Borelova pokrývací). Nechť [a, b] je uzavřený interval a {USi ; i ∈ I} je systém otevřených intervalů splňující [a, b] ⊂ i∈I Ui . Pak existuje konečná množina J ⊂ I tak, že [a, b] ⊂ J⊂I Ui . Věta 6.22 (Darbouxova). Nechť f je spojitá na uzavřeném intervalu [a, b], −∞ < a < b < ∞. Nechť f (a) < f (b) a nechť y ∈ (f (a), f (b)). Pak existuje bod x ∈ (a, b), splňující f (x) = y. Analogické tvrzení platí v případě, kdy f (b) < f (a). Věta 6.23 (Spojitý obraz intervalu). Nechť I je interval libovolného typu a nechť f je spojitá funkce na I. Potom f (I) je opět interval. Definice 6.24. Mějme funkci f : M → R, M ⊂ R, a bod a ∈ M . Řekneme, že funkce f nabývá v bodě a svého maxima na M,
jestliže
∀ x ∈ M : f (x) ≤ f (a),
minima na M,
jestliže
∀ x ∈ M : f (x) ≥ f (a),
ostrého maxima na M,
jestliže
∀ x ∈ M, x 6= a : f (x) < f (a),
ostrého minima na M,
jestliže
∀ x ∈ M, x 6= a : f (x) > f (a).
Řekneme, že f nabývá v bodě a svého lokálního maxima na M , lokálního minima na M , ostrého lokálního maxima na M , respektive ostrého lokálního minima na M ), jestliže existuje δ > 0 takové, že f nabývá na M ∩ U δ (a) svého maxima, minima, ostrého maxima, respektive ostrého minima. Jestliže funkce nabývá v bodě a svého lokálního minima nebo maxima, pak říkáme, že zde nabývá lokálního extrému. Věta 6.25 (Vztah spojitosti a omezenosti). Spojitá funkce na uzavřeném intervalu je na tomto intervalu omezená. Věta 6.26 (Vztah spojitosti a nabývání extrémů). Nechť a, b ∈ R, a < b, a nechť f je spojitá funkce na [a, b]. Potom f nabývá na [a, b] svého maxima i minima. Věta 6.27 (O spojitosti inverzní funkce). Nechť f je spojitá rostoucí (respektive klesající) funkce na intervalu I. Potom inverzní funkce f −1 je také spojitá a rostoucí (respektive klesající) na f (I). Problémy 6.28. • Nechť f : [0, 1] → R je prostá a f ([0, 1]) = [0, 1]. Je funkce f spojitá alespoň v jednom bodě x ∈ [0, 1]? • Rozhodněte, pro která n ∈ N existuje spojitá f : R → R taková, že f −1 (y) je n-prvková pro každé y ∈ R. 30
6.4
Derivace reálné funkce
Definice 6.29. Nechť f je reálná funkce a a ∈ R. Jestliže existuje lim
h→0
f (a + h) − f (a) , h
pak tuto limitu nazýváme derivací funkce f v bodě a. Značíme f 0 (a) := lim
h→0
f (a + h) − f (a) . h
Obdobně definujeme derivaci zprava a derivaci zleva funkce f v bodě a předpisy 0 f+ (a) := lim
h→0+
f (a + h) − f (a) h
a
0 f+ (a) := lim
h→0−
f (a + h) − f (a) . h
Poznámky. • Všechny možné situace jsou znázorněny na následujícím diagramu:
f 0 (a)
neexistuje vlastní ( existuje +∞ nevlastní −∞
• Platí f 0 (a) = A ∈ R∗
0 0 f+ (a) = f− (a) = A.
⇔
• Pro výpočet derivace můžeme použít alternativní vzorec f 0 (a) = lim
x→a
f (x) − f (a) . x−a
Příklad 6.30. (1) Je-li f (x) = xn , x ∈ R, a a ∈ R, pak f 0 (a) = nan−1 . (2) Je-li f (x) = sign x, x ∈ R, pak f 0 (0) = ∞. (3) Je-li f (x) = |x|, x ∈ R, pak f 0 (0) neexistuje. Věta 6.31 (O vztahu derivace a spojitosti). Má-li funkce v bodě vlastní derivaci, pak je v tomto bodě spojitá. Věta 6.32 (Aritmetika derivací). Nechť a ∈ R a nechť f a g jsou funkce definované na nějakém okolí bodu a. Nechť existují f 0 (a) ∈ R∗ a g 0 (a) ∈ R∗ . (a) Platí (f + g)0 (a) = f 0 (a) + g 0 (a), je-li výraz na pravé straně definován. (b) Je-li alespoň jedna z funkcí f , g spojitá v bodě a, pak (f g)0 (a) = f 0 (a)g(a) + f (a)g 0 (a), je-li výraz na pravé straně definován. (c) Je-li funkce g spojitá v bodě a a navíc g(a) 6= 0, pak 0 f f 0 (a)g(a) − f (a)g 0 (a) , (a) = g g(a)2 je-li výraz na pravé straně definován. 31
Poznámka. Předpoklad spojitosti alespoň jedné z funkcí f, g v bodě a nelze z Věty 17 (ii) vynechat, jak ukazuje následující příklad: ( ( − sign x, x 6= 0, sign x, x= 6 0, g(x) := 1 f (x) := 1 −2, x = 0, x = 0. 2, Pak
( −1, (f g)(x) := − 41 ,
x 6= 0, x = 0,
a tedy (f g)0 (0) neexistuje, ale 1 1 f (0)g(0) + g (0)f (0) = (∞) · + (−∞) · − = ∞. 2 2 0
0
Věta 6.33 (O derivaci složené funkce). Nechť f má derivaci v bodě y0 ∈ R, g má derivaci v bodě x0 ∈ R, y0 = g(x0 ) a g je v bodě x0 spojitá. Potom 0
(f ◦ g) (x0 ) = f 0 (y0 )g 0 (x0 ) = f 0 (g(x0 )) g 0 (x0 ), je-li výraz na pravé straně definován. Poznámka. Předpoklad spojitosti funkce g v bodě x0 nelze z Věty 18 vynechat, jak ukazuje následující příklad: ( sign x, x 6= 0, f (y) := |y|, g(x) := 1 x = 0. −2, Pak
( (f g)(x) :=
a tedy (f g)0 (0) neexistuje, ale 1 0 f − = −1, 2
0
g (0) = ∞,
1, 1 2,
x 6= 0, x = 0,
a tedy
f
0
1 − 2
· g 0 (0) = −∞.
Příklady. (sin x)0 = cos x, 0
(cos x) = − sin x, 1 (tg x)0 = , cos2 x 1 (cotg x)0 = − 2 , sin x (exp x)0 = exp x,
x ∈ R, x ∈ R, x∈R\
nπ 2
o + kπ, k ∈ Z ,
x ∈ R \ {kπ, k ∈ Z} , x ∈ R.
Věta 6.34 (O derivaci inverzní funkce). Nechť f je spojitá a ryze monotónní v intervalu I a nechť a je vnitřním bodem I. Označme b := f (a). Potom 0 (a) je-li f 0 (a) ∈ R∗ \ {0}, pak f −1 (b) = f 01(a) ; 0 0 (b) je-li f 0 (a) = 0 a f je rostoucí (respektive klesající), pak f −1 (b) = ∞ (respektive f −1 (b) = −∞). Příklady. 1 , 1 − x2 1 , (arccos x)0 = − √ 1 − x2 1 (arctg x)0 = , 1 + x2 1 (arccotg x)0 = − , 1 + x2 1 (log x)0 = , x
(arcsin x)0 = √
32
x ∈ (−1, 1), x ∈ (−1, 1), x ∈ R, x ∈ R, x ∈ (0, ∞).
Věta 6.35 (Fermatova - nutná podmínka existence lokálního extrému). Nechť M ⊂ R a f : M → R. Nechť a je bodem lokálního extrému funkce f . Pak buď f 0 (a) neexistuje nebo f 0 (a) = 0. Věta 6.36 (Rolleova). Nechť f je funkce spojitá na nějakém intervalu I, nechť a, b ∈ I, a < b, a nechť pro každé x ∈ (a, b) existuje f 0 (x) a nechť f (a) = f (b). Potom existuje ξ ∈ (a, b) takové, že f 0 (ξ) = 0. Věta 6.37 (Lagrangeova věta o střední hodnotě). Nechť f je funkce spojitá na intervalu [a, b] ⊂ R, a nechť pro každé x ∈ (a, b) existuje f 0 (x). Potom existuje ξ ∈ (a, b) takové, že f 0 (ξ) =
f (b) − f (a) . b−a
Věta 6.38 (Cauchyova věta o střední hodnotě). Nechť f, g jsou funkce spojité na intervalu [a, b] ⊂ R, nechť f má v každém bodě x ∈ (a, b) derivaci a nechť g má v každém bodě x ∈ (a, b) vlastní a nenulovou derivaci. Potom existuje ξ ∈ (a, b) takové, že f (b) − f (a) f 0 (ξ) = . g 0 (ξ) g(b) − g(a) Věta 6.39 (L’Hospitalovo pravidlo). (a) (verze „ 00 ÿ) Nechť a ∈ R∗ , nechť lim f (x) = lim g(x) = 0
x→a+
x→a+
a nechť existuje f 0 (x) . x→a+ g 0 (x) lim
Potom
f (x) f 0 (x) = lim 0 . x→a+ g(x) x→a+ g (x) lim
∗ (b) (verze „ cokoli ∞ ÿ) Nechť a ∈ R , nechť
lim |g(x)| = ∞
x→a+
a nechť existuje f 0 (x) . x→a+ g 0 (x) lim
Potom
f (x) f 0 (x) = lim 0 . x→a+ g(x) x→a+ g (x) lim
Analogická tvrzení platí pro limity zleva. Poznámky. • Typická limita vhodná pro použití L’Hospitalova pravidla je lim
x→0
x − sin x 1 = . 3 x 6
• Pozor na nesprávné používání L’Hospitalova pravidla; vždy je nutno napřed ověřit, že platí předpoklady jedné ze dvou přípustných verzí. Například 2x + 1 2 lim 6= . x→0 3x + 1 3 • L’Hospitalovo pravidlo neplatí obráceně, například x2 = ∞, x→∞ x + sin x lim
ale lim
x→∞
2x 1 + cos x 33
neexistuje.
• L’Hospitalovo pravidlo není vždy nejvhodnější metodou pro výpočet limity, například 1
−
1
e x2 e− x2 lim = lim x→0+ x→0+ x 1
1 x2
1
e − x2 = lim x→0+ x2
sice platí, ale výsledná limita je ještě horší než limita zadaná. Věta 6.40 (O limitě derivací). Nechť funkce f je spojitá zprava v bodě a a nechť limx→a+ f 0 (x) = A ∈ R∗ . Pak 0 f+ (a) = A. Věta 6.41 (O vztahu derivace a monotonie). Nechť I je interval libovolného typu a nechť funkce f je spojitá na I a v každém vnitřním bodě intervalu I má vlastní derivaci. (a) Je-li f 0 > 0 na Int I, pak f je rostoucí na I; (b) Je-li f 0 < 0 na Int I, pak f je klesající na I; (c) Je-li f 0 ≥ 0 na Int I, pak f je neklesající na I; (d) Je-li f 0 ≤ 0 na Int I, pak f je nerostoucí na I. Důsledek 6.42. Nechť I je interval a nechť f 0 (x) = 0 pro všechna x ∈ I. Potom f je konstantní na I. Věta 6.43 (Darbouxova vlastnost derivace). Nechť I je otevřený interval a f : I → R má na I vlastní derivaci. Je-li x, y ∈ I a c ∈ (f 0 (x), f 0 (y)), pak existuje z v otevřeném intervalu s krajními body x, y takové, že f 0 (z) = c. Poznámky. • Tvrzení Věty 6.41 neplatí obráceně. Například funkce f (x) = x3 je sice rostoucí na celém R, ale f 0 (0) = 0. • Tvrzení Věty 6.41 neplatí, pokud definičním oborem funkce f není interval. Například funkce f (x) = tg x má na svém definičním oboru R \ { π2 + kπ, k ∈ Z}, kladnou derivaci, neboť tg0 (x) = cos12 (x) , ale není rostoucí. Definice 6.44. Nechť n ∈ N a a ∈ R a nechť funkce f má vlastní n-tou derivaci na okolí bodu a. Pak (n + 1)-ní derivací funkce f v bodě a budeme rozumět f (n) (a + h) − f (n) (a) . h→0+ h
f (n+1) (a) := lim Problémy 6.45.
• Sestrojte spojitou f : R → R takovou, že f 0 (0) existuje a přitom v každém okolí bodu 0 existuje bod, kde derivace f neexistuje. • Nechť f : R → R, f (0) = 0 a existuje f 00 (0). Dokažte, že platí f 00 (0) = lim
h→0
1 (f (h) + f (−h)). h2
Plyne z existence této limity existence f 00 (0) nebo spojitost f v 0?
6.5
Elementární funkce
Věta 6.46 (Zavedení exponenciály). Existuje právě jedna funkce exp : R → R, splňující (1) ∀ x, y ∈ R : exp(x + y) = exp x · exp y, (2) limx→0 x1 (exp(x) − exp(0)) = 1. Definice 6.47. Funkci exp : R → (0, ∞), jejíž existenci a jednoznačnost zaručuje Věta 13, nazýváme exponenciální funkcí, případně exponenciálou. Číslo exp(1) označujeme symbolem e a nazýváme Eulerovým číslem. Poznámka. Z důkazu Věty 6.46 plyne, že exponenciální funkce má následující vlastnosti: • ∀n∈N
∀x ∈ R :
exp(nx) = exp(x)n ;
• exp(0) = 1; 34
• ∀x∈R:
exp(−x) =
1 exp(x) ;
• limx→−∞ exp(x) = 0; • limx→∞ exp(x) = ∞; • exp je rostoucí a spojitá na R. Definice 6.48. Jestliže dvě reálná čísla x, y, y > 0, splňují exp x = y, pak říkáme, že číslo x je přirozeným logaritmem čísla y a značíme x = log(y). Funkci, která kladnému reálnému číslu y přiřadí hodnotu log y, nazýváme funkcí přirozeného logaritmu, případně přirozeným logaritmem nebo logaritmickou funkcí. Poznámka. Funkce log : (0, ∞) → R je inverzní funkcí k funkci exp : R → (0, ∞). Definice 6.49. Je-li a > 0, pak definujeme loga x :=
log x , log a
x > 0.
Funkci loga nazýváme logaritmem o základu a. Poznámka. Funkce log : (0, ∞) → R je inverzní funkcí k funkci exp : R → (0, ∞). Věta 6.50 (Vlastnosti přirozeného logaritmu). Funkce log je definovaná, spojitá a rostoucí na intervalu (0, ∞), splňující ∀ x, y ∈ (0, ∞) : log(xy) = log(x) + log(y), log x lim . x→1 x − 1 Definice 6.51. Nechť a > 0 a b ∈ R. Potom definujeme reálné číslo ab předpisem ab := exp(b log a). Definice 6.52. Nechť a > 0. Potom funkci, která každému x ∈ R přiřadí hodnotu ax nazýváme obecnou mocninou. Je-li n ∈ N, obecnou n-tou odmocninu definujeme jako inverzní funkci k funkci x 7→ xn , x ∈ R. Věta 6.53 (Zavedení sinu, cosinu a čísla π). Existuje právě jedna funkce s : R → R, právě jedna funkce c : R → R a právě jedno číslo π ∈ R tak, že (1) s(x + y) = s(x)c(y) + c(x)s(y), x, y ∈ R; (2) c(x + y) = c(x)c(y) − s(x)s(y), x, y ∈ R; (3) s je lichá, c je sudá; (4) s roste na [0, π2 ], s( π2 ) = 1 a s(0) = 0; (5) limx→0
s(x) x
= 1.
Definice 6.54. Definujme sin a cos jako funkce s a c z Věty 6.53. Poznámka. Funkce sinus a cosinus mají všechny obvyklé vlastnosti, které od těchto funkcí očekáváme. Definice 6.55. Pomocí funkcí sin a cos zavedeme další funkce: sin x π tangens tg x = , x ∈ R, x 6= + kπ, k ∈ Z, cos x 2 cos x kotangens cotg x = , x ∈ R, x 6= kπ, k ∈ Z. sin x Funkce sin, cos, tg a cotg nazýváme souhrnně goniometrickými funkcemi. Definice 6.56. Inverzní funkce ke goniometrickým funkcím nazýváme cyklometrickými funkcemi. Jde o funkce arkussinus
arcsin x = sin−1 x, −1
arkuskosinus
arccos x = cos
arkustangens
−1
arkuskotangens
arctg x = tg
x ∈ [−1, 1] x ∈ [−1, 1],
x,
x ∈ R,
x,
arccotg x = cotg
−1
x,
x ∈ R.
Goniometrické funkce invertujeme na intervalech, na nichž jsou tyto funkce prosté, tj. sin x na [− π2 , π2 ], cos x na [0, π], tg x na (− π2 , π2 ) a cotg x na (0, π). 35
Definice 6.57. Pomocí funkce exp definujeme tzv. hyperbolické funkce: ex − e−x , 2 ex + e−x cosh x := , 2 sinh x tgh x := , cosh x cosh x cotgh x := , sinh x
hyperbolický sinus
x ∈ R, ,
sinh x :=
hyperbolický kosinus hyperbolický tangens hyperbolický kotangens
x ∈ R, x ∈ R, x ∈ R \ {0}.
Poznámka. (a) Funkce tg, cotg, arcsin, arccos, arctg, arccotg, sinh, cosh, tgh a cotgh jsou na svém definičním oboru spojité, (b) ∀ x ∈ [−1, 1] : ∀x∈R:
arcsin x + arccos x =
arctg x + arccotg x =
π . 2
π , 2
Cvičení. • Nalezněte vzorec pro arcsin(sin x), x ∈ R. • Nalezněte vzorec pro arctg(x) − arctg(y), x, y ∈ R. Pn aj = 0. Dokažte, že polynom a0 + a1 x + · · · + an xn má v (0, 1) Problém 6.58. Nechť a0 , . . . , an ∈ R splňují j=0 n+1 alespoň jeden kořen.
6.6
Konvexní a konkávní funkce
Definice 6.59. Nechť f je reálná funkce a a ∈ R. Řekneme, že f má v bodě a inflexi (neboli že a je inflexním bodem funkce f , jestliže existuje vlastní f 0 (a) a existuje δ > 0 takové, že buď
nebo
∀ x ∈ (a − δ, a) :
f (x) > f (a) + f 0 (a)(x − a),
& ∀ x ∈ (a, a + δ) :
f (x) < f (a) + f 0 (a)(x − a)
∀ x ∈ (a − δ, a) :
f (x) < f (a) + f 0 (a)(x − a),
& ∀ x ∈ (a, a + δ) :
f (x) > f (a) + f 0 (a)(x − a).
Věta 6.60 (Nutná podmínka pro inflexi). Nechť f je reálná funkce a a ∈ R. Jestliže existuje f 00 (a) 6= 0, pak a není inflexní bod funkce f . Poznámka. Samotný fakt, že f 00 (a) = 0 ještě nezaručuje inflexi. Příkladem je funkce f (x) = x4 , x ∈ R. Pak f 00 (0) = 0, nula ale není inflexním bodem f . Věta 6.61 (Postačující podmínka pro inflexi). Nechť f je má spojitou první derivaci na intervalu (a, b). Nechť z ∈ (a, b) a nechť ∀ x ∈ (a, z) : f 00 (x) > 0 a ∀ x ∈ (z, b) : f 00 (x) < 0. Pak z je inflexní bod funkce f . Definice 6.62. Nechť I je interval a nechť f je reálná funkce definovaná alespoň na I. Řekneme, že f je konvexní na I, jestliže f (y) − f (x) f (z) − f (y) ∀ x, y, ∈ I, x < y < z : ≤ , y−x z−y f je konkávní na I, jestliže f (y) − f (x) f (z) − f (y) ∀ x, y, ∈ I, x < y < z : ≥ , y−x z−y f je ryze konvexní na I, jestliže ∀ x, y, ∈ I, x < y < z :
f (y) − f (x) f (z) − f (y) < , y−x z−y 36
f je ryze konkávní na I, jestliže f (y) − f (x) f (z) − f (y) > . y−x z−y
∀ x, y, ∈ I, x < y < z :
Lemma 6.63 (Ekvivalentní podmínky pro konvexitu). Nechť I ⊂ R je interval a nechť f je funkce definovaná alespoň na I. Následující výroky jsou ekvivalentní: (i) f je konvexní na I; (ii) ∀x, y, ∈ I, x < y < z, platí
f (y)−f (x) y−x
≤
f (z)−f (x) ; z−x
(iii) ∀ x, y, ∈ I, x < y < z, platí
f (y)−f (x) y−x
≤
f (z)−f (x) z−x
(iv) ∀ x, y, ∈ I, x < y < z, platí
f (z)−f (x) z−x
≤
f (z)−f (y) ; z−y
f (z)−f (y) ; z−y
≤
(v) ∀ x, y ∈ I, x < y a α ∈ [0, 1] platí f (αx + (1 − α)y) ≤ αf (x) + (1 − α)f (y). Analogické charakterizace platí pro konkavitu, ryzí konvexitu a ryzí konkavitu. Věta 6.64 (O vztahu konvexity a existence jednostranných derivací). Nechť f je funkce konvexní na intervalu I a 0 0 nechť a ∈ Int I. Potom existují vlastní obě jednostranné derivace f+ (a) a f− (a). Poznámka. Jednostranné derivace, jejichž existenci zaručuje Věta 29, se nemusí sobě rovnat (nemusí tedy existovat f 0 (a)). Příkladem je funkce f (x) = |x| a bod x = 0. Věta 6.65 (O vztahu konvexity a spojitosti). Konvexní funkce na otevřeném intervalu je na tomto intervalu spojitá. Poznámka. Na jiném než otevřeném intervalu Věta 6.65 neplatí. Protipříkladem je funkce sign, která je například na intervalu (−1, 0] konvexní, ale ne spojitá. Věta 6.66 (O vztahu druhé derivace a konvexity/konkavity). Nechť f je definovaná alespoň na intervalu (a, b) ⊂ R a nechť má f na tomto intervalu spojitou první derivaci. Jestliže ∀ x ∈ (a, b) :
f 00 (x) > 0,
pak f je ryze konvexní na (a, b). Jestliže ∀ x ∈ (a, b) :
f 00 (x) < 0, respektive f 00 (x) ≥ 0, nebo f 00 (x) ≤ 0,
pak f je ryze konkávní na (a, b) respektive konvexní na (a, b) nebo konkávní na (a, b). Problém 6.67. Nechť f : R → R je konkávní a zdola omezená. Dokažte, že je konstantní.
6.7
Průběh funkce
Definice 6.68. Nechť f je reálná funkce definovaná na nějakém okolí bodu ∞. Nechť a, b ∈ R. Řekneme, že f má v bodě ∞ asymptotu ax + b, jestliže lim (f (x) − ax − b) = 0. x→∞
Analogicky definujeme asymptotu v bodě −∞. Věta 6.69 (O tvaru asymptoty). Funkce f má v bodě ∞ asymptotu ax + b právě tehdy, když lim
x→∞
f (x) =a∈R x
lim (f (x) − ax) = b ∈ R.
a
x→∞
Analogické tvrzení platí pro asymptotu v bodě −∞. Příklady. • Funkce ex má v −∞ asymptotu y = 0 a v bodě ∞ asymptotu nemá, neboť první limita ve Větě 6.69 je nevlastní. √ √ 1 . • Funkce f (x) = 2x2 + x + 1 má v bodě ∞ asymptotu 2x + 2√ 2 • Funkce tg x nemá v bodě ∞ asymptotu, protože není definovaná na žádném jeho okolí. • Funkce sin x nemá v bodě ∞ asymptotu, ačkoli první z obou limit ve Větě 6.69 existuje a je rovna nule, neexistuje však limita limx→∞ (f (x) − 0 · x). 37
