mateksoft.hu
Nevezetes azonosságok: ( a + b)
2
a + 2ab + b
2
2
( x + 3)
2
x + 6⋅x + 9
( a − b)
2
a − 2ab + b
2
2
( x − 3)
2
x − 6⋅x + 9
2
( a + b + c)
2
2
2
( 2x + 3y)
2
4x + 12xy + 9y
2
( 2x − 3y)
2
4x − 12xy + 9y
2
a + b + c + 2ab + 2ac + 2bc
( x + y + 2)
2
( 3x − y + 5) ( a + b)
3
a + 3a b + 3ab + b
( a − b)
3
a − 3a b + 3ab − b
2
( a + b) ( a − b)
2
a −b 3
3
3
3
a +b a −b
3
2
2
3
3
2
2
3
( x + 2) ( x - 2)
2 (2 ) 2 2 ( a − b) ( a + ab + b )
2
3
2
3
2
2
3
x + 6x + 12x + 8
3
2
2
3
x − 6x + 12x − 8
2
( x + 3) ( x − 3 )
3
x −2
2
9x + y + 25 − 6xy + 30x − 10y
x − 3 ⋅x ⋅2 + 3 ⋅x⋅2 − 2
3
x +2
2
3
3
2
2
x + 3 ⋅x ⋅2 + 3 ⋅x⋅2 + 2
2
2
x + y + 4 + 2xy + 4x + 4y
3
x −9
( a + b) a − ab + b
2
2
3
2
3
2
2
4x − 36
( 2x) − 6
( ) 2 ( x − 2) ( x + 2x + 4 )
2
( 2x + 6) ( 2x − 6 )
2
( x + 2) x − 2x + 4
Hatványozás azonosságai Azonos alapú hatványok: n
a ⋅a a a
k
a
n
a
k
n +k
4
x ⋅x
n −k
x x
( a n) k
x
8
x
5
a
n
a
2 2
x +3
x
⋅2
x +4
2x +4
2
n k
10
3
( x 3) 5
n ⋅k
a
6
2
x +2
( 2 x +2 ) 3
15
x
x
x +3 +x +4
2x +4 −( x +2 )
2
1
k
2
3 ⋅ ( x +2 )
2 2
2
2x +7
2x +4 −x −2
3x +6
8 5
2
x
8
x
5
Azonos kitevőjű hatványok: n
a ⋅b
n
( a ⋅ b)
n
x ⋅y
3
3
n
n
5
( x ⋅ y)
3
2
visszafelé ( a ⋅ b) a
n
b
n
a ⋅b
a b
n
n
( x ⋅ y) x y
5
5
x ⋅y
x y
5
a b
a
n
b
n
2 5
3
5
3 5
2 5
3 3
⋅9
x +1
( x 5 ⋅ y 7) 2
5
visszafelé n
x +1
8 125
3 3
3 5
x3 5 y
( 2 ⋅ 9)
x
10
⋅y
3
4
x y
12 20
x +1
14
18
x +1
2
x +2
mateksoft.hu
Gyökvonás azonosságai n
n
a⋅
b
n
a⋅b
a⋅
n
3
x⋅
3
3
y
3
x⋅y
2⋅
3
3
4
8
2
visszafelé n
n n
n
n
a⋅b n
a
3
a
3
b
b k
25 ⋅ 3
b
n⋅k
a
5
a
25 ⋅ 3
16
x
15
k n
a
k
a
3
2
2 3
16
5⋅
3
8
3
2
x
3 5
n
x
3
x
8 3
5
2
8
2
3
Logaritmus azonosságai loga x + loga y
loga( x ⋅ y)
log2 5 + log2 3
log2 15
loga x − loga y
loga
x y
log2 5 − log2 3
log2
n ⋅ loga x
n
3 ⋅ log2 7
3
loga x
log2 7
5 3
log3 ( x + 1) + log3 ( x − 2 )
log3 ( x + 1) ( x − 2)
log3( x + 1) − log3( x − 2)
log3
log5 x
visszafelé
8
x+ 1 x−2
8 ⋅ log5 x
átírás másik alapra: logb x
loga x loga b
log4 9
log3 9 log3 4
Közepek: Számtani közép A
x1 + x2 + ... + xn n
A ( 10 , 22 )
10 + 22 2
A ( 5 , 7 , 12 )
16
Mértani közép G
n
x1 . x2 . ... . xn
G ( 2 , 50 ) G ( 5 , 10 , 20 )
2 ⋅ 50 3
100
5 ⋅ 10 ⋅ 20
10 3
1000
10
5 + 7 + 12 3
8
mateksoft.hu
Sorozatok: Számtani sorozat an
Sn
a1 + ( n − 1) ⋅ d
a3
a1 + 2d
a100
a1 + an
a1
5
S 20
2
⋅n
a20
43
a3
a1 ⋅ q
a1
5
q
2
a1 + 99d 5 + 43 2
⋅ 20
480
Mértani sorozat an
a1 ⋅ q
n −1
n
Sn
a1 ⋅
q −1 q−1
2
a1 ⋅ q
a100
5⋅
S10
2
99
10
−1
2 −1
5115
Kombinatorika: Permutáció (sorbarendezés): Ismétlés nélküli: Ismétléses:
Pn
Pn
n!
Piros, sárga, kék, fehér, fekete golyó sorbarendezése = 5!
n!
5 piros, 3 kék, 7 fehér golyó sorbarendezése
n1! ⋅ n2! ⋅ .. ⋅ nk!
15! 5! ⋅ 3! ⋅ 7!
Variáció (Kiválasztás; számít a sorrend és megkülönböztetjük az elemeket): Ismétlés nélküli: Egy fagyizóban, hányféleképpen választhatunk 8 íz közül 3 gombócot tölcsérbe, ha nem szeretnénk kétszer ugyanolyat enni? V
Ismétléses:
8⋅7⋅6
336
Egy fagyizóban, hányféleképpen választhatunk 8 íz közül 3 gombócot tölcsérbe, ha ugyanolyan ízt többször is választhatunk? V
8⋅8⋅8
8
3
512
Kombináció (Kiválasztás; nem számít a sorrend és nem különböztetjük meg az elemeket): Ismétlés nélküli:
C
n k
Ismétléses:
C
Hányféleképpen választhatunk ki 8 fajta péksüti közül hármat, ha ugyanolyat nem választunk?
n = mennyiből választunk k = mennyit
8 3
8! 3! ⋅ 5!
Hányféleképpen választhatunk ki 8 fajta péksüti közül hármat, ha többször is választhatunk egy fajtát?
n + k − 1 k
n = mennyiből választunk k = mennyit
8 + 3 − 1 3
10 3
10! 3! ⋅ 7!
Síkgeometria:
mateksoft.hu
Háromszögek Magasság vonal: A magasság vonal a csúcsból, a szemközti oldalra állított merőleges. A magasság vonalak egy pontban metszik egymást, mely a magasság pont. Nincs további funkciója.
Oldalfelező merőlegesek: Az oldalfelező merőlegesek is egy pontban metszik egymást, mely a háromszög köré írható körének a középpontját adja.
Szögfelezők: A háromszög belső szögfelezői is egy pontban metszik egymást. Ez adja a beírható kör középpontját.
Súlyvonal: A súlyvonal, a csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával összekötő egyenes. A súlyvonalak egy pontban metszik egymást. A súlypont harmadolja a súlyvonalakat 1/3, 2/3 arányban. 1/3 az oldal felé, 2/3 a csúcs felé.
mateksoft.hu
Szögfüggvények derékszögű háromszögben
sinα
cosα
tgα
ctgα
szemközti
a
3
átfogó
c
5
melletti
b
4
átfogó
c
5
szemközti
a
3
melletti
b
4
melletti
b
4
szemközti
a
3
Szinusztétel
Koszinusztétel
a
b
c
sinα
sinβ
sinγ
a
6
sin40°
sin30°
Nevezetes szögek szögfüggvényei
c c
2
a + b − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cosα
2
2
2
5 + 6 − 2 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ cos30°
2
2
mateksoft.hu
Négyszögek Húrnégyszög: Azok a négyszögek, melyek köré kör írható. Szemközti szögek összege 180°
Érintőnégyszög: Azok a négyszögek, melyekbe kör írható. Szemközti oldalak összege egyenlő.
α+γ
a+ c
b+ d
6+3
4+5
180 °
50° + 130°
β+δ
180 °
100° + 80°
180°
180°
Sokszögek átlók száma:
n ⋅ ( n − 3)
10 oldalú sokszög esetén:
2
10 ⋅ ( 10 − 3) 2
belső szögek összege:
( n − 2) ⋅ 180 °
10 oldalú sokszög esetén:
( 10 − 2) ⋅ 180 °
külső szögek összege:
360°
10 oldalú sokszög esetén:
360°
1 db belső szög szabályos sokszög esetén:
1 db külső szög szabályos sokszög esetén:
( n − 2 ) ⋅ 180 ° n
360° n
10 oldalú szabályos sokszög esetén, 1 db belső szöge:
10 oldalú szabályos sokszög esetén, 1 db külső szöge:
( 10 − 2) ⋅ 180 ° 10
360° 10
36°
35
1440 °
144°
mateksoft.hu
Síkidomok kerület, területe Háromszög
a+ b+ c
K ( kerület)
K
s ( félkerület)
2 a ⋅ ma
T ( terület)
Az egyik oldal szorozva a hozzátartozó magassággal és osztva kettővel.
2
a ⋅ b ⋅ sinγ
T
Két oldal szorozva a közbezárt szög szinuszával és osztva kettővel.
2 a⋅ b⋅ c
T
Három oldal szorzatát osztjuk, a köré írható kör sugarának a négyszeresével.
4R
s⋅r
T
Praktikus képlet, ha ismerünk egy oldalt és a szemközti szöget. Mert könnyen meghatározható az R!
A félkerület szorozva a beleírható kör sugarával.
Héron − képlet s ( s − a) ( s − b) ( s − c)
T
Négyzet
Téglalap
a
2 ⋅ R ⋅ sinα
b
2 ⋅ R ⋅ sinβ
c
2 ⋅ R ⋅ sinγ
Paralelogramma
Rombusz a
a a
b
a a K
4a
T
a
m
γ
Trapéz
K
2a + 2b
K
2a + 2b
K
4a
T
a⋅b
T
a ⋅ ma
T
a ⋅ ma
T
a ⋅ b ⋅ sinγ
T
a ⋅ a ⋅ sinγ
T
e⋅
Deltoid
K b T
K
T
a+ b+ c+ d
a+ c 2
⋅m
a
a
d
a
a
a
b
2
b
2a + 2b e⋅f 2
f 2
Kör
Körcikk
Körszelet
α
K
2⋅π ⋅r
T
r ⋅π
i
2
T
π 180° r⋅i 2
⋅r⋅α vagy
(π T
3 , 14...) π 360°
T
1 2
⋅ ( r ⋅ i − h ( r − m) )
2
⋅r ⋅α
Felszín, térfogat Hasábok (lehet négyzet, téglalap, ötszög, tízszög alapú is)
V ( térfogat)
Ta ⋅ M
Alapterület szorozva a magassággal. A fenti ábrák szépen szemléltetik, hogy az alapterület igen sokféle lehet.
A ( felszín)
2 ⋅ Ta + Tp
Két darab alapja van (alul, felül) és palástja (körbe). A palást = oldallapok összterülete.
Henger (kör alapú hasáb) V ( térfogat) A ( felszín)
Ta ⋅ M 2 ⋅ Ta + Tp
2
r ⋅π ⋅M
Mert az alapterülete kör!
2
2 ⋅ r π + 2 ⋅ r ⋅ π ⋅ M (A kör kerülete szorozva a magassággal!)
Ta
mateksoft.hu
Tp
Gúla (A gúla alapterülete is igen sokféle lehet, így az alapterület kiszámítása minden esetben más!)
V
A
Ta ⋅ M 3 Ta + Tp
Négyzet alapú gúla esetén: Praktikus képlet!!!
A
2
a + a⋅
2
4m + a
(Példa a palástra: háromszögű alap esetén, 3 db háromszög. Hatszög esetén 6 db háromszög.)
2
Kúp
V
A
2
Ta ⋅ M
r ⋅π ⋅M
3
3
2
r ⋅π + π ⋅r⋅a
Ta
Csonkagúla
mateksoft.hu
Mert az alapterület kör!
r ⋅ π ( a + r)
Tp
Csonkakúp
mateksoft.hu Gömb
Kockába gömb:
4⋅π ⋅r
A
2
4⋅π ⋅r
V
r
Gömbbe kocka:
a
R = a testátló fele
2
3
3
Trigonometria 2
2
sin α + cos α
tgα
ctgα
tgα
ctgα
sinα cosα cosα sinα
1 ctgα 1 tgα
1
tg30°
ctg30°
tg30°
ctgα
sin30°
sinα
cos ( 90° − α )
sin30°
cos ( 90° − 30° )
cosα
sin ( 90° − α )
cos30°
sin ( 90° − 30° )
cos30° cos30° sin30°
1
sin2α
2 ⋅ sinα ⋅ cosα
cos2α
cos α − sin α
2
2
sin2x
2 ⋅ six ⋅ cosx
cos2x
cos x − sin x
ctg30° 1 tg30°
sin ( α + β )
sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ
sin ( x + 30° )
sinx ⋅ cos30° + cosx ⋅ sin30°
sin ( α − β )
sinα ⋅ cosβ − cosα ⋅ sinβ
sin ( x − 30° )
sinx ⋅ cos30° − cosx ⋅ sin30°
cos ( α + β )
cosα ⋅ cosβ − sinα ⋅ sinβ
cos ( x + 30° )
cosx ⋅ cos30° − sinx ⋅ sin30°
cos ( α − β )
cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ
cos ( x − 30° )
cosx ⋅ cos30° + sinx ⋅ sin30°
2
2
mateksoft.hu
Koordináta-geometria Két pontból vektor: végpontból kezdőpont.
(
)
(
A x1 , y1 B x2 , y2 → AB x2 − x1 , y2 − y1
(
)
)
→ BA x1 − x2 , y1 − y2
(
B koordinátákból A
)
A koordinátákból B
Példa:
A ( 3 , 2)
B ( 5 , 6)
→ AB( 5 − 3 , 6 − 2) → AB( 2 , 4 )
→ BA( 3 − 5 , 2 − 6) → BA( −2 , −4
(jobbra 2, fel 4)
(balra 2, le 4)
Vektor hossza: → a( x , y)
→ a
2
2
2
2
x +y
Példa:
→ a( 3 , 4 ) → a
3 +4
25
5
Két pont távolsága:
(
A x1 , y1
)
(
B x2 , y2
)
( x2 − x1) 2 + ( y2 − y1) 2
d Példa:
A ( 3 , 2)
B ( 5 , 6) 2
( 5 − 3) + ( 6 − 2)
d
Felezőpont:
(
A x1 , y1
)
(
B x2 , y2
x1 + x2 y1 + y2 , 2 2
F
)
2
2
2 +4
2
4 + 16
Példa:
A ( 3 , 2)
B ( 5 , 6)
3+ 5 2+6 , 2 2
F
F ( 4 , 4)
20
mateksoft.hu
Harmadolópont:
(
A x1 , y1
)
(
B x2 , y2
)
2 ⋅ x1 + x2 2 ⋅ y1 + y2 H1 , 3 3
x1 + 2 ⋅ x2 y1 + 2 ⋅ y2 H2 , 3 3
A csúcshoz közelebbi
B csúcshoz közelebbi
Példa:
A ( 3 , 2)
B ( 5 , 6)
2⋅3 + 5 2⋅2 + 6 , 3 3
H2
3 + 2⋅5 2 + 2⋅6 , 3 3
11 10 , 3 3
H2
H1
13 14 , 3 3
H1
Háromszög súlypontja:
(
A x1 , y1
)
(
B x2 , y2
)
(
C x3 , y3
x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y3 S , 3 3 Példa:
A ( 2 , 3)
B ( 4 , 3)
2+4+ 3 3+3+6 , 3 3
S
S ( 3 , 4)
C ( 3 , 6)
)
mateksoft.hu
Egyenes egyenlete Normálvektor, pont
Irányvektor, pont Példa:
→ n( A , B)
(
P x0 , y0
)
Ax + By
2x + 3y
2⋅5 + 3⋅6
2x + 3y
28
Két ponton átmenő
(
) B ( x2 , y2) ( x2 − x1) ( y − y1) ( y2 − y1) ( x − x1) A x1 , y1
Példa:
A ( 3 , 5)
6( y − 5) 6y − 30
( 7 − 5) ( x − 3)
2( x − 3) 2x − 6
−24
2x − 6y
−12
x − 3y
Kör egyenlete C ( u , v) kör középpontja r kör sugara 2
( x − u) + ( y − v )
2
r
2
Példa:
c ( 5 , −4 )
r
9 2
( x − 5 ) + ( y + 4)
2
P ( 4 , 6)
v2 x − v1 y
81
Az u és a v beillesztésénél figyelj az ellentétes előjelre!!!
v2 x0 − v1 y0
5x − 3y
5⋅4 − 3⋅6
5x − 3y
2
Pont, meredekség
(
P x0 , y0
Példa:
)
P ( 4 , 7)
m y − y0
B ( 9 , 7)
( 9 − 3) ( y − 5)
→ v( 3 , 5 )
( ) P ( x0 , y0)
P ( 5 , 6) Ax0 + By0
Példa:
→ v v1 , v2
→ n( 2 , 3)
m
(
m x − x0
)
Fontos!!! Ha α van megadva, akkor m=tgα!!!
3
y−7
3( x − 4)
y−7
3x − 12
5
3x − y
mateksoft.hu
Függvények Elsőfokú lineáris függvény: y
y
mx + b
y
m = meredekség b = hol metszi az y-tengelyt
a = nyújtás/zsugorítás függőlegesen b = x-tengelyen mozgatás ellenkező irányba c = y-tengelyen mozgatás "normális" irányba
2x − 3
y
Másodfokú függvény: y
2
a ⋅ ( x + b) + c
a = nyújtás/zsugorítás függőlegesen b = x-tengelyen mozgatás ellenkező irányba c = y-tengelyen mozgatás "normális" irányba y
Abszolútérték-függvény
2
2 ⋅ ( x − 3) − 2
a⋅ x + b + c
2⋅ x − 3 − 2
Négyzetgyökfüggvény y
a⋅
x+ b+ c
a = nyújtás/zsugorítás függőlegesen b = x-tengelyen mozgatás ellenkező irányba c = y-tengelyen mozgatás "normális" irányba y
2⋅
x−3 −2
Logaritmusfüggvény a ⋅ log2( x + b) + c
y
a = nyújtás/zsugorítás függőlegesen b = x-tengelyen mozgatás ellenkező irányba c = y-tengelyen mozgatás "normális" irányba
2 ⋅ log2( x − 3) − 2
y
Szinuszfüggvény y
sinx
periódus: 2π
Koszinuszfüggvény y
cosx
periódus: 2π
mateksoft.hu
Exponenciális függvény y
a⋅2
x +b
+c
a = nyújtás/zsugorítás függőlegesen b = x-tengelyen mozgatás ellenkező irányba c = y-tengelyen mozgatás "normális" irányba y
2
x −3
−2
Tangensfüggvény y
tgx
x ≠
π 2
+ k⋅π
periódus: π
mateksoft.hu
Kotangensfüggvény y
ctgx
periódus: π
x ≠ 0° + k ⋅ π
